Definisi: Bernoulli Percobaan Bernoulli: Hanya terdapat satu kali percobaan dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1-p P( X = 1) = p1 (1 − p)1−1 = p 1 1
Peluang Sukse: Peluang Gagal:
1 P( X = 0) = p 0 (1 − p)1− 0 = 1 − p 0
Contoh Binomial
Perilaku Distribusi Bernoulli E(X) = p Var (X) = p(1-p)
Var (Y ) = E (Y 2 ) − E (Y ) 2 = [12 p + 0 2 (1 − p)] − [1 p + 0(1 − p )]2 = p − p2 = p (1 − p )
Contoh Binomial Penyelesaian:
Melempar koin sebanyak 5 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 3 kepala? Catatan: - Percobaan Diskrit - Mempunyai keluaran biner (ya dan tidak atau 1 dan 0) - mempunyai peluang yang sama tiap kali lemparan
Satu cara mendapat tepat 3 kepala: HHHTT Peluangnya adalah: P(heads)xP(heads) xP(heads)xP(tails)xP(tails) =(1/2)3 x (1/2)2 Cara lain mendapatkan tepat 3 kepala: THHHT Peluangnya = (1/2)1 x (1/2)3 x (1/2)1 = (1/2)3 x (1/2)2
1
Contoh Binomial
Contoh Binomial
Jadi, (1/2)3 x (1/2)2 merupakan peluang untuk mendapatkan tepat 3 kepala dan 2 ekor Sehingga, peluang untuk mendapat 3 kepala dan 2 ekor (sejauh yang kita dapat sekarang) adalah: 1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + …..
cara
5 untuk mengatur 3 3 kepala dalam 5 percobaan
Namun, terdapat lebih dari satu pengaturan 3 kepala dan 2 ekor. Ada berapa cara untuk mengaturnya? 5C 3
= 5!/3!2! = 10
Keluaran Peluang THHHT (1/2)3 x (1/2)2 HHHTT (1/2)3 x (1/2)2 TTHHH (1/2)3 x (1/2)2 HTTHH (1/2)3 x (1/2)2 HHTTH (1/2)3 x (1/2)2 HTHHT (1/2)3 x (1/2)2 THTHH (1/2)3 x (1/2)2 HTHTH (1/2)3 x (1/2)2 HHTHT (1/2)3 x (1/2)2 THHTH (1/2)3 x (1/2)2 HTHHT (1/2)3 x (1/2)2 10 pengaturan x (1/2)3 x (1/2)2
Peluang dari tiap pengaturan yang unik Cat: peluangnya sama
Binomial distribution function: 5
∴P(3 kepala dan 2 ekor) = 3 x P(heads)3 x P(tails)2 =
10 x
X= banyaknya keluar kepala dari 5 kali percobaan p(x)
(½)5=31.25%
Atau lihat tabel Binomial 0
1
2
3
4
5
x
banyaknya kepala
2
Distribusi Peluang Binomial • Banyak yang tepat dari sejumlah observasi (percobaan), n – Contoh: koin dilempar 15 kali, 20 pasien, 1000 orang yang ikut survei • Peubah Acak Biner – Contoh: kepala atau ekor, rusak atau baik, laki atau perempuan – Secara umum disebut “sukses” atau “gagal” – Peluang sukses adalah p, peluang gagal adalah 1 – p • Untuk setiap observasi percobaan adalah konstan – Contoh: pe;uang mendapatkan kepala adalah sama untuk tiap percobaan
Distribusi Binomial, secara umum Bentuk umum dari distribusi Binomial adalah:
n = banyak percobaan
n X n− X p (1 − p) X X = # banyak sukses dari n percobaan
1-p = peluang gagal
p = peluang sukses
Definisi: Binomial
Definisi: Binomial
• Binomial: Misal terdapat n percobaan yang saling bebas, dan tiap percobaan menghasilkan sebuah sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p. Jika total banyaknya sukses, X, merupakan peubah acak Binomial dengan parameter n dan p. • Penulisannya adalah: X ~ Bin (n, p) {dibaca: “X iberdistribusi binomial dengan parameter n dan p} • Dan peluang bahwa X=r (i.e., terdapat tepat r sukses) adalah: n P ( X = r ) = p r (1 − p ) n −r r
Jika X mengikuti distribusi binomial dengan parameter n dan p: X ~ Bin (n, p) Maka: µx= E(X) = np catatan: varians akan berada antara σx2 =Var (X) = np(1-p) 0*N - 0.25 *N σx =SD (X)= np (1 − p ) p(1-p) mencapai maks saat p=.5
P(1-p)=.25
3
Distribusi Geometric
Definisi: Binomial For X~Bin (N,p)
X=
n
∑Y
Bernouilli ;Var (Y )
= p (1 − p)
i =1
= Var ( X ) = Var (
n
∑ i =1
Y) =
n
∑Var (Y ) = np(1 − p) i =1
• Distribusi geometric biasanya diterjemahkan sebagai banyaknya percobaan sampai kejadian gagal terjadi. • Banyaknya koin dilempar sampai keluar ekor untuk pertama kalinya. • Peubah acak X adalah banyaknya lemparan samapi ekor muncul pertama kalinya • Peluang muncul kepala (sukses) adalah p. 14
Distribusi Geometric Fungsi peluang dari distribusi Geometric
PX (1) = (1 − p )
PX (2 ) = p (1 − p )
PX ( x ) = p x −1 (1 − p )
∞
∞
x =1
X
x −1
x =1
x −1
x =1
= (1 − p )∑ p x = (1 − p ) (x bil. Bulat positif)
∞
∑ P (x ) = ∑ p (1 − p ) = (1 − p )∑ p ∞
seterusnya.
PX ( x ) = ?
• Perhatikanbahwa tidak terdapat batas atas untuk X • Ingat penjumlahan semua peluang adalah 1:
PX (3) = p ( p )(1 − p ) = p 2 (1 − p ) Jadi,
Distribusi Geometric
x =0
Deret Geometric
1
(1 − p )
=1
16
4
Distribusi Geometric
Distribusi Geometric • lanjutan
∞
∑p
x
x=0
∞
=
1 1− p
Expectation:
(| p |< 1) Turunkan kedua sisi terhadap p:
∑ xp
x −1
= −1×
x=0
1 1 × −1 = (1 − p ) 2 (1 − p) 2
∞
∞
∞
x =1
x =1
x =1
∑ xPX (x ) = ∑ xp x−1 (1 − p ) = (1 − p )∑ xp x−1 = (1 − p )
1 1 = 2 (1 − p ) 1 − p
17
Contoh: Geometric
Distribusi Geometric
Sebuah dadu dilempar sampai mata 6 didapatkan. Jika X adalah banyaknya percobaan sampai sukses didapatkan, maka tabel peluangnya adalah
• Lanjutan
Variance:
X
V (X ) =
p (1 − p )2
P(X=x)
1 1 6
2
3
4
5
n
5 1 2 3 4 n−1 5 1 5 1 5 1 5 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
Gunakan tabel diatas untuk mendapatkan mean dan varians. Apa hasilnya?
5
Distribusi Negative Binomial (Pascal’s)
Distribusi Negative Binomial (Pascal’s)
Definisi (versi pertama):
Definisi (versi kedua):
Negatif Binomial digunakan untuk memberikan r sukses dalam x percobaan, dimana sukses terakhir merupakan akhir percobaan. Peluang sukses adalah p, sedangkan peluang gagal adl q.
Negatif Binomial digunakan untuk memberikan r gagal dalam x percobaan sebelum sukses yang ke-r. Peluang sukses adalah p, sedangkan peluang gagal adl q.
Apa yang dimaksud Negatif? Nama Negatif dimaksudkan sebagai aplikasi bentuk umum Teorema Binomial dengan Pangkat Negatif
Negatif Binomial Mean
Varians
6
Negatif Binomial (Contoh)
Hypergeometric
Sebuah dadu yang adil dilempar sampai mata 6 (enam) keluar 2 kali. Tentukan peluang bahwa 5 kali lemparan dibutuhkan untuk mendapatkan 2 kali angka 6.
Distribusi Hypergeometric terjadi ketika n sampel diambil tanpa pengembalian dari sebuah populasi (N). Banyaknya sukses pada populasi diberikan oleh r. Banyaknya sukses pada sampel diberikan oleh y.
Dimana max (0, n+r-N) ≤ k ≤ min (r,n)
Hypergeometric
Hypergeometric
Mean
E(Y) = np = nr/N Varians
Contoh: 10 kartu diambil dari satu paket kartu. Tentukan peluang terdapat tepat 1 ace dari 10 kartu. N = 10, r = 4, k = 1, N = 52, p = 1/13
7
