DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 1 TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-9
Distribusi Seragam Diskrit Jika sebuah variabel random X mengambil nilai x1, x2, …, xk dengan probabilitas yang sama, maka distribusi seragam diskrit untuk variabel X diberikan oleh
f(x;k) =
1
k
1
Rataan dan Variansi Distribusi Seragam Diskrit
Rataan dan variansi dari distribusi seragam diskrit f(x;k) adalah k
k
µ=
xi ∑ i =1
k
σ2 =
(x i ∑ i =1
− µ)
2
k
Contoh Distribusi Seragam Diskrit Jumlah pengunjung sebuah museum berkisar antara 0 sampai 4 orang dalam 1 menit dengan kecenderungan yang sama. Berapa probabilitas dalam satu menit terdapat kurang dari 2 pengunjung? Dalam jangka panjang, berapa rata-rata pengunjung per menit?
2
Proses Bernoulli Suatu proses dikatakan sebagai proses Bernoulli jika memiliki karakteristik sebagai berikut: 1. eksperimen terdiri atas n ulangan percobaan 2. masing-masing percobaan menghasilkan outcome yang dapat diklasifikasikan sebagai sebuah sukses atau sebuah gagal 3. probabilitas sebuah sukses, disimbolkan dengan p, tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lainnya 4. ulangan percobaan adalah independen
Contoh Proses Bernoulli Sebuah kartu diambil dari tumpukannya. Hal ini dilakukan tiga kali tanpa pengembalian. Jika muncul warna merah maka percobaan tersebut diklasifikasikan sebagai sukses dan jika muncul warna hitam maka percobaan tersebut diklasifikasikan sebagai gagal. Apakah proses ini mengikuti proses Bernoulli?
3
Distribusi Binomial Sebuah percobaan Bernoulli dapat menghasilkan outcome sukses dengan probabilitas p dan outcome gagal dengan probabilitas q= 1- p. Maka distribusi probabilitas dari variabel random binomial X, jumlah sukses dalam n percobaan independen, adalah: ⎛ n ⎞ x n −x b(x; n, p) = ⎜⎜ x ⎟⎟ p q , x = 0,1,2, …, n ⎝ ⎠
Contoh Distribusi Binomial Diketahui proporsi pria Indonesia dewasa yang merokok adalah 0,4. Jika diambil sampel 5 pria secara acak, berapa probabilitas tiga orang di antaranya merokok? Berapa probabilitas kelimanya merokok?
4
Teorema Rataan dan Variansi Distribusi Binomial Mean dan variansi dari distribusi binomial adalah b(x; n, p) µ = np dan σ2 = npq
Distribusi Multinomial
Eksperimen binomial akan menjadi eksperimen multinomial jika pada tiap percobaan ada lebih dari dua jenis outcome yang mungkin muncul. Jika sebuah percobaan dapat menghasilkan outcome E1, E2, …, Ek dengan probabilitas masing-masing p1, p2, …,pk, maka distribusi probabilitas dari variabel random X1, X2, …, Xk yang menggambarkan jumlah kemunculan outcome E1, E2, …, Ek dalam n percobaan independen adalah:
5
Distribusi Multinomial n ⎞ x1 x 2 ⎟⎟ p1 p 2 ...p kx k ⎝ x 1, x 2, … , x k ⎠ ⎛
f(x1,x2,…,xk; p1,p2,…,pk,n) = ⎜⎜ dengan k
∑xi = n i =1
k
pi ∑ i
=1
=1
Distribusi Binomial Negatif Jika ulangan suatu percobaan independen dapat menghasilkan outcome sukses dengan probabilitas p dan outcome gagal dengan probabilitas q = 1− p, maka distribusi probabilitas variabel random X yaitu jumlah percobaan yang dibutuhkan sampai sukses ke-k terjadi adalah
⎛ x − 1 ⎞ k x −k b*(x; k, p) = ⎜⎜ ⎟⎟ p q , x = k, k + 1, k + 2, … ⎝ k − 1⎠
6
Distribusi Binomial Negatif (Contoh ) Seseorang maksimum mengikuti tiga kali ujian SIM dalam satu bulan. Jika probabilitas seseorang lulus dalam sebuah ujian SIM adalah 0.4, tentukan probabilitas seseorang baru lulus pada percobaan terakhirnya!
Distribusi geometri Jika ulangan suatu percobaan independen dapat menghasilkan outcome sukses dengan probabilitas p dan outcome gagal dengan probabilitas q = 1− p, maka distribusi probabilitas variabel random X yaitu jumlah percobaan yang dibutuhkan sampai sukses pertama terjadi adalah:
g(x; p) = pqx-1,
x= 1,2,3,…
7
Contoh Distribusi Geometri Berapa probabilitas munculnya angka enam pada pelemparan sebuah dadu pertama kali terjadi pada pelemparan yang keenam?
Rataan dan Variansi Distribusi Geometri Mean dan variansi dari sebuah variabel random yang mengikuti distribusi geometri adalah:
µ=
1
p
σ2 =
1−p
p2
8
