4.1.1 Distribusi Binomial • Perhatikan sebuah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut : • Hanya menghasilkan (diperhatikan) dua peristiwa atau kategori, misal S (sukses) dan G (gagal) • Dilakukan sebanyak n (tertentu) kali • Tiap percobaan saling bebas, artinya, hasil yang muncul pada sebuah percobaan tidak dipengaruhi hasil percobaan berikutnya • Peluang terjadinya salah satu peristiwa (misal S ) diketahui sebesar yang bernilai tetap untuk setiap percobaan ( 0 < < 1 ).
1
Misal X adalah sebuah variabel yang menyatakan frekuensi terjadi S dalam n, maka nilai-nilai X yang mungkin adalah x = 0,1,2, ..., n dan X merupakan variabel diskrit berdistribusi binomial dengan
fungsi peluang :
P(X = x) = p(x) =
n! x (1 )n x x ! ( n x)!
; untuk x = 0,1,…,n n
p ( x) = 1
dan = 0
x 0
; untuk x lainnya
Dengan rata-rata µ = n dan varians ,
2
= n ( 1- )
2
Untuk keperluan perhitungan, telah tersedia Tabel Fungsi Distribusi Binomial (Tabel 1 pada lampiran) . tabel ini terdiri dari kolom-kolom : n ,x , dan p = , Angka yang tercantum di dalam badan tabel menyatakan F(x) = P (X ≤ x) . Sebagai contoh , untuk n = 10, p = 0,50 pada baris x = 2 terdapat angka 0,0547. Maka, kita peroleh F(2) = P (X ≤ 2) = p(0) + p (1) + p(2) = 0,0547. 3
Contoh 4-4 : 1. Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat.
4
Tiga anggota mahasiswa dicalonkan menjadi ketua himpunan. Peluang Niza terpilih 0,3, peluang Aceng terpilih 0,5, sedangkan peluang Dadang 0,2. Kalau Niza terpilih maka peluang kenaikan iuran himpunan adalah 0,8. Bila Aceng atau Dadang yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. Berapakah peluang iuran akan naik.
5
4.1.2 Ditribusi Multinomial • Perhatikan Sebuah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut : • Dilakukan sebanyak n kali dan antar percobaan saling bebas, artinya, hasil yang muncul pada sebuah percobaan tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan sebelumnya dan tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan sesudahnya • Menghasilkan k buah peristiwa atau kategori misal E1 , E2 , ... , Ek. • Peluang terjadinya tiap peristiwa diketahui sebesar 1, 2, ..., n • Misal X menyatakan terjadinya peristiwa E1 , E2 , ... , Ek. Masingmasing sebanyak x1 , x2 , ... , xk , maka X adalah variabel diskrit berdistribusi multinomial dengan fungsi peluang
6
(4.6)... P (X = x1 ) = p (x1 , x2 , ... , xk ) =
x
i
= n ; Σ i = 1 ; 0 < i < 1
n! ( 1 ) x1 ( 2 ) x 2 ... ( k ) x k x1 ! x2 ! ... xk
; i = 1,2 , ..., k
xi = 0, 1 , .., n i
7
Contoh 4-5 : Diketahui peluang sejenis lampu proyektor akan hidup: Kurang dari 40 jam = 0,30 : Kategori 1 Antara 40 sampai dengan 80 jam = 0,50 : Karegori 2 Lebih dari 80 jam = 0,20 : Kategori 3 Dari 8 lampu jenis ini, berapa peluang terdapat : 2 dari kategori 1, 5 dari kategori 2, dan 1 dari kategori 3 ?.
8
4.1.3 Distribusi Hipergeometrik Perhatikan sebuah percobaan dengan ciri : ” Dalam Sebuah populasi berukuran N, terdapat D termasuk kategori A. Dari populasi ini diambil sampel berukuran n”.
Misal X adalah variabel yang menyatakan banyaknya kategori A dalam n, maka X adalah variabel diskrit berdidtribusi hipergeometrik dengan fungsi peluang :
9
(4.8) ... P (X = x ) = p (x) =
Dengan rata-rata , µ =
2
=
nD N
D!( N D)! n!( N n)! x!( D x)!(n x)!( N D n x)!N!
, dan varians,
nD( N D)( N n) ( N 1) N 2
10
Contoh 4-6 : Dari 20 barang diketahui bahwa 5 diantaranya cacat, jika 10 barang diperiksa, berapa peluang terdapat 2 barang cacat ?. Penyelesaian : Diketahui N = 20 , D =5 , dan n = 10 Misal X : jumlah barang cacat yang terdapat dalam n, maka 5!(20 5)!10!(20 10)! P(x) = x !(5 x)!(10 x)!(20 5 10 x)!20!
Ditanya , P(X=2) P(X=2) = p(2)=
5!(20 5)!10!(20 10)! 2!(5 2)!(10 2)!(20 5 10 2)!20!
=
225 646 11
4.1.4 Distribusi Geometrik Perhatikan sebuah percobaan dengan cicri-ciri seperti pada distribusi Binomial. Jika X adalah variabel yang menyatakan terjadi S pertama kalinya percobaan yang ke x, maka X merupakan variabel diskrit berdistribusi geometrik dengan fungsi peluang : (4.9)... P (X = x ) = p (x) = (1 - )x-1 untuk x = 1,2,… = 0 untuk x lainnya Dengan rata-rata μ = 1
12
Contoh 4-7 : Diketahui bahwa sebuah mesin potensial menghasilkan produk cacat dengan peluang sebesar 0,05. Berapa peluang seorang pemeriksa akan menemukan produk cacat pertama kalinya pada pemeriksaan ke-3 ?.
13
4.1.5 Distribusi Poisson • Distribusi Poisson adalah distribusi diskrit untuk peristiwa dengan cirri-ciri : • Dalam lingkup besar (n→ ∞), frekuensi terjadinya diharapkan sangat jarang (π → o) • dengan rata-rata sebesar λ . • Frekuensi terjadinya diamati dalam interval waktu tertentu dengan peluang terjadinya dalam selang Δt → 0 sebesar α , Δt = λ, peluang terjadi peristiwa satu kali atau lebih selama Δt dapat diabaikan, dan kejadian antar selang waktu saling bebas.
Misal , X adalah variabel yang memenuhi kriteria di atas, maka nilai-nilai X yang mungkin adalah x = 0,1,2 , ... , ∞ dan merupakan variabel diskrit berdistribusi Poisson dengan fungsi peluang :
14
x e (4.10 ) ... P (X = x ) = p (x) =
untuk x = 0, 1 , 2 , …
x!
dan = 0 untuk x lainnya Dengan rata-rata dan simpangan baku yang sama yaitu λ
15
Misal, X adalah variabel diskrit berdistribusi binomial dengan n→ ∞ dan π → o sehingga λ = n π ≤ 5 dan berharga tetap, maka distribusi binomial ini akan mendekati distribusi Poisson. Distribusi ini merupakan distribusi pendekatan dari distribusi binomial ke distribusi Poisson.
16
• Contoh variabel berdistribusi Poisson antara lain adalah : produk cacat yang diharapkan dari satu lot produksi, jumlah konsumen yang masuk ke sebuah fasilitas pelayanan per satuan waktu. • Untuk keperluan penghitungan, telah tersedia Tabel Fungsi Distribusi Poisson (Tabel 2 pada Lampiran). Tabel ini terdiri dari kolom-kolom : λ dan x . Angka yang tercantum di dalam badan tabel menyatakan F (x) = P (X ≤ x). • Sebagai contoh : untuk λ = 2,0 pada x = 2 terdapat angka 0,677. • Maka, kita peroleh F (2) = P (X ≤ 2) = p (0) + p (1) + p (2) = 0,677.
17
Contoh 4-8 : Konsumen yang datang ke sebuah toko (orang / menit) merupakan variabel diskrit berdistribusi Poisson dengan rata-rata 1,5. Berapa peluang pada menit tertentu akan datang konsumen : ?
1. 2. 3. 4. 5.
Paling banyak 4 orang Lebih dari 1 orang Paling sedikit 1 orang Minimal 1 orang dan maksimal 4 orang Maksimal 2 orang atau minimal 4 orang.
18
19
