DISTRIBUSI TEORITIS
DISTRIBUSI TEORITIS • • • •
Variabel Acak Distribusi Teoritis Binomial Normal
Variabel acak adalah sebuah besaran yang merupakan hasil dari percobaan acak yang secara untung-untungan, dapat mempuyai nilai yang berbeda-beda. Variabel Random adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam suatu ruang sampel. Definisi : Misalkan E suatu experimen acak dan S ruang sampelnya. Suatu fungsi X (ditulis dengan huruf besar) yang memberikan pada setiap elemen s dari S suatu bilangan riil, disebut suatu variabel acak.
Conntoh 1 : Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak tiga kali berturut-turut. Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah : GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA Misalkan X adalah jumlah sisi gambar yang muncul. Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3 X = 0, berarti tidak ada sisi G yang muncul. X = 1, berarti sisi G muncul satu kali. X = 2, berarti sisi G muncul dua kali. X = 3, berarti sisi G muncul tiga kali. X disebut variabel acak (random)
Distribusi Probabilitas Teoritis Dari contoh 1 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :
X 0 1 2 3 Jumlah
P(X) 1/8 = 0,125 3/8 = 0,375 3/8 = 0,375 1/8 = 0,125 1,00
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2
P(X)
0.15 0.1 0.05 0 X=0 X=1 X=2 X=3
Conntoh 2 : Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak 4 kali berturut-turut. Hasilhasil yang mungkin terjadi adalah : Misalkan X adalah jumlah sisi gambar (G) yang muncul. Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3, 4 X=0
X=1
X=2
X=3
X=4
AAAA
GAAA
GGAA
GGGA
GGGG
AGAA
AGGA
GGAG
AAGA
AAGG
GAGG
AAAG
GAGA
AGGG
GAAG AGAG 1
4
6
4
1
Dari contoh 2 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :
0.4
X 0 1 2 3 4 Jumlah
P(X) 1/16 = 0,0625 4/16 = 0,2500 6/16 = 0,3750 4/16 = 0,2500 1/16 = 0,0625 1,00
0.35 0.3 0.25 0.2
P(X)
0.15 0.1 0.05 0 X=0
X=2
X=4
Distribusi Binomial Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepalaekor dll. Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb : 1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, suksesgagal. 2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan. 3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya. 4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.
Rumus Distribusi Binomial a). Rumus binomial suatu peristiwa Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan :
P( X = x) = C xn . p x .q n − x Dimana :
n! C = x!(n − x)! n x
dan
q=1–p
b). Probabilitas binomial kumulatif Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses. Probabilitas binomial menggunakan rumus :
kumulatif
dapat
dihitung
dengan
n
PBK = ∑ C xn . p x .q n − x x =0
n
= ∑ P( X = x) x =0
= P(X =0) +P(X =1) +P(X = 2) +....+P(X = n)
Contoh : Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut : a). Mata dadu 5 muncul 1 kali b). Mata dadu genap muncul 2 kali c). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali. Penyelesaian : a). Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah 1/6, sehigga : p=1/6; q=5/6; n=4; x=1 (muncul 1 kali ) P(X=1) = C14.p1.q3 = 4(1/6)1(5/6)3 = 0,386
b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga : p = 3/6 = 1/2; q = 1/2; n = 4; x = 2 P(X=2) = C24.p2.q2 = 6(1/2)2(1/2)2 = 0,375 c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga : p = 2/6; q = 2/3; n = 4; x = 4 P(X=4) = C44.p4.q0 = 1(2/6)4(2/3)0 = 0,0123 Contoh 2 : Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas : a). Paling banyak 2 orang lulus. b). Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang. c). Paling sedikit 4 diantaranya lulus.
Penyelesaian : a). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 0, 1 dan 2 P(X ≤ 2)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1(0,7)0(0,3)5 + 5(0,7)1(0,3)4 + 10(0,7)2(0,3)3 = 0,16 b). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 2 dan 3 P(X=2 & 3)= P(X=2) + P(X=3) = 10(0,7)2(0,3)3 + 10(0,7)3(0,3)2 = 0,44 c). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 4 dan 5 P(X ≥ 4)= P(X=4) + P(X=5) = 5(0,7)4(0,3)1 + 1(0,7)5(0,3)0 = 0,53
Distribusi Normal Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variabel random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss. Distribusi Normal memiliki bentuk fungsi sebagai berikut :
1 f ( x) = e σ 2π
1 ( x− µ )2 − 2 σ
Keterangan : X = nilai data
µ = rata-rata x
π = 3,14
e = 2,71828
σ = Simpangan baku
Karakteristik Distribusi Normal Distribusi probabilitas normal dan kurva normal yang menyertainya memiliki beberapa karakteristik sebagai berikut : 1. Kurva normal berbentuk lonceng 2. Simetris 3. Asimtotis
DISTRIBUSI NORMAL KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL
µ
1. 2. 3. 4. 5.
Kurva berbentuk genta (µ= Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva normal berbentuk asimptotis Kurva mencapai puncak pada saat X= µ Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 m M e s o ku r tic
Pla ty ku r tic
L e p to ku r tic
Distribusi kurva normal dengan µ sama dan σ berbeda
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL
Mangga “C”
Mangga “A”
45 0
30 0
15 0
Mangga “B”
Distribusi kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL
85
850
Distribusi kurva normal dengan µ dan σ berbeda
Grafik kurva normal :
0,5
0,5
µ
P(x≤µ) = 0,5 P(x≥µ) = 0,5 Luas kurva normal :
Luas kurva normal antara x=a & x=b = probabilitas x terletak antara a dan b
a
µ
b
x
Distribusi Probabilitas Normal Baku (Standar) Distribusi normal baku memiliki rata-rata hitung 0 dan nilai standar deviasi 1. Nilai Z adalah jarak dari rata-rata hitung yang dihitung dalam satuan standar deviasi.
Dalam bentuk rumus :
Z=
X −µ
σ
Dengan : X adalah nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran tertentu. µ Adalah rata-rata hitung dari distribusi. σ Adalah standar deviasi dari distribusi.
TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z
Transformasi dari X ke Z
x
z
Di mana nilai Z: Z=X-µ
σ
Contoh : 1. Diketahui data berdistribusi normal dengan mean µ = 55 dan deviasi standar = 15 a) P(55≤x≤75) = = = P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (Tabel III) Atau
Tabel III A = 0,4082
b) P(60≤x≤80) = = P(0,33≤Z≤1,67) = P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33) = 0,4525 – 0,1293 = 0,3232
Z1 =
= 0,33 B = 0,1293
Z2 = = 1,67 A = 0,4525 C = A – B = 0,3232
c) P(40≤x≤60)= A + B = = P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = -1,00 A = 0,3412 Z2 = = 0,33 B = 0,1293
d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A = 0,5 – 0,3412 = 0,1588
e.
P(x ≥ 85)
f.
P(x ≤ 85) = 0,5 + A = 0,5 + 0,4772 = 0,9772
2)
Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian bersidtribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ? Jawab:
Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E, berapa batas atas nilai E ?
P( P(
≤ x ≤ 0) = 0,45 ≤ Z ≤ 0) = = -1,645 (x<µ)
= .σ σ+µ = (-1,645).7 + 74 = 62,485
PENDEKATAN NORMAL UNTUK BINOMIAL Distribusi Binomial :
Exp : Pendekatan normal untuk binomial dengan n = 15, p = 0,4
Menurut Teorema Limit Pusat : Jika x suatu variable random binomial dengan mean & variansi . Jika n cukup besar (n>30) dan p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka :
Contoh : 1) Suatu pabrik/ perusahaan pembuat CD menghasilkan 10% CD yang cacat/ rusak. Jika 100 CD dipilih secara random, berapa probabilitas terdapat : a) 8 CD yang rusak b) Paling sedikit 12 CD yang rusak c) Paling banyak 5 CD yang rusak Jawab : x = banyak CD yang rusak x ∼ Bin(100; 0,1) n = 100, p = 0,1 µ = n.p = 100.(0,1) = 10 = n.p.(1-p)=100.(0,1).(0,9)=9 σ = =3
a)
P(x=8) = Luas kurva normal antara x1 = 7,5 dan x2 = 8,5
Z1 =
= -0,83 A = 0,2967
Z2 = = -0,50 B = 0,1915 P(x=8) = A – B = 0,2967 – 0,1915 = 0,1052
b) P(x≥12) = Luas kurva normal dari x = 11,5 ke kanan
A = 0,1915 P(x≥12) = 0,5 – 0,1915 = 0,3085
c) P(x ≤ 5)=Luas kurva normal dari x = 5,5 ke kiri
= -1,50 A = 0,4332 P(x≤5) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668
2)
Dalam ujian pilihan ganda, tersedia 200 pertanyaan dengan 4 alternatif jawaban dan hanya 1 jawaban yang benar. Jika seseorang memilih jawaban secara random, berapa peluang dia lulus ujian (syarat lulus : benar paling sedikit 60) Jawab : x = banyak jawaban yang benar P = 0,25 = ¼ 1 – p = 0,75 x ∼ Bin(200; 0,25) µ = n.p = 50 = n.p(1-p) = 200(0,25).(0,75) = 37,5 σ = 6,13 P(x≥60) = Luas kurva normal dari x = 59,5 ke kanan
Z1 = = 1,55 A = 0,4394 P(x≥60) = 0,5 – 0,4394 = 0,0606 = 6,06 %
