Probabilitas dan Statistika Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Lanjut. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika “Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Lanjut”

Adam Hendra Brata

Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu

Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu  Untuk variabel random kontinyu, analog dengan kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas bersama f(x,y) didefinisikan sebagai : 1. f(x,y) ≥0 untuk seluruh x dan y 2. Total integral di seluruh area =1  

  f ( x, y)dxdy  1

  

Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

3. Probabilitas nilai X=x dan Y=y di dalam area tertentu diberikan oleh hasil integral f(x,y) dengan (x,y) dalam area termaksud P[( X , Y )  A]    f ( x, y )dxdy A

Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu

Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu  Untuk variabel random kontinyu, analog dengan kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas bersama f(x,y) didefinisikan sebagai : 1. f(x,y) ≥0 untuk seluruh x dan y 2. Total integral di seluruh area =1  

  f ( x, y)dxdy  1

  


3. Probabilitas nilai X=x dan Y=y di dalam area tertentu diberikan oleh hasil integral f(x,y) dengan (x,y) dalam area termaksud P[( X , Y )  A]    f ( x, y )dxdy A

Contoh Soal Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Sebuah perusahaan coklat mendistribusikan kotak-kotak cokelat yang berisi isian jenis: krim, kopi dan kacang. Terdapat dua tipe cokelatnya yaitu : coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak 1 kotak, dan variabel random X dan Y menyatakan persentase dari coklat putih dan gelap yang berisi krim, dengan fungsi rapat probabilitas bersamanya :

2  (2 x  3 y ) 0  x  1,0  y  1 f ( x, y )   5  0, lainnya  a. Periksalah apakah integral f(x,y) di seluruh daerah = 1 b. Carilah probabilitas untuk 0<x<1/2 dan ¼
Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu a. Integral di seluruh wilayah x,y :  

1 1

2  f ( x, y)dxdy 0 0 5 (2 x  3 y)dxdy 1 b. P(0<X<1/2,1/4


1/ 4 0

1/ 21/ 2

2 f ( x, y)dxdy    (2 x  3 y )dxdy 13 / 160 5 1/ 4 0

Distribusi Peluang Marginal Kontinyu Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Distribusi Peluang Marginal Kontinyu Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Distribusi Peluang Marginal Kontinyu  Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat Fx1 (x1) dan fx(x1) dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada seluruh rentang variabel random pasangannya (x2) dikenal sebagai distribusi marginal kontinyu

Distribusi Peluang Marginal Kontinyu Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Distribusi Peluang Marginal Kontinyu

Distribusi Peluang Marginal Kontinyu  Misalkan f(x,y) fungsi kerapatan peluang bersama dari X dan Y  Perhatikanlah peristiwa a<X
𝑃 𝑎<𝑥<𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 , −∞ < 𝑌 < ∞

Fungsi Rapat Peluang 

Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Akan tetapi, b 

𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 , −∞ < 𝑌 < ∞ =

  f x, y dydx a 

x, y kontinu


Distribusi Peluang Marginal Kontinyu  Oleh karena itu kita peroleh : b

𝑃 𝑎<𝑥<𝑏 =

1

x kontinyu

a



Dimana : 

𝑓1 𝑥 =


 f x dx

 f x, y dy

x, y kontinyu





Dan selanjutnya 𝑓1 𝑥 kita sebut sebagai fungsi marginal dari x karena jelas bahwa 𝑓1 𝑥 adalah fungsi kerapatan peluang dari x saja


Distribusi Peluang Marginal Kontinyu  Analog dengan 𝑓1 𝑥 , maka 𝑓2 𝑦 adalah : 

𝑃 -∞ < y < ∞ =

2

y kontinyu





Dimana : 

𝑓2 𝑦 =


 f  y dy

 f x, y dx

x, y kontinyu





Dan selanjutnya 𝑓2 𝑦 kita sebut sebagai fungsi marginal dari y

Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu

Distribusi Peluang Marginal Kontinyu Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu

Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu  Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat 𝐹𝑥1 (𝑥1 ) dan 𝑓𝑥(𝑥1 ) dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada sebagian rentang variabel random pasangannya (𝑥2 ) dikenal sebagai kemungkinan distribusi bersyarat  Misalkan 𝑓 𝑥 , 𝑦 , 𝑓1 𝑥 , dan 𝑓2 𝑦 masingmasing fungsi kerapatan peluang.bersama dari X dan Y, fungsi kerapatan peluang marginal dari X, dan fungsi kerapatan peluang marginal dari Y. Misalkan a dan b dua bilangan real sembarang


Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu  Jika :

𝐴= 𝐵= 

Maka



Akan tetapi 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝑌 = 𝑏 𝑋 = 𝑎 . Karena a dan b sembarang. Kita temukan bahwa peluang bersyarat dari Y diketahui X = x, adalah


𝑥, 𝑦 𝑥 = 𝑎, −∞ < 𝑦 < ∞ 𝑥, 𝑦 −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 = 𝑏

P A  B  P X  a, Y  b  f a, b    𝑃 𝐵𝐴 = P A P X  a  f1 a 

f ( x, y ) f1 ( x)

dengan

f1 ( x)  0


Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu  Bila harga x ditetapkan, maka peluang tersebut merupakan fungsi dari y. Jelas fungsi itu merupakan suatu fungsi kerapatan peluang, sebab :

f ( x, y ) 0 f 1 ( x)


 y



f 1 ( x) f ( x, y ) 1  f ( x, y)  1  f 1 ( x) f 1 ( x) y f 1 ( x)

Fungsi kerapatan peluang tersebut selanjutnya diberi lambang 𝑓 𝑦 𝑥



Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu  Dengan 𝑓1 (𝑥) adalah distribusi marginal untuk X saja, yaitu distribusi probabilitas 𝑓(𝑥, 𝑦) yang dijumlahkan terhadap seluruh nilai y : 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑓1 (𝑥) = 𝑦



Fungsi kerapatan peluang 𝑓 𝑦 𝑥 ini dinamakan fungsi kerapatan peluang bersyarat dari Y jika diketahui nilai X = x



Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu  Secara analog fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X diketahui Y = y atau 𝑓2 (𝑦) adalah distribusi marginal untuk 𝑌 saja, yaitu distribusi probabilitas 𝑓(𝑥, 𝑦) yang dijumlahkan terhadap seluruh nilai 𝑥, maka : 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑓2 (𝑦) = 𝑥



Sifat Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu  Dalam hal X dan Y kontinu, maka : b

a. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 𝑌 = 𝑦 =

 f x y dx a

adalah peluang bersyarat dari 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 jika diketahui Y = y - catatan : ruas kiri biasa ditulis 𝑃 𝑎<𝑋≤𝑏𝑦 d

b. 𝑃 𝑐 < 𝑌 ≤ 𝑑 𝑋 = 𝑥 =

 f y x dy c

adalah peluang bersyarat dari 𝑐 < 𝑌 ≤ 𝑑 jika diketahui X = x

Contoh Soal Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X dan Y, dengan X adalah perubahan temperatur dan Y adalah persentase pergeseran spektrum dari suatu atom diberikan oleh :

10 xy 2 f ( x, y )    0

0  x  y 1 lainnya

a. Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g(x) dan h(y) b. Carilah fungsi rapat probabilitas bersyarat f(y|x) c. Carilah probabilitasnya bahwa spektrum akan bergeser lebih dari 50% dari seluruh pengamatan, jika temperatur dinaikkan 0.25 unit

Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu a. Fungsi Rapat Probabilitas Marginal : 

h( y ) 



y

 

g ( x) 





f ( x, y)dx   10 xy 2 dx  5 x 2 y 2 ,

0  y 1

0 1

f ( x, y )dy   10 xy 2 dy  x

10 x(1  x 3 ), 3

0  x 1

b. Fungsi probabilitas bersyarat f(y|x) f ( x, y ) 10 xy 2 3y2 f ( y | x)    3 10 g ( x) 1  x 3 x(1  x ) 3

0  x  y 1

Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu c. Probabilitas spektrum akan bergeser > 50% dari seluruh pengamatan, jika temperatur dinaikkan 0,25 unit, maka kasus ini dapat dianggap dengan P (y>0,5|x=0,25) 1

1

3y2 8 P( y  0.5 | x  0.25)   f ( y | x  0.25)dy   dy  3 1  0 . 25 9 0.5 0.5

Tugas 7 •

• •

Mengerjakan soal – soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu Mengerjakan soal – soal tersebut dengan cara menghitung dan ditulis di kertas Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya (Rabu minggu depan)

Tugas 7 1. Hasil pengukuran arus listrik pada suatu generator telekomunikasi nirkabel merupakan distribusi probabilitas acak kontinyu dengan fungsi kerapatan : 0,075𝑥 + 0,2

3≤𝑥≤5

𝑓(𝑥) 0 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 a. Apakah total luas dari fungsi tersebut = 1 ? b. Hitung P(3,5 < X < 4,5) !

Tugas 7 2. Jika ada data fungsi kerapatan peluang sebagai berikut :

x(1  3y 2 ) f(x, y)  ; 4 0

0 x  2

0  y 1 ; x, y yang lainnya

a. Apakah f(x,y) memenuhi syarat fungsi rapat peluang ? b. Hitung P((x,y), 0 < x <1 ; 0 < y < 1) !

Tugas 7 3. Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X dan Y, dengan X adalah perubahan amplitudo dan Y adalah persentase pergeseran frekuensi dari sebuah gelombang adalah sebagai berikut :

3 x 2  2 y 3 f ( x, y )   0 

0  x  y 1 lainnya

a. Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g(x) dan h(y) b. Carilah fungsi rapat probabilitas bersyarat f(y|x) c. Carilah probabilitasnya bahwa frekuensi akan bergeser lebih dari 70% dari seluruh pengamatan, jika amplitudo dinaikkan 0,5 unit

Sekilas Info •

•

• •

Diberitahukan pada semua mahasiswa di kelas ini, minggu depan kita akan adakan Quiz 3 Ruang Lingkup Quiz 3 - Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit - Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Sifat Quiz Close Book, tetapi Diperbolehkan membawa 1 “lembar harapan” Quiz akan diadakan pada hari Rabu, 1 April 2015 Selamat belajar v^^

Terimakasih dan Semoga Bermanfaat v^^

Probabilitas dan Statistika Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Lanjut. Adam Hendra Brata

Recommend Documents