1
Distribusi Teoritis Probabilitas Topik
3
Distribusi teoritis Binomial Distribusi teoritis Poisson Distribusi teoiritis Normal
4
Distribusi Teoritis Probabilitas
Distribusi Binomial
Distr. Teoritis Probabilitas
Ciri-ciri Distribusi Binomial
Diskrit Binomial
Poisson
Kontinyu Lln
Normal
5
Masing-masing percobaan hanya mempunyai dua kemungkinan, misal sukses-gagal, sehat-sakit, hidup-mati Hasil dari masing-masing percobaan adalah independen antara satu dengan lainnya Probabilitas ‘sukses’ (disimbol dengan p) adalah tetap antara satu percobaan dengan pecobaan lainnya Probabilitas ‘gagal’ (disimbol dengan q) adalah 1-p Probabilitas sukses biasanya adalah probabilitas yang sering terjadi
6
Distribusi Binomial
n r n-r p q=1-p,
jml trial jml sukses jml gagal prob sukses prob gagal
Rumus
B(n, r)
n! pr (1 p)nr r!(n r)!
n=jumlah percobaan, r=jumlah ‘sukses’, n-r=jumlah ‘gagal’, p=probabilitas sukses dan q=(1-p)=probabilitas gagal
Distribusi Binomial
Contoh: Sepasang suami istri merencanakan punya anak tiga. Berapa probabilitas untuk mendapatkan dua laki-laki dan satu perempuan Jawab: n=3, r=2 (laki-laki) dan p=0.5 P(3,2) = 3!/(2!(3-2)!) 0.52 (1-0.5)2-1=0.375 maka probabilitas untuk mendapatkan dua laki-laki dan satu perempuan adalah 0.375
Dari hasil penelitian disimpulkan bahwa prevalensi anemia pada Ibu Hamil di Kecamatan X adalah 20%. Ada sebanyak 10 Ibu Hamil yang dipilih secara random yang bertempat tinggal di daerah binaan Puskesmas Kecamatan X tersebut. Maka hitunglah berapa probabilitas di antara 10 Ibu Hamil tersebut: Tidak ada yang anemia? Ada satu yang anemia? Paling banyak 2 orang ibu hamil yang anemia? Paling sedikit 3 orang yang anemia?
1
7
8
Distribusi Binomial
Tabel Binomial Kumulatif
Diketahui: p=0.2, q=1-p=1-0.2=0.8 dan n=10 Ditanya: r = 0, r = 1, r ≤ 2, dan r ≥ 3 Jawab
Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif n=10
P(n=10,r=0) = [10!/(10-0)! 0!] x (0.2)0 x (0.8)10-0= 0.107 (lihat tabel)
P(n=10,r=1) = [10!/(10-1)! 1!] x = 0. 269 (lihat tabel)
(0.2)1
x
(0.8)10-1=
0.376-0.107
P(n=10,r ≤ 2) = P(r=0) + P(r=1) + P(r=2) = 0.678 (lihat tabel)
P(n=10,r ≥ 3) = 1 – [P(r=0) + P(r=1) + P(r=2)] = 1 - 0.678 = 0.322 (lihat tabel)
9
p
r
0.01
.
0.2
p kum
0
.
.
0.1074
0.107
.
.
1
.
.
0.2684
0.376
.
.
2
.
.
0.3020
0.678
.
.
3
.
.
0.2013
0.879
.
.
4
.
.
0.0881
0.967
.
.
5
.
.
0.0264
0.994
.
.
6
.
.
0.0055
0.999
.
.
7
.
.
0.0008
0.999
.
.
8
.
.
0.0000
1.000
.
.
.
n=10, p=0.2 dan x≤3
n=10, p=0.2 dan x≤6
10
Distribusi Poisson
Dalam pelaksanaan Pekan Imunisasi Nasional Polio (PIN) pertama, diketahui bahwa ada sebesar 0.1% Balita yang mengalami panas setelah diimunisasi Polio. Di suatu daerah diperkirakan ada sebanyak 2500 Balita yang akan diimunisasi dengan Polio pada PIN kedua. Hitunglah berapa probabilitas pada PIN kedua akan mendapatkan:
Ciri-ciri Distribusi Poisson
Distribusi Poisson
Sama seperti ciri-ciri distribusi binomial N percobaan besar Probabilitas terjadinya suatu kejadian adalah kecil atau kejadian yang jarang terjadi Percobaan dapat juga dalam selang waktu tertentu
Rumus
P(r ) dimana:
(r e ) r!
Tidak ada balita yang mengalami panas? Paling banyak ada tiga balita yang panas? Minimal ada lima Balita yang panas?
λ=np, e=2.71828 dan r=probabilitas yang dicari
11
12
Distribusi Poisson Diketahui:
n= 2500, p=0.001, maka λ=2500 x 0.001 = 2.5
Ditanya: r=0, r ≤ 3, r ≥ 5 Jawab
P(r=0) = [(2.5)0 x (2.71828)-2.5] / 0! = 0.082 (lihat tabel) P(r ≤ 3 ) = P(r=0) + P(r=1) + P(r=2) + P(r=3) = 0.758 (lihat tabel) P(r ≥ 5) = 1 – [P(r=0) +..... + P(r=4)] = 1 – 0.891 = 0.109 (lihat tabel)
Tabel Poisson Kumulatif Tabel Distribusi Probabilitas Poisson Kumulatif
λ r
0.1
.
.
2.5
0
.
.
.
0.082
1
.
.
.
0.287
. .
3.0 .
2
.
.
.
0.544
.
.
3
.
.
.
0.758
.
.
4
.
.
.
0.891
.
.
5
.
.
.
0.958
.
.
6
.
.
.
0.986
.
.
7
.
.
.
0.996
.
.
8
.
.
.
0.999
.
.
9
.
.
.
1.000
.
.
.
λ = 2.5 dan x≤3
λ = 2.5 dan x≤6
2
13
14
Distribusi Poisson
Tabel Poisson Kumulatif
Suatu penelitian demam typhoid di rumah sakit didapatkan bahwa rata-rata kematian akibat demam tersebut selama satu tahun adalah 4.6.
Tabel Distribusi Probabilitas Poisson Kumulatif
λ
A) Berapa probabilitas kematian selama setengah tahun sebagai berikut:
Tidak ada pasien yang mati Satu orang pasien yang mati Dua orang yang mati
15
.
3.0
λ = 2.3
.
0.231
r
0.1
.
.
2.3
0
.
.
.
0.100
1
.
.
.
0.331
.
.
2
.
.
.
0.596
.
.
3
.
.
.
0.799
.
.
4
.
.
.
0.916
.
.
5
.
.
.
0.970
.
.
6
.
.
.
0.991
.
.
7
.
.
.
0.997
.
.
8
.
.
.
0.999
.
.
9
.
.
.
1.000
.
.
λ = 2.3 0.165
16
f(X)
Distribusi Normal
• Model Matematik Distribusi Normal
f(X)
• ‘Bell Shape’ • Simetris • Mean, Median dan Mode sama • IQR 1.33 σ
Distribusi Normal 1
f X
1 2
X 2
X
2 2 f X : density of random variable X
X
e
3.14159; e 2.71828 : population mean : population standard deviation
Mean Median Mode
Luas kurva Probabilitas 1
X : value of random variable X
17
18
Distribusi Normal Standar
Distribusi Normal Standardized Normal Distribution
10
X Z X
X 6.2 5 0.12 10
Normal Distribution
Z 1
Z
Standardized Normal Distribution
Normal Distribution
0
Z 1
Z
Untuk dpt menentukan p didlm kurva normal umum, maka Nilai yg dicari ditransformasi ke nilai kurva normal standar
5
6.2
X
Z 0
0.12
Z
3
19
20
TABEL Z
Distribusi Normal f(X)
0 b
Luas Distribusi Normal Standar P c X d ?
X
d
c
Luas lihat tabel Normal Standar
f(X)
X Z Z
?
0
21
b
0.00
.
0.04
0.05
.
0.09
0.0
0.0000
.
0.0160
0.1
0.0398
.
0.0557
0.0199
.
0.0359
0.0596
.
.
.
.
0.0753
.
.
.
1.0
0.3413
.
.
0.3508
0.3531
.
.0.3621
.
.
.
.
.
.
.
1.5
0.4332
.
0.4382
0.4394
.
.0.4441
1.6
0.4452
.
0.4495
0.4505
.
0.4545
.
.
.
.
.
.
.
1.9
0.4713.
.
0.4738
0.4750
.
0.4767
.
.
.
.
2.5
0.4938
.
0.4945
.
.
.
3.0
0.4987.
.
.
.
0.4946
.
0.4952
.
.
.
.
0.4988
0.4989
.
0.4990
P(0 ≤ z ≤ b)
22
Distribusi Normal
Distribusi Normal
0.3413
0.4332 0.5-0.3413=0.1587
0.5-0.4332=0.0668
0.3413
Z 0
0
1
0
Z
1.5
0.3413
-1
0.4332
Z 0
0.4332
Z
Z 0
1.5
23
1.5
0.4332-0.3413=0.0919
Z -1.5 0
Z 0
1
1 1.5
24
Distribusi Normal
Diketahui bahwa nilai mahasiswa MA X angkatan 2002/2003 di FKM UI berdistribusi normal dengan nilai rata-rata sebesar 75 dan simpangan baku sebesar 10. Hitunglah probabilitas mahasiswa akan mendapatkan nilai sebagai berikut:
Kurang dari 60 Lebih dari 90 Antara 65 sampai 85 Bila ditentukan bahwa ada sebesar 15% mahasiswa akan mendapatkan nilai A, maka hitunglah pada nilai terendah berapa mulai diberikan nila A tersebut?
Distribusi Normal
Diketahui: µ = 75 dan σ=10 Ditanya: P(x ≤ 60)=?
60
75
x
-1.5
0
Z
X Z 60 Z = - 1.5 P ( z ≤ -1.5) = 0.5 – 0.4332 = 0.0668 (6.68% mahasiswa dapat nilai kurang dari 60)
4
25
26
Distribusi Normal
Distribusi Normal
Diketahui: µ = 75 dan σ=10 Ditanya: P(x ≥ 90)=?
75
90
X Z 90 Z = 1.5
x
Diketahui: µ = 75 dan σ=10. Ditanya: P(65 ≤ x ≤ 85)=?
65
75
85 0.4332
0.4332
P ( z ≥ 1.5) = 0.5 – 0.4332 0
1.5
P ( -1.0≤ z ≤ 1.0) = 0.3413+0.3413 =0.6826 = 0.6826 (68.26% mahasiswa
= 0.0668 (6.68% mahasiswa
Z
Z
Z1 85 = 1.0 Z2 65 = -1.0
dapat nilai antara 65 s/d 85)
dapat nilai lebih dari 90)
Z -1
0
1
27
Distribusi Normal
Diketahui: µ = 75 dan σ=10. Ditanya: x=? Bila 15% mahasiswa dapat nilai A
X
1.03 15% 35% atau 0.3500 0 1.03
10.3=X – 75 X=64.7
Z Nilai terendah mahasiswa dapat nilai A adalah 64.7
5