PROBABILITAS
MODUL
6
PROBABILITAS
1. Pendahuluan Masalah probabilitas adalah masalah frekuensi sesuatu kejadian. Dari itu, probabilitas suatu kejadian dapat diatasi sebagai perbandingan frekuensi kejadian itu dengan kejadian seluruhnya. Teori probabilitas sebetulnya memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan atau tingkat kepastian tentang terjadinya satu peristiwa. 2. Probabilitas suatu peristiwa Bila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n hasil yang berbeda serta memiliki kesempatan m untuk terwujud yang sama dan bila dari hasil di atas merupakan peristiwa A, maka probabilitas peristiwa A, dapat dirumuskan menjadi p (A) = m / n. bila semua peristiwa yang bukan A dinyatakan dengan tanda Ā, maka : n m p( A) 1 p( A) n Perumusan di atas harus memenuhi ketentuan : Probabilitas A harus mempunyai bilangan yang non negatif yaitu p (A) ≠ 0 Jumlah probabilitas dari A ditambah dengan Ā harus sama dengan 1 atau p (A) + p (Ā) = 1 3. Ruang sampel. Sebuah ruang sampel S yang berkenaan dengan suatu percobaan aktual maupun konseptual merupakan sebuah kelompok yang memiliki ketentuan : Tiap umur dari S menyatakan hasil percobaan Tiap hasil percobaan harus sesuai dengan satu dan hanya satu unsur dari S.
31
STATISTIKA
Suatu teladan tentang hasil pelemparan 2 butir dadu diatas, seluruh kejadian (hasil) yang mungkin timbul ialah sebesar 6 n = 62 = 36. Dengan lain perkataan, ruang sampel terdiri dari 36 titik sampel (sampel point). Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel yang terdapat dalam ruang sampel tersebut menjadi sebesar seper tiga puluh enam atau 1/36 Akhirnya, sebuah ruang sampel dapat dirumuskan sebagai kelompok yang tidak terbatas. 4. Azas-azas menghitung probabilitas a. Peristiwa yang eksklusif secara bersamaan (mutually exclusive) Dua peristiwa yang eksklusif secara bersamaan bila kedua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Secara matematik, dua kelompok A dan B dikatakan eksklusif secara bersamaan atau terpisah (disjoint) bila dan hanya bila mereka tidak memiliki unsur yang sama A∩ B = Ø Bila A dan B eksklusif secara besamaan dan merupakan peristiwa dalam sebuah ruang sampel yang terbatas. Maka :
p( A
B)
p( A) ( B)
Teladan : bila sebutir dadu dilempar sekali, berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 atau dadu 5 Jawab :
p( A
B)
p ( A) ( B ) 1/ 6 1/ 6 2/6
Dengan : A adalah peristiwa timbulnya mata dadu 1 B adalah peristiwa timbulnya mata dadu 5 b. Dua peristiwa dikatakan tidak eksklusif. Secara bersama bila kedua peristiwa tersebut tidak usah terpisah (disjoint). Dalam hal ini, bila peristiwa A dan B merupakan suatu gabungan (union) dan tidak eksklusif secara bersama dan bila kedua peristiwa tersebut terdapat dalam sebuah ruang sampel yang terbatas, maka probabilitas A B ialah : p( A B) p( A) p( B) p( A B)
32
PROBABILITAS
Teladan : Berapakah probabilitasnya, misalnya kejadian A ialah dadu putih kurang dari atau sama dengan 4 dan B ialah dadu merah yang menghasilkan mata dadu < atau sama 3 Jawab : p( ) = p(A)+p(B)–p(A B) = 24/36 + 18/36 – 12/36 = 30/36 = 5/6 Untuk lebih jelasnya perhatikan ruang sampel di bawah ini : B 1 2 3 4 5 6 A 1 2 3 4 5 6 c. Peristiwa yang komplementer Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa Ā dalam sebuah ruang sampel yang sama dan bila Ā meliputi semua unsur dalam ruang sampel tersebut kecuali yang terdapat pada A, maka Ā mempunyai peristiwa komplementer, maka p (Ā) = 1 – p (A). Bukti : Karena A dan Ā eksklusif secara bersamaan maka : p (A
B ) = p (Ā). Karena A maka p ( A A ) = p (S) = 1
A mempunyai seluruh ruang sampel,
Jadi p (Ā) = 1 – p (A) d. Peristiwa yang bebas (independen ) Dua peristiwa dikatakan bebas bila dan hanya bila terjadi atau tidak terjadinya peristiwa kedua. Jadi kedua peristiwa di atas dikatakan peristiwa yang bebas bila dan hanya bila : p (A∩B) = p (A) x p (B) Teladan : Berapakah probabilitas dadu merah yang jatuh pada mata 5 dan dadu putih jatuh pada mata 6 dalam pelemparan sekaligus. Jawab : p(A∩B) = p(A)xp(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36
33
STATISTIKA
Dimana : A adalah peristiwa dadu merah jatuh pada mata 5 B adalah peristiwa dadu putih jatuh pada mata 6 e. Probabilitas bersyarat. Peluang tumbuhnya suatu kejadian dengan syarat bahwa suatu kejadian lain telah timbul terlebih dahulu. p ( A ∩ B ) = p (B) x p (A/B) jadi yang dimaksud dengan probabilitas bersyarat ialah bila peristiwa tergantung terwujudnya dari pada peristiwa A jadi secara relatif maka probabilitas B tergantung secara relatif A. Ditulis secara statistik sebagai berikut : A / B teladan : Jika A adalah simbol dari terambilnya kelereng putih pada pengambilan pertama, dan B adalah simbol dari terambilnya kelereng putih pada pengambilan kedua dari sebuah tempolong yang berisi 2 kelereng putih dan 3 kelereng merah, maka
P(A) P(B)
2 2/3 2 3 2 2/5 2 3
Akan tetapi jika mempersoalkan bukan P (B), melainkan P (B/A) yaitu probabilitas terjadinya B setelah terjadinya A, maka : P(B/A) ini tidak lagi sama dengan (B) sebab setelah B terjadi dan kelereng tidak dikembalikan atau not replated maka kelereng yang putih tinggal sebuah dan seluruh kejadiannya tinggal 4 kemungkinan. Karena itu :
P( B / A)
1 1/ 4 1 3
Dan jika dipersoalkan beberapa besarnya probabilitas dari A dan B, yaitu keluarganya kelereng putih pada pengambilan pertama dan keluarnya kelereng putih juga pada pengambilan kedua, dari lima buah kelereng yang terdiri dari 2 buah kelereng putih dan 3 buah kelereng merah, maka : P(A.B) = P ( B/A ) = 2/5 ( ¼ ) = 1/10
34
PROBABILITAS
SOAL : 1.
Berapa peluang mempunyai anak 4 dengan ketentuan : Anak pertama laki, anak kedua perempuan, anak ketiga laki dan anak keempat laki atau perempuan : Jawab : 1/8
2.
Jumlah anak 5, anak pertama laki, anak kedua perempuan, anak ketiga laki, anak keempat laki atau perempuan dan anak ke lima perempuan : Jawab : ?
3.
Berapa kemungkinan perkawinan bapak golongan darah O, ibu golongan darah A, akan mempunyai anak golongan darah apa saja. Jawab : ?
4.
Berapa kemungkinan perkawinan bapak golongan darah A, ibu golongan darah B, akan mempunyai anak golongan darah apa saja. Jawab : ?
5.
Berapa kemungkinan golongan darah anak dari perkawinan bapak golongan darah A, ibu golongan darah A. Berapa peluangnya. Jawab : Bisa A atau O, peluang nya ?
35
