UNIFORM (SERAGAM) BERNOULLI BINOMIAL POISSON BEBERAPA DISTRIBUSI LAINNYA : MULTINOMIAL, HIPERGEOMETRIK, MA 2081 Statistika Dasar

DISTRIBUSI DISKRIT •U N I F O R M ( S E R A G A M ) •B E R N O U L L I •B I N O M I A L •P O I S S O N

•B E B E R A P A D I S T R I B U S I L A I N N Y A : •M U L T I N O M I A L , H I P E R G E O M E T R I K , GEOMETRIK, BINOMIAL NEGATIF

MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar 7 Maret 2011

Distribusi uniform ((seragam) g ) 2

 Peubah P b h acak k X diasumsikan di ik setiap ti nilainya il i ( 1, x2, …, (x

xk) memiliki peluang yang sama.  Distribusi i ib i peluang l X: 1 P( X  x)  , k  Rataan :  Variansi : edited 2011 by UM

x  x1 , x2 ,..., xk

1 k    xi k i 1 k 1 2  2    xi    k i 1

Contoh 1 3

 Pelemparan sebuah dadu.

1 P( X  x)  , 6

x  1, 2,3, 4,5, 6 0 18 0,18 0,175 X=x) P(X

1 2  3  4  5  6   3,5 6

0,17 0,165

2 2 2 2 2 2 1  2  3  4  5  6 2   3.5 3 52 6  15.17  12.25  2.92 edited 2011 by UM

0,16 , 1

2

3

4 x

5

6

Percobaan Bernoulli 4

 Percobaan terdiri dari 1 usaha

Sukses Usaha

Gagal

 Peluang l sukses k p

gg gagal g  1-p p Peluang  Misalkan

1 jika terjadi sukses 1, X  0, jika terjadi tidak sukses (gagal) edited 2011 by UM

Distribusi Bernoulli 5

X

berdistribusi Bernoulli,  p x (1  p )1 x , x  0,1 P( X  x)  ber ( x; p )   , x lainnya l i 0

 Rataan  Variansi V i i:

edited 2011 by UM

: E[X] = µx = p V (X) x2 = p(1-p) Var(X)= ( )

Percobaan Binomial 6

   

n usaha yang berulang. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal. Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yyang g berikutnya. y Tiap usaha saling bebas.

edited 2011 by UM

Distribusi Binomial 7

 Distribusi binomial, parameter n dan p  Notasi X ~ B(n,p) B(n p)

 F.m.p:

n x P( X  x)  b( x; n, p )    p (1  p ) n  x  x

 Koefisien K fi i binomial bi i l: n n!     x  x !( n  x )!

n! = n.(n-1).(n-2) … 1 untuk x = 0,1, … , n

o

Rataan

: E[X] = µx = np

o

Variansi

: var(X)= X2 = np(1-p)

edited 2011 by UM

Contoh 2 8

Suatu pabrik memproduksi suatu tipe dari chip komputer. Setelah periode yang panjang, p j g, ditemukan bahwa chip py yang g rusak sebesar 15 %. Berapa peluang bahwa dari suatu sampel sejumlah 20 chip, 19 chip tidak rusak?

edited 2011 by UM

Jawab 9

Misalkan X menyatakan peubah acak banyaknya chip yang rusak. Maka X~B(20, ( , 0.15) 5) Yang ingin dicari adalah P(X = 1) bukan P(X = 19). 20   19 P(X = 1) =    0.15 0 15  00.85 85   00.137 137 1 Cara perhitungan lainnya?? edited 2011 by UM

Percobaan Poisson 10

 Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.  Terdefinisi pada : (yang membedakan dari

percobaan Binomial)  Panjang selang waktu  Luas daerah/area Contoh : - Banyak mbil yang mengisi bensin di sebuah SPBU p pada jjam 10.00-11.00 - Banyak jenis batuan yang ditemukan dalam satuan daerah tertentu. edited 2011 by UM

Proses Poisson 11

Selang waktu atau daerahnya saling bebas.  Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang g waktu dan besarnya y daerah.  Peluang untuk selang yang pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan. 

edited 2011 by UM

Distribusi Poisson 12

 Peubah acak X berdistribusi Poisson

X~P(t)  F.m.p :

P( X  x) 

e

 t

 t  x!

x

, x  0,1, 2,...

e = tetapan Euler (2.71828…)

X = t o Variansi : var(X)= X2 = t o Rataan : E[X] =

edited 2011 by UM

Contoh 3 13

Di suatu area perkebunan ditemukan rata-rata 3 ekor tikus tiap p satu are. Analisis jjenis distribusi dari kasus di atas kemudian hitung variansi banyaknya tikus yang ditemukan tiap satu are dan peluang pada satu are tertentu, tertentu jika a. tepat 5 tikus ditemukan b kurang dari 3 tikus ditemukan b. c. paling sedikit 2 tikus ditemukan d antara d. t 1 sampaii 4 tikus tik dit ditemukan k

edited 2011 by UM

Jawab 14

Analisis kasus:: Distribusi Poisson

 3 =3

X : banyaknya y y tikus yyang g ditemukan setiap p satu are

X ~ P(3) X ~ P(3) edited 2011 by UM

=3

Var(X) = 3

15 ...

Ingat definisi:

e  x P( X  x)  x!

, x  0,1, 2,...

sehingga

3 5 e 3 a. P(X ( = 5) =  0.10081 5!

b. P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

e 3 30 e 3 31 e 3 32    0! 1! 2! = 0.0498 + 0.1494 + 0.224 = 0.4232 edited 2011 by UM

... 16

c P(X  2) = 1 – P(X < 2) c. = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]  e 3 30 e 3 31   1    1!   0!

= 1 – [0.0498 + 0.1494] = 1 – 0.1992 = 0.8008 d. P(1<X<4) = P(X = 2) + P(X = 3) e 3 33  0 .22 2 4  3!

= 0.224 + 0.224 = 0.448 8 edited 2011 by UM

Hubungan distribusi Bernoulli Binomial Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal 17

Misalkan p.a X Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p)

n >1 Distribusi Normal X ~ N(μ, σ2) μ = np, p, σ2 = np(1p( p) μ =  , σ2 = 

Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p)

n >>>, p <<<

n >>> DLP

edited 2011 by UM

n >>>

Distribusi Poisson X ~ POI (t)  = np = np(1- p)

Beberapa p distribusi diskrit lainnya y 18

 Distribusi Multinomial  Distribusi Hipergeometrik  Distribusi Di ib i Binomial Bi i l Negatif N if  Distribusi Geometri

edited 2011 by UM

Distribusi Multinomial 19

 Bila il suatu usaha h tertentu dapat d menghasilkan h ilk k macam hasil h il

E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan banyak terjadinya E1, E2, …, Ek dalam n usaha bebas ialah,

n   x1 x2 xk  P ( X 1  x1 , X 2  x2 ,..., X k  xk )   p p p  1 2 k x , x ,..., x k   1 2 dengan, k

x i 1

i

n

edited 2011 by UM

k

dan

p i 1

i

1

Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

Contoh 4 20

 Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu

kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung gp peluang g dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta. kereta  Jawab: Misalkan Xi : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.  9  3 3 1 2 P( X 1  3, X 2  3, X 3  1, X 4  2)   0.4 0.2 0.3 0.1          3,3,1, 2   9!   0.064  0.08 0.3 0.01  2520 1.536 105  0, 038702 3!3!1!2! edited 2011 by UM

Distribusi Hipergeometrik p g 21

 X ~ h(N, h( n, k)  X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang

diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal.

 k  N  k      x n x , P ( X  x)  h( x; N , n, k )     N   n 

Rataan :

nk  N edited 2011 by UM



x  0,1, 2,..., n

Variansi i i:

N n k  k    n 1   N 1 N  N  2

Contoh 5 22

 Dari D i 50 gedung d di sebuah b hk kawasan iindustri, d t i 12 gedung d

mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!  Jawab : Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode pelanggaran. X ~ h(50, 10, 12) 12  38     3  7   220 12620256     0.2703 P ( X  3)  h(3;50,10,12)  10272278170  50     10  edited 2011 by UM

Kaitannya y dengan g distribusi Binomial 23

 Percobaan binomial maupun hipergeometrik samasama

sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.  Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan pe cobaa dilakukan d a u a dengan de ga pengembalian pe ge ba a sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian.  Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik d dapat dih dihampiri i i oleh l h di distribusi ib i Bi Binomial, i l d dengan peluang sukses k/N . edited 2011 by UM

Distribusi Geometrik 24

 X ~ g(p) atau X ~ Geom(p)  X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama

dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang gagal g ((1-p). p) sukses p dan g

P ( X  x)  g ( x; p )  p (1  p ) x 1 , 

Rataan : 

edited 2011 by UM

1 p



Variansi : 2 

1 p p2

x  1, 2,...

Contoh 6 25

 Dalam D l suatu t ttes h hasil il pengelasan l llogam, meliputi li ti proses

pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!  Jawab : X ~ Geom(0.2) G (0 2)

P ( X  3))  g (3;0.2) ( ; )  0.2(0.8) ( ) 2  0.128 edited 2011 by UM

Distribusi Binomial Negatif g 26

 X~b b*(k (k, p)  X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari

usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

 x  1 k xk P ( X  x)  b *( x; k , p)   p (1  p ) ,   k  1

x  k , k  1, k  2...

 Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah

acak-peubah p acak Geometrik. X = Y1 + Y2 + ... + Yk dimana Y1, Y2, ..., Yk adalah peubah acak saling bebas, masingmasing berdistribusi Geom(p). 

Rataan :

edited 2011 by UM

k  p

k (1  p )  Variansi :   p2 2

Contoh 7 27

 Perhatikan P h tik Contoh C t h6 6.  Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan

sehingga hi di ditemukan k 3 patahan h pertama. Hitung i peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan t h pertama! t !  Jawab : 7 P( X  8)  b *(8;3, 0.2)    (0.2)3 (0.8)5  0.05505  2

edited 2011 by UM

Referensi 28

 Navidi, N idi Willi William., 2008, 2008 Statistics St ti ti ffor Engineers E i andd

Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill.  Walpole, W l l Ronald R ld E. E dan d Myers, M Raymond R d H., H Ilmu Il Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Il Ilmuwan, Edi i 44, Bandung: Edisi B d P Penerbit bit ITB ITB, 1995. 1995  Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist andd Engineering, E i i 8 h Ed., 8th Ed New N JJersey: P Prentice H Hall. ll  Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

edited 2011 by UM