DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
TESIS
Oleh RINA WIDYASARI 107021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Oleh RINA WIDYASARI 107021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: : : :
DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF Rina Widyasari 107021009 Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 17 Desember 2012
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 17 Desember 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua
: Dr. Sutarman, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Prof. Dr. Opim Salim S., M.Sc 3. Dr. Yulita Molliq, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 17 Desember 2012 Penulis,
Rina Widyasari
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Salah satu cara untuk memperoleh suatu distribusi peubah acak adalah dengan mendefinisikan distribusi peubah acak dengan kejadian acak yang membentuk rantai Markov. Penelitian tesis ini melakukan pengulasan kejadian-kejadian ber-distribusi binomial negatif dan membentuk suatu rantai Markov. Andaikan Xn adalah barisan percobaan {0,1} yaitu percobaan kombinasi sukses atau gagal, dan Sn menghitung jumlah sukses, maka kejadian pada percobaan ke-n selanjutnya didefinisikan sebagai percobaan yang membentuk rantai Markov berdistribusi binomial. Jika suatu peubah acak Nb(s) menyatakan nilai ketetapan muncul sukses ke-s pada percobaan ke-n dan merupakan penjumlahan kejadian berdistribusi geometri maka apabila sukses muncul perhitungan rantai Markov akan berulang kembali. Namun, karena barisan membentuk rantai Markov, tetap mempertimbangkan state awal, state ke-n − 1, dan state ke-n apakah muncul 0 atau 1. Tujuan penelitian ini adalah memodelkan fungsi massa peluang (fmp), fungsi ekspektasi dan fungsi varians peubah acak Nb(s) berdistribusi Markov-binomial negatif. Selain itu, peneliti juga memodelkan diagram kontrol dalam quality control sebagai salah satu terapan distribusi Markov-binomial negatif. Kata kunci: Distribusi binomial negatif, Rantai Markov, Distribusi Markov-binomial, Distribusi Markov-binomial negatif
ii Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT The way to find a new distribution of random variables is defining the distribution which associated with Markov chain. In this research, researcher defines all the random variables identically independent distributed negative binomial distribution and form a Markov chain. Suppose that Xn is a sequence of Bernoulli trials that if 1 occurs means ”success” and 0 occurs means ”failure”. Nb(s) defined as random variables sth success in n trials. Each trial form a Markov chain, in note that if we consider that Nb(k) are total geometrically even, then if success occurs, then Markov chain must be counted from the beginner. But, if we look Xn as a sequence in {0, 1} combination, then we must look beginner state condition 0 or 1, also consider (n−1)th and nth state in 0 or 1. Therefore, researcher try to model pmf and varians of a random variables iid negative binomial associated with Markov chain then called it by Negative Binomial Distribution for Markov Process with two conditions and mode a control diagram as its application in quality control. Keywords: Negative binomial distribution, Markov chain, Markov-binomial distribution.
iii Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayah yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembimbing I, dan banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara. Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembanding-I yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Ibu Dr. Yulita Molliq, M.Sc, Pembanding-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
iv Universitas Sumatera Utara
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2010 genap (Aghni, Dhia, Lena, Novi, Kak Vivi, Amin, Agusmanto, Bang Zul, Bang Hindra dan Bang Ronal) yang telah memberikan bantuan moril dan motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Sulastri dan ayahanda Junaidi serta adikadik, Irmayati, A.Md, Rizky Ayu Lestari, Fajar Fathurrahman dan Nabila Azzuhra juga Mas Sentot Budi Santoso, SP yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendoakan dan memberikan semangat kepada penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan,
Desember 2012
Penulis, Rina Widyasari
v Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Rina Widyasari dilahirkan di Medan pada tanggal 18 Juli 1988 dari pasangan Bapak Junaidi & Ibu Sulastri. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar Negeri 060927 Medan tahun 2000, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 2 Medan tahun 2003, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 2 Medan tahun 2006. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Sumatera Utara fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu (S-1) dan lulus tahun 2010. Pada tahun 2011, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Sejak April 2011, penulis dipercaya sebagai asisten dosen di Universitas Sumatera Utara jurusan matematika program studi D3 Statistika sampai sekarang. Kemudian pada Desember 2011 - Juli 2012, penulis dipercayakan sebagai asisten dosen Dr. Sutarman, M.Sc mata kuliah Biostatistika Magister Kesehatan Masyarakat STIKes Helvetia. Kemudian, Februari 2012, penulis menjadi dosen tamu di Akademi Analis Kesehatan Yayasan Dr. Rusdi Medan sampai sekarang.
vi Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
6
BAB 3 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN RANTAI MARKOV
8
3.1 Distribusi Bernoulli
8
3.2 Distribusi Binomial
8
3.3 Distribusi Geometri
9
3.4 Distribusi Binomial Negatif
10
3.5 Rantai Markov
11
3.5.1 Proses Markov
11
3.5.2 Matriks peluang transisi suatu rantai Markov
14
3.6 Rantai Markov Khusus
15 vii Universitas Sumatera Utara
3.6.1 Rantai Markov dua state
15
3.6.2 Rantai Markov berkaitan dengan peubah acak yang terdistribusi identik dan independen
20
3.6.3 Rantai Markov pada percobaan muncul ”sukses”
21
3.7 Distribusi Geometri yang Berkaitan dengan Rantai Markov
22
3.7.1 Definisi
23
BAB 4 DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
24
4.1 Distribusi Markov-Binomial
24
4.2 Distribusi Markov-Binomial Negatif
27
4.2.1 Fungsi pembangkit momen distribusi Markov-binomial negatif 31 4.2.2 Model distribusi Markov-binomial negatif dalam quality control BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
33 35
5.1 Kesimpulan
35
5.2 Saran
36
DAFTAR PUSTAKA
37
viii Universitas Sumatera Utara
