ORBITH Vol. 7 No. 3 November 2011: 366-370
PENGUJIAN PROPORSI MENGGUNAKAN KETERKAITAN DISTRIBUSI CHI-SQUARE DENGAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL TERHADAP DISTRIBUSI NORMAL STANDARD Oleh: Endang Triyani Staf Pengajar Jurusan Elektro Politeknik Negeri Semarang Jl. Prof. Sudarto, S.H. Tembalang Semarang 50275 Abstrak Dalam majalah ini penulis membahas tentang distribusi Chi-Square dan distribusi normal standard untuk mengetes populasi juga membahas tentang analisa hubungan antara distribusi Chi-Square dan distribusi normal standard, didalam penelitian proporsi distribusin penghubungnya distribusi Binomial atau multinomial yang secara umum digunakan oleh Chi-Square untuk pengujian hipotesis. Distribusi Chi-Square dapat dihasilkan dari penentuan kuadratik nilai standard dari masing-masing random variabel yang mengganggu disebut distribusi Poisson, yaitu dari pendekatan distribusi binomial ke-n (ukuran jumlah sampel terlalu besar dan p-nya kecil). Bentuk khusus dari uji kesamaan darisatu atau dua proporsi, dengan menggunakan distribusi normal standard yaitu hasil dari pengurangan distribusi ChiSquare dari test proporsi, sehingga bisa ditunjukan 2 Z 2 ( 2 Chi square ) Kata Kunci: distribusi Chi-Square, Binomial atau Multinomial, distribusi normal standard.
1. Pendahuluan Staf pengajar suatu perguruan tinggi yang akrap disebut dosen diharuskan memenuhi kewajiban menjalankan tugas tridarma perguruan tinggi, yang salah satunya melakukan penelitian. Dalam melakukan penelitian untuk mengamati tentang proporsi dari suatu katagori dapat dilakukan dengan mengklarifikasi individu-individu dalam populasi tersebut pada kelompok yang tergolong pada katagori tertentu dan yang bukan katagorinya. Untuk ini diambil sampel acak dari populasi tersebut terdapat dua individu yang tergolong dalam katagori atau bukan. Bentuk distribusi yang cocok digunakan untuk menganalisa kasus seperti ini adalah distribusi Binomial yang juga dapat digunakan dalam pengujian kesamaan proporsi. Tetapi untuk ukuran sampel yang cukup besar distribusi Binomial sulit digunakan secara langsung agar dapat terselesaikan digunakan distribusi Poisson atau distribusi normal standard. Pendekatan distribusi Binomial terhadap distribusi normal standard dilakukan bila n cukup besar dan p tetap untuk setiap percobaan dan relative tidak kecil. Sedang untuk p yang relatif 366
kecil maka digunakan pendekatan distribusi Binomial terhadap distribusi Poisson. Dalam penulisan ini akan diuraikan prosedur pengujian beberapa proporsi dengan menggunakan distribusi chi-square dan untuk kasus khusus yaitu uji satu proporsi dapat dilakukan dengan menggunakan distribusi normal standard. Alasan mengapa menggunakan distribusi normal standard sebagai pengganti distribusi Chi-square dalam uji satu proporsi sebagai kasus khusus merupakan topik yang dibahas dalam penulisan ini. Juga penggunaan distribusi Chi-square dalam pengujian beberapa proporsi sebagai bentuk pendekatan distribusi Binomial terhadap distribusi Poisson yang selanjutnya dapat dimodifikasi ke dalam distribusi Chi-square melalui transformasi peubah acak atau dengan menentukan kuadarat dari angka baku peubah acak distribusi Poisson. 2. Distribusi Binomial Distribusi Binomial adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti
Pengujian Proporsi Menggunakan Keterkaitan Distribusi……………………Endang Triyani sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepalaekor. Menurut (Spiegel, 2004): jika p adalah probabilitas bahwa suatu peristiwa akan terjadi dalam sembarang percobaan tunggal dan q=1-p adalah probabilitas bahwa percobaan tersebut akan gagal terjadi tepat sebanyak x kali dalam n kali percobaan yang artinya akan terjadi x keberhasilan dan (n-x) kegagalan dan dinyatakan sebagai berikut: n
n-x x
P(x) = C x q p = 0 untuk x yang lain dengan x = 1, 2, 3, ............. q = 1-p Secara singkat ada beberapa sifat dari distrebusi binomial (Stroud, K 2003), bahwa : nilai rata-rata, varians, dan simpangan baku dapat dihitung dengan rumus: rata-rata ( ) = n . p varians ( 2 ) = n . p.q simpangan baku ( ) =
n pq
Jika ukuran sampel n cukup besar dan peluang p relatif tetap(kontinu) maka kasus dalam distribusi Binomial dapat didekati dengan distribusi Normal Standard Z yang rata-ratanya np dan variansinya npq. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut: jika X ~ b(n,p) dengan E(X) = np dan varansi= E(X2)-[E(X)]2 = np(1-p) sehingga Z=
(x - np) , menurut npq
(Hasan, 2003) akan menyebar normal dengan rata-rata 0 dan simpangan standar ( ) = 1 atau N(0,1). Menurut (Harinaldi, 2005): jika populasinya berdistribusi secara normal, distribusi varian samplingnya akan membentuk distribusi chi-square dan jika dinyatakan dalam (
)
variabel acak = Secara matematik dinyatakan bahwa jika X1, X2, X3....Xn sampel acak yang diambil dari suatu populasi dan berdistribusi normmal dengan rata-rata dan variansinya maka:
a) rata-rata untuk ̅ adalah
dengan
variansinya b) jika variansi dari sampel , maka (
)
peubah acak berditribusi Chi-square dengan derajat bebas (n-1). 3. Penerapan Distribusi Chi-square dan Distribusi Normal Standard pada Uji Proporsi Pengujian hipotesis tentang proporsi adalah pengujian mengenai proporsi populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya. Dalam prosedur pengujian statistik beberapa proporsi yang menggunakan uji statistik distribusi chisquare dapat diambil kasus khusus yaitu uji satu proporsi yang dapat dilakukan dengan uji statistik distribusi normal standard. Untuk alasan kasus khusus tersebut dapat penulis uraikan sebagai berikut. 3.1. Pengujian Hipotesis Satu Proporsi Prosedur pengujian satu proporsi dimulai dari bentuk hipotesis yang akan diuji, menurut (Hasan, 2003): jika suatu pengujian dengan alternatif tidak sama dengan, maka bentuk hipotesisnya dinyatakan sebagai berikut: H 0 : P P0 lawan H 1 : P P0 P0 nilainya diketahui dan merupakan peluang suatu individu tergolong dalam kategori tertentu dan sebut saja kategori berhasil(sukses). Untuk pengujian hipotesis diatas diambil sampel observasi dengan frekuensi Oi berukuran n dan misalkan dari hasil observasi ada x individu yang tergolong katagori sukses dan (n-x) berkatagori gagal. Sedang frekuensi yang diharapkan Ei adalah nPo untuk katagori sukses dan n.(1-Po) untuk katagori yang gagal. Ini merupakan kasus yang dapat diselesaikan dengan distribusi binomial, yang dapat disajikan dalam tabel sebagai berikut: 367
ORBITH Vol. 7 No. 3 November 2011: 366-370 frekuensi Obserfasi(Oi) Harapan(Ei)
Sukses n n.Po
Gagal (n-x) n.(1-Po)
Total n n
2
Menurut (Spiegel 2004) definisi (chisquare) adalah suatu ukuran perbedaanantara frekuensi observasi dengan frekuensi harapan dinyatakan 2
dengan symbol statiatik (baca chisquare) yang dirumuskan dengan:
(Oi Ei ) 2 Ei i 1 k
2
Jika dihubungkan dengan tabel diatas maka
(2hitung )
( x - n.Po ) 2 n.Po
((n - x) - n.(1 - Po )) 2 n.(1 - Po )
( x - n.Po ) 2 n.Po (1 Po )
(p - Po ) 2 2 Z (hitung) Po (1 Po ) n
Terlihat pada uraian diatas nilai chi-square sama dengan Z2 dengan Z merupakan peubah acak yang berdistribusi normal standard, sesuai dengan hasil pendekatan distribusi binomial untuk n yang cukup besar terhadap distribusi normal standard. Jadi untuk melakukan pengujian hipotesis dimaksud cukup digunakan statistik.
Z hitung
(p - Po ) 2 p(1 - p) n
selanjutnya menentukan kriteria pengujian hipotesis seperti berikut:
H 0 ditolak pada taraf nyata jika ≥
H 0 diterima pada taraf nyata jika 368
<
3.2. Pengujian Hipotesis lebih dari satu Proporsi Untuk kasus binomial yang lebih luas yaitu menyangkut beberapa katagori dalam hal ini akan dilakukan pengujian kesamaan beberapa proporsi dengan formula hipotesis sebagai berikut: H 0 : P1 P2 .... Pk 1 P0 untuk nilai P0 diketahui
H 1 : paling sedikit sepasang tidak
sama. Frekuensi S1 S2 Sk-1 G T Obsarvasi x1 x2 xk-1 xk n (Oi) Harapan n.Po n.Po n.Po n.Po n (Ei) Keterangan: Si: Sukses ke i G : Gagal n : banyaknya observasi xi : banyaknya yang tergolong katagori sukses xk: banyaknya yang tergolong katagori gagal Ei : banyaknya yang diharapkan Dari tabel diatas Ej terlihat sama untuk semua kolom, karena disesuaikan dengan kondisi H 0 yang menyatakan peluang (proporsi) dianggap sama untuk setiap kategori. Kasus ini merupakan kasus binomial seperti kasus satu proporsi, tetapi diperluas menjadi k katagori, sehingga kasus kasusnya akan menjadi multinomial. Jika diperhatikan proporsi setiap katagori yaitu Pi dan menurut ketentuan ∑ P = 1 (satu), sehingga untuk H 0 benar untung peluang untuk setiap katagori sama dengan P0 dan nilainya relatif kecil yaitu P0 1 k , untuk k yang cukup besar nilai P0 akan makan kecil. Jadi menurut ketentuan untuk ukuran sampel n yang cukup besar dan peluangnya kecil maka sebaran binomial
Pengujian Proporsi Menggunakan Keterkaitan Distribusi……………………Endang Triyani akan mendekati distribusi dengan rata-rata sama dengan variansinya yaitu n.Po 2
Dengan definisi dapat ditentukan nilai chi-square hitung sebagai berikut:
(2hitung )
(Oi Ei ) 2 Ei i 1 2 k ( x n.P ) 0 i n.P0 i 1 k
( x n.P0 ) i n . P i 1 0 k
Jika
diperhatikan
suku
2
2
ke-i,
yaitu
( xi n.P0 ) , x merupakan peubah n . P 0
acak yang berdistribusi Poison dengan rata-rata=variansinya = nP0 dan bentuk
( x n.P0 ) Z i adalah peubah acak n . P 0
yang
berdistribusi
normal
standard 2
( x n.P0 ) Z i akan n.P0 2
sehingga
berdistribusi chi-square yang mempunyai 2
derajat bebas satu, atau Z ~ bentuk
diatas
(21) . Jadi
dapat
k
ditulis
(2hitung ) Z i2 ~ (2k 1)
(2hitung ) (2tabel ) (2hitung )
(2tabel )
T E L I Jml Tak lulus 14 17 8 2 41 Lulus 90 107 76 21 294 Jumlah 104 124 84 23 335 Dengan taraf nyata 5%, ujilah pendapat tersebut? Untuk lebih memberi gambaran penerapanya, berikut diuraikan melalui uji hipotesis sebagai berikut: a. Formula hipotesis
H 0 : PT PE PL PI H 1 : paling sedikit sepasang tidak sama.
b. Taraf nyata ( ) dan nilai
2 (tabel )
= 5% = 0,05 dengan derajat bebas 4-1=3 dilihat ditabel didapat
02,05(3) 7,815
c. Kriteria Pengujian : 2
H0 diterima ( hitung ) 7,815 2
Dan bentuk ini yang biasa digunakan dalam pengujian beberapa proporsi, dengan kriteria pengujian untuk taraf nyata ( ) yang dipilih dan derajat bebas (k-1) sebagai berikut: jika H 0 ditolak pada taraf nyata pada taraf nyata
Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas penerapan uji kesamaan proporsi untuk contoh adalah data Observasi tentang pendapat bahwa persentasi kelulusan mahasiswa yang adalah sama dari empat prodi jurusan Elektro dari suatu perguruan tinggi adalah sama. Mahasiswa yang diambil sampel adalah Telkom 104 mahasiswa, Elektronika 124 mahasiswa, Listrik 84, dan Infokom 23 mahasiswa, dibuat tabel sebagai berikut:
H0 ditolak ( hitung ) 7,815
i 1
H 0 diterima
4. Contoh Penerapan
jika
d. Uji statistik Dengan rumus
(2hitung )
(Oi Ei ) 2 Ei i 1 k
didapat hasil
(2hitung) 1,25
e. Dari uraian hipotesis diatas chi-square hitung 1,25 dan chi-square tabel 7,815, artinya
H0
(2hitung ) (2tabel ) maka
diterima. Jadi pendapat bahwa 369
ORBITH Vol. 7 No. 3 November 2011: 366-370 persentasi kelulusan mahasiswa sama dengan taraf nyata 5% dan derajat bebas 3 adalah benar. 5. Kesimpulan Dari uraian diatas dapat disimpulkan: a. Dalam pengujian beberapa proporsi kasus binomial diperluas menjadi multinomial dan bentuk distribusi yang digunakan adalah chi-square, sedangkan untuk satu atau dua proporsi tetap kasus binomial dengan ditribusi normal standard uji statistik yang digunakan dalam pengujian b. Untuk ukuran sampel besar, pengkajian proporsi dapat melalui pendekatan kasus binomial terhadap distribusi normal standard atau distribusi poisson, dengan penjabaran sederhana dapat ditunjukkan hubungan antara distribusi normal standard dan distribusi chi-square khusus dalam pengujian kesamaan proporsi. c. Pendekatan binomial terhadap poisson dilakukan jika ukuran sampel n cukup besar dan proporsi p atau peluangnya relatif kecil atau q (q=1-p) cukup besar. d. Berdasarkan hasil kajian dapat disimpulkan bahwa proporsi hasil ketidak lulusan setiap prodi adalah sama. DAFTAR PUSTAKA Harinaldi, 2005, Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains, Jakarta: Erlangga. Hasan Iqbal, 2003, Pokok-pokok Materi Statistik 2, Jakarta: Bumi Aksara. Nar Herrhyanto, 2007, Statistik Dasar, Jakarta: Universitas Terbuka Departemen Pendidikan Nasional. Spiegel, 2004, Statistik, Jakarta: Erlangga
370
Stroud, K.A and Booth, D.J. 2003, Engineering Mathematich, London: Macmillan Educatin LTD.
