BAB IV. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
A. Variabel random diskrit. Variabel random diskrit X adalah : Cara memberi nilai angka pada setiap elemen ruang sampel X(a) : Ukuran karakteristik tertentu dari setiap elemen a pada suatu ruang sampel. Distribusi Probabilitas variabel random diskrit. Tabel, grafik atau formula/rumus yang menunjukkan nilai probabilitas p(X) yang berasosiasi dengan setiap nilai yang mungkin dari X. Contoh 1: Satu buah koin yang seimbang dilempar 2 kali, jika X adalah yang muncul angka, carilah distribusi probabilitas dari X
Jawab : Kejadian Sederhana (Ei)
Deskripsi
Jumlah angka yang muncul
Notasi matematika
P(Ei)
E1
AG
1
X=1
¼
E2
AA
2
X=2
¼
E3
GA
1
X=1
¼
E4
GG
0
X=0
¼
Berdasarkan pada tabel tersebut : P(X=1) = P(E1) + P(E3) = ¼ + ¼ = ½ P(X=0) = P(E4) = ¼ P(X=2) = P(E2) = ¼
Distribusi Probabilitas Diskrit untuk X jumlah angka yang muncul Nilai X P(X) 0≤ p(X) ≤ 1 0 1/4 ∑ p(X) = 1 1 1/2
Untuk semua X
2
1/4 ∑ P(X) = 1
B. Harga harapan/Expected Value/Mean Jika x adalah variabel random diskrit dengan probabilitas p(x) maka mean atau expected value dari x adalah : µ = E(x) = ∑ x p(x) untuk semua x.
C. Variansi dan standard deviasi Jika x adalah variabel random diskrit dengan probabilitas p(x) maka variansi dari x adalah : σ2 = E[(x-µ)2 ]= E(x2)- µ2 Dan standar deviasi dari x adalah akar kuadrat dari variansinya : σ = √σ2 Contoh dari soal 1. µ = E(x) = ∑ x p(x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = 1 σ2 = E[(x-µ)2 ]= E(x2)- µ2 = (0-1)2 (¼) + (1-1)2 (½)+ (2-1)2 (¼) =½ σ = √σ2 = √ ½ = 0,707
D. Bernoulii trials Beberapa kejadian dalam probabilitas diskrit menganut kejadian bernoulli yaitu kejadian dengan karakteristik: 1. Setiap trials menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin yang dinamakan sukses (S) dan gagal (T) 2. Setiap trial, probabilitas sukses p(S) adalah sama dan ditulis p=p(S). Probabilitas tidak sukses atau gagal adalah p(T)=1-p(S) dan ditulis q maka p+q=1 3. Trial-trial itu independen satu dengan yang lainnya, probabilitas akan sukses suatu trial tidak berubah meskipun diperoleh informasi tentang trial lain
Contoh kejadian Bernoulii : 1. Pelemparan uang logam yang seimbang : p=q=1/2 2. Pengambilan sampel dengan pengembalian 3. Pengambilan sampel tanpa pengembalian tetapi jumlah sampel sangat kecil dibanding jumlah populasi. 4. Pengambilan sampel hasil produksi sehingga dapat dikategorikan hasilnya sebagai baik atau rusak. Contoh 2 : Probabilitas seorang ibu akan melahirkan laki-laki adalah 0,45 maka berapakah probabilitas bahwa anak yang ketiga laki-laki ? P(LLL U LPL U PLL U PPL) = P(LLL) + P(LPL) + P(PLL)+P( PPL) = [P(LL) + P(LP) + P(PL)+P( PP)]P(L) = 1. P(L) = 1. 0,45 = 0,45.
I. Distribusi Probabilitas Diskrit Binomial Karakteristik : 1. Ekperimen terdiri dari n ualngan kejadian bernoulii yang identik. 2. Setiap trial mempunyai dua kemungkinan hasil S untuk Sukses dan T untuk gagal 3. P(S) = p dan P(T)=q tetap untuk setiap trial dengan p+q=1 4. Tiap trial independen 5. Variabel random binomial x adalah jumlah sukses dalam n trial.
Distribusi Probabilitas untuk variabel random Binomial adalah :
n p( x) = x
x
pq
n− x
Dengan x = 0,1,2,3… n p = probabilitas sukses q = 1-p n = jumlah trial x = jumlah sukses dalam n trial
n n! x = x!(n − x)!
Untuk n besar perhitungan rumit sudah ada dalam tabel ada dalam tabel : n P( x ≤ c) = ∑ x =0 x c
p (1− p) x
n− x
Untuk peristiwa lainnya ditranfer dalam bentuk : P(x=a)=P(x≤a) – P(x≤(a-1)) P(a≤x≤b) = P(x≤b) – P[(x≤(a-1)] P(x>c) = 1 – P(x≤c).
II. Distribusi Probabilitas Hipergeometrik Karakteristik : 1. Sampel random sebanyak n elemen diambil dengan tanpa pengembalian dari populasi N elemen dimana : – a elemen dikatergorikan sukses – N – a elemen dikategorikan sebagai gagal 2. Ukuran sampel n sangat besar relatif terhadap N elemen dalam populasi yaitu jika n/N>0,05 3. Variabel random hipergeometrik x adalah jumlah sukses dalam n elemen 4. Distribusi probabilitas hipergeometrik : a N − a x n − x p( X = x) = N n
X = 0,1,2,3…a untuk a
Mean dan variansi untuk variable random hipergeomatrik : a µ=n N Variansi = σ = 2
a ( N − a ) ( N − n) .n. . N N ( N − 1)
(N-n)/(N-1) adalah faktor koreksi populasi terhingga untuk variansi dalam pengambilan sampel tanpa pengembalian bila n relatif sangat kecil dibanding N probabilitas sangat kecil dapat didekati dengan distribusi binomial.
III. Distribusi Poisson Karakteristik : 1. Percobaan terdiri dari sejumlah bagian kejadian yang terjadi dalam satu satuan waktu atau luasan atau volume tertentu atau satuan lainnya seperti jarak, berat dan lain-lain. 2. Probabilitas kejadian dalam unit waktu atau luasan atau volume tertentu adalah sama 3. Jumlah kejadian dalam unit waktu atau luasan atau volume tertentu adalah independen. Rumus :
−λ
P( X = x) = e
λ
x!
x
X= 0,1,2,3….. λ= rata-rata jumlah kejadian dalam unit satuan tertentu e= 2,718
• Mean dan variansi dari distribusi poisson µ = λ dan σ2=λ=n p Tabel II. Probabilitas Poisson komulatif −λ
p( X = x) = ∑ e c
x =0
λx
x!
Distribusi probabilitas binomial jika n besar dan p sangat kecil (mendekati nol) maka dapat dikerjakan dengan pendekatan poisson.
Perbandingan karakteristik distribusi Probabilitas diskret Binomial
Hipergeometrik
Poisson
Terdiri dari n trial Jumlah trial n tidak terlalu besar
Sampel random sebanyak n diambil dari populasi N
Banyak hasil percobaab yang terjadi selama satu satuan tertentu (Waktu, luasan atau volume).
Tiap ulangan trial selalu menghasilkan 2 kemungkinan yaitu sukses atau gagal
Pengambilan sampel tanpa pengembalian
Jika n besar maka p sangat kecil atau mendekati nol.
Percobaan
Probabilitas sukses tiap Sebanyak a elemen dari N trial adalah sama dikategorikan sebagai Probabilitas p cukup besar sukses dan (N-a) sebagai gagal Tiap trial independen
Nilai tengah atau rata-rata sama dengan nilai variansinya.
Tugas : dikumpulkan paling lambat 8 Nopember 2103 1. Sebuah kotak memuat 20 apel dan terdapat 4 buah yang telah rusak. Jika seorang komsumen membeli 5 buah apel dan mengambil secara random, hitunglah probabilitas : a. Apel yang terambil 2 buah rusak b. Lebih dari 2 apel yang telah rusak. 2. Hasil pengujian pelabelan saus menunjukkan bahwa 20% pelabelan gagal. Jika diambil 4 buah sampel botol secara random, berapakah probabilitas 3 dari 4 botol tersebut tidak berlabel. 3. Hasil pengujian pelabelan kemasan kaleng menunjukkan bahwa 0,02 pelabelan gagal. Jika diambil 50 buah sampel kaleng secara random, berapakah probabilitas : a. Satu buah kaleng tak berlabel b. Tiga atau kurang kaleng yang tidak berlabel.
