1|
PELUANG Standar kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah, pencacahan, dan sifatsifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah Menentukan ruang sampel suatu percobaan Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya Tujuan Pembelajaran : Menyusun aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi Menentukan banyak kemungkinan kejadian dari berbagai situasi Menuliskan himpunan kejadian dari suatu percobaan Menentukan peluang suatu kejadian melalui percobaan Menentukan peluang suatu kejadian secara teoritis
A. KAIDAH PENCACAHAN Kaidah pencacahan membantu dalam menentukan banyak cara yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan. Misalkan terdapat n posisi, k adalah banyak cara posisi pertama, l adalah banyak cara posisi kedua, m adalah banyak cara untuk posisi ketiga, n adalah banyak cara untuk posisi keempat dan seterusnya. Banyak cara mengisi : 𝑘 × 𝑙 × 𝑚 × 𝑛 × ⋯
2|
Contoh : 1. Seorang anak memiliki 5 buah pita dan 3 buah bando. Tentukan banyak pasangan pita dan bando yang dapat disusun. 2. Dari huruf K,E,M,I,L,A,U akan dibentuk menjadi susunan huruf dengan syarat tidak ada huruf yang sama. Tentukan banyak cara menyusun huruf-huruf itu apabila diawali dengan : a. Huruf vocal b. Huruf konsonan 3. Dalam rangka memperingati HUT kota Bandung, pemerintah kota Bandung mengadakan sepeda ria. Panitia menetapkan 5 jalur yang dapat dilewati oleh peserta lomba. Tentukan banyak cara seorang peserta dapat melewati jalur itu apabila : a. Jalur yang dilalui boleh sama b. Jalur yang dilalui boleh berbeda 4. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Tentukan banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing kurang dari 400. 5. Tentukan banyak cara bilangan ganjil yang terdiri atas 4 angka dapat disusun dari bilangan 3, 4, 5, 6 dan 7 apabila angka-angka itu boleh berulang dan tidak berulang. 6. Tentukan banyak bilangan yang terdiri atas tiga angka berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9.
Jawab :
3|
B.
PERMUTASI a. Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan. Hasil kali n bilangan asli pertama disebut n faktorial yang dinotasikan : 𝑛! Definisi faktorial Untuk setiap bilangan asli n faktorial didefinisikan sebagai berikut :
𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1 Hal khusus :
0! = 1! = 1 Contoh : 1. Hitunglah : 12! 8! a. b. 10! 5! ∙ 3! 2. Hitunglah nilai n yang memenuhi setiap persamaan berikut ini : 𝑛! ∙ 3! 33 a. = 6! (𝑛−3)! 4 b.
10! 7!
= 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
Jawab :
4|
b. Pengertian Permutasi adalah semua urutan berbeda yang mungkin dari r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi r unsur dari n unsur ditulis : 𝑛! Nilai dari : 𝑃𝑟𝑛 = , dengan (𝑟 < 𝑛) (𝑛−𝑟 )!
𝑃𝑛𝑟 ; 𝑛𝑃𝑟 ; 𝑃 (𝑛, 𝑟)
Contoh : 1. Hitunglah permutasi berikut ini :
𝑃38 b. 𝑃213 a.
2. Tentukan nilai m dari : a.
𝑃2𝑚 = 42
b.
2 ∙ 𝑃2𝑚 + 50 = 𝑃22𝑚
3. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa akan dipilih seorang ketua, sekretaris dan bendahara kelas. Tentukan banyak cara memilih pengurus kelas. 4. Seorang siswa mempunyai pilihan 5 bahasa asing dan 4 ilmu pengetahuan. Tentukan banyak cara untuk memilih 1 bahasa asing dan 1 ilmu pengentahuan. 5. Dari 11 buku sastra dan 3 buku matematika akan dipilih 4 buku sastra dan 1 buku matematika dan diatur pad arak buku sehingga buku akuntasi selalu berada di tengah. Tentukan banyak pengaturan yang mungkin dari buku-buku tersebut.
Jawab :
5|
c. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai a unsur jenis pertama, b unsur jenis kedua dan c unsur jenis ketiga adalah : 𝑛 𝑃𝑎,𝑏,𝑐 =
𝑛! 𝑎! ∙ 𝑏! ∙ 𝑐!
Contoh : 1. Hitunglah : a.
5 𝑃25 − 𝑃3,2
b.
6 5 𝑃4,2 + 𝑃3,1 − 𝑃56
2. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata dibawah ini secara berdampingan : a. BENCANA b. HARAPAN 3. Berapakah banyak permutasi dari bilangan dibawah ini : a. 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 4 b. 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7
Jawab :
6|
d. Permutasi Siklis dan Berulang 1. Permutasi Siklis Jika tersedia n unsur berbeda, maka banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan oleh formula :
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (𝑛 − 1)! 2. Permutasi Berulang Jika tersedia n unsur berbeda, maka banyak permutasi berulang r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan oleh formula :
𝑃𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 = 𝑛𝑟 , dengan 𝑟 ≤ 𝑛 Contoh : 1. Diketahui : ada 5 orang akan menempati 5 kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Tentukan berapa banyak susunan yang dapat terjadi. 2. Diketahui angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk bilanganbilangan yang terdiri atas 3 angka dengan angka-angka boleh berulang. Tentukan berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk.
Jawab :
C. KOMBINASI Kombinasi adalah banyaknya susunan yang mungkin dari beberapa unsur yang tidak memperhatikan urutan.
7|
Banyak kombinasi r unsur dari n unsur ditulis : 𝑛! Nilai dari : 𝐶𝑟𝑛 = , dengan (𝑟 < 𝑛) (𝑛−𝑟 )! ∙ 𝑟!
𝐶𝑛𝑟 ; 𝑛𝐶𝑟 ; 𝐶 (𝑛, 𝑟)
Contoh : 1. Hitunglah setiap kombinasi berikut ini a. 𝐶79 b. 𝐶412 2. Hitunglah nilai n yang memenuhi setiap persamaan kombinasi berikut ini: a. 𝐶4𝑛 = 𝑛2 − 2𝑛 b. 𝐶4𝑛+1 = 𝐶3𝑛 3. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi dalam suatu pesta yang dihadiri oleh 20 orang ? 4. Pada sebuah perkumpulan akan dipilih perwakilan yang beranggotakan 5 orang. Calon yang tersedia adalah 4 pria dan 3 wanita. Berapa banyak susunan perwakilan yang dapat dibentuk apabila sekurang-kurangnya terpilih 2 wanita ?
Jawab :
8|
Latihan Soal 1. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Tentukan banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing kurang dari 400. 2. Tentukan banyaknya bilangan antara 1.000 dan 4.000 yang dapat disusun dari angka-angka 1,2,3,4,5,6 dengan tidak ada angka yang sama. 3. Suatu keluarga yang tinggal di Surabaya ingin liburan ke Eropa via Arab Saudi. Jika rute dari Surabaya ke Arab Saudi sebanyak 5 rute penerbangan, sedangkan Arab Saudi ke Eropa ada 6 rute, maka tentukan banyaknya semua pilihan rute penerbangan dari Surabaya ke Eropa pergi pulang dengan tidak boleh melalui rute yang sama. 4. Amanda memiliki 4 buah celana berbeda, 6 buah baju berbeda, dan 3 pasang sepatu berbeda, banyaknya cara berbeda untuk memakai celana, baju, dan sepatu yang dapat dilakukan Amanda adalah …cara 5. Dari 6 orang calon pengurus termasuk Doni akan dipilih ketua, wakil, dan bendahara. Jika Doni terpilih sebagai ketua maka banyak pilihan yang mungkin terpilih sebagai wakil dan bendahara adalah … pilihan 6. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri dari 10 regu akan dipilih juara 1, 2, dan 3. Banyak cara memilih regu tersebut. 7. Tentukan banyak kata yang dapat disusun dari kata-kata berikut ini : a. MATAHARI b. METAMORFOSIS c. EDITORIAL 8. Tentukan banyak cara yang dapat dilakukann oleh 7 orang yang dapat duduk pada meja bundar 9. Tentukan banyak cara yang dapat dilakukan oleh 6 orang yang duduk pada meja
bundar
dimana
terdapat
dua orang
yang
berdampingan.
9|
harus selalu
duduk
10. Ada 5 orang tamu berbangsa Portugis, 4 orang tamu berbangsa Belanda dan 7 orang tamu berbangsa Arab. Jika setiap tamu yang berkebangsaan sama harus duduk berdampingan,maka tentukan banyak cara yang dapat dilakukan tamu tersebut. 11. Tentukan banyaknya susunan 3 huruf yang dapat diambil dari kata SEMERBAK, apabila unsur-unsur yang tersedia a. Boleh ditulis ulang b. Tidak boleh ditulis ulang 12. Hitunglah nilai n yang memenuhi persamaan berikut ini : a. 5 ∙ 𝑃3𝑛 = 24 ∙ 𝐶4𝑛 𝑛 b. 𝐶12 = 𝐶8𝑛
c. 3 ∙ 𝐶3𝑛+1 =
7 2
(𝑛2 + 𝑛)
13. Banyak kelompok yang terdiri atas 3 siswa berbeda dapat dipilih dari 12 siswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain. Banyaknya susunan tim inti yang mungkin terbentuk adalah … 15. Kelompok tani Suka Maju terdiri dari 6 orang yang berasal dari dusun A dan 8 orang berasal dari dusun B. Jika dipilih 2 orang dari dusun A dan 3 orang dari
dusun
B
untuk
mengikuti
penelitian
tingkat
kabupaten, maka
banyaknya susunan kelompok yang mungkin terjadi 16. Seorang peserta ujian harus mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada. Banyak cara peserta memilih soal ujian yang harus dikerjakan 17. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang harus diambil siswa tersebut 18. Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 5 bola biru. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 bola biru
10 |
19. Dalam suatu panitia tujuh belasan yang terdiri atas 3 orang pelukis dan 5 orang penari akan dipilih 2 orang pelukis dan 3 orang penari. Tentukan banyak cara menyusun kepanitian tersebut. 20. Dari 10 orang siswa yang terdiri atas 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 putri, tentukan banyak tim yang dapat dibentuk.
Jawab :
11 |
Daftar Pustaka Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung. Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA, Erlangga. Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA Semester 1, Erlangga.
12 |
