DISTRIBUSI SKEW-NORMAL SKRIPSI

UNIVERSITAS INDONESIA

DISTRIBUSI SKEW-NORMAL

SKRIPSI

RIYANTO D SETYAWAN 0706261884

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI 2011

Distribusi skew- ..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI, 2011

UNIVERSITAS INDONESIA

DISTRIBUSI SKEW-NORMAL

SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains

RIYANTO D SETYAWAN 0706261884

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI 2011


HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Skripsi ini adalah hasil karya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.

Nama

: Riyanto D Setyawan

NPM

: 0706261884

Tanda Tangan

:

Tanggal

: 12 Juli 2011

iii


HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh Nama NPM Program Studi Judul Skripsi

: : : :

Riyanto D Setyawan 0706261884 Sarjana Matematika Distribusi Skew-Normal

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia

DEWAN PENGUJI

Pembimbing

: Dra. Ida Fithriani, M.Si.

(

)

Penguji

: Dra. Netty Sunandi, M.Si.

(

)

Penguji

: Dra. Rianti Setiadi, M.Si.

(

)

Penguji

: Fevi Novkaniza, M.Si.

(

)

Ditetapkan di Tanggal

: Depok : 17 Juni 2011

iv


KATA PENGANTAR

Puji syukur yang tak terkira saya panjatkan kepada Tuhan Yesus, karena atas berkat dan rahmat-Nya, saya dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains Jurusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia. Saya menyadari bahwa, tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan skripsi ini, sangatlah sulit bagi saya untuk menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, saya mengucapkan terima kasih kepada: (1)

Tuhan Yesus, tentunya Dia yang menguatkan, memampukan, dan terus memberikan berkatnya kepada saya sehingga saya dapat menyelesaikan skripsi ini dengan sebaik-baiknya;

(2)

Dra. Ida Fithriani, selaku dosen pembimbing akademik dan pembimbing skripsi yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk mengarahkan saya dalam penyusunan skripsi ini, juga yang telah memberikan perhatian dan arahannya selama masa empat tahun kuliah;

(3)

Karyawan dan karyawati Tata Usaha dan Perpustakaan Departemen Matematika Universitas Indonesia, yang telah turut mendukung saya baik secara langsung maupun tidak langsung;

(4)

Pak Hengki Tasman, Bu Cecil, dan pihak Sekolah Tirtamarta BPK Penabur, yang telah mengizinkan saya mengalokasikan waktu lebih untuk mengerjakan skripsi, serta memberikan dukungan moral kepada saya;

(5)

Bu Emmy, Kak Bertha, dan staf-staf Kumon Bandung Cinere yang juga telah mengizinkan saya mengalokasikan waktu lebih untuk mengerjakan skripsi saya, dan juga memberikan dukungan moral;

(6)

Orang tua dan keluarga saya yang telah memberikan bantuan dukungan material dan moral;

(7)

Sahabat-sahabat yang telah banyak membantu dan mendukung saya dalam menyelesaikan skripsi ini, Farah, Winda, Syahrul, Riski, Ferdy, Widita, v


Widiyani, Lois, dan Nora; (8)

Teman-teman angkatan 2007 yang juga mengerjakan skripsi dan mengusahakan kelulusan di semester genap 2010/2011, Shafa, Paramitha, Sisca, Farah, Winda, Syahrul, Risky, Ferdy, Lois, Anggun, Adi, Gamar, Anjar, Arif, Bowo, Isna, Widya, Shafira, Adit, Danar;

(9)

Erik, Karina, Prita, Prisia, Trixie, Ninay, Daud, Alice, dan teman-teman pengurus Komisi Pemuda GKI Pondok Indah dan panitia retret Komisi Pemuda, yang telah memberikan kelonggaran serta dukungan kepada saya untuk mengerjakan skripsi ini;

(10) Teman-teman dan senior-senior dari angkatan 2005-2009 yang juga telah memberikan dukungan dalam pengerjaan skripsi ini;

Akhir kata, saya berharap Tuhan berkenan membalas segala kebaikan semua pihak yang telah membantu. Semoga skripsi ini membawa manfaat bagi pengembangan ilmu.

Penulis 2011

vi


HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama NPM Program Studi Departemen Fakultas Jenis karya

: : : : : :

Riyanto D Setyawan 0706261884 Sarjana Matematika Matematika Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul: Distribusi Skew-Normal beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di : Depok Pada tanggal : 12 Juli 2011 Yang menyatakan

(Riyanto D Setyawan)

vii


ABSTRAK

Nama : Riyanto D Setyawan Program Studi : Matematika Judul : Distribusi Skew-Normal Distribusi normal merupakan salah satu distribusi probabilitas data, yang banyak digunakan dalam berbagai bidang karena sifat ideal yang dimilikinya, yaitu distribusi probabilitas data-datanya terpusat di sekitar mean dan distribusi probabilitas data lainnya tersebar secara merata. Namun ada kasus-kasus tertentu di mana distribusi normal sebaiknya tidak digunakan karena akan menghasilkan analisis yang kurang sesuai, terutama ketika data memiliki kemencengan yang kuat dan mempunyai heavy-tail. Pada tugas akhir ini diperkenalkan distribusi probabilitas yang dapat memfasilitasi kemencengan data, yaitu distribusi skewnormal. Distribusi skew-normal merupakan bentuk perluasan dari distribusi normal dengan memasukkan parameter kemencengan. Tugas akhir ini memberikan penjelasan mengenai karakteristik-karakteristik dari distribusi skewnormal univariat dan perluasannya dengan memasukkan parameter location dan scale, serta distribusi skew-normal secara umum dalam bentuk multivariat. Karakteristik-karakteristik yang dimaksud adalah fungsi kepadatan probabilitas, fungsi distribusi, mean, variansi, fungsi pembangkit momen, dan sifat-sifatnya. Kata Kunci

: distribusi normal, kemencengan, distribusi skew-normal, parameter location dan scale, fungsi kepadatan probabilitas, fungsi distribusi, fungsi pembangkit momen, mean, kovariansi, variansi. xiii+204 halaman; 3 gambar; 2 tabel Daftar Pustaka : 20 (1961-2008)

viii

Universitas Indonesia


ABSTRACT

Name : Riyanto D. Setyawan Program Study : Mathematics Title : Skew-Normal Distribution The normal distribution is one of the probability distribution of data, which are widely used in various fields because of the nature of the ideal, namely the probability distribution of data centers around the distribution of average data and other probability is spread evenly. But there are certain cases where the normal distribution should not be used because it will produce less precise analysis, especially when the data has a strong skewness and heavy-tail. This final project will introduce a probability distribution which can facilitate the skewness of data, i.e skew-normal distribution. The skew-normal distribution is an extend form of normal distribution, allowing a skewness parameter. This final project will give an explanation about the chararteristics of the univariate skew-normal distribution and its extend to the location and scale family, and skew-normal distribution in general in multivariate form. The characteristics are probability density function, distribution function, mean, covariance, variance, moment generating function, and the properties of the distribution. Key Words

: normal distribution, skewness, skew-normal distribution, location and scale parameter, probability density function, distribution function, moment generating function, mean, covariance, variance. xiii+204 pages ; 3 pictures; 2 tables Bibliography : 20 (1961-2008)

ix



DAFTAR ISI HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN................................................................................ iv KATA PENGANTAR .............................................................................................v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................ vii ABSTRAK ........................................................................................................... viii ABSTRACT ........................................................................................................... ix DAFTAR ISI ............................................................................................................x DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xii DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xiii BAB 1 PENDAHULUAN ......................................................................................1 1.1 1.2 1.3

Latar Belakang..................................................................................................... 1 Permasalahan ....................................................................................................... 3 Tujuan Penulisan ................................................................................................. 3

BAB 2 LANDASAN TEORI .................................................................................4 2.1 Percobaan Acak dan Ruang Sampel .................................................................... 4 2.2 Fungsi Himpunan Probabilitas ............................................................................ 4 2.3 Variabel Acak ...................................................................................................... 5 2.4 Fungsi Kepadatan Probabilitas ............................................................................ 5 2.5 Fungsi Distribusi ................................................................................................. 6 2.6 Ekspektasi dari Variabel Acak ............................................................................ 7 2.7 Variansi ............................................................................................................... 9 2.8 Fungsi Pembangkit Momen ............................................................................... 10 2.9 Aturan Leibnitz.................................................................................................. 11 2.10 Kemencengan .................................................................................................... 12 2.11 Distribusi Normal .............................................................................................. 13 2.12 Fungsi T-Owen .................................................................................................. 16 2.13 Distribusi Folded-Normal ................................................................................. 19 2.14 Bentuk Khusus dari Distribusi Half-Normal ..................................................... 25 2.15 Distribusi Gamma dan Distribusi Chi-Square ................................................... 28 2.16 Distribusi Bivariat ............................................................................................. 32 2.16.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas.................................................................. 32 2.16.2 Fungsi Distribusi ....................................................................................... 33 2.16.3 Fungsi Kepadatan Probabilitas Marjinal ................................................... 34 2.16.4 Mean ......................................................................................................... 35 2.16.5 Variansi dan Kovariansi ............................................................................ 36 2.16.6 Koefisien Korelasi..................................................................................... 36 2.16.7 Variabel-variabel Acak yang Saling Bebas............................................... 37 2.17 Hubungan Independensi Variabel Acak Normal Standar dan Half-Normal ..... 39 2.18 Sifat Ketertutupan .............................................................................................. 43 2.19 Parameter Location dan Scale ........................................................................... 43 2.20 Matriks dan Sifat-sifat Matriks .......................................................................... 44 2.20.1 Notasi Matriks dan Terminologi ............................................................... 44 2.20.2 Operasi-operasi Matriks ............................................................................ 45 2.20.3 Transpos dari Matriks ............................................................................... 46 2.20.4 Sifat-sifat dari Operasi-operasi Matriks .................................................... 47 2.20.5 Matriks-matriks Nol .................................................................................. 47 2.20.6 Matriks-matriks Identitas .......................................................................... 48 2.20.7 Invers dari Matriks .................................................................................... 48 2.20.8 Matriks-matriks Diagonal, Segitiga, dan Simetris .................................... 49

x



2.20.9 Matriks Definit Positif .............................................................................. 51 2.20.10 Pangkat dari Matriks ................................................................................ 52 2.20.11 Fungsi Determinan dan Sifat-sifatnya...................................................... 53 2.20.12 Ruang Berdimensi-n Euclidean ............................................................... 54 2.20.13 Ruang-ruang Vektor Riil .......................................................................... 55 2.20.14 Kebebasan Linier ..................................................................................... 56 2.20.15 Hasil Kali Dalam...................................................................................... 57 2.20.16 Keortogonalan .......................................................................................... 58 2.20.17 Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................. 59 2.20.18 Diagonalisasi ............................................................................................ 59 2.20.19 Diagonalisasi Ortogonal ........................................................................... 60 2.20.20 Matriks Akar Kuadrat. ............................................................................. 61 2.20.21 Vektor Acak ............................................................................................. 61 2.20.22 Turunan Terhadap Vektor ........................................................................ 63 2.21 Distribusi Normal Multivariat ........................................................................... 64 2.22 Notasi Integral ................................................................................................... 71 2.23 Distribusi Nonsentral-t ...................................................................................... 71

BAB 3 VARIABEL ACAK YANG BERDISTRIBUSI SKEW-NORMAL UNIVARIAT .........................................................................72 3.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas .......................................................................... 73 3.2 Fungsi Distribusi ............................................................................................... 79 3.3 Fungsi Pembangkit Momen ............................................................................... 82 3.4 Sifat-sifat dari Variabel Acak yang Berdistribusi Skew-Normal ....................... 89 3.5 Mean dan Variansi ........................................................................................... 112 3.6 Perluasan: Famili Location-Scale .................................................................... 114 3.6.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas................................................................ 114 3.6.2 Fungsi Distribusi ..................................................................................... 115 3.6.3 Fungsi Pembangkit Momen .................................................................... 119 3.6.4 Mean dan Variansi .................................................................................. 120 3.7 Perbandingan Grafik Normal dan Skew-Normal ............................................. 123 3.8 Contoh ............................................................................................................. 125

BAB 4 VEKTOR ACAK YANG BERDISTRIBUSI SKEW-NORMAL MULTIVARIAT .................................................................127 4.1 Distribusi Skew-Normal Multivariat ................................................................ 127 4.1.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas................................................................ 127 4.1.2 Fungsi Pembangkit Momen .................................................................... 145 4.1.3 Matriks Mean dan Kovariansi ................................................................. 158 4.2 Distribusi Skew-Normal Bivariat ..................................................................... 163 4.2.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas................................................................ 163 4.2.2 Fungsi Pembangkit Momen .................................................................... 170 4.2.3 Mean, Kovariansi, dan Variansi .............................................................. 172 4.3 Contoh ............................................................................................................. 180

BAB 5 PENUTUP...............................................................................................183 5.1 5.2

Kesimpulan ...................................................................................................... 183 Saran ................................................................................................................ 187

DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................188

xi



DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Gambar 3.1 Gambar 3.2

Grafik Distribusi Half-Normal................................................... ........25 Grafik Distribusi Normal Standar......................................................124 Grafik Distribusi Skew-Normal Univariat.........................................124

xii



DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Lampiran 2 Lampiran 3 Lampiran 4

Indeks dan Parameter Kemencengan.................................................190 Matriks Ω dan Sifat-sifatnya..............................................................196 Tabel Nilai Probabilitas Distribusi Normal Standar..........................199 Tabel Nilai Fungsi T-Owen................................................................200

xiii



BAB 1 PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

Distribusi probabilitas data adalah penyebaran probabilitas data terkait dengan suatu kejadian tertentu. Distribusi probabilitas sangat terkait dengan variabel acak. Misalkan dcari suatu percobaan acak diperoleh suatu ruang sampel. Variabel acak adalah fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke satu dan hanya satu bilangan riil [Hogg-Craig, 1995]. Setiap variabel acak memiliki ruang nilai, yaitu daerah hasil dari variabel acak, yang merupakan subhimpunan dari bilangan riil. Berdasarkan ruang nilainya, ada dua jenis variabel acak, yaitu variabel acak yang berdistribusi probabilitas diskret dan variabel acak yang berdistribusi probabilitas kontinu. Variabel acak yang berdistribusi probabilitas diskret adalah variabel acak yang memiliki ruang nilai yang terhitung. Contoh: variabel acak yang berdistribusi binomial, Poisson, dan hipergeometrik. Sedangkan variabel acak yang berdistribusi probabilitas kontinu adalah variabel acak yang memiliki ruang nilai yang tidak terhitung. Contoh: variabel acak yang berdistribusi normal, normal bivariat, Gamma, beta, F, dan Chi-square. Di dalam berbagai aplikasi di dunia nyata, terdapat suatu distribusi probabilitas data yang sudah dikenal luas dan sering digunakan, yaitu distribusi normal. Distribusi normal memiliki karakteristik yang penting, yaitu distribusi probabilitas datanya terpusat di sekitar mean, dan probabilitas data-data lainnya tersebar secara merata. Grafik fungsi kepadatannya berbentuk lonceng (bellshaped). Karakteristik yang dimiliki distribusi normal tersebut dianggap ideal. Oleh karena itu, distribusi probabilitas ini sering digunakan untuk melakukan analisis data dalam berbagai jenis aplikasi. Namun, hal ini dapat menjadi tidak realistis, karena dalam kehidupan nyata tidak semua data berdistribusi normal. Oleh karena itu, pada banyak kasus di mana data tidak berdistribusi normal, tidak disarankan untuk melakukan analisis data dengan menggunakan distribusi normal, karena

1



2

hasil analisis data akan kurang atau tidak sesuai, khususnya untuk data dengan kemencengan yang kuat dan mempunyai heavy-tail. Kemencengan merupakan ukuran ketidaksimetrisan dari suatu distribusi probabilitas data. Jika kemencengan suatu distribusi bernilai 0, berarti distribusi tersebut simetris. Distribusi normal memiliki kemencengan bernilai 0 dan bukan merupakan distribusi probabilitas yang mempunyai heavy-tail. Untuk dapat mengetahui apakah data berdistribusi normal atau tidak, terkait dengan kemencengannya, perlu dilakukan pengujian hipotesis. Data yang memiliki kemencengan yang signifikan, atau berarti kemencengannya melebihi batas tertentu pada pengujian hipotesis, data tersebut merupakan data yang tidak berdistribusi normal. Pada kasus di mana data tidak berdistribusi normal, seringkali pada kenyataannya banyak orang tetap mengasumsikan bahwa data tersebut berdistribusi normal, atau hampir normal, jika kemencengan dianggap masih bisa ditolerir, atau dengan metode transformasi, mengusahakan agar data tersebut dapat dianalisis dengan menggunakan distribusi normal. Metode demikian merupakan metode yang kurang tepat, dan menjadi tidak realistis. Seharusnya, seperti telah disebutkan sebelumnya, tidak disarankan untuk tetap melakukan analisis dengan menggunakan distribusi normal. Jadi, diperlukan distribusi probabilitas yang lain, yang dapat memfasilitasi kemencengan distribusi probabilitas data. Beberapa distribusi probabilitas data yang dikenal dapat memfasilitasi kemencengan distribusi probabilitas data adalah distribusi F, Chi-square, log-normal, dan Weibull. Jika dilihat bentuk grafik fungsi kepadatan dari distribusi-distribusi probabilitas tersebut, memang distribusi-distribusi probabilitas tersebut dapat memfasilitasi masalah kemencengan data. Namun, distribusi-distribusi yang menjadi contoh tersebut hanya bisa digunakan untuk ruang nilai nonnegatif atau positif. Jadi, ruang nilai negatif tidak difasilitasi oleh variabel-variabel acak tersebut. Selain distribusi F, Chi-square, log-normal, Weibull, terdapat distribusidistribusi probabilitas lain yang juga dapat memfasilitasi kemencengan data. Namun, distribusi-distribusi probababilitas tersebut kurang atau tidak dapat



3

memfasilitasi data yang memiliki bentuk distribusi probabilitas terpusat di sekitar mean tetapi kurang atau tidak simetris. Dalam tugas akhir ini, akan diperkenalkan dan dibahas suatu distribusi probabilitas data yang merupakan perluasan dari distribusi normal, yang dapat memfasilitasi kemencengan data saja, tetapi tidak terkait dengan data yang mempunyai heavy-tail, dan data yang berdistribusi probabilitas terpusat di sekitar mean tetapi kurang atau tidak simetris. Distribusi probabilitas data tersebut adalah distribusi skew-normal. Distribusi skew-normal ini dibangun dengan menggunakan distribusi normal standar. Pada pembahasan selanjutnya akan terlihat bahwa variabel acak ini memiliki suatu parameter yang disebut parameter kemencengan. Parameter ini menentukan kemencengan dari distribusi probabilitas data. Jika parameter ini bernilai nol, maka variabel acak berdistribusi normal standar, yang simetris.

1.2

Permasalahan

Bagaimana karakteristik dari distribusi skew-normal?

1.3

Tujuan Penulisan

Mempelajari karakteristik-karakteristik distribusi skew-normal.



BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1

Percobaan Acak dan Ruang Sampel

Misalkan terdapat suatu percobaan, hasilnya tidak dapat diprediksi dengan pasti. Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dilakukan berulang kali dan di dalam kondisi yang sama. Ruang sampel adalah koleksi dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak.

2.2

Fungsi Himpunan Probabilitas Misalkan C menyatakan himpunan dari semua hasil yang mungkin dari

suatu percobaan acak, atau disebut ruang sampel.

Definisi 2.1. Jika P(C) didefinisikan untuk suatu tipe subhimpunan dari ruang C, dan jika (a) P(C) ≥ 0 (b) P(C1  C2  C3  )  P(C1 )  P(C2 )  P(C3 ) 

, di mana himpunan

himpunan Ci, i = 1, 2, 3, . . ., adalah saling lepas, yaitu Ci  C j  , i  j (c) P(C) = 1, maka P disebut fungsi himpunan probabilitas dari hasil percobaan acak. Untuk setiap subhimpunan C dari C, bilangan P(C) disebut probabilitas bahwa hasil dari percobaan acak adalah elemen dari himpunan C, atau probabilitas kejadian C. Suatu fungsi himpunan probabilitas memberitahukan bagaimana probabilitas didistribusikan terhadap berbagai subhimpunan C dari suatu ruang sampel C. Dalam hal ini disebut distribusi probabilitas.

4



5

Beberapa sifat dari suatu fungsi himpunan probabilitas adalah: 1. Untuk setiap C  C, P(C) = 1 – P(C*). 2. Probabilitas dari himpunan kosong adalah nol; yaitu, P()  0 . 3. Jika C1 dan C2 adalah subhimpunan-subhimpunan dari C sedemikian sehingga C1  C2 , maka P(C1) ≤ P(C2).

4. Untuk setiap C  C, 0 ≤ P(C) ≤ 1. 5. Jika C1 dan C2 adalah subhimpunan-subhimpunan dari C, maka P(C1  C2 )  P(C1 )  P(C2 )  P(C1  C2 ) .

2.3

Variabel Acak

Berikut ini diberikan definisi dari variabel acak.

Definisi 2.2. Perhatikan suatu percobaan acak dengan ruang sampel C. Suatu fungsi X, yang memetakan setiap elemen c  C satu dan hanya satu bilangan riil X(c) = x, disebut variabel acak [Hogg-Craig 5th ed.; 1995].

Ruang nilai dari variabel acak X adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil A = {x | x = X(c), c  C}.

2.4

Fungsi Kepadatan Probabilitas

Misalkan X menyatakan suatu variabel acak dengan ruang nilai satu dimensi A. Misalkan A berisi nilai-nilai bilangan yang terhitung. Ruang A yang demikian disebut himpunan diskret dari nilai-nilai. Hal yang serupa berlaku juga untuk variabel acak kontinu, tetapi A berisi nilai-nilai bilangan yang tidak terhitung. Universitas Indonesia


6

Untuk kasus diskret, misalkan X menyatakan variabel acak dengan ruang satu dimensi A, yang memuat titik-titik bilangan yang terhitung. Misalkan f(x) adalah suatu fungsi sedemikian sehingga f(x) ≥ 0, x  , dan

 f ( x)  1 . A

Ketika suatu fungsi himpunan probabilitas P(A), A  A, dapat dinyatakan dalam bentuk

P( A)  Pr( X  A)   f ( x) ,

(2.1)

A

maka X disebut sebagai variabel acak tipe diskret dan f(x) disebut sebagai fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p) dari X. Untuk kasus kontinu, misalkan X menyatakan variabel acak dengan ruang satu dimensi A, yang memuat suatu interval atau gabungan dari interval-interval. Misalkan f(x) adalah suatu fungsi sedemikian sehingga f(x) ≥ 0, x  , dan



A

f ( x)dx  1 . Ketika suatu fungsi himpunan probabilitas P(A), A  A, dapat dinyatakan

dalam bentuk

P( A)  Pr( X  A)   f ( x)dx ,

(2.2)

A

maka X disebut variabel acak tipe kontinu dan f(x) disebut fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p) dari X.

2.5

Fungsi Distribusi

Misalkan variabel acak X mempunyai fungsi himpunan probabilitas P(A), di mana A adalah himpunan satu dimensi. Ambil bilangan rill x dan perhatikan himpunan A yang merupakan himpunan yang tidak terbatas dari – ∞ sampai x, termasuk titik x itu sendiri. Untuk setiap himpunan A yang demikian, diperoleh P(A) = Pr(X  A) = Pr(X ≤ x). Probabilitas ini bergantung pada nilai x; yaitu, probabilitas ini adalah fungsi dari x. Fungsi nilai ini dinyatakan dengan F(x) = Pr (X ≤ x).

(2.3) Universitas Indonesia


7

Fungsi F(x) dikenal dengan sebutan fungsi distribusi, atau fungsi distribusi kumulatif (f.d.k) dari variabel acak X. Karena F(x) = Pr (X ≤ x), maka dengan f(x) adalah f.k.p, diperoleh: Untuk X variabel acak diskret:

F ( x)   f ( w) .

(2.4)

w x

Untuk X variabel acak kontinu:

F ( x)  

x



f ( w)dw , sehingga F' ( x)  f ( x) .

(2.5)

Berikut diberikan sifat-sifat dari suatu fungsi distribusi. 1. 0  F(x)  1. 2. F(x) merupakan fungsi tidak turun. 3. F(∞) = 1 dan F(– ∞) = 0. 4. F(x) kontinu kanan.

2.6

Ekspektasi dari Variabel Acak

Misalkan X adalah suatu variabel acak yang mempunyai f.k.p. f(x) sedemikian sehingga dimiliki kekonvergenan absolut; dalam kasus diskret,

 | x | f ( x)

konvergen ke suatu batas berhingga,

x

atau, dalam kasus kontinu,







| x | f ( x)dx konvergen ke suatu batas berhingga.

Ekspektasi dari suatu variabel acak adalah

E ( X )   xf ( x) ,

dalam kasus diskret,

(2.6)

x

atau 

E ( X )   xf ( x)dx , 

dalam kasus kontinu.

(2.7)

Ekspektasi E(X) disebut juga sebagai ekspektasi matematika dari X atau nilai harapan dari X.



8

Perhatikan suatu fungsi dari variabel acak X dengan ruang nilai A. Misalkan fungsi ini adalah Y = u(X). Misalkan X merupakan variabel acak yang bertipe kontinu dan y = u(x) merupakan fungsi kontinu naik dari X dengan invers fungsinya x = w(y), yang juga merupakan fungsi naik. Jadi, Y adalah suatu variabel acak dan fungsi distribusinya adalah G(y) = Pr(Y ≤ y) = Pr[u(X) ≤ y] = Pr[X ≤ w(y)]



w( y )



f ( x)dx

di mana f(x) adalah f.k.p dari X. Dengan salah satu bentuk dari Teorema Dasar Kalkulus, g(y) = G'(y) = f[w(y)]w'(y) , y  B, =0

,

(2.8)

lainnya,

di mana B = {y | y = u(x), x  A}. Dengan definisi, nilai harapan dari Y adalah 

E (Y )   yg ( y)dy .

(2.9)



Dengan menggunakan teknik perubahan variabel dari integrasi melalui y = u(x) atau, secara ekivalen, x = w(y). Karena

dx  w' ( y )  0 , dy

(2.10)

diperoleh 

E (Y )   yg ( y)dy  

  u ( x) g[u ( x)] 

1 dx w'[u ( x)]



  u ( x) f ( x)dx .

(2.11)



Hal ini benar secara umum dan juga tidak ada perbedaan apakah X variabel acak bertipe diskret atau kontinu dan Y = u(X) tidak harus merupakan fungsi naik dari X. Jadi, jika Y = u(X) mempunyai ekspektasi, dapat diperoleh dari (2.11) bahwa



9



E[u ( X )]   u ( x) f ( x)dx ,

(2.12)



untuk kasus kontinu, dan

E[u ( X )]   u( x) f ( x) ,

(2.13)

x

untuk kasus diskret.

Berikut ini diberikan beberapa sifat dari ekspektasi matematika: 1. Jika k adalah sebuah konstanta, maka E(k) = k. 2. Jika k adalah sebuah konstanta dan V adalah suatu variabel acak, maka E(kV) = kE(V). 3. Jika k1, k2, ..., km adalah konstanta-konstanta dan V1, V2, ..., Vm adalah variabel-variabel acak, maka E(k1V1 + k2V2 + ... + kmVm ) = k1E(V1) + k2E(V2) + ... kmE(Vm).

2.7

Variansi

Misalkan X adalah suatu variabel acak yang mempunyai f.k.p f(x). Variansi dari suatu variabel acak X adalah suatu ekspektasi matematika dari (X – μ)2, dengan μ = E(X). Var(X) = E[(X - μ)2] = E(X2 – 2μX + μ2) = E(X2) – E(2μX) + E(μ2) = E(X2) – 2μE(X) + E(μ2) = E(X2) – 2μE(X) + μ2 = E(X2) – 2μ.μ. + μ2 = E(X2) – 2μ2 + μ2 = E(X2) – μ2 = E(X2) – [E(X)]2.

(2.14)



10

2.8

Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan terdapat suatu bilangan positif h sedemikian sehingga untuk – h < t < h ekspektasi matematika E  etX  ada. Jadi,

 



E etX   etx f ( x)dx ,

(2.15)



jika X adalah variabel acak tipe kontinu, atau

 

E etX   etx f ( x) ,

(2.16)

x

jika X adalah variabel acak tipe diskret. Ekspektasi matematika ini dikenal dengan sebutan fungsi pembangkit momen (f.p.m.) dari variabel acak X (atau dari distribusi) dan dinyatakan dengan M(t) atau MX(t). M X (t )  E  etX  .

(2.17)

Jika t = 0, diperoleh MX(0) = 1. Tidak semua distribusi memiliki f.p.m, tetapi jika f.p.m. ada, fungsi ini unik dan menentukan distribusi dari variabel acak. Jadi, jika dua variabel acak memiliki f.p.m. yang sama, berarti keduanya memiliki distribusi yang sama. Momen ke-k dari distribusi dari variabel acak X dinotasikan dengan

 

M X( k ) (0) , di mana M X( k ) (0)  E X k . E(X) dan E(X2) merupakan momen pertama

dan kedua dari suatu distribusi, yang dinyatakan sebagai E ( X )  M 'X (0) ,

E  X 2   M ''X (0) .

(2.18)

Jadi, mean dan variansi dari variabel acak X adalah E ( X )  M 'X (0) ,

(2.19) 2

Var( X )  M ''X (0)   M 'X (0)  .

(2.20)



11

2.9

Aturan Leibnitz

Aturan Leibnitz. Misalkan f(x, t) merupakan suatu fungsi kontinu dan mempunyai turunan f / t yang kontinu pada domain dari bidang-xt yang di dalamnya termasuk persegi a  x  b, t1  t  t2. Maka untuk t1  t  t2, b f d b f ( x , t ) dx  a t f ( x, t )dx . dt a

(2.21)

Dengan kata lain, diferensiasi dan integrasi dapat ditukar.

Bukti: Misalkan g (t )  

b

a

f ( x, t )dx , untuk t1  t  t2. t

Karena f / t kontinu, maka g(t) kontinu untuk t1  t  t2. Untuk t1  t3  t2, diperoleh



t3

t1

g (t )dt  

t3

t1



b



b

a

a



b

a



t3

t1

f ( x, t )dxdt t f ( x, t )dtdx t

 f ( x, t3 )  f ( x, t1 ) dx

b

b

a

a

  f ( x, t3 )dx   f ( x, t1 )dx

 F (t3 )  F (t1 ) ,

(2.22) b

dengan F(t) didefinisikan sebagai F (t )   f ( x, t )dx . a

Jika dimisalkan t3 merupakan variabel t, berarti t1  t  t2 dan diperoleh t

F (t )  F (t1 )   g (u )du .

(2.23)

t1

Kedua sisi dari (2.23) kemudian dapat diturunkan terhadap t. Dengan Teorema Dasar Kalkulus, diperoleh

d  F (t )  F (t1 ) dt

t



d  g (u )du t1

dt Universitas Indonesia


12

F' (t )  g (t )  

b

a

f ( x, t )dx t

(2.24)

b f d b f ( x, t )dx   f ( x, t )dx .  a t dt a

Jadi, terbukti bahwa jika f(x, t) merupakan suatu fungsi kontinu dan mempunyai turunan f / t yang kontinu pada domain dari bidang-xt yang di dalamnya termasuk persegi a  x  b, t1  t  t2, maka untuk t1  t  t2, b f d b f ( x, t )dx   f ( x, t )dx .  a a dt t

2.10

Kemencengan Misalkan X adalah suatu variabel acak. E(X) = μ disebut momen pertama

dan E(X2) momen kedua dari distribusi dari variabel acak X. Secara umum, E(Xk) disebut momen ke-k dari X dan E[(X – μ)k] disebut momen tengah ke-k dari X. Momen tengah ketiga yang distandardisasi yang dinyatakan oleh 3 E  X     , 3   3

(2.25)



disebut kemencengan dari distribusi dari variabel acak X. Kemencengan mengukur ketidaksimetrisan dari suatu distribusi. Jika kemencengan bernilai 0 berarti distribusi tersebut simetris. Jika kemencengan bernilai negatif, berarti distribusi probabilitas datanya menceng negatif, atau disebut juga menceng kiri (mempunyai tail kiri yang lebih panjang). Jika kemencengan bernilai positif, berarti distribusi probabilitas datanya menceng positif, atau disebut juga menceng kanan (mempunyai tail kanan yang lebih panjang). Dalam kasus distribusi yang tidak simetris, derajat ketidaksimetrisan disebut kemencengan. Formula untuk kemencengan ini adalah

3  atau dapat juga 33 , 3  2

(2.26)

di mana

3 

1 N

 f (x  x ) i

i

3

,

(2.27)

i



13

dan 1 3   N

3

 i

2 fi ( xi  x )2  . 

(2.28)

Definisi kemencengan yang seringkali digunakan adalah definisi menurut Karl Pearson, yaitu kemencengan 

2.11

mean  modus . standar deviasi

(2.29)

Distribusi Normal

Perhatikan integral

  y2  I   exp   dy .   2  

Integral ini ada karena integran (fungsi yang diintegralkan) merupakan fungsi yang kontinu positif yang terbatas oleh suatu fungsi yang dapat diintegralkan, yaitu

  y2  0  exp    exp   | y | 1 ,  2 

  y   ,

dan







exp   | y | 1 dy  2e .

Untuk menghitung nilai integral I, ingat bahwa I > 0 dan I2 dapat ditulis sebagai

 y2  z2  I    exp    dydz .   2   

2



Integral ini dapat dihitung dengan mengubahnya ke koordinat polar. Jika y = rcos dan z = rsin, diperoleh

I2  

2

0





0

e r /2 rdrd 2

2

  d  2 . 0



14

Dari hasil tersebut, diperoleh I  2 dan







1  y 2 /2 e dy  1 . 2

Jika diperkenalkan suatu variabel baru dari integrasi, sebut x, dengan menulis y

xa , b

b0,

Integral I / 2 menjadi

 ( x  a) 2  1  b 2 exp  2b2  dy  1 . 

Karena b > 0, hal ini mengakibatkan

f ( x) 

 ( x  a) 2  1 exp   , 2b2  b 2 

  x  

(2.30)

memenuhi kondisi-kondisi untuk menjadi suatu f.k.p. dari variabel acak kontinu. Variabel acak bertipe kontinu yang mempunyai f.k.p. dengan bentuk f(x) disebut mempunyai distribusi normal, dan sebarang f(x) dari bentuk ini disebut f.k.p. normal. F.p.m dari distribusi normal dapat diperoleh dengan menggunakan (2.15), yaitu:

 ( x  a) 2  1 M (t )   e exp    dx  2b2  b 2  



tx

  etx 

(2.31)

 2b2tx  x 2  2ax  a 2  1 exp    dx . 2b2 b 2  

Pada M(t) di atas, dengan menggunakan kuadrat sempurna diperoleh:

 a 2  ( a  b 2t ) 2   1  ( x  a  b 2t ) 2  M (t )  exp   exp     dx 2b2 2b2 b 2    

 b 2t 2   exp  at   2   karena integran dari bentuk integral

(2.32)

 ( x  a  b 2t ) 2  1 exp  b 2  2b2  dx merupakan 

f.k.p. normal dengan parameter a pada (2.30) disubstitusikan dengan a + b2t, maka integral tersebut bernilai 1. Universitas Indonesia


15 Mean µ dan variansi ζ2 dari distribusi normal akan dicari melalui M(t) dengan menggunakan (2.18), (2.19), dan (2.20).

 b 2t 2  2 2 M' (t )  exp  at    (a  b t )  M (t )(a  b t ) 2   dan

  b 2t 2  b 2t 2  2 2 2 M'' (t )  exp  at   ( a  b t )  exp at    b 2  2   

 M (t )(a  b2t )2  M (t )b2 . Maka, mean distribusi normal adalah µ = M'(0) = M(0).a = a,

(2.33)

dan variansinya adalah ζ2 = M''(0) - µ2 = M(0)b2 + M(0)a2 – a2 = b2 + M(0)a2 – a2 = b2.

(2.34)

Jadi, bentuk f.k.p normal adalah

f ( x) 

 ( x   )2  1 exp   , 2 2   2 

  x   ,

(2.35)

Suatu bentuk yang menunjukkan secara eksplisit nilai-nilai dari µ dan ζ2. f.p.m. M(t) dapat ditulis sebagai

  2t 2  M (t )  exp  t  . 2  

(2.36)

Untuk penghitungan probabilitas Pr(X  x), digunakan standardisasi ke distribusi normal standar N(0, 1), yaitu dengan mendefinisikan Z

X 



,

(2.37)

sehingga  X  x  Pr  X  x   Pr       x   .  Pr  Z    



16

Nilai-nilai probabilitas Pr(Z  z) dengan z 

x



diberikan pada bagian

Lampiran 3.

2.12

Fungsi T-Owen

Fungsi T-Owen memiliki bentuk  1  exp   h 2 1  x 2  1   2  dx , T (h,  )  2  0 2 1 x





h > – ∞, α < + ∞.

(2.39)

Sifat-sifat dari fungsi T-Owen adalah: 1. T(h, α) merupakan fungsi turun dari h. Bukti: Ambil sebarang h1 , h2 

di mana h1 < h2.

1 1 Karena h1 < h2 maka, h12  h22 dan  h12   h22 . 2 2 1 1 Karena 1 + x2 > 0, maka diperoleh  h12 1  x 2    h22 1  x 2  . 2 2 1 1 Karena  h12 1  x 2    h22 1  x 2  , diperoleh 2 2

 1   1  exp   h12 1  x 2   exp   h22 1  x 2  dan  2   2 









1  1  1  1  exp   h12 1  x 2   exp   h22 1  x 2  . Karena 1 + x2 > 0, maka 2  2  2  2 









   1   1  exp   h12 1  x 2    exp   h22 1  x 2      1   2   1   2  .     2 2 2  1  x  1  x   2          

Sesuai dengan sifat fungsi yang dapat diintegralkan, diperoleh   1  exp   h12 1  x 2      1   2   dx   1  0 2  0 2 2 1  x       

  1  exp   h22 1  x 2       2   dx , atau   2 1  x        Universitas Indonesia


17

 1  exp   h12 1  x 2  1   2  dx  1  2 2 0 2 1 x









 1  exp   h22 1  x 2    2  dx . 0 2 1 x









Berarti diperoleh T(h1, α) > T(h2, α). Jadi, diperoleh bahwa T(h1, α) > T(h2, α) untuk sebarang h1 < h2, atau berarti terbukti bahwa T(h, α) merupakan fungsi turun dari h.

2. – T(h, α) = T(h, – α).

(2.40)

Bukti: 1 T (h,  )  2



 1  exp   h 2 1  x 2   2  dx 2 1 x ,





0



h > – ∞, α < + ∞.

Jika α disubstitusi dengan – α, diperoleh  1  exp   h 2 1  x 2  1  2   dx . T (h,   )  2  0 2 1 x





Misalkan: x = – p;

dx = – dp.

Jadi, diperoleh

T (h,   ) 

1 2





0

 1  exp   h 2 1  x 2   2  dx 2 1 x





 1  exp   h 2 1  p 2  1   2  (dp)  2  0 2 1 p



T (h,   )  

1 2





0



 1  exp   h 2 1  p 2   2  dp 2 1 p





 T (h,  ) .

Jadi, terbukti bahwa – T(h, α) = T(h, – α).



18 3. T(– h, α) = T(h, α).

(2.41)

Bukti: Fungsi T-Owen adalah  1  exp   h 2 1  x 2  1   2  dx T (h,  )  2  0 2 1 x ,





h > – ∞, α < + ∞.

Jika h disubstitusi dengan – h, diperoleh  1  exp   h 2 1  x 2  1   2  dx T (h,  )  2  0 2 1 x





 T (h,  )

Jadi, terbukti bahwa T(– h, α) = T(h, α).

4. 2T(h, 1) = Φ(h)Φ(– h).

(2.42)

Bukti:  1  exp   h 2 1  x 2  1   2  dx, T (h,  )   2 0 1  x2





h   ,    

.

Dari [Owen, 1956], diperoleh persamaan

1 1 1  T (h,  )  (h)  ( h)  (h)( h)  T   h,  . 2 2   Jadi, untuk α = 1, T (h,1) 

1 1 (h)  (h)  (h)(h)  T (h,1) 2 2

2T(h,1) = (h) – (h)(h) 2T(h,1) = (h)[1 – (h)] 2T(h,1) = (h)(– h). Jadi, terbukti bahwa 2T(h,1) = (h)(– h). Nilai-nilai dari fungsi T-Owen disajikan pada bagian Lampiran 4.



19

2.13

Distribusi Folded-Normal Misalkan X adalah variabel acak yang berdistribusi normal N(μ, ζ2).

Perhatikan f.k.p dari X, yaitu

f ( x) 

2 2 1 e ( x   ) /2 ,  2

  x  

(2.43)

di mana μ dan ζ2 adalah mean dan variansinya secara berurutan. Misalkan Y = |X|. A = {x | – ∞ < x < ∞}. B = {y | 0 ≤ y < ∞}. y = |x| bukan merupakan transformasi satu-satu. Ambil A1 dan A2 di mana A1, A2  A, A1  A2 = A, dan A1  A2 = . A1 = {x | –  < x < 0}. A2 = {x | 0 ≤ x < }. Pemetaannya dengan transformasi y = |x| adalah: A1 = {x | –  < x < 0} →

{y | 0 < y < }.

A2 = {x | 0 ≤ x < }

{y | 0 ≤ y < }.

→

Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, letak perbedaannya yaitu pada y = 0. Maka dari itu, ruang nilai akan didefinisikan kembali untuk mengatasi permasalahan ini. Didefinisikan kembali untuk x = 0, y = 0. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {x | –  < x < , x  0}. B = {y | 0 < y < }. Inversnya adalah: x=–y

;

x = y,

dx = – dy

;

dx = dy.

J1 = – 1

;

J2 = 1,

| J1 | = 1

;

| J2 | = 1.

Jacobian-nya:

Misalkan B  B. Universitas Indonesia


20 A3 = {x | x = – y, y  B}  A1. A4 = {x | x = y, y  B}  A2.

Pr(Y  B)  Pr( X  A3 )  Pr( X  A4 ) 

 f ( x)dx   f ( x)dx A3

A4

  f ( y) | J1 | dy   f ( y) | J 2 | dy B

B

  f ( y) 1dy   f ( y) 1dy B

B

  f ( y)dy   f ( y)dy B

B

 1  e B  2  1  e B  2

(  y   )2 2 2

( y   )2 2 2

 1 dy   e B  2

 1 dy   e B  2

( y   )2 2 2

( y   )2 2 2

( y ) ( y  )  1   1 2 2 2   e  e 2  2 B   2 2

( y )   ( y  2)  2 2  e 2 e  2

1  B  2

2

2

dy

dy

  dy 

  dy 

( y ) ( y )   1   2 2 2   e 2  dy . e   B  2  2

2

Jadi, f.k.p dari variabel acak Y adalah g ( y) 

1  2

0

   ( y   )2   ( y   )2    exp   exp     , 2 2 2 2        ,

y0

(2.44)

lainnya.

Variabel acak yang mempunyai f.k.p tersebut dinamakan dengan variabel acak yang berdistribusi folded-normal. Distribusi half-normal adalah bentuk khusus dari distribusi folded-normal, yaitu ketika μ = 0.



21

 y2   y 2  1  g ( y)  exp     exp   2    2   2 2   2     y 2  2exp    2   2   



1  2



 y2  2 exp   2  .  2  2 

Jadi, variabel acak yang berdistribusi half-normal mempunyai f.k.p

 y2  2 g ( y)  exp   2  ,  2  2  0 ,

y0

(2.45)

lainnya.

Fungsi distribusi dari variabel acak Y adalah

G( y)  

 y2  2 exp   2  dy  2  2 

y

0



2  2



y

0

 y2  exp   2  dy ,  2 

(2.46)

dan f.p.m dari variabel acak Y dapat dicari sesuai (2.15), yaitu

 

M Y (t )  E etY

























0

0

0

0

0

0

 y2  2 exp(ty)  exp   2  dy  2  2   y2  2 exp(ty) exp   2  dy  2  2 

 2 y2  exp  ty  2  dy 2   2   y 2  2ty 2  2 exp    dy 2 2   2  

 y 2  2ty 2  t 2 4  t 2 4  2 exp    dy 2 2  2    y 2  2ty 2  t 2 4 t 2 4  2 exp     dy 2 2 2 2   2  Universitas Indonesia


22

M Y (t )  



0

 y 2  2ty 2  t 2 4   t 2 4  2 exp   exp dy   2  2 2  2    2 

 t 2 4   2  y 2  2ty 2  t 2 4   exp  exp    dy 2  2 2  2  0  2    t 2 2   2  y 2  2ty 2  t 2 4   exp  exp    dy 2 2  2  0  2  



 y  t 2  t 2 2   2  exp  exp    0  2 2 2  2    



2

  dy .  

(2.47)

Kemudian dengan menggunakan metode substitusi: Misalkan: y = p + tζ2;

dy = dp.

Batas integrasinya: Jika y = 0, maka p = – tζ2;

jika y = ∞, maka p = ∞.

Jadi, diperoleh:



 y  t 2  t 2 2   2 M Y (t )  exp  exp    0  2 2  2   2 



2

  dy  

 t 2 2    p2  2  exp  exp  2   2  dp .  2  t  2  2 

(2.48)

Misalkan: p = – s;

dp = – ds.

Batas integrasinya: Jika p = – tζ2, maka s = tζ2; jika p = ∞, maka s = – ∞. Jadi, diperoleh

 t 2 2    p2  2 M Y (t )  exp  exp  2   2  dp  2  t  2  2 

 t 2 2   2  s2   exp  exp  t 2   2  ( ds) 2  2     2 



23

 t 2 2  t 2 2  s2  M Y (t )  exp  exp    2  ds  2    2  2 

 t 2 2  t 2 1  s2   2exp  exp   2  ds .   2    2  2  Jadi, f.p.m dari variabel acak Y yang berdistribusi half-normal adalah

 t 2 2  t 2 1  s2  M Y (t )  2exp  exp    2  ds .  2    2  2 

(2.49)

Mean dan variansinya dapat dicari dengan mencari turunan pertama dan kedua dari f.p.m dari variabel acak Y terlebih dahulu.

 t 2 2  2 t 2 1  s2  M (t )  2exp  exp   2  ds    t   2  2   2  ' Y

 t 2 2    t 2 4  2exp  exp   2   2  2  2 

 t 2 2  t 2 1  s2   2t 2 exp  exp    2  ds   2    2  2   t 2 2   t 2 2  2 exp   exp    2  2  2  

 t 2 2  t 2 1  s2  2  2t 2 exp  exp .     2  ds   2 2  2   2 

(2.50)

 t 2 2  t 2 1  s2  M Y'' (t )  2 2 exp  exp    2  ds   2    2  2   t 2 2  2 t 2 1  s2  2t 2 exp   t  exp    2  ds    2  2     2 

 t 2 2    t 2 4  2t 2 exp  exp    2   2  2  2   t 2 2  t 2 1  s2  M Y'' (t )  2 2 exp  exp    2  ds   2    2  2   t 2 2  t 2 1  s2  2t 2 4 exp  exp    2  ds   2    2  2 



24

 t 2 2   t 2 2  2t 3 exp  exp    2  2  2  

 t 2 2  t 2 1  s2   2 exp  exp   2  ds    2    2  2  2

 t 2 2  t 2 1  s2  2t 3 2t 2 4 exp  exp  ds  .   2  2  2    2  2 

(2.51)

Kemudian mencari momen pertama dan kedua, serta variansinya dengan menggunakan persamaan (2.18), (2.19), dan (2.20).

2 2  .  2

E (Y )  M Y' (0) 

(2.52)

1 E Y 2  M Y'' (0)  2 2     2 . 2

 

(2.53)

Dengan menggunakan persamaan (2.14), diperoleh

 

Var(Y )  E Y 2   E (Y )

2

 2      2 

2

2

2  2 

4 2 2 2 2



 2   2 1   .  

(2.54)

Jadi, mean dan variansi dari variabel acak Y adalah

E (Y )  

2



,

 2 Var(Y )   2 1   .  

Berikut ini diberikan gambar grafik dari distribusi half-normal, yaitu



25

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Half-Normal

2.14

Bentuk Khusus dari Distribusi Half-Normal Misalkan variabel acak Y berdistribusi half-normal dengan parameter ζ2.

Sesuai dengan (2.45), f.k.p dari Y adalah

 y2  2 g ( y)  exp   2  ,  2  2  0 ,

y0 lainnya.

Untuk ζ = 1, maka

 y2  2 g ( y)  exp    , 2  2  0 ,

y0

(2.55)

lainnya.

Akan ditunjukkan bahwa jika Z ~ N(0, 1), maka |Z| dan Y pada saat ζ = 1 berdistribusi identik. Misalkan Z ~ N(0, 1), dan f.k.p dari variabel acak Z adalah 2

1  z2 h( z )  e , 2

  z  .

Misalkan W = |Z|. A = {z | – ∞ < z <∞}. Dengan transformasi w = |z| diperoleh B = {w | 0 ≤ w < ∞}. Universitas Indonesia


26 Karena A = {z | – ∞ < z < ∞}dan B = {w | 0 ≤ w < ∞}, maka, w = |z| bukan transformasi satu-satu. Ambil A1 dan A2 di mana A1, A2  A, A1  A2 = A, dan A1  A2 = . A1 = {z | –  < z < 0}. A2 = {z | 0 ≤ z < }. Pemetaannya dengan transformasi w = |z| adalah: A1 = {z | –  < z < 0} →

{w | 0 < w < }.

A2 = {z | 0 ≤ z < }

{w | 0 ≤ w < }.

→

Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, letak perbedaannya yaitu pada w = 0. Maka dari itu, ruang nilai akan didefinisikan kembali untuk mengatasi permasalahan ini. Didefinisikan kembali untuk z = 0, w = 0. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {z | –  < z < , z  0}. B = {w | 0 < w < }. Inversnya adalah: z=–w

;

z = w,

dz = – dw

;

dz = dw,

J1 = – 1

;

J2 = 1,

| J1| = 1

;

| J2| = 1.

Jacobian-nya:

Misalkan B  B. A3 = {z | z = – w, w  B}  A1. A4 = {z | z = w, w  B}  A2. Kemudian diperoleh Pr(W  B)  Pr(Z  A3 )  Pr(Z  A4 )

  h( z )dz   h( z )dz A3

A4

  h(w) | J1 | dw   h( w) | J 2 | dw B

B



27

2

2

1  w2 1  w2 e | J1 | dw   e | J 2 | dw 2 2 B

Pr(W  B)   B

2

2

1  w2 1  w2 e 1dw   e 1dw 2 2 B

 B

2

2

1  w2 1  w2 e dw   e dw 2 2 B

 B

 1 w 1  w2 2   e  e  2 2 B 2

2

  dw  

2

2  w2 e dw . 2

 B

Jadi, f.k.p dari variabel acak W adalah 2

2  w2 k ( w)  e , 2 0 ,

w0

(2.56)

lainnya.

Karena f.k.p W = |Z| dan f.k.p Y sama, maka distribusi Y dan W = |Z| identik. Jadi,dapat dikatakan bahwa |Z| berdistribusi half-normal dengan ζ = 1. f.p.m dari variabel acak Y dapat dicari dengan menggunakan (2.49), yaitu

 t 2 2  t 2 1  s2  M Y (t )  2exp  exp    2  ds .  2    2  2  Untuk ζ = 1, maka

 t2  t 1  s2  M Y (t )  2exp    exp    ds .  2   2  2

(2.57)

 t2   2 exp   (t ) . 2

(2.58)

Dengan menggunakan persamaan (2.52) dan (2.54), diperoleh mean dan variansi dari variabel acak Y untuk ζ = 1, yaitu

E (Y ) 

2 2  ,  2

Var(Y )  1 

2



(2.59)

.



28

2.15

Distribusi Gamma dan Distribusi Chi-Square

Perhatikan bentuk integral





0

y 1e y dy .

Integral tersebut ada untuk α > 0, dan nilai integral tersebut positif. Integral tersebut disebut fungsi gamma dari α, dan ditulis 

( )   y 1e y dy . 0

Jika α = 1, jelas bahwa 

(1)   e y dy  1 . 0

Jika α > 1, dengan menggunakan integral parsial diperoleh bahwa 

( )  (  1)  y 2e y dy  (  1)(  1) . 0

Jika α adalah bilangan bulat positif yang lebih dari 1, maka Γ(α) = (α – 1)( α – 2)...(3)2(1)Γ(1) = (α – 1)! Karena Γ(1) = 1, hal ini berarti 0! = 1. Misalkan:

y

x



dy 

, di mana β > 0.

1



dx .

Batas integrasinya: Jika y = 0, maka x = 0;

jika x = ∞, maka y = ∞.

Jadi, diperoleh

( )  















0

0

0

0

 1

x     x 1



 1

1 e x /    dx  

1 e x /    dx  

x 1  1   x /  e dx   1   

x 1





e x /  dx Universitas Indonesia


29

( )  



1



0



x 1e x /  dx ,

atau, ekivalen dengan

1





1



0

x 1e x /  dx



( )

1 



1 



0

0

1 x 1  x /  e dx ( )   1 x 1e x /  dx . ( )  

Karena α > 0, β > 0, dan Γ(x) > 0, diperoleh bahwa 1 x 1e x /  ,  ( )  0 ,

f ( x) 

0 x

(2.61)

lainnya

adalah f.k.p dari variabel acak yang bertipe kontinu. Suatu variabel acak X yang mempunyai f.k.p dengan bentuk demikian disebut mempunyai distribusi gamma dengan parameter α dan β, atau dinyatakan dengan X ~ Γ(α, β); dan sebarang f(x) yang demikian disebut dengan f.k.p gamma. Kemudian akan dicari f.p.m dari distribusi gamma dengan menggunakan (2.15), yaitu: 

M (t )   etx 0

















0

0

0

0

1 x 1e x /  dx  ( ) 

1 x 1etx e x /  dx  ( )  1 x 1etx  x /  dx  ( )  1 x 1e x (   t 1)/  dx  ( )  1 x 1e x (1  t )/  dx .  ( ) 

Misalkan: p = x(1 – βt)/β, t < 1/β, x = βp/(1 – βt); Universitas Indonesia


30

dx 

 dp . 1 t

Batas integrasinya: jika x = ∞, maka p = ∞.

Jika x = 0, maka p = 0; Jadi, diperoleh

M (t )  















0

0

0

0

 

 M (t ) 

 1

 p  1    ( )   1   t 

1 p 1 1 e p dp  1 ( ) 1   t  1 t 1 p 1 e p dp ( ) 1   t 

1   t   

1

1   t 



1

1   t 



1

1   t 



 dp 1 t

1   1 p 1  p  e dp ( )   1   t  1 1 t

1



M' (t )  

e p



0

1 p 1e p dp ( )

1

. , t

1



.

(2.62)

 (  )  1 1   t 

 .  1 1   t 

M'' (t )  

(2.63)

 (  1) (  )  2 1   t 

 (  1)  2 .  2 1   t 

(2.64)

E( X )  M' (0)   .

(2.65)





31 E  X 2   M'' (0)   (  1) 2 .

 

(2.66)

Var( X )  E X 2   E ( X )

2

  (  1) 2  ( )2

  2  2   2   2  2

  2 .

(2.67)

Jadi, mean dan variansi dari variabel acak X yang berdistribusi gamma adalah E(X) = M'(0) = αβ, Var(X) = αβ2.

Berikut diberikan kasus khusus dari distribusi gamma, yaitu distribusi chi-square. Misalkan X ~ Γ(α, β). Misalkan α = r/2, di mana r adalah bilangan bulat positif dan β = 2. Berarti f.k.p dari variabel acak X adalah: r 1 1 2 x e  x /2 , r r 2  2 2 0 ,

f ( x) 

0 x (2.68)

lainnya,

dan f.p.m-nya adalah

M (t ) 

1

1  2t 

r 2

, t

1 . 2

(2.69)

Variabel acak X yang mempunyai f.k.p demikian dikatakan berdistribusi chisquare. Mean dan variansinya adalah: μ = αβ = (r/2)(2) = r,

(2.70)

ζ2 = αβ2 = (r/2)(22) = 2r,

(2.71)

di mana r merupakan parameter dari distribusi chi-square, dan disebut derajat bebas. Jika X berdistribusi chi-square dengan derajat bebas r, maka ditulis X

 r2 .



32

2.16

Distribusi Bivariat

Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa bagian, yaitu mengenai distribusi-distribusi dari dua variabel acak, distribusi dan ekspektasi bersyarat, koefisien korelasi.

2.16.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas

Definisi 2.3 Diberikan suatu percobaan acak dengan ruang sampel C. Perhatikan dua variabel acak X1 dan X2, yang memetakan setiap elemen c dari C ke satu dan hanya satu pasangan terurut dari bilangan-bilangan X1(c) = x1, X2(c) = x2. Ruang dari X1 dan X2 merupakan himpunan dari pasangan-pasangan terurut A = {(x1, x2) | x1 = X1(c), x2 = X2(c), c  C}. Misalkan A merupakan ruang yang dihubungkan dengan dua variabel acak X1 dan X2, dan misalkan A adalah subhimpunan dari A. Probabilitas dari kejadian A dinyatakan dengan Pr[(X1, X2)  A]. Ambil C = {c | c  C dan [X1(c), X2(c]  A}, di mana C adalah ruang sampel. Kemudian definisikan Pr[(X1, X2)  A] = P(C), di mana P adalah fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan untuk subhimpunan-subhimpunan C dari C. Pr[(X1, X2)  A] dapat dinyatakan dengan fungsi himpunan probabilitas PX1 , X 2 ( A) , atau yang lebih dikenal, ditulis P(A) = Pr[(X1, X2)  A].

(2.72)

Notasi dari f.k.p dari variabel acak X dapat diperluas untuk notasi dari f.k.p dari variabel-variabel acak bivariat. Di bawah batasan-batasan tertentu pada ruang A dan fungsi pada A, dua variabel acak X dan Y disebut berdistribusi probabilitas tipe diskret atau kontinu, dan mempunyai distribusi sesuai tipenya, berdasarkan fungsi himpunan probabilitas P(A), A  A, dapat dinyatakan sebagai Universitas Indonesia


33

P( A)  Pr[( X , Y )  A]   f ( x, y) ,

(2.73)

A

atau sebagai

P( A)  Pr[( X , Y )  A]   f ( x, y)dxdy .

(2.74)

A

Dalam kedua kasus, f disebut f.k.p dari variabel-variabel acak X dan Y. Untuk setiap kasus, diwajibkan P(A) = 1. Definisi dari suatu f.k.p f(x, y) dapat diperluas pada keseluruhan bidang-xy dengan menggunakan “nol untuk yang lainnya”. Setelah ini dilakukan, gantikan



f ( x, y )dxdy

dengan

A



 



 

f ( x, y)dxdy ,

(2.75)

untuk kasus kontinu, dan untuk kasus diskret adalah  f ( x, y) A

dengan

 f ( x, y) . y

(2.76)

x

Fungsi f, baik untuk satu atau dua variabel, pada dasarnya memenuhi kondisi-kondisi untuk menjadi suatu f.k.p jika (a) f didefinisikan dan bernilai nonnegatif untuk semua bilangan riil, dan (b) jika integralnya (untuk kasus kontinu), atau jumlahannya (untuk kasus diskret) pada seluruh bilangan riil bernilai 1.

2.16.2 Fungsi Distribusi

Misalkan variabel-variabel acak X dan Y mempunyai fungsi himpunan probabilitas P(A), di mana A adalah himpunan dua dimensi. Jika A adalah himpunan {(u, v) | u ≤ x, v ≤ y} yang tidak terbatas, di mana x dan y adalah bilangan-bilangan riil, maka P(A) = Pr[(X, Y)  A] = Pr(X ≤ x, Y ≤ y).

(2.77)

Fungsi pada titik (x, y) ini disebut fungsi distribusi dari variabel acak X dan Y, dan dinyatakan oleh F(x, y) = Pr(X ≤ x, Y ≤ y).

(2.78)

Jika X dan Y adalah variabel-variabel acak yang berdistribusi probabilitas kontinu yang mempunyai f.k.p f(x, y), maka Universitas Indonesia


34

F ( x, y)  

y



x

 

f (u, v)dudv ,

(2.79)

Sehingga, pada titik-titik kontinuitas dari f(x, y),

 2 F ( x, y )  f ( x, y ) . xy

(2.80)

Dalam setiap kasus, Pr(a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = F(b, d) – F(b, c) – F(a, d) + F(a, c),

(2.81)

untuk setiap konstanta riil a < b, c < d.

2.16.3 Fungsi Kepadatan Probabilitas Marjinal Misalkan f(x1, x2) adalah f.k.p dari variabel-variabel acak X1 dan X2. Untuk selanjutnya, dalam rangka penekanan dan penjelasan, f.k.p atau fungsi distribusi dari variabel acak yang lebih dari satu akan disebut f.k.p bersama atau fungsi distribusi bersama. Jadi, f(x1, x2) adalah f.k.p bersama dari variabel-variabel acak X1 dan X2. Perhatikan kejadian a < X1 < b, a < b. Kejadian ini dapat terjadi jika dan hanya jika kejadian a < X1 < b, – ∞ < X2 < ∞ terjadi; yaitu, kedua kejadian ekivalen, sehingga probabilitasnya sama. Namun, probabilitas dari a < X1 < b, – ∞ < X2 < ∞ telah didefinisikan oleh

Pr(a  X1  b,    X 2  )  

b

a







f ( x1 , x2 )dx2dx1

(2.82)

untuk kasus kontinu, dan

Pr(a  X1  b,    X 2  ) 

  f (x , x ) 1

a  x1 b x2

(2.83)

2

untuk kasus diskret. Masing-masing dari







f ( x1 , x2 )dx2

dan

 f (x , x ) 1

(2.84)

2

x2

adalah fungsi dari x1 saja, sebut f1(x1). Jadi, untuk setiap a < b, diperoleh b

Pr(a  X1  b)   f1 ( x1 )dx1 , a

Pr(a  X1  b) 



a  x1 b

f1 ( x1 ) ,

untuk kasus kontinu,

(2.85)

untuk kasus diskret,

(2.86)



35

sehingga f1(x1) adalah f.k.p dari X1 saja. Fungsi f1(x1) ini disebut dengan f.k.p marjinal dari X1. Serupa untuk X2,

f 2 ( x2 )  



f ( x1 , x2 )dx1



f 2 ( x2 )   f ( x1 , x2 )

,

untuk kasus kontinu,

(2.87)

,

untuk kasus diskret,

(2.88)

x1

adalah f.k.p marjinal dari X2.

2.16.4 Mean Misalkan X1 dan X2 adalah variabel-variabel acak dengan f.k.p f(x1, x2), untuk (x1, x2) A, dengan A adalah ruang nilai dua dimensi. Ekspektasi matematika dari X1, dan dari X2 adalah 

E ( X1 )   x1 f1 ( x1 )dx1  







  x1  







f ( x1 , x2 )dx2 dx1

x f ( x1 , x2 )dx2 dx1 .

(2.89)

  1 

E ( X 2 )   x2 f 2 ( x2 )dx2  







  x2  







 

f ( x1 , x2 )dx1dx2

x2 f ( x1 , x2 )dx1dx2 .

(2.90)

E(X1) dan E(X2) dapat dinyatakan dengan E(X1) = μ1 dan E(X2) = μ2. Misalkan terdapat suatu fungsi u(X1, X2). Ekspektasi matematika dari fungsi u(X1, X2) dinyatakan oleh

E u ( X 1 , X 2 )   







 

u( x1 , x2 ) f ( x1 , x2 )dx1dx2 .

(2.91)



36

2.16.5 Variansi dan Kovariansi

Misalkan X1 dan X2 adalah variabel-variabel acak dengan f.k.p f(x1, x2), untuk (x1, x2) A. Variansi dari X1 dan X2, sesuai dengan persamaan (2.14) adalah



Var  X1   E  X1  E  X1  

2

   X1  E  X1   





 X

 

 



2

   X 2  E  X 2   

 X

 

f ( x1 , x2 )dx2 dx1

 1  f ( x1 , x2 )dx2 dx1 .







2

1

Var  X 2   E  X 2  E  X 2 





2

(2.92)



2







f ( x1 , x2 )dx1dx2

 2  f ( x1 , x2 )dx1dx2 , 2

2

(2.93)

dan kovariansi dari variabel-variabel acak X1 dan X2 adalah





Cov  X1 , X 2   E  X1  E  X1   X 2  E  X 2 

 E  X1 X 2  X1E  X 2   E  X1  X 2  E  X1  E  X 2 

 E  X1 X 2  X12  1 X 2  12   E  X1 X 2   E  X12   E  1 X 2   E  12   E  X1 X 2   2 E  X1   1E  X 2   12  E  X1 X 2   2 1  12  12  E  X1 X 2   12 .

(2.94)

2.16.6 Koefisien Korelasi Misalkan terdapat dua variabel acak X1 dan X2 dengan f.k.p f(x1, x2), untuk (x1, x2) A. Misalkan mean dari X1 dinyatakan dengan μ1 = E(X1) dan mean dari X2 dinyatakan dengan μ2 = E(X2). Variansi dari X1 dan X2, masing-masing Universitas Indonesia


37 dinyatakan dengan 12  Var  X1  dan  22  Var  X 2  . Koefisien korelasi dari X1 dan X2 adalah



E  X 1  1  X 2  2  Var  X 1  Var  X 2 



Cov  X 1 , X 2 

 1 2

.

(2.95)

2.16.7 Variabel-variabel Acak yang Saling Bebas

Misalkan terdapat dua variabel acak X1 dan X2. Sehubungan dengan kovariansi dan koefisien korelasi, jika X1 dan X2 saling bebas, maka nilai Cov(X1, X2) = 0 sehingga ρ = 0, tetapi tidak berlaku sebaliknya, yaitu jika Cov(X1, X2) = 0 atau berarti ρ = 0, belum tentu X1 dan X2 saling bebas.

Definisi 2.4. Misalkan variabel-variabel acak X1 dan X2 mempunyai f.k.p bersama f(x1, x2), f.k.p marjinal f1(x1) dan f2(x2). Variabel acak X1 dan variabel acak X2 dikatakan saling bebas (independen) jika dan hanya jika f(x1, x2) ≡ f1(x1)f2(x2). Variabelvariabel acak yang tidak independen disebut saling bergantung.

Catatan terhadap Definisi 2.4: 1. Perkalian 2 fungsi nonnegatif f1(x1), f2(x2) harus nonnegatif pada suatu product space, yaitu jika f1(x1) dan f2(x2) positif pada ruang A1 dan A2, maka f(x1, x2) positif di product space A = {(x1, x2) | x1  A1, x2  A2}. 2. Mungkin ada titik-titik tertentu (x1, x2)  A di mana f(x1, x2) ≠ f1(x1)f2(x2). Jika hal ini terjadi, maka caranya adalah: jika A = {(x1, x2) | f(x1, x2) ≠ f1(x1)f2(x2)}, maka P(A) = 0.

Teorema 2.1. Misalkan variabel-variabel acak X1 dan X2 mempunyai f.k.p bersama f(x1, x2). Maka X1 dan X2 saling bebas jika dan hanya jika f(x1, x2) dapat ditulis sebagai



38

perkalian dari suatu fungsi nonnegatif dari x1 saja dan suatu fungsi nonnegatif dari x2 saja; yaitu, f(x1, x2) ≡ g(x1)h(x2),

(2.96)

di mana g(x1) > 0, x1  A1, nol untuk lainnya, dan h(x2) > 0, x2  A2, nol untuk lainnya.

Teorema 2.2. Jika X1 dan X2 merupakan variabel-variabel acak yang saling bebas dengan f.k.p marjinal f1(x1) dan f2(x2), secara berurutan, maka Pr(a < X1 < b, c < X2 < d) = Pr(a < X1 < b)Pr(c < X2 < d)

(2.97)

untuk setiap a < b dan c < d, di mana a, b, c, dan d adalah konstanta.

Teorema 2.3. Misalkan variabel-variabel acak X1 dan X2 yang saling bebas mempunyai f.k.p marjinal f1(x1) dan f2(x2), secara berurutan. Nilai ekspektasi dari perkalian dari suatu fungsi u(X1) dari X1 saja dan suatu fungsi v(X2) dari X2 saja adalah, tergantung ada atau tidak, sama dengan perkalian dari nilai harapan dari u(X1) dan nilai harapan dari v(X2); yaitu, E[u(X1)v(X2)] = E[u(X1)]E[v(X2)].

(2.98)

Teorema 2.4. Misalkan X1 dan X2 menyatakan variabel-variabel acak yang mempunyai f.k.p f(x1, x2) dan f.k.p marjinal f1(x1) dan f2(x2), secara berurutan. Lebih jauh lagi, misalkan M(t1, t2) menyatakan f.p.m dari distribusi. Maka X1 dan X2 saling bebas jika dan hanya jika M(t1, t2) = M(t1, 0)M(0, t2).

(2.99)



39

2.17

Hubungan Independensi Variabel Acak Normal Standar dan Half-Normal

Misalkan Z1 dan Z2 adalah variabel-variabel acak N(0,1) yang saling bebas. Sesuai dengan bagian 2.14, |Z1| adalah variabel acak yang berdistribusi half-normal. Akan ditunjukkan bahwa jika Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, maka |Z1| dan Z2 saling bebas. Misalkan Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dengan f.k.p z2

1  2i f ( zi )  e , 2

   zi   , untuk i = 1, 2.

(2.100)

Maka, g ( z1 , z2 )  f ( z1 ) f ( z2 ) 2

2

1  z21  e 2 z2

1  z22 e 2

z2

1  21  22  e 2

1   e 2

z12  z22 2

.

Jadi, f.k.p bersama dari Z1 dan Z2 adalah

1  g ( z1 , z2 )  e 2

z12  z22 2

,    z1  ,    z2   .

(2.101)

Misalkan W1 = |Z1| dan W2 = Z2. A = {(z1, z2) | –  < z1 < , –  < z2 < }. Dengan transformasi w1 = |z1| diperoleh B = {(w1, w2) | 0 ≤ w1 < , –  < w2 < }. Karena A = {(z1, z2) | –  < z1 < , –  < z2 < } dan B = {(w1, w2) | 0 ≤ w1 < , –  < w2 < }, maka, w1 = |z1| bukan transformasi satu-satu. Ambil A1 dan A2 di mana A1, A2  A, A1  A2 = A, dan A1  A2 = . A1 = {(z1, z2) | –  < z1 < 0, –  < z2 < }. Universitas Indonesia


40 A2 = {(z1, z2) | 0 ≤ z1 < , –  < z2 < }. Pemetaannya dengan transformasi y = |x| adalah: A1 = {(z1, z2) | –  < z1 < 0, –  < z2 < } → {(w1, w2) | 0 < w1 < , –  < w2 < }. A2 = {(z1, z2) | 0 ≤ z1 < , –  < z2 < } → {(w1, w2) | 0 ≤ w1 < , –  < w2 < }. Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, letak perbedaannya yaitu pada w1 = 0. Maka dari itu, ruang nilai akan didefinisikan kembali untuk mengatasi permasalahan ini. Didefinisikan kembali untuk z1 = 0, w1 = 0. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {(z1, z2) | –  < z1 < , –  < z2 < , z1  0}. B = {(w1, w2) | 0 < w1 < , –  < w2 < }. Inversnya adalah: z1 = – w 1

;

z1 = w 1 ,

z2 = w 2

;

z2 = w 2 ,

z1  1 w1

;

z1  1, w1

z1 0 w2

;

z1  0, w2

z2 0 w1

;

z2  0, w1

z2 1 w2

;

z2  1, w2

J1 

z1 w1

z1 w2

z2 w1

z2 w2

|J1| = 1



1 0 0

1

 1

z1 w1

z1 w2

z2 w1

z2 w2

;

J2 

;

|J2| = 1.



1 0 0 1

1,

Misalkan B  B. A3 = {(z1, z2) | z1 = – w1, z2 = w2, (z1, z2)  B}  A1. A4 = {(z1, z2) | z1 = w1, z2 = w2, (z1, z2)  B}  A2. Universitas Indonesia


41

Kemudian diperoleh Pr(Y  B) = Pr(X  A3) + Pr(X  A4)   g ( z1 , z2 )dz1dz2   g ( z1 , z2 )dz1dz2 A3

A4

  g (w1 , w2 ) | J1 | dw1dw2   g (w1 , w2 ) | J 2 | dw1dw2 B

B

  g (w1 , w2 ) 1dw1dw2   g (w1 , w2 ) 1dw1dw2 B

B

  g (w1 , w2 )dw1dw2   g (w1 , w2 )dw1dw2 B

B

1    e 2 B

  B

1

e





w12  w22 2

w12  w22 2

1  dw1dw2   e 2 B

w12  w22 2

dw1dw2

dw1dw2 .

Jadi, f.k.p bersama dari variabel W1 dan W2 adalah h( w1 , w2 ) 

1



e



w12  w22 2

, 0  w1  ,    w2  

0

(2.102)

, lainnya,

dan f.k.p marjinal dari W1 adalah: 

h( w1 )   h( w1 , w2 )dw2 





1











2  2 2  2

e



w12  w22 2

dw2 w12  w22 2

1 2   e 2 2









2

1  w21 e 2



2



w22 2

dw2

dw2

2

1  w21  w22 e e dw2 2

 2

2  w21  e 2







2

1  w22 e dw2 2

(2.103)



42

2

h( w1 ) 

2  w21 e 1 2

(2.104)

2

2  w21  e . 2

Perhatikan persamaan (2.103) dan (2.104). Karena integral







2

1  w22 e dw2 2

2

bernilai 1, dan fungsi

1  w22 e  0 untuk – ∞ < w2 < ∞, berarti fungsi tersebut 2

merupakan f.k.p dari variabel acak W2. Jadi, f.k.p marjinal untuk variabel acak W1 adalah w2

2  21 h( w1 )  e , 0  w2   , 2 0 , lainnya.

(2.105)

dan f.k.p marjinal untuk variabel acak W2 adalah 2

1  w22 h( w2 )  e ,    w2   . 2

(2.106)

Pembuktian bahwa W1 = |Z1| dan W2 = Z2 saling bebas menggunakan Definisi 2.4, yaitu:

Definisi 2.4. Misalkan variabel-variabel acak X1 dan X2 mempunyai f.k.p bersama f(x1, x2), f.k.p marjinal f1(x1) dan f2(x2). Variabel acak X1 dan variabel acak X2 dikatakan saling bebas jika dan hanya jika f(x1, x2) ≡ f1(x1)f2(x2). 2

2

2  w21 1  w22 h( w1 )h( w2 )  e  e 2 2 w2 w2

2  21  22  e 2



1



e



w12  w22 2

 h( w1 , w2 ) . Universitas Indonesia


43

Berdasarkan Definisi 2.4, maka terbukti bahwa W1 = |Z1| dan W2 = Z2 saling bebas.

2.18

Sifat Ketertutupan

Pada bagian ini dibahas sifat-sifat ketertutupan dari variabel-variabel acak terkait distribusi probabilitas dari variabel-variabel acak tersebut. Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah variabel-variabel acak yang berdistribusi probabilitas tertentu (dapat bertipe diskret atau kontinu, dapat saling bebas atau tidak), sebut distribusi A. Misalkan terdapat suatu operator biner *. Distribusi A dikatakan mempunyai sifat tertutup terhadap operator *, jika X1 * X2 * ... * Xn merupakan variabel acak yang berdistribusi A. Contoh: misalkan variabel-variabel acak X1 dan X2 saling bebas di mana X1





N 1 , 12 dan X 2

penjumlahan kedua variabel acak tersebut yaitu X1  X 2

N  2 ,  22  . Hasil

N  1  2 , 12   22  .

Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah variabel-variabel acak yang berdistribusi probabilitas tertentu (dapat bertipe diskret atau kontinu, dapat saling bebas atau tidak), sebut distribusi B. Jika distribusi bersama dari variabel-variabel acak X1, X2, ..., Xn adalah distribusi B, maka dikatakan distribusi B tertutup dalam perluasan ke multivariat. Misalkan X1, X2, ..., Xn memiliki distribusi bersama tertentu, sebut distribusi C. Jika distribusi dari variabel acak Xi, i = 1, 2, ..., n adalah distribusi C, maka dikatakan distribusi C tertutup terhadap marjinalisasi.

2.19

Parameter Location dan Scale

Parameter location merupakan parameter yang menentukan lokasi, atau pergeseran dari distribusi. Parameter scale adalah parameter yang menentukan skala, atau penyebaran dari data. Suatu kelas dari distribusi disebut membentuk famili parameter location dan scale jika distribusi dari setiap variabel acak X di dalam kelas tersebut dapat ditulis sebagai Universitas Indonesia


44  x   Pr( X  x)  F   ,   

(2.107)

di mana θ disebut parameter location dan η disebut parameter scale; di sini F adalah suatu fungsi distribusi dari semua distribusi di dalam kelas. Variabel acak X dapat distandardisasi dengan mendefinisikan Z

X 



.

(2.108)

Maka parameter location dan scale dari Z, masing-masing adalah 0 dan 1, dan fungsi distribusi dari Z adalah Pr(Z ≤ z) = F(z). Contoh paling sederhana dari famili parameter location dan scale adalah famili dari distribusi-distribusi normal. Jika X ~ N(μ, ζ2), maka fungsi distribusi dari X diberikan oleh x    x  Pr( X  x)  Pr  Z     ,      

(2.109)

di mana Φ(.) adalah fungsi distribusi normal standar. Distribusi ini memiliki bentuk (2.107), di mana μ adalah parameter location dan ζ adalah parameter scale. Parameter location dan scale ini akan digunakan di dalam perluasan distribusi skew-normal pada subbab 3.6.

2.20

Matriks dan Sifat-sifat Matriks

2.20.1 Notasi Matriks dan Terminologi

Definisi 2.5. Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk persegi. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut anggota dari matriks tersebut.

Setiap matriks memiliki ukuran, yang dinyatakan dengan banyaknya baris dan kolom. Matriks berukuran m × n merupakan matriks dengan m baris dan n kolom. Misalkan matriks A dengan anggota-anggotanya adalah (aij). Universitas Indonesia


45

 a11  a A   21    am1

a12 a22 am 2

a1n   a2 n  .   amn 

Matriks A dapat juga dinyatakan dengan bentuk  a11 a A   21    am1

a12 a22 am 2

a1n  a2 n  .   amn 

Matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom, atau vektor kolom. Matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris, atau vektor baris. Matriks dengan n baris dan n kolom disebut dengan matriks persegi orde-n.

2.20.2 Operasi-operasi Matriks

Definisi 2.6. Dua matriks didefinisikan sama jika kedua matriks tersebut memiliki ukuran yang sama dan anggota-anggotanya yang bersesuaian yang sama.

Definisi 2.7. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang berukuran sama, maka penjumlahan A + B adalah matriks yang diperoleh dengan anggota-anggotanya merupakan penambahan dari anggota-anggota di B ke anggota-anggota di A yang bersesuaian, dan selisih A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangi anggota-anggota dari B dari anggota-anggota dari A yang bersesuaian. Matriksmatriks yang berbeda ukuran tidak dapat ditambah atau dikurang.

Definisi 2.8. Jika A adalah sebarang matriks dan c adalah sebarang skalar, maka perkalian cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota dari A dengan skalar c. Universitas Indonesia


46

Definisi 2.9. Jika A adalah matriks berukuran m × r dan B adalah matriks berukuran r × n, maka perkalian AB adalah matriks berukuran m × n di mana anggota-anggotanya ditentukan dengan cara berikut. Untuk mencari anggota di baris ke-i dan kolom ke-j dari AB, kalikan baris ke-i dari A dengan kolom ke-j dari B.

2.20.3 Transpos dari Matriks

Definisi 2.10 Jika A adalah sebarang matriks berukuran m × n,  a11  a A   21    am1

a12 a22 am 2

a1n   a2 n  .   amn 

(2.110)

am1   am 2  .   amn 

(2.111)

Maka transpos dari A adalah  a11  a A'   12    a1n

a21 a22 a2 n

Teorema 2.5. Jika ukuran-ukuran dari matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang diindikasikan dapat dilakukan, maka (a) (A')' = A.

(2.112)

(b) (A + B)' = A' + B' dan (A – B)' = A' – B'.

(2.113)

(c) (kA)' = kA', di mana k adalah sebarang skalar.

(2.114)

(d) (AB)' = B'A'.

(2.115)



47

2.20.4 Sifat-sifat dari Operasi-operasi Matriks

Teorema 2.6. Anggap bahwa ukuran-ukuran dari matriks adalah sedemikian sehingga operasioperasi yang diindikasikan dapat dilakukan, aturan-aturan dari matriks aritmatik berikut valid. (a) A + B = B + A.

(2.116)

(b) A + (B + C) = (A + B) + C.

(2.117)

(c) A(BC) = (AB)C.

(2.118)

(d) A(B + C) = AB + AC.

(2.119)

(e) (B + C)A = BA + CA.

(2.120)

(f) A(B – C) = AB – AC.

(2.121)

(g) (B – C)A = BA – CA.

(2.122)

(h) a(B + C) = aB + aC.

(2.123)

(i) a(B – C) = aB – aC.

(2.124)

(j) (a + b)C = aC + bC.

(2.125)

(k) (a – b)C = aC – bC.

(2.126)

(l) a(bC) = (ab)C.

(2.127)

(m) a(BC) = (aB)C = B(aC).

(2.128)

2.20.5 Matriks-matriks Nol

Definisi 2.11. Suatu matriks, yang semua anggota-anggotanya adalah nol, disebut matriks nol. Matriks nol dinyatakan dengan 0.

Teorema 2.7. Anggap bahwa ukuran-ukuran dari matriks adalah sedemikian sehingga operasioperasi yang diindikasikan dapat dilakukan. Aturan-aturan dari matriks aritmatika berikut valid. (a) A + 0 = 0 + A = A.



48 (b) A – A = 0.

(2.130)

(c) 0 – A = – A.

(2.131)

(d) A0 = 0; 0A = 0.

(2.132)

2.20.6 Matriks-matriks Identitas

Definisi 2.12. Suatu matriks, dengan semua diagonal utama bernilai satu dan anggota-anggota nondiagonal bernilai nol, disebut matriks identitas dan dinyatakan dengan I. Jika penting untuk menekankan ukuran dari matriks ini, ditulis In untuk matriks identitas berukuran n × n.

2.20.7 Invers dari Matriks

Definisi 2.13. Jika A adalah matriks persegi, dan jika matriks B dengan ukuran yang sama dengan A dapat ditemukan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut mempunyai invers dan B disebut invers dari A. Invers dari matriks A dapat dinyatakan dengan A–1.

Teorema 2.8. Jika B dan C merupakan invers-invers dari matriks A, maka B = C.

Teorema 2.9. Matriks

a b  A  c d  mempunyai invers jika ad – bc ≠ 0, dengan invers dari A adalah



49

d   1  d b  ad  bc A1    c ad  bc  c a     ad  bc

b  ad  bc  . a   ad  bc 



(2.133)

Teorema 2.10. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang mempunyai invers dengan ukuran yang sama, maka: (a) AB mempunyai invers. (b) (AB)–1 = B–1A–1.

(2.134)

Teorema 2.11. Jika A adalah matriks yang mempunyai invers, maka A' juga mempunyai invers dan (A')–1 = (A–1)'.

(2.135)

2.20.8 Matriks-matriks Diagonal, Segitiga, dan Simetris

Definisi 2.14. Suatu matriks persegi di mana semua anggota-anggota nondiagonalnya bernilai nol disebut matriks diagonal. Matriks diagonal D berukuran n × n secara umum dapat ditulis sebagai  d1  0 D   0

0 d2 0

0  0 .   dn 

(2.136)

Teorema 2.12. Suatu matriks diagonal mempunyai invers jika dan hanya jika semua anggota diagonalnya bernilai tidak nol. Dalam hal ini, inversnya adalah



50

0 1/ d1  0 1/ d 2 D 1     0  0

0   0  ,   1/ d n 

(2.137)

dan DD–1 = D–1D = I.

(2.138)

Teorema 2.13. Jika D adalah matriks diagonal dan k adalah bilangan bulat positif, maka  d1k  0 k D     0

0 d 2k 0

0  0 .   d nk 

(2.139)

Definisi 2.15. Matriks persegi di mana semua anggota di atas diagonal utamanya bernilai nol disebut segitiga bawah, dan matriks persegi di mana semua anggota di bawah diagonal utamanya bernilai nol disebut segitiga atas. Matriks segitiga atas atau segitiga bawah disebut matriks segitiga.

Teorema 2.14. (a) Transpos dari matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpos dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah. (b) Perkalian dari matriks-matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan perkalian dari matriks-matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas. (c) Matriks segitiga mempunyai invers jika dan hanya jika semua anggotaanggota diagonalnya tak-nol. (d) Invers dari matriks segitiga bawah yang mempunyai invers adalah matriks segitiga bawah, dan invers dari matriks segitiga atas yang mempunyai invers adalah matriks segitiga atas.



51

Definisi 2.16. Matriks persegi A disebut simetris jika A = A'.

(2.140)

Teorema 2.15. Jika A dan B adalah matriks-matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah sebarang skalar, maka (a) A' simetris. (b) A + B dan A – B simetris. (c) kA simetris.

Teorema 2.16. Jika A adalah matriks yang mempunyai invers, maka AA' dan A'A juga mempunyai invers.

Catatan terhadap Teorema 2.16. Hasil kali matriks berbentuk AA' dan A'A muncul dalam berbagai penerapan. Jika A adalah suatu matriks m × n, maka A adalah suatu matriks n × m, sehingga hasil kali AA' dan A'A keduanya adalah matriks-matriks persegi; matriks AA' mempunyai ukuran m × m dan matriks A'A mempunyai ukuran n × n. Hasil kali ini selalu simetris karena (AA')' = (A')'A' = AA'

dan

(A'A)' = A'(A')' = A'A.

(2.141)

2.20.9 Matriks Definit Positif

Definisi 2.17. Suatu bentuk kuadratik x'Ax disebut definit positif jika x'Ax > 0 untuk setiap x ≠ 0, dan suatu matriks simetris A disebut matriks definit positif jika x'Ax merupakan bentuk kuadratik yang definit positif.



52

Teorema 2.17. Suatu matriks simetris A merupakan matriks yang definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari A bernilai positif.

2.20.10

Pangkat dari Matriks

Definisi 2.18. Jika A adalah matriks persegi, maka pangkat bilangan bulat nonnegatif dari A didefinisikan oleh A0 = I,

(2.142)

An  AA

A (n > 0).

(2.143)

sebanyak n

Jika A mempunyai invers, maka pangkat bilangan bulat negatif dari A didefinisikan oleh

 

A n  A1

n

 A1 A1

A1

(2.144)

sebanyak n

Teorema 2.18. Jika A adalah matriks persegi dan r dan s adalah bilangan-bilangan bulat, maka ArAs = Ar + s, (Ar)s = Ars.

(2.145)

Teorema 2.19. Jika A adalah matriks yang mempunyai invers, maka (a) A–1 mempunyai invers dan (A–1) –1 = A. n –1

n

(b) A mempunyai invers dan (A )

(2.146)

–1 n

= (A ) untuk n = 0, 1, 2, ...

(2.147)

(c) Untuk sebarang skalar tak-nol k, matriks kA mempunyai invers dan (kA)1 

1 1 A . k

(2.148)



53

2.20.11

Fungsi Determinan dan Sifat-sifatnya

Definisi 2.19. Anggap A adalah suatu matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan dengan det, dan didefinisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A. Angka det(A) disebut determinan A. det(A) dapat dinyatakan juga dalam bentuk |A|.

Teorema 2.20. Anggap A adalah suatu matriks persegi. (a) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka det(A) = 0. (b) det(A) = det(A').

(2.150)

Teorema 2.20. Jika A adalah suatu matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali anggota-anggota pada diagonal utamanya; yaitu det(A) = a11a22 ... amn.

(2.151)

Teorema 2.22. Suatu matriks persegi A mempunyai invers jika dan hanya jika det(A) ≠ 0.

Teorema 2.23. Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi berukuran sama, maka det(AB) = det(A)det(B).

(2.152)

Teorema 2.24. Jika A mempunyai invers, maka

 

det A1 

1 . det  A 

(2.153)



54

2.20.12

Ruang Berdimensi-n Euclidean

Definisi 2.20. Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka ganda-n berurut adalah sederet n bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang berdimensi-n dan dinyatakan dengan Rn.

Definisi 2.20. Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) dalam Rn disebut sama jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn.

(2.154)

Jumlah u + v didefinisikan sebagai u + v = (u1 + v1, u2+ v2, ..., un+ vn),

(2.155)

dan jika k adalah sebarang skalar, perkalian skalar ku didefinisikan sebagai (ku1, ku2, ..., kun).

(2.156)

Teorema 2.25. Jika u = (u1, u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn), dan w = (w1, w2, ..., wn) adalah vektorvektor dalam Rn dan k serta l adalah skalar, maka (a) u + v = v + u.

(2.157)

(b) u + (v + w) = (u + v) + w.

(2.158)

(c) u + 0 = 0 + u = u.

(2.159)

(d) u + (– u) = 0; yaitu, u – u = 0.

(2.160)

(e) k(lu) = (kl)u.

(2.161)

(f) k(u + v) = ku + kv.

(2.162)

(g) (k + l)u = ku + lu.

(2.163)

(h) 1u = u.

(2.164)

Definisi 2.20. Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sebarang vektor dalam Rn, maka hasil kali dalam Euclidean u · v didefinisikan sebagai u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn.

(2.165)



55

Teorema 2.26. Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam Rn dan k adalah sebarang skalar, maka (a) u · v = v · u.

(2.166)

(b) (u + v) · w = u · w + v · w.

(2.167)

(c) (ku) · v = k(u · v).

(2.168)

(d) v · v > 0 jika v ≠ 0, dan v · v = 0, jika dan hanya jika v = 0.

(2.169)

Definisi 2.22. Norma Euclidean (atau panjang Euclidean) dari suatu vektor u = (u1, u2, ..., un) dalam Rn didefinisikan sebagai

u  u12  u22 

 un2 .

(2.170)

Definisi 2.23. Dua vektor u dan v dalam Rn disebut ortogonal jika u · v = 0.

2.20.13

(2.171)

Ruang-ruang Vektor Riil

Definisi 2.24. Anggap V adalah sebarang himpunan tak-kosong dari objek di mana dua operasi didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan). Penjumlahan adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek u dan v dalam V dengan suatu objek u + v, yang disebut sebagai jumlah u dan v; perkalian skalar adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap skalar k dan setiap objek u dalam V dengan objek ku, yang disebut perkalian skalar dari u dengan k. Jika aksioma berikut ini dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam V dan semua skalar k dan l, maka kita sebut V sebagai ruang vektor dan kita sebut objek dalam V sebagai vektor. (1)

Jika u dan v adalah objek-objek dalam V, maka u + v ada di dalam V.

(2)

u+v=v+u

(3)

u + (v + w) = (u + v) + w Universitas Indonesia


56

(4)

Ada suatu objek 0 dalam V, yang disebut suatu vektor nol untuk V, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V.

(5)

Untuk setiap u dalam V, ada suatu objek – u dalam V, yang disebut negatif dari u, sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0.

(6)

Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V, maka ku ada di dalam V.

(7)

k(u + v)= ku + kv

(8)

(k + l)u = ku + lu

(9)

k(lu) = (kl)u.

(10)

1u = u.

Teorema 2.27. Anggap V adalah suatu ruang vektor, u suatu vektor dalam V, dan k suatu skalar; maka (a) 0u = 0.

(2.172)

(b) k0 = 0.

(2.173)

(c) (– 1)u = – u.

(2.174)

(d) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0.

(2.175)

2.20.14

Kebebasan Linier

Definisi 2.25. Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah suatu himpunan vektor tak-kosong, maka persamaan vektor k1v1 + k2v2 + ... + krvr = 0

(2.176)

mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaitu k1 = 0, k2 = 0, ... kr = 0.

(2.177)

Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linier. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas secara linier.



57

Teorema 2.28. Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor, disebut (a) Tak-bebas secara linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya dalam S. (b) Bebas secara linier jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain dalam S.

2.20.15

Hasil Kali Dalam

Definisi 2.26. Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor riil V adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan riil u, v dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V dengan cara sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor u, v, dan w dalam V dan semua skalar k. (1) u, v  v, u .

(2.178)

(2) u  v, w  u, w  v, w .

(2.179)

(3) ku, v  k v, u .

(2.180)

(4) v, v  0 dengan v, v  0 jika dan hanya jika v = 0.

(2.181)

Suatu ruang vektor riil dengan suatu hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam riil.

Definisi 2.27. Jika V adalah suatu ruang hasil kali dalam, maka norma suatu vektor u dalam V dinyatakan dengan |u| dan didefinisikan sebagai u  u, u

1/2

.

(2.182)



58

Teorema 2.29. Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam V, dan jika k adalah sebarang skalar, maka (a) |u| ≥ 0.

(2.183)

(b) |u| = 0 jika dan hanya jika u = 0.

(2.184)

(c) |ku| = |k||u|.

(2.185)

(d) |u + v|  |u| + |v|.

(2.186)

2.20.16

Keortogonalan

Definisi 2.28. Dua vektor u dan v dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut ortogonal jika

u, v  0 .

(2.187)

Definisi 2.29. Suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut suatu himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. Suatu himpunan ortogonal di mana setiap vektor mempunyai normal bernilai satu disebut ortonormal.

Definisi 2.30. Suatu matriks persegi A dengan sifat A–1 = A'

(2.188)

disebut suatu matriks ortogonal.

Teorema 2.30. (a) Invers dari suatu matriks ortogonal adalah ortogonal. (b) Hasil kali matriks-matriks ortogonal adalah ortogonal. (c) Jika A ortogonal, maka det(A) = 1 atau det(A) = – 1.



59

2.20.17

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.31. Jika A adalah suatu matriks n × n, maka vektor tak-nol x pada Rn disebut suatu vektor eigen dari A jika Ax adalah suatu penggandaan skalar dari x; yaitu, Ax = λx untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut nilai eigen dari A, dan x disebut suatu vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ.

Teorema 2.31. Jiika A adalah suatu matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai eigen dari A adalah anggota-anggota diagonal utama A.

Teorema 2.32. Jika A adalah suatu matriks n × n dan λ adalah suatu bilangan riil, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen. (a) λ adalah suatu nilai eigen dari A. (b) Sistem persamaan (λI – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak-trivial. (c) Ada suatu vektor tak-nol x pada Rn sedemikian sehingga Ax = λx. (d) λ merupakan suatu penyelesaian dari persamaan karakteristik (λI – A) = 0.

Teorema 2.33. Suatu matriks persegi A mempunyai invers jika dan hanya jika λ = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A.

2.20.18

Diagonalisasi

Definisi 2.32. Suatu matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P yang mempunyai invers sedemikian sehingga P–1AP adalah suatu matriks diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalkan A. Universitas Indonesia


60

Teorema 2.34. Jika A adalah suatu matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen. (a) A dapat didiagonalkan. (b) A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.

Teorema 2.35. Jika v1, v2, ..., vk adalah vektor-vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilainilai eigen yang berbeda-beda λ1, λ2, ..., λk, maka {v1, v2, ..., vk} adalah suatu himpunan yang bebas secara linier.

Teorema 2.36. Jika suatu matriks A, n × n, mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.

Teorema 2.37. Jika A adalah suatu matriks berukuran n × n yang dapat didiagonalkan, dengan nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk, maka det(A) = λ1.λ2...λk.

2.20.19

Diagonalisasi Ortogonal

Teorema 2.38. Jika A adalah suatu matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen. (a) A dapat didiagonalkan secara ortogonal. (b) A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal. (c) A simetris.



61

2.20.20

Matriks Akar Kuadrat.

Definisi 2.33. Misalkan A adalah suatu matriks simetris definit positif berukuran n × n. Misalkan vektor-vektor eigen yang ortonormal menjadi kolom dari matriks P. Maka A = PDP–1

(2.189)

di mana PP' = P'P = I dan D adalah matriks diagonal. Misalkan D1/2 menyatakan matriks diagonal dengan

i sebagai elemen diagonal

ke-i. Matriks PD1/2P' disebut akar kuadrat dari A dan dinotasikan dengan A1/2, yaitu A1/2 = PD1/2P'.

(2.190)

Teorema 2.39. Misalkan A matriks simetris definit positif berukuran n × n. Akar kuadrat dari A memiliki sifat-sifat: (1) (A1/2)' = A1/2, jadi A1/2 simetris.

(2.191)

(2) A1/2A1/2 = A.

(2.192)

(3) (A1/2)–1 = PD–1/2P'

(2.193)

di mana D–1/2 adalah matriks diagonal dengan 1/ i sebagai elemen diagonal ke-i. (4) A1/2A–1/2 = A–1/2A1/2 = I, dan A–1/2A–1/2 = A–1, di mana A

2.20.21

–1/2

(2.194)

1/2 –1

= (A ) .

Vektor Acak

Definisi 2.34. Suatu vektor acak adalah vektor di mana anggota-anggotanya terdiri dari variabelvariabel acak. Serupa dengan itu, matriks acak adalah matriks di mana anggotaanggotanya adalah variabel-variabel acak.



62

Misalkan X = {Xij} adalah matriks acak berukuran n × p. Ekspektasi dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah matriks n × p yang beranggotakan bilanganbilangan riil (jika nilai dari masing-masing E(Xij) ada)  E  X 11  E  X 12    E  X 21  E  X 22  E( X )      E  X n1  E  X n 2  

E  X1 p    E  X2p     E  X np  

(2.195)

di mana E(Xij) adalah ekspektasi dari variabel acak Xij dengan f.k.p terkait (dapat berupa variabel acak bertipe diskrit atau kontinu).

Teorema 2.40. Misalkan X dan Y adalah matriks-matriks acak dengan dimensi yang sama, dan misalkan A dan B adalah matriks-matriks konstanta yang sesuai. Maka E(X + Y) = E(X) + E(Y),

(2.196)

E(AXB) = AE(X)B.

(2.197)

Definisi 2.35. Misalkan X = (X1, X2, ..., Xp) ' adalah vektor acak berukuran p × 1. Maka setiap anggota dari X merupakan variabel acak dengan distribusi probabilitas marjinal tertentu. Vektor mean, kovariansi, dan korelasi dinyatakan sebagai: Vektor mean:

 E  X 1    1       E  X 2    2    E( X )    .      E  X p     p   

(2.198)

Matriks kovariansi:   Cov( X )



63

  E ( X   )( X   )'    11  12   21  22      p1  p 2

1 p   2 p     pp 

,

(2.199)

dengan  ii   i2  Var( X i ) dan ζij = Cov(Xi, Xj), untuk i = 1, 2, ..., p. Matriks korelasi:

 1     12      11  22    1 p    11  pp  dengan ij 

 ij  ii  jj

 12

1 p

 11  22

 11  pp

1

2p  22  pp

2p  22  pp

1

           

(2.200)

, untuk i, j = 1, 2, ..., p adalah koefisien-koefisien korelasi

dari variabel-variabel acak Xi dan Xj.

2.20.22

Turunan Terhadap Vektor

Pada bagian ini dibahas mengenai turunan dari vektor terhadap vektor. Berikut ini diberikan definisi mengenai turunan terhadap vektor.

Definisi 2.36. Misalkan terdapat suatu vektor u = (u1, u2, ..., um)' berukuran m × 1, dan vector v = (v1, v2, ..., vn)' berukuran n × 1. Turunan dari vektor u terhadap vektor v dinyatakan dengan



64

 u1  v  1  u1 u   v2 v     u1  v  n

um  v1   um   v2  .   um  vn 

u2 v1 u2 v2 u2 vn

(2.201)

Definisi 2.37. Misalkan terdapat suatu vektor u = (u1, u2, ..., um)' berukuran m × 1, dan vektor v = (v1, v2, ..., vn)' berukuran n × 1. Turunan vektor u terhadap vektor v' diturunkan kembali terhadap vektor v dinyatakan oleh  u  v 2 1   u 2u   v2 v1 vv'     u  v v  m 1

2.21

u v1v2 u v22 u vm v2

u  v1vm   u  v2 vm  .   u  vm2 

(2.202)

Distribusi Normal Multivariat

Misalkan A adalah suatu matriks simetris dan definit positif yang berukuran n × n. Misalkan μ adalah matriks berukuran n × 1 sedemikian sehingga μ' = (μ1, μ2, ..., μn) di mana μi adalah konstanta-konstanta riil. Misalkan x adalah matriks berukuran n × 1 sedemikian sehingga x' = (x1, x2, ..., xn). Akan ditunjukkan bahwa jika C adalah konstanta positif, maka fungsi nonnegatif  ( x   )'A( x   )  , xn )  C exp    ,   xi  , i  1, 2, 2  

f ( x1 , x2 ,

,n.

(2.203)

adalah f.k.p bersama dari variabel-variabel acak X1, ..., Xn yang bertipe kontinu. Berarti, akan ditunjukkan bahwa













f ( x1 , x2 ,

, xn )dx1

dxn  1 .



65

Misalkan t adalah matriks berukuran n × 1 sedemikian sehingga t' = (t1, ..., tn), di mana t1, ..., tn adalah bilangan-bilangan riil sebarang. Selanjutnya akan dihitung



( x   )'A( x   )   C exp  t'x   dx1  2  









 C





dxn

( x   )'A( x   )   exp  t'x   dx1  2  





dxn .

(2.205)

Jika t1 = t2 = ... = tn = 0, maka bentuk (2.205) akan sama dengan ruas kiri persamaan (2.204). Misalkan: y = x – μ, di mana y = (y1, y2, ..., yn)'. Inversnya: x = y + μ. Jadi, Jacobian-nya adalah: J = 1, |J| = |1| = 1. Batas integrasinya: Jika xi = – ∞, maka yi = – ∞, i = 1, 2, ..., k; Jika xi = ∞, maka yi = ∞, i = 1, 2, ..., k. Jadi, y 

k

.

Maka, integral (2.205) menjadi C











( x   )'A( x   )   exp  t'x   dx1 2  

 C



 C



 C



 C



 C













dxn

y'Ay   exp  t' ( y   )  | J | dx1  2  





dyn

y'Ay   exp  t' ( y   )  1dy1  2  

dyn

y'Ay   exp  t' ( y   )  1dy1  2  

dyn

 





y'Ay   exp  t'y  t'    dy1  2  











dyn

y'Ay   exp(t'  ) exp  t'y   dy1 2  

dyn



66

 C exp(t'  ) 











y'Ay   exp  t'y   dy1 2  

(2.206)

dyn

Karena A adalah matriks simetris yang definit positif, maka nilai-nilai eigen dari matriks A, yaitu a1, a2, ..., an bernilai positif. Berarti terdapat matriks ortogonal L yang berukuran n × n sedemikian sehingga  a1  0 L'AL     0

0  0 ,   an 

0 a2 0

(2.207)

atau biasa ditulis L'AL = diag(a1, a2, ..., an).

(2.208)

Misalkan: z = L–1y, di mana z' = (z1, z2, ..., zn). Inversnya: y = Lz. Jadi, Jacobian-nya adalah: J = |L|. Karena L matriks ortogonal, maka |L'L| = |L2| = |L|2 = 1, jadi, |L| = ±1. |J| = |1| = 1. Batas integrasinya: Jika yi = – ∞, maka zi = – ∞, i = 1, 2, ..., k; Jika yi = ∞, maka zi = ∞, i = 1, 2, ..., k. Jadi, diperoleh C exp(t'  ) 





y'Ay   exp  t'y   dy1  2  





 C exp(t'  ) 



 C exp(t'  ) 



 C exp(t'  ) 



 C exp(t'  ) 











dyn

( Lz )'A( Lz )   exp  t' ( Lz )   | J | dz1  2 





( Lz )'A( Lz )   exp  t' ( Lz )   1dz1  2 

















( Lz )'A( Lz )   exp  t' ( Lz )   dz1 2  z' ( L'AL) z   exp  t'Lz   dz1 2 

dzn dzn

dzn dzn

(2.209)



67

Misalkan: w' = t'L, di mana w' = (w1, w2, ..., wn). Jadi, diperoleh C exp(t'  ) 





z' ( L'AL) z   exp  t'Lz   dz1  2 





 C exp( w'L1 ) 







 C exp( w'L1 ) 



z' ( L'AL) z   exp  w'z   dz1 2 

dzn

n   ai zi2    n   dz1 wi zi  i 1  exp   2  i 1    





 C exp( w'L'  ) 



dzn

 ai zi2  exp w z   i i dz1   2  i 1 







dzn

n

dzn

n   a z2   C exp( w'L'  )  exp  wi zi  i i  dzi  2  i 1 

 ai zi2   C exp( w'L'  )  exp( wi zi ) exp    dzi  i 1  2  n



n   z2  C exp( w'L'  )  exp( wi zi ) exp   i  i 1  2 / ai

n

 C exp( w'L'  )  i 1

n

 C exp( w'L'  ) i 1





  dzi 

 z2 exp( wi zi ) exp   i 2  2 / ai ai 2 ai

 z2 exp( wi zi ) exp   i 2   2 / ai   ai 2 ai

 z2 exp( wi zi ) exp   i   2 / ai Perhatikan bentuk integral   2 ai

   dz

i

   dz . i

(2.210)

   dz . i



68

 z2  exp( wi zi ) exp   i   2 / ai  merupakan f.p.m dari variabel acak Z yang Fungsi i 2 ai

berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1/ai, dengan t diganti dengan wi.  zi2 exp( wi zi ) exp     2 / ai Jadi,   2 ai

 1  w2     dz  exp  0  w  ai i  . i i   2    

Jadi, diperoleh n

C exp( w'L'  ) i 1

 z2 exp( wi zi ) exp   i 2   2 / ai  ai  2 ai n

 C exp( w'L'  ) i 1

n

 C exp( w'L'  ) i 1

   dz

i

1  w2   ai i  2 exp  0  wi    ai 2      w2  2 exp  i  ai  2ai 

2  C exp( w'L'  ) a1

 w12  2 exp   an  2a1 

 wn2  exp    2an 

 w2 (2 ) exp  1  an  2a1

wn2   2an 

 C exp( w'L'  )

(2 ) a1

 C exp( w'L'  )

 n w2 (2 ) n exp   i a1 an  i 1 2ai

 . 

(2.211)

Seperti diketahui sebelumnya, bahwa L adalah matriks ortogonal, yaitu berarti bahwa L–1 = L', maka ( L'AL)1  L1 A1 ( L' )1

 L'A1 ( L1 )1

 L'A1 L



69

    1 ( L'AL)      

1

1

0

0    0    1  an 

0

a1

0

a2

0

1 1  diag  , ,  a1 a2

,

1 . an 

(2.212)

Berarti:

wi2  w' ( L'A1 L) w  i 1 2ai n

 w'L'A1 Lw  ( Lw)'A1 ( Lw)

 t'A1t .

(2.213)

A1  L'A1 L



1 1  a1 a2

1 . an

(2.214)

Dengan mensubstitusikan (2.205) dan (2.206) ke (2.203), maka diperoleh

C exp( w'L'  )

 n w2  (2 ) n exp   i  a1 an  i 1 2ai 

 t'A1t   C exp(t'  ) (2 ) n A1 exp    2   C exp(t'  ) (2 ) A n

1

 t'A1t  exp  .  2 

(2.215)

Seperti telah dikemukakan sebelumnya bahwa jika t1 = t2 = ... = tn = 0, maka integral (2.205) menjadi ruas kiri (2.204). Berarti bahwa jika t1 = t2 = ... = tn = 0, maka bentuk (2.207) menjadi

 t'A1t  n 1 C exp(t'  ) (2 ) n A1 exp    C (2 ) A ,  2  dan karena bentuk (2.215) adalah hasil dari penurunan integral (2.205), maka

C (2 )n A1  1 Universitas Indonesia


70

1

C 

(2 ) n A1

.

(2.216)

Jadi, terbukti bahwa

, xn ) 

f ( x1 , x2 ,

1 (2 )n A1

 ( x   )'A( x   )  exp   , 2      xi  , i  1, 2,

,n

(2.217)

adalah suatu f.k.p bersama dari variabel-variabel acak X1, X2, ..., Xn, yang bertipe kontinu. F.k.p ini disebut f.k.p normal multivariat nonsingular. Karena f(x1, x2, ..., xn) adalah f.k.p, maka integral (2.205) adalah f.p.m dari X1, X2, ..., Xn yaitu C





( x   )'A( x   )   exp  t'x   dx1  2  





 C exp(t'  ) (2 ) A n

1



(2 )n A1

1

dxn

 t'A1t  exp    2 

 t'A1t  exp(t'  ) (2 ) n A1 exp    2 

 t'A1t   exp(t'  ) exp    2 

 t'A1t   exp  t'   . 2   Jadi,

M (t )  M (t1 ,

 t'A1t  tn )  exp  t'   . 2  

(2.218)

Matriks A–1 yaitu   11  12    22 A1   21     n1  n 2

 1n   2 n 

(2.219)

   nn 

adalah matriks kovariansi dari distribusi normal multivariat dan dinotasikan dengan V. Jadi pada f.k.p dari distribusi normal multivariat dapat ditulis Universitas Indonesia


71

, xn ) 

f ( x1 , x2 ,

 ( x   )'V 1 ( x   )  exp   , 2 (2 )n V   1

   xi  , i  1, 2,

,n ,

(2.220)

dan f.p.m-nya adalah

t'Vt   M (t )  exp  t'   . 2  

2.22

(2.221)

Notasi Integral

Pada kasus multivariat, yaitu pada bab empat, akan digunakan notasi integral tertentu yang jarang digunakan. Oleh karena itu pada bagian ini akan didefinisikan suatu notasi integral yang akan digunakan selanjutnya. Misalkan terdapat suatu vektor acak X = (X1, X2, ..., Xk)' dan terdapat suatu fungsi u(X). Maka, 

 





 

dengan

2.23

k





  x1 , x2 ,

u( x1 , x2 ,

, xk )dx1

dxk 1dxk   k u ( x)dx ,

, xk  | xi  , i  1, 2,

(2.222)

, k .

Distribusi Nonsentral-t

Definisi 2.38. Misalkan variabel acak W berdistribusi N(ε, 1), misalkan variabel acak V berdistribusi  r2 , dan W dan V saling bebas. Bentuk

T

W V

(2.223)

r

disebut berdistribusi nonsentral-t dengan derajat bebas r dan parameter ketidaksentralan ε dan dinyatakan oleh T ~ Tε;m. Jika ε = 0, dikatakan T berdistribusi sentral-t (distribusi t).



BAB 3 VARIABEL ACAK YANG BERDISTRIBUSI SKEW-NORMAL UNIVARIAT

Distribusi probabilitas data adalah penyebaran probabilitas data terkait dengan suatu kejadian tertentu. Distribusi probabilitas sangat terkait dengan variabel acak. Ada dua jenis variabel acak, yaitu variabel acak yang berdistribusi probabilitas diskret dan kontinu. Setiap variabel acak memiliki ruang nilai. Variabel acak yang berdistribusi probabilitas diskret adalah variabel acak yang memiliki ruang nilai yang terhitung, sedangkan variabel acak yang berdistribusi probabilitas kontinu adalah variabel acak yang memiliki ruang nilai yang tidak terhitung. Dalam banyak aplikasi, terdapat distribusi probabilitas data yang sangat dikenal dan disukai karena karakteristik-nya, yaitu distribusi normal. Banyak orang seringkali menggunakan distribusi ini di dalam menganalisis data. Namun, pada kenyataannya banyak data yang ada di dalam kehidupan nyata tidak persis berdistribusi normal, bahkan ada yang melenceng jauh. Pada kondisi demikian, seringkali orang tetap menggunakan distribusi normal untuk menganalisis data. Hasilnya, analisis data kurang memuaskan. Hasilnya menjadi kurang atau tidak realistis. Oleh karena itu, tidak disarankan untuk melakukan analisis data dengan menggunakan distribusi normal, pada keadaan di mana data tidak berdistribusi normal, khususnya ketika data memiliki distribusi probabilitas data yang menceng dan mempunyai heavy-tail. Untuk mengatasi permasalahan tersebut, diperlukan distribusi probabilitas data yang lain. Distribusi probabilitas tersebut adalah distribusi skew-normal. Distribusi skew-normal merupakan perluasan dari distribusi normal dengan memasukkan faktor kemencengan. Selain permasalahan yang telah disebutkan, distribusi probabilitas ini juga dapat memfasilitasi data yang memiliki distribusi probabilitas yang terpusat di sektar mean tetapi kurang atau tidak simetris. Pada bab ini akan dibahas mengenai variabel acak yang berdistribusi skewnormal untuk kasus univariat. Pada pembahasan di bab ini, akan terlihat bahwa distribusi skew-normal ini dibangun dengan menggunakan distribusi normal 72



73

standar, tetapi memiliki bentuk distribusi yang berbeda dari distribusi normal standar. Bentuk khusus dari distribusi ini merupakan distribusi normal standar, yaitu jika faktor kemencengannya bernilai 0. Seperti distribusi-distribusi probabilitas lainnya, distribusi skew-normal juga mempunyai karakteristik-karakteristik tertentu. Pada bab ini akan dibahas karakteristik-karakteristik dari distribusi skew-normal tersebut dan distribusi skew-normal yang diperluas dengan memasukkan parameter location dan scale. Karakteristik-karakteristik yang akan dibahas adalah fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p), fungsi distribusi, fungsi pembangkit momen (f.p.m), mean, variansi, dan sifat-sifat distribusi skew-normal. Pada bagian akhir bab ini akan diberikan perbandingan grafik f.k.p dari distribusi normal dan skew-normal, dan contoh perhitungan probabilitas.

3.1


Misalkan Z adalah suatu variabel acak yang berdistribusi normal standar N(0, 1), dengan fungsi kepadatan

 ( z) 

1  z 2 /2 e , 2

  z   ,

(3.1)

dan fungsi distribusi z

( z )    (u )du ,

(3.2)



serta berlaku

 ( z )   ( z ) ,

(3.3)

( z)  ( z)  1.

(3.4)

Bentuk perkalian dari fungsi (3.1) dan (3.2) menghasilkan suatu fungsi dari variabel acak yang memiliki distribusi probabilitas yang baru. Lebih jelasnya, misalkan terdapat suatu variabel acak X, di mana untuk setiap bilangan rill α, fungsi fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < 

(3.5)



74 merupakan suatu fungsi dari variabel acak X. (x) adalah f.k.p dari variabel acak yang berdistribusi N(0, 1). Φ(αx) adalah fungsi distribusi dari variabel acak yang berdistribusi N(0 ,1), yaitu x

( x)  Pr  Z   x     (u)du .

(3.6)



Selanjutnya, melalui syarat-syarat f.k.p, akan dibuktikan bahwa fungsi (3.5) merupakan f.k.p dari variabel acak X. Bukti: Misalkan terdapat suatu variabel acak X dan fα(x) = 2(x)Φ(αx) adalah fungsi dari variabel acak X yang memiliki ruang nilai {x | –  < x < }, dan dinotasikan dengan A. (i)

Akan dibuktikan bahwa fα(x) ≥ 0  x  A = {x | –  < x < } di mana fα(x) = 2(x)Φ(αx), Bukti: Sesuai persamaan (3.1), (x) merupakan f.k.p dari variabel acak yang berdistribusi N(0, 1), maka sesuai dengan syarat suatu f.k.p, (x) ≥ 0

 x  (– ∞, ∞). Sesuai persamaan (3.2), Φ(αx) adalah fungsi distribusi dari variabel acak X. Sesuai dengan sifat dari fungsi distribusi, pada bagian 2.5, maka 0 ≤ Φ(αx) ≤ 1. Berarti Φ(αx) merupakan fungsi bernilai nonnegatif. Maka, perkalian dari fungsi nonnegatif dengan fungsi nonnegatif akan bernilai nonnegatif. Jadi, terbukti fα(x) = 2(x)Φ(αx) ≥ 0  x  A = {x | –  < x < }

(ii)

Akan dibuktikan bahwa 





f  x  dx  1

Bukti:









f ( x)dx   2 ( x)( x)dx  0





0

  2 ( x)( x)dx   2 ( x)( x)dx



75

Perhatikan integral di bagian kiri dari (3.7), yaitu



0



2 ( x)( x)dx .

Misalkan: x = – p.

dx = – dp.

Batas integrasinya: Jika x = – ∞, maka p = ∞;

jika x = 0, maka p = 0.

Jadi, diperoleh



0



0

2 ( x)( x)dx   2 ( p)[ ( p)]dx 



  2 ( p)[ ( p)](dp) 0



  2 ( p)[ ( p)]dp 0



  2 ( p)[ ( p)]dp 0



  2 ( p)( p)dp 0



  2 ( p) 1  ( p) dp 0



  2 ( x) 1  ( x) dx

(3.8)

0

Substitusikan (3.8) ke (3.7), diperoleh







0





0

f ( x)dx   2 ( x)( x)dx   2 ( x)( x)dx 



0

2 ( x) 1  ( x)  2 ( x)( x) dx



  2 ( x) 1  ( x)  ( x)  dx 0



  2 ( x) 1dx 0



  2 ( x)dx 0



 2  ( x)dx 0

1  2  2

 1. Universitas Indonesia


76








f ( x)dx  1 .

Karena terbukti bahwa fungsi (3.5) memenuhi syarat-syarat f.k.p, berarti fungsi (3.5) merupakan suatu f.k.p. Jadi, fungsi (3.5) merupakan f.k.p dari variabel acak X dengan ruang nilai A = {x | –  < x < }. Pembuktian bahwa fungsi (3.5) adalah suatu f.k.p, dapat diperkuat dengan menggunakan suatu lemma.

Lemma 3.1. Jika f0 adalah fungsi kepadatan probabilitas satu dimensi yang simetris terhadap 0, dan G adalah fungsi distribusi satu dimensi sedemikian sehingga G' ada dan merupakan fungsi kepadatan yang simetris terhadap 0, maka f(z) = 2f0(z)G{w(z)}

(–  < z < )

(3.9)

adalah fungsi kepadatan, dengan w(z) adalah sebarang fungsi ganjil.

Sebelum digunakan untuk memperkuat pembuktian bahwa fungsi (3.5) adalah suatu f.k.p, berikut ini akan diuraikan pembuktian dari Lemma 3.1. Bukti: Misalkan Y dan X adalah variabel-variabel acak yang saling bebas. f0(y) adalah f.k.p dari variabel acak Y, dan simetris terhadap 0. G(x) adalah fungsi distribusi dari variabel acak X sedemikian sehingga G'(x) ada dan merupakan f.k.p dari variabel acak X, dan simetris terhadap 0. Perhatikan bentuk fungsi f(z) = 2f0(z)G{w(z)} yang memiliki ruang nilai A = {z | –  < z < }, di mana w(z) adalah sebarang fungsi ganjil. f0(z) adalah f.k.p dari variabel acak Y dengan y = z. G{w(z)} adalah fungsi distribusi dari variabel acak X, di mana x = w(z). Akan dibuktikan bahwa fungsi f(z) = 2f0(z)G{w(z)} merupakan suatu f.k.p. (i)

Akan dibuktikan bahwa fungsi f(z) = 2f0(z)G{w(z)} ≥ 0 untuk –  < z < . Bukti: f0(z) adalah f.k.p dari variabel acak Y, di mana y = z. Maka, f0(z) ≥ 0 untuk –  < z < , yaitu f0(z) fungsi yang nonnegatif. Universitas Indonesia


77

G{w(z)} adalah fungsi distribusi dari variabel acak X, di mana x = w(z). Berdasarkan sifat fungsi distribusi yang dibahas pada bagian 2.5, maka 0 ≤ G{w(z)} ≤ 1. Berarti G{w(z)} adalah fungsi yang nonnegatif. Karena f0(z) dan G{w(z)} adalah fungsi-fungsi yang nonnegatif, maka perkalian kedua fungsi tersebut juga nonnegatif. Jadi, terbukti bahwa 2f0(z)G{w(z)} ≥ 0 untuk –  < z < .

(ii)

Akan dibuktikan bahwa







f ( z )dz  1 .

Bukti: f(z) = 2f0(z)G{w(z)}









f ( z )dz   2 f0 ( z )G  w( z ) dz  0





0

  2 f0 ( z )G  w( z ) dz   2 f 0 ( z )G  w( z ) dz . Perhatikan integral di bagian kiri, yaitu



0



(3.10)

2 f0 ( z )G{w( z )}dz .

Misalkan: z = – p;

z = – dp.

Batas integrasinya: Jika z = – ∞, maka p = ∞;

jika z = 0, maka p = 0.

Jadi, diperoleh



0



2 f0 ( z )G  w( z ) dz   2 f 0 ( p)G  w( p) (dp) 0





  2 f0 ( p)G  w( p) (dp) 0



  2 f0 ( p)G  w( p) dp 0



  2 f0 ( p)G  w( p) dp 0



  2 f0 ( p)G  w( p) dp 0

  2 f0 ( p) 1  G  w( p) dp 

0

  2 f0 ( z ) 1  G  w( z ) dz . 

(3.11)

0



78

Kemudian, substitusikan (3.11) ke (3.10), diperoleh







0





0

f ( z )dz   2 f 0 ( z )G  w( z ) dz   2 f 0 ( z )G  w( z ) dz   2 f0 ( z ) 1  G  w( z ) dz   2 f 0 ( z )G  w( z ) dz 



0

0





2 f ( z)1  G  w( z)  2 f ( z)G w( z) dz 0

0

0

  2 f0 ( z ) 1  G  w( z )  G  w( z ) dz 

0



  2 f0 ( z ) 1dz 0



  2 f0 ( z )dz 0



 2 f0 ( z )dz 0

1  2  2

 1.

(3.12)








f ( z )dz  1 .

Selanjutnya akan dibahas pembuktian bahwa fungsi (3.5) merupakan f.k.p dengan menggunakan Lemma 3.1. Bukti: Perhatikan fungsi fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < .

(x) merupakan f.k.p dari variabel acak yang berdistribusi normal standar, yang simetris terhadap 0. Φ(x) merupakan fungsi distribusi dari variabel acak yang berdistribusi normal standar. Sesuai pada bagian 2.5, Φ'(x) = (x). Selanjutnya akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa αx merupakan fungsi ganjil. Misalkan w(x) = αx, α 

.

w(– x) = α(– x) = – αx = – w(x).



79 Karena w(– x) = – w(x), maka terbukti αx merupakan fungsi ganjil. Jadi, dengan menggunakan Lemma 3.1, diperfoleh bahwa fungsi fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x <  merupakan suatu f.k.p, dalam hal ini merupakan f.k.p dari variabel acak X. Misalkan ruang nilai dari X adalah A = {x | –  < x < }. Jadi, fungsi fα(x) = 2(x)Φ(αx) adalah f.k.p dari variabel acak X dengan ruang nilai A. Dari hasil bahwa fungsi fα(x) = 2(x)Φ(αx) adalah suatu f.k.p dari variabel acak X dengan ruang nilai A = {x | –  < x < }, diperoleh definisi:

Definisi 3.1. Jika suatu variabel acak X mempunyai fungsi kepadatan fα(x) = 2(x)Φ(αx)

(–  < x < )

di mana  dan Φ secara berurutan adalah f.k.p dan fungsi distribusi normal standar N(0, 1), maka X adalah variabel acak berdistribusi skew-normal dengan parameter α; atau dikatakan juga X adalah SN(α), atau dapat dinyatakan sebagai X ~ SN(α).

3.2

Fungsi Distribusi

Misalkan X ~ SN(α) dengan f.k.p fα(x), maka fungsi distribusi dari variabel acak X dinotasikan dengan Fα(x). f.k.p dari variabel acak X adalah fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < . Untuk memperoleh fungsi distribusi dari variabel acak yang berdistribusi skew-normal, diperlukan suatu fungsi yang disebut fungsi T-Owen. Sesuai pada bagian 2.12, dari persamaan (2.39) fungsi T-Owen adalah 1 T (h,  )  2





0

 1  exp   h 2 1  x 2   2  dx , 2 1 x





h > – ∞, α < + ∞.

Fungsi distribusi dari variabel acak X adalah F ( x)  Pr( X  x) x

  2 (u )( u )du

(3.14)





80

x

u





F ( x)   2 (u )   ( p)dpdu x 0 u   2 (u)    ( p)dp    ( p)dp  du  0    x  1 u    2 (u )     ( p)dp  du  0 2 

( adalah f.k.p normal standar)

x

x

u





0

   (u )du   2 (u )   ( p)dpdu x

u



0

 ( x)   2 (u)   ( p)dpdu . Perhatikan integral di bagian kanan, yaitu



x



(3.15) u

2 (u )   ( p)dpdu . 0

Misalkan: p = βu;

dp = u dβ.

Batas integrasinya: Jika p = 0, maka β = 0;

jika p = αu, maka β = α.

Jadi, diperoleh



x



u

x



0



0

2 (u)   ( p)dpdu   2 (u)   (  u)ud  du 

x









 0



x



0

 2



 2



 2



0

0

0



2 (u) (  u)ud  du 2 (u) (  u)udud 

x



u (u ) (  u )dud 

1  u2 1  ( 2u ) u e  e dud   2 2 2

1  u2 1   2u  u 2 e  2 e dud  2

2 2

x

1 1  2  2 2

2  2

2

x



x

0



 

ue



u2 2



x

0



  e



 2u 2 2

ue



u2 2

e



 2u 2 2

dud 

dud 



81



x



2 (u ) 

u

0

2  ( p)dpdu  2



x

0





 

2  2

 

x

0



2  2



x

0



 

ue

ue





ue



u 2  2u 2  2 2

u 2   2u 2 2



u 2 1  2

dud 

dud 



2

dud  .

(3.16)

Misalkan:

u2 

t = u2(1 + β2),





t , 1  2

t . 1  2

u





t 1   2 du  2 t 1   2 du . 2 1 

dt  2u 1   2 du  2

Batas integrasinya: jika u = x, maka t = x2(1 + β2).

Jika u = – ∞, maka t = ∞; Jadi, diperoleh



x



2 (u ) 

u

0

2  ( p)dpdu  2

2  2



x

0



  

ue













  

2 2

 

x 2 1  2



2 2



x 2 1  2



  0





2  lim b  2

 

2  lim b  2









2  lim b  2

0

0

0



e



t 2

dud 

dt d 2 1  2





t  1 2 e dtd  2 1  2



x 2 1  2

b



t  t dt 2 e d 2 1  2 t 1  2





0

2



x 2 1  2

0



u 2 1  2





t  1 2 e dtd  2 1  2







x 2 1  2

 1    2t   e   2   1     b

 d

 x2 1  2   b    1     2 e  e 2 d  2     1      



82



x



2 (u ) 

u

0

2  ( p)dpdu  2





0

 1   e  2   1  

1   2 2





0

 1 e 2 1 



x 2 1  2



2



x 2 1  2 2

d



d

  2T ( x,  ) .

(3.17)

Substitusikan (3.17) ke (3.15), maka diperoleh fungsi distribusi dari variabel acak X, yaitu F ( x)  ( x)  2T ( x,  ) .

3.3

(3.18)


Misalkan X ~ SN(α). Untuk mencari f.p.m dari variabel acak X, akan digunakan suatu lemma, yaitu:

Lemma 3.2. Jika U adalah variabel acak yang berdistribusi normal standar N(0, 1), maka

 k E   hU  k     2  1 h untuk sebarang h, k 

 . 

(3.19)

.

Sebelum digunakan untuk mencari f.p.m dari variabel acak X, Lemma 3.2 akan dibuktikan terlebih dahulu. Bukti Lemma 3.2.: Misalkan U ~ N(0, 1).

(hu  k )  

hu  k



 ( p)dp , untuk sebarang h, k  . 

E[(hU  k )]   (hu  k ) (u )du 

(3.20)

.

(3.21)

Kemudian ekspektasi (3.21) diturunkan terhadap k. Universitas Indonesia


83

    (hu  k ) (u )du  E[(hU  k )]      k k

Perhatikan bagian





 (hu  k ) (u )



k





 (hu  k )



k

 (hu  k )

k





hu  k



(Aturan Leibnitz)

 (u )du

(3.22)

pada (3.22).

k

 (hu  k )

du

 ( p)dp (3.23)

k

Misalkan: p = hu + s;

dp = ds.

Batas integrasinya: Jika p = – ∞, maka s = – ∞; jika p = hu + k, maka s = k. Jadi, diperoleh

 (hu  k ) k





hu  k



 ( p)dp

k k



   (hu  s )ds 

k

  (hu  k ) .

(3.24)

Substitusikan (3.24) ke (3.22), diperoleh    ( hu  k )  E[(hU  k )]   (u )du  k k



   (hu  k ) (u )du 







 (hu  k )2  1  u2  1 exp   exp    du  2 2   2  2

 (hu  k )2   u2  1 exp   exp    du   2 2    2







84

E[(hU  k )] 1  k 2

1  2

 (hu  k ) 2   u 2  exp   2  e   2  du 

 (hu  k )2 u 2   exp  2  2  du 

 1  exp  (hu  k ) 2  u 2   du   2 









1 2







1 2







1 2

2    1 2 2 2  1 h   exp  u 1  h  2 hku  k du  2     2  1  h       



1 2

k 2  h2 k 2    1  2 2 exp  u 1  h  2 hku    du   2  1  h 2   



1 2





1 2



1 2



 1  exp   h2u 2  2hku  k 2  u 2  du  2 







 1  exp   u 2  h2u 2  2hku  k 2  du  2 







 1  exp  u 2 1  h2  2hku  k 2   du  2 



















 1 exp  u 2 1  h2  2hku    2







h2 k 2 k 2      du 1  h 2 1  h 2   

1 2

 1 2hku 2  2 exp   2  1  h u  1  h2 







  h2k 2  k 2   du 2 2  1  h 2  1  h  

 



1 2

 1 exp  1  h2   2







 u

2



2hku  1  h2

  k2    du 2 2 1  h 2  2 1  h   h2 k 2











85

E[(hU  k )] 1  k 2

  1 2  exp  2 1  h  







 2 2 u 2  2hku  h k  1  h2 1  h2 





  2   

  k2  du exp    2 1  h 2 





1 2



2  1 hk   2  exp  1  h u    2     2 1  h     







  k2  du . exp    2 1  h 2 







   1 k2  1  exp   exp  1  h2    2  2  2  2 1  h 



hk   u   1  h2  

2







  du . 

(3.25)

Misalkan: hk   t  1  h2  u  ; 1  h2  

dt  1  h2 du atau

dt 1  h2

 du .

Batas integrasinya: Jika u = – ∞, maka t = – ∞; jika u = ∞, maka t = ∞. Jadi, diperoleh    E[(hU  k )] 1 k2  1   exp   1  h2   exp   2 k 2  2  2 1  h  









2 hk    u    du 1  h 2   



   1 k2  1  dt   exp   t 2  exp   2  2  2  1  h2  2 1  h 





   1 1 k2  1     exp   t 2  dt   exp  2 2  2 1  h  2   2 1  h 







86

  E[(hU  k )] 1 1 1 k2     exp   k 2 2 1  h2  2 1  h2 





 1  exp   t 2  dt   2 





   1 k2  1    exp  exp   t 2  dt 2 2  2  2   2 1  h  1 h

1  2

1







  1 1 k2  1  exp   2 1  h 2  2 1  h 2 



  1 1 k2   exp   2 1  h 2  2 1  h2 





1



1  h2





  1 k2  exp   2  2 1  h2 







 k  E[(hU  k )] 1   . k 1  h2  1  h2  k  p E[(hU  p)] 1 dp     1  h2  1  h2 p k

(3.26)

  dp . 

(3.27)

Misalkan:

u

p 1 h

2

; du 

dp

.

1  h2

Batas integrasinya: Jika p = – ∞, maka u = – ∞; jika p = k, maka u 

k 1  h2

.

Jadi, diperoleh

E[(hU  k )]  







1

k

1  h2 k

1 h2 

  dp 2  1 h 



1 1 h

2

p

  u  1  h2 du



87

E[(hU  k )]  

k

1 h2 

 (u )du

 k   2  1 h

 . 

(3.28)

 k  Jadi, terbukti bahwa E   hU  k      untuk sebarang h, k  2  1 h 

.

Kemudian akan dicari f.p.m dari variabel acak X dengan menggunakan Lemma 3.2. M X (t )  E  etX  

  etx f ( x)dx  

  etx  2 ( x)( x)dx 



 2 etx ( x)( x)dx  

 2 e 

 2



 2



 2



 2



 2













2

tx

1  x2 e ( x)dx 2 2

1 tx  x2 e e ( x)dx 2 2

1  x2 tx e ( x)dx 2 1 x e 2

2

1 x e 2

2

 2 tx 2

( x)dx

 2tx  t 2 t 2 2

( x)dx

1  ( x t2) t e ( x)dx 2 2

2



88

M X (t )  2

1  ( x 2t ) t2 e e ( x)dx 2 2





 2e

t2 2



2

1  ( x 2t ) e ( x)dx . 2 2





(3.29)

Misalkan: u = x – t;

du = dx.

Batas integrasinya: Jika x = – ∞, maka u = – ∞; jika x = ∞, maka u = ∞. Jadi, diperoleh M X (t )  2e

t2 2





 2e

t2 2



1  ( x 2t ) e ( x)dx 2 2



2





1  u2 e [ (u  t )]du . 2

(3.30)

2

Bentuk fungsi

1  u2 e merupakan f.k.p dari variabel acak U yang berdistribusi 2 2

1  u2 N(0, 1). Misalkan  (u )  e . Maka, diperoleh 2 t2 2

M X (t )  2e







 (u )[ (u  t )]du

t2 2

 2e E{[ (U  t )]} t2 2

 2e E[(U   t )] .

(3.31)

Dengan menggunakan lemma 3.2, dengan h = α, k = αt, diperoleh t2 2

M X (t )  2e E{(U   t )}

 t   2e   . 2  1   t2 2

(3.32)

Didefinisikan δ di mana:



 1  2

,



89 dengan   , sehingga



 1  2

 (1,1) .

(3.33)

Maka f.p.m dari X adalah t2 2

M X (t )  2e ( t ) .

3.4

(3.34)

Sifat-sifat dari Variabel Acak yang Berdistribusi Skew-Normal

Pada bagian 3.4 ini akan diuraikan sifat-sifat dari variabel acak yang berdistribusi skew-normal, serta pembuktian dari sifat-sifatnya. Misalkan X ~ SN(α), maka variabel acak X memiliki sifat-sifat: 1. Jika α = 0, maka X = Z, dan jika α → ± , maka X = ±|Z|, di mana Z ~ N(0, 1). Bukti: Misalkan X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1). Maka, f.k.p dari Z adalah  ( z ) 

1  z2 e ,    z   , dan f.k.p dari X 2 2

adalah fα(x) = 2(x)Φ(αx), – ∞ < x < ∞. Pembuktian sifat ini akan terbagi menjadi tiga kasus, yaitu: (i)

Kasus pertama, untuk α = 0.

(ii) Kasus kedua, untuk α → + . (iii) Kasus ketiga, untuk α → –  Kasus pertama, misalkan α = 0, berarti f0 ( x)  2 ( x)(0  x)

 2 ( x)(0) 0

 2 ( x)   (u )du 



90

f 0 ( x)  2 ( x) 

1 2

  ( x) .

Karena f0(x) = (x), dan (x) adalah f.k.p dari variabel acak Z yang berdistribusi normal standar, maka berarti terbukti X = Z untuk α = 0. Kasus kedua, misalkan α → + . Perhatikan untuk dua kasus lebih lanjut, yaitu kasus –  < x  0 dan 0 < x < . Untuk kasus –  < x  0, lim f ( x)  lim 2 ( x)( x)

 

 

2

1  x2  lim 2  e   2 2

2  x2  e 2









2

1  u2 e du 2

x



2

1  u2 e du 2

2

2  x2  e 0 2

 0. Untuk kasus 0 < x < , lim f ( x)  lim 2 ( x)( x)

 

 

2

1  x2  lim 2  e   2 2

2  x2  e 2









2

1  u2 e du 2

x

 2

1  u2 e du 2

2

2  x2  e 1 2 2

2  x2  e . 2

Jadi, untuk α → + , Universitas Indonesia


91

2

2  x2 f ( x)  e , x0 2 0 , x0

(3.35)

Karena fα(x) pada (3.35) merupakan f.k.p dari variabel acak |Z|, maka terbukti bahwa untuk α → + , X = |Z| di mana Z ~ N(0, 1). Kasus ketiga, misalkan α → – . Perhatikan untuk dua kasus lebih lanjut, yaitu kasus –  < x < 0 dan 0  x < . Untuk kasus –  < x < 0, lim f ( x)  lim 2 ( x)( x)

 

 

2

1  x2  lim 2  e   2 2

2  x2  e 2









2

1  u2 e du 2

x

 2

1  u2 e du 2

2

2  x2  e 1 2 2

2  x2  e . 2

Untuk kasus 0  x < , lim f ( x)  lim 2 ( x)( x)

 

 

2

1  x2  lim 2  e   2 2

2  x2  e 2









x



2

1  u2 e du 2 2

1  u2 e du 2

2

2  x2  e 0 2

 0. Jadi, untuk α → – , Universitas Indonesia


92

2

2  x2 f ( x)  e , x0 2 0 , x  0.

(3.36)

Karena fα(x) pada (3.36) merupakan f.k.p dari variabel acak – |Z|, maka terbukti bahwa untuk α → – , X = – |Z| di mana Z ~ N(0, 1). Jadi, dari pembuktian ketiga kasus yang ada, terbukti bahwa jika α = 0, maka X = Z, dan jika α → ± , maka X = ±|Z|, di mana Z ~ N(0, 1).

2. Jika X ~ SN(α), maka – X ~ SN(– α). Bukti: Misalkan X ~ SN(α), berarti fα(x) = 2(x)Φ(αx), – ∞ < x < ∞. Misalkan Y = – X. A = {x | –  < x < } Dengan transformasi y = – x diperoleh B = {y | –  < y < } Karena A = {x | –  < x < } dan B = {y | –  < y < }, maka, y = – x adalah transformasi satu-satu. Inversnya adalah: x = – y;

dx = – dy.

Jacobian-nya: | J | = 1. Maka dapat diperoleh g(y) = fα(– y)| J | = 2(– y)Φ{α(– y)}.1 = 2(– y)Φ{α(– y)} = 2(y)Φ{α(– y)} = 2(y)Φ{(– α)y)}.

(3.37)



93

Persamaan (3.37) merupakan bentuk f.k.p dari variabel acak yang berdisitribusi skew-normal univariat dengan parameter kemencengan – α. Jadi, Y ~ SN(– α). Karena Y = – X, maka terbukti bahwa – X ~ SN(– α).

3. Jika X ~ SN(α), maka |X| dan |Z| berdistribusi identik. Bukti: Karena Z ~ N(0, 1), maka berdasarkan pada bagian 2.14, |Z| adalah variabel acak yang berdistribusi half-normal, dengan ζ2 = 1. Misalkan W = |Z|. Maka, variabel acak W = |Z| yang berdistribusi half-normal memiliki f.k.p: 2

2  w2 h( w)  e , 2 0 ,

w0

(3.38)

lainnya.

Kemudian akan dicari distribusi dari |X|. Misalkan X ~ SN(α). Berarti fα(x) = 2(x)Φ(αx), – ∞ < x < ∞. Misalkan Y = |X|. A = {x | –  < x < }. Dengan transformasi y = |x| diperoleh B = {y | 0 ≤ y < }. Karena A = {x | –  < x < } dan B = {y | 0 ≤ y < }, maka, y = |x| bukan transformasi satu-satu. Ambil A1 dan A2 di mana A1, A2  A, A1  A2 = A, dan A1  A2 = . A1 = {x | –  < x < 0}. A2 = {x | 0 ≤ x < }. Pemetaannya dengan transformasi y = |x| adalah: A1 = {x | –  < x < 0}

→

{y | 0 < y < }.

A2 = {x | 0 ≤ x < }

→

{y | 0 ≤ y < }.

Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, letak perbedaannya yaitu pada y = 0. Maka dari itu, ruang nilai akan didefinisikan kembali untuk mengatasi Universitas Indonesia


94

permasalahan ini. Didefinisikan kembali untuk x = 0, y = 0. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {x | –  < x < , x  0}. B = {y | 0 < y < }. Inversnya adalah: x=–y

;

x = y,

dx = – dy

;

dx = dy,

J1 = – 1

;

J2 = 1,

| J1 | = 1

;

| J2 | = 1.

Jacobian-nya:

Misalkan B  B. A3 = {x | x = – y, y  B}  A1. A4 = {x | x = y, y  B}  A2. Kemudian diperoleh Pr(Y  B)  Pr( X  A3 )  Pr( X  A4 )



 f ( x)dx   f ( x)dx A3

A4

  f ( y) | J1 | dy   f ( y) | J 2 | dy B

B

  f ( y) 1dy   f ( y) 1dy B

B

  f ( y)dy   f ( y)dy B

B

  2 ( y){ ( y)}dy   2 ( y)( y)dy B

B

  2 ( y)( y)dy   2 ( y)( y)dy B

B

  2 ( y)( y)dy   2 ( y)( y)dy B

B

  2 ( y) 1  ( y) dy   2 ( y)( y)dy B

B

  2 ( y) 1  ( y)  ( y)  dy B



95

Pr(Y  B)   2 ( y) 1dy B

  2 ( y)dy B 2

1  y2   2 e dy 2 B 2

2  y2 e dy . 2

 B

(3.39)

Jadi, f.k.p dari variabel acak Y adalah: 2

2  y2 g ( y)  e , 2 0 ,

y0

(3.40)

lainnya.

Karena, f.k.p dari variabel acak Y = |X| dan f.k.p dari variabel acak W = |Z| sama, maka terbukti bahwa |X| dan |Z| memiliki distribusi identik, yaitu distribusi half-normal, dengan ζ = 1.

4. 1 – Fα(– x) = F– α(x). Bukti: Misalkan X ~ SN(α). Fungsi kepadatan dari variabel acak X adalah fα(x) = 2(x)Φ(αx), untuk ruang nilai A = {x | –  < x < }. x

x





F ( x)   2 (u)( u)du  2  (u)( u)du . x

F ( x)  2  (u )( u )du .

(3.41)



x

1  F ( x)  1  2  (u)( u)du 



x





 2  (u)( u)du  2  (u)( u)du 

 2  (u )( u)du .

(3.42)

x

Dengan menggunakan metode substitusi:



96

Misalkan: u=–p

du = – dp.

;

Batas integrasinya: Jika u = – x, maka p = x;

jika u = ∞, maka p = – ∞.

Jadi, diperoleh 

1  F ( x)  2  ( p){ ( p)}(dp) x

x

 2  ( p){ ( p)}(dp) 

x

 2  ( p){ ( p)}dp  x

 2  ( p){ ( p)}dp  x

 2  ( p){( ) p}dp 

 F ( x) .

(3.43)

Jadi terbukti bahwa 1 – Fα(– x) = F– α(x).

5. F1(x) = {Φ(x)}2. Bukti: Misalkan X ~ SN(α). Fungsi distribusi dari variabel acak X sesuai (3.18) adalah Fα(x) = Φ(x) – 2T(x, α). Fungsi T-Owen mempunyai sifat (2.42): 2T(h, 1) = Φ(h)Φ(– h), h > 0. Dari (3.18) dan dengan menggunakan sifat fungsi T-Owen, maka dapat diperoleh: F1(x) = Φ(x) – 2T(x, 1) = Φ(x) – Φ(x)Φ(– x) = Φ(x) – Φ(x)[1 – Φ(x)] = Φ(x) – Φ(x) + {Φ(x)}2 = {Φ(x)}2.

(3.44)

Jadi, terbukti bahwa F1(x) = {Φ(x)}2. Universitas Indonesia


97 6. Jika X ~ SN(α), maka X 2 ~ 12 , yaitu suatu variabel acak berdistribusi chisquare dengan derajat bebas = 1. Bukti: Misalkan X ~ SN(α). Fungsi kepadatan dari variabel acak X adalah fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < . Misalkan Y = X2. A = {x | –  < x < }. Dengan transformasi y = x2 diperoleh B = {y | 0 ≤ y <  }. Karena A = {x | –  < x < } dan B = {y | 0 ≤ y < }, maka, y = x2 bukan transformasi satu-satu. Ambil A1 dan A2 di mana A1, A2  A, A1  A2 = A, dan A1  A2 = . A1 = {x | –  < x < 0}. A2 = {x | 0 ≤ x < }. Pemetaannya dengan transformasi y = |x| adalah: A1 = {x | –  < x < 0}

→

{y | 0 < y < }.

A2 = {x | 0 ≤ x < }

→

{y | 0 ≤ y < }.

Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, letak perbedaannya yaitu pada y = 0. Maka dari itu, ruang nilai akan didefinisikan kembali untuk mengatasi permasalahan ini. Didefinisikan kembali untuk x = 0, y = 0. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {x | –  < x < , x  0}. B = {y | 0 < y < }. Inversnya adalah:

x y dx  

1 2 y

dy

;

x y,

;

dx 

1 2 y

dy ,



98

Jacobian-nya:

J1   | J1 |

1 2 y 1 2 y

1

;

J2 

;

| J 2 |

2 y

,

1 2 y

.

Misalkan B  B.

A3  {x | x   y , y  B}  A1 . A4  {x | x  y , y  B}  A2 . Kemudian diperoleh Pr(Y  B)  Pr( X  A3 )  Pr( X  A4 )



 f ( x)dx   f ( x)dx A3

A4





  f  y | J1 | dy   f B





B

1 2 y

dy   f



  

 2 

y   y

B

  2  y    y B

 

B

B

 

B

 B

 y   2 1 y dy

 2 1 y dy 

1 dy    y B

 y    y 

1 dy y

 y  1y    y     y  dy

 y

1 1dy y

 y

1 dy y

B

 

| dy

 2 1 y dy

 y     y 

B

 

2

B

  f  y 

 

 y| J

1  2y 1 e dy 2 y



99

Pr(Y  B)   B

 B

1 y   1 y 2 e 2 dy 2

1

 2



1



y

y 2 e 2 dy .

(3.45)

Jadi, f.k.p dari variabel acak Y adalah: 1 y   1 y 2e 2 , 2 0 ,

g ( y) 

y0

(3.46)

lainnya.

1  12  2y y e merupakan f.k.p dari variabel acak yang Bentuk fungsi g ( y )  2 berdistribusi Gamma dengan α = ½ dan β = 2, atau Y ~ Γ(½, 2), atau berarti Y ~ 12 .

Karena Y = X2, berarti terbukti bahwa X ~ SN(α), maka X 2 ~ 12 .

7. Sebuah variabel acak X mempunyai f.k.p fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < , jika dan hanya jika X mempunyai representasi

X   Z1  1   2 Z 2 ,

(3.47)

di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dan



 1  2

 (1,1) .

(3.48)

Bukti: Misalkan Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas. Dari bagian 2.17, telah dibuktikan bahwa |Z1| dan Z2 saling bebas. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat ke-7 dari distribusi skew-normal ini berlaku.

Bukti akan dibagi ke dalam dua bagian, bukti () dan bukti (). () Akan dibuktikan bahwa: jika variabel acak X mempunyai representasi



100

X   Z1  1   2 Z 2 , di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dan  

 1  2

 (1,1) , maka X mempunyai f.k.p

fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < . Bukti: Misalkan variabel acak X mempunyai representasi X   Z1  1   2 Z 2 , di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dan



 1  2

 (1,1) .

Dari (2.58), diperoleh f.p.m dari |Z1|, yaitu

 t2  M |Z1| (t )  2exp   (t ) , 2 dan dari (2.36), diperoleh f.p.m dari Z2, yaitu

 t2  M Z2 (t )  exp   . 2 Dengan menggunakan teknik f.p.m, dapat diperoleh: M X (t )  E  etX 

 



 E exp t  Z1  1   2 Z 2   





 E exp t Z1  t 1   2 Z 2   





 E exp  t Z1  exp t 1   2 Z 2   





 E exp  t Z1  E exp t 1   2 Z 2   



 2  ( t )   t 1   2 exp   ( t )  exp  2  2    2



t2 1  2   2t 2   2 exp   ( t )  exp  2 2   

  2

  

   Universitas Indonesia


101



t2 1  2   2t 2  M X (t )  2exp   exp  2   2 



  2t 2 t 2 1   2  2 exp   2  2



  2t 2  t 2 1   2  2 exp  2 



 t2  2 1  2  2 exp  2 

  ( t ) 

  ( t ) 

  ( t ) 

  ( t ) 

 t 2 1   2exp   ( t )  2 

 t2   2exp   ( t ) . 2

(3.49)

Karena sifat f.p.m yang unik untuk suatu distribusi probabilitas tertentu, sesuai dengan hasil di atas, maka diperoleh bahwa X merupakan variabel acak yang berdistribusi skew-normal dengan faktor kemencengan α. Karena X ~ SN(α), berarti f.k.p dari X adalah fungsi fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < , maka terbukti bahwa jika variabel acak X mempunyai representasi X   Z1  1   2 Z 2 , di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dan  

 1  2

 (1,1) , maka X mempunyai

f.k.p fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < .

() Akan dibuktikan bahwa: jika variabel acak X mempunyai f.k.p (3.5), maka X mempunyai representasi X   Z1  1   2 Z 2 , di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dan



 1  2

 (1,1) .



102

Bukti: Misalkan variabel acak X mempunyai f.k.p fα(x) = 2(x)Φ(αx), untuk ruang nilai A = {x |–  < x < }. Dengan membalik cara kerja bukti (): M X (t )  E  etX 

 t2   2exp   ( t ) 2  t 2 ( 2  1   2 )   2exp   ( t ) 2     2t 2  t 2 (1   2 )   2exp   ( t ) 2  

  2t 2 t 2 (1   2 )   2exp    ( t ) 2  2    2t 2   t 2 (1   2 )   2exp  exp    ( t ) 2  2      2t 2   t 2 (1   2 )   2exp   (  t ) exp    2  2   



 2  t 1   ( t )   2 exp   ( t )  exp  2  2    2

  2

  



  2     ( t )   t 1   2 exp   ( t )  exp  2 2         2

   2

  





 E exp  t Z1  E exp t 1   2 Z 2   





 E exp  t Z1  exp t 1   2 Z 2   





 E exp t Z1  t 1   2 Z 2   

 



 E exp t  Z1  1   2 Z 2  .  



103

Karena sifat f.p.m yang unik untuk suatu distribusi yang spesifik, dan

 

 



E etX  E exp t  Z1  1   2 Z 2  , maka terbukti bahwa variabel acak X  

mempunyai representasi X   Z1  1   2 Z 2 . Jadi, terbukti bahwa suatu variabel acak X mempunyai f.k.p (3.5) jika dan hanya jika X mempunyasi representasi (3.47), di mana Z1 dan Z2 merupakan variabel-variabel acak yang berdistribusi N(0, 1) yang saling bebas, dan



 1  2

 (1,1) .

8. Misalkan Z1, Z2 merupakan variabel acak yang berdistribusi normal standar N(0, 1) dan saling bebas. Jika variabel acak X mempunyai representasi X = a|Z1| + bZ2, maka

   (a 2  b 2 )1/2 X  (a 2  b 2 )1/2 a | Z1 | (a 2  b 2 ) 1/2 bZ 2 ~ SN  , 2  1  

(3.51)

di mana   (a 2  b2 )1/2 a adalah koefisien dari |Z1|. Bukti: Misalkan Z1, Z2 merupakan variabel acak yang berdistribusi N(0, 1) yang saling bebas, dan misalkan X mempunyai representasi X = a|Z1| + bZ2. Jadi diperoleh: (a 2  b2 )1/2 X  (a 2  b2 )1/2 a | Z1 | (a 2  b2 )1/2 bZ 2 .

Misalkan W1  (a 2  b2 )1/2 a | Z1 | dan W2  (a 2  b2 )1/2 bZ 2 . Berdasarkan (2.36) dan (2.58), diperoleh:

 t2  M |Z1| (t )  E et|Z1|  2exp   (t ) . 2





 t2  M Z2 (t )  E etZ2  2exp   . 2

 

Dengan teknik f.p.m dapat dicari f.p.m marjinal dari W1 dan W2, yaitu



104

 

MW1 (t )  E etW1

 E  et ( a 

2

b2 ) 1/2 a|Z1 |

 

 2 2  t a  b   2 exp  2   

2   a    2 2 1/2   (a  b ) at    





 t 2 a 2  b2  2exp   2 





 a 2t 2  2 exp   2 a 2  b 2

   at  .   a 2  b 2 





1/2

1

a2    (a 2  b2 ) 1/2 at      (3.52)

 

MW2 (t )  E etW2

 t  a2 b2   E e 

1/2

  

bZ 2

2 1/2  2 2   a  b bt      exp    2    









 a 2  b2  exp   2 

1

 b 2t 2  exp   2 a 2  b 2





b 2t 2      . 

(3.53)

Misalkan Y  W1  W2 . Maka, dengan menggunakan teknik f.p.m dapat diperoleh

 

M Y (t )  E etY

 E et (W1 W2 ) 

  E e

 E etW1 tW2 tW1 tW2

e

  Universitas Indonesia


105

   

M Y (t )  E etW1 E etW2

 a 2t 2  2exp   2 a 2  b 2



 a 2t 2  2exp   2 a 2  b 2





  at  2   a  b2



  b 2t 2  exp    2 a 2  b2







 a 2t 2 b 2t 2  2exp   2 a 2  b2  2 a 2  b 2



 b 2t 2    exp   2 a 2  b 2 









  

   at     a 2  b2 

   at     a 2  b 2 

 a 2t 2  b 2t 2    at   2 exp   2 2  2 a  b   a 2  b 2 









 a 2  b2 t 2    at   2 exp   2 2  2 a  b   a 2  b 2 





  t2   at  2exp     .  2   a 2  b2 

(3.54)

Bentuk persamaan (3.54) merupakan bentuk f.p.m dari suatu variabel acak yang berdistribusi skew-normal, dengan   bahwa  

 1  2

a a  b2 2

 (1,1) . Maka diperoleh  

. Dari (3.33), diketahui

 1  2



.

Karena sifat f.p.m yang unik untuk suatu distribusi tertentu, maka variabel acak Y berdistribusi skew-normal dengan parameter kemencengan



 1  2

, dengan  

a a 2  b2

. Karena Y  W1  W2 , dan

W1  (a 2  b2 )1/2 a | Z1 | dan W2  (a 2  b2 )1/2 bZ 2 , jadi terbukti bahwa

  (a 2  b2 )1/2 X  (a 2  b2 )1/2 a | Z1 | (a 2  b2 )1/2 bZ 2 ~ SN  2  1 

 , 

di mana   (a 2  b2 )1/2 a adalah koefisien dari |Z1|.



106

9. Jika X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas, maka

 b ~ SN   a 2 (1   2 )  b 2 a 2  b2 

aZ  bX

untuk sebarang a, b 

   

(3.55)

.

Bukti: Misalkan X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas. Dari (3.34) dan (2.36):

 t2  M X (t )  E etX  2exp   ( t ) . 2

 

 

 t2   exp   . 2

aZ

dan Y 

M Z (t )  E e Misalkan W 

tZ

a 2  b2

bX a 2  b2

.

Dengan menggunakan teknik f.p.m, dapat dicari f.p.m-f.p.m dari variabelvariabel acak W dan Y, yaitu: MW (t )  E  eWt 

  Ee  

aZ a 2  b2

t

   

2    at      a 2  b2    exp   2      

 a 2t 2  2 2  exp  a  b  2  

     

 a 2t 2  exp   2 a 2  b 2





 . 

(3.56)



107

 

M Y (t )  E etY

  Ee  

bX a 2  b2

t

   

2    bt     b   a 2  b2      2 exp    t     2 2 2     a  b      

 b 2t 2  2 2  2 exp  a  b  2 

    bt     2 2    a  b 

 b 2t 2  2exp   2 a 2  b 2





   

   bt     2    a  b 2

  .  

(3.57)

Misalkan U = W + Y, dari f.p.m W dan Y, maka dapat diperoleh f.p.m dari U dengan menggunakan teknik f.p.m, yaitu MU (t )  E  etU   E et (W Y )   E  etW tY 



 E etW etY



   

 E etW E etY

 a 2t 2  exp   2 a 2  b2 



 a 2t 2  exp   2 a 2  b2 





  b 2t 2   2exp  2 2    2 a  b



  b 2t 2  exp  2 2    2 a  b





 a 2t 2 b 2t 2   exp   2 a 2  b2 2 a 2  b2 













   bt     2 2    a  b

   

    bt   2    2 2    a  b  

    bt   2    2 2  a  b      



108

 a 2t 2  b 2t 2 M U (t )  exp   2 a 2  b2 

   bt   2      a 2  b 2 

   

 a 2  b2 t 2    bt   exp   2    2 2 2  2 a  b    a  b 2

   













   t2  bt  exp    2     a 2  b2 2

   

 t2    bt  2exp       2    a 2  b2

   

   t 2   b  2exp     t .  2   a 2  b 2  

(3.58)

Bentuk persamaan (3.58) merupakan bentuk f.p.m dari U adalah bentuk f.p.m dari variabel acak yang berdistribusi skew-normal dengan faktor kemencengan

  *

*

dan dengan  * 

1  *

2

Dari (3.33), diketahui bahwa  



 1  2



Karena  * 

* 

b a 2  b2

 1  2

.

 (1,1) , dan diperoleh bahwa

.

* 1  *

2

dan  * 

b a 2  b2

, maka diperoleh

* 1  *

2

b 

a 2  b2  b  1   2 2  a b 

2



109 b

* 

a 2  b2 b 2 2 1 2 a  b2 b



a 2  b2 a 2  b 2  b 2 2 a 2  b2

b

a 2  b2   2 a  b 2  b 2 2 a 2  b2

 Karena  

* 



b a 2  b 2  b 2 2

 1  2

.

(3.59)

, maka

b a 2  b2  b2 2    b  2  1      a b b   2  1   2

2

2

2

b 

1  2  2  a 2  b2  b2  2   1   b



1  2 b 2 2 2 2 a b  1  2

b 





1  2





a 2 1   2  b 2 1   2  b 2 2 1 

2



110

b

* 





1  2

a 2 1   2  b 2  b 2 2  b 2 2 1  2 b





1  2



a 2 1   2  b2 1 





b 1  2

2

1  2 a 2 1   2  b2







b . a 1   2  b2 2



(3.60)



Karen sifat f.p.m yang unik untuk suatu distribusi tertentu, maka variabel acak

U

* 

aZ  bX a 2  b2

berdistribusi skew-normal dengan faktor kemencengan

b . a 1   2  b2 2





aZ

Karena U  W  Y  W 

a b 2

2



bX a b 2

2



aZ  bX a 2  b2

, maka terbukti

bahwa aZ  bX a 2  b2

 b SN   2 a 1   2  b2 





 .  

10. Jika X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas, maka

   X Z ~ SN  . 2 2  2  

(3.61)

Bukti: Misalkan X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas.

aZ  bX X Z merupakan bentuk khusus dari , yaitu pada saat a = b = 1. 2 a 2  b2 Universitas Indonesia


111

 b SN   2 a 1   2  b2 

aZ  bX

Berdasarkan sifat 9,



a 2  b2



  , maka, jika a = b = 1  

diperoleh

b





a 2 1   2  b2 Jadi, terbukti bahwa



1 





1 1   2  1



  X Z ~ SN  2 2  2 

 1  2 1



 2  2

.

(3.62)

 . 

11. Jika Xi ~ SN(αi) saling bebas dengan αi  0, i = 1, 2. Maka, secara umum, X1 + X2 bukan variabel acak skew-normal. Bukti: Misalkan X1 ~ SN(α1) dan X2 ~ SN(α2) saling bebas dengan αi  0, i = 1, 2.

M X1  X 2 (t )  E et  X1  X 2  



 E etX1 tX 2



   E e  E e 

 E etX1 etX 2 tX1

tX 2

 t2   t2   2exp   (1t )  2exp   ( 2t ) 2 2  4exp  t 2  (1t )( 2t ) .

(3.63)

Karena bentuk (3.63) berbeda dari f.p.m dari variabel acak skew-normal, t2 2

yaitu M X (t )  2e ( t ) , maka X1 + X2 tidak berdistribusi skew-normal. Jadi, terbukti bahwa jika Xi ~ SN(αi) saling bebas dengan αi  0, i = 1, 2, maka secara umum, X1 + X2 bukan variabel acak skew-normal. Sifat 11 ini menunjukkan bahwa distribusi skew-normal univariat ini tidak memiliki sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan.



112

3.5

Mean dan Variansi

Misalkan X ~ SN(α). Untuk mencari mean dan variansi dari variabel acak X, akan digunakan f.p.m (3.34), yaitu

 t2  M (t )  2exp   ( t ) , 2



dengan  

1  2

 (1,1) .

Dengan menggunakan (2.19) dan (2.20), mean dan variansi dari variabel acak X adalah: E ( X )  M 'X (0) ,

 

2

Var( X )  E ( X   )2   E X 2   2  M ''X (0)   M ''X (0)  .

Dari (3.34) diperoleh:

 t2   t 2  t M X (t )  2exp   ( t )  2exp     (u)du . 2  2   Mean dan variansi dari variabel acak X akan dicari dengan menggunakan f.p.m, yaitu mencari turunan pertama dan kedua dari f.p.m dari variabel acak X terlebih dahulu. t  t2   t2  M (t )  2exp    t    (u )du  2exp     ( t )  2 2 ' X

 t2  t  t2   2t exp     (u )du  2exp    ( t )  2   2  t2   t2   2t exp     t   2 exp    ( t ) . 2 2

(3.64)

 t2  t  t2  t M ''X (t )  2exp     (u )du  2t exp    t   (u )du   2    2    t2   t2  2t exp    ( t )  2 exp   t ( t )  2 2

 t2  2 exp    ( t )  ( 2t ) . 2 Universitas Indonesia


113

 t 2  t  t 2  t M ''X (t )  2exp     (u )du  2t 2 exp     (u )du   2    2  

 t2   t2  3 4t exp    ( t )  2t exp     ( t ) 2 2  t2   t2   t2   2exp     t   2t 2 exp     t   4 t exp    ( t )  2 2 2

 t2  2 3t exp    ( t ) . 2

(3.65)

1 2  .  2

M' (0)  2 (0)  2 

(3.66)

0 1 M'' (0)  2  (u )du  2    1 .  2

(3.67)

Kemudian dicari momen pertama dan kedua, serta variansinya dengan menggunakan persamaan (2.18), (2.19), dan (2.20).

2

E ( X )  M' (0)  



.

(3.68)

E ( X 2 )  M'' (0)  1 .

(3.69)

 

Var( X )  E X 2   E ( X )

2

 2  1       

2

2  1  2    

 1

2 2



.

(3.70)

Jadi, mean dan variansi dari variabel acak X adalah

E( X )  

2



Var( X )  1 

,

2 2



.



114

3.6

Perluasan: Famili Location-Scale

Bentuk distribusi skew-normal yang dibahas pada subbab-subbab sebelumnya merupakan bentuk distribusi skew-normal yang hanya memfasilitasi distribusi probabilitas data di sekitar 0. Sedangkan kenyataannya ada banyak data yang memiliki distribusi probabilitas data tidak hanya di sekitar 0. Oleh karena itu, pada subbab 3.6 ini akan dibahas bentuk perluasan dari distribusi skew-normal yang telah dibahas sebelumnya, yaitu dengan memasukkan dua parameter baru, yaitu parameter location dan scale, yang secara berurutan dinyatakan oleh  dan

, di mana  

dan  > 0.

Jadi, untuk sebarang variabel acak X ~ SN(α), didefinisikan variabel acak skew-normal yang umum oleh Y =  + X,

(3.71)

dan Y ditulis Y ~ SN(, , α) untuk variabel acak ini. Pada subbab ini juga akan dibahas dan diperkenalkan karakteristikkarakteristik dari distribusi skew-normal yang diperluas ini.

3.6.1


Untuk memperoleh f.k.p dari variabel acak Y, akan digunakan teknik transformasi variabel. Misalkan X ~ SN(α). Maka, sesuai persamaan (3.5), f.k.p dari variabel acak X adalah fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < . Misalkan Y =  + X. A = {x | –  < x < }. B = {y | –  < y < }. y =  + x adalah transformasi satu-satu. Inversnya adalah: x

y 



;

dx 

1



dy . Universitas Indonesia


115

Jacobian-nya: J

1



| J |

;

1



.

Jadi, diperoleh  y  g ( y)  f   

 | J | 

 y   1  f    

 y      y    1  2               

2  y      y       .         

Jadi, f.k.p untuk variabel acak Y =  + X adalah

g ( y; ,  ,  ) 

3.6.2

2  y      y       ,    y   .         

(3.72)

Fungsi Distribusi Misalkan Y ~ SN(, , α). Dari persamaan (3.72), diperoleh f.k.p dari

variabel acak Y, yaitu

g ( y; ,  ,  ) 

2  y      y       ,    y   .         

Dengan menggunakan definisi dari fungsi distribusi, maka fungsi distribusi dari dari variabel acak Y adalah G ( y)  Pr(Y  y)

2  u      u          du           



y

2  u      u    ( p)dpdu        



y



116

2  u  G ( y )         y

2  u      



y

  0      ( p)dp  0 

 u    

  1      0 2

 u    



 ( p)dp  du 



 ( p)dp  du 

 u   y 2 1  u    u         du         0  ( p)dpdu .     



y

Perhatikan integral di bagian kiri, yaitu

1  u      



y

(3.73)

  du . 

Misalkan: t

u 



;

dt 

1



du .

Batas integrasinya: Jika u = – ∞, maka t = – ∞; jika u = y, maka t 

y 



.

Jadi, diperoleh

1  u       y

y  y      (t )dt    du    .      

(3.74)

Substitusikan (3.74) ke (3.73), sehingga diperoleh  u    y    y 2  u        G ( y)       ( p)dpdu .             0

Perhatikan integral di bagian kanan, yaitu

(3.75)

2  u      u        0  ( p)dpdu . y

Misalkan: r

u 



;

dr 

1



du .

Batas integrasinya: Jika u = – ∞, maka r = – ∞; jika u = y, maka r 

y 



.

Jadi, diperoleh



117

y  r 2  u      u  2    ( p ) dpdu   ( r )        0   0  ( p)dp(dr ) y



y 









2

y 





r

 (r )   ( p)dpdr 0

r

2 (r )   ( p)dpdr .

(3.76)

0

Misalkan: p  r ;

dp  rd  .

Batas integrasinya: Jika p = 0, maka β = 0;

jika p = αr, maka β = α.

Jadi, diperoleh y  r 2  u      u   2 ( r )   ( p ) dpdu         0  0  ( p)dpdr y



y 











0

y 





2 (r )   (  r )rd  dr





2 (r ) (  r )rd  dr

0

y 





2 (r ) (  r )rdrd 



0

 2



 2



 2



 2



0

0

0

0

y 





y 

1  r2 1  ( 2r ) e  e rdrd  2 2 2







y 

2





y 

2



 

0

y 



e



0

 

2

1  r2  ( 2r ) e e rdrd  2







2

1 1  r2  ( 2r )  e e rdrd  2 2



1  2 2 2  2

 (r ) (  r )rdrd 



y 





e





r2 2

2

r2 2

e



e



(  r )2 2

 2r 2 2

rdrd 

rdrd 



118

2  u      u  2       0  ( p)dpdu  2 y

y 



  

0



2  2

 

2  2



y 





0

 

e

y 





0

e

e







r 2  2r 2  2 2

r 2   2r 2 2



rdrd 



r 2 1  2

rdrd 

2

rdrd  .

(3.77)

Misalkan: s  r 2 1   2  ;

ds  2r 1   2  dr .

Batas integrasinya: Jika r = – ∞, maka s = ∞;

y 

 y   2 Jika r  , maka   1  .     2





Jadi, diperoleh

2  u      u  2       0  ( p)dpdu  2 y

y 



 





0



 y   2   1     



2  2



2

 

2  lim b  2







e

rdrd 



s 2

2



1 dsd  2 1  2





s  1 2 e dsd  2 1  2



 y   2   1     b

  0



2



2

  0



r 2 1  2

 y   2   1     

2  2

0

e











s  1 2 e dsd  2 1  2





2 b  2

 lim



1

 2 1     2

0

 y   2   1     2

    2e   b s  2



 d



119

2  u      u  2       0  ( p)dpdu  blim  2 y



1

 2 1     2

0

 y    1  2       2   2e b   2e   2





   d  

 y    1  2          2   2e  d     2



2 2



1

 2 1    2

0

 y   1  2     2 2

2  2



1 e 1  2

  0







1 e 1  2

  0



d

 y   1  2     2 2

1  2 2



 y     2T  ,  .   



 d

(3.78)

Substitusikan (3.78) ke (3.75), sehingga diperoleh fungsi distribusi dari variabel acak Y, yaitu  y  G ( y )     

3.6.3

  y   ,  .   2T     

(3.79)


Misalkan X ~ SN(α). Dari persamaan (3.34), diketahui f.p.m dari variabel acak X adalah

 t2  M X (t )  E etX  2exp   ( t ) . 2

 

Dengan menggunakan teknik f.p.m, dapat diperoleh f.p.m dari variabel acak Y, yaitu: Misalkan Y =  + X. Universitas Indonesia


120

 

M Y (t )  E etY

 E et   X    E  et t X 



 E et et X



 et E et X





 (t )2   exp(t )  2exp   { (t )}  2   (t )2   2exp(t ) exp   { (t )}  2   (t )2   2exp t   { (t )} 2  

 t 2 2   2exp  t   { (t )} 2     2t 2   2exp   t   { (t )} 2  

  2t 2   2exp   t   { (t )} 2  

  2t 2   2exp   t   (t ) . 2   Jadi, f.p.m dari variabel acak Y ~ SN(, , α) adalah

  2t 2  M Y (t )  2exp   t   (t ) . 2  

3.6.4

(3.80)

Mean dan Variansi

Pada bagian ini akan diuraikan cara memperoleh mean dan variansi dari variabel acak Y. Cara yang digunakan serupa dengan cara memperoleh Universitas Indonesia


121

mean dan variansi dari variabel acak skew-normal X pada subbab 3.5. Misalkan Y ~ SN(, , α). Dari (3.80) diperoleh:

  2t 2  M Y (t )  2exp   t   (t ) 2     2t 2  t  2exp   t   (u )du .  2    Mean dan variansi dari variabel acak Y akan dicari dengan menggunakan f.p.m, yaitu mencari turunan pertama dan kedua dari f.p.m dari variabel acak Y terlebih dahulu.

  2t 2  2 M Y' (t )  2exp   t     t 2  





t



 (u )du 

  2t 2  2exp   t    (t ) 2  

  2t 2  t  2    t exp   t   (u)du   2   



2



  2t 2  2 exp   t    (t ) 2  

  2t 2   2    2t exp   t    t   2  





  2t 2  2 exp   t    (t ) . 2  

(3.81)

  2t 2  t M Y'' (t )  2 2 exp   t   (u)du   2      2t 2  2 2    2t exp   t     t 2  









t



 (u )du 

  2t 2  2    2t exp   t    (t )  2  







122

  2t 2  2 2 exp   t      t  (t )  2  





  2t 2  2 2 2 exp   t    (t )   t . 2  





2   2t 2  2 M Y'' (t )  2 2 exp   t   (t )  2    t  2  





   2t 2   2t 2  2 exp   t   (  t )  2     t exp  t      (t )  2  2   





  2t 2  2    2t exp   t    (t )  2  





  2t 2  2 3 3t exp   t    (t ) 2   2   2t 2  2  2 2 exp   t   (t )  2    t  2  





   2t 2   2t 2  2 exp   t   (  t )  4     t exp  t      (t )  2  2   





  2t 2  2  t exp   t    (t ) . 2   3

3

(3.82)

Setelah diperoleh turunan pertama dan kedua dari f.p.m dari variabel acak Y, kemudian dicari momen pertama dan kedua dari variabel acak Y. 0

M Y' (0)  2   (u )du  2 (0) 

 1  1  2    2   2  2     

2 2

   

2



.

(3.83)



123 MY'' (0)  2 2(0)  2 2(0)  4 (0)

1 1  2 2    2 2    4 2 2

2

  2   2  2



1 2

.

(3.84)

Dengan menggunakan (2.18), (2.19), dan (2.20) diperoleh:

E (Y )  M Y' (0)    

2



.

 

E Y 2  M Y'' (0)   2   2  2

 

(3.85)

2



.

(3.86)

Var(Y )  E Y 2   E (Y )

2

 2      2           2

 2 2 2 2    2  2          2

  2   2  2  2 

2



2

2

2

 2 2

 2 2    2 1  .   

(3.87)

Jadi, mean dan variansi dari Y adalah

E (Y )  M Y' (0)    

2



,

 2 2  Var(Y )   2 1  .   

3.7

Perbandingan Grafik Normal dan Skew-Normal

Pada bagian ini akan diberikan perbandingan antara grafik f.k.p dari distribusi normal dengan grafik f.k.p dari distribusi skew-normal. Universitas Indonesia


124

Gambar 3.1 Grafik Distribusi Normal Standar

Gambar 3.2 Grafik Distribusi Skew-Normal

Pada Gambar 3.1 diberikan contoh grafik distribusi normal standar. Pada Gambar 3.2 diberikan grafik dari distribusi skew-normal dengan f.k.p (3.5) ketika faktor kemencengan α = 0, ± 1, ± 4. Terlihat bahwa grafik distribusi skew-normal pada α = 0 berbentuk simetris, sama seperti pada Gambar 3.1. Dari Gambar 3.2 terlihat bahwa semakin tinggi nilai α, grafik semakin menceng ke kanan (menceng positif). Begitu juga sebaliknya, semakin rendah nilai α, grafik semakin menceng ke kiri (menceng negatif). Bentuk grafik untuk nilai α dan – α sama, hanya berbeda arah kemencengan. Universitas Indonesia


125

3.8

Contoh

Pada bagian 3.8 ini akan diberikan contoh perhitungan probabilitas dari suatu variabel acak yang berdistribusi skew-normal. Misalkan X ~ SN(α). Berarti f.k.p dari variabel acak X adalah fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < . Dari (3.18), fungsi distribusi dari variabel acak X adalah F ( x)  ( x)  2T ( x,  ) ,

dengan 1 T (h,  )  2





0

 1  exp   h 2 1  x 2   2  dx , 2 1 x





h > – ∞, α < + ∞.

Nilai-nilai dari T(h, α) diberikan pada bagian tabel. Misalkan α = 0. Pr(X  1) = F0(1) = Φ(1) – 2T(1, 0) = 0,8413 – 2.0 = 0,8413. Misalkan α = 0. Pr(X  – 1) = F0(– 1) = Φ(– 1) – 2T(– 1, 0) = 1 – 0,8413 – 2.0 = 0,1587. Misalkan α = 1. Pr(X  1) = F1(1) = Φ(1) – 2T(1, 1) = 0,8413 – 2(0,066742) = 0,707816.



126 Misalkan α = – 1. Pr(X  1) = F–1(1) = Φ(1) – 2T(1, –1) = Φ(1) + 2T(1, 1) = 0,8413 + 2(0,066742) = 0,97484. Misalkan α = 1. Pr(X  –1) = F1(–1) = Φ(–1) – 2T(–1, 1) = 1 – Φ(1) – 2T(1, 1) = 1 – 0,8413 – 2(0,066742) = 0,025216. Misalkan α = – 1. Pr(X  –1) = F–1(–1) = Φ(–1) – 2T(–1, –1) = 1 – Φ(1) + 2T(–1, 1) = 1 – Φ(1) + 2T(1, 1) = 1 – 0,8413 + 2(0,066742) = 0,292184.



BAB 4 VEKTOR ACAK YANG BERDISTRIBUSI SKEW-NORMAL MULTIVARIAT

Sebelumnya, yaitu pada bab tiga, telah dibahas mengenai karakteristikkarakteristik dari variabel acak yang berdistribusi skew-normal univariat. Ketika menerapkan distribusi skew-normal di dalam inferensi statistik, seringkali dibutuhkan untuk mendiskusikan distribusi bersama dari suatu sampel acak dari populasi. Hal ini mengakibatkan dibutuhkannya pembahasan mengenai distribusi skew-normal multivariat. Pada bab ini akan dibahas mengenai karakteristikkarakteristik dari vektor acak yang berdistribusi skew-normal multivariat, kemudian secara khusus dibahas kasus bivariat. Perhatikan bentuk f.k.p dari variabel acak X yang berdistribusi skewnormal untuk kasus univariat dari persamaan (3.5), yaitu fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < , di mana (x) adalah f.k.p dan Φ(αx) adalah fungsi distribusi, dari variabel acak yang berdistribusi N(0 ,1), serta α 

4.1

.

Distribusi Skew-Normal Multivariat Pada bagian 4.1 ini akan dibahas karakteristik-karakteristik dari vektor

acak yang berdistribusi skew-normal multivariat. Karakteristik-karakteristik yang akan dibahas adalah f.k.p, f.p.m, vektor mean, dan matriks kovariansi.

4.1.1


Misalkan Y = (Y1, ..., Yk)' adalah suatu vektor berukuran k × 1, yang terdiri dari variabel-variabel acak. Ω adalah matriks berukuran k × k yang simetris, dan merupakan matriks yang definit positif. γ adalah vektor kemencengan berukuran

127



128 k × 1 dengan γ = (γ1, ..., γk)', di mana γ1, ..., γk adalah bilangan-bilangan riil. Λ adalah matriks berukuran k × k dengan Λ = (λ1, ..., λk) = Ω–1/2 diag(γ1, ..., γk).

(4.1)

Bentuk matriks Ω–1/2 akan dijelaskan pada bagian Lampiran 2. Perhatikan suatu fungsi dari vektor acak Y, yaitu k

 

f ( y, ,  )  2k k ( y, )   j y , j 1

'

y

k

,

(4.2)

dengan y = (y1, ..., yk)', k(y, Ω) adalah f.k.p dari vektor acak yang berdistribusi normal multivariat dengan mean 0 = (0, ..., 0)' dan matriks kovariansi Ω, dan

 

  j y adalah fungsi distribusi dari variabel acak yang berdistribusi normal '

 

standar, yaitu   j y   '

'j y



 (u )du . Melalui syarat-syarat f.k.p, akan dibuktikan

bahwa fungsi (4.2) merupakan suatu f.k.p dari vektor acak Y.

Bukti: k

 

Misalkan terdapat suatu vektor acak y dan f ( y, ,  )  2k k ( y, )   j y '

j 1

adalah fungsi dari vektor acak y yang memiliki ruang nilai A = {(y1, ..., yk) | –  < y1 < , ..., –  < yk < }. (i)

Akan dibuktikan bahwa f(y, Ω, γ) ≥ 0  y  A = {(y1, ..., yk) | –  < y1 < k

 

, ..., –  < yk < } di mana f ( y, ,  )  2k k ( y, )   j y . j 1

'

Bukti: k

 

Perhatikan fungsi f ( y, ,  )  2 k ( y, )   j y . k

j 1

'

Perhatikan bagian 2k. Karena 2 > 0, maka 2k > 0.

k(y, Ω) merupakan f.k.p dari vektor acak y yang berdistribusi normal multivariat dengan mean 0 dan matriks kovariansi Ω, maka sesuai dengan syarat suatu f.k.p, (y, Ω) ≥ 0 untuk A = {(y1, ..., yk) | –  < y1 < , ..., –  < yk < }.



129

k

  (

'

y ) merupakan perkalian dari fungsi-fungsi distribusi dari variabel

j

j 1

 

acak yang berdistribusi normal standar. Karena   j y merupakan '

fungsi distribusi dari variabel acak yang berdistribusi normal standar, maka sesuai sifat fungsi distribusi pada bagian 2.5, diperoleh

 

0    j y  1. '

 

k

   

 

Jadi, 0     j y   1 y   2 y '

j 1

'

 k y  1.

'

'

Hasil perkalian dari fungsi positif 2k dan fungsi-fungsi nonnegatif k(y,Ω)

    y  adalah nonnegatif. k

dan

'

j

j 1

Jadi, terbukti bahwa fungsi f(y, Ω, γ) ≥ 0  y  A = {(y1, ..., yk) | k

j 1

(ii)

Akan dibuktikan bahwa k

 

, i = 1, 2, ..., k} di mana f ( y, ,  )  2k k ( y, )   j y .

yi 

  x1 , x2 ,



k

'

f ( y, ,  )dy  1 , di mana

, xk  | xi  , i  1, 2,

, k .

Bukti:



k

k

 

f ( y, ,  )dy   k 2k k ( y, )   j y dy j 1

'

 

 1  k '   k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 exp   y'  1 y     j y dy  2  j 1 Misalkan: t = Ω–1/2y,

t = (t1, t2, ..., tk)'.

Inversnya: y = Ω1/2t. Jadi, Jacobian-nya adalah: J = |Ω1/2| > 0 karena matriks definit positif, |J| = ||Ω1/2|| = |Ω1/2| = |Ω|1/2. (dibuktikan pada bagian Lampiran 2) Universitas Indonesia


130

Batas integrasinya: Jika yi = – ∞, maka ti = – ∞, i = 1, 2, ..., k; Jika yi = ∞, maka ti = ∞, i = 1, 2, ..., k. Jadi, diperoleh



f ( y, ,  )dy   k 2 (2 ) k

k

 k /2

1/2

||

 

 1  k ' 1 exp   y'  y     j y dy  2  j 1





 1   k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 exp   1/2 t '  1 1/2 t  2







 

     t  | J |dt k

'

1/2

j

j 1

 1   k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 exp   1/2 t '  1 1/2 t  2



    t   k

'

1/2

1/2

j





 

dt

j 1

 1    k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 exp   t' 1/2 '  11/2 t    2 



    t   k

'

1/2

1/2

j



dt

j 1

 1   k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 exp   t' 1/2 11/2 t  2



    t   k

'

1/2

1/2

j

 

dt

j 1

 1    k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 exp    t'It    2 

    t   k

'

1/2

1/2

j

dt

j 1

 1    k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 exp    t't    2 

    t   k

'

1/2

j

1/2

dt

j 1



131

 1    k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 exp    t't    2  k

   0,

, i ,

j 1

, 0  t  1/2 dt

 1  k   k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 exp    t't     j t j  1/2 dt  2  j 1  1  k   k 2k (2 ) k /2 |  |1/2 1/2 exp    t't     j t j dt  2  j 1  1  k   k 2k (2 ) k /2  1/2 1/2 exp    t't     j t j dt  2  j 1  1  k   k 2k (2 ) k /2  1/2 1/2 exp    t't     j t j dt  2  j 1

 1  k   k 2k (2 ) k /2 | I | exp    t't     j t j dt  2  j 1  1  k   k 2k (2 ) k /2 exp    t't     j t j dt  2  j 1 











  1t1 













  1t1 

 1 2k (2 ) k /2 exp   t12   2



  k tk  dt1

2

2(2 ) 1/2

  k tk  dt1

  tk2   



dtk

(2 ) 1/2 e

1  t12 2

e

1  tk2 2



dtk

k   1     2(2 )1/2 exp   ti2    i ti  dti   2  i 1

 

k



   2  ti    i ti  dti i 1



k

 1 i1

 1.



132

Karena, fungsi (4.2) memenuhi syarat-syarat suatu f.k.p, maka terbukti bahwa fungsi (4.2) merupakan suatu f.k.p dari vektor acak y dengan ruang nilai A = {(y1, ..., yk) | –  < y1 < , ..., –  < yk < }. Dari hasil ini, maka diperoleh definisi berikut.

Definisi 4.1. Misalkan Ω adalah matriks simetris yang definit positif berukuran k × k. Suatu vektor acak Y = (Y1, ..., Yk)' berukuran k × 1 disebut vektor acak skew-normal multivariat jika f.k.p dari y memiliki bentuk k

 

f ( y, ,  )  2k k ( y, )   j y , j 1

'

y

k

,

di mana γ = (γ1, ..., γk)' adalah vektor kemencengan untuk beberapa bilangan riil γ1, ..., γk dan λ1, ..., λk adalah k vektor riil yang memenuhi Λ = (λ1, ..., λk) = Ω–1/2 diag(γ1, ..., γk). Untuk selanjutnya, himpunan dari vektor-vektor acak yang mengikuti distribusi yang didefinisikan pada Definisi 4.1 dinyatakan sebagai SN(k, Ω, γ).

Perhatikan catatan yang terkait dengan Definisi 4.1.

Catatan 4.1. Pada Definisi 4.1, dengan membuat γ1 = ... = γk = 0 pada (4.1) dan (4.2), diperoleh Λ = Ω–1/2 diag(0, ..., 0) = Ω–1/20 = 0. Karena Λ = (λ1, ..., λk), berarti Λ = (λ1, ..., λk) = (0, ..., 0). Jadi,  j  (0, '

,0) berukuran 1 × k dan

 j y  (0, '

 y1    , 0)    0 . y   k



133

Oleh karena itu, fungsi (4.2) menjadi k

 

f ( y, ,  )  2k k ( y, )   j y j 1

'

k

 2k k ( y, ) (0) j 1

k 1  2k k ( y, )   j 1  2 

1  2k k ( y, )   2

k

 k ( y, ) .

Jadi, jika γ1 = ... = γk = 0, diperoleh f.k.p bersama dari distribusi normal multivariat ϕk(y, Ω). Dari persamaan (4.1), dapat disimpulkan bahwa vektor kemencengan γ mempengaruhi bentuk dari distribusi melalui vektor-vektor λ1, ..., λk. Selanjutnya akan diberikan teorema dan akibat serta buktinya, terkait dengan vektor acak yang berdistribusi skew-normal multivariat.

Teorema 4.1. Misalkan X, Y adalah vektor-vektor acak yang saling bebas yang berdistribusi Nk(0, I). Misalkan   1 Z  diag  ,  1  2 1 

,

  1  | X |  diag  ,  1  2 1   k2  1 

k

,

  Y (4.3) 1   k2  1

di mana |X| = (|X1|, ..., |Xk|)'. Maka Z ~ SN(k, I, γ) untuk sebarang γ = (γ1, ..., γk)' 

k

.

Bukti: Misalkan:   1 U  diag  ,  1  2 1 

,

 , 2  1  k 

k

(4.4)



134

dan  1 V  diag  ,  1  2 1 

,

 , 1   k2  1

(4.5)

maka diperoleh Z = U|X| + VY.

 1 VY  diag  ,  1  2 1   Y1  2  1 1    Yk  2  1  k

(4.6)

Y   1   ,   1   k2     Yk  1

   .    

(4.7)

Dengan menggunakan teknik f.p.m, akan dicari distribusi dari VY. F.p.m dari Y ~ Nk(0, I) berdasarkan persamaan (2.221) adalah

MY (t )  E  et'Y   t' t   exp   .  2

F.p.m dari VY adalah

MVY (t )  E et' VY  

 E  et'V'Y   E eVt  Y    '

 Vt ' Vt    exp   2  

  t'V' Vt    exp   2    t' V'V  t   exp  . 2  

(4.8)

Jadi, VY berdistribusi normal multivariat dengan matriks kovariansi V'V, atau VY ~ Nk(0, V'V). Universitas Indonesia


135

Untuk sebarang vektor riil z 

k

, dengan z   z1 ,

, zk ' , diperoleh

Pr( Z  z )  E| X |{Pr( Z  z | X |)}   k Pr( Z  z )2k k ( x, I )dx 

(di mana

k 

  x1 , x2 ,

, xk  | xi 



 (0, ) )

  k Pr(Ux  VY  z )2k k ( x, I )dx 

  k Pr(VY  z  Ux )2k k ( x, I )dx 

  k  k ( z  Ux,V'V )2k k ( x, I )dx ,

(4.9)



di mana  k ( x, )   f ( z1 ,

( x)

, zk )  

k ( y, )dy . Jadi, f.k.p bersama dari Z adalah

d (Pr( Z  z )) dz d  k ( z  Ux,V'V )2k k ( x, I )dx k  dz 



k 

 ( k ( z  Ux,V'V ))2k k ( x, I )  dx z 

    k  ( k ( z  Ux,V'V ))  2k k ( x, I )dx   z    k     z

(di mana

( z Ux )

 

k ( p,V'V )dp  2k k ( x, I )dx

( y)   x1 , x2 ,

(4.10)

, xk  | xi  ( , yi ) , i  1, 2,

,k )

Misalkan: s = p + Ux. Inversnya: p = s – Ux. Jadi, Jacobian-nya adalah: J = 1, |J| = |1| = 1. Batas integrasinya: Jika p =

( z  Ux) , maka s =

( z) .

Jadi, diperoleh Universitas Indonesia


136

f ( z1 ,

 , zk )   k     z

  k     z   k     z   k     z

( z Ux )

 

k ( p,V'V )dp  2k k ( x, I )dx  

(z)

k ( s  Ux,V'V ) | J | ds  2k k ( x, I )dx

(z)

k ( s  Ux,V'V ) 1ds  2k k ( x, I )dx

(z)

k ( s  Ux,V'V )ds  2k k ( x, I )dx

 

 

  k k ( z  Ux,V'V )2k k ( x, I )dx 

  k (2 ) k /2 V'V

1/2



 1 exp    2



 z  Ux ' V'V 1  z  Ux  2k (2 ) k /2     1  exp    x'x  dx  2    k (2 ) k /2 V'V

1/2



 1 exp    2



 z  Ux 'V 1 V' 1  z  Ux  2k (2 ) k /2     1  exp    x'x  dx  2    k (2 ) k /2 V'V

1/2



 1 exp    2



 z  Ux 'V 1V 1  z  Ux  2k (2 ) k /2   1  exp    x'x  dx  2    k (2 ) k /2 V'V 

1/2

 1 exp    2



 1   z  Ux 'V 2  z  Ux  2k (2 ) k /2 exp   x'x  dx  2 



137

f ( z1 ,

, zk )   k (2 )  k /2 V'V

1/2



 1 exp    2



 1   z  Ux 'V 2  z  Ux  2k (2 ) k /2 exp   x'x  dx  2   1   k (2 ) k | V 2 |1/2 2k exp     2



 1   z  Ux 'V 2  z  Ux  exp    x'x  dx  2   1    k (2 ) k | V |1 2k exp   z  Ux 'V 2  z  Ux      2 

 1  exp    x'x  dx  2   1   k (2 ) k | V |1 2k exp   z'V 2 z  z'V 2Ux    2



 1  x'U'V 2 z  x'U'V 2Ux  exp    x'x   dx  2 



 1   k (2 ) k | V |1 2k exp   z'V 2 z  z'V 2Ux    2





x'U'V 2 z  x'U'V 2Ux  x'x  dx .

(4.11)

Perhatikan persamaan (4.4) dan (4.5). Karena U dan V adalah matriks-matriks diagonal, keduanya dapat ditukar. Jadi, x'U'V–2Ux + x'x = x'(U'V–2Ux + x) = x'(U'V–2Ux + Ix) = x'(U'V–2U + I)x.

(4.12)

Karena U matriks diagonal, maka U' = U.   1 U  diag  ,  1  2 1 

,

 . 1   k2 

 1 V  diag  ,  1  2 1 

,

 . 2  1  k 

k

1

Karena V matriks diagonal, maka V 2  diag 1   12 ,

,1   k2  .



138

  1 U'V 2  diag  ,  1  2 1 

   diag 1   12 , 2  1  k 

k

,



  1  diag  1   12 , 2  1   1





1   k2



 1   k2  









 diag  1 1   12 ,

,  k 1   k2 .



U'V 2U  diag  1 1   12 ,

  1 ,  k 1   k2  diag  ,  1  2 1 



   1  diag  1 1   12   1  2  1    diag  12 ,

k

,

,1   k2

 ,  

,

  k ,  k 1   k2   1  2 k 

,  k2  .

  1   k2 

k

   

(4.14)

Matriks identitas I, yaitu

1 0  0 1 I    0 0

0  0   1

dapat dinyatakan sebagai I = diag(1, 1, ..., 1). U'V 2U  I  diag  12 ,

,  k2   diag 1,

 diag 1   12 ,

,1

,1   k2 

 V 2 .

(4.15)

Jadi, diperoleh bahwa x'U'V–2Ux + x'x = x'(U'V–2U + I)x = x'V–2x.

(4.16)

Dengan demikian, dapat diperoleh f ( z1 ,

 1 , zk )   k (2 ) k | V |1 2k exp   z'V 2 z  z'V 2Ux  x'U'V 2 z    2 x'U'V 2Ux  x'x  dx







139

 1   k (2 ) k | V |1 2k exp   z'V 2 z  z'V 2Ux    2





x'U'V 2 z  x'V 2 x  dx  1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x'V 2 x  x'U'V 2 z    2





z'V 2Ux + z'V 2 z  dx  1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x'V 2 x  x'U'V 2 z    2





z'V 2Ux  z'U'V 2Uz  z'U'V 2Uz  z'V 2 z  dx  1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x'V 2 x  x'V 2U'z    2





z'UV 2 x  z'U'V 2Uz + z'V 2 z  z'U'V 2Uz  dx  1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x'V 2 x  x'V 2Uz    2





z'U'V 2 x  z'U'V 2Uz + z'V 2 z  z'U'V 2Uz  dx  1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x'V 2  x  Uz     2





z'U'V 2  x  Uz  + z' V 2 z  U'V 2Uz  dx  1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x'V 2  z'U'V 2   2







 x 



Uz   z' V 2  U'V 2U z  dx  1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x'  z'U' V 2  x  Uz  +   2







z' V 2  U'V 2U z  dx



140

 1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x'  Uz ' V 2  x  Uz  +   2







z' V 2  U'V 2U z  dx  1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x  Uz 'V 2  x  Uz  +   2







z' V 2  U'V 2U z  dx .

(4.17)

Perhatikan suku V–2 – U'V–2U pada bagian (4.17). Dari (4.13), diperoleh V 2  diag 1   12 ,

,1   k2  .

Dari (4.14), diperoleh U'V 2U  diag  12 ,

,  k2  .

Jadi, dapat diperoleh V 2  U'V 2U  diag 1   12 ,

,1   k2   diag  12 ,

 diag 1   12   12 ,

 diag 1,

,  k2  .

,1   k2   k2 

,1

I.

(4.18)

Maka, diperoleh f ( z1 ,

 1 , zk )   k (2 )  k | V |1 2k exp   x  Uz 'V 2  x  Uz  +   2







z' V 2  U'V 2U z  dx  1   k (2 ) k | V |1 2k exp   x  Uz 'V 2  x  Uz  +   2

z'Iz  dx   k (2 ) k /2 (2 ) k /2 | V |1 2k  

 1   1  exp   x  Uz 'V 2  x  Uz   exp    z'Iz  dx  2   2   1    k (2 ) k /2 | V |1 2k exp   x  Uz 'V 2  x  Uz      2 

 1  (2 ) k /2 exp    z'z   dx  2  Universitas Indonesia


141

 1    k (2 ) k /2 | V |1 2k exp   x  Uz 'V 2  x  Uz      2 

k ( z, I )dx  2k k ( z, I )  k (2 ) k /2 | V |1  

 1  exp   x  Uz 'V 2  x  Uz   dx .  2 

(4.19)

Misalkan: t = V–1(x – Uz). Inversnya: x – Uz = Vt;

x = Vt + Uz.

Jadi, Jacobian-nya adalah: J = |V|, |J| = ||V|| = |V|. Batas integrasinya: Jika xi = 0, i = 1, 2, ..., k, atau x = (0, 0, ..., 0)' , maka t = – V–1Uz; Jika xi = ∞, i = 1, 2, ..., k, maka ti = ∞, atau t = (∞, ..., ∞)'. t  V 1Uz

  diag



1  , 2 1

, 1 

2 k



  1  diag  ,  1  2 1 

   1   diag  1   12  2    1 1 

 ,  

   1   diag  1   12   1  2  1  

  z1 ,  

z   1   ,   1   k2     zk 

  k , 1    1  2 k  2 k

k

z    1           zk 

  k , 1   k2   1  2 k 

   zk     

  diag  1 z1 , ,  k zk  .



142

Jadi, diperoleh f ( z1 ,

, zk )  2k k ( z, I )  k (2 )  k /2 | V |1  

 1  exp   x  Uz 'V 2  x  Uz   dx  2 

 2k k ( z, I ) 

*k

*k

(di mana  2k k ( z, I ) 

*k

 2k k ( z, I ) 

*k

 2k k ( z, I ) 

*k

 2k k ( z, I ) 

*k

 2k k ( z, I ) 

*k

 2k k ( z, I ) 

 2k k ( z, I ) 

*k

 1  (2 ) k /2 | V |1 exp    t't  | J | dt  2   ( j z j , )k )

 1  (2 )  k /2 | V |1 exp    t't  | V | dt  2   1  (2 ) k /2 | V |1| V | exp    t't  dt  2 

 1  (2 ) k /2 | V 1 || V | exp    t't  dt  2   1  (2 ) k /2 | V 1V | exp    t't  dt  2 

 1  (2 )  k /2 | I | exp    t't  dt  2   1  (2 )  k /2 exp    t't   dt  2 







  k zk

 1 z1

 1 exp   t12   2

 tk2  dt1 



k



 2k k ( z, I )  j 1

(2 )1/2



 j z j

(2 )1/2 

dtk

1  1  exp   t 2j  dt j 2  2 

k  j z j  1  1    2k k ( z, I ) 1   exp   t 2j  dt j   2  2   j 1 

 2k k ( z, I ) 1     j z j  k

j 1



143

 2k k ( z, I )   j z j  k

j 1

 2k k ( z, I )   0, k

j 1

, j ,

, 0  z  .

(4.20)

Dari hasil tersebut, persamaan (4.20) merupakan f.k.p dari Z. Maka, Z  SN(k, Ω, γ), di mana Ω = I dan  j  (0, '

, j ,

,0) , atau berarti

Z  SN(k, I, γ). Jadi, Teorema 4.1 terbukti.

Akibat 4.1. Untuk sebarang Y  SN(k, Ω, γ) dengan matriks parameter Ω dan faktor kemencengan γ = (γ1, ..., γk)', W = Ω1/2Z mempunyai distribusi yang sama dengan Y, di mana Z adalah vektor acak yang didefinisikan pada Teorema 4.1.

Bukti: Misalkan γj pada Teorema 4.1 merupakan faktor kemencengan untuk vektor acak. Dengan Teorema 4.1, f.k.p dari vektor acak Z adalah

, zk )  2 k ( z, I )   j z j  . k

f ( z1 ,

k

j 1

Diketahui bahwa w = Ω1/2z. Karena Ω adalah matriks simetris yang definit positif, sehingga Ω1/2 juga merupakan matriks simetris yang definit positif, maka Ω1/2 mempunyai invers (mempunyai invers). Maka, diperoleh z = Ω–1/2w. Misalkan Ω–1/2 berbentuk

 –1/2

 11 12   22   21    k 1  k 2

1k  2 k    kk 

,

dan misalkan vektor acak W = (W1, ..., Wk)' dan w = (w1, ..., wk)', maka



144

z   –1/2 w

 11 12   22   21    k 1 k 2

1k  w1   2 k   w2      kk  wk 

 11w1  12 w2    w  22 w2    21 1    k1w1  k 2 w2 

 1k wk    2 k wk     kk wk 

 k    1i wi   i 1   k    2i wi  .   i 1     k    w   ki i   i 1 

Jacobian-nya adalah: J = |Ω–1/2| = |Ω|–1/2; |J| = ||Ω|–1/2| = |Ω|–1/2. F.k.p dari Z dapat dinyatakan sebagai

, zk )  2k k ( z, I )   j z j  k

f ( z1 ,

j 1

 1  k  2k (2 ) k /2 exp    z'z     j z j   2  j 1

 1  k  2k (2 ) k /2 exp    z'z    (0,  2  j 1

, j ,

, 0) z  .

Maka, f.k.p dari W adalah

g (w)  f ( 1/2 w) | J | g ( w1 ,

 1 , wk )  2k (2 )  k /2 exp    1/2 w  2



k

  (0, j 1

, j ,

  '

, 0) 1/2 w  

1/2

 w  



1/2



145

'  1   2k (2 ) k /2 exp   w'  1/2  1/2 w        2



k

  (0, j 1



, 0) 1/2 w  

, j ,

1/2

 1  2k (2 ) k /2 exp   w'  1/2 1/2 w  2



k

  (0, j 1

 2k (2 ) k /2  k

  (0, j 1

, 0) 1/2 w  

, j , 1/2



k

j 1

Dengan memisalkan bahwa  j   1/2 (0,

, j ,

, j ,

k

, wk )  2k k ( w, )  (0, j 1

k

 

, 0) 1/2 w 

 2k k ( w, )  (0,

g ( w1 ,

1/2

 1 exp   w'  1w  2

, j ,

*

 

, 0) 1/2 w  .

(4.21)

,0)' , persamaan (4.21) menjadi

, j ,

, 0) 1/2 w 

 

* '  2k k ( w, )    j w  .   j 1

(4.22)

Karena f.k.p dari W pada persamaan (4.22) sama seperti f.k.p dari Y pada Definisi 4.1, maka terbukti bahwa W memiliki distribusi yang sama dengan Y karena

 

* '

   j   1/2diag( 1 ,

4.1.2

, k ) .


Seperti pada kasus univariat, pada kasus multivariat, untuk mencari f.p.m juga dibutuhkan bantuan suatu lemma, yaitu:



146

Lemma 4.1. Jika U ~ Nk(0, Ω), maka

  a E   a  v'U     , 1/2  1  v' v   untuk sebarang skalar a 

dan v 

k

(4.23)

.

Sebelum digunakan untuk mencari f.p.m dari vektor acak Y, Lemma 4.1 akan dibuktikan terlebih dahulu. Untuk membuktikan Lemma 4.1 dibutuhkan Teorema 4.2 dan Akibat 4.2, yang juga akan dibuktikan.

Teorema 4.2. Jika Z ~ N(ξ, θ2) dan Y ~  m2 / m saling bebas, maka untuk sebarang skalar c,

E   Z  cY   Pr T ;m  c / 1   2   

(4.24)

di mana  adalah fungsi distribusi dari variabel acak N(0, 1) dan Tε;m adalah variabel acak yang berdistribusi t-nonsentral dengan derajat bebas m dan parameter ketidaksentralan

 

 1 2

.

(4.25)

Bukti Teorema 4.2: Misalkan X ~ N(0, 1) bebas dari Y dan Z, dan  adalah fungsi distribusi dari variabel acak X.    z  cy  x2   1 EY , Z   Z  cY       exp    dx  f ( y, z )dydz  0  2  2  

 EY ,Z PrX  X  z  cy | y, z 

 PrX ,Y ,Z  X  Z  cY   PrX ,Y ,Z  X  Z  cY 



147  X Z  EY ,Z   Z  cY   PrX ,Y ,Z   c  Y 

 X Z c   PrX ,Y , Z   . 2 1 2   Y 1 Dengan teknik f.p.m, akan ditunjukkan bahwa

X Z

(4.26)

~ N ( ,1) .

Y 1 2

X ~ N(0, 1), Z ~ N(ξ, θ2), dan Y ~  m2 / m saling bebas.

M

  X  Z  ( t )  E exp t    X Z 2 1   2      1   X  E exp  2   1

  Z t  exp   2   1

 t   

  X  E exp  2   1

   Z t   E exp   2     1

 t   

  X    Z     E exp  t   E exp  ( t )   2 2    1       1   2     t      t 1 2      exp exp       2 1 2       

 t2  exp   2 1   2





  t  2t 2  exp      1   2 2 1   2



 t2   2t 2  exp   t  2 1 2  2 1   2 1 2



  2t     2   1    2 













2

     

  

  

 1 2 t2     exp   t 2 1   2   1   2





  t2   exp   t  . 2 2  1

(4.27)



148

Jadi, diperoleh bahwa

X Z

   ~ N  ,1 , atau berarti 2 1 2  1 

X Z

~ N   ,1 . Dengan Definisi 2.38,

1 2

Definisi 2.38. Misalkan variabel acak W berdistribusi N(ε, 1), misalkan variabel acak V berdistribusi  r2 , dan W dan V saling bebas. Bentuk

T

W V

r

disebut berdistribusi nonsentral-t dengan derajat bebas r dan parameter ketidaksentralan ε dan dinyatakan oleh T ~ Tε;m. Jika δ = 0, dikatakan T berdistribusi sentral-t (distribusi t);

karena Y ~  m2 / m , diperoleh bahwa Berarti,

X Z Y 1 2

X Z Y 1

2

~ Tε;m dan   

 1 2

.

 T ;m . Jadi, persamaan (4.26) menjadi

 X Z c  EY , Z   Z  cY   PrX ,Y , Z    2 1 2   Y 1  c   Pr T ;m  . 1 2   Jadi, terbukti bahwa jika Z ~ N(ξ, θ2) dan Y ~  m2 / m saling bebas, maka untuk sebarang skalar c, E   Z  cY   Pr T ;m  c / 1   2  .  

Akibat 4.2. Jika Z ~ N(ξ, θ2), maka

   E   Z      . 2  1 

(4.28)



149

Bukti Akibat 4.2: Bukti dari Akibat 4.2 ini akan menggunakan Teorema 4.2. Misalkan c = 0 pada persamaan (4.24), maka diperoleh E   Z   Pr T ;m  0 .

(4.29)

Misalkan X ~ N(0, 1), dan Y ~  m2 / m dengan X, Y, dan Z saling bebas. Pertama, akan dicari terlebih dahulu suatu fungsi dari variabel-variabel acak yang sama dengan Tε;m. Didefinisikan suatu fungsi dari variabel-variabel acak,

X  . Y

Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa X + ε berdistribusi N(ε, 1). M X  (t )  E et ( X  ) 



 E etX t



 E  etX et   et E  etX 

 t2   et exp   2

 t2   exp  t   . 2 

(4.30)

Jadi, dengan teknik f.p.m terbukti bahwa X + ε ~ N(ε, 1). Dengan Definisi 2.38, diperoleh bahwa

X   T ;m . Y

Untuk sebarang m,  X   Pr T ;m  0   Pr   0 .  Y 

 Pr  X    0   Pr  X      (   )

    2  1

 . 

(4.31)



150

   Jadi terbukti bahwa jika Z ~ N(ξ, θ2), maka E   Z      . 2  1 

Selanjutnya, akan dibuktikan Lemma 4.1. Bukti Lemma 4.1: Misalkan U ~ Nk(0, Ω). F.p.m dari vektor acak U sesuai dengan (2.221) adalah

 

M U (t )  E et'U

 t'  1t   exp  .  2 

(4.32)

Misalkan terdapat suatu vektor riil v 

k

. Akan dicari distribusi dari variabel

acak v'U. F.p.m dari v'U adalah

M v'U (t )  E et  v'U    E etv' U   E etv 'U 

  tv'   1  tv    exp   2  

(substitusikan t dengan tv pada (4.32))

 tv'  1tv   exp   2  





 v'  1v t 2  .  exp  2  

(4.33)

Dengan teknik f.p.m, maka sesuai dengan (2.36), diperoleh v'U ~ N(0, v'Ω–1v). Misalkan a adalah sebarang skalar. Selanjutnya akan dicari distribusi dari a + v'U.

M a v'U (t )  E et  a v'U    E eat tv' U 



151

 E eat etv' U   eat E etv' U   eat E etv 'U 





 v'  1v t 2    e exp  2   at





 v'  1v t 2   .  exp at  2  

(4.34)

Dengan teknik f.p.m, maka sesuai dengan (2.36), diperoleh a + v'U ~ N(a, v'Ω–1v). Dari Akibat 4.2, diperoleh bahwa jika Z ~ N(ξ, θ2), maka





E   Z     / 1   2 . Karena a + v'U ~ N(a, v'Ω–1v), maka

  a E   a  v'U      1  1  v'  v   a   1  v'  1v 



 . 1/2  



Jadi, terbukti bahwa jika U ~ Nk(0, Ω), maka

  a E   a  v'U     , 1/2  1  v' v   untuk sebarang skalar a 

dan v 

k

.

Setelah Lemma 4.1 dibuktikan, selanjutnya akan dibahas mengenai f.p.m dari distribusi skew-normal multivariat. Misalkan Y ~ SN(k, Ω, γ). Maka, f.p.m dari suatu vektor acak Y adalah M Y (t )  E  et'Y 

  k et'y f ( y, ,  )dy   k et'y 2k (2 )  k /2 

1/2

 

 1  k ' exp   y'  1 y     i y dy  2  i 1







152

M Y (t )   k e



  2 t'y  2

2k (2 ) k /2 

  k 2k (2 ) k /2 

1/2

1/2

 

 1  k ' exp   y'  1 y     i y dy  2  i 1





1  1  exp   y'  1 y    2t'y   2  2 





    y  dy k

' i

i 1

  k 2k (2 )  k /2 

1/2

 1 exp   y'  1 y  2t'y  2



 

    y  dy . k

' i

(4.35)

i 1

Misalkan: u = y – Ωt;

u' = y' – t'Ω.

Inversnya: y = u + Ωt; y = u' + t'Ω. Jadi, Jacobian-nya adalah: J = 1. |J| = |1| = 1. Batas integrasinya: Jika yi = – ∞, maka ui = – ∞, i = 1, 2, ..., k; Jika yi = – ∞, maka ui = ∞, i = 1, 2, ..., k. Jadi, diperoleh M Y (t )   k 2k (2 )  k /2 

1/2

  k 2k (2 ) k /2 

1/2

 

 1  k ' exp   y'  1 y  2t'y     i y dy  2  i 1





 1 exp   u'  t'    1  u  t    2

     u  t  | J | du

2t'  u  t 

k

' i

i 1

  k 2k (2 ) k /2 

1/2

 1 exp   u'  t'    1  u  t    2

     u  t  1du

2t'  u  t 

k

' i

i 1



153

M Y (t )   k 2k (2 )  k /2 

1/2

 1 exp   u'  t'    1  u  t    2

     u  t  du k

2t'  u  t 

' i

i 1

  k 2k (2 )  k /2 

1/2

 1 exp   u'  1u  u'  1t  t'  1u   2







k



' ' t'  1t  2t'u  2t' t     i u   i t du i 1

  k 2k (2 )  k /2 

 1 exp   u'  1u  u'It  t'Iu  t'I t   2



1/2



k



2t'u  2t' t     i u   i t du i 1

  k 2k (2 ) k /2 

1/2

'

 1 exp   u'  1u  u't  t'u  t' t   2





k

'



2t'u  2t' t     i u   i t du i 1

  k 2k (2 ) k /2 

1/2

'

 1 exp   u'  1u  t'u  t'u  t' t   2





k

'



2t'u  2t' t     i u   i t du i 1

  k 2k (2 ) k /2 

1/2

'

 1 exp   u'  1u  2t'u  t' t   2





k

'



2t'u  2t' t     i u   i t du i 1

  k 2k (2 )  k /2 

1/2

'

'

 1  exp   u'  1u  t' t    2 





    u   t  du k

' i

' i

i 1



154

M Y (t )   k 2k (2 )  k /2 

1/2

 1 exp   u'  1u  2



 exp  12  t't  

    u   t  du k

' i

' i

i 1

 2k 

1/2

1   1 exp   t' t   k (2 ) k /2 exp   u'  1u 2   2



 

    u   t  du . k

' i

' i

(4.36)

i 1

Misalkan: v = Ω–1/2u;

v' = u'Ω–1/2.

Inversnya: u = Ω1/2v;

u' = v'Ω1/2.

Jadi, Jacobian-nya adalah: J = |Ω1/2|=|Ω|1/2.

(dibuktikan pada bagian Lampiran 2)

|J| = ||Ω|1/2| = |Ω|1/2.

(Ω definit positif)

Batas integrasinya: Jika ui = – ∞, maka vi = – ∞, i = 1, 2, ..., k; Jika ui = ∞, maka vi = ∞, i = 1, 2, ..., k. Jadi, diperoleh M Y ( t )  2k 

1/2

1   1 exp   t' t   k (2 )  k /2 exp   u'  1u 2   2



 

    u   t  du k

' i

' i

i 1

 2k 

1/2

1   1 exp   t' t   k (2 )  k /2 exp   v' 1/2 11/2v 2   2



    k

i 1

' i

1/2



v   i t  '

1/2

 

dv



155

M y ( t )  2k 

1/2



1/2

    k

' i

1/2

1   1  exp   t' t   k (2 )  k /2 exp    v'v   2   2 



v   i t dv '

i 1

1   1   2k exp   t' t   k (2 ) k /2 exp    v'v   2   2 

    k

' i

1/2



v   i t dv . '

i 1

(4.37)

Dari (4.1), diketahui bahwa Λ = (λ1, ..., λk) = Ω–1/2 diag(γ1, ..., γk). Jadi, dapat diperoleh Ω1/2Λ = diag(γ1, ..., γk). (Ω1/2Λ)' = [diag(γ1, ..., γk)]' = diag(γ1, ..., γk). Λ' (Ω1/2)' = diag(γ1, ..., γk). Λ' Ω1/2 = diag(γ1, ..., γk).

 ,



,  k 1/2  diag   1 ,

' 1

'

 1 0  0 2 , k      0 0

0  0 .   k 

'i 1/2   0, ,  i , ,0  .

(4.38)

Jadi, diperoleh bahwa

 v1    v   0,,  i ,, 0      i vi . v   k ' i

1/2

(4.39)

Jadi, f.p.m dari vektor acak Y menjadi 1   1  M Y (t )  2k exp   t' t   k (2 )  k /2 exp    v'v   2   2 

    k

i 1

' i

1/2



v   i t dv '



156

1   1 M Y (t )  2k exp   t' t   k (2 ) k /2 exp   v12  2   2

  vk2   





   v   t dv k

i 1

' i

i i

1   1  2k exp   t' t   k (2 ) k /2 exp   v12  2   2

  vk2   





  1v1  1t '







  k vk   k t dv '

1   1   2k exp   t' t   k (2 )  k /2 exp   v12  2   2 



  1v1  1t '







 1  exp   vk2    2 



  k vk   k t dv '





1  k   1  '  2k exp   t' t    (2 ) 1/2 exp   vi2    i vi   i t dvi   2  i 1  2 





1  k  '  2k exp   t' t     (vi )  i vi   i t dvi 2  i 1  





1  k '  2k exp   t' t   EVi   iVi   i t    2  i 1



1  k  2k exp   t' t   EVi   0, 2  i 1

,i ,

  1  k  2k exp   t' t      2  i 1  1   0, 

'

'i t , i ,



, 0 V   i t 

, 0  0,

, i ,

  1/2  , 0 '   

  'i t  1  k  2k exp   t' t      1/2 2  i 1  1   i2   





 ' 1/2 1/2     t 1  k  2 exp   t' t      i 1/2  2  i 1  1   i2   k



 0,  1  k  2 exp   t' t      2  i 1   k



, 0  1/2 t  . 1/2  1   i2 

, i ,





(4.40)



157 Misalkan vektor-vektor kolom berukuran k × 1 dari Ω1/2 adalah p1, p2, ..., pk, dengan  p1 j    p2 j   , pj       pkj 

(4.41)

sehingga diperoleh Ω1/2 = (p1, p2, ..., pk) dan  1/2 '   p1' , p'2 ,

, p'k ' .

(4.42)

Jadi, diperoleh

 0,

, i ,

,0  1/2   i p1i ,  i p2i ,

 0,

, i ,

, 0   t    i p1i , 1/2

,  i pki  .

(4.43)

 t1    ,  i pki    t   k

  i p1i t1 

  i pkitk ,

(4.44)

sehingga f.p.m dari vektor acak Y menjadi

 0,  1  k M Y (t )  2 exp   t' t      2  i 1   k

, 0  1/2 t  1/2  1   i2 

, i ,



 i 1  k  2 exp   t' t      2  i 1  1   i2  k



 i 1  k  2k exp   t' t      2  i 1  1   i2 





1/2



 p t .   ' i

pt  1/2  1i 1



(4.45)

  pki tk    

 p t   p t   1  k ki k    2 exp   t' t      i 1i 1 1/2 2  2  i 1  1  i   k





 k   p t  i ji j   1  k j 1 k  .  2 exp   t' t     1/2 2  i 1  1   i2     



(4.46)





158

Untuk penyederhanaan, didefinisikan hi di mana

hi 

i

1    2 i

1/2

.

(4.47)

Karena  i  , maka hi  (– 1, 1), i = 1, 2, ..., k. Jadi, f.p.m dari vektor acak Y yang berdistribusi skew-normal sesuai Definisi 4.1 adalah

 1  k  k M Y (t )  2k exp   t' t     hi  p ji t j  , 2  i 1  j 1 

(4.48)

dengan p1, p2, ..., pk adalah vektor-vektor kolom dari matriks Ω1/2 di mana  p1 j    p2 j   pj       pkj 

dan hi 

4.1.3

i



1   i2



1/2

 (1,1) .

Matriks Mean dan Kovariansi

Pada bagian ini akan dicari matriks mean dan matriks kovariansi untuk vektor acak yang berdistribusi skew-normal multivariat. Untuk mendapatkan matriks mean dan kovariansi, akan digunakan f.p.m (4.41). Perhatikan persamaan (4.41), yaitu

 i 1  k M y (t )  2k exp   t' t      2  i 1  1   i2 





1/2

 p'i t   

dengan p1, p2, ..., pk adalah vektor-vektor kolom dari matriks Ω1/2. Karena

hi 

i

1    2 i

1/2

, maka

1  k M Y (t )  2k exp   t' t    hi p'i t . 2  i 1





(4.49)



159

Selanjutnya akan dicari momen-momen dari distribusi skew-normal multivariat.

 M Y (t ) 1  k  2k t exp   t' t    hi p'i t  t 2  i 1 





1  k  exp   t' t    hi pi hi p'i t 2  i 1 





    h p t   k

j

j 1, j  i

' j

 

k 1   2k exp   t' t  t   hi p'i t  2   i 1



 '  hi pi hi pi t  i 1  k







    h p t   . k

' j

j

j 1, j  i

(4.50)

 

M Y (t ) 1  k k   2 t'  exp   t' t    hi p'i t  t' 2  i 1 





1  k  exp   t' t    hi p'i hi p'i t 2  i 1 





    h p t   k

j

j 1, j  i

' j

 

k 1   2k exp   t' t  t'   hi p'i t  2  i 1



 ' '  hi pi hi pi t  i 1  k







    h p t   . k

j 1, j  i

' j

j

(4.51)

 

 2 M Y (t )   M y (t )     t t' t  t'  

k  k 1  2 exp t '  t t '       hi p'i t    t  2  i 1



 ' '  hi pi hi pi t  i 1  k

 2k



 

    h p t    k

j 1, j  i

j

' j

  

k  1  exp t '  t t '       hi p'i t    t  2  i 1



 ' '  hi pi hi pi t  i 1  k







 

    h p t    k

j 1, j  i

j

' j

  



160

k   2 M Y (t ) 1   2k t exp   t' t    t'   hi p'i t  t t' 2  i 1 



 ' '  hi pi hi pi t  i 1 



k



 

    h p t     k

' j

j

j 1, j  i

   

 1  k 2k exp   t' t    hi p'i t  2   i 1 



 '  hi pi hi pi t  i 1 



k





    h p t t'   k

j

j 1, j  i

' j



k  h h p p'  h p' t  h3 p' t p p' h p' t  j j i i i i j j  i j i j i 1 j 1,  j i



k

 







   

   hl p t   ,   l 1,   l j



k

' l



(4.52)

dengan

 

 

  hl p'l t , l  i   hl p t   '   hl pl t , l  i.



' l



(4.53)

Mean dari vektor acak y adalah

E (Y ) 

M Y (t ) t t 0

k k   k   1    2k exp   0   0   0     hi pi  0     0   2   i 1  j 1, j  i   i 1  k   1  2k 1 0    hi pi  2 i 1  

1   j 1, j  i 2    k



k 1  k  1   1    2   hi pi      2      i 1  2  k

k  1  1    2 k   hi pi  k 1     2    i 1  2



161

 1  1 E (Y )  2k  k 1   2  2

k

h p i 1

i

i

 1  k  2   hi pi  2  i 1 

2



k

h p . i 1

i

(4.54)

i

Untuk mencari matriks kovariansi dari vektor acak Y dibutuhkan E(YY').

 2 M Y (t ) E (YY' )  t t' t 0 k  1    2k (0,, 0)' exp   0  (0, , 0)   0   2   i 1 

k  '    k 1   k h p  0  0  2 exp            i i  2  0     0   i 1  j 1, j  i  i 1      k

k   h p  0  i i      0  (0,  i 1  j 1, j  i  k

, 0) 

  k  k  h h p p'   0     0       i j i j  i 1 j 1, l 1,    j i  l  j  k

k k    1   k  2k exp   0     0     hi pi  0     0  (0,  2   i 1 i 1  j 1, j  i  

, 0) 

  k  k  h h p p'   0     0       i j i j  i 1 j 1, l 1,    j i  l  j k

   k  k k  1   k '    2 exp   0     0     hi h j pi p j  0     0     l 1,  2   i 1 i 1 j 1,   j i  l  j   k

 k   k  k k   '  2    0      hi h j pi p j  0      0     l 1, i 1 j 1,  i 1   j i  l  j   k



162

 k    k   1 k  k '  E (YY' )  2       hi h j pi p j  0     0     l 1,  i 1  2  i 1  jj 1,i   l  j    k

   1  2   k  2 

   k   k  k '       hi h j pi p j  0      0    i 1 j 1, l 1,   j i  l  j 

   1  2   k  2 

   k   k  k '       hi h j pi p j  0      0    i 1 j 1, l 1,   j i  l  j 

k

k

 k  k '     2   hi h j pi p j  0      0  .   l 1, i 1 j 1,  j i  l  j k

k

(4.55)

Kemudian akan dicari matriks kovariansinya, misalkan matriks Σ merupakan matriks kovariansi dari vektor acak skew-normal multivariat.   E( yy' )  E( y) E( y' )

 k  k  2 k  2 k  ' '     2   hi h j pi p j  0      0    h p h p    i i  i i   i 1   l 1,  i 1 i 1 j 1,     j i  l  j k

k

 k  k k 2 k '     2   hi h j pi p j  0      0    hi pi  hi p'i   l 1,  i 1 i 1 j 1, i 1  j i  l  j k

k

 k    2   hi h j pi p'j  i 1 j 1,  j i k

k

2k  2

 k 1  k 2 k '  0  h p     i i  hi pi   i 1 2 l 1, i 1  l  j

 k  k k k  h h p p'    0   2 h p h p'     i j i j    i 1 i i i 1 i i i 1 j 1, l 1,  j i  l  j k

(4.56)



163 Jadi, matriks mean dan kovariansi dari vektor acak y ~ SN(k, Ω, γ) adalah

E (Y ) 

2



k

h p ,

2k  2

4.2

i

i 1

i

 k  k k k  h h p p'    0   2 h p h p' .     i j i j    i 1 i i i 1 i i i 1 j 1, l 1,  j i  l  j k

Distribusi Skew-Normal Bivariat

Pada bagian ini, akan didiskusikan kasus khusus dari distribusi skewnormal multivariat, yaitu ketika k = 2, disebut distribusi skew-normal bivariat. Akan dibahas mengenai karakteristik-karakteristik dari distribusi skew-normal bivariat, yaitu f.k.p, f.p.m, mean, dan kovariansi dari variabel-variabel acak.

4.2.1

Fungsi Kepadatan Probabilitas Misalkan Y ~ SN(2, Ω, γ), atau berarti vektor acak y berdistribusi skew-

normal bivariat. Maka, f.k.p dari distribusi ini berdasarkan (4.2) adalah 2

 

f ( y, ,  )  22 2 ( y, )   j y , j 1

'

y

2

,

(4.57)

di mana matriks parameter

 1    .  1 

(4.58)

Determinan dari matriks Ω adalah |Ω| = 1.1 – ω.ω = 1 – ω2.

(4.59)

Jadi, invers dari matriks Ω adalah

 1 

1 adj( ) 



164

 1 

1  1    . 1 2   1 

(4.60)

Kemudian dicari nilai-nilai eigen dari matriks Ω.

    0  1   0   1 (α – 1)(α – 1) – ω.ω = 0 α2 – 2α + 1 – ω2 = 0



2  4  4(1)(1   2 ) 2



2  4  4  4 2 2



2  4 2 2



2  2 2

 1  .

(4.61)

Misalkan x = (x1, x2)'. Akan dicari vektor eigen dari matriks Ω untuk setiap nilai-nilai eigennya. x = (x1, x2)' adalah vektor eigen dari Ω untuk nilai eigen α jika x memenuhi

   1     x1   0        .      1  x2   0 

(4.62)

Untuk α = 1 – ω. x = (x1, x2)' adalah vektor eigen dari Ω untuk nilai eigen α = 1 – ω jika x memenuhi

       x1   0        .        x2   0 



165

Dengan operasi baris elementer,

     0  b2 b1      0         0   0 0 0 

 1 b1     

1 1 0   . 0 0 0

x1 + x2 = 0, berarti x2 = – x1. Misalkan x1 = s, berarti x2 = – s.

x   s  1 x   1      s  .  1  x2    s  Jadi, vektor eigen yang berpadanan denga nnilai eigen α = 1 – ω adalah

1 x  s .  1 Untuk α = 1 + ω. x = (x1, x2)' adalah vektor eigen dari Ω untuk nilai eigen α = 1 + ω jika x memenuhi

      x1   0        .       x2   0  Dengan operasi baris elementer,

    0  b2 b1     0         0   0 0 0 

1 b1    

1 1 0   . 0 0 0

x1 – x2 = 0, berarti x2 = x1. Misalkan x1 = s, berarti x2 = s.

 x  s  1 x   1      s  .  1  x2   s  Jadi, vektor eigen yang berpadangan dengan nilai eigen α = 1 – ω adalah

 1 x  s .  1 Jadi, basis-basis untuk ruang eigennya adalah:

1 1 u1    dan u2    .  1 1 Vektor-vektor eigen yang ortonormal adalah: Universitas Indonesia


166

 1  u1 1 1  2  v1  u1   dan   u1 2  1   1  2 

 1  u2 1 1  2 v2  u2   .   u2 2 1  1  2  Jadi, diperoleh

 1 2  V   1 2 

 2 , 1  2

1

(4.63)

yang merupakan matriks ortogonal.

 1 2  V'    1 2 

V 1 

 2 . 1  2 

 1

(4.64)

1 adj(V ) V

 1  1  1 2 2     1 1 1 1  1  1       2 2  2 2 2  2   1 2    1 1 1   2 2 2 1

 1 2    1 2 

 2  1  2 

 1

 2  1  2 

 1

 V' .

(4.65)

Jadi, sesuai Definisi 2.32 diperoleh V'ΩV = D = diag(1 – ω, 1 + ω).

(4.66)

Karena V matriks ortogonal, maka dengan (4.65) diperoleh V–1ΩV = diag(1 – ω, 1 + ω).

(4.67)

Ω = Vdiag(1 – ω, 1 + ω)V–1. Universitas Indonesia


167 Maka dapat dicari akar kuadrat dari Ω, yaitu Ω1/2 = V [diag(1 – ω, 1 + ω)]1/2V–1

1/2  Vdiag





1   , 1   V 1

 1 2    1 2   1   2   1   2 

 2   1   1   0 2 1

  1 2   1  1    2 2 

1  2

 1   1   2    1   1   2 

(4.68)

 1  2   1    1 2  0

 2  1  2 

 1

 2  1  2 

 1

 1   1    2 . 1   1    2 

(4.69)

Ω–1/2 adalah invers dari matriks Ω1/2.  1/2 

1/2

1 adj(1/2 ) . 1/2 

(4.70)

1   1  2   1   1  2

 1   1  2 1   1  2

 1   1    2 

   1   1     2  



2

  

2

1   2 1 2 1  1   2 1 2 1   4 4

4 1 2  4

 1 2 .

(4.71)



168



1/2

   2  1    1

      



 

1  

1   1  2 1 2



  1   / 2 

1   1  / 2

1   1 

 

 

1   1  / 2  .  1   1  / 2  



1   1    2  2 1  . 1   1    2 1 2 

 

(4.72)



2 1 2

Jadi, dapat diperoleh determinan dari Ω–1/2 adalah  1/2 







1   1 





1   1 

4 1 

2







1   1 



4 1 

1   2 1 2 1   1   2 1 2 1 



4 1 



2  2 1 2  2  2 1 2



4 1 



4 1 2 4 1 2



1



2



2





1   1  2









1 2

.

(4.73)

Sesuai dengan hasil yang dijelaskan pada bagian Lampiran 2, diperoleh bahwa  1/2  

  (1 ,

1/2

. Dari (4.1), diperoleh

,  k )   1/2diag  1,

, k  .

Jadi, untuk kasus bivariat, yaitu k = 2,

  (1 ,  2 )   1/2diag  1 ,  2 





169

       



      



   1     





1   1  2 1 2 1   1 

   

2 1 2



1   1 



1   1    2   1 0  2 1    1   1    0  2   2 1 2 



  1

2 1 2 1   1 

  1

2 1 2



  2  2 12 .  1   1   2  2 12  1   1 

(4.74)



Jadi,



  

  1 2   2 1   dan  2     1   1    1  2 1 2  

1   1 



 



  2 2  2 1  .  1   1   2  2 1 2  1   1 



(4.75)

Dari (4.57), 2

 

f ( y, ,  )  22 k ( y, )   j y , j 1

'

y

k

,

dengan

2 ( y, )  (2 )1 

1/2

 1 exp   y'  1 y  2



 .

(4.76)

Bagian y'Ω–1y menjadi

y'  1 y   y1

 1  1 2 y2       1 2

 y   y2  1 2  1 



  1   2   y1 

  1  y2   1 2 

y2   y1   y1    1   2   y2 



y12   y1 y2  y22   y1 y2 1 2



y12  2 y1 y2  y22 . 1 2

(4.77)



170

2 ( y, )  (2 )1 

1/2



 1  exp   y'  1 y   2 

 (2 )1 1   2





1/2



 y 2  2 y y  y 2  1 2 2 . exp   1 2 2 1   





(4.78)

Jadi, f.k.p dari vektor acak Y yang berdistribusi skew-normal bivariat adalah



f ( y1 , y2 , ,  1 ,  2 )  22 (2 ) 1 1   2



1/2

 ( y 2  2 y1 y2  y22 )  exp   1  2(1   2 )  

  1' y    2' y 

(4.79)

dengan



'1  



1   1 

  

'2  

2 1 2



1   1 

 

4.2.2

2 1 2

 

1   1 

 

1   1 

1

2

2 1 2

2 1 2

   ,

(4.80)



(4.81)

1

 

  2 .  

Fungsi Pembangkit Momen Diketahui dari (4.48), f.p.m dari vektor acak Y ~ SN(k, Ω, γ) dinyatakan

dengan bentuk

 1  k  k M Y (t )  2k exp   t' t     hi  p ji t j  , 2  i 1  j 1  dengan p1, p2, ..., pk adalah vektor-vektor kolom dari matriks Ω1/2 di mana  p1 j    p2 j   pj       pkj 

dan hi 



i

1   i2



1/2

 (1,1) .



171

Maka, untuk kasus bivariat, yaitu untuk k = 2, f.p.m-nya adalah

 1  2  2 M Y (t )  22 exp   t' t     hi  p ji t j  2  i 1  j 1 

 1  2  2  4exp   t' t      hi  p ji t j  . 2  i 1  j 1 

(4.82)

Karena Ω merupakan matriks parameter yang memiliki bentuk

 1    ,  1  maka bagian t'Ωt menjadi

 1    t1  t' t   t1 t2       1  t2  t    t1  t2 t2  t1   1   t2   t12  t1t2  t22  t1t2  t12  2t1t2  t22 ,

(4.83)

dan diperoleh

 1  2  2 M Y (t )  4exp   t' t     hi  p ji t j  2  i 1  j 1   1  2  2  4exp  t12  2t1t2  t22     hi  p jit j  2  i 1  j 1 





1  2  4exp  t12  2t1t2  t22     hi p1i t1  hi p2it2  2  i 1





1   4exp  t12  2t1t2  t22    h1 p11t1  h1 p21t2   2 





  h2 p12t1  h2 p22t2  .

Jadi, f.p.m dari Y ~ SN(k, Ω, γ) adalah 1  M Y (t )  4exp  t12  2t1t2  t22    h1 p11t1  h1 p21t2   , 2 





  h2 p12t1  h2 p22t2  ,

(4.84)



172

di mana

h1 

h2 

4.2.3

1

1    2 1

1/2

2

1    2 2

1/2

 (1,1) ,

(4.85)

 (1,1) .

(4.86)

p11  p22 

1   1  , 2

(4.87)

p12  p21 

 1   1  . 2

(4.88)

Mean, Kovariansi, dan Variansi

Mean, variansi, dan kovariansi dari variabel-variabel acak Y1 dan Y2 akan dicari dengan menggunakan f.p.m dan turunan-turunannya yang telah diperoleh pada bagian 4.1.2. Dengan (4.54), dapat dicari mean dari Y1 dan Y2, yaitu

E (Y )  

2

 2



2

h p I 1

i

i

 h1 p1  h2 p2  .

Karena p1 = (p11, p21)' dan p2 = (p12, p22)', maka

 E Y1    p12   2   p11     h1    h2      p21   p22    E Y2   

2  h1 p11   h2 p12        h1 p21   h2 p22  



2  h1 p11  h2 p12      h1 p21  h2 p22 

 2   h1 p11  h2 p12     .   2    h1 p21  h2 p22     

(4.89)



173

2

E (Y1 ) 



E (Y2 ) 

2



 h1 p11  h2 p12  .

(4.90)

 h1 p21  h2 p22  .

(4.91)

Dengan menggunakan (4.55) dapat dicari E(Y1Y2).

 2  2 '  E (YY' )    2   hi h j pi p j  0      0    l 1, i 1 j 1,  j i  l  j 2

2

 2    4  hi h j pi p'j  i 1 j 1,  j i 2

4  2 4 2



 1  2    0 2  l 1,  l  j

 2  2  h h p p'    0    i j i j   i 1 j 1, l 1,  j i  l  j 2

 2

i 1

hi h1 pi p1'  hi h2 pi p'2



4 h2 h1 p2 p1'  h1h2 p1 p'2 2



    0 2

l 1, l j

    0 2

l 1, l j



4  h2 h1 p2 p1'   0   h1h2 p1 p'2   0  2



4  h2 h1 p2 p1'  0   h1h2 p1 p'2  0  2



4  1 1  '  h1h2 p1 p'2  h2 h1 p2 p1  2  2 2 







4 h2 h1 p2 p1'  h1h2 p1 p'2 2



h h p p  h h p p  . 



h h p p  h h p p  . 

2

2 1

2

2

1 2

2

' 1

' 1

1 2

1 2

1

1

' 2

' 2

(4.92)



174

p  p  Karena p1   11  dan p2   12  diperoleh  p21   p22 

p  p1 p'2   11   p12  p21 

p p p22    11 12  p12 p21

p11 p22  , p21 p22 

(4.93)

p  p2 p1'   12   p11  p22 

p p p21    11 12  p11 p22

p12 p21  , p21 p22 

(4.94)

Jadi, persamaan (4.92) menjadi E (YY' )   

h h p p  h h p p   2

1 2

2

' 1

1 2

1

' 2

 p11 p12  1  2      h1h2   1     p11 p22

p12 p21   p11 p12   h1h2  p21 p22   p12 p21

p11 p22    p21 p22  

 p11 p12  1  2      h1h2   1     p11 p22

p12 p21   p11 p12   h1h2  p21 p22   p12 p21

p11 p22    p21 p22  

 1   2  h1h2 p11 p12       1    h1h2 p11 p22

h1h2 p12 p21   h1h2 p11 p12 h1h2 p11 p22     h1h2 p21 p22   h1h2 p12 p21 h1h2 p21 p22  

2h1h2 p11 p12 h1h2 p12 p21  h1h2 p11 p22   1  2      2h1h2 p21 p22   1    h1h2 p11 p22  h1h2 p12 p21  4  h1h2 p11 p12   1      1   2 h h p p  2 h h p p  1 2 11 22  1 2 12 21 

2



 h1h2 p11 p22    4  h1h2 p21 p22   

h1h2 p12 p21 

2

4 2 2   1  h1h2 p11 p12   h1h2 p12 p21  h1h2 p11 p22        4   2 h h p p  2 h h p p  1  h1h2 p21 p22   1 2 11 22 1 2 12 21      (4.95)

 Y12 Y1Y2   Karena E (YY' )  E  , dari (4.95) diperoleh E(Y1Y2), yaitu 2   Y1Y2 Y2   E YY 1 2  

2



h1h2 p12 p21 

2



h1h2 p11 p22 .

(4.96)



175

1   1   1   1  dan p12  p21  , maka 2 2

Karena p11  p22 

 1   1  p11 p21   2  

1    1   4



2   4 2



 2

  1    1     2 

.

(4.97)

  1   1  p12 p22   2  

1    1   4



2   4 2



 2

  

 1    1     2 

  

.

(4.98)

Dari hasil (4.90), (4.91), dan (4.96) dapat diperoleh kovariansi dari variabelvariabel acak Y1 dan Y2, yaitu

Cov Y1 , Y2   E YY 1 2   E Y1  E Y2   2



2



2



h  2

2 1





2



h1h2 p11 p22 

 h1 p11  h2 p12  h1 p21  h2 p22 



2

h1h2 p12 p21 

2



h1h2 p11 p22 

2



h1h2 p12 p21 

p11 p21  h1h2 p11 p22  h1h2 p12 p21  h22 p12 p22

h1h2 p11 p22 

h12 p11 p21 

2



2





h1h2 p12 p21 

h1h2 p11 p22 

2



h1h2 p12 p21 

2



h22 p12 p22



176

2

Cov Y1 , Y2    

2





h12



 2 2



2

h1h2 p11 p22 



2





h1h2 p12 p21 

h1h2 p11 p22 

h1h2 p11 p22 

2



2



h1h2 p12 p21 

2



h22

 2

h1h2 p12 p21 

 2 2 2  h1  h1h2 p11 p22  h1h2 p12 p21  h22     

 2  2 h  h  1  2

 h2 h2    1  1  2       1    1  h12  h22  .   





(4.99)

Dari (4.95), yaitu

4 2 2   1  h1h2 p11 p12   h1h2 p12 p21  h1h2 p11 p22      E ( yy' )   , 4   2 h h p p  2 h h p p  1  h1h2 p21 p22   1 2 11 22 1 2 12 21      dapat diperoleh E Y12  dan E Y22  .

 

E Y12  1 

 

E Y22  1 

4

 4



h1h2 p11 p12 .

(4.100)

h1h2 p21 p22 .

(4.101)

Dengan menggunakan persamaan-persamaan (4.100), (4.101), (4.90), dan (4.91) diperoleh variansi dari masing-masing variabel acak adalah

 

Var Y1   E Y12   E Y1 

2

 2   1  h1h2 p11 p12    h1 p11  h2 p12     

2

4

 1

 1

4

 4



h1h2 p11 p12 

h1h2 p11 p12 

2

 2



 h1 p11  h2 p12 

h

2 1

2

p112  2h1h2 p11 p12  h22 p122





177

Var Y1   1 

 1  1

4

 2



h1h2 p11 p12 

h12 p112 

h  2

2 1

2



2



h12 p112 

4



h1h2 p11 p12 

2



h22 p122

h22 p122



p112  h22 p122 .

 

Var Y2   E Y22   E Y2 

(4.102)

2

 2   1  h1h2 p21 p22    h1 p21  h2 p22     

2

4

 1  1

 1  1  1

4

 4

 4

 2



h1h2 p21 p22  h1h2 p21 p22 

h1h2 p21 p22  2 h12 p21 

h  2

2 1

2



2

 2

 2



 h1 p21  h2 p22 

h

2 1

2

2 2 p21  2h1h2 p21 p22  h22 p22

2 h12 p21 

4



h1h2 p21 p22 

2





2 h22 p22

2 h22 p22



2 2 . p21  h22 p22

(4.103)

Berikut diberikan teorema terkait dengan sifat independensi dari distribusi skew-normal bivariat.

Teorema 4.3. Misalkan Y = (Y1, Y2)' adalah vektor acak bivariat yang berdistribusi SN(2, Ω, γ). Maka Y1 dan Y2 saling bebas jika dan hanya jika ω = 0. Bukti: Bukti Teorema 4.3 ini akan dibagi ke dalam dua bagian. () Akan dibuktikan bahwa jika ω = 0, maka Y1 dan Y2 saling bebas. Bukti: Perhatikan f.k.p dari distribusi skew-normal bivariat pada (4.79), yaitu



178



f ( y1 , y2 , ,  1 ,  2 )  22 (2 ) 1 1   2



1/2

 ( y 2  2 y1 y2  y22 )  exp   1  2(1   2 )  

(1' y)(2' y), (y1 , y2 ) 

2

,

dengan

    



    



' 1

' 2

1   1 

 

1   1 

 

1   1 

1

2 1 2 1   1 

2

2 1 2

2 1 2

   dan 1

2 1 2



 

  2 .  

Misalkan ω = 0, maka f.k.p-nya menjadi



 y12  y22 f ( y1 , y2 , 0,  1 ,  2 )  2 (2 ) exp   2  2

1

   

(1' y)(2' y), ( y1 , y2 )  ,

dengan

'1   1 , 0  dan '2   0,  2  . Jadi, f.k.p dari distribusi skew-normal bivariat menjadi



 y12  y22 f ( y1 , y2 , 0,  1 ,  2 )  2 (2 ) exp   2  2

1

    y    y  

1 1

2 2

   y2    2(2 )1/2 exp   1    1 y1   2(2 ) 1/2   2      y2  exp   2     2 y2   .  2      y12  1/2 Karena  2(2 ) exp      1 y1   merupakan bentuk f.k.p dari variabel acak  2    Y1 yang berdistribusi skew-normal univariat dengan parameter kemencengan γ1,

   y22  1/2 dan  2(2 ) exp       2 y2   merupakan bentuk f.k.p dari variabel acak Y2  2    yang berdistribusi skew-normal univariat dengan parameter kemencengan γ2, Universitas Indonesia


179

maka sesuai Definisi 2.4, terbukti bahwa Y1 dan Y2 saling bebas. Jadi, terbukti bahwa jika ω = 0, maka Y1 dan Y2 saling bebas. () Akan dibuktikan bahwa jika Y1 dan Y2 saling bebas, maka ω = 0. Bukti: Dari (4.84), f.p.m dari vektor acak Y ~ SN(2, Ω, γ) adalah MY (t )  M Y1 ,Y2 (t1 , t2 )

1   4exp  t12  2t1t2  t22    h1 p11t1  h1 p21t2    h2 p12t1  h2 p22t2  2 





di mana

h1 

h2 

1

1    2 1

1/2

2

1    2 2

1/2

,

.

p11  p22 

1   1  , 2

p12  p21 

 1   1  . 2

Dari (4.98) diperoleh kovariansi dari Y1 dan Y2, yaitu  1 2  Cov Y1 , Y2   E YY h1  h22  1 2   E Y1  E Y2    1    





Jika Y1 dan Y2 saling bebas, maka Cov Y1 , Y2   0 .  1  Agar Cov Y1 , Y2   0 , maka  1   h12  h22  harus bernilai 0. Jadi,   

 

 1 

h  1

2 1

  h22   0 dapat mengakibatkan dua kasus, yaitu 



(i) h12  h22   ; (ii) ω = 0.



180

Perhatikan kasus (i).  1  Jika kasus (i) yang terjadi, maka  1   h12  h22   0 mengakibatkan    h12  h22   . Berdasarkan (4.47), hi 

i 1   i2

, i  1, 2 . Karena  i  , i = 1, 2,

maka hi  (– 1, 1). Maka nilai h12  h22 berada pada [0, 2), sedangkan

  3,1428...  3  2 . Berarti tidak akan dapat diperoleh nilai h1 dan h2 sedemikian sehingga h12  h22   . Jadi, kasus (i) ini tidak mungkin terjadi. Perhatikan kasus (ii).  1  Jika kasus (ii) yang terjadi, maka  1   h12  h22   0 mengakibatkan ω = 0.   

Karena kasus (i) tidak mungkin terjadi, dan hanya mungkin kasus (ii) yang  1  terjadi, yaitu  1   h12  h22   0 mengakibatkan ω = 0, maka terbukti bahwa   

jika bahwa jika Y1 dan Y2 saling bebas, maka ω = 0. Jadi, terbukti bahwa jika Y adalah vektor acak bivariat yang berdistribusi SN(2, Ω, γ), maka Y1 dan Y2 saling bebas jika dan hanya jika ω = 0.

4.3

Contoh

Misalkan Y ~ SN(k, Ω, γ) dan k = 2, berarti Y ~ SN(2, Ω, γ).

 1    .  1  Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = 0, maka Y ~ Nk(0, I) sesuai dengan Catatan 4.1, dan sesuai Teorema 4.3, Y1 dan Y2 berdistribusi N(0, 1) dan saling bebas. Pr(Y1  1, Y2  1) = Pr(Y1  1)Pr(Y2  1) = (0,8413)(0,8413) = 0,70778569.



181 Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = 1, maka Y1 dan Y2 saling bebas dan berdistribusi Y1 ~ SN(γ1) dan Y2 ~ SN(γ2) . Pr(Y1  1, Y2  1) = Pr(Y1  1)Pr(Y2  1) = F1(1)F1(1) = [(1) – 2T(1, 1)][(1) – 2T(1, 1) ] = [0,8413 – 2(0,066742)][0,8413 – 2(0,066742)] = (0,707816)( 0,707816) = 0,501003. Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = – 1, maka Y ~ SN(2, I, γ). Pr(Y1  1, Y2  1) = Pr(Y1  1)Pr(Y2  1) = F–1(1)F–1(1) = [(1) – 2T(1, –1)][(1) – 2T(1, –1) ] = [(1) + 2T(1, 1)][(1) + 2T(1, 1) ] = [0,8413 + 2(0,066742)][0,8413 + 2(0,066742)] = (0,974784)( 0, 974784) = 0,950204. Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = 1, maka Y ~ SN(2, I, γ). Pr(Y1  –1, Y2  –1) = Pr(Y1  –1)Pr(Y2  –1) = F1(–1)F1(–1) = [(–1) – 2T(–1, 1)][(–1) – 2T(–1, 1) ] = [(–1) – 2T(1, 1)][(–1) – 2T(1, 1) ] = [0,1587 – 2(0,066742)][0,1587 – 2(0,066742)] = (0,025216)( 0, 025216) = 0,000636.



182 Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = – 1, maka Y ~ SN(2, I, γ). Pr(Y1  –1, Y2  –1) = Pr(Y1  –1)Pr(Y2  –1) = F–1(–1)F–1(–1) = [(–1) – 2T(–1, –1)][( –1) – 2T(–1, –1) ] = [(–1) + 2T(1, 1)][(–1) + 2T(1, 1) ] = [0,1587 + 2(0,066742)][0,1587 + 2(0,066742)] = (0,292184)( 0,292184) = 0,085371. Misalkan ω = 0, γ1 = – 1, dan γ2 = 1, maka Y ~ SN(2, I, γ). Pr(Y1  1, Y2  1) = Pr(Y1  1)Pr(Y2  1) = F–1(1)F1(1) = [(1) – 2T(1, –1)][(1) – 2T(1, 1) ] = [(1) + 2T(1, 1)][(1) – 2T(1, 1) ] = [0,8413 + 2(0,066742)][0,8413 – 2(0,066742)] = (0,974784)( 0,707816) = 0,689968.



BAB 5 PENUTUP

5.1

Kesimpulan Dalam tugas akhir ini telah dijelaskan mengenai distribusi skew-normal.

Distribusi skew-normal adalah distribusi probabilitas data yang merupakan perluasan dari distribusi normal, dengan memasukkan parameter kemencengan. Distribusi skew-normal dapat memfasilitasi data-data yang memiliki kemencengan yang kuat dan data-data yang mempunyai distribusi probabilitas yang terpusat di sekitar mean tetapi kurang atau tidak simetris. Distribusi ini memiliki beberapa sifat yang juga dimiliki distribusi normal, yaitu jika X ~ SN(α), maka X 2 ~ 12 ; jika X berdistribusi skew-normal, maka – X juga berdistribusi skew-normal; dan jika X ~ SN(α), Z ~ N(0, ζ2), maka |X| dan |Z| berdistribusi identik. Distribusi skew-normal dapat diperumum dengan memasukkan parameter location dan scale. Untuk variabel acak skew-normal kasus univariat, karakteristikkarakteristik yang dibahas adalah fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p), fungsi distribusi, fungsi pembangkit momen (f.p.m), mean dan variansi, sifat-sifat, dan perluasan dengan memasukkan parameter location dan scale. Kemudian diberikan perbandingan grafik antara grafik distribusi normal standar dengan skew-normal. Misalkan X adalah variabel acak yang berdistribusi skew-normal dengan parameter kemencengan α, atau ditulis X ~ SN(α), dengan  

. Karakteristik-

karakteristik yang dimaksud adalah 1. Fungsi kepadatan probabilitas: fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < , di mana  adalah f.k.p dan Φ adalah fungsi distribusi normal standar N(0, 1). 2. Fungsi distribusi: Fα(x) = (x) – 2T(x, α).

183



184

3. Fungsi pembangkit momen: t2 2

M X (t )  2e ( t ) , dengan  

 1  2

 (1,1) .

4. Mean:

E( X )  

2



.

5. Variansi:

Var( X )  1 

2 2



.

6. Sifat-sifat dari variabel acak X ~ SN(α) adalah (i)

Jika α = 0, maka X = Z, dan jika α → ± , maka X = ±|Z|, di mana Z ~ N(0, 1).

(ii)

Jika X ~ SN(α), maka – X ~ SN(– α).

(iii) Jika X ~ SN(α), maka |X| dan |Z| berdistribusi identik. (iv) 1 – Fα(– x) = F– α(x). (v)

F1(x) = {Φ(x)}2.

(vi) Jika X ~ SN(α), maka X 2 ~ 12 , yaitu suatu variabel acak berdistribusi chi-square dengan derajat bebas = 1. (vii) Sebuah variabel acak X mempunyai f.k.p fα(x) = 2(x)Φ(αx), –  < x < , jika dan hanya jika X mempunyai representasi

X   Z1  1   2 Z 2 , di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dan  

 1  2

 (1,1) .

(viii) Misalkan Z1, Z2 merupakan variabel acak yang berdistribusi normal standar N(0, 1). Jika variabel acak X mempunyai representasi X = a|Z1| + bZ2, maka   (a 2  b2 )1/2 X  (a2  b2 )1/2 a | Z1 | (a2  b2 ) 1/2 bZ 2 ~ SN  2  1 

 , 

di mana   (a 2  b2 )1/2 a adalah koefisien dari |Z1|.



185

(ix) Jika X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas, maka

 b ~ SN   a 2 (1   2 )  b 2 a2  b2 

aZ  bX

(x)

  untuk sebarang a, b   

.

Jika X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas, maka   X Z ~ SN  2 2  2 

 . 

(xi) Jika Xi ~ SN(αi) saling bebas dengan αi  0, i = 1, 2. Maka, secara umum, X1 + X2 bukan variabel acak skew-normal. 7. Perluasan dengan memasukkan parameter location dan scale. Misalkan X ~ SN(α), dan terdapat suatu variabel acak Y di mana Y =  + X. Y adalah variabel acak yang berdistribusi skew-normal dengan parameter kemencengan α, parameter location , dan parameter scale , atau dinyatakan dengan Y ~ SN(, , α), di mana  

dan  > 0. Karakteristik-karakteristik dari

variabel acak ini adalah (i)

Fungsi kepadatan probabilitas:

g ( y; ,  ,  )  (ii)

2  y     

   y         ,    y   .     

Fungsi distribusi:  y    y   G ( y )    ,  .   2T       

(iii) Fungsi pembangkit momen:

  2t 2  M Y (t )  2exp   t   (t ) . 2   (iv) Mean:

E (Y )     (v)

2



.

Variansi:

 2 2  Var(Y )   2 1  .   



186

8. Perbandingan grafik distribusi normal standar dan skew-normal.

Gambar 3.1 Grafik Distribusi Normal Standar

Gambar 3.2 Grafik Distribusi Skew-Normal

Untuk vektor acak skew-normal multivariat, karakteristik-karakteristik yang dibahas adalah fungsi kepadatan probabilitas, fungsi pembangkit momen, vektor mean, dan matriks kovariansi. Misalkan Y adalah vektor acak yang berdistribusi skew-normal multivariat, atau Y ~ SN(k, Ω, γ). Ω adalah matriks simetris yang definit positif berukuran k × k, γ = (γ1, ..., γk)' adalah vektor kemencengan untuk bilangan-bilangan riil γ1, ..., γk,. Karakteristik-karakteristik yang dimaksud adalah



187

1. Fungsi kepadatan probabilitas: k

 

f ( y, ,  )  2k k ( y, )   j y , j 1

'

y

k

,

di mana dan λ1, ..., λk adalah k vektor riil yang memenuhi Λ = (λ1, ..., λk) = Ω–1/2 diag(γ1, ..., γk). 2. Fungsi pembangkit momen:  k  1  k M Y (t )  2k exp   t' t     hi  p ji t j  , 2  i 1  j 1 

dengan p1, p2, ..., pk adalah vektor-vektor kolom dari matriks Ω1/2 di mana  p1 j    p2 j  i  , dan hi  pj    1   i2    pkj 





1/2

 (1,1) .

3. Vektor mean:

E (Y ) 

2



k

h p . i

i 1

i

4. Matriks kovariansi:

2k  2

5.2

 k  k k k  h h p p'    0   2 h p h p' .     i j i j    i 1 i i i 1 i i i 1 j 1, l 1,  j i  l  j k

Saran

Saran dari penulis mengenai topik tugas akhir ini adalah: 1. Distribusi skew-normal bukan satu-satunya distribusi probabilitas yang dapat memfasilitasi kemencengan data dan data yang berdistribusi probabilitas terpusat di sekitar mean tetapi kurang atau tidak simetris. Ada distribusidistribusi probabilitas data yang lebih baik daripada distribusi skew-normal. 2. Distribusi skew-normal multivariat yang dibahas pada tugas akhir ini masih mungkin dapat dikembangkan, dan dapat diperluas dengan memasukkan parameter location dan scale. Universitas Indonesia


DAFTAR PUSTAKA

Arnold, B.C. dan Beaver, R.J. (2007). Skewing Around: Relationships Among Classes of Skewed Distributions. Methodology and Computing in Applied Probability, Vol. 9, No. 2, 153-162

Azzalini, A. (1985). A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones. Scandinavian Journal of Statistics, Vol. 12, No. 2, 171-178.

Azzalini, A. (2005). A Very Brief Introduction to Skew-Normal Distribution. http://azzalini.stat.unipd.it/SN/Intro/node1.html

Azzalini, A. dan Valle, D. (1996). The Multivariate Skew-Normal Distribution. Biometrika, 83, 4, pp. 715-726. Brown, N.D. (1997). Reliability Studies of The Skew-Normal Distribution. A.B. Bowdoin College. University of Maine. Foss, S., Korshunov, D., dan Zachary, S. (2008). An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions. Schwarzwaldstrasse: Oberwolfach Preprints.http://www.mfo.de/publications/owp/2009/OWP2009_13.pdf Gupta, A.K. dan Chen, J.T. (2004). A Class of Multivariate Skew-Normal Models. Annals Institute of Statistical Mathematics, Vol. 56, No. 2, pp. 305-315. Hogg, R.V. dan Craig, A.T. (1995). Introduction to Mathematical Statistics, 5th ed.. New Jersey: Prentice-Hall Inc. Hogg, R.V., McKean, J.W., dan Craig, A.T. (2005). Introduction to Mathematical Statistics, 6th ed. New Jersey: Prentice Hall. Kaplan, W. (1991). Advanced Calculus, 4th ed. Addison-Wesley Publishing Company. Kreyszig, E. (1970). Introductory Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons.

Johnson, R.A. dan Wichern, D.W. (1998). Applied Multivariate Statistical Analysis, 4th ed. New Jersey: Prentice-Hall. 188 Universitas Indonesia


189

Lachos, V.H., Labra, dan F.V., dan Ghosh, P. Multivariate SkewNormal/Independent Distributions: Properties and Inference. http://www.ime.unicamp.br/~hlachos/RobusRegres.pdf Leone, F.C., Nelson, L.S., dan Nottingham, R. B.(1961). The Folded Normal Distribution. Technometrics, Vol. 3, No. 4, 543-550. Miller, I. dan Miller, M. (1999). John E. Freund's Mathematical Statistics, 6th ed. New Jersey: Prentice Hall. Owen, D.B. (1956). Tables for Computing Bivariate Normal Probabilities. Institute of Mathematical Statistics: The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 2, No. 4, pp. 1075-1090. Patefield, M. dan Tandy, D. Fast and Accurate Calculation of Owen's TFunction. Department of Applied Statistics, The University of Reading. UK. Pourahmadi, M. Construction of Skew-Normal Random Variables: Are They Linear Combinations of Normal and Half-Normal? http://www.math.niu.edu/~pourahm/skewnorm.pdf Tamhane, A.C. dan Dunlop, D.D. (2000). Statistics and Data Analysis (from Elementary to Intermediate). New Jersey: Prentice Hall. Weatherburn, C.E. (1968). A First Course in Mathematical Statistics. London: Cambridge.



LAMPIRAN

Lampiran 1. Indeks dan Parameter Kemencengan Misalkan terdapat suatu variabel acak X ~ SN(α). Parameter α disebut parameter kemencengan dan   . Pada Lampiran 1 ini akan diberikan penjelasan mengenai keterkaitan antara parameter kemencengan α dan indeks 3 E  X      . Dengan menggunakan f.p.m dari variabel acak kemencengan 3   3



X berdasarkan persamaan (3.34), yaitu t2 2

M X (t )  2e   t  , dengan



 1  2

 (1,1) .

Dari (3.68) dan (3.69), diketahui

E ( X )  M' (0)  

2



.

E ( X 2 )  M'' (0)  1 .

Dari persamaan (3.34), dapat diperoleh momen ketiga dan kemudian dapat dicari indeks kemencengan β3. Dari persamaan (3.65) diperoleh

 t2   t2   t2  2 M (t )  2exp     t   2t exp     t   4 t exp    ( t )  2 2 2 '' X

 t2  2 3t exp    ( t ) . 2 Jadi, dapat diperoleh

 t2   t2   t2  M '''X (t )  2exp   t  t   2exp     t   4t exp     t   2 2 2  t2   t2   t2  2t 2 exp   t  t   2t 2 exp     t   4 exp    ( t )  2 2 2 190



191

(lanjutan)

 t2   t2  4 t exp   t ( t )  4 t exp    ( t )  2t  2 2





 t2   t2  2 3 exp    ( t )  2 3t exp   t ( t )  2 2  t2  2 3t exp    ( t )  2t . 2





 t2   t2   t2  M '''X (t )  2t exp     t   2 exp     t   4t exp     t   2 2 2  t2   t2   t2  2 2t exp     t   2 t exp     t   4 exp    ( t )  2 2 2 3

 t2   t2   t2  4 t 2 exp    ( t )  4 3t 2 exp    ( t )  2 3 exp    ( t )  2 2 2  t2   t2  2 3t 2 exp    ( t )  2 5t 2 exp    ( t ) . 2 2

 t2   t2   t2  3  6t exp     t   6 exp     t   2t exp     t   2 2 2  t2   t2  6 t 2 exp     t   6 3t 2 exp    ( t )  2 2  t2   t2  2 3 exp    ( t )  2 5t 2 exp    ( t ) . 2 2

Kemudian dapat diperoleh momen ketiga dari variabel acak X, yaitu

E  X 3   M '''X (0)  6  0   2 3 (0)

 6 

1 1  2 3 2 2

6 2 3  2 2



192

(lanjutan)

 

2

E X 3  3





2

 3



 2

 3 2 



.

(L.1.1)

Jadi, indeks kemencengan dari X adalah 3 E  X      3   3



  



E X 3  3X 2  3X  2   3



 









 

E X 3  3 E X 2   3E X  2  E  3



 

3

 

E X 3  3 E X 2  3 2 E  X    3

3

3   

2

2





3



 3 1  3 2





 3

3

3      3  3     2

2

2

3

3





3   2   3  3 3   3

3  2   2 3

3

 2     2      2 3    2   3



    2     2 3 2  3



    3    2 3 2  3





193

(lanjutan)    3    2  2  3   3



1    4   3 2 3





1 3 4   3 . 2 

(L.1.2)

Perhatikan persamaan (L.1.2).

3      3   

3

3

  2       .   2    1  2         Jadi, persamaan (L.1.2) menjadi

1 3 3   4    3 2  3

  2    1    .  4    2  2  1  2        

(L.1.3)

Dari (3.33), diketahui bahwa



 1  2

 (1,1) .

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.33) ke (L.1.3), diperoleh



194

(lanjutan)

  2    1    3   4     2  2  1  2             1 1  2  4    2     1  2   1 

3

 2     2   2        

  2    1  2 1   4    2 2   1   2    1  2  







   1  4     2   



       

3

3

 2

 1   2 

 

 

  1  2 2 2     1  2  1  2 



  2    1  2 1  4    2   1   2  2 2    1  2 







 1  2  4     2 2   1  











 1   2 



   

3

3

 1   2 

 1  2  4      1   2  2 2 2 



       



       

   2 2  

3

3



195

(lanjutan)

 1  2 3   4     2 2 2      2  1  2  4   2      2   2 

  

3

3

  .  

(L.1.4)

Karena   , maka nilai dari β3 ada pada interval (– 0,995, 0,995). Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa hubungan antara β3 dan α bukan merupakan suatu analogi. Namun, keduanya berkaitan melalui persamaan (L.1.4). Untuk nilai kemencengan α = 0, melalui persamaan (L.1.4), 3 

1  4    03  0 . 2

Jadi, sesuai dengan sifat pertama dari variabel acak skew-normal univariat, yaitu ketika α = 0, variabel acak skew-normal univariat menjadi variabel acak yang berdistribusi normal standar N(0, 1), dan indeks kemencengan untuk distribusi normal bernilai 0.



196 Lampiran 2. Matriks Ω dan Sifat-sifatnya Matriks Ω merupakan matriks parameter berukuran k × k yang simetris, dan merupakan matriks definit positif. Misalkan, matriks Ω dinyatakan dengan  11 12   22    21    k 1 k 2

1k  12 

  kk 

.

(L.2.1)

Pada bab empat Ω merupakan matriks kovariansi dari vektor acak yang berdistribusi normal multivariat dengan mean 0 dan Ω dinyatakan dengan  1 12   1    21    k 1 k 2

1k  12    1 

.

(L.2.2)

Dengan Teorema 2.38, karena matriks Ω simetris, maka Ω dapat didiagonalkan secara ortogonal. Berarti matriks Ω mempunyai n vektor eigen ortonormal yang berbeda. Misalkan matriks Ω memiliki nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk dengan vektor-vektor eigen ortonormal terkait p1, p2, ..., pk. Misalkan V merupakan matriks ortogonal yang berisi vektor-vektor eigen dari matriks Ω, yaitu V = (p1, p2, ..., pk). Sesuai dengan bagian 2.20.18 mengenai diagonalisasi ortogonal, dapat diperoleh V–1ΩV = D = diag(λ1, λ2, ..., λk).

(L.2.3)

Karena V ortogonal, sesuai Definisi 2.30, V–1 = V'.

(L.2.4)

V–1ΩV = V'ΩV = D = diag(λ1, λ2, ..., λk).

(L.2.5)

Berarti Untuk mencari akar kuadrat dari matriks Ω, persamaan (L.2.3) dibentuk menjadi V–1ΩV = D VV–1ΩV = VD IΩV = VD ΩV = VD ΩVV–1 = VDV–1 Universitas Indonesia


197

(lanjutan) ΩI = VDV–1 Ω = VDV–1.

(L.2.6)

Sesuai (2.190), akar kuadrat dari matriks Ω adalah Ω1/2 = VD1/2V–1 = VD1/2V'. Karena D adalah matriks diagonal, maka

D1/2  diag





1 , 2 , , k .

(L.2.7)

Sesuai dengan Teorema 2.38 bagian (c), maka Ω1/2 simetris. Ω–1/2 merupakan invers dari matriks Ω1/2, seperti yang dapat dilihat pada persamaan (2.194). Matriks Ω–1/2 juga merupakan matriks yang simetris. Berikutnya akan dibahas mengenai determinan dari matriks akar kuadrat dari Ω. Berdasarkan persamaan (2.192), maka Ω = Ω1/2Ω1/2. Berdasarkan persaman (2.194), maka Ω–1 = Ω–1/2Ω–1/2. Sesuai sifat fungsi determinan pada Teorema 2.23, maka det(Ω) = det(Ω1/2)det(Ω1/2). –1/2

Karena Ω

(L.2.8) 1/2

merupakan invers dari matriks Ω , maka

Ω1/2Ω–1/2 = Ω–1/2Ω1/2 = I.

(L.2.9)

Maka, hasil determinan dari persamaan di atas adalah det(Ω1/2Ω–1/2) = det(I) det(Ω1/2Ω–1/2) = 1 det(Ω1/2)det(Ω–1/2) = 1 det(Ω–1/2) = 1/det(Ω1/2).

(L.2.10)

Dengan Teorema 2.23, diperoleh determinan dari matriks Ω dan Ω1/2, yaitu det     det VDV 1   det V  det  D  det V 1 

 det  D  det V  det V 1 

 det  D  det V 

1 det V 



198

(lanjutan)

det     det  D   12

k .

(L.2.11)

Karena Ω definit positif, maka berdasarkan Teorema 2.17, nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk positif, berarti det(Ω) > 0. det  1/2   det VD1/2V 1   det V  det  D1/2  det V 1 

 det  D1/2  det V  det V 1 





 det D1/2 det V 

1 det V 

 det  D1/2 

 1 2

k

 det    . 1/2

(L.2.12)

Karena nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk positif, berarti det(Ω1/2) = [det(Ω)]1/2 > 0. det   1/2   det VD1/2V 1   det V  det  D1/2  det V 1   det  D1/2  det V  det V 1 





 det D 1/2 det V 

1 det V 

 det  D 1/2 



1

1

1

1

2

k

 det   

1/2

.

(L.2.13)

Karena nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk positif, berarti det(Ω1/2) = [det(Ω)]1/2 > 0.



199

Lampiran 3. Tabel Nilai Probabilitas Distribusi Normal Standar



200

Lampiran 4. Tabel Nilai Fungsi T-Owen



201

(lanjutan)



202

(lanjutan)



203

(lanjutan)



204

(lanjutan)



DISTRIBUSI SKEW-NORMAL SKRIPSI

Recommend Documents