Distribusi Probabilitas Diskrit:
Poisson 7.2
Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail :
[email protected] /
[email protected]
2
Outline
Pendahuluan Pendekatan Binomial – Poisson Distribusi Poisson www.debrina.lecture.ub.ac.id
07/04/16
Kapan distribusi Poisson digunakan?
3
¡ Jika parameter n sangat besar (lebih dari 50) sedangkan p sangat kecil (kurang dari 0,1) ¡ Sulit menggunakan pendekatan binomial
Teorema : Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n → ∞ , nilai proporsi sukses p → 0 , dan digunakan pendekatan µ = np , maka nilai b( x; n, p) → p( x; µ ) .
www.debrina.lecture.ub.ac.id
07/04/16
Pendekatan Binomial – Poisson (1)
4
Fungsi distribusi peluang binomial dapat ditulis:
Jika dilakukan transformasi p= µ/n, maka diperoleh:
www.debrina.lecture.ub.ac.id
07/04/16
Pendekatan Binomial – Poisson (2)
5
Dari definisi bilangan natural e, diperoleh hubungan:
Dengan memperhatikan syarat limit, diperoleh:
www.debrina.lecture.ub.ac.id
07/04/16
Pendekatan Binomial – Poisson (3)
6
à Sulit Dilakukan!
www.debrina.lecture.ub.ac.id
07/04/16
Distribusi Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/ volume tertentu.
7
www.debrina.lecture.ub.ac.id
07/04/16
Distribusi Probabilitas Poisson (1)
8
α x e −α P(x) = untuk x = 1,2,3,... x! dimana ¡ α = rata-rata distribusi (yang juga merupakan variansi) à n.p ¡ e = bilangan logaritmik natural (e=2.71828...). ¡ t = waktu, jarak, area, atau volume
p (x ; λt ) =
e
− λt
x
(λt )
x!
Statistik deskriptif untuk distribusi Poisson Rata-rata = μ= n.p www.debrina.lecture.ub.ac.id
Variansi = σ2= n.p 07/04/16
Distribusi Probabilitas Poisson (2)
9
Proses & syarat Poisson: 1. Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu (atau daerah tertentu) tidak dipengaruhi (independent) terhadap kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain. 2. Kemungkinan terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam interval waktu yang pendek (Δt ≈ 0) sebanding dengan panjang interval dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar interval tersebut. 3. Kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang pendek dapat diabaikan. www.debrina.lecture.ub.ac.id
07/04/16
Distribusi Probabilitas Poisson (3)
10
Contoh: ¡ Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, tipe, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang, atau tiga orang karyawan?
Penyelesaian -
.2 0 e .2 P ( 0) = = 0.8187 0! 1 - .2 .2 e P (1) = = 0.1637 12 ! - .2 .2 e P (2) = = 0.0164 2! 3 - .2 .2 e P ( 3) = = 0.0011 3!
¡ n = 200 ; p = 1/1000 = 0.001 ; ¡ α = np = (200)(0.001) = 0.2 www.debrina.lecture.ub.ac.id
07/04/16
e e adalah basis dari logaritma natural e adalah bilangan dimana gradien (kemiringan) dari fungsi f(x)=ex pada setiap titiknya sama dengan nilai (tinggi) fungsi tersebut pada titik yang sama. Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah: e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 07/04/16 www.debrina.lecture.ub.ac.id
11
Ringkasan Distribution
Random Variable X
12 Possible Values of X
Contoh
Binomial
No. of success in n trials with p = P (success) (draw w/ replacement, independet trials)
0, 1, …, n
Sejumlah barang cacat yang ditemukan saat memeriksa 10 item yang diproduksi oleh lini produksi dengan tingkat cacat 5%. Binomial n = 10, p = 5%
Negative Binomial
No of trials until the kth success with p = P (success)
k,k+1, ...
Sejumlah melempar koin yang diminta jika pada pelemparan ke-4 koin bisa mendapatkan gambar dengan P (gambar) = 0,3. Binomial negatif k = 4, p = 0,3
Geometric
No of trials until the 1st success with p = P (success)
1, 2, 3, ...
Sejumlah barang cacat, sebanyak 5 dari produksi sebanyak 100, yang diamati dicari pada inspeksi ke-5 barang cacat pertama ditemukan. Geometrik x = 5, p = 0,05
Hypergeometric
No. of success in n trials with p = P (success) = k/ N (draw w/o replacement, dependet trials)
max {0, n – (N-k)} ... Min {n, k}
Sejumlah bola merah yang diamati dari pengambilan tanpa pengembalian 10 bola dari sebuah wadah yang berisi 5 bola merah dan 20 bola hitam. Hypergeometrik N = 25, k = 5, n = 10
Poisson
No. of arrivals with arrivale rate λ during an interval length t
0, 1, 2,...
Jumlah bubbles yang diamati dari inspeksi sebuah gelas yang memiliki luas penampang 100 cm2 dimana rata-rata terdapat 5 bubbles pada gelas yang seluas 10.000 cm2 07/04/16 Poisson λ= 5/10.000, t = 100
www.debrina.lecture.ub.ac.id
