Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana
10 MODUL 10
STATISTIKA DAN PROBABILITAS 10.1
MATERI KULIAH :
Pengertian umum distribusi normal.
10.2
POKOK BAHASAN :
Pengertian tentang distribusi - F Oleh Ir. Nunung Widyaningsih,Pg.Dip.(Eng)
10.3
DISTRIBUSI F-TEST
10.3.1 Uraian dan Contoh 10.3.2 Definisi
Distribusi – F mempunyai bentuk seperti: (υ1 − 2 )
2 F Prob( F ) = c (υ 2 + υ1 F )(υ1 +υ2 )/ 2
Dimana: C
: constant normalisasi
υ1
: “numerator degree of freedom”, dapat digunakan pada X
υ2
: “denominator degree of freedom”, dapat digunakan pada Y
Statistika dan Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 10
2
10.3.2.2. Parameter-parameter distribusi F antara lain terdiri dari: 1. F 〈 0 2. Median = 1.0 (mean ν1.0) 3. Mendekati normal distribusi dengan 2 degree of freedom υ1 (numerator) dan υ2 (denominator) υ⊄ dengan υ = 1.0 dan berkurangnya nilai varians dengan bertambah besarnya jumlah sampel. 4. Non-symetrik 5. Tidak menjadi soal bila pemilihan varians rasio seperti X banding Y atau Y banding X, keduanya adalah F – Distribusi tetapi dengan penyesuaian degree of freedomnya.
10.3.2.3 Teorema Dinyatakan dengan (υ1, υ2) dengan υ1, υ2 degree of freedom, sehingga kita dapatkan:
f (1−α ) (υ1 ,υ 2 ) =
1
fα (υ 2 ,υ1 )
Contoh: Dari Tabel diberikan fα hanya pada α = 0.025 danα = 0.05
f(0.095) (6,10) =
1 1 = = 0.246 f0.05 (10,6) 4.06
Statistika dan Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 10
3
Jika suatu sampel random adalah n1 dan n2 adalah diambil dari suatu normal distribusi dengan varians υ12 dan υ22. S12 dan S22 adalah varians dari sampel random independen, sehingga;
F=
S1
2
S2
2
σ 12 σ 22
σ 2 2 S1 2 = 2 2 σ 1 S2
Mempunyai F – Distribusi dengan υ1 = n1 – 1 dan υ2 = n2 – 1 degree of freedom.
Dimana f (α ) (υ1 ,υ 2 ) adalah suatu angka - F dengan υ1 = n1 − 1 dan υ 2 = n2 − 1 degree of freedom 2
pada area α/2 ke kanan, dan f (α ) (υ 2 ,υ1 ) adalah suatu angka - F dengan υ 2 = n2 − 1 dan υ1 = n1 − 1 2 degree of freedom.
Dengan kata lain dapat kita tuliskan kembali menjadi, Statistika dan Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 10
4
P ⎡ f (1−α )(υ1 ,υ 2 )⎤ 〈 F 〈 f (α )(υ1 ,υ 2 ) = 1 − α ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 dimana f (1−α )(υ1 ,υ 2 ) dan f (α )(υ1 ,υ 2 ) 2
2
adalah suatu distribusi – F dengan υ1 dan υ2 degree of freedom di bawah area dari 1 - α /2 dan α /2. Maka dapat dituliskan kembali pada menjadi,
σ S P ⎡ f (1−α ) (υ1 ,υ 2 )⎤ 〈 22 1 2 〈 f (α ) (υ1 ,υ 2 ) = 1 − α ⎢⎣ ⎥⎦ σ S 2 2 1 2 2
2
Dengan mengalikan tiap bagian dengan S22/ S12 maka kita dapatkan,
⎡S 2 ⎤ σ 1 2 S1 2 1 1 1 ⎢ ⎥ = 1−α 〈 〈 P ⎢ S 2 2 f (α ) (υ1 ,υ 2 ) σ 2 2 S 2 2 f1− (α ) (υ1 ,υ 2 ) ⎥ 2 2 ⎣ ⎦
1 Dengan menggantikan f (1−α ) (υ1 ,υ 2 ) dengan 2 f α / 2 (υ 2 ,υ1 ) maka,
⎡S 2 ⎤ σ 2 S2 1 〈 1 2 〈 1 2 f (α ) (υ 2 ,υ1 )⎥ = 1 − α P⎢ 1 2 2 ⎢ S 2 f (α ) (υ1 ,υ 2 ) σ 2 S 2 ⎥ 2 ⎣ ⎦
Jika S12 dan S22 adalah varians dari suatu sampel independen n12 dan n22 dari populasi normal, sehingga (1 -α)100% confidence interval untuk S 12/ S 22 adalah,
Statistika dan Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 10
5
S1
2
S2
2
1
f (α ) (υ1 ,υ 2 ) 2
〈
σ 1 2 S1 2 〈 f α (υ 2 ,υ1 ) σ 22 S22 ( 2)
Contoh: Kita memiliki data adalah sebagai berikut; n1 = 15, n2 = 12, S1=3.07, S2=0.80. Dengan 98% confidence interval, α = 0.02.
Dengan interpolasi ke Tabel – F didapat;
f 0.01 (14,11) ≈ 4.3 dan f 0.01 (11,14 ) ≈ 3.87
3 . 07 0 . 80
2 2
3 . 07 ⎛ 1 ⎞ σ1 〈 ⎜ ⎟〈 2 0 . 80 ⎝ 4 . 30 ⎠ σ 2 2
2 2
( 3 . 87 )
σ 12 3 . 425 〈 〈 56 . 991 σ 22 Sehingga, pada 98% confidence interval untuk S 12/ S 22 adalah sebagai berikut;
⎡S 2 ⎤ σ 1 2 S1 2 1 1 ⎢ 〈 〈 f α (υ 2 , υ 1 )⎥ = 1 − α P ⎢ S 2 2 f (α ) (υ 1 , υ 2 ) σ 2 2 S 2 2 ( 2 ) ⎥ 2 ⎣ ⎦
Sehingga untuk 98% confidence interval pada S 1/ S 2 adalah;
1.851〈
σ 12 〈 7.549 σ 22
Catatan: Untuk sampel n1 dan n2 dimana S12 dan S22 adalah varians untuk 2 sampel dengan υ1 = n1 – 1 dan υ2 = n2 – 1 degree of freedom. Bidang kritis dari α bila hubungannya dengan one-sided alternatives ( alternatif dr satu sisi) dimana bila; Statistika dan Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 10
6
σ 1 2 〈σ 2 2 maka f 〈 f (1−α ) (υ 1 − υ 2 ) σ 1 2 〉 σ 2 2 maka f 〉 f α (υ 1 − υ 2 )
Bila two-sided alternatives (alternatif dua sisi) untuk; S22/ S12maka bidang kritisnya adalah;
f 〈 f (1−α / 2 ) (υ1 − υ 2 ) dan f 〉 f α / 2 (υ1 − υ 2 )
one-sided alternatives ( alternatif dr satu sisi)
Statistika dan Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 10
7
two-sided alternatives (alternatif dua sisi)
(1-α)
/2
fα / 2 (υ1 − υ 2 )
10.4
f (1−α / 2 ) (υ1 − υ 2 )
Latihan
Petunjuk: Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan seksama.
1. Suatu data diambil dari hasil penyelidikan dimana 2 merek detector dibandingkan. 7 pengukuran dilakukan dengan merek detector A, dan 6 pengukuran dilakukan untuk detector B. Diperoleh data sebagai berikut;
Merek A
0.95
0.96
0.82
0.78
0.71
0.86
Merek B
0.89
0.91
0.94
0.91
0.90
0.89
0.099
Dengan model distribusi normal, bandingkan Statistika dan Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 10
8
a) Variansi hasil pengukuran pada kedua merek tersebut dengan interval konfidensi (confidence interval) 90%. b) Hitung rata-rata hasil pengukuran pada merek tersebut dengan α = 0.10 (anggaplah S22/ S12 ). 2. Suatu perusahaan elektronik melakukan uji coba hipotesis dua macam kualitas hasil produksi. Untuk itu diaadakan percobaan-percobaan, dan diperoleh hasil-hasil sebagai berikut: 10 produk kualitas A mempunyai ketahanan hidup rata-rata 2600 jam dengan deviasi stadard 300 jam. 15 produk kualitas B mempuyai ketahanan hidup rata-rata 2400 jam dengan deviasi stadard 250 jam. Berdasarkan hasil percobaan diatas, apakah kita percaya bahwa kedua kualitas tersebut berbeda ketahanan hidupnya? (dianggap distribusi kedua adalah populasi normal dengan varians yg sama).
3. Seorang dokter menyelidiki apakah cara pengobatan tertentu menyebabkan pasien kehilangan tidur. Dengan menggunakan suatu sampel dengan 10 orang pasien, a) dicatat banyaknya tidur (dalam jam) untuk satu minggu sebelum pengobatan, dan b) untuk satu minggu setelah pengobatan. Berdasarkan data berikut, ujilah hipotesis bahwa pengobatan tidak mengurangi tidur seseorang, dengan alternatif interval konfidensinya 0.05.
Pasien
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sebelum
51
48
58
44
61
55
59
50
48
52
Sesudah
47
46
60
45
54
49
52
47
50
50
Statistika dan Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 10
