PERLUASAN DISTRIBUSI CHEN (DISTRIBUSI XTG)

PERLUASAN DISTRIBUSI CHEN (DISTRIBUSI XTG) Ana Zuliastuti1, Sarini2 1

2

Mahasiswa Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424 Staff Pengajar Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424 1

[email protected], [email protected]

Abstrak Pada penelitian ini akan dibahas mengenai perluasan dari distribusi Chen (distribusi XTG). Distribusi XTG merupakan perluasan dari distribusi Chen dengan penambahan scale parameter. Distribusi XTG merupakan salah satu distribusi probabilitas yang memiliki fungsi hazard berbentuk bathtub. Distribusi XTG diperoleh dengan melakukan transformasi variabel random dengan perkalian skalar, yaitu ! = !" untuk ! > 0 dan !~Chen(!, !) dimana ! = !!. Beberapa karakteristik penting dari distribusi XTG adalah pdf, fungsi distribusi, fungsi survival, fungsi hazard, momen, mean dan variansi. Selain itu juga dibahas mengenai estimasi parameter dengan Weibull Probability Paper (WPP) plot dan maximum likelihood estimator. Selanjutnya dibahas bentuk khusus dari distribusi XTG yaitu distribusi Chen, distribusi Exponential Power, dan distribusi Weibull. Dijelaskan juga contoh penerapan pada data mengenai waktu tunggu terjadinya kerusakan pada lampu.

EXTENDED CHEN DISTRIBUTION (XTG DISTRIBUTION) Abstract XTG distribution is a distribution obtained by extending the Chen distribution, which is one of the bathtub hazard-shaped distribution. It is extended from the Chen distribution by adding the scale parameter. In doing this, a scalar multiplication ransformation is applied to the random variable, i.e. ! = !" for ! > 0 and !~Chen(!, !) where! = !!. The caracteristics explained are pdf, distribution function, survival function, hazard rate, moment, mean and variance. Moreover, parameter estimation using Weibull Probability Paper (WPP) plot and maximum likelihood estimator are also presented. Subcases of the XTG distribution are the Chen distribution, Exponential Power distribution, and Weibull distribution. Finally, two data about failure times for lightbulb and electronic devices are used as illustration. Keywords: XTG distribution; bathtub; Chen distribution; scale parameter; random variable transformation; pdf; distribution function; hazard rate; survival function; moment; mean; variance; parameter estimation; Weibull Probability Paper plot; maximum likelihood estimator; Exponential Power distribution; Weibull distribution.

1. PENDAHULUAN Pada umumnya, suatu distribusi bisa dicirikan oleh bentuk probability density function (pdf). Selain pdf, pada analisis survival, fungsi hazard juga bisa memberikan informasi berharga tentang suatu distribusi. Bentuk fungsi hazard dari suatu distribusi juga bisa memberikan karakteristik tertentu yang dapat mencirikan distribusi tersebut (Hans & Jane, 2007).

Perluasan Distribusi ..., Ana Zuliastuti, FMIPA, 2013

Fungsi hazard dapat naik, turun, konstan, bathtub, atau unimodal. Bentuk fungsi hazard dapat menjelaskan suatu kejadian atau peristiwa yang terjadi. Contohnya event yang diamati adalah kerusakan, fungsi hazard naik terjadi ketika semakin lama usia pakai maka resiko untuk rusak semakin besar. Ini merupakan proses alami yang biasa terjadi. Fungsi hazard turun jarang terjadi, tetapi kadang dapat ditemukan pada pengamatan kerusakan suatu perangkat. Pada saat awal produksi, resiko untuk rusak sangat tinggi karena kesalahan desain akan tetapi seiring bertambahnya waktu, kesalahan tersebut dapat diatasi sehingga resikonya menurun. Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai fungsi hazard bathtub. Yang dimaksud dengan hazard berbentuk bathtub adalah pada awal pengamatan nilai hazard tinggi, kemudian menurun, lalu hazard konstan, kemudian hazard meningkat. Sebagai contoh adalah event kerusakan pada produksi suatu perangkat. Pada saat awal produksi, resiko rusak sangat tinggi karena kesalahan desain, kemudian menurun, lalu konstan, kemudian resiko untuk rusak meningkat karena produk sudah usang. Contohnya adalah produksi televisi, kalkulator, dan microprocessor. Fungsi hazard bathtub berguna dalam analisis survival terkait dalam pengambilan keputusan dan analisis biaya. Penentuan titik waktu dimana suatu proses mulai stabil, atau dimana hazard mulai meningkat menjadi hal yang penting dalam aplikasi praktis. Contohnya ketika titik waktu dimana hazard mulai meningkat diketahui, proses pencegahan dapat dilakukan agar hazard meningkat tidak terjadi atau dijadikan sebagai peringatan agar lebih berhati-hati pada waktu tersebut. Oleh karena itu, akan dicari suatu distribusi dengan fungsi hazard berbentuk bathtub. Distribusi Beta merupakan distribusi yang sudah umum dikenal. Distribusi ini memiliki fungsi hazard bathtub. Namun, karena domain terbatas yaitu antara 0 dan 1, maka tidak bisa digunakan untuk data yang nilainya besar (Ghitany, 2004). Untuk itu perlu digunakan distribusi yang domainnya lebih flexible, yakni dapat mencakup nilai–nilai yang besar. Salah satunya adalah distribusi Weibull. Distribusi Weibull sering digunakan untuk pemodelan data, karena bersifat flexible yaitu fungsi hazard distribusi Weibull dapat naik, konstan atau turun. Akan tetapi, distribusi Weibull tidak dapat memodelkan data dengan fungsi hazard bathtub. Dari beberapa literatur dinyatakan bahwa, distribusi dengan fungsi hazard bathtub merupakan generalisasi dari distribusi Weibull diantaranya adalah Exponentiated Weibull (Mudholkar & Srivastava,1993) dan Additive Weibull (Xie & Lai,1996). Oleh karena itu, perlu dipertimbangkan generalisasi dari distribusi Weibull supaya diperoleh fungsi hazard


bathtub. Dalam generalisasi ini, perlu dipertimbangkan jumlah parameter yang terlibat jangan terlalu banyak untuk efisiensi dalam penaksiran parameter. Distribusi Chen dengan 2 parameter memiliki bentuk hazard bathtub. Selain itu, interval kepercayaan untuk shape parameter dan daerah kepercayaan bersama untuk dua parameter dapat dinyatakan dalam suatu perumusan secara analitik (Chen, 2000). Atas dasar itulah, distribusi ini menarik untuk dikembangkan. Agar lebih flexible, penambahan scale parameter perlu dilakukan karena lebih cocok untuk aplikasi praktis. Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai distribusi XTG yang bentuk fungsi hazard-nya bathtub. Distribusi XTG merupakan perluasan dari distribusi Chen dengan menambahkan scale parameter. Selanjutnya akan dibahas juga mengenai karakteristik dari distribusi XTG yaitu mengenai pdf, cdf, fungsi survival, fungsi hazard, kuantil, momen, mean dan variansi, serta estimasi parameter. Di akhir pembahasan akan diberikan contoh data yang dicocokan dengan distribusi XTG. 2. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari buku-buku dan karya-karya ilmiah lain yang berhubungan dengan penelitian ini. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penyusunan penelitian ini adalah mengkonstruksi distribusi XTG kemudian dilihat karakteristik-karakteristik penting dari distribusi ini. 3. KONSTRUKSI DISTRIBUSI XTG DAN KARAKTERISTIKNYA Distribusi XTG adalah perluasan dari distribusi Chen dengan penambahan scale parameter. Distribusi Chen Distribusi Chen adalah distribusi dari variabel random kontinu ! yang didefinisikan oleh cdf sebagai berikut: ! ! = 1 − exp ! 1 − !

! !

, ! ≥ 0, ! > 0, ! > 0 1 .

Pada distribusi Chen ini tidak memuat scale parameter. Selain itu, nilai parameter ! yang berbeda-beda untuk suatu nilai parameter ! akan dihasilkan titik waktu yang tetap yaitu ! = 1 !−1 ∗

!

!

dimana memiliki nilai hazard minimum. Dengan alasan inilah,

penambahan scale parameter perlu dilakukan pada distribusi Chen agar lebih cocok untuk aplikasi praktis.


Distribusi XTG diperoleh dengan melakukan transformasi variabel random dengan perkalian skalar. Berikut diberikan bagaimana konstruksi dari distribusi XTG. a. Konstruksi Distribusi XTG Tahapan dalam mengkonstruksi distribusi XTG adalah: 1. Variabel random kontinu ! berdistribusi Chen dengan shape parameter ! dan ! dan memiliki cdf sebagai berikut: ! ! = 1 − exp ! 1 − ! !

!

, ! ≥ 0, ! > 0, ! > 0.

2. Lakukan transformasi variabel random, yaitu ! = !" untuk ! > 0. Sehingga diperoleh cdf untuk variabel random ! sebagai berikut: ! ! = 1 − exp ! 1 − !

! ! !

,

dimana ! ≥ 0, ! > 0, ! > 0, ! > 0. 3. Akan dibuktikan bahwa cdf yang diperoleh pada langkah 2 merupakan cdf untuk variabel random ! yang berdistribusi XTG dengan parameter !, !, dan !. Bukti: ! = !", untuk ! > 0. Sehingga diperoleh cdf untuk variabel random !: ! ! = 1 − exp ! 1 − !

! ! !"

,

terlihat bahwa parameter pada variabel random ! sama seperti pada variabel random ! kecuali nilai parameter !, pada variabel random ! menjadi !". Jadi, parameter ! tersebut memang merupakan scale parameter.(Q.E.D) Dari ketiga tahapan di atas v.r T yang berdistribusi XTG didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1 Variabel random ! berdistribusi XTG dengan parameter !, !, dan ! memiliki cdf sebagai berikut: ! ! = 1 − exp ! 1 − !

! ! !

, ! ≥ 0, ! > 0, ! > 0, ! > 0 (2),

dimana ! dan ! adalah shape parameter, sedangkan ! adalah scale parameter. b. Karakteristik-karakteristik Distribusi XTG 1. Pdf


Pdf dari v.r T didapatkan dengan menurunkan fungsi distribusinya terhadap ! pada persamaan (2). ! ! =

! !" ! ! ! = ! !" !

!!!

exp ! !

!

+! 1−!

!

!

!

.

Untuk menyederhanakan bentuk fungsionalnya, maka dilakukan reparameterisasi yaitu ! = !!. Untuk selanjutnya, distribusi XTG dinotasikan sebagai !~!"#(!, !, !). Jadi, pdf untuk !~!"#(!, !, !) adalah: !!!

! ! = !" ! !

exp ! !

!

+ !" 1 − !

!

!

!

(3).

Karakteristik dari pdf Untuk mengetahui bentuk grafis dari pdf, akan dicari turunan pertama dari pdf ! ! , sebut !! ! : !! ! =

! !" ! ! !!! ! ! = ! ! ! ! (4), !" !

! ! dimana ! = ! ! , ! ! = !! + !" 1 − ! ! , dan ! ! = ! − 1 + !!! 1 − !"! ! .

Perhatikan bahwa ! > 0, ! > 0, ! > 0, ! ≥ 0. Saat ! = 0 diperoleh ! ! 0 = 0, sehingga didapatkan !(!) ekstrim maksimum atau minimum. Untuk penentuan maksimum atau minimum, dapat dilihat berdasarkan pada bentuk pdf untuk ! > 0. Pembahasan berikut adalah untuk ! > 0. Sehingga, untuk komponen dari ! ! (!) pada persamaan (4), yaitu: • •

!" !

! ! ! !!!! nilainya selalu positif,

! ! nilainya bisa positif atau negatif.

Jadi, bentuk pdf ditentukan oleh bagian ! ! yang bisa bernilai positif atau negatif. Selanjutnya, akan dilihat bentuk fungsi ! ! dengan mencari turunan pertama dari ! ! dan diperoleh: ! ! ! !!! ! ! = ! ! ! 5 , !" ! ! ! dimana ! = ! ! dan ! ! = 1 − !"! ! − !"!! ! ! .

Sifat 1 !

! ! = 1 − !"! ! − !"!! ! !

!

merupakan fungsi yang tepat turun untuk ! > 0, dimana

!= ! ! .


Lebih lanjut, ! 0 = 1 − !" dan ! ! < 0 ketika ! → ∞. Jadi, nilai fungsi ! ! akan dipengaruhi oleh nilai ! 0 . Berikut dua kasus yang akan dipertimbangkan, yaitu: 1. ketika ! 0 = 1 − !" ≤ 0, dan 2. ketika ! 0 = 1 − !" > 0. Kedua kasus tersebut akan dijelaskan pada sifat 2 dan sifat 3 di bawah ini: Sifat 2 ! ! = ! − 1 + !!! 1 − !"! !

!

dengan ! = ! !

merupakan fungsi yang tepat

turun untuk ! > 0 dan ! 0 = 1 − !" ≤ 0. Sifat 3: ! ! = ! − 1 + !!! 1 − !"! !

!

dengan ! = ! ! merupakan fungsi unimodal untuk

! > 0 dan ! 0 = 1 − !" > 0. Kasus 1: Untuk ! 0 = 1 − !" ≤ 0 ↔ !" ≥ 1. Berdasarkan sifat 2, untuk ! 0 ≤ 0 diperoleh ! ! adalah fungsi yang tepat turun. Lebih lanjut, ! 0 = ! − 1 dan ! ! < 0 ketika ! → ∞. Jadi, nilai fungsi ! ! akan dipengaruhi oleh nilai ! 0 . Berikut dua subkasus yang akan dipertimbangkan, yaitu: 1. ketika ! 0 = ! − 1 ≤ 0 2. ketika ! 0 = ! − 1 > 0. Subkasus 1.1: Jika ! 0 = ! − 1 ≤ 0 ↔ ! ≤ 1. Berdasarkan sifat 2, untuk !" ≥ 1, diperoleh ! ! adalah fungsi tepat turun. Sehingga, untuk ! 0 ≤ 0, diperoleh ! ! < 0. Berdasarkan persamaan (4) yaitu !! ! =

!" ! ! !!! ! ! ! ! , !

karena ! ! < 0, maka ! ! ! < 0 berarti ! ! adalah fungsi tepat turun. Sehingga, untuk !" ≥ 1 dan ! ≤ 1 diperoleh bentuk pdf adalah fungsi tepat turun. Subkasus 1.2: Jika ! 0 = ! − 1 > 0 ↔ ! > 1. Berdasarkan sifat 2, untuk !" ≥ 1, diperoleh ! ! adalah fungsi tepat turun. Karena ! ! < 0 ketika ! → ∞. Sehingga, untuk ! 0 > 0, maka pada saat ! awal, nilai ! ! positif selanjutnya nilai ! ! menurun hingga bernilai negatif. Berdasarkan persamaan (4) yaitu


!! ! =

!" ! ! !!! ! ! ! ! , !

maka diperoleh ! ! ! pada saat awal bernilai positif lalu bernilai negatif. Sehingga, untuk !" ≥ 1 dan ! > 1 diperoleh bentuk pdf adalah fungsi unimodal. Kasus 2: Untuk ! 0 = 1 − !" > 0 ↔ !" < 1. Berdasarkan sifat 3, untuk ! 0 > 0 diperoleh ! !

adalah fungsi unimodal. Lebih

lanjut, ! 0 = ! − 1 dan ! ! < 0 ketika ! → ∞. Jadi, nilai fungsi ! ! akan dipengaruhi oleh nilai ! 0 . Berikut tiga subkasus yang akan dipertimbangkan, yaitu: 1. ketika ! 0 = ! − 1 > 0, 2. ketika ! 0 = ! − 1 = 0, dan 3. ketika ! 0 = ! − 1 < 0. Subkasus 2.1: Untuk ! 0 = ! − 1 > 0 ↔ ! > 1. Berdasarkan sifat 3, untuk !" < 1, diperoleh ! ! adalah fungsi unimodal. Sehingga, untuk ! 0 > 0 dan ! ! < 0 ketika ! → ∞, diperoleh pada saat ! awal, nilai ! ! positif lalu nilai ! ! menurun hingga bernilai negatif. Berdasarkan persamaan (4) yaitu: !! ! =

!" ! ! !!! ! ! ! ! , !

maka diperoleh ! ! ! pada saat awal bernilai positif lalu bernilai negatif. Sehingga, untuk !" < 1 dan ! > 1 diperoleh bentuk pdf adalah fungsi unimodal. Subkasus 2.2: Untuk ! 0 = ! − 1 = 0 ↔ ! = 1. Berdasarkan sifat 3, untuk !" < 1, diperoleh ! ! adalah fungsi unimodal. Sehingga, untuk ! 0 = 0 dan ! ! < 0 ketika ! → ∞, diperoleh pada saat ! awal, nilai ! ! positif lalu nilai ! ! menurun hingga bernilai negatif. Maka diperoleh ! ! ! pada saat awal bernilai positif lalu bernilai negatif. Sehingga, untuk !" < 1 dan ! = 1 diperoleh bentuk pdf adalah fungsi unimodal. !

Kasus khusus, untuk !" ≈ 1 maka pada saat awal diperoleh 1 − !"! ! ≈ 0. Sehingga, berdasarkan persamaan (4) diperoleh pada saat awal ! ! ! ≈ 0. Karena ! ! < 0 ketika ! → ∞, maka persamaan (4) diperoleh ! ! ! < 0. Sehingga, untuk ! = 1 dan !" < 1 dengan kasus khusus untuk !" ≈ 1 diperoleh bentuk pdf adalah fungsi turun. Subkasus 2.3: Untuk ! 0 < 0 ↔ ! < 1.


Berdasarkan sifat 3, untuk !" < 1, diperoleh ! !

adalah fungsi unimodal. Untuk

! 0 < 0 dan ! ! < 0 ketika ! → ∞, dibagi menjadi dua subkasus, yaitu: Subkasus 2.3.1: Jika ada ! > 0 sedemikian sehingga ! ! > 0, maka ! ! pada saat awal bernilai negatif lalu bernilai positif kemudian bernilai negatif kembali. Diperoleh ! ! ! pada saat awal bernilai negatif lalu positif kemudian bernilai negatif kembali. Sehingga, untuk !" < 1 dan ! < 1 diperoleh bentuk pdf adalah fungsi turun, lalu fungsinya naik kemudian fungsi menurun kembali. Subkasus 2.3.2: Jika tidak ada ! > 0 yang memenuhi kondisi ! ! > 0, maka ! ! akan selalu bernilai negatif. Maka diperoleh ! ! ! < 0 berarti ! ! adalah fungsi turun. Sehingga, untuk !" < 1 dan ! < 1 diperoleh bentuk pdf adalah fungsi turun. Hasil yang diperoleh adalah kriteria nilai-nilai parameter seperti pada tabel berikut: Tabel 1. Pengelompokan Bentuk Grafik Pdf Distribusi XTG

Tail dari Distribusi Berikut ini akan dijelaskan tail dari distribusi, yang akan dibagi menjadi tiga kasus yaitu: i. Untuk ! > 1, Nilai ! ! ketika ! → 0 diperoleh: lim!→! !(!) = 0. ii. Untuk ! = 1 Nilai ! ! ketika ! → 0. Ketika ! = 1, maka: ! ! = ! exp ! ! + !" 1 − ! sehingga diperoleh: lim!→! ! ! = !. Artinya, pdf ! ! memiliki tail di bagian kiri yang nilainya terbatas di !. iii.

Untuk 0 < ! < 1 Nilai ! ! ketika ! → 0, diperoleh: lim!→! ! ! = ∞


!

!

,

Artinya, pdf ! ! memiliki tail di bagian kiri yang tidak terbatas. 2. Cdf Dengan reparameterisasi ! = !!, diperoleh cdf untuk !~!"#(!, !, !) adalah: ! ! = 1 − exp !! 1 − !

! ! !

6 .

3. Fungsi Survival Fungsi survival untuk !~!"#(!, !, !) adalah: ! ! = 1 − ! ! = exp !" 1 − !

!

!

!

7 .

4. Fungsi Hazard Fungsi hazard untuk !~!"#(!, !, !) adalah: ℎ ! =

! ! = !" ! ! ! !

!!!

exp ! !

!

, ! ≥ 0 8 ,

Karakteristik dari fungsi hazard Untuk mengetahui bentuk grafis dari fungsi hazard, cari ℎ! ! yaitu: ℎ! ! =

!" ! ! !

!!!

exp ! !

!

! ! !

!

+ ! − 1 9 .

Perhatikan bahwa ! > 0, ! > 0, ! > 0, dan ! ≥ 0. Saat ! = 0 diperoleh ℎ! 0 = 0, sehingga didapatkan ℎ(!) ekstrim maksimum atau minimum. Untuk penentuan maksimum atau minimum, dapat dilihat berdasarkan pada bentuk fungsi hazard untuk ! > 0. Dengan cara serupa pada pembahasan karakteristik pdf, maka diperoleh hasil seperti berikut. Tabel 2. Pengelompokan Bentuk Grafik Fungsi Hazard Distribusi XTG

5. Kuantil Menggunakan definisi kuantil dan cdf dari distribusi XTG, dapat ditunjukkan kuantil ke-! untuk !~!"#(!, !, !) adalah: ln 1 − ! !! = ! ln 1 − !!

! !

10 .


6. Momen Berdasarkan definisi momen dan pdf dari distribusi XTG, dapat ditunjukkan momen ke-k untuk !~!"#(!, !, !) adalah: !

!

! ! ! = !! ! ! !

ln ! ! ! !!" !" 11 , !

dimana ! = !". 7. Mean dan Variansi Menggunakan pdf dari distribusi XTG, dan definisi mean dan variansi, dapat diturunkan untuk !~!"#(!, !, !): !=! ! !!

=

exp !" 1 !

−!

!

!

!

!" 12 , dan

!!

!"# ! = 2

! exp !" 1 − !

!

!

!

!" − !! 13 .

!

Pada persamaan (12) dan (13), perhitungannya tidak dapat diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, diperlukan integrasi numerik untuk menyelesaikan persamaan tersebut. 8. Hubungan Distribusi XTG dengan Distribusi Lain Hubungan distribusi XTG dengan 3 distribusi lain diberikan pada bagan berikut:

Gambar 1. Hubungan Distribusi XTG dengan Distribusi Lain

Berikut ini adalah fungsi survival dari distribusi XTG berdasarkan persamaan (7) yaitu: ! ! = exp !" 1 − !

!

!

!

, ! > 0, ! > 0, ! > 0, ! ≥ 0.


Distribusi Chen Kasus khusus dari distribusi XTG ketika ! = 1, maka fungsi survival dari distribusi XTG menjadi: ! ! = exp ! 1 − ! !

!

, ! > 0, ! > 0, ! ≥ 0.

Fungsi survival yang didapatkan pada persamaan di atas merupakan fungsi survival dari distribusi Chen. Distribusi Exponential Power Kasus khusus dari distribusi XTG ketika !" = 1, maka fungsi survival dari distribusi XTG menjadi: ! ! = exp 1 − !

!" !

, ! > 0, ! > 0, ! ≥ 0.

Fungsi survival yang didapatkan pada persamaan di atas merupakan fungsi survival dari distribusi Exponential Power. Distribusi Weibull Dengan deret McLaurin, ketika ! → ∞, maka diperoleh: 1 − !

!

!

!

≈− ! !

!

.

Sehingga, ketika ! → ∞, fungsi survival dari distribusi XTG pada persamaan (7) menjadi: ! ! ≈ !"# −!!!!! !! , ! > 0, ! > 0, ! > 0, ! ≥ 0. Fungsi survival yang didapatkan pada persamaan di atas merupakan fungsi survival dari distribusi Weibull dengan dua parameter yaitu shape parameter ! dan scale parameter ! !!! !

.

9. Estimasi Paramater Estimasi Paramater dengan WPP plot Selain digunakan untuk estimasi parameter, WPP plot juga dapat digunakan untuk mengetahui apakah data cocok berdistribusi XTG atau tidak. Kasus 1: kasus khusus ketika !" = 1. Kasus khusus dengan memisalkan !" = 1 dilakukan untuk menyederhanakan masalah estimasi parameter. Ketika !" = 1, maka fungsi survival dari distribusi XTG menjadi: ! ! = exp 1 − !

!

!

!

, ! > 0, ! > 0, ! ≥ 0 14 .


WPP plot dapat digunakan untuk estimasi parameter pada kasus ini. WPP plot diperoleh dengan linierisasi terhadap fungsi survival yang terdapat pada persamaan (14) dan diperoleh: ln ln 1 − ln ! !

= ! ln t − ! ln !.

Jadi, jika data mengikuti distribusi XTG dengan h!" = 1, maka plot ! terhadap ! akan diperoleh garis lurus dimana transformasi yang digunakan adalah: ! = ln !, dan ! = ln (ln (1 − ln !(!))). Jadi, nilai estimasi parameter dari distribusi tersebut adalah sebagai berikut: ! = !"#$% i!"#$%#&" ! = exp − 15 . ! ! = 1 ! Kasus 2: kasus umum ketika !" ≠ 1. WPP plot untuk kasus ini diperoleh dengan linierisasi terhadap fungsi survival yang terdapat pada persamaan (7) dan diperoleh: ln − ln ! !

= ln !" + ln !

!

!

!

− 1 16 .

Misalkan ! = ln − ln ! ! . Subkasus 2.1: ketika ! → 0. Dengan deret McLaurin, ketika ! → 0, maka diperoleh: !

!

!

!

−1≈ ! !

!

. Maka

persamaan (16) menjadi: ! = ! ln ! + ln !!!!! 17 . Subkasus 2.2: ketika ! → ∞. ln exp ! !

!

1 − exp − ! ! − 1 = ln ! exp − ! !

!

.

Ketika ! → ∞, maka diperoleh: lim ln 1 − exp − ! ! !→!

!

= ln 1 = 0.

Jadi, persamaan (16) menjadi: != ! !

!

↔ ln ! = ! ln ! − ! ln ! 18 .

Jadi, jika data mengikuti distribusi XTG, maka plot ! terhadap ! untuk ! → 0 dan plot ln ! terhadap ! untuk ! → ∞ akan diperoleh garis lurus dimana transformasi yang digunakan adalah sebagai berikut:


! = ln !, dan ! = ln − ln ! ! . Jadi, nilai estimasi parameter untuk kasus umum adalah sebagai berikut ! = !"#$% ! !"!# ! = !"#$% !" ! !"#$%&$'#(!" !) ! = exp − 19 , ! exp !"#$%&$'# ! != !!!! dimana indeks ! untuk garis regresi ! terhadap ! saat ! → 0, sedangkan indeks ln ! untuk garis regresi ln ! terhadap ! saat ! → ∞. Estimasi Paramater dengan MLE Pada bagian ini hanya akan dibahas estimasi maximum likelihood untuk kasus tersensor kanan tipe 2 dimana ada data yang tersensor dan ada data yang tidak tersensor (eksak). Berikut akan ditaksir parameter dari distribusi XTG. Misalkan !! , !! , … , !! adalah sampel random dengan nilai observasinya adalah !! , !! , … , !! berasal dari distribusi XTG dengan ! parameter !, !, dan !. Misalkan Θ = ! adalah vektor dari parameter. ! Untuk menaksir parameter tersebut, akan dicari terlebih dahulu fungsi likelihood, yaitu: ! !; Θ = ! !! , !! , … , !! ; Θ . Dalam kasus tersensor tipe 2, pengamatan akan dihentikan setelah diperoleh ! objek pengamatan pertama yang mengalami event dari sebanyak ! objek pengamatan. Misalnya ! ! , ! ! , … , ! ! adalah waktu dari ! objek pengamatan pertama yang mengalami event, dimana !(!) ≤ !(!) ≤ ⋯ ≤ !(!) untuk ! ≤ !. ! ! , ! ! , … , ! ! merupakan nilai observasi dari ! ! , ! ! , … , ! ! yaitu sampel random terurut yang berasal dari distribusi XTG dengan parameter !, !, dan !. Fungsi likelihood untuk kasus tersensor tipe 2 dapat dinyatakan sebagai berikut: !! ! !; Θ = [! ! ! ]!!! !−! !

!

! !! !!!

Lebih lanjut, diperoleh: !! ! !; Θ = !! ! ! !−! !

!

!!!

!! !

!

!!!

!!

!"#

+ ! − ! !" 1 − !"#

!!!

!!

!

!

!

!

!

+

!" 1 − !"#

!!

!

!

!!!

20 .


Logaritma dari fungsi likelihood tersebut adalah !"# !; Θ = !! !; Θ , yaitu: !! + ! ln ! + ! ln ! + !!" + ! − 1 !−! !

!! !; Θ = ln

!

− !"

!!

!"#

!

!

!!

− ! − ! !" !"#

!

!!! !

!

!! ln + !

!

!!!

!! !

!

21 .

!!!

Nilai parameter yang memaksimumkan ln ! !; Θ diperoleh dengan cara berikut: !!! ! = + !! − ! ! !" !!! !"

=0↔ !=

!!! ! = + !" !

!

!!!

!

!"#

!

!!

!!

− ! − ! ! !"#

!

!

!

!!! !

!

! !!! !"#

!! ln + !

!

!!!

!!

!

!

! ! ! !!! ! !"# ! ! !!"

!

!! !

!! ln − !" ! !!

− ! − ! !" exp !!! ! !−1 ! =− + !! − !" ! ! − Misalkan !! Θ =

!

!! !

!!!

! − ! ! !

!!

!!! !!! !!! , , !! !" !"

!

exp

!

!!

!

!

!

−!

!

!

!!

!!

ln

!! !

ln

!! !

!

!

!

!

1−!

!!

!

!

!!!

!

!

!

!!!

!

!

!!

1−!

!!

!

!

.

Taksiran maksimum likelihood untuk Θ didapatkan dengan menyelesaikan sistem !! Θ = 0, akan tetapi karena sistem persamaan tersebut nonlinier solusinya dapat dilakukan dengan iterasi numerik. Untuk menyelesaikan sistem nonlinier ini bisa dilakukan dengan software seperti MATHEMATICA, MAPLE, MATLAB atau R. 4. CONTOH PENERAPAN Akan dibahas tentang pencocokan distribusi XTG pada suatu data. Sebelumnya, harus terlebih dahulu dilakukan pengecekan apakah memang data cocok dengan distribusi XTG. Pengecekan dilakukan menggunakan TTT plot untuk melihat apakah hazard berbentuk bathtub atau tidak. Jika data memiliki hazard bathtub, maka data dapat dicocokan dengan distribusi XTG. Selanjutnya dilakukan estimasi parameter dengan WPP plot dan mle. Beberapa kandidat distribusi akan dicoba pada data, kemudian uji Kolmogorov-Smirnov akan diterapkan untuk menilai kecocokan dari distribusi-distribusi tersebut. Untuk menentukan


distribusi yang paling fit untuk data di antara distribusi XTG, distribusi Chen dan distribusi Exponential Power, akan digunakan uji rasio likelihood. Dalam contoh aplikasinya, akan digunakan data Aarset (1987). Pencocokan Distribusi Waktu Kerusakan pada Lampu Pada data Aarset (1987), objek yang diamati adalah suatu lampu. Data ini diambil dari sampel random berukuran ! = 50 dengan nilai-nilai yang didapat menyatakan waktu tunggu sampai terjadi kerusakan pada suatu lampu. Dari hasil pengamatan, dapat diketahui dengan pasti kapan terjadi kerusakan pada lampu tersebut. Hal ini berarti pada data ini tidak ada yang tersensor. Berikut ini adalah datanya: 0.1

0.2

1

1

1

1

1

2

3

6

7

11

12

18

18

18

18

18

21

32

36

40

45

46

47

50

55

60

63

63

67

67

67

67

72

75

79

82

82

83

84

84

84

85

85

85

85

85

86

86

Pertama akan dilihat TTT plot dari data tersebut. TTT plot merupakan suatu plot yang menghubungkan titik-titik koordinat yaitu ! ! , !!! ∗ ! , dimana !!!!

!!! ∗ ! = !!!

!:!

!!:!

, untuk ! = 1, 2, … , !.

!

!!!!!:! =

! − ! + 1 !!:! − !!!!:! . !!!

TTT plot ini dapat mengindikasikan bahwa data tersebut memiliki fungsi hazard berbentuk bathtub atau tidak. Berikut ini TTT plot dari data tersebut.

Gambar 2. TTT Plot


Dari TTT plot di atas dapat disimpulkan bahwa data tersebut memiliki fungsi hazard berbentuk bathtub. Jadi, data tersebut dapat dicocokan dengan distribusi XTG. Selanjutnya akan dicari nilai estimasi parameter dengan WPP plot. Dengan memisalkan !" = 1 diperoleh WPP plot sebagai berikut.

Gambar 3. WPP plot

Dari WPP plot di atas, terlihat bahwa titik data kurang membentuk garis lurus. Untuk lebih meyakinkan secara statistik, dapat juga dilakukan regresi antara ! = ln ! dengan ! = ln (ln (1 − ln !(!))), dengan model sebagai berikut ! = !! + !! !. Hasilnya dapat dilihat sebagai berikut.

! Berdasarkan output di atas diperoleh bahwa nilai !!"# cukup besar yaitu 0.949, maka

dapat dikatakan bahwa distribusi XTG cocok untuk memodelkan data tersebut dengan memisalkan !" = 1.

Jadi, estimasi parameter dengan WPP plot yaitu: •

! = !"#$% = 0.506,


!"#$%&$'#

•

! = exp −

•

! = 1 ! = 1 125.965 = 0.007939.

!

= 125.965, dan

Akan dicari estimasi parameter dengan mle. Dengan perangkat lunak matematika diperoleh estimasi parameter dengan mle adalah sebagai berikut: •

! = 0.0088,

•

! = 0.5877, dan

•

! = 13.7467. Hasil estimasi parameter dari distribusi XTG, distribusi Chen, dan distribusi Exponential

Power dapat dirangkum dalam tabel di bawah ini: Tabel 3. Ringkasan Hasil Estimasi Parameter

Berikut ini adalah plot cdf:

Gambar 4. Cdf Empiris dan Cdf dari 3 Distribusi

Dari gambar 4, terlihat bahwa cdf empiris dari data sekilas cukup dekat jarak nilainilainya dengan nilai-nilai cdf dari distribusi XTG dengan parameternya yaitu hasil estimasi grafik dan mle, juga cdf dari distribusi Chen dan distribusi Exponential Power dengan menggunakan mle. Selain itu, terlihat juga bahwa cdf dari distribusi XTG dengan


parameternya yaitu hasil estimasi grafik, nilainya cukup berbeda dibandingkan dengan yang lain. Agar lebih objektif dalam menilai apakah benar ketiga distribusi tersebut dapat menggambarkan data maka dilakukan uji Kolmogorov- Smirnov. Nilai fungsi lnlikelihood dan Kolmogorov-Smirnov dirangkum dalam tabel di bawah ini. Tabel 4. Nilai Lnlikelihood dan Kolmogorov-Smirnov

Dari tabel 4, distribusi XTG dengan estimasi grafik memiliki nilai Kolmogorov-Smirnov lebih besar dari nilai tabel, sehingga distribusi XTG dengan estimasi grafik tidak cocok untuk memodelkan data Aarset. Sedangkan, hasil estimasi dengan mle untuk ketiga distribusi lain cocok untuk memodelkan data Aarset. Untuk menentukan distribusi yang paling fit untuk data di antara distribusi XTG, distribusi Chen dan distribusi Exponential Power, akan digunakan uji rasio likelihood. Berikut ini tabel uji rasio likelihood: Tabel 5. Uji Rasio Likelihood untuk Data Aarset

Dari tabel 5, terlihat bahwa dengan tingkat kepercayaan 90%, terlihat bahwa nilai p-value dari keduanya < 0.1 berarti distribusi XTG lebih baik daripada distribusi Chen maupun distribusi Exponential Power. Oleh karena itu, distribusi XTG dengan hasil estimasi menggunakan mle lebih baik dalam memodelkan data Aarset. 5. KESIMPULAN 1.

Distribusi XTG merupakan perluasan dari distribusi Chen dengan penambahan scale parameter. Distribusi XTG diperoleh dengan melakukan transformasi variabel random


dengan perkalian skalar, yaitu ! = !" untuk ! > 0 dimana ! adalah scale parameter dan !~Chen(!, !) dimana ! = !!. 2.

Beberapa sifat distribusi XTG yaitu fungsi hazard distribusi XTG bisa naik atau bathtub, untuk kasus khusus ketika ! → ∞ fungsi hazard bisa naik, turun, atau konstan. Sedangkan pdf distribusi XTG bisa turun, unimodal, atau turun kemudian naik lalu turun kembali. Untuk estimasi parameter secara grafis dapat menggunakan Weibull Probability Paper (WPP) plot dengan transformasi liniearisasi dari fungsi survival terhadap ln ! . Estimasi parameter dengan metode maximum likelihood tidak dapat diselesaikan secara analitis, sehingga yang diperoleh adalah solusi pendekatan dengan metode numerik.

3.

Distribusi XTG dapat dinyatakan merupakan bentuk umum dari tiga distribusi lain, yaitu: distribusi Chen ketika ! = 1; distribusi Exponential Power ketika !" = 1; dan distribusi Weibull ketika ! → ∞.

4.

Proses pencocokan distribusi pada data Aarset meliputi langkah berikut: buat TTT plot untuk mengetahui apakah fungsi hazard dari data berbentuk bathtub. Jika memenuhi, maka data tersebut dapat dicocokan dengan distribusi XTG. Selanjutnya dilakukan estimasi parameter dengan WPP plot dan mle. Kemudian kecocokan distribusi diuji dengan uji Kolmogorov-Smirnov. Selain itu, data juga akan di-fit dengan distribusi Chen dan Exponential Power. Untuk menentukan distribusi yang paling cocok dengan data, digunakan uji rasio likelihood. Diperoleh bahwa data Aarset lebih baik dicocokan dengan distribusi XTG.

SARAN 1. Dapat dibahas penentuan batas nilai besar dan kecil untuk ! pada estimasi parameter dengan WPP plot untuk kasus umum. 2. Dapat dibahas penentuan titik waktu dimana fungsi hazard konstan dengan cara lain selain grafik. 3. Dapat dibahas metode estimasi parameter lainnya seperti metode Bayes atau Quasi Likelihood. DAFTAR ACUAN [1] A.Klugman, S., Panjer, H. H., & Willmot, G. E. (2004). Loss Models From Data to Decisions Second Edition. Canada: John Wiley and Sons, Inc, Hoboken, New Jersey.


[2] Aarset, M.V. (1987). How to Identify a Bathtub Hazard Rate. IEEE Transaction on Reliability, 106-108. [3] Chen, Z. (2000). A new two-parameter lifetime distribution with bathtub-shape or increasing failure rate function. Statistics & Probability Letters 49:155–161. [4] Connover, W.J. (1971). Practical Nonparametric Statistics. New York: John Wiley & Sons, Inc. [5] D.N. Prabhakar Murthy, Min Xie, Renyan Jiang. (2004). Weibull Models. Canada: John Wiley and Sons, Inc, hoboken, new jersey. [6] J.Purcell, E., Varberg, D., & E.Rigdon, S. (2003). Calculus Eighth Edition. United States of America: Prentice Hall, Inc. [7] Klein, J.P. and Moeschberger, M.L. (1997). Survival Analysis – Techniques for Censored and Truncated Data. New York: Springer-Verlag. [8] Mudholkar GS, Srivastava DK. (1993). Exponentiated Weibull family for analyzing bathtub failure rate data. IEEE Trans Reliab;42(2): 299–302. [9] Tang Y, Xie M, Goh TN. (2003). Statistical analysis of a Weibull extension model. Commun Stat—Theory Meth;32(5):913–28. [10] Xie M, Lai CD. (1995). Reliability analysis using an additive Weibull model with bathtub-shaped failure rate function. Reliab Eng Syst Saf; 52:87–93. [11] Xie M., Y. Tang, T. N. Goh. (2002). A Modified Weibull Extension With Bathtub Shaped Failure Rate Function. Reliability Engineering and System Safety, 279-285.


PERLUASAN DISTRIBUSI CHEN (DISTRIBUSI XTG)

Recommend Documents