BAB 7
DISTRIBUSI PROBABILITAS Kompetensi Menjelaskan distribusi probabilitas Indikator 1. Menjelaskan distribusi hipergeometris 2. Menjelaskan distribusi binomial 3. Menjelaskan distribusi multinomial 4. Menjelaskan distribusi poisson 5. Menjelaskan distribusi normal
A. Pendahuluan Pada
berbagai
peristiwa
dalam
probabilitas
jika
frekuensi
percobaannya banyak, maka untuk peristiwa yang bersifat independent dan dependent akan mengalami kesulitan dalam percobaan. Oleh karena itu distribusi
probabilitas
merupakan
cara
yang
lebih
sederhana
untuk
menyelesaikan probabilitas dari peristiwa yang bersifat independent dan dependent. Distribusi probabilitas yang akan kita bahas yaitu: 1. Untuk variabel diskrit a. Peristiwa dependent 1) Distribusi hipergeometris b. Peristiwa independent 1) Distribusi binomial 2) Distribusi multinomial 3) Distribusi poisson
113
2. Untuk variabel kontinyu a. Peristiwa independent 1) Distribusi normal
B. Distribusi Hipergeometris Distribusi Hipergeometris digunakan untuk menghitung probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang sifatnya dependent dan variabelnya bersifat diskrit (Mustafa, 1995). Rumus:
P( X1, X 2 ,...X n ) =
n1Cx1.n2Cx2 ....nk Cxk nCx
Keterangan: nCx =
n! x! (n − x )!
X1, X2,…Xn
: banyaknya frekuensi yang diharapkan terjadi dari setiap
peristiwa n1, n2,…nk
: banyaknya seluruh frekuensi yang dapat terjadi dari setiap
peristiwa n = n1 + n2 + … + nk x = x1 + x2 + … + xn Contoh: Sebuah keranjang berisi bola yang terdiri dari 5 bola hijau, dan 10 bola kuning. Jika dari keranjang tersebut diambil tiga bola berturut-turut tanpa pengembalian, maka berapakah probabilitasnya bahwa dari ketiga bola tersebut terdapat dua bola kuning.
114
C. Distribusi Multinomial Distribusi multinomial digunakan untuk menghitung probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang sifatnya independent yang mempunyai probabilitas lebih dari 2 kategori dan variabelnya bersifat diskrit (Mustafa, 1995). Rumus:
P( X1, X 2 ,...Xn ) =
n! P1x1 p2x2.....Pkxk X1! X2!.....Xk !
Keterangan: n
: banyaknya percobaan
X1
: banyaknya sukses peristiwa 1
X2
: banyaknya sukses peristiwa 2
Xk
: banyaknya sukses peristiwa k
P1
: probabilitas peristiwa 1 sukses
P2
: probabilitas peristiwa 2 sukses
Pk
: probabilitas peristiwa k sukses
Contoh: Riset yang dilakukan oleh FE UMY mengenai tingkat kepuasan mahasiswa terhadap pelayanan yang diberikan oleh FE UMY diperoleh informasi: 25% menyatakan sangat puas 40% menyatakan puas 20% menyatakan tidak puas 15% menyatakan sangat tidak puas Apabila ditemui 8 orang mahasiswa, berapa probabilitasnya: 1. 1 menyatakan sangat puas, 3 menyatakan puas, 2 menyatakan tidak puas, dan 2 menyatakan sangat tidak puas.
115
2. 5 menyatakan sangat puas dan menyatakan puas, dan 3 menyatakan tidak puas dan menyatakan sangat tidak puas.
D. Distribusi Binomial Distribusi binomial digunakan untuk menghitung probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang sifatnya independent dan variabelnya bersifat diskrit (Mustafa, 1995). Rumus: P ( x; n ) = nCx. P x .Q n − x Keterangan nCx =
n! = disebut juga koefisien binomial x! (n − x )!
P = probabilitas terjadinya peristiwa yang sedang diamati dalam percobaan tunggal Q = 1-P n = banyaknya percobaan x = banyaknya frekuensi terjadinya peristiwa yang diamati (frekuensi sukses) Contoh: PT GLOBAL dalam berproduksi mempunyai probabilitas 20% barang yang diproduksi termasuk produk cacat. Apabila diambil sampel 25 barang untuk diperiksa kualitasnya, berapakah probabilitasnya dalam sampel itu akan termasuk produk cacat: a. Semua produk yang diperiksa b. Lima produk c. Tiga produk
116
d. Paling sedikit 24 e. Paling banyak 24
E. Distribusi Poisson Distribusi Poisson adalah distribusi variabel yang prosesnya hampir sama dengan distribusi binomial, kecuali berbeda dalam satu hal, yaitu bahwa eksperimennya tidak dilakukan n kali, tetapi berlangsung dalam selang waktu tertentu, atau dalam suatu selang ruang (space) tertentu. Misalnya, distribusi variabel dering telpon dalam waktu satu jam. Dalam 1 jam tersebut kita bisa mengkategorikan 2 kemungkinan kejadian, yaitu berdering (sukses) dan tidak berdering (gagal). Probabilitas berdering dan tidak berdering dari waktu ke waktu dianggap konstan. Contoh lain misalnya dalam pembuatan satu lembar kain, kita bisa menghitung probabilitas cacat dan tidak cacat dalam meter tertentu, misalnya dalam selang 10 meter tertentu. Jadi pada percobaan binomial, seandainya n relatif besar, misalnya lebih besar dari 50 dan p ( probabilitas sukses) relatif kecil, misalnya lebih kecil dari 0,1 maka perhitungan probabilita dengan menggunakan rumus distribusi binomial akan menjadi sulit. Dalam kasus ini dapat menggunakan pendekatan Poisson untuk menghitung probabilita percobaan binomial. Untuk bisa mencari probabilitas sejumlah sukses tertentu, maka harus diketahui terlebih dahulu informasi tentang mean atau rata-rata sukses tersebut dalam suatu rentang tertentu, misalnya dari penelitian yang sudah dilakukan sebelumnya.
Rumus penghitungan probabilitas sukses tertentu
adalah sebagai berikut:
Ρ( x ) =
λ x .e − λ x!
117
Keterangan: x = jumlah sukses yang ingin dihitung n = jumlah seluruh obyek p = probabilitas terjadinya peristiwa λ = µ = rata-rata sukses (yang diasumsikan telah diketahui) λ = n.p e = bilangan natural yang besarnya 2,7183 Contoh: Manajer Operasi PT JAVA menyatakan tingkat kerusakan produk yang dihasilkan yaitu 0,004. Untuk membuktikan hal tersebut diambil sampel 1000 barang. Berdasarkan sampel yang diambil berapa probabilitasnya: 1. 2 diantaranya rusak. 2. 5 diantaranya rusak. 3. Kurang dari 4 diantaranya rusak. 4. Lebih dari 8 diantaranya rusak.
F. Distribusi Normal Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas teoritis dengan variabel random kontinu. Perbedaan variabel diskrit dengan variabel kontinu (sinambung) adalah: Variabel diskrit misalnya 0, 1, 2, 3,…n Variabel kontinu adalah semua harga dalam suatu interval tertentu, sehingga bilangannya bisa bilangan pecahan. Konsep distribusi normal sangat penting untuk dipahami karena konsep ini mendasari asumsi pada distribusi sampling, pendugaan statistik maupun pengujian hipotesis. Bentuk suatu distribusi normal adalah:
118
A
σ f(x) µx
x
Gambar 10.1 Distribusi Normal Ciri-ciri dari kurva normal adalah: 1. Kurva f(x) simetri terhadap garis x = µ 2. Mempunyai 1 modus yaiu nilai tertinggi pada kurva f(x) sebesar: 1
σ 2π 3. Jarak titik belok kurva (A) dengan sumbu simetri adalahsebesar σ 4. Grafik mendekati sumbu datar x adalah nilai dari µ + 3σ ke kanan dan µ - 3σ ke kiri. 5. Luas kurva normal seluruhnya yaitu luas daerah di bawah kurva f(x) dan di atas sumbu x sama dengan 1. Karena luas daerah di bawah kurva normal dapat dicari dengan menggunakan integral yang cukup sulit, maka probabilitas tersebut dihitung dengan menggunakan distribusi normal yang telah distandardisasikan, yaitu dengan mengubah variabel x menjadi skala z yang mempunyai nilai 0 pada x = µ dan skala z mempunyai σ = 1 Untuk menghitung luas bagian-bagian dari kurva normal, maka harus terlebih dahulu mengubah variabel x menjadi z dengan rumus:
Ζ=
Χ−µ
σ 119
σ = Ν. p.q Luas Z dicari dengan table distribusi normal standar. Dengan demikian distribusi normal standar mempunyai persamaan:
1e
f (z) =
−1 / 2. z
2π -∼<x<+∼
Dimana z dalam daerah f(x)
luas z luas z 0.5
0.5
µ nilai z -z
0
+z
Gambar 10.2 Luas Distribusi Normal Luas daerah area di bawah kurva normal standar = 1
‘ -3σ
‘ ‘ -2σ -1σ
‘ µ
‘ ‘ ‘ +1σ +2σ +3σ
68% 95% 99%
Gambar 10.3 Simpangan Distribusi Normal
120
x
Contoh: Rata-rata panjang kayu yang dihasilkan PT Jati Alami adalah 4 m dengan standar deviasi 0,5 m. Bila hasil produksi diasumsikan terdistribusi secara normal, berapakah kemungkinan akan diproduksi kayu: 1. Antara 4 m sampai 5 m 2. Antara 3 m sampai 4 m 3. Antara 3 m sampai 4,5 m 4. Antara 4,7 m sampai 5 m 5. Lebih dari 4,2 m 6. Kurang dari 4,7 m 7. Lebih dari 3 m 8. Kurang dari 3,5 m
G. Latihan Soal 1. Sebuah kotak berisi 20 bola, yaitu 10 bola hijau, dan 10 bola biru. Jika dari kotak kotak tersebut diambil 5 bola berturut-turut tanpa pengembalian, berapa probabilitas dari ke 5 bola yang diambil terdapat 3 bola hijau dan 2 bola biru? 2. PT AUFA yang memproduksi sepatu mempunyai probabilitas produk yang dihasilkan termasuk kualitas standar sebesar 85%. Jika diambil sampel 15 sepatu untuk diperiksa kualitasnya, berapa probabilitas dalam sampel tersebut akan termasuk kualitas standar: a. Tidak ada yang masuk kualitas standar. b. Semua masuk kualitas standar. c. Paling sedikit empat masuk kualitas standar. d. Paling banyak empat masuk kualitas standar.
121
3. Hasil survey pengunjung di supermarket BULAN diperoleh informasi 60 % menyatakan sangat puas dengan pelayanan, 30 % menyatakan
puas
dengan pelayanan, 5% menyatakan tidak puas dengan pelayanan, dan 5% menyatakan sangat tidak puas dengan pelayanan. Bila ditemui 15 orang pengunjung, berapa probabilitas: a. 5 sangat puas, 5 puas, 3 tidak puas, dan 2 sangat tidak puas dengan pelayanan. b. 12 sangat puas dan puas, 3 tidak puas dan sangat tidak puas dengan pelayanan. c. 8 sangat puas, 5 puas, dan 2 tidak puas dengan pelayanan. 4. PT KEIKEI yang memproduksi Baju Anak-Anak mempunyai probabilitas produk yang dihasilkan tidak termasuk kualitas standar sebesar 1%. Jika diambil sampel 300
untuk diperiksa kualitasnya, berapa probabilitas
dalam sampel tersebut tidak termasuk kualitas standar: a. Semua masuk kualitas standar. b. Tiga tidak termasuk kualitas standar. c. Paling banyak empat tidak termasuk kualitas standar. 5. Bagian
produksi
sebuah
perusahaan
menyatakan
bahwa
tingkat
kerusakan produk yang dihasilkan 0,003. Untuk membuktikan hal tersebut dilakukan inspeksi terhadap 2000 sampel produknya. Berdasarkan sampel yang diambil tersebut berapa probabilitasnya: a. 4 diantaranya rusak. b. 10 diantaranya rusak. c. Kurang dari 5 diantaranya rusak. d. Lebih dari 6 diantaranya rusak.
122
6. Hasil survey yang dilakukan oleh BANK MUTIARA diperoleh informasi 40 % menyatakan sangat puas dengan pelayanan, 35 % menyatakan puas dengan pelayanan, 15% menyatakan tidak puas dengan pelayanan, dan 5% menyatakan sangat tidak puas dengan pelayanan. Bila ditemui 14 orang pengunjung, berapa probabilitas: a. 4 sangat puas, 5 puas, 3 tidak puas, dan 2 sangat tidak puas dengan pelayanan. b. 11 sangat puas dan puas, 3 tidak puas dan sangat tidak puas dengan pelayanan. c. 7 sangat puas, 5 puas, dan 2 tidak puas dengan pelayanan. 7. Manajer Operasi sebuah perusahaan menyatakan bahwa tingkat kerusakan produk yang dihasilkan 0,06. Untuk membuktikan hal tersebut dilakukan inspeksi terhadap 100 sampel produknya. Dari sampel yang diambil tersebut berapa probabilitasnya: a. 6 diantaranya rusak. b. Kurang dari 3 produk rusak. c. Paling sedikit 4 produk rusak. 8. PT IKHLAS yang memproduksi Bunga Plastik mempunyai probabilitas produk yang dihasilkan termasuk kualitas standar sebesar 88%. Jika diambil sampel 27 Bunga Plastik untuk diperiksa kualitasnya, berapa probabilitas dalam sampel tersebut akan termasuk kualitas standar: a. Semua masuk kualitas standar. b. Paling sedikit tiga masuk kualitas standar. c. Paling banyak empat masuk kualitas standar. 9. PT IBADAH yang memproduksi Jam Tangan mempunyai probabilitas produk yang dihasilkan termasuk produk cacat sebesar 0,4 %. Jika 123
diambil sampel 200 Jam Tangan untuk diperiksa kualitasnya, berapa probabilitas dalam sampel tersebut akan termasukproduk yang cacat: a. Semua produk cacat. b. Dua produk cacat. c. Kurang dari 3 produk cacat. d. Paling sedikit lima produk cacat. e. Paling banyak empat produk cacat. 10. Diketahui bahwa 1% dari hasil produksi baut dari mesin tertentu tidak memenuhi standar. Dalam sampel random sebanyak 300 baut produksi mesin tersebut, hitunglah probabilitasnya: a. Semua baut baik. b. Terdapat baut yang rusak dua atau kurang. c. Terdapat baut yang rusak dua atau lebih. 11. Hasil produksi dari pabrik bola lampu Merk Sibalec memiliki rata-rata daya tahan (µ) sebesar 900 jam pakai dan standar deviasi = 50 jam. Apabila daya tahan dari lampu-lampu tersebut dianggap berdistribusi normal maka hitunglah probabilitas dari lanpu pijar yang memiliki daya tahan: a. Antara 875 – 950 jam b. Kurang dari 850 jam c. Lebih dari 980 jam d. Kurang dari 800 jam atau lebih dari 950 jam. 12. Berdasarkan pengiriman sebanyak 1000 rim kertas koran berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata tiap rimnya terisi dengan 450 lembar dengan deviasi standar sebesar 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per rim
124
tersebut dapat didekati dengan kurva normal, berapa persen dari rim kertas di atas yang terisi dengan 455 lembar/lebih? 13. Sebuah survei telah dilakukan oleh perusahaan alat elektronik yang mensinyalir bahwa 20% dari penduduk yang memiliki telepon sangat menyukai warna telpon yang putih dibandingkan dengan warna lain yang tersedia. Jika rencana pemasangan saluran telpon yang baru sebanyak 1000 buah, maka tentukan: a. Rata-rata pemasang telpon warna putih dan simpangan standarnya. b. Probabilitas
akan
terdapat
sejumlah
pelanggan
baru
yang
menggunakan telpon berwarna putih antara 170 – 185 pelanggan. c. Probabilitas akan terdapat 210 pelanggan telpon berwarna putih. 14. Rata-rata diameter asbak yang dihasilkan PT DZIKIR adalah 10 cm dengan standar deviasi 2 cm. Bila hasil produksi diasumsikan terdistribusi secara normal, berapakah kemungkinan akan diproduksi asbak: a. Antara 7 cm sampai 12 cm? b. Antara 8 cm sampai 9 cm? c. Antara 11 cm sampai 13 cm? d. Lebih dari 7 cm? e. Kurang dari 11 cm?
125
