PROBABILITAS BERSYARAT

.

PROBABILITAS BERSYARAT

Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu terjadi, dikatakan kejadian A bersyarat B dan ditulis A/B. Probabilitas terjadinya A bila kejadian B telah terjadi disebut probabilitas bersyarat P(A/B). Rumusnya : PA  B PA/B  , PB  0 PB

Contoh : Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut : Bekerja

Menganggur

Jumlah

Laki-laki Wanita

460 140

40 260

500 400

Jumlah

600

300

900

Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia : a. Laki-laki b. wanita

Jawab : A=kejadian terpilihnya sarjana telah bekerja B=kejadian bahwa dia laki-laki a. 460 n A  B  460 maka PA  B  900

n A   600 maka PA  

600 900 PA  B 460 23 PB/A     PA  600 30

b. Cari sendiri!

Bila A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S yang saling bebas dengan P(A)=0 dan P(B)=0 maka berlaku : Bila

PA/B  PA dan PB/A   PB PA  B PA/B  , maka PB PA  B  PA/B.PB

Untuk kejadian A,B, dan C maka :

PA  B  C  PA/B  C.PB/C.PC

Contoh : Misal kita mengambil 3 kartu (diambil 3 kali) pada kartu bridge yang lengkap. Setiap mengambil kartu, kartu yang terpilih tidak dikembalikan pada kelompok kartu tersebut. Hal ini dikatakan pengambilan kartu tanpa pengembalian. Tentukanlah probabilitas untuk memperoleh 3 kartu As!

Jawab : S = kumpulan kartu dimana n(S) = 52 A = terpilih kartu As pada pengambilan pertama B/A = terpilih kartu As pada pengambilan kedua dengan syarat pada pengambilan pertama terpilih kartu As C A  B = terpilih kartu As pada pengambilan ketiga dengan syarat pada pengambilan pertama dan kedua terpilih kartu As

Pengambilan 1 : n(A)=4 dan n(S)=52 Pengambilan 2 : n(B/A)=3 dan n(S)=51 Pengambilan 3 : n( C/A  B )=2 dan n(S)=50 Maka :

PA  B  C  PC/A  B.PB/A .PA  2 3 4 1  . .  50 51 52 5.525

S A1

A2

A3

B

A1, A2, A3 adalah tiga kejadian yang saling lepas. Maka kejadian B dapat ditentukan :

B  B  A1  B  A2  B  A3 maka probabilitas B adalah PB  PB  A1  PB  A2  PB  A3

 PB/A1.PA1  PB/A2.PA2  PB/A3.PA3 3

  PB/Ai.PAi i 1

Probabilitas kejadian bersyarat :

PB  A1 PB/A1.PA1 PA1/B   PB  PB/Ai.PAi PB  A2 PB/A2.PA2 PA2/B   PB  PB/Ai.PAi PB  A3 PB/A3.PA3 PA3/B   PB  PB/Ai.PAi

Secara umum bila A1,A2,…,An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat Ai/B adalah : PB  Ai PB/Ai.PAi PAi/B   n PB  PB/Ai.PAi i 1

Contoh : Ada 3 kotak yang masing-masing berisi 2 bola. Kotak I berisi 2 bola merah, kotak II berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak III berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil bola 1 bola secara acak dari kotak yang terambil tersebut. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kotak I, II, dan III?

Jawab : A1 = kejadian terambilnya kotak I A2 = kejadian terambilnya kotak II A3 = kejadian terambilnya kotak III B = kejadian terambilnya bola merah Ditanya : P(A1/B), P(A2/B), dan P(A3/B) Karena diambil secara acak maka : P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3 Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak I adalah P(B/A1)=1. Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak II adalah P(B/A2)=1/2. Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak III adalah P(B/A3)=0. P(B)= P(B/A1).P(A1)+P(B/A2).P(A2)+P(B/A3).P(A3) = 1.1/3 + 1/2.1/3 + 0.1/3 = 1/2

Jadi : 1 1 

PB  A1 PB/A1.PA1 2 3     PB PB 3 1   2  1  1     PB  A2 PB/A2.PA2  2  3  1 PA2/B     PB PB 3 1   2 0 1  PB  A3 PB/A3.PA3 3 PA3/B      0 PB PB 1   2 PA1/B 

1. Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok diketahui: a. Sarjana teknik wanita 1 orang b. Sarjana teknik wanita 3 orang c. Sarjana ekonomi pria 2 orang d. Sarjana ekonomi wanita 4 orang Dari 20 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran. a. b. c. d.

Berapa cara yang dapat dibentuk jika diinginkan bahwa manajer harus sarjana teknik Berapa peluang A jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita Berapa peluang B jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah sorang sarjana teknik Hitunglah P(A|B) dan P(AUB)

2. Ada 3 kotak, yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih sebagai berikut Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Jumlah Bola merah 5 7 8 20 Bola putih 4 3 6 13 Jumlah 9 10 14 33 Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil satu bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih. a. Berapa peluang bahwa bola itu merah b. Berapa peluang bahwa bola itu putih

3. Suatu survey atas 500 mahasiswa yang mengikuti satu atau beberapa mata kuliah (Matematika, Statistika, dan Biologi) selama satu semester mengungkapkan banyaknya mahasiswa yang mengikuti mata kuliah tersebut. Matematika 329, matematika dan statistika 83 Statistika 186, matematika dan biologi 217 Biologi 295, statistika dan biologi 63 Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti: a. Tiga mata kuliah tersebut b. Matematika, tetapi tidak biologi c. Statistika, tetapi tidak matematika d. Biologi, tetapi tidak statistika e. Matematika atau biologi, tetapi tidak statistika f. Matematika, tetapi tidak statistika atau biologi

4. Tiga kartu diambil secara acak (satu-satu) dari sekelompok 52 kartu brdge. Tentukan probabilitas kejadian terambilnya: a. 2 kartu jack dan 1 kartu king b. 3 kartu dari satu jenis c. 3 kartu berbeda jenis d. Paling sedikit 2 kartu as 5. Satu kantong berisi 5 bola putih dan 3 bola merah. Satu kantong yang lain berisi 4 bola putih dan 5 bola merah. Jika dari setiap kantong diambil sebuah bola, tentukanlah probabilitas kejadian terambilnya: a. Dua bola putih b. Dua bola merah c. Satu bola putih dan satu bola merah