Probabilitas dan Statistika Distribusi Peluang Diskrit 1. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika “Distribusi Peluang Diskrit 1”

Adam Hendra Brata

Distribusi Peluang Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Peluang  Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masing-masing, dan peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang disebut dengan distribusi  Distribusi peluang untuk suatu variabel acak menggambarkan bagaimana peluang terdistribusi untuk setiap nilai variabel acak  Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu fungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak

Distribusi Peluang Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Peluang  Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel acaknya  Jika variabel acaknya variabel diskrit, maka distribusi peluangnya adalah distribusi peluang diskrit, sedangkan jika variabel acaknya variabel yang kontinu, maka distribusi peluangnya adalah distribusi kontinu

Distribusi Uniform Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Uniform  Distribusi seragam (uniform distribution) diskrit adalah probabilitas distribusi diskrit yang paling sederhana  Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama  Bila variabel acak X mengambil nilai-nilai x1, x2, … , xk dengan probabilitas yang sama, maka probabilitas distribusi diskrit diberikan oleh :

1 f ( x; k )  , k

x  x1 , x2 ,, xk

Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x

Distribusi Uniform Contoh Soal Dalam suatu percobaan, jika sebuah dadu dilempar sebanyak 6 kali, maka setiap elemen dari ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6} memiliki nilai peluang yang sama yaitu 1/6, karena kesamaan semua nilai peluang ini, kita dapat menyebut bahwa percobaan tersebut berdistribusi seragam (Uniform)

Hitunglah nilai Mean dan Variansinya !

1 f ( x; k )  , k

x  x1 , x2 ,, xk

1 f ( x;6)  , x  1, 2, 3, 4, 5, 6 6

Distribusi Uniform Contoh Soal k

Mean :

1 k   E[ X ]   f ( xi ; k ) xi   xi k i 1 i 1 k

k 1 Varians :   E[( X   ) ]   f ( xi ; k )( xi   )   ( xi   ) 2 k i 1 i 1 2

2

2

1 2  3  4  5  6   3.5 6 2 2 2 ( 1  3 . 5 )  ( 2  3 . 5 )  ...  ( 6  3 . 5 ) 35 2    6 12

Distribusi Bernoulli Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Bernoulli  Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2 kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya, serta probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya, maka proses ini disebut proses Bernoulli

Distribusi Bernoulli Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli  Suatu eksperimen yang hasilnya selalu diklasifikasikan sebagai S (sukses) dan G (gagal) saja dengan P(S)=p dan P(G)=q=1-p, jika X adalah variabel acak yang menyatakan sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas sebagai berikut :

Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Mean

:

Varians :

Distribusi Bernoulli Contoh Soal Pada ujian pilihan ganda (4 pilihan), maka Peluang memilih mendapat jawaban benar adalah P(S)=1/4. Sedangkan, Peluang untuk mendapat jawaban salah adalah P(G)=3/4. Hitunglah nilai Mean dan Variansinya !

µ = E(Xj) = p = 1/4 σ2 = V(Xj) = p(1-p) = (1/4)(3/4) = 3/16

Distribusi Bernoulli Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Bernoulli  Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah : - Distribusi binomial - Distribusi geometrik - Distribusi hipergeometrik

Distribusi Binomial Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Binomial  Distribusi binomial merupakan salah satu contoh proses Bernoulli  Pada proses Bernoulli, suatu eksperimen sering terdiri dari beberapa usaha yang berulangulang, dimana tiap usaha hanya mempunyai dua kemungkinan keluaran: sukses atau gagal, kepala atau ekor, barang cacat atau barang bagus, dll

Distribusi Binomial Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Binomial  Fungsi distribusi probabilitas f(x) yang menyatakan dari n kali eksperimen (pengambilan) yang independen mengandung x buah yang sukses adalah :

 n  x n x b( x; n, p)    p q  x Dengan x = 0,1,2, …., n n   adalah notasi kombinasi untuk C(n, x)  x

Distribusi Binomial Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Binomial  Ciri – ciri distribusi Binomial  Eksperimen terdiri dari n kali pengulangan  tiap kali pengulangan hanya mempunyai dua kemungkinan keluaran: “sukses” atau ”gagal”, dll  Probabilitas “sukses” di tiap percobaan, p, besarnya tetap dari satu percobaan ke berikutnya  Satu percobaan dengan yg berikutnya bersifat independen

Distribusi Binomial Contoh Soal 3 barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik, diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Misalkan yang cacat disebut cacat dan banyaknya kesuksesan merupakan perubah acak X dengan nilai 0 sampai 3 Hasil TTT TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC

X 0 1 1 1 2 2 2 3

C=cacat ; T=tidak cacat (baik) Karena barang diambil secara acak, dan misalkan dianggap menghasilkan 25% barang cacat, maka

P(TCT)  P(T)P(C)P(T)  ( 3 )( 1 )( 3 )  9 4 4 4

64

Probabilitas untuk hasil kemungkinan yang lain dilakukan dengan cara yang sama

Distribusi Binomial Contoh Soal

Dengan persamaan Binomial Distribusi perubah acak X dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n) Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat

P(X  2)  f( 2)  b( 2; 3, 1 )  9

4 64 Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan probabilitas x sukses dalam n usaha suatu percobaan binomial b(x;n,p)

 n  x n x b(x;n,p)    p q ;x  0,1, 2,....,n n x   b(x;n,p)  1  3   x 3 x 1 b(x; 3, )    p q ;x  0,1, 2, 3 x  0 4 x

Distribusi Binomial Distribusi Peluang

Distribusi Binomial  Mean / Nilai Harapan (Ekspektasi) dan Variansi dari distribusi binominal :

Distribusi Uniform

E ( x)  np

Distribusi Bernoulli



Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

2 x

 np (1  p )  npq

Distribusi Binomial Contoh Soal Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika dijatuhkan adalah 3/4. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 komponen yang dijatuhkan akan tidak rusak ?

Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika dijatuhkan adalah 3/4. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 komponen yg dijatuhkan akan tidak rusak ? 3  n  x n x  4  3 2 1 42 4! 9 1 27 b( x  2; n  4, p  )    p q   ( ) ( )   4  x 2!(4  2)! 16 16 128  2 4 4

Distribusi Binomial Latihan Soal 1. 90% produk yang dihasilkan sebuah perusahaan berkualitas baik. Kepala bagian produksi mengambil 5 produk, berapa probabilitas bahwa sebuah produk tidak berkualitas baik ? 2. Peluang telur tidak menetas adalah 0,2 dan jika terdapat 5 telur, tentukan peluang dari : a. jika semua telur menetas b. minimal 4 telur menetas

Distribusi Multinomial Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Multinomial  Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial jika tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin  Misalnya hasil produksi pabrik dapat dikelompokan menjadi barang baik, cacat, dan masih bisa diperbaiki

Distribusi Multinomial Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

Distribusi Multinomial  Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam hasil E1,E2,....,Ek  Dengan probabilitasnya p1,p2,....,pk maka distribusi perubah acak X1, X2,...., Xk yang menyatakan banyaknya kejadian E1,E2,....,Ek Dalam n-usaha bebas adalah n   x1 x 2 xk f(x1,x 2,...,xk;p1,p2,...,pk ,n)   p1 p 2 ...p  k  x1,x 2,...,xk 

k

Dengan

 xi  n

i1

k

dan

 pi  1

i1

Distribusi Multinomial Contoh Soal Dua buah dadu dilempar 6 kali, berapa probabilitas akan mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kombinasi lainnya 3 kali ?

Terimakasih dan Semoga Bermanfaat v^^