1
2
PROBABILITAS A. PENGERTIAN PROBABILITAS Probabilitas atau Peluang adalah : derajat tau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistic. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P Untuk membantu pemahaman konsep dasar probabilitas terlebih dahulu harus memahami analisis kombinatorial, yaitu analisis bilangan factorial,permutasi dan kombinasi. Secar umum probabilitas dapat dipahami sebagai suatu nilai dari 0 s/d 1 yang mennjukkan seberapa besar terjadinya suatu peristiwa, suatu kejadian (event), adalah sekumpulan atau lebih dari hasil-hasil yang mungkin pada suatu eksprimen. Adapun hasil (out come) adalah sekumpulan data yang merupakan seluruh hasil dari eksprimen. Sedangkan eksprimen sendiri menjelaskan suatu proses yang dilakukan untuk mendapat hasil-hasil yang diamati lebih jauh. Sebagai contoh, proses pelemparan dadu untuk mendapatkan hasil adalah merupakan suatu eksprimen, sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah keseluruhan hasil (out comes) yang mungkin terjadi. Kumpulan angka genap (2, 4, 6) atau kumpulan angka ganjil (1, 3, 5) adalah kejadian (event). Rumus peluang: P ( A) =
n( A) m = n( S ) n
B. TUJUAN DAN KEGUNAANYA : Tujuanya : dengan adanya tujuan probabilitas, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan peranan statistic dalam mengambil keputusan. 2. membedakan pengertian deskriptif dengan inferensia. 3. dapat menyajikan data dalam bentuk tabel dan grafik. 4. memudahkan mahasiswa dalam mengolah data.
3
Kegunaanya : Dengan adanya statistic probabilitas atau peluang kita dapat memperkirakan kejadiaan-kajadiaan yang akan muncul.Banyak kejadian dalam kehidupan sehati-hari yang slit diketahui dengan pasti, apalagi kejadian dimasa yang akan datang misalnya, Apakah nanti malam akan turun hujan? Meskipun kejadiaan tersebut tidak pasti,tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Bila ada mendung dan langit semakin gelap, maka itu menjadi tanda-tanda bahwa hujan akan turun. C. BAG IAN - BAG IAN PROBABILITAS 1.BILANGAN FAKTORIAL Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan factorial ditulis dengan n! dan di defenisikan sebagai berikut: Rumus: n!= n (n-1) (n-2)..3.2.1 O! = 1dan 1! = 1 2. PERMUTASI Susunan- susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambilseluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut yang ditulis dengan p
Rumus =
n Pr =
n! ( n −r )!
Beberapa jenis permutasi a. permutasi melingkar ( keliling) suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar.
4
Rumus ; banyaknya permutasi = (n-1)! b. permutasi dari sebagian anggota yang sama jenisnya. Bila kita mempunyai himpunan yang terdiri atas
n anggota, maka ada
kemunhkinan sebagian dari anggotanya mempunyai jenis yang sama. n!
Rumus : n1, n 2, n3..... nk
=
n! n1!, n 2!, n3!.... nk !
3. KOMBINASI Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari aanggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut. N
N
RUMUS : nCr= R = R!( N − R )! = N ! KONSEP DASAR PROBABILITAS 1. pengantar menuju pemahaman konsep probabilitas Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui debngan pasti apalagi kejadian dimasa yang akan dating, misalnya sebagai berikut ; 1. apakah nanti malam akan dating hujan. 2. apakah pesawwat garuda akan berangkat tepat waktu. Begitu juga dalam percobaan statistic,kita tidak bias mengetahui dengan pasti hasilhasil yang akan muncul misalnya: Pada melemparan sebuah uang logam kita tidak tau dengan pasti hasilnya.apakah yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam itu.
5
2. perumusan probabilitas a. perumusan klasik bila kejadiian E terjsdi dalam n cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuik muncul,maka probabilitas kejadian E yang ditulis P(E) dirumuskan sebagai berikut; rumus
P( E ) =
m n
b.rumusan dengan frekuensi relatife probabilitas empiris dari suatu kejadian dengan memekai frekuensi relative dari terjadinya suatu kejadian dengan syarat banyakny pengamatan atau banyaknya sampel n adalah sangat besar.
Rumus : P ( E ) =
lim f n → ∞n
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi opada suatu percobaan statistic disebut ruang sample.yang dilambanmgkan dengan himpunan S,sedangkan anggota-anggota dari S disebut titik sampel.
Rumus : P(A) = n (A)
m
n (S)
n
SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIANYA
6
Dengan pengetahuan kejadian A ruang sample S dan pelung kejadian A pada S yaitu P(A) = n ( A) = n (S)
m n
sifat 1. 0 < P(A) < 1 penjelasan sifat ini, A merupakan himpunan dari S yaitu A C S, maka banyaknya anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S yaitu n (A) ≤ n (S) sehingga 0 < n (A) < 1 atau 0 < P(A) < 1…(1) sifat 2. dalam hal A = 0 , himpunan kosong artinya A tidak terjadi pada S, maka n (A) = o, sehingga p(A) = n (A) = 0 =0 n (S) sifat 3 = dalam hal A = S maksimum banyaknya anggota A sama dengan banyakny anggota S, maka n (A) = n (S) = n sehingga p(A) = n (A) = n = 1 n (S)
n
bila hasil (1), (2) dan (3) digabunmg maka diperoleh sifat 0 ≤ P(A) < 1 dalam hal P(A) = 0, dikatajkan A kejadian yang mustahil terjadi dan dalam hal P(A) = 1 dikatakan A kejadian yang pasti terjadi. PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK A U B DAN A ∩ B Probabilitas kejadian A U B dirumuskan sebagai berikut : P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) Penjelasan lahirnya rumus diatas kita telah tahu bahwa : n(A U B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) bila dua ruas persamaan dibagi dengan n (S) maka diperoleh: n (A U B) = n (A) + n(B) – n (A n(S)
n(S)
n(S)
n(S)
B)
7
sehingga diperoleh ; P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) DUA KEJADIAN SALING LEPAS Bila A dan B dua kejadian lepas maka P(A ∩ B) P( 0 ) = 0,sehingga probanbilitas kejadian A U B dirumuskan sebagai berikut: Rumus : P(A U B) = P(A) + P(B) DUA KEJADIAN SALING KOMPELEMENTER Sejalan dengan pengetahuan itu,kita mengenal dua kejadian saling komplementer A dan A′ dalam ruang sample S, A dan A′ merupakan dua kejadian saling lepas karena A∩A′ = 0 bila A dan A dua kejadian dalam S saling kompelementer. Rumus ; P (A ) = 1 – P(A) DUA KEJADIAN SALING BEBAS Dua kejadian A dan B dalam ruang sample S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempenaruhi kejadian A, jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas maka berlaku rumus berikut : Rumus : P(A ∩ B) = P(A) . P(B) PROBABILITAS BERSAYARAT Perobabilitas terjadinya kejadian A bila kejadian B telah terjadi disebutm probabilitas bersyarat yang ditulis P(A/B) dan dirumuskan sebagai berikut: Rumus : P(A/B)= P(A ∩ B). P(B) > 0 P(B)
8
D. CONTOH SOAL 1. bilangan F aktorial hitunglah 3!, 5!, 6! Langkah-langkah penyelesaianya Jawab ; Rumus : n! = n (n-1) (n-2)…..3.2.1 3! = 3 (3-1) (3-2) = 3.2.1 =6
5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) = 5.4.3.2.1 = 120 6! = 6 (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5) = 6.5.4.3.2.1 = 720 2. bilangan permutasi hitunglah ? a. 6P2
b. 8P4
c. 4P2
E. LANGKAH LANGKAH PENYELESAIANYA jawab:
9
rumus: nPr =
n! (n-r)!
a. diketahui n= 6 dan r=2 6p2 =
6! (6-2) !
= 6! = 6.5.4.3.2.1 4!
4.3.2.1
= 720 12 = 30 Diketahui n= 8 dan r=4 Rumus
= nPr =n! (n-1)! = 8P4 = 8! ((8-4)! = 8.7.6.5.4.3.2.1 4.3.2.1 = 40320 12 = 3360
Diketahui n= 4 dan r = 2 Npr = n! (n-1)! = 4! (4-2)!
10
= 4.3.2.1 2.1 = 12 2 =6
3. Ruang sample dan kejadian Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya muka dadu genap pada S maka A = { 2.4.6 } sehingga probabilitas kejadian A adalah
Langkah-langkah penyelesaianya Rumus ; P(A) = n(A) = m = n (S) n P(A) = 3 6 =1 2
4. Permutasi dari sebagian anngota yang sama jenisnya Beberapa permutasi dalam STATISTIKA carilah permutasi dari kata tersebut
11
Langkah-langkah penyelesaianya Jawab Diketahui : S = 2 , T= 3, A= 2, I=2, K=1 Rumus ; n! n1!, n2!, n3!, ….nk! 10 2!,3! 2! 1! 2! 1! 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 2! 3! 2! 1! 2! 1! = 362800 48 = 75.600
5. Kombinasi Hitunglah ! a. 12 6
b. 7 3
Langkah-langkah penyelesaianya: Jawab Diketahui n= 12 dan r= 3
12
Rumus: nCr = n! r!(n-r)! 12 = 6
12! 3! (12-6)!
= 12! 3! 6! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 3.2.1
6.5.4.3.2.1
= 110880 b. diketahui n= 7 dan r = 3 langkah-langkah penyelesaianya jawab rumus : nCr = n! r!(n-r)! 7
=
3
7! 3!(7-3)!
=
7! 3! 4!
= 7.6.5.4.3.2.1 3.2.1 4.3.2.1 = 35 6. kaidah pengadaan Pada sebuah perpustakaan membuat rak buku yang terjadi dari :
13
Buku hokum ,keguruan, pertanian dan ekonomi. Bala perpustakaan tersebut mempunyai 4 jenis buku hokum 2 jenis buku keguruan, 5 jenis buku pertanian ,3 jenis buku tentang ekonomi. Berapa paket rak yang yang akan dibuat. Langkah-langkah penyelesaiaanya. Jawab Diketahui paket rak buku Buku tentang hukum
=4
Buku rtentang keguruan
=2
Buku tentang pertanian
=5
Buku tentang ekonomi
=3
Banyaknya paket rak adalah ; 4 x 2 x 5 x 3 = 120 paket
14
F. SOAL-SOAL LATIHAN 1. selesaikan a. 4 ! b. 6! 2. hitunglah ! a. 6P3 b. 10P4 3. empat orang bermain brigde dalam susunan melingkar, berapa susunan yang mungkin dibentuk n=6 maka permutasi melingkarnya. 4. berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat STATISTIKA 5. hitunglah ! a. 10 3 b. 6 2 6. dari 100 mahasiswa yang mengikuti ujian matematika,distribusi frekuensi nilai mahasiswa adalah seperti pada table berikut ini. Nilai x frekuens
35 10
47 20
55 30
64 35
87 30
96 25
i 7.Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya muka dadu ganjil pada S, maka A = {1 5 7 } sehingga probabilitas kejadiaan A adalah. 8. bila A dan B dua kejadian saling lepas dengan P(A) 0,5 tentukan P( A U B)
15
9. Bila A dan A dua kejadian saling kompelementer dengan P(A)= 0,8 maka P(A )=
1- P(A)
10. Misalkan sebuah dadu dilempar B kejadian bilangan kuadrat murni dan diketahui peluang munculnya bilangan ganjil = 1/9 dan peluang munculnya bilangan genap = 2/9 bila diketahui A{ 4,5,6 } telah terjadi tentukan P(A/B) 11. Jika diketahui dua kajadian A dan B saling bebas dengan P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,7 maka berklaku P( A ∩ B ), hitunglah !
16
G. JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN
1. Diketahui n! = n(n-1) (n-2) …..3.2.1 4! = 4 (4-1) (4-2) (4-3) = 4.3.2.1 = 28
6! = (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5) = 6.5.4.3.2.1 = 720
2. nPr = n! (n-r)! a. Diketahui n= 6 dan r= 3 6P3 = 6!
= 6! = 6.5.4.3.2.1
(6-3)!
3!
3.2.1 = 120
c. diketahui n=10 dan r= 4 10P4 = 10! (10-4)!
= 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 6!
6.5.4.3.2.1 = 5040
17
3. jawab : Banyak permutasi = (n-1)! (4-1)! = 3! = 3.2.1 =6 4. jawab semuanya ada n=8 huruf yang terdiri atas jenis 1 huruf S yang banyaknya adalah n1 = 1 jenis 2 huruf E yang banyaknya adalah n2 = 1 jenis 3 huruf G yang banyaknya adalah n3 = 2 jenis 4 huruf I yang banyaknya adalah n4 = 2 jenis 5 huruf T yang banyaknya adalah n5 = 1 jenis 6 huruuf yang banyaknya adalah
n6 = 1
jadi,
yang
banyaknya 8
permutasi
=
dapat
8
1,1,2,2,1,1
1! 1! 2! 2! 1! 1! = 8.7.6.5.4.3.2.1 1. 1. 2.1 2.1 1. 1 = 40320 4 = 10.080
5. jawab nCr = n = r
n! r! (n-r)!
a. diketahui n= 10 dan r= 3 10C3 =
10 =
10!
= 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
dibuat
adalah:
18
3
3! (10-3)!
3.2.1 7.6.5.4.3.2.1 = 720 6 = 120
c. diketahui n= 6 dan r= 2 6C2 = 6 = 6! 2
2! (6-2)!
= 6.5.4.3.2.1 2.1 4.3.2.1 = 30 2 = 15
6. jawab P(E) = P(X=35)
P(E)= P(X=47)
P(E)=P(X=55)
= 10
= 20
= 55
100 = 0,5
P(E) = P (X= 64) = 64
100 =0,2
100 = 0,15
P(E)=(X=87)
P(E)= P(X=96)
= 87
= 96
100
100
100
= 0,64
= 0,87
= 0,96
7. jawab P(A) = 3 5 = 0,6
19
8. jawab karena A dan B saling lepas maka berlaku: P ( A U B) = P(A) + P(B) = 0,5 + 0,15 = 0,65 9. jawab P(A) = 0,8 Jadi P(A´) = 1- 0,8 = 0,2 10. jawab S = {1,2,3,4,5,6 }
P (genab) = 2
P(ganjil) 1
9
9
B = {1,4 } A= { 4,5,6 } - P(A) = 2 + 1 + 2 = 5 9
9
9
9
A ∩ B = { 4 }- P A ∩ B = 2 9 P(B/A) = P A ∩ B = 2 P (A)
9 5 9
11. jawab P( A ∩ B) = P(A). P(B) = (0,4) . (0,7) = 0,28
=2 5
20
21
CHI-SQUARE (UJI KUADRAT) 1. PENGERTIAN CHI-SQUARE Uji chi-square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi
observasi
yang
benar-benar
terjadi/aktual
dengan
frekuensi
harapan/frekuensi ekspektasi. Frekuensi
observasi
adalah
suatu
nilai
yang
didapat
dari
hasil
percobaan(o),sedangkan frekuensi harapan/ekspektasi adalah suatu nilai yang dapat dihitung secara teoritis(e). Contoh : 1. Sebuah dadu setimbang dilempar sekali 120 kali,berapa nilai ekspektasi sisi 1, sisi 2, sisi 3, sisi 4, sisi 5, dan sisi 6 muncul ? kategori Frekuensi
Sisi 1
Sisi
Sisi
Sisi
Sisi
Sisi
1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
ekspektasi (e) Sebuah dadu setimbang dilempar 120 kali berapa nilai ekspektasi sisi 1, sisi 2, sisi 3, sisi 4, sisi 5,dan sisi 6 muncul ? kategori
Sisi 1
Sisi
Sisi
Sisi
Sisi
Sisi
Frekuensi
20
2 20
3 20
4 20
5 20
6 20
ekspektasi (e) Setiap kategori memiliki frekuensi ekspektasi yang sama yaitu : 1/6 x 120 = 20
22
Apakah data observasi akan sama dengan ekspektasi? Apakah jika anda melempar dadu 120 kali maka pasti setiap sisi akan muncul sebanyak 20 kali? 2.TUJUAN DAN KEGUNAAN CHI-SQUARE Tujuannya adalah untuk menguji perbedaan proporsi antara dua atau lebih kelompok. Misalnya: apakah ada perbedaan hipertensi antara mahasiswa dan mahasiswi dan apakah ada perbedaan BBLR antara ibu yang sosial ekonomi rendah,rendah dan tinggi. Kegunaannya: Uji
Kebebasan
Chi-Square
digunakan
untuk
memeriksa
kebebasan/independensi dari dua peubah kategorik sehingga kita dapat menyimpulkan apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh) ataukah keduanya saling bertalian (berpengaruh). H0 : kedua peubah saling bebas H1 : kedua peubah tidak saling bebas Kegunaan Chi-Square 1. Ada tidaknya asosiasi antara 2 variabel (Independent test) 2. Apakah suatu kelompok homogen atau tidak (Homogenity test) 3. Uji kenormalan data dengan melihat distribusi data (Goodness of fit test)
Manfaat chi-square
23
Penelitian segmentasi post-hoc ini menggunakan metode pendekatan dependensi yaitu dengan mendeteksi hubungan antara variabel terikat (dependent variable) dengan sejumlah variabel bebas (independent varibles). Dalam CHAID, variabel-varibel bebas diukur dengan menggunakan nonparametic test, yaitu menguji hubungan antara varibel bebas dengan variabel terikat menggunakan chi-square. Chi-square digunakan di sini karena variabel terikat berbentuk kategorikal. (Khasali, 1998). Tabel 1 menunjukkan pedoman untuk memilih teknik statistik nonparametrik untuk menguji hipotesis asosiatif. Wijaya (2001) mengemukakan bahwa Uji Nonparametrik dengan skala nominal dapat dilakukan dengan uji statistik: modus, frekuensi, koefisien kontingensi. Tabel 1. Pedoman Memilih Statistik Nonparametrik Untuk Menguji Hipotesis Asosiatif Macam/
Teknik Korelasi yang Digunakan
Tingkatan Data Nominal Ordinal
Koefisien Kontingensi Spearman Rank, Kendal Tau
Sumber: Sugiyono, halaman 100 Data hasil pengamatan dapat digolong-kan ke dalam beberapa faktor, karakteristik atau atribut dimana setiap faktor atau atribut terdiri dari beberapa klasifikasi, kategori, golongan atau mungkin tingkatan. Berdasarkan hasil pengamatan terhadap fenomena tersebut akan diselidiki mengenai asosiasi atau hubungan atau kaitan antar faktor.
24
Dengan kata lain akan dipelajari, apakah terdapat atau tidak suatu kaitan diantara faktor-faktor tersebut. Jika ternyata tidak terdapat kaitan diantara faktor-faktor tersebut, maka dikatakan independen atau bebas, tepatnya bebas statistik. Melalui uji Chi-kuadrat diharapkan dapat menguji hubungan hipotesis dalam penelitian ini, yaitu: Ho : 2 hitung < 2 tabel, kedua faktor tidak berasosiasi Ha : 2 hitung > 2 tabel, kedua faktor berasosiasi Tabel 2. Uji Chi-Kuadrat Faktor II Jumlah Taraf Taraf … Taraf 1 2 K Faktor Taraf O11 O12 … O1K n10 1
1 Taraf O21 O13 … O2K n20 2 … … … …… … Taraf OB1 OB2 … OBK nB0 B
Jumlah
no1 n02 … noK n
Sumber: Sudjana halaman 279 Keterangan: B = baris K = kolom O = Observasi N = jumlah observasi
25
Untuk pengujian hipotesis penelitian asosiasi antara faktor 1 dan faktor 2 digunakan uji 2 dengan prosedur sebagai berikut: 1. Tingkat signifikansi 0,05 dengan derajat bebas df = [B-1] x [K-1]. 2. Dengan menggunakan nilai frekuensi yang diamati dapat dihitung nilai frekuensi yang diharapkan dengan rumus: Keterangan: Eij = jumlah frekuensi yang diharapkan ni0 = jumlah baris ke-I n0j = jumlah baris ke-j n = jumlah sampel yang diambil 3. Langkah selanjutnya adalah melakukan uji statistika yaitu Chi Square test Keterangan: Nij = jumlah frekuensi yang diamati Eij = jumlah frekuensi yang diharapkan Apabila nilai probabilitas eror < level of significance () maka Ho ditolak dan Hi diterima artinya kedua faktor tersebut saling berhubungan Apabilai nilai probabilitas eror > level of significance () maka Ho diterima dan Hi ditolak artinya kedua faktor tersebut tidak saling berhubungan. Pengukuran derajat asosiasi antar faktor dengan membandingkan antara:
26
C = dengan Cmaks = Keterangan: m = yang lebih kecil antara baris dan kolom Kriteria = makin dekat harga C terhadap C maks makin kuat asosiasi antara faktor-faktor. Syarat-syarat menggunakan metode Chi Kuadrat menurut Sidney Siegel (1994) adalah sebagai berikut: 1. Tidak ada satu selpun boleh memiliki fre-kuensi yang diharapkan (Eij) kurang dari 1. 2. Frekuensi diharapkan kurang dari 5 maksimal dari 20% dari jumlah total sel. Jika hal itu terjadi maka harus dilakukan penggabungan kategori-kategori yang berdekatan sehingga meningkatkan nilai fre-kuensi yang diharapkan dalam berbagai 3. BAGIAN-BAGIAN CHI-SQUARE/CHI- KUADRAT . Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (χ²) Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif. Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom. Contoh : Berapa nilai χ² untuk db = 5 dengan α = 0.010? (15.0863) Berapa nilai χ² untuk db = 17 dengan α = 0.005? (35.7185) Pengertian α pada Uji χ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan H0 atau taraf nyata pengujian Perhatikan gambar berikut :
27
Error: Reference source not foundα : luas daerah penolakan Ho = taraf nyata nyata pengujian Penggunaan Uji χ² Uji χ² dapat digunakan untuk : a. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit Test b. Uji Kebebasan c. Uji beberapa proporsi 1. Uji kecocokan Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif H0 : frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan. H1 : Ada frekuensi suatu kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.
28
4. CONTOH-CONTOH SOAL Contoh soal 1 : Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu . Dadu setimbang jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali. H0 : setiap sisi akan muncul = 20 kali. H1 : ada sisi yang muncul ≠20 kali. Contoh soal 2: Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 H0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1 Rumus χ² k
X2 =
∑( i =1
oi − ei 2 ) ei
oi : frekuensi observasi untuk kategori ke-i ei : frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H0 Derajat Bebas (db) = k - 1 Perhitungan χ² Contoh soal 3 : Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut : kategori : sisi-1 sisi-2 sisi-3 sisi-4 sisi-5 sisi-6
29
Kategori Frekuensi
Sisi 1 20
Sisi 2 22
Sisi 3 17
Sisi 4 18
Sisi 5 19
Sisi 6 24
observasi Frekuensi
20
20
20
20
20
20
ekspektasi 5. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN/SOLUSI : 1. H0 : Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali. H1 : Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali. 2. Statistik Uji χ² 3. Nilai α = 5 % = 0.05 k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5 4. Nilai Tabel χ² k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5 db = 5;α = 0.05 → χ² tabel = 11.0705 5. wilayah kritis = Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α) χ² hitung > 11.0705 6. Perhitungan χ² k
2
X =
∑( i =1
oi − ei 2 ) ei
kategori
oi
ei
(oi-ei)
(oi-ei)²
(oi-ei)²/ei
Sisi 1 Sisi 2 Sisi 3 Sisi 4 Sisi 5 Sisi 6 Σ
20 22 17 18 19 24 120
20 20 20 20 20 20 120
0 2 -3 -2 -1 4 ….
0 4 9 4 1 16 ….
0 0,20 0,45 0,20 0,05 0,80 1,70
χ²hitung = 1.70 7. Kesimpulan :
30
χ²hitung = 1.70 < χ² tabel Nilai χ²hitung ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima. Contoh soal 4 : Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika 500 kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apakah mesin itu bekerja sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %. Langkah-langkah penyelesaian/solusi : 1. H0 : perbandingan Coklat : gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1 2. Statistik Uji χ² 3. Nilai α = 1 % = 0.01 4. Nilai Tabel χ² k = 4; db =k -1 = 4-1= 3 db = 3; α = 0.01 → χ² tabel = 11.3449 5. Wilayah Kritis= Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α) χ² hitung > 11.3449 6. Perhitungan χ² k
X2 =
∑( i =1
Kategori Coklat gula susu krim
oi − ei 2 ) ei
0i 275 95 70 60
ei 250 100 100 50
(0i-ei) 25 -5 -30 10
(0i-ei)² 625 25 900 100
(0i-ei)²/ei 2,50 0,25 9,00 2,00
31
Σ 500 500 …. Perbandingan coklat : gula : susu : krim = 5 : 2 : 2 :1
….
13,75
Dari 500 kg adonan: Nilai ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg Nilai ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg Nilai ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg Nilai ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg χ²hitung = 13.75 7. Kesimpulan : χ²hitung = 13.75 > χ² tabel =(13,75> 11.3449) χ²hitung ada di daerah penolakan H0 → H0 ditolak, H1 diterima. Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 :1 2. Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian beberapa proporsi. Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif A. Uji Kebebasan : H0 : variabel-variabel saling bebas (Tidak ada hubungan antar variabel) H1 : variabel-variabel tidak saling bebas (Ada hubungan antar variabel) B Uji Beberapa Proporsi : H0 : setiap proporsi bernilai sama H1 : ada proporsi yang bernilai tidak sama Rumus Uji χ 2 Data dalam pengujian ketergantungan (hubungan) variabel dan beberapa proporsi
32
disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi (Cross Tab) Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris x k kolom Frekuensi harapan = (total kolom)x (total baris) Total observasi r,k X2 = Σ ( 0ij- eij )2 i,j eij derajat bebas = (r-1)(k-1) r : banyak baris k : banyak kolom oi j , : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j ei j , : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j Perhitungan χ² Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik. Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut : Kurang dari 25 Pria 2 jam/minggu
2,33
wanita 3Error: 2,67 Reference source
25 sampai 50 7
6,07
jam / minggu
not
found 6Error:
13
Reference source
Lebih dari 50 5
Total baris 5
5,60
found 7Error:
not 12
33
jam /minggu
Total kolom
14
16
30
Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? Lakukan pengujian kebebasan variabel dengan taraf uji 5 Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 2 ( 3 baris dan 2 kolom) db = (3-1)(2-1) = 2 × 1 = 2 Solusi : 1. H0 : Gender dan Jam kerja saling bebas H1 : Gender dan Jam kerja tidak saling bebas 2. Statistik Uji = χ² 3. Nilai α = 5 % = 0.05 4. Nilai Tabel χ² db = 2; α = 0.05 → χ² tabel = 5.99147 5. Daerah Penolakan H0 → χ²hitung > χ² tabel χ²hitung > 5.99147 6. Perhitungan χ² Frekuensi harapan = (total kolom)x (total baris) Total observasi frekuensi harapan untuk : pria, < 25 jam = 14 x 5
= 2,33
30 pria, > 50 jam = 14 x12
pria, 25-50 jam = 14 x13 =6 07 30
= 5,60
30 wanita, > 50 jam = 16 x12 = 6,40
wanita < 25 jam = 16 x 5 = 2,67
34
30 Selesaikan Tabel perhitungan χ² di bawah ini. Kategori P < 25 P 25-50 P > 50 W < 25 W 25-50 W > 50 Σ
0i 2 7 5 3 6 7
ei 2,33 6,07 5,60 2,67 6,93 6,40
(oi-ei) -0,33 0.93 -0,60 0,33 -0,93 0,60
(oi-ei)2 0,1089 0,8649 0,36 0,1089 0,8649 0,36
(oi-ei)2/ei 0,0467 0,1425 0,0643 0,0408 0,1249 0,0563 X2 =0,4755
7. Kesimpulan χ²hitung = 0.4755 < χ² tabel = 5.99147) X2 hitung ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima, gender dan jam kerja saling bebas Catatan : Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)
35
Contoh soal 6 : Berikut adalah data banyaknya penyiaran 3 jenis film di 3 stasiun TV. Apakah proporsi pemutaran Film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV tersebut sama? Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 % ATV Film India Film kungfu Film latin Total
(%) 4,5 2,5 3,0 10
BTV 4,17 3,33 2,50
(%) 3,5 1,0 2,5 7
CTV 2,92 2,33 1,75
(%) 2,0 4,5 0,5 7
Total baris (%) 2,92 10 2,33 8 1,75 6
kolom(%)
Total observasi(%)= 24
*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi! Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 3( 3 baris dan 3 kolom) db = (3-1)(3-1) = 2 × 2 = 4 solusi : 1. H0 : Proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV adalah sama. H1 : Ada proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV yang tidak sama. 2. Statistik Uji = χ² 3. Nilai α = 2.5 % = 0.025 4. Nilai Tabel χ² db = 4; α = 0.025 → χ² tabel = 11.1433 5. Daerah Penolakan H0 → χ²hitung > χ² tabel χ²hitung > 11.1433
36
6. Perhitungan χ² Frekuensi harapan untuk India, ATV = 10x10 = 4,17 24 Latin, ATV = 10x16 = 2,50 24 India, BTV = 7x10 = 2,92 24 Latin, BTV = 7x 6 = 1,75 24 India, CTV = 7x10 = 2,92 24 Latin, CTV = 7x 6 = 1,75 24 Kategori Ind, ATV Kf, Atv Lat, ATV Ind,BTV Kf,BTV Lat, BTV Ind, CTV Kf,CTV Lat,CTV Σ
0i 4,5 2,5 3,0 3,5 1,0 2,5 2,0 4,5 0,5
7. Kesimpulan :
ei 4,17 3,33 2,50 2,92 2,33 1,75 2,92 2,33 1,75
(0i-ei) 0,33 -0,83 0,50 -0,58 -1,33 0,75 -0,92 2,17 -1,25
(0i-ei)² 0,1089 0,6889 0,2500 0,3364 1,7689 0,5625 0,8464 4,7089 1,5625
(0i-ei)²/ei 0,0261 0,2069 0,1000 0,1152 0,7592 0,3214 0,2899 2,0201 0,8929 X2= 4,7317
37
χ²hitung = 2.4076 < χ² tabel = 11.1433 χ²hitung terletak di daerah penerimaan H0 . H0 diterima, proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga statiun TV adalah sama. Ada beberapa jenis tes chi-kuadrat tetapi yang paling umum adalah Pearson chi-kuadrat yang memungkinkan kita untuk menguji independensi dari dua variabel kategori. Semua tes chi-kuadrat didasarkan atas distribusi chi-kuadrat, mirip dengan cara t-tes, sama halnya dengan distribusi atau uji-F yang didasarkan pada distribusi F. 1. uji kecocokan 2. uji kebebasan 3. uji beberapa proporsi Misalkan kita memiliki hipotesis bahwa tingkat kelulusan / kegagalan dalam sebuah kelas matematika tertentu berbeda untuk laki-laki dan perempuan. Katakanlah kita mengambil sampel acak dari 100 siswa dan mengukur kedua jenis kelamin (lakilaki/wanita) dan status kelulusan (lulus/gagal) sebagai variabel kategorik. Tabel 1. Data tingkat kelulusan kelas matematika tersebut akan menjadi sebagai berikut Siswa
Laki-laki Perempuan TOTAL
Lulus
30
36
66
Tidak
14
20
34
44
56
100
lulus TOTAL
Hipotesis Null: Distribusi frekuensi beberapa kejadian yang diamati pada sebuah sampel konsisten dengan distribusi teoritis tertentu
38
6. SOAL LATIHAN 1. Suatu adonan kue cake akan menghasilkan perbandingan antara coklat:gula: susu: mentega= 5:2:2:1. jika 300 kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 100kg coklat, 75 kg gula, 55 kg susu, 70 kg mentega.apakah adonan tersebut dapat dicampur sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan taraf nyata 1%. 2. pelemparan dadu sebanyak 60 kali menghasilkan data sebagai berikut: Kategori Sisi 1 Frrekuensi 10
Sisi 2 12
Sisi 3 8
Sisi 4 10
Sisi 5 15
Sisi 6 5
observasi Frekuensi
10
10
10
10
10
10
harapan Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang? Lakukan pengujian dengan taraf nyata 5%
39
7. JAWABAN SOAL 1).Solusi H0 = perbandingan coklat: gula:susu : mentega = 5:2:2:1 H1 =perbandingan coklat: gula :susu : mentega ≠5:2:2:1 2. Statistik uji X2 3. Nilai α =1% =0,01 4.Nilai tabel X2 k= 4,db = k-1 = 4-1 = 3 db = 3 α =0,01 → X2tabel =11,3449 5.wilayah kritis= penolakan H0 jika X2 hitung > X2tabel X2 hitung > 11,3449 6.perhitungan X2 k
2
X =
∑( i =1
Kategori Coklat Gula Susu mentega Σ
oi − ei 2 ) ei
oi 100 75 55 70 300
ei 150 60 60 30 300
oi-ei -50 15 -5 40
(oi-ei)2 2500 225 25 1600
(oi-ei)2/ei 16,66 3.75 0,42 53,33 74,16
Perbandingan coklat:gula:susu:mentega = 5:2:2:1 Dari adonan 300kg: Nilai harapan coklat =5/10x300=150 Nilai harapan gula = 2/10x300 =60
40
Nilai harapan susu = 2/10x300=60 Nilai harapan mentega= 1/10x300=30 X2 hitung = 74,16 7. kesimpulan X2 hitung> X2 tabel 74,16 > 11,3449 H0,ditolak, H1diterima Perbandingan coklat:gula:susu:mentega ≠5:2:2:1 1. Solusi H0 = Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 10 kali H1 = dadu tidak setimbang → aada sisi yang muncul ≠10 kali 2. Statistik uji X2 3. Nilai α = 5% = 0,05 4. Nilai tabel X2 K=6
db=k-1 =6-1= 5
Db=5 α =0,05 → X2 tabel =11,0705 5. wilayah kritis : penolakan H0 jika X2 hitung > X2tabel X2hitung > 11,0705 6. perhitungan X2
∑( i =1
oi − ei 2 ) ei
Oi 10
ei 10
k
2
X = Kategori Sisi1
oi-ei 0
(oi-ei)2 (oi-ei)2/ei 0 0
41
Sisi 2 Sisi 3 Sisi 4 Sisi 5 Sisi 6 Σ
12 8 10 15 5 60
10 10 10 10 10 60
2 -2 0 5 -5
4 4 0 25 25
0,4 0,4 0 2,5 2,5 5,8
X2hitung =5,8 7. kesimpulan X2 hitung =5,8 < X2 tabel Nilai X2 hitung ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima,pernyataan dadu setimbang dapat diterima
42
43
DISTRIBUSI BINOMIAL 1. PENGERTIAN DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL Distribusi Probabilitas Binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan percobaan beroulli. 1.1 ciri-ciri Bernoulli a. setiap kegiatan hanya dihasilkan 2 kejadian Percobaan /kegiatan Melempar uang keudara Perubahan harga
Kejadian 1. muncul gambar 2. muncul angka 1. inflasi 2. deflasi
b. probabilitas sebuah kejadian baik sukses maupun gagal tetap bernilai sama untuk setiap percobaan c. percobaan-percabaan bersifat independent d. data yang dikumpul merupakan hasil dari perhitungan. 1.2 pembentukan distribusi normal untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlkukan ppengetahuan dua hal yaitu: a. banyaknya atau jumlah dario percobaan atau kegoiatan dan, b. probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal. Distribusi probabilitas binomial dapat dinyatakan sebagai berikut:
P(r ) =
n! p r .q n −r r!( n − r )!
dimana:
44
P(r)
= nilai probabilitas binomial
P
= probabilitas sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan
N
= jumlah nilai percobaan
Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperolehb dari q = 1 – p 2. TUJUAN DAN KEGUNAAN DISTRIBUSI BINOMIAL Tujuan dengan diadakan perhitungan distribusi binomial adalah untuk mengetahui probabilitas suatu jkejadian tersebut sukses maupun gagal dalam suatu percobaan. 3. CONTOH SOAL PT. MENA JAYA FARM (MJF) mengirim sebuah semangka ke hero supermarket. Dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% sermangka yang dikirim lolos seleksi oleh Hero Supermarket. PT. MJF setioap hari mengirim 15 buah semangka dengan berat antara 5-6 kg. a. berapa probabilitas 25 buah semangka? b. Berapa probabilitas 13 buah semangka? c. Berapa probabilitas 10 buah yang diterima? 4.
LANGKAH-LANGKAH
PENYELESAIAN
DISTRIBUSI BINOMIAL a. probabilitas 15 buah yang diterima semua n = 15
p = 90% =0,9
r = 15
q = 1% =0,1
P(r ) =
n! p r .q n −r r!( n − r )!
P(r ) =
15 ! 0,915 .0,115 −15 15 !(15 −15 )!
CONTOH
SOAL
45
P( r ) =
15 ! 0,915 .0,10 15 !(0)!
P (15 ) =1x 0,206 x1 P (15 ) = 0,206
b. probabilitas 2 ditolak atau 13 buah diterima semua n = 15
p = 90% = 0,9
r = 13
q = 10% = 0,1
P(r ) =
n! p r .q n −r r!( n − r )!
P (r ) =
15 ! 0,913 0,115 −13 13!(15 −13 )!
P (13 ) =
15 ! 0,913 0,12 15 !(2)!
P (13 ) =105 x0,2 x 0,01 P (13 ) = 0,267
b. probabilitas 10 buah diterima semua n = 15
p = 90% = 0,9
r = 10
q = 0,1
P(r ) =
n! p r .q n −r r!( n − r )!
P (10 ) = P (10 ) =
15 ! 0,910 .0.115 −10 10 !(15 −10 )!
15 ! 0,910 0,15 15 !(5)!
P (10 ) = 3,003 x 0,35 x 0,00001 P (10 ) = 0,010
Jadi, probabilitas untuk diterima 15 adalah 20,6%: diterima 13 buah sebesar 26,7%; dan diterima 10 buah probabilitasnya adalah 10,0%.
46
5.
SOAL LATIHAN
Sebuah industri rumah tangga yan memproduksi keranjang dari dau ulang plastik dengan jaminan kualitas bahan yang baik, maka 90% keranjang yang dikirim ke sebuah supermarket lulus seleksi. Industri tersebutmengirim 10 buah keranjan setiap minggunya. Pertanyaan? a. brapa probabilitas 10 keranjang diterima b. berapa probabilitas 5 keranjang diterima
47
6.
JAWABAN SOAL LATIHAN
a. probabilitas 10 keranjang diterima semua P (10 ) =
10 ! 0,910 .0,110 −10 10 !(10 −10 )
P (10 ) =
10 ! 0,910 .0,10 10 !(0)!
P (10 ) =1.0,349 .1 P (10 ) = 0,349
b. probabilitas 5 keranjang diterima P (5) =
10 ! 0,9 5 0,110 −5 5!(10 −5)!
P (5) =
5! 0,590 .0,00001 5!(5)!
P (10 ) =
30240 0,590 .0,00001 120
P (10 ) = 0,008
48
49
ANALISYS OF VARIANS (ANOVA) 1. PENGERTIAN ANOVA Analisa varian atau anova adalah suatu metode untuk menguji hipoteis kesamaan rata-rata dari tiga atau lebih populasi.
Asumsi o Sample diambil secara random dan saling bebas ( independent ) o Populasi berdistribusi berdistribusi normal o Populsi mempunyai kesamaan variansi
Misalkan kita mempunyai k populasi.
Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran n.
Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas ban berdistribusi normal dengan ratarata dan variansi µ1, µ2,...... dan µk dan variansi σ2
Hipotesa : Ho : µ1 = µ2 = ... = µk H1 : ada rata-rata yang tidak sama Analisis varians ( analisis of variance, ANOVA ) adalah suatu metode analisis
statistika yang termasuk kedalam cabang stetistika inferensi.dalam literatur indonesia metide ini dikenal dengan berbagai nama lain seperti ragam, sidik ragam, dan analisis variansi. Ia merupakan pengembangan dari msalah behrens-Fisher, sehingga uji F juga dipakai dalam pengambilan keputusan. Analisis varians pertama kali diperkenalkan oleh sir Ronal fisher, bapak statistika modern. Dalam praktek , analisis varians dapat merupakan uji hipotesis ( lebih sering dipakai ) maupun pendugaan ( estimation, khususnya dibidang genetika terapan) Secara umum, analisis varians menguji dua varians ( atau ragam ) berdasarkan hipotesis nol bahwa kwdua varians iti sama. Varians pertama adalah varians antar contoh ( among sampel ) dan varians kedua adalah varians didalam masing-masing
50
contoh ( within samples ). Dengan ide semacam ini, analisis varians dengan dua contoh akanmemberikan hasil yang ama dengan uji T untuk kedua rerata ( mean ). Supaya sahih ( valid ) dalam menafsirkan hasilnya, analisis varians menggantungkan diri pada empat asumsi yang harus dipenuhi dalam rancanga percobaan : 1. Data berdistribusi normal, karena pengujiannya menggunakan uji F-snedecor. 2. varians atau ragamnya homogen, dikenal sebagai homoskedastisitas,karena hanya digunakan satu penduga untuk varians dalam contoh. 3. masing-masing contoh saling independen, yang harus dapat diatur dengan perencanangan percobaan yang tepat. 4. komponen-komponen dalam modelnya bersifat aditif ( saling menjumlah) Analisis varians relatif mudah dimodifikasi dan dapat dikembangkan untuk berbagai bentuk percobaan yang lebih rumit. Selain itu, analisis ini juga masih memiliki keterkaitan dengan analisis regresi. Akibatnya, penggunaannya sangat luas di berbagai bidang, mulai dari eksperimen laboratorium higga eksperimen periklanan, psikologi, dan kemasyarakatan. 2. TUJUAN DAN KEGUNAAN ANOVA TUJUAN ANOVA 1. Untuk mengetahui dan memahami jui statistik dengan menggunakan ANOVA. 2. Untuk mengetahui persoalan dan masalah-masalah yang berkaitan dengan uji ANOVA dalam kehidupan sehari-hari. 3. Agar dapat menyelesaikan persoalan uji ANOVA dan menarik kesimpulan yang sesuai dengan persoalan yang diujikan. KEGUNAAN ANOVA
Mengendalikan 1 ataulebih variabel independen o Disebut dengan faktor ( atau variabel treatment )
51
o Tiap faktor mengandung 2 atau lebih level ( katagori / klasifikasi )
Mengamati efek padavariabel dependen o Merespon level pada variabel independen
Perencanaan eksperimen : perencanaan dengan menggunakan uji hipotesis
3. BAGIAN-BAGIAN ANOVA Anova dapat digolongan kedalam beberapa kriteria, yaitu : 1. klasifikasi 1 arah Anova klasifikasi 1 arah merupakan anova yang didasarkan pada pengamatan 1 kriteria. 2. Klasifikasi 2 arah Klasifikasi 2 arah merupakan aova yang didasarkan pada engamatan 2 kriteria. 3. Klasifikasi banyak arah Anova banyak arah merupakan Anova yang didasarkan pada pengamatan banyak kriteria. 4. CONTOH SOAL ANOVA 1. Sebagai manajer produksi anda ingin melihat mesin pengisi akan dilihat ratarata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti disamping. Pada tinggkat signifikasi 0,05 adakah perbedaan rata-rata waktu ? Mesin 1 25,40 26,31 24,10 23,74 25,10
Mesin 2 23,40 21,80 23,50 22,75 21,60
Mesin 3 20,00 22,20 19,75 20,60 20,40
5. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN ANALISIS VARIANS
52
•
Tingkat signifikan α = 0,05 dF 1 = 2 (derajat bebas perlakuan ) dF 2 = 12 ( derajat bebas galat ) maka F ( 0,05; 2 ; 12 ) = 3,89
•
Jadi daerah penolakannya : H0 ditolak jika F > 3,89
•
Data Populasi 1 25,40 26,31 24,10 23,74 25,10 124,65
Total
2 23,40 21,80 23,50 22,75 21,60 113,05
3 20,00 22,20 19,75 20,60 20,40 102,95
340,65
a. Jumlah kuadrat Total ( JKT ) K
2
n
JKT = ∑∑x ij – T .. i =1 j =1 nk 2
JKT = 25,402 + 26,312 + 24,102 + 23,742 + 25,102 + 23,402 + 21,802 + 23,502 + 22,752 + 21,602 + 20,002 + 22,202 + 19,752 + 20,602 + 20,402 - 340 ,65 5 ×3
2
JKT = 645,16 + 692,2161 + 580,81 + 563,5876 + 630,01 + 547,56 + 475,24 + 552,25 + 517,5625 + 466,56 + 400 + 492,84 + 390,0625 + 424,36 + 416,16 116042 ,4225 15
= 7794,3787 – 7736,1615 = 58,2172 b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP )
53
k
JKP =
2
∑T i i =1
-
n
T..2 nk
=
124 ,65 2 +113 ,05 2 +102 ,95 2 340 ,65 2 5 5 ×3
=
38916 ,6275 - 7736,4225 5
= 7783,3255 – 7736,1615 JKP
= 47,164
c. Jumlah Kuadrat galat ( JKG ) JKG = JKT – JKP JKG = 58,2172 – 47,164 JKG = 11,0532 Tabel ANOVA dan daerah penolakan Sumber
Derajat bebas
Jumlah
Kuadrat rata-rata
variasi perlakuan
k-1
kuadrat 47,164
KRP = JKP/ (k)-1
(3-1) = 2
statistik
KRP = 47,164/(3-1) KRP = 47,164/2
galat
k ( n-1 )
11,0532
KRP = 23,582 KRG = JKG/(k(n-1)
3 ( 5-1 )
KRG = 11,0532/(3(5-1)
3 ( 4 ) = 12
KRG = 11,0532/(3(4) KRG = 11,0532/12 KRG = 0,9211
total
nk – 1 5.3 – 1 15 – 1 = 14
58,2173
F = KRP/KRG F = 23,582/0,9211 F = 25,60
54
•
Karena F hitung > F tabel maka H0 ditolak
•
Karena 25,60 > 3,89 maka H0 ditolak
CONTOH SOAL ANOVA Dalam sebuah percobaan biologis 4 konsentrasi bahan kimia digunkaan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu. Konsentrasi 1 8,2 8,7 9,4 9,2
2 7,7 8,4 8,6 8,1 8,0
3 6,9 5,8 7,2 6,8 7,4 6,1
4 6,8 7,3 6,3 6,9 7,1
Langkah-langkah : •
Tingkat signifikansi α = 0,05 dF 1 = 3 ( Derajat bebas perlakuan ) dF 2 = 16 ( Derajat bebas galat ) Maka F ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24
•
Jadi daerah penolakanya H0 ditolak jika F > 3,24
•
Data Populasi 1 8,2 8,7 9,4 9,2
Total
2 7,7 8,4 8,6 8,1 8,0
35,5 40,8 a. Jumlah kuadrat total ( JKT )
3 6,9 5,8 7,2 6,8 7,4 6,1 40,2
4 6,8 7,3 6,3 6,9 7,1
Total
34,4
150,9
55
n
k
JKT =
∑ ∑x i =1
2
j =1
ij -
T...2 k
8,22 + 8,72 + 9,4 2+9,22 + 7,72 + 8,42 + 8,6 2+ 8,12 + 8,02 + 6,9 2+
JKT =
5,82 + 7,22 + 6,82 + 7,42 + 6,12 + 6,82 + 7,32 + 6,32 + 6,92 + 7,12 150 ,9 2 20
JKT = 67,24 + 75,69 + 88,36 + 84,64 + 59,29 + 70,56 + 73,96 + 65,61 + 64 + 47,61 + 33,64 + 51,84 + 46,24 + 54,76 + 37,21 + 46,24 + 53,29 + 39,69 + 47,61 + 50,41 -
22770 ,81 20
JKT = 1157,89 – 1138,5405 JKT = 19,3495 ( dibulatkan ) JKT = 19, 350 b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP ) k
JKP =
∑ i =1
JKP =
JKP =
2
Ti 2 T... ni N
35 ,5 2 40 ,82 2 40 ,2 2 34 ,4 2 150 ,9 2 + + + 4 5 6 5 20
1260 ,25 1664 ,64 1616 ,04 1183 ,36 + + + 4 5 6 5
22770,81 20
JKP = 315,0625 + 332,928 + 269,34 + 236,672 – 1138, 5405 JKP = 15,462 c. Jumlah Kuadrat Galat ( JKG ) JKG = JKT – JKP JKG = 19,350 – 15,462 JKG = 3,888 Tabel Anova dan Daerah Pendapatan
56
Sumber
Derajat
Jumlah
Kuadrat
Variansi Perlakuan
Bebas k-1
Kuadrat 15,462
Rata-rata KRP = JKP/(k-1)
( 3-1 ) = 2
Statistik F
KRP = 15,462/(4-1) KRP = 15,462/3 KRP = 5,514 F = KRP/KRG
Galat
N–k
3,888
KRG = JKG/N-k
( 20- 4 ) = 16
KRG = 3,888/(20-4)
F = 5.514/0,243 F = 21,21
KRG = 3,888/16 KRG = 0,243 Total
N–1
19,350
( 20-1 ) = 19 •
Karena F hitung > F tabel maka Ho ditolak
•
Karena 21,21 > 3,24 maka Ho ditolak
6. SOAL LATIHAN ANOVA 1. Sebagai manajer produksi anda ingin melihat mesin pengisi akan dilihat ratarata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti disamping. Pada tinggkat signifikansi 0,05 adakah perbedaan rata-rata waktu ? Mesin 1 24,40 25,31 23,10 22,74 24,10
Mesin 2 22,40 20,80 22,50 21,75 20,60
Mesin 3 19,00 21,20 18,75 19,60 19,40
57
2. dalam sebuah percobaan biologi 4 konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu. Konsentrasi 1 7,2 7,7 8,4 8,2
2 6,7 7,4 7,6 7,1 7,0
3 5,9 4,8 6,2 5,8 6,4 5,1
4 5,8 6,3 5,3 5,9 6,1
7. JAWABAN LATIHAN Langkah- langkah : •
Tingkat signifikansi α = 0,05 dF 1 = 2 ( Derajat bebas perlakuan ) dF 2 = 12 ( Derajat bebas galat ) Maka F ( 0,05 ; 2 ; 12 ) = 3,89
•
Jadi daerah penolakanya H0 ditolak jika F > 3,89
•
Data Populasi 1 24,40 25,31
2 22,40 20,80
3 19,00 21,20
58
23,10 22,74 24,10 119.65
Total
22,50 21,75 20,60 108,05
18,75 19,60 19,40 97,95
325,65
a. Jumlah kuadrat Total ( JKT ) K
2
n
JKT = ∑∑x ij – T .. i =1 j =1 nk 2
JKT = 24,402 + 25,312 + 23,102 + 22,742 + 24,102 + 22,402 + 20,802 + 22,502 + 21,752 + 20,602 + 19,002 + 21,202 + 18,752 + 19,602 + 19,402 - 325 ,65 5 ×3
2
JKT = 595,36 + 640,5961 + 533,61 + 517,1076 + 580,81 + 501,76 + 432,64 + 507,25 + 473,0625 + 424,36 + 361 + 449,44 + 351,5625 + 384,16 + 376,36 106047 ,9225 15
JKT = 7128,0787 – 7069,8615 JKT = 58,2172 b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP ) k
JKP =
2
∑T i i =1
-
n
T..2 nk
=
119 ,65 2 +108 ,05 2 + 97 ,95 2 325 ,65 2 5 3 ×5
=
14316 ,1225 +11674 ,8025 + 9594 ,2025 - 7069,8615 5
= 7117,0255 – 77069,8615 JKP
= 47,164
c. Jumlah Kuadrat galat ( JKG ) JKG = JKT – JKP
59
JKG = 58,2172 – 47,164 JKG = 11,0532 Tabel ANOVA dan daerah penolakan Sumber
Derajat bebas
Jumlah
Kuadrat rata-rata
variasi perlakuan
k-1
kuadrat 47,164
KRP = JKP/ (k)-1
(3-1) = 2
statistik
KRP = 47,164/(3-1) KRP = 47,164/2
galat
k ( n-1 )
11,0532
KRP = 23,582 KRG = JKG/(k(n-1)
3 ( 5-1 )
KRG = 11,0532/(3(5-1)
3 ( 4 ) = 12
KRG = 11,0532/(3(4) KRG = 11,0532/12 KRG = 0,9211
total
nk – 1
58,2173
5.3 – 1 15 – 1 = 14 •
Karena F hitung > F tabel maka H0 ditolak
•
Karena 25,60 > 3,89 maka H0 ditolak
Jawaban latihan. •
Tingkat signifikansi α = 0,05 dF 1 = 3 ( Derajat bebas perlakuan ) dF 2 = 16 ( Derajat bebas galat ) Maka F ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24
•
Jadi daerah penolakanya
F = KRP/KRG F = 23,582/0,9211 F = 25,60
60
H0 ditolak jika F > 3,24 •
Data
• konsentrasi 1 7,2 7,7 8,4 8,2 Total
31,5
2 6,7 7,4 7,6 7,1 7,0 35,8
3 5,9 4,8 6,2 5,8 6,4 5,1 34,2
4 5,8 6,3 5,3 5,9 6,1
Total
29,4
130,9
a. Jumlah kuadrat total ( JKT ) k
JKT =
∑ i =1
JKT =
n
∑x ij2 j =1
T...2 k
7,22 + 7,72 + 8,4 2+8,22 + 6,72 + 7,42 + 7,6 2+ 7,12 + 7,02 + 5,9 2+ 4,82 + 6,22 + 5,82 + 6,42 + 5,12 + 5,82 + 6,32 + 5,32 + 5,92 + 6,12 130 ,9 2 20
JKT = 51,84 + 59,29 + 70,56 + 67,24 + 44,89 + 54,76 + 57,76 + 50,41 + 49 + 34,81 + 23,04 + 38,64 + 40,96 + 26,01 + 33,64 + 39,69 + 28,09 + 34,81 + 47,61 + 37,21 -
17134 ,81 20
JKT = 876,09 – 856,7405 JKT = 19,3495 ( dibulatkan ) JKT = 19, 350 b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP )
61
k
JKP =
∑ i =1
JKP =
JKP =
2
Ti 2 T... ni N
31 ,5 2 35 ,8 2 34 ,2 2 29 ,4 2 130 ,9 2 + + + 4 5 6 5 20
992 ,25 1281 ,64 1169 ,64 864 ,36 + + + 4 5 6 5
17134,81 20
JKP = 248,0625 + 256,328 + 194,94 + 172,872 – 856,7405 JKP = 872,2025 – 856,7405 JKP = 15,462 c. Jumlah Kuadrat Galat ( JKG ) JKG = JKT – JKP JKG = 19,350 – 15,462 JKG = 3,888
Tabel Anova dan Daerah Pendapatan Sumber
Derajat
Jumlah
Kuadrat
Variansi Perlakuan
Bebas k-1
Kuadrat 15,462
Rata-rata KRP = JKP/(k-1)
( 3-1 ) = 2
Statistik F
KRP = 15,462/(4-1) KRP = 15,462/3 KRP = 5,514 F = KRP/KRG
Galat
N–k ( 20- 4 ) = 16
3,888
KRG = JKG/N-k KRG = 3,888/(20-4) KRG = 3,888/16
F = 5.514/0,243 F = 21,21
62
KRG = 0,243 Total
N–1
19,350
( 20-1 ) = 19 •
Karena F hitung > F tabel maka Ho ditolak
•
Karena 21,21 > 3,24 maka Ho ditolak
63
64
UJI NORMALITAS A. PENGERTIAN UJI NORMALITAS Uji normalitas adalah uji untuk mengukur apakah data kita memiliki distribusi normal sehingga dapat dipakai dalam statistik parametrik (statistik inferensial). Data
klasifikasi
kontinue,
data
kuantitatif
yang
termasuk
dalam
pengukuran data skala interval atau ratio, untuk dapat dilakukan uji statistik parametrik diprasyaratkan
berdistribusi normal. Pembuktian data berdistribusi
normal tersebut perlu dilakukan uji normalitas terhadap data. Metode klasik dalam pengujian normalitas suatu data tidak begitu rumit. Berdasarkan pengalaman empiris beberapa pakar statistik, data yang banyaknya lebih dari 30 angka (n > 30), maka sudah dapat diasumsikan berdistribusi normal. Biasa dikatakan sebagai sampel besar. Namun untuk memberikan kepastian, data yang dimiliki berdistribusi normal atau tidak, sebaiknya digunakan uji statistik normalitas. Karena belum tentu data yang lebih dari 30 bisa dipastikan berdistribusi normal, demikian sebaliknya data yang banyaknya kurang dari 30 belum tentu tidak berdistribusi normal, untuk itu perlu suatu pembuktian. Pembuktian normalitas dapat dilakukan dengan manual, yaitu dengan menggunakan kertas peluang normal, atau dengan menggunakan uji statistik normalitas. B. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI NORMALITAS Pengujian normalitas dilakukan untuk mengetahui normal tidaknya suatu distribusi data. Hal ini penting diketahui karena berkaitan dengan ketetapan pemilihan uji yang akan digunakan. Uji parametrik misalnya, mengsyaratkan data harus normal. Apabila distribusi tidak normal maka disarankan untuk menggunakan uji nonparametric.
65
Uji normalitas berguna untuk membuktikan data dari sampel yang dimiliki berasal dari populasi berdistribusi normal atau data populasi yang dimiliki berdistribusi normal. C. BAGIAN-BAGIAN UJI NORMALITAS Banyak jenis uji statistik normalitas yang dapat digunakan diantaranya Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Chi-Square, Shapiro Wilk atau menggunakan soft ware computer. Soft ware computer dapat digunakan misalnya SPSS, Minitab, Simstat, Microstat, dsb. Pada hakekatnya soft ware tersebut merupakan hitungan uji statistik Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Chi-Square, Shapiro Wilk, dsb yang telah diprogram dalam soft ware komputer. Masing-masing hitungan uji statistik normalitas memiliki kelemahan dan kelebihannya, pengguna dapat memilih sesuai dengan keuntungannya. Di
bawah
disajikan
beberapa
cara
untuk
menguji
suatu
data
berdistribusi normal atau tidak. 1. BERDASARKAN KEMIRINGAN / KEMENCENGAN / SKEWNES DAN KURTOSIS Suatu data bila disajikan dalam bentuk kurva halus dapat berbentuk kurva yang miring ke kanan, miring ke kiri atau simetris. Miring ke kanan bila kurva mempunyai ekor (asymtut / menyinggung sumbu X) yang memanjang ke sebelah kanan, demikian miring ke kiri sebaliknya, sedangkan bila simetris berarti kondisi ke kanan dan kiri seimbang, biasanya nilai mean, median dan modus berdekatan bahkan kadang sama. Kondisi kurva yang simetris
tersebut sering
disebut membentuk kurva distribusi normal. Kemiringan kurva dapat dihitung berdasarkan rumus Koefisien Kemiringan Pearson, yaitu :
66
Bila hasil kemiringan negatif, maka kurva miring ke kiri, bila hasil kemiringan positif, Maka
kurva miring
ke
kanan,
sedangkan
pada
hasil
kemiringan nol, maka kurva normal. Pada kurva normal biasanya data cenderung berdistribusi norma. Secara visual gambar sebagai berikut:
MIRING KEKANAN
MIRING KEKIRI
SIMETRIS
1.1 CONTOH SOAL Contoh kasus hasil pengukuran kebisingan pada tempat-tempat umum didapat data sebagai berikut:
67
1.2
LANGKAH-LANGKAH
PENYELESAIAN
CONTOH
SOAL
UJI
KEMIRINGAN / KEMENCENGAN.
Xi merupakan nilai tengah suatu data (kebisingan) ( ex: 70 + 79 / 2 = 74,5, dst ) Fi x Xi, frekuensi (Fi) dikalikan dengan data ke-i (Xi) misalnya pada baris pertama, 9 x 74,5 = 670,5 dan seterusnya X yaitu rata-rata, untuk mencarinya yaitu jumlah Fi x Xi dibagi jumlah frekuensi. Misalnya pada baris pertama 670,5/50 = 91,5 Xi – X, yaitu data ke-i di kurangkan dengan jumlah rata-rata (X), Misalnya pada baris pertama 74,5 - 91,5 = -17 Pada Fi. (Xi – X), frekuensi dikalikan dengan hasil pengurangan data ke-i. Misalnya pada baris pertama 9 x (74,5 - 91,5) = 153 (Xi – X)2, jumlah pengankatan dari (Xi – X), Misalnya pada baris pertama (74,5 91,5)2 = 289 Begitu juda dengan Fi. (Xi – X)2, merupakan hasil perpangkatan dari Fi. (Xi – X), Misalnya pada baris pertama 9 x (74,5 - 91,5)2 = 2601
68
Nilai kemiringan 0,44 atau 0,29, berarti miring ke kanan, tidak simetris. Rumus lainnya yang dapat digunakan untuk membutikan kenormalan data, yaitu Koefisien Kurtosis Persentil, sebagai berikut :
69
Keterangan :
κ = kappa (Koefisien Kurtosis Persentil) SK = rentang semi antar kuartil P
= persentil
K = kuartil Bila nilai Koefisien Kurtosis Persentil mendekati 0,263, maka dapat disimpulkan data berdistribusi normal. Berdasarkan kurva normal, untuk membuktikan data Berdistribusi normal atau tidak, dapat dihitung berdasarkan rumus Koefisien Kurtosis, yaitu:
Keterangan : a4 = koefisien kurtosis : m = moment sekitar rata-rata, berdasar rumus di bawah
Keterangan : mr = moment ke r = 1 , 2, 3, dst : Xi = data ke i = 1, 2, 3, dst, (titik tengah interval kelas) : n = banyaknya angka pada data : X = rata-rata
70
: fi = frekuensi Bila nilai a4 sama dengan 3, maka data berdistribusi normal, bila a4 kurang dari 3, maka bentuk kurva normal platikurtik, bila nilai a4 lebih besar dari 3, maka bentuk kurva leptokurtic. Secara visual gambar sebagai berikut:
Contoh data tinggi badan masyarakat kalimas
Dihitung Koefisien Kurtosis Persentil sebagai berikut :
71
Hasil Koefisien Kurtosis Persentil 0,265 ≠≈ 0,263, distribusi normal. Selanjutnya dihitung Koefisien Kurtosis.
72
Hasil Koefisien Kurtosis ≈ > 3, mendekati normal.
2. METODE KERTAS PELUANG NORMAL Metode kertas peluang normal membutuhkan kertas grafik khusus yang disebut Kertas Peluang Normal. Berikut langkah-langkah Dalam metode kertas peluang normal: 2.1 CONTOH SOAL
2.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL KERTAS PELUANG NORMAL 1. Langkah pertama dalam mempergunakan metode kertas peluang normal, yaitu data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi relatif (data disajikan dalam bentuk prosentase). Contoh data sebagai berikut:
73
2. Selanjutnya tabel diubah dalam bentuk distribusi frekuensi komulatif relatif kurang dari, sehingga terbentuk tabel sebagai berikut :
3. Berikutnya data komulatif relatif ditampilkan pada kertas peluang normal. Sumbu horisontal tempat meletakkan interval kelas dan sumbu vertikal tempat untuk angka komulatifnya. Pertemuan kelas dan angka komulatif ditandai dengan titik-titik. Jika titik-titik tersebut dihubungkan membentuk garis lurus, berarti data berdistibusi normal.
74
Contoh untuk penyajian data di atas pada kertas peluang normal menjadi sebagai berikut :
75
3.
METODE CHI SQUARE (UJI GOODNESS OF FIT DISTRIBUSI
NORMAL) Metode Chi-Square atau X2 untuk Uji Goodness of fit Distribusi Normal, menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan. Adapun langkah-langkahnya: 1. Rumus X2
Keterangan : X2 = Nilai X2 Oi = Nilai observasi Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal dikalikan N (total frekuensi) ≈ pi x N N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi) Komponen penyusun rumus tersebut di atas didapatkan berdasarkan pada hasil transformasi data distribusi frekuensi yang akan diuji normalitasnya, sebagai berikut:
76
Keterangan : Xi = Batas tidak nyata interval kelas Z = Transformasi dari angka batas interval kelas ke notasi pada distribusi normal pi = Luas proporsi kurva normal tiap interval kelas berdasar tabel normal Oi = Nilai observasi Ei
=
Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal
dikalikan N (total frekuensi) ≈ pi x N 2. Persyaratan a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi. b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 ) c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan. 3. Signifikansi Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square) √ Jika nilai X2 hitung kurang dari nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak. √ Jika nilai X2 hitung lebih besar dari nilai X2 tabel, maka Ho ditolak; Ha diterima. Tabel X2 (Chi-Square)
77
3.1 CONTOH SOAL TINGGI BADAN MASYARAKAT KALIMAS TAHUN 1990
Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? 3.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL UJI CHISQUARE: a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal b. Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 c. Rumus Statistik penguji
78
d. Hitung rumus statistik penguji. Telah dihitung Mean = 165,3 ; Standar deviasi = 10,36
Luasan pi dihitung dari batasan proporsi hasil tranformasi Z yang dikonfirmasikan dengan
tabel distribusi normal (Lampiran 2). Proporsi dihitung
mulai dari ujung kurva paling kiri sampai ke titik Z, namun dapat juga menggunakan sebagian ujung kiri dan sebagian ujung kanan, sehingga hasil pi sebagai berikut. 0,0064– 0,0630= 0,0566 ujung kurve kiri 0,0630– 0,2877= 0,2247 ujung kurve kiri
79
0,2877– 0,3409= 0,3714 melalui tengah titik nol 0,3409– 0,0853= 0,2556 ujung kurve kanan 0,0853– 0,0096= 0,0757 ujung kurve kanan 0,0096– 0,0005= 0,0091 ujung kurve kanan
e. Df/db/dk Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2 f. Nilai tabel Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square) g. Daerah penolakan 1). Menggunakan gambar
80
2). Menggunakan rumus 0,1628 < 5,991 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak h. Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05. 4. METODE LILLIEFORS (N KECIL DAN N BESAR) Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal. Probabilitas ersebut dicari bedanya dengan probabilitas komultaif empiris. Beda terbesar dibanding dengan tabel Lilliefors 1. Rumus
Keterangan : Xi = Angka pada data
Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal
81
Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal F(x) = Probabilitas komulatif normal S(x) = Probabilitas komulatif empiris F(x) =
komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung
dari luasan kurva normal mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Zi.
2. Persyaratan a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi c. Dapat untuk n besar maupun n kecil. 3. Signifikansi Signifikansi uji, nilai F (x) - S (x) terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors. Jika nilai F (x) - S (x) terbesar kurang dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai F (x) - S (x) terbesar lebih besar dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Lilliefors , Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal 4.1 CONTOH SOAL Berdasarkan penelitian tentang intensitas penerangan alami yang dilakukan terhadap 18 sampel rumah sederhana, rata-rata pencahayaan alami di beberapa ruangan dalam rumah pada sore hari sebagai berikut ; 46, 57, 52, 63, 70, 48, 52, 52, 54, 46, 65, 45, 68, 71, 69, 61, 65, 68 lux. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?
82
4.2
LANGKAH-LANGKAH
PENYELESAIAN
LILLIEFORS: a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal b. Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 c. Rumus Statistik penguji
CONTOH
SOAL
UJI
83
d. Hitung rumus statistik penguji.
Nilai F(x) - S(x) tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu 0,1469
84
Cara Hitung rumus statistik penguji. 1. Cari Sx dengan cara Zi dibagi dengan jumlah data. Dalam contoh baris pertama di atas adalah 1 : 18 = 0.0556, demikian seterusnya sampai selesai untuk setiap frekuensi. 2. Cari nilai Zx dengan cara Skor Y dikurangi dengan Mean/nilai ratarata dibagi nilai Standar Deviasi, sebagai contoh untuk baris pertama adalah ( 45-58,44)/9,22=-1,4577 . untuk baris selanjutnya dihitung dengan cara yang sama. 3. Cari nilai Fx tabel (Zt) dengan melihat Tabel Kurva Normal baku (Tabel Z ) berdasarkan nilai Zx –nya, contoh untuk baris pertama. Nilai Z tabel dilihat dalam baris 1,4577 , diperoleh nilai Z sebesar 0.0721, 4. nilai І Fr –Fs І diperoleh dengan menyelisihkan nilai Fs dengan nilai Fr yang sejajar, contoh untuk baris pertama 0.0721 – 0.0556 = 0.0165. 5. setelah selesai cari nilai І Fr –Fs І, diperoleh nilai 0,1469, kemudian bandingankan dengan nilai tabel pada baris N = 18, pada tingkat signifikansi 0.05 diperoleh nilai 0,2000 , karena І Fr –Fs І lebih kecil dari nilai tabel berarti distribusi normal.
e. Df/db/dk Df = φ = tidak diperlukan f. Nilai tabel Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 ; ≈ 0,2000. Tabe Lilliefors pada lampiran 4. g. Daerah penolakan Menggunakan rumus 0,1469
<
0,2000 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
h. Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
85
5. METODE KOLMOGOROV-SMIRNOV Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi menggunakan
yang tabel
berbeda.
Signifikansi
pembanding
metode
Kolmogorov-Smirnov,
Kolmogorov-Smirnov sedangkan
metode
Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors. Langkah-langkah penyelesaiannya: 1. Rumus
Keterangan : Xi = Angka pada data Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal FT = Probabilitas komulatif normal FS = Probabilitas komulatif empiris FT =
komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung
dari luasan kurva mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Z.
86
2. Persyaratan a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi c. Dapat untuk n besar maupun n kecil. 3. Siginifikansi Signifikansi uji, nilai Fr - Fs terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov Smirnov. Jika nilai Fr - Fs terbesar kurang dari nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai Fr - Fs terbesar lebih besar dari nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Kolmogorov Smirnov, Harga Quantil Statistik Kolmogorov Distribusi Normal. 5.1 CONTOH SOAL Untuk perhitungan normalitas distribusi, dimisalkan terdapat sekelompok data dengan skala pengukuran interval dengan dua variabel bebas dan satu variabel terikat sebagai berikut : Tabel skor Variabel bebas (X) dan variabel terikat (Y) X1 4 4 9 12
X2 1 2 8 8
Y 7 12 17 20
87
12
10
21
Dari tabel tersebut misalkan kita ingin menguji normalitas variabel Y , maka untuk memudahkan diperlukan tabel bantu sebagai berikut : Tabel bantu Perhitungan Normalitas Xi 7 12 17 20 21 77
zx -1.43 -0.58 0.27 0.78 0.96 0
Fr 0.08 0.28 0.61 0.79 0.83 -
5.2 LANGKAH-LANGKAH
Fs 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -
І Fr –Fs І 0.12 0.12 0.01 0.01 0.17 -
PENYELESAIAN
UJI
KOLMOGOROV-
SMIRNOV Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 Cara Hitung rumus statistik penguji. Setelah data dimasukan dalam kolom pertama dan dihitung frekuensinya, kemudian dilakukan perhitungan sebagai berikut : a. Cari Fs dengan cara Zi dibagi dengan jumlah data. Dalam contoh baris pertama di atas adalah 1 : 5 = 0.2, demikian seterusnya sampai selesai untuk setiap frekuensi.
88
b. Cari nilai Zx dengan cara Skor Y dikurangi dengan Mean/nilai rata-rata dibagi nilai Standar Deviasi, sebagai contoh untuk baris pertama adalah (7 – 15.4)/5.86 = - 1.43. untuk baris selanjutnya dihitung dengan cara yang sama. c. Cari nilai Z tabel (Zt) dengan melihat Tabel Kurva Normal baku (Tabel Z ) berdasarkan nilai Zx –nya, contoh untuk baris pertama. Nilai Z tabel dilihat dalam baris 1,4 dan kolom 3, diperoleh nilai Z sebesar 0.4236, karena nilai Zx – nya bernilai minus maka nilai Z tabel yang diisikan adalah 0.5 - 0.4236 = 0.0764 (0.08). bila Zx bernilai positif maka nilai Z tabel yang diisikan adalah ditambah 0.5. d. nilai І Fr –Fs І diperoleh dengan menyelisihkan nilai Fs dengan nilai Fr yang sejajar, contoh untuk baris pertama 0.08 – 0.2 = 0.12. e. setelah selesai cari nilai І Fr –Fs І, diperoleh nilai 0.17, kemudian bandingankan dengan nilai tabel pada baris N = 5, pada tingkat signifikansi 0.05 diperoleh nilai 0.510, karena І Fr –Fs І lebih kecil dari nilai tabel berarti distribusi normal.
6. METODE SHAPIRO WILK Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi
frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi dalam dua kelompok untuk
dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat juga dilanjutkan transformasi dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal. Langkah-langkah penyelesaiannya: 1. Rumus
Keterangan : D = Berdasarkan rumus di bawah ai = Koefisient test Shapiro Wilk
89
X n-i+1 = Angka ke n – i + 1 pada data X i = Angka ke i pada data
Keterangan : Xi = Angka ke i pada data yang X = Rata-rata data
G = Identik dengan nilai Z distribusi normal T3 = Berdasarkan rumus di atas bn, cn, dn = Konversi Statistik Shapiro-Wilk Pendekatan Distribusi Normal 2. Persyaratan a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi c. Data dari sampel random 3. Signifikansi Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T3 dibandingkan dengan nilai tabel Shapiro Wilk, untuk dilihat posisi nilai probabilitasnya (p). Jika nilai p lebih dari 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak.
90
Jika nilai p kurang dari 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima, Tabel Harga Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal Jika digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal. 6.1 CONTOH SOAL Berdasarkan data usia sebagian balita yang diambil sampel secara random dari
posyandu Mekar Sari Wetan sebanyak 24 balita, didapatkan dat
sebagai berikut : 58, 36, 24, 23, 19, 36, 58, 34, 33, 56, 33, 26, 46, 41, 40 37, 36, 35, 18, 55, 48, 32, 30 27 bulan. Selidikilah data usia balita tersebut apakah data tersebut diambil dari populasi yang berdistribusi normal pad α = 5% ? 6.2
LANGKAH-LANGKAH
PENYELASAIAN
SHAPIRO WILK : a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal b. Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 c. Rumus statistik penguji
CONTOH
SOAL
UJI
91
d. Hitung rumus statistik penguji Langkah pertama dihitung nilai D, yaitu :
92
Langkah berikutnya hitung nilai T, yaitu :
93
e. Df/db/dk =n f. Nilai tabel Pada lampiran 6 dapat dilihat, nilai α (0,10) = 0,930 ; nilai α (0,50) = 0,963 g. Daerah penolakan Nilai T3 terletak diantara 0,930 dan 0,963, atau nilai p hitung terletak diantara 0,10 dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak h. Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05. Cara lain setelah nilai T3 diketahui dapat menggunakan rumus G, yaitu
94
Hasil nilai G merupakan nilai Z pada distribusi normal, yang selanjutnya dicari nilai proporsi (p) luasan pada tabel distribusi normal . Berdasarkan nilai G = -1,2617, maka nilai proporsi luasan = 0,1038. Nilai p tersebut di atas nilai α = 0,05 berarti Ho diterima Ha ditolak. Data benar-benar diambil dari populasi normal. 7. METODE UJI Z Dalam kehidupan sehari-hari tidak jarang kita dihadapkan oleh data yang bervariasi dan fluktuatif, contohnya nilai mahasiswa, tinggi badan mahasiswa, pemasukan, pengeluaran, keuntungan, dsb. Seringkali kita mengira-ngira besarnya rata-rata dari data tersebut, namun tidak jarang pula perkiraan tersebut meleset dari rata-rata sebenarnya. Untuk pengujian rata-rata pada sampel dengan rata-rata yang diperkirakan sebelum dilakukan pengujian oleh peneliti dapat dilakukan dengan uji Z. Dengan Uji Z dapat diketahui apakah perkiraan awal peneliti dapat diterima (hipotesis diterima) atau tidak (hipotesis ditolak). Penaksir titik rataan populasi μ diberikan oleh statistik . Distribusi berpusat di μ dan umumnya variansinya lebih kecil dari penaksir μ lainnya. Karena itu rataan sampel akan dipakai sebagai taksiran titik untuk rataan populasi μ. Menurut teorema limit sentral, distribusi sampel dapat diharapkan secara hampiran, berdistribusi normal dengan rataan dari simpangan baku P (-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 – α di mana : μ
= rataan sampel
ĩ
= rataan populasi
σ
= standar deviasi populasi
n
= jumlah sampel
95
RUMUS:
KET: _ X = mean data sampel µ = mean data populasi α = standar deviasi data populasi n = jumlah sampel yang diteliti
7.1 CONTOH SOAL Dari 100 nasabah bank rata-rata melakukan penarikan $495 per bulan melalui ATM, dengan simpangan baku = $45. Dengan taraf nyata 1% , ujilah : apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM kurang dari $500 per bulan ? 7.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAI CONTOH SOAL METODE UJI Z:: 1. Menetukan populasi 2.Menetukan
sampel
dari
populasi
dengan
menggunakan
mathcad,
yaitu
menggunakan fungsi Random Number Diskrit 3. Mengambil data berdasarkan sampel yang telah ditentukan 4. Menetukan H0 5. Menetukan H1 6. Memilih nilai level of significance (α) 7. Memilih statistik uji yang sesuai berdasarkan apa yang akan diuji, kondisi data, dan asumsi 8. Perhitungan daerah kritis atau daerah penolakan
96
Untuk H1 : μ < μo, maka daerah kritisnya adalah Z< -Zα Untuk H1 : μ > μo, maka daerah kritisnya adalah Z> Zα Untuk H1 : μ ≠ μo, maka daerah kritisnya adalah Z< -Zα/2 dan Z> Zα/2 9. Perhitungan nilai Z sampel 10. Penarikan kesimpulan JAWAB: Diketahui: x = 495 1. H0 : µ = 500
s = 45
n=100
µ0 =500 α=1%
H1 : µ < 500
2. statistik uji : z → karena sampel besar 3. arah pengujian : 1 arah 4. Taraf Nyata Pengujian = α = 1% = 0.01 5. Titik kritis → Z < - Z001→ Z < - 2.33 . 6. Statistik Hitung
7. Kesimpulan : z hitung = -1.11 ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima, rata-rata pengambilan uang di ATM masih = $ 500
97
D. SOAL-SOAL LATIHAN 1. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Kemiringan/Kemencengan Berikut adalah data nilai ujian mid mahasiswa pada mata kuliah ekonomi pembangunan. no 1 2 3 4 5 6 7 8
data 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 86 - 90 91 - 95 96 - 100 jumlah
Fi 8 10 16 20 19 17 6 4 100
Dari data di atas, tentukan apakah berdistribusi normal atau bergambar simetris? 2. Soal Latihan Kertas Peluang Normal Berikut adalah data penelitian umur mahasiswa FKIP Jurusan PIPS dari angkatan 2005-2009. Yang terdiri dari 100 mahasiswa secara sampel . Di mana datanya adalah sbb: no 1 2 3 4 5
umur mahasiswa
jumlah (Oi)
PROSENTASI
17 - 18 19 - 20 21 - 22 23 - 24 25 - 26 jumlah
18 19 20 21 22 100
0,18 0,19 0,2 0,21 0,22 1
Apakah temasuk dalam dalam data berdistribusi normal?
98
3. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Chi-Square Berikut adalah data penelitian umur mahasiswa FKIP Jurusan PIPS dari angkatan 2005-2009. Yang terdiri dari 100 mahasiswa secara sampel . Di mana datanya adalah sbb: no 1 2 3 4 5
umur mahasiswa 17 - 18 19 - 20 21 - 22 23 - 24 25 - 26 jumlah
jumlah (Oi) 18 19 20 21 22 100
Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? Telah dihitung Mean = 20 ; Standar deviasi = 1,581...
4 Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Lillifors Berikut adalah hasil penelitian yang dilakukan oleh salah satu mahasiswa tentang daftar nilai 16 siswa SMA di kota Jambi. 5,8 10,1
7,3 8,6
8,9 9,0
7,1 9,3
8,8 6,4
6,4 7,0
7,2 9,9
5,2 6,8
Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ? jika diketahui X = 7,735, SD = 1,4966. 5. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Kolmogorov-Smirnov
99
Suatu
penelitian
tentang
berat
badan
peserta
pelatihan
kebugaran
fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ? 6. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Shafiro-Wilk Berikut adalah data nilai 18 mahasiswa
Pendidikan Ekonomi pada mata kuliah
Matematika Ekonomi: 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 12, 12, 12, 12, 12, 12. Selidikilah data usia balita tersebut apakah data tersebut diambil dari populasi yang berdistribusi normal pada α = 5% ? 7. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Z rikut adalah data nilai prestasi kerja karyawan yang mendapat training dengan yang tidak mendapat training.
Dengan taraf nyata 5 % ujilah : Apakah perbedaan rata-rata nilai prestasi kerja µ 1− µ 2 > 0?
100
E. JAWABAN SOAL LATIHAN 1. Jawaban Soal Latihan Kemiringan/Kemencengan
Uji
Normalitas
Dengan
Metode
Penyelesaian: no 1 2 3 4 5 6 7 8
data 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 86 - 90 91 - 95 96 - 100 jumlah
Modus
Fi 8 10 16 20 19 17 6 4 10 0
Xi 63 68 73 78 83 88 93 98
Fi x Xi 504 680 1168 1560 1577 1496 558 392
Xi - X -16,35 -11,35 -6,35 -1,35 3,65 8,65 13,65 18,65
Fi.(Xi -X) -130,8 -113,5 -101,6 -27 69,35 147,05 81,9 74,6
(Xi - X)2 267,323 128,823 40,3225 1,8225 13,3225 74,8225 186,323 347,823
Fi. (Xi - X)2 2138,58 1288,225 645,16 36,45 253,1275 1271,9825 1117,935 1391,29
644
7935
9,2
5,4E-13
1060,58
8142,75
= 75,5 +(4 / (4 + 1)) (5) = 75,5 + (0,8) (5) = 75,5 + 4 = 79,5
Median
= 80,5 + )(100/2)- 54)/17 (5) = 80,5 + ((-4)/17) (5) = 80,5 + (1,18) = 81,68
Rata-rata
= ∑ (Fi . Xi)/Fi
101
= 7935 / 100 = 79,35 SD2
= ∑ Fi. (Xi - X)2 / Fi = 8142,75 / 100 = √ 81,4275 = 9,024
Kemiringan
= (79,35 – 79,5)/9,024 ≈ 3 (79,35 – 81,68)/9,024 = (0,017) ≈ (0,775)
Nilai kemiringan 0,017 atau 0,775, berarti miring ke kiri, tidak simetris 2. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Kertas Peluang Normal n umur o mahasiswa
KOMULATIF %
1
16,5
0
2
18,5
0,18
3 4 5
20,5 22,5 24,5 26,5
0,37 0,57 0,78 1
102
Selanjutnya Masukan Data Diatas Kedalam Kertas Peluang Normal
3. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Chi-Square Penyelesaian:
103
batas no kelas bawah 1 2 3 4 5
Z
-2,21 - – (0,95) -0,95 18,5 - – 20,5 0,32 0,32 20,5 – -22,5 1,58 1,58 22,5 – -24,5 2,85 2,85 24,5 - – 26,5 4,11 16,5 18,5
Pi
Oi
Pi - Oi
Oi Ei
-
(Oi - Ei )2
(Oi-Ei)/Ei
0,001000518
0,0122 – 0,1469 = -0,1347
18
18,135 -0,135
0,018144 1
0,1469 – 0,3632 = 1,1058
19
1,105 17,894 8
1,222793 6
0,068334636
0,3632 – 0,1056 =0,2576 20
0,257 19,742 6
0,066357 8
0,00336118
0,1056 – 0,0016 =0,1040 21
20,896 0,104
0,010816
0,000517611
0,001 21,999 5
0.000002 5 1,318111 5
0,0016 – 0,0001 =0,0015 22 10 0
Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 Hitung rumus statistik penguji.
X2 = 0,073213945
0 0,073213945
104
Df/db/dk Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2 Nilai tabel Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Daerah penolakan Menggunakan rumus 0,073213945 < 5,991 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
4. Jawaban Soal Latihan Uji Normolitas Dengan Metode Uji Lilliefors Penyelesaian: Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 Tabel Uji normalitas dengan metode uji Lilliefors i 1 2 3 4
xi 5,20 5,80 6,40 6,40
z -1,70 -1,29 -0,89 -0,89
F0(xi) 0,0446 0,0985 0,1867 0,1867
S(xi) 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500
|S(xi) – F0(xi)| 0,0179 0,0265 0,0008 0,0633
105
i 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
xi 6,80 7,00 7,10 7,20 7,30 8,60 8,80 8,90 9,00 9,30 9,90 10,10
z -0,63 -0,49 -0,43 -0,36 -0,29 0,58 0,71 0,78 0,84 1,04 1,44 1,58
F0(xi) 0,2643 0,3121 0,3336 0,3594 0,3859 0,7190 0,7611 0,7823 0,7995 0,8508 0,9251 0,9429
S(xi) 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000 0,5625 0,6250 0,6875 0,7500 0,8125 0,8750 0,9375 1,0000
|S(xi) – F0(xi)| 0,0482 0,0629 0,1039 0,1406 0,1766 0,0940 0,0736 0,0323 0,0130 0,0242 0,0124 0,0571
nilai Dhitung terbesar, yaitu 0,1766. Nilai tabel Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 ; ≈ 0,213. Daerah penolakan Menggunakan rumus 0,1766
<
0,213 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05. 5. Jawaban soal latihan uji Normalitas dengan Metode Uji Kolmogorov-Smirnov Penyelesaian: Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
106
Hitung rumus penguji
Nilai 0,1440
FT − FS
tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu
107
Nilai tabel Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α = 0,05 ; N = 27 ; ≈ 0,254. Tabel Kolmogorov Smirnov Daerah penolakan Menggunakan rumus 0,1440
<
0,2540 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
6. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Shafiro-Wilk
no
Xi
X
(Xi – X)
(Xi – X)2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7 7 9 9 9 9 9 10,5 10,5 10,5 10,5
10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19
-3,19444 -3,19444 -1,19444 -1,19444 -1,19444 -1,19444 -1,19444 0,305556 0,305556 0,305556 0,305556
10,204 10,204 1,4267 1,4267 1,4267 1,4267 1,4267 0,0934 0,0934 0,0934 0,0934
12
10,5
10,19
0,305556
0,0934
13
12
10,19
1,805556
3,26
14 15 16 17
12 12 12 12
10,19 10,19 10,19 10,19
1,805556 1,805556 1,805556 1,805556
3,26 3,26 3,26 3,26
108
18
12 183,5
10,19
1,805556
3,26 47,569
D = 47,569 Menghitung T:
T3
NO ai
(X(n-i+1) – Xi)
Ai( X(n-i+1) – Xi)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 - 7 = 5 12 - 7 = 5 12 - 9 = 3 12 - 9 = 3 12 - 9 = 3 12 - 9 = 3 10,5 - 9 = 0,5 0 0
2,443 1,6265 0,7659 0,6081 0,4761 0,3591 0,04185 0 0 6,32055
0,4886 0,3253 0,2553 0,2027 0,1587 0,1197 0,0837 0,0496 0,0163 jumlah
= 1/47,569 (6,32055)2 = 0,021 ( 39,949) = 0,839
109
Df/db/dk = n Nilai tabel nilai α (0,10) = 0,914 ; nilai α (0,50) = 0,956 Daerah penolakan Nilai T3 terletak di bawah 0,914 dan 0,956, atau nilai p hitung terletak di bawah 0,10 dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05. 7. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Z: Penyelesaian: α=5%
d0 = 0
2* statistik uji : z → karena sampel besar 3* arah pengujian : 1 arah 4* Taraf Nyata Pengujian = α = 5% 5. Titik kritis → Z>Z5%→ Z > 1.645 6. Statistik Hitung
110
7. Kesimpulan : Z hitung = 4 ada di daerah penolakan H0 H0 ditolak, H1 diterima → beda rata-rata prestasi kerja > 0
111
112
UJI HOMOGENITAS (UJI KESAMAAN DUA VARIANS) A. PENGERTIAN UJI HOMOGENITAS B. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI HOMOGENITAS Uji homogenias atau uji kesamaan dua varians digunakan untuk menguji apakah kedua data tersebut homogen yaitu dengan membandingkan kedua variansnya. Jika kedua varians sama besarnya, maka uji homogenitas tidak perlu dilakukan lagi karena datanya sudah dapat dianggap homgen. Namun untuk varians yang tidak sama besarnya, perlu diadakan pengujian pengujian homogenitas melalui uji kesamaan dua varians ini. Uji homogenitas dapat di lakukan apabila datanya bersivat normal. FUNGSI UJI HOMOGENITAS Fungsi dari uji homogenitas yaitu untuk membuktikan apakah kelompok data-data tersebut bersifat homoge atau tidak. CARA PENGUJIAN HOMOGENITAS 1. Varians terbesar dibandingkan varians terkecil. 2. Varians terkecil dibandingkan varians terbesar. 3. Uji barlett (untuk lebih dari dua kelompok. C. BAGIAN-BAGIAN UJI HOMOGENITAS 1. PENGUJIAN DENGAN RUMUS FARIANS F Pengujian homogenitas data dengan menggunakan rumus farians dilakukan untuk menguji 2 kelompok varians. Pada rumus fariasn kita dapat melakukan uji homogenitas apabila telah melakukan penelitian. Terdapat dua rumus farians sebagai berikut: 1. VARIANS TERBESAR DIBANDINGKAN VARIANS TERKECIL
113
-
Cari Fhitung dengan menggunakan rumus:
F= -
Tetapkan taraf signifikasi (α)
-
Hitung Ftabel dengan rumus
Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1) Dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel -
Tentukan kriteria pengujian Ho yaitu: Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen)
-
Bandingkanlah Fhitung dengan Ftabel
-
Buatlah kesimpulan.
1.1 CONTOH SOAL Didalam suatu kelompok pengujian terdapat 2 kelmpok yang memiliki variansvarians sebagai berikut: Kelompok ke 1: 10, 3, 12, 5, 7, 10, 8, 14, 14, 14 Kelompok ke 2: 3, 5, 7, 8, 1, 1, 12, 13, 14, 15 Pertanyaan: apakah kedua kelompok tersebut memiliki varians yang homogen? α = 10% 1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL Tentukan terlebih dahulu Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2 H0 = tidak terdapat perbedaan varians 1 dan varians 2
114
Terlebih dahulu mencari rata-rata kedua kelompok varians tersebut dengan rumus yaitu: Kelompok 1: = = =
= 9,7
xi 10 3 12 5 7 10 8 14 14 14 97
(xi - ) 0,3 -6,7 2,3 -4,7 -2,7 0,3 -1,7 4,3 4,3 4,3
(xi - ) 0,09 44,89 5,29 22,09 7,29 0,09 2,89 18,49 18,49 18,49 138,10
Setelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 = S2 =15,344444 Kelompok ke 2: = = =
= 7,9
115
xi 3 5 7 8 1 1 12 13 14 15 79
(xi - ) -4,9 -2,9 -0,9 -0,1 -6,9 -6,9 4,1 5,1 6,1 7,1
(xi - ) 24,01 8,41 0,81 0,01 47,61 47,61 16,51 26,01 37,21 50,41 258,6
Setelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 = S2 = 28,73333333333 Setelah itu barulah dimasukkan kedalam rumus:
F= Varians terbesar: 28,733333333333 atau 28,73 Varians terkecilnya: 15,344444 atau 15,34
F= F = 1,87288 Setelah didapat F hitung barulah di cari F tabelnya
Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)
Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)
116
Ftabel = F½ 10% (10 - 1, 10 - 1) Ftabel = F0,05 (9, 9) Dengan melihat ke tabel varians maka F tabelnya yaitu: 3,18 Bandingkan F hitung dengan F tabel, Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen) 1,87288 ≤ 3,18 Maka Ho diterima (homogen)
2. VARIANS TERKECIL DIBANDINGKAN VARIANS TERBESAR Langkah-langkahnya: untuk langkah-langkahnya sama seperti di atas, tetapi sedikit ada perbedaan Rumusnya:
Fkini = Lalu mencari Ftabel kanan dengan rumus:
Ftabel kanan = F1/2α (dk varians terkecil – 1, deka varians terbesar -1) Atau
Ftabel kiri = Setelah itu barulah dibandingkan nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan 2.1 CONTOH SOAL Didalam suatu kelompok pengujian ter dapat 2 kelmpok yang memiliki variansvarians sebagai berikut: Kelompok ke 1: 10, 3, 12, 5, 7, 10, 8, 14, 14, 14
117
Kelompok ke 2: 3, 5, 7, 8, 1, 1, 12, 13, 14, 15 Pertanyaan: apakah kedua kelompok tersebut memiliki varians yang homogen? α = 10% 2.1 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIN CONTOH SOAL Tentukan terlebih dahulu Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2 H0 = tidak terdapat perbedaan varians 1 dan varians 2 Terlebih dahulu mencari rata-rata kedua kelompok varians tersebut dengan rumus yaitu: Kelompok 1: = = =
= 9,7
xi 10 3 12 5 7 10 8 14 14 14 97
(xi - ) 0,3 -6,7 2,3 -4,7 -2,7 0,3 -1,7 4,3 4,3 4,3
(xi - ) 0,09 44,89 5,29 22,09 7,29 0,09 2,89 18,49 18,49 18,49 138,10
Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 =
118
S2 = S2 =15,344444 Kelompok ke 2: = = =
xi 3 5 7 8 1 1 12 13 14 15 79
= 7,9
(xi - ) -4,9 -2,9 -0,9 -0,1 -6,9 -6,9 4,1 5,1 6,1 7,1
(xi - ) 24,01 8,41 0,81 0,01 47,61 47,61 16,51 26,01 37,21 50,41 258,6
Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 = S2 = 28,73333333333 Dengan menggunakan rumus yang sebaliknya kita akan mendapatkan F kini
Fkini =
119
Fkini = Fkini = 0,533936651 atau 0,53 Setelah dapat kini (dk barulah kita mencari dengan rumus: Ftabel kanan = FF1/2α varians terkecilF– kanan 1, deka varians terbesar -1) Ftabel kanan = F1/2 10% (10 - 1, 10 - 1) Ftabel kanan = F 5% (9, 9) Ftabel kanan = 3,18 Selanjutnya kita mencari Ftabel kiri dengan rumus:
Ftabel kiri = Ftabel kiri = Ftabel kiri = 0,314465408 atau 0,314 Setelah didapat semua barulah kita menguji kriteria pengujianya, yaitu: nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan -0,314 ≤ 0,53 ≤ 3,18 H0 diterima (homogen)
3. UJI BARLET Uji barlet digunakan apabila pengujian homogenitas dilakukan terhadap tiga kelompok varians atau lebih. Langkah-langkah yang harus dilakukan sebagai berikut: - Menghitung S2 dengan menggunakan rumus:
120
- Hitung log S2
- Hitung B dengan rumus B = (log S2 ) ∑(n1 – 1) - Cari
hitung
dengan rumus:
hitung
= (2,3026) B - ∑ (n1 – 1)
log -
Tetapkan taraf signitifnya (α)
-
Cari
tabel
dengan rumus:
tabel
=
(1-α)
(dk)
Dimana dk = banyaknya kelompok -1 Dengan menggunakan tabel -
Bandingkan
hitung
dengan
didapat
hitung
tabel
2.1 CONTOH SOAL Kelompok varians 1 dengan anggota 7 20, 21, 22, 35, 31, 45, 12 2 dengan anggota 9 12, 22, 25, 22, 30, 32, 26, 27, 24 3 dengan anggota 5 17, 20, 23, 29, 27 Apakah ketiga kelompok tersebut bersifat homogeny atau tidak dengan α = 1% atau 0,01 2.2LANGKAH-LANKAH PENYELESAIAN: Ha = terdapat perbedaan varians H0 = tidak terdapat perbedaan varians Kelompok 1:
121
Xi = Xi = Xi = 26,5714 atau 26,6 xi 20 21 22 35 31 45 12 186
(xi - ) -6,6 -5,6 -4,6 8,4 4,4 18,4 -14,6
(xi - ) 43,56 31,36 21,16 70,56 19,36 338,56 213,16 738,72
S2 = S2 = S2 = 123,12 Kelompok ke 2: Xi = Xi =
Xi = 24,44444444 atau 24,4
xi 12 22 25 22 30 32 26 27 24
(xi - ) -12,4 -2,4 0,6 -2,4 5,6 7,6 1,6 2,6 -0,4
(xi - ) 153,76 5,76 0,36 5,76 31,36 57,76 2,56 6,76 0,16
122
220
264,04
S2 = S2 = S2 = 33,005 Kelompok ke 3: Xi = Xi = Xi = 23,2 xi 17 20 23 29 27 116
(xi - ) -6,2 -32 -0,2 5,8 3,8
(xi - ) 38,44 10,24 0,04 33,64 14,44 96,8
S2 = S2 = S2 = 24,2 Kelompok 1 dengan anggota 7 2 dengan anggota 9
varians 20, 21, 22, 35, 31, 45, 12 12, 22, 25, 22, 30, 32, 26, 27,
S2 123,12 33,005
3 dengan anggota 5
24 17, 20, 23, 29, 27
24,2
Tabel barlet
123
Kelompok
Dk (n-1)
ke 1 2 3 jumlah
6 8 4 18
Hitung
0,16 0,12 0,25 0,53
123,12 33,005 24,2 -
log
dk
dk log
2,09 1,52 1,39 -
738,72 264,04 96,8 1099,58
12,54 12,16 5,56 30,26
dengan menggunakan rumus:
= = 61,03 log
= log 61,03 = 1,785
B = (1,785) (18) = 32,13
hitung
= 2,3026 (32,13 – 30,26) = 4,305862 atau 4,305
Taraf signifikansi (α) = 0,01
tabel
(1 – α)(dk)
=
0,99 (2)
Dk = 3 – 1 =2 Dengan menggunakan tabel
hitung
≤
tabel
= 4,30 ≤ 9,21
didapat
tabel
= 9,21
124
Jadi H0 diterima (homogen)
125
D. SOAL LATIHAN
1) Terdapat dua macam pengukuran prosedur kerja di sebuah kantor: Kelompok 1: 5, 2, 5, 1, 6, 7, 3, 6, 6, 2 Kelompok 2: 3, 3, 6, 9, 8, 6, 7, 5, 4, 2 Diketahui α = 0,10 (10%) Pertanyaanya: Apakah kedua kelompok varians tersebut memiliki varians yang homogen? Buktikan dengan menggunakan rumus: a. Varians terbesar dibagi varians terkecil b. Varians terkecil dibagi varians terbesar 2) Terdapat empat kelompok penelitian yaitu: Kelompok 1: 3, 10, 12, 1, 5, 7 Kelompok 2: 6, 4, 13, 11, 1 Kelompok 3: 5, 5, 9, 10, 11, 16 Kelompok 4: 2, 1, 4, 3, 10 Diketahui α = 0,01(1%)
126
E. JAWABAN SOAL LATIHAN 1) A Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2 H0 = tidak dapat perbedaan varians 1 dan varians 2
KELOMPOK Kelompok ke 1 Kelompok ke 2
VARIANS 5, 2, 5, 1, 6, 7, 3, 6, 6, 2 3, 3, 6, 9, 8, 6, 7, 5, 4, 2
Kelompok 1: = = =
= 4,9
xi 5 2 5 1 6 7 3 6 6 2 49
(xi - ) 0,1 -2,9 0,1 -3,9 1,1 2,1 -1,9 1,1 1,1 -2,9
(xi - ) 0,01 8,41 0,01 15,21 1,21 4,41 3,61 1,21 1,21 8,41 43,7
Setelah itu baru lah cari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 =
127
S2 =4,855555556 atau 4,85 Kelompok ke 2: = = =
= 5,3
xi 3 3 6 9 8 6 7 5 4 2 53
(xi - ) -2,3 -2,3 0,7 3,7 2,7 0,7 1,7 -0,3 -1,3 -3,3
(xi - ) 5,29 5,29 0,49 13,69 7,29 0,49 2,89 0,09 1,69 10,89 48,01
Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 = S2 = 5,334444444 Setelah itu barulah dimasukkan kedalam rumus:
F= Varians terbesar: 5,334444444 atau 5,33 Varians terkecilnya: 4,855555556 atau 4,85 F=
128
F = 1,098969072 Setelah didapat F hitung barulah di cari F tabelnya
Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1) Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1) Ftabel = F½ 10% (10 - 1, 10 - 1) Ftabel = F 5%(9, 9) Dengan melihat ke tabel varians maka F tabelnya yaitu: 3,18 Bandingkan F hitung dengan F tabel, Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen) 1,098969072 ≤ 3,18 Maka Ho diterima (homogen) B. Dengan meggunakan rumus yang ke 2 kita tidak perlu lagi mengulang rumus pertama untuk mencari F tabel tapi kita langsung saja mencari F kini dengan rumus:
Fkini =
Fkini = Fkini = 0,909943714 atau 0,91 Setelah dapat kini (dk barulah kita mencari dengan rumus: Ftabel kanan = FF1/2α varians terkecilF– kanan 1, deka varians terbesar -1) Ftabel kanan = F1/2 10% (10 - 1, 10 - 1) Ftabel kanan = F 5% (9, 9) Ftabel kanan = 3,18 selanjutnya kita mencari Ftabel kiri dengan rumus:
Ftabel kiri = Ftabel kiri = Ftabel kiri = 0,314465408 atau 0,314
129
Setelah didapat semua barulah kita menguji kriteria pengujianya, yaitu: nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan -0,314 ≤ 0,91 ≤ 3,18 H0 diterima (homogen) No 2. Kelompok varians 1 dengan jumlah varians 6 3, 10, 12, 1, 5, 7 2 dengan jumlah varians 5 6, 4, 13, 11, 1 3 dengan jumlah varians 6 5, 5, 9, 10, 11,16 4 dengan jumlah varans 5 2, 1, 4, 3, 10 Apakah ketiga kelompok tersebut bersifat homogeny atau tidak dengan α = 1% atau 0,01 Jawab: Ha = terdapat perbedaan varians H0 = tidak terdapat perbedaan varians Kelompok 1: Xi = Xi = Xi = 6,333333333 atau 6,3 xi 3 10 12 1 5 7 48
(xi - ) -3,3 3,7 5,7 -5,3 -1,3 0,7
(xi - ) 10,89 13,69 32,49 28,09 1,69 0,49 87,34
130
S2 = S2 = S2 = 17,468 Kelompok ke 2: Xi = Xi = Xi = 7 xi 6 4 13 11 1 35
(xi - ) -1 -3 6 4 -6
(xi - ) 1 9 36 16 36 98
S2 = S2 = S2 = 24,5 Kelompok ke 3: Xi = Xi = Xi = 9,333333333 atau 9,3 xi 5 5 9
(xi - ) -4,3 -4,3 -0,3
(xi - ) 18,49 18,49 0,09
131
10 11 16 56
0,7 1,7 6,7
0,49 2,89 44,89 85,34
S2 = S2 = S2 = 17,068 Kelompok ke 4: Xi = Xi = Xi = 4 xi 2 1 4 3 10 20
(xi - ) -2 -3 0 -1 6
(xi - ) 4 9 0 1 36 50
S2 = S2 = S2 = 12,5 Kelompok 1 dengan jumlah varians 6 2 dengan jumlah varians 5 3 dengan jumlah varians 6 4 dengan jumlah varans 5
varians 3, 10, 12, 1, 5, 7 6, 4, 13, 11, 1 5, 5, 9, 10, 11,16 2, 1, 4, 3, 10
S2 17,468 24,5 17,068 12,5
132
Tabel barlet Kelompok
Dk (n-1)
ke 1 2 3 4 jumlah
5 4 5 4 18
Hitung
0,2 0,25 0,2 0,25 0,9
17,468 24,5 17,068 12,5 -
log
dk
dk log
1,24 1,39 1,23 1,10 -
22,468 98 85,34 50 255,808
6,2 5,56 6,15 4,4 22,31
dengan menggunakan rumus:
= = 1,24 log
= log 1,24 = 0,093
B = (0,093) (18) = 1,674 hitung
= 2,3026 (1,674 – 22,31) = -20,636
Taraf signifikansi (α) = 0,01 tabel
(1 – α)(dk)
=
0,99 (3)
Dk = 4 – 1= 3 Dengan menggunakan tabel hitung
≤
tabel
didapat
= -20,636 ≤ 11,3
Jadi H0 diterima (homogen)
tabel
= 11,3
133
134
REGRESI & KORELASI LINIER SEDERHANA 1. PENGERTIAN REGRESI KORELASI • Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911) • Persamaan regresi :Persamaan matematik yang memungkinkan peramalan nilai suatu peubah takbebas (dependent variable) dari nilai peubah bebas (independent variable) • Diagram Pencar = Scatter Diagram Diagram yang menggambarkan nilai-nilai observasi peubah takbebas dan peubah bebas. Nilai peubah bebas ditulis pada sumbu X (sumbu horizontal) Nilai peubah takbebas ditulis pada sumbu Y (sumbu vertikal) Nilai peubah takbebas ditentukan oleh nilai peubah bebas Anda sudah dapat menentukan mana peubah takbebas dan peubah bebas? Contoh 1: Umur Vs Tinggi Tanaman (X : Umur, Y : Tinggi) Biaya Promosi Vs Volume penjualan (X : Biaya Promosi, Y : Vol. penjualan) 2. BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN REGRESI : A. Regresi Linier - Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana Y = a + bX Keterangan: Y : peubah takbebas X : peubah bebas a : konstanta b : kemiringan
135
- Bentuk Umum Regresi Linier Berganda Y = a + b1X1 + b2X2 + ...+ bnXn Y : peubah takbebas a : konstanta X1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1 X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan ke-2 Xn : peubah bebas ke-n bn : kemiringan ke-n B. Regresi Non Linier - Bentuk umum Regresi Eksponensial Y = abx log Y = log a + (log b) x 1. REGRESI LINIER SEDERHANA • Metode Kuadrat terkecil (least square method): metode paling populer untuk menetapkan persamaan regresi linier sederhana - Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana : Y = a + bX Ket: Y : peubah takbebas X : peubah bebas a : konstanta b : kemiringan Nilai b dapat positif (+) dapat negartif (-)
136
: positif → Y
b : negatif → Y
Y = a+bX
Y= a - bX
• Penetapan Persamaan Regresi Linier Sederhana
n : banyak pasangan data yi : nilai peubah takbebas Y ke-i xi : nilai peubah bebas X ke-i 1.1 CONTOH SOAL Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan Minyak Goreng. Tahun
1992
x
y
Biaya
Volume
Promosi
Penjualan
(Juta
(Ratusan
Rupiah) 2
Juta Liter) 5
xy
x²
y²
10
4
25
137
1993 1994 1995 1996 Σ
4 5 7 8 Σx = 26
6 8 10 11 Σy = 40
24 40 70 88 Σxy = 232
16 25 49 64 Σx² =158
36 64 100 121 Σy² = 346
1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN Bentuk umum dari regresi linier sederhana : Y = a + bX
• • • •
Peramalan dengan Persamaan Regresi
Contoh soal Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y (Volume penjualan dalam Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linier berikut Y = 2.530 + 1.053 X Perkirakan Volume penjualan jika dikeluarkan biaya promosi Rp. 10 juta ? Jawab : Y = 2.530 + 1.053 X X = 10 Y = 2.53 + 1.053 (10) = 2.53 + 10.53 = 13.06 (ratusan juta liter) Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter
138
2. REGRESI LINIER BERGANDA • Pembahasan akan meliputi regresi linier dengan 2 Variabel Bebas (X1 dan X2) dan 1 Variabel Tak Bebas (Y). • Bentuk Umum : Y = a + b1 X1 + b2 X2 Y : peubah takbebas a : konstanta X1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1 X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan ke-2 • a , b1 dan b2 didapatkan dengan menyelesaikan tiga persamaan Normal berikut:
n : banyak pasangan data yi : nilai peubah takbebas Y ke-i x1i : nilai peubah bebas X1 ke-i x2i : nilai peubah bebas X2 ke-i 2.1 CONTOH SOAL: Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris (X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit) x1
X2
y
x1 x2
x1y
x2y
x1²
x2²
y²
2 3 5 6 7 8
3 4 6 8 9 10
4 5 8 10 11 12
6 12 30 48 63 80
8 15 40 60 77 96
12 20 48 80 99 120
4 9 25 36 49 64
9 16 36 64 81 100
16 25 64 100 121 144
139
xΣ1=31
xΣ2= 40
yΣ=50
xxΣ12= 239
xyΣ1= 296
xyΣ2= 379
2.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESIAN Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda = a + b1 X1 + b2 X2
Masukan notasi-notasi ini dalam persamaan normal
Sehingga didapat persamaan berikut:
xΣ12= 187
xΣ22= 306
yΣ2= 470
140
Sehingga Persamaan Regresi Berganda a + b1 X1 + b2 X2 dapat ditulis sebagai 0.75 + 0.50 X1 + 0.75 X2
141
142
UJI LINEARITAS 1. PENGERTIAN UJI LINEARITAS ( REGRESI ) Uji Linearitas merupakan lanjutan dari Regresi. Regresi adalah hubungan fungsional antara variabel – variabel. Sedangkan analisa regresi adalah mempelajari bagaimana antar variabel saling berhubungan. Hubungan antar varibel pada umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang dikenal dengan hubungan fungsional antar variabel. Dalam analisis regresi dibedakan dua jenis variabel, yakni variabel bebas atau predictor tak bebas / terikat atau variabel respon. Variabel yang sering mudah didapat digolongkan ke dalam variabel bebas, sedangkan variabel yang terjadi karena variabel bebas merupakan variabel tak bebas / terikat. Untuk keperluan analisis variabel bebas dilambangkan dengan X1, X2……., Xk, sedangkan untuk variabel tak bebas dinyatakan dengan Y. Untuk keperluan analisis registrasi dibedakan : registrasi linear sederhana dan registrasi linear ganda. Registrasi linear sederhana adalah bentuk hubungan fungsional antara satu variabel bebas dengan variabel terikat. Sedangkan registrasi linear ganda adalah bentuk hubungan fungsional antara dua variabel terikat atau lebih dengan variabel bebas. 2. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI LINEARITAS Uji linearitas dipergunakan untuk melihat apakah model yang dibangun mempunyai hubungan linear atau tidak. Uji ini jarang digunakan pada berbagai penelitian, karena biasanya model dibentuk berdasarkan telaah teoretis bahwa hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikatnya adalah linear. Hubungan antar variabel yang secara teori bukan merupakan hubungan linear sebenarnya sudah tidak dapat dianalisis dengan regresi linear, misalnya masalah elastisitas.
143
Jika ada hubungan antara dua variabel yang belum diketahui apakah linear atau tidak, uji linearitas tidak dapat digunakan untuk memberikan adjustment bahwa hubungan tersebut bersifat linear atau tidak. Uji linearitas digunakan untuk mengkonfirmasikan apakah sifat linear antara dua variabel yang diidentifikasikan secara teori sesuai atau tidak dengan hasil observasi yang ada. 3. BAGIAN – BAGIAN DARI UJI LINERARITAS Bagian – bagian dari Uji Lineraritas yaitu : uji linear sederhana Uji linearitas berganda A. UJI LINEAR SEDERHANA 1. CONTOH SOAL UJI LINEAR SEDERHANA Contoh 1 : Karena kita melanjutkan bahasan dari kelompok 7, maka contoh soalnyapun diambil dari kelompok 7, Contoh soal yang pertama adalah : Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan Minyak Goreng. Tahun
1992 1993 1994 1995 1996 Σ
x
y
Biaya
Volume
Promosi
Penjualan
(Juta
(Ratusan
Rupiah) 2 4 5 7 8 Σx = 26
Juta Liter) 5 6 8 10 11 Σy = 40
xy
x²
y²
10 24 40 70 88 Σxy = 232
4 16 25 49 64 Σx² =158
25 36 64 100 121 Σy² = 346
144
2. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL Dari penghitungan yang telah dilakukan oleh kelompok 7 maka diketahui persamaan Y = 2.530 + 1.053 X Maka langkah selanjutnya kita akan menghitung nilai r :
Nilai r = 0.9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume penjualan) berkorelasi linier yang positif dan tinggi Rr=2=098572...= 0.97165....= 97 % . y= yy Nilai R = 97% menunjukkan bahwa 97% proporsi keragaman nilai peubah Y (volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) melalui hubungan linier.
145
Sisanya, yaitu 3 % dijelaskan oleh hal-hal lain. B. UJI LINIER BERGANDA • Koefisien Determinasi Sampel untuk Regresi Linier Berganda diberi notasi sebagai berikut : .12
1. CONTOH SOAL Data diambil berdasarkan data dari kelompok 7:
2. LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL
146
Nilai = 99.53% menunjukkan bahwa 99.53% proporsi keragaman nilai peubah Y (volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) dan XRy.1222 (biaya aksesoris) melalui hubungan linier. Sisanya sebesar 0,47 dijelaskan oleh hal-hal lain.
147
4. SOAL LATIHAN Seperti yang sebelumnya, untuk uji linier berganda inipun kita melanjutkan dari kelompok 7, maka contohnya pun diambil dari kelompok 7. Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris (X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit). x1
x2
y
x1 x2
x1y
x2y
x1²
x2²
y²
2 3 5 6 7 8 xΣ1=31
3 4 6 8 9 10 xΣ2= 40
4 5 8 10 11 12 yΣ=50
6 12 30 48 63 80 xxΣ12= 239
8 15 40 60 77 96 xyΣ1= 296
12 20 48 80 99 120 xyΣ2= 379
4 9 25 36 49 64 xΣ12= 187
9 16 36 64 81 100 xΣ22= 306
16 25 64 100 121 144 yΣ2= 470
148
5. JAWABAN SOAL LATIHAN Dari contoh Regresi (kelompok 7), maka akan dilakukan penghitungan linearitasnya.
149
150
UJI BEDA (UJI-T) 1. PENGERTIAN UJI BEDA (UJI-T)
Sesuai dengan namanya, maka uji ini dipergunakan untuk mencari perbedaan, baik antara dua sampel data atau antara beberapa sampel data, dimana uji ini menggunakan beberapa persyaratan tertentu, yaitu diantaranya : a. Sampel penelitian harus diambil secara random (secara acak) dari suatu populasi yang berdistribusi normal. b. Gejala data yang didapat harus berskala interval atau rasio. c. Variabel – variabel penelitian tidak lebih dari satu (satu variabel dengan data berskala nominal dengan satu variabel dengan data interval atau rasio, atau sebaliknya).
2. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI BEDA (uji-t) Kegunaan t-test sebagai alat analisis data, dapat dipakai untuk menguji satu sampel atau dua sampel. Khusus untuk pengujian dua sampel, uji-t dapat dipakai untuk menguji dua sampel yang bebas dan atau sampel yang berkorelasi. Sedangkan untuk pengujian sampel bebas, uji-t dapat dipakai untuk menganalisis varians yang bersifat homogen ataupun heterogen. Penggunaan uji-t untuk kepentingan analisis data, bertolak pada harga rata – rata ( mean ) alam upaya menentukan apakah perbedaan rerata tersebut adalah perbedaan nyata, dan bukan karena kebetulan. Khusus untuk penggunaan t-tes pada satu sampel, maka dua merata yang hendak dibandingkan, adalah rerata dari sampel dan rerata dari populasiny
151
3. BAGIAN – BAGIAN UJI BEDA 1. Uji Beda mean untuk sampel besar (>30) Untuk uji beda rerata dimana jumlah kasus dalam sampel – sampel yang dikenai penelitian lebih besar dari 30, maka t-test (uji-t) tidak dapat dipakai lagi. Adapun formulasi rumusan yang disarankan dipakai untukk menganalisis kasus ini adalah uji-Z yang formulasi rumusannya adalah sebagai berikut :
Z= Keterangan: Z
= koefisien Z
S12
= Varians sampel pertama
S22
= Varians sampel kedua = Rerata Sampel Pertama = Rerata sampel kedua
n1
= jumlah kasus pada sampel pertama
n2
= jumlah kasus pad sampel kedua.
2. Analisis t-test (uji-t) untuk satu kasus sampel Penggunaan t-tes untuk satu kasus sampel ini, skala data yang diperkenankan adalah data yang berskala interval dan biasanya digunakan untuk uji batas keyakinan (confidence limits) atau uji batas keyakinan interval
(confidence
interval).
Sedangkan
WS.
Gossett
dengan
152
menggunakan nama samara student’s memakai formulasi t-test ini untuk uji kebalikan (goodness of fit) pada sampel kecil yang diambil dari suatu populasi, sehingga rumusan tersebut juga dikenal dengan nama uji student. Formulasi rumusan t-tes untuk kasus satu sampel yang diambil secara random dari suatu populasi adalah sebagai berikut :
t= keterangan : t
: Koefisien t
X
: Mean (rerata) sampel
u
: Mean (rerata) populasi
S
: Standars kesesatan mean.
Adapun rumusan untuk mencari standars kesesatan mean, dapat digunakan rumusan sebagai berikut:
Sx =
153
Keterangan: S
: standar deviasi sampel
N
: Jumlah kasus
3. T-test untuk analisa dua kasus sampel yang saling berhubungan Kondisi sampel yang berhubungan ini, dapat berupa dua sampel yang bervalidasikan (berkondisi sama) terlebih dahulu sebelum dibeeri perlakuan, dapat pula dau sampel ini datanya berpasang – pasangan, dan kemungkinan sampel dalam hal ini hanya satu, namun diberi perlakuan dua kali, sehingga uji beda meannya dikenakan pada sampel dengan perlakuan (treadment) X dan sampel yang sama namun mendapatkan perlakuan Y. T-tes untuk dua sampel yang berhubungan (correlated sample) formula rumusnya adalah sebagai berikut:
t=
keterangan: t
: koefisien t
Xt :rerata atau mean sampel pertama X2 : rerata atau mean sampel kedua D : beda antara skor sampel pertama dan kedua
154
N : jumlah pasangan sampel.
4. CONTOH SOAL UJI BEDA 1) Contoh perhitungan Uji Beda Mean untuk sampel besar (>30) Peneliti ingin membuktikan apakah ada pembedaan tingkat pertumbuhan balita yang diberi ASI dan yang diberi susu kaleng, pada tahun pertumbuhan pertama. Setelah dilakukan pengumpulan data diperoleh besaran-besaran sebagai berikut: Balita yang mengkonsumsi ASI: ni = 44 = 78.09 S12 = 304.15 Balita yang mengkonsumsi susu kaleng : ni = 49 = 68.14 S22 = 325.15
5. LANGKAH – LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL
155
Untuk mencari besarnya koefisien Z. dengan formulasi rumus 15.0 dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur sebgai berikut :
Z=
Z=
Z= Z= Z= Z = 2.67 Tes signifikansi dapat dilihat pada tabel asumsi perkiraan distribusi normal, prosedurnya adalah sebagi berikut : 1. Berdasar pada besaran Z = 2.67 lalu lihat tabel “area kurvanormal dan ordinat dari kurva normal “ ditemukan separoh daerah kurva normal sebesar 0.4962 atau 49.62% hal berarti untuk seluruh daerah kurva mencakup 2 x 49.62% = 99.24% 2. Dalam kurva normal daerah penerimaan perbedaan rerata yang disebabkan karena kesalahan sampling adalah sebgai berikut: a. Taraf kepercayaan 95% ≥1.65 atau≤-1.65 (one - tailed test) ≥1.96 atau ≤-1.96 (two – tailed test)
156
b. Taraf kepercayaan 99% ≥ 2.23 atau ≤ -2.33 (one – tailed test) ≥2.58 atau ≤ (two – tailed test) 3. Jika dalam menggunakan taraf kepercayaan 95% maupun 99% untuk two-
tailed test, 99.24% berada di luar daerah penerimaan perbedaan rerata (mean) sebab 99.24% lebih besar dari 1.96% maupun 2.58% 4. Kesimpulan adalah bahwa perbedaan rerata mean dari sampel-sampel diatas bukan karena kesalahan sampling, untuk itu hipotesis nihilnya yang di ajukan ditolak dari hipoteisi kerja atau hipotesis alternatifnya diterima, baik pada taraf kepercayaan 95%
maupun 99%. Jika peneliti dalam
persoalan ini megajukan hipotesis nihil : “tidak ada perbedaan tingkat pertumbuhan pada tahun pertama, bagi belita yang diberi ASI dan diberi susu Kaleng”
2) Contoh Perhitungan Uji-t a) T-test untuk analisis satu kasus sampel Contoh: Seorang peneliti ingin melakukan kajian tentang kemampuan ujian peserta pencari surat izin mengemudi (sim) kendaran bermotor di SAMSAT di Jember. Untuk keperluan penelitian diambil sampel sebanyak 50 peserta, yang dipilih secra acak (random). Standar
157
kelulusan yang di tentukan oleh SAMSAT adalah skor 60 (sebagai rata-rata populasi). Dari sampel diperoleh rata-rata skor ujian sebesar 55 dengan (S) simpangan baku (standar deviasi) sebesar 15. Berdasarkan data ini KASAD lantas membuat pernyataan bahwa: “semua peserta ujian mencari SIM dijember mempunyai kemampuan menyelesaikan soal ujian di bawah standar kelulusan”. Berdasarkan data di atas, berikut ini dapat dilakukan perhitungan t-tes atau uji-t nya. =
= Berdasarkan hasil perhitungan diatas, maka besarnya standar kesesatan meannya adalah 2.14, dari besaran ini maka koefisien t nya dapat dicari dengan rumusan t-tes, sebgai berikut: t=
t= t = -2.34
158
jika pernyataan KASAD Lantas diatas diformulasikan kedalam hipotesis nihil maka akan berbunyi pernyataan sebagai berikut : “tidak semua peserta ujian mencari SIM dijember mempunyai kemampuan menyelesaikan soal ujian di bawah standar kelulusan” Untuk melakukan pengujian hipotesis ini terlebih dahulu dicari derajat kebebasannya (db) terlebih dahulu yaitu dengan rumus db = N-1, jika N = 50 maka db = 50-1 =49. Bila besaran derajat kebebasan ini di konsultasikan pada tabel kritik untuk uji-t, maka diperoleh harga kritik untuk taraf kepercayaan 99% = 2.704 dan harga taraf kepercayaan 95% = 2.021 b) T-test untuk analisis dua kasus sampel Contoh : Seorang peneliti ingin mengetahui
perbedaan kemampuan
penguasaan materi penataran, untuk penelitian ini diambil sampel secara acak sebanyak 20 responden, yang dibagi menjadi 2 kelompok, masing-masing beranggotakan 10 responden.pada kelompok pertama, dalam penyajian materi tatar dipakai metode ceramah, sedangkan pada kelompok kedua, penyajian materi tatar dipakainya metode diskusi. Setelah penyajian materi pada dua kelompok tersebut lalu diadakan tes, dan hasilnya terlihat pada tabel berikut :
TABEL 31 Rekapitulasi Data Penguasaan Materi Tatar
159
Dua Kelompok Peserta dengan Dua Metode Penyajian Skor kelompok
Skor kelompok
D
D2
I dg. Ceramah 8 8 5 7 6 6 8 9 9 8 74
II dg. diskusi 7 7 7 6 6 5 5 8 7 8 66
beda skor 1 1 -2 1 0 1 3 1 2 0 8
beda skor 1 1 4 1 0 1 9 1 4 0 22
Berdasarkan rekapitulasi data diatas, selanjutnya dapat dicari besarannya rerata masing-masing kelompok, sebagai berikut: 1
= 74/10
= 7.4
2
= 66/10
= 6.6
∑D
=8
∑D
= 22
N
= 10 Pasang
t=
t=
160
t = 1.9 tes signifikansi dapat dilakukan dengan berpijak pada derajat kebebasan (db) N = N-1 = 10-1= 9 dalam tabel kritik t diperoleh harga sebesar 2.262 (untuk kepercayan 95%) dan 3.250 (untuk taraf kepercayaan 99%).
161
6. SOAL LATIHAN UJI BEDA JAWABANNYA 1. Diambil sampel penelitian secara random dari populasi sebanyak 20 peserta. Pada pelatihan pertama digunakan prosedur deduktif dan pada penelitian kedua diberi prosedur pelatihan induktif. Selesai pelatihan dilakukan evaluasi program, untuk mengetahui tingkat keterampilan peserta pelatihan. Data tingkat keterampilan tersajikan pada tabel berikut :
TABEL REKAPITULASI DATA HASIL EVALUASI PROGRAM PELATIHAN DENGAN MENGGUNAKAN PROSEDUR DEDUKTIF DAN INDUKTIF No. Urut
Skor Dg.
Skor Dg
D
D2
Responden
Prosedur
Prosedur
Beda Skor
Beda Skor
1
Deduktif 7
Induktif 6
1
1
2
8
6
2
4
3
5
6
-1
1
4
6
7
-1
1
5
6
7
-1
1
6
6
8
-2
4
7
6
8
-2
4
8
7
8
-1
1
9
8
5
3
9
10
8
5
3
9
11
8
5
3
9
12
8
4
4
16
162
13
9
4
5
25
14
8
6
2
4
15
9
6
3
9
16
9
7
2
4
17
7
8
1
1
18
7
7
0
0
19
8
7
1
1
20 N = 20
6 146
6 126
0 22
0 104
Berdasarkan data tabel rekapitulasi diatas, selanjutnya dapat dicari misalnya rerata skor dari dua prosedur dalam pelatihan, sebagai berikut : Jawab : 1
= 146/20
= 7.3
2
= 126/20
=6.3
∑D
= 22
∑D2
= 104
N
= 20 Pasang
t=
t= t = 2.22
163
2. Seorang ketua RT ingin mendata usia anak dibawah 10 tahun. Untuk
penelitian ini diambil sampel secara acak sebanyak 30 anak, yang nantinya dibagi menjadi 2 kelompok, satu kelompok anak laki – laki dan satu kelompok anak perempuan. Anak
Anak
D
D2
laki –laki 9
perempuan 6
Beda skor -3
Beda skor 9
7
7
0
0
5
8
3
9
7
6
-1
1
6
7
1
1
5
9
4
16
8
6
-2
4
7
7
0
0
8
7
-1
1
10
7
-3
9
6
6
0
0
7
6
-1
1
6
7
-1
1
8
8
0
0
7 104
-3 -5
9 61
10 109 Jawab : 1
= 109/10
= 10.9
2
= 104/10
=10.4
∑D
= -5
∑D2
= 61
164
N
t=
t= t = 0.94
= 15 Pasang
165
LAMPIRAN-LAMPIRAN UJI NORMALITAS
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
DAFTAR PUSTAKA Darwyansyah, Dkk. 2007. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: Gaung Persada Press Hasan, M. Iqbal. 2003. Pokok-Pokok Materi Statitik 2 (statistik inferensif). Jakarta: PT Bumi Aksara http://www.goole.com/uji normalitas.html. diakses 13 Desember 2009 Murray R, Spiegel dan Larry J, Stepens. 2007. Statistik Edisi 3. Jakarta. Erlangga Ps, Djarwanto dan Subagyo, Pangestu. 1996. statistik induktif. Yogyakarta: BPFEYogyakarta Saefudin, Asep dkk. 2009. Statistik Dasar. Jakarta: PT Grasindo Soepomo, Bambang.2002.Statistik Terapan; dalam Penelitian Ilmu Sosial dan Pendidikan. Jakarta: PT Rineka Cipta Suharyadi. 2008. Statistik untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Salemba Empat Supranto, J. 2001. statistik dan aplikasi. Jakarta: PT Glora Aksara Pratama Tri Cahyono. 2006. Uji Normalitas. online (http://scribd.com /uji normalitas.html. diakses 13 Desember 2009) Walpope, Ronald E.1995. Pengantar Statistika Edisi ke-3.
