DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS •Uniform •Bernoulli •Binomial •Poisson Distribusi Lainnya: •Multinomial •Hipergeometrik •Geometrik •Binomial Negatif
BI5106 Analisis Biostatistika p 2012 27 September
Distribusi uniform (seragam) ( g ) 2
Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x1, x2, …, xk) memiliki peluang yang sama. Distribusi peluang X : 1 P( X x) , k
x x1 , x2 ,..., xk
Rataan :
1 k xi k i 1
Variansi :
1 k 2 xi k i 1 2
Contoh 1 3
Pelantunan sebuah dadu. 1 P( X x) , 6
x 1, 2,3, 4,5, 6 0.18
1 2 3 4 5 6 3,5 35 6
0.175 P(X=x)
0.17 0.165
2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 3.52 2 6 15.17 15 17 12 12.25 25 22.92 92
0.16 1
2
3
4 x
5
6
Percobaan Bernoulli 4
Percobaan terdiri dari 1 usaha
Sukses Usaha
G Gagal l
Peluang sukses p
Peluang gagal 1-p Misalkan
1, jika terjadi sukses X 0, jika terjadi tidak sukses (gagal)
Distribusi Bernoulli 5
X
b di ib i Bernoulli, berdistribusi B lli p x (1 p )1 x , x 0,1 P( X x) ber ( x; p ) , x lainnya 0
Rataan Variansi
: E[X] = µx = p : Var(X)= x2 = p(1-p)
Percobaan Binomial 6
n
usaha yang berulang. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal. Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. Tiap usaha saling bebas.
Distribusi Binomial 7
Distribusi binomial binomial, parameter n dan p
Notasi X ~ B(n,p)
F.m.p:
n x P( X x) b( x; n, p ) p (1 p ) n x x
Koefisien binomial : n n! x x !( n x )!
n! = n.(n-1).(n-2) … 1 untuk x = 0,1, … , n
o
Rataan
: E[X] = µx = np
o
Variansi
: var(X)= X2 = np(1-p)
Contoh 2 8
Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun obat itu hanyalah menutupi penyakit apapun, sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?
Jawab 9
Misalkan p peubah acak X menyatakan y banyaknya y y p penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhn a’. sesungguhnya Maka X~B(5, 0.7)
Yang ingin Y i i dicari di i adalah d l h P(X 3). 3) P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
5 5 5 3 2 4 1 5 0 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 3 4 5 5! 5! 5! (0 343)(0 (0, 343)(0, 09) (0 (0, 240)(0, 240)(0 30) (0,168)(1) (0 168)(1) 2!3! 1!4! 0!5! edited by UM 0,837 0, 309 0, 360 0,168 2011
Percobaan Poisson 10
Me Memiliki 2 keluaran e ua a hasil as : SU SUKSES S S da dan GAGAL. G G . Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial) Panjang selang waktu Luas daerah/area Contoh : - Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US - Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2 meter panjang sungai “A” - Banyak B k tikus ik yang ditemukan di k dalam d l 1 hha persawahan h
Proses Poisson 11
Selang waktu atau daerahnya saling bebas. Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah. Peluang g untuk selang g yang y g pendek p atau daerah yang sempit dapat diabaikan.
Distribusi Poisson 12
Peubah acak X berdistribusi Poisson
X~P((t)) F.m.p :
P( X x)
e
t
t x!
x
, x 0,1, 2,...
e = tetapan Euler (2.71828…) o o
Rataan : E[X] = X = t Variansi : var(X)= X2 = t
Contoh 3 13
Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7. 7 a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu. minggu b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan. bulan
Jawab 14
Jenis kasus
Satuan
• Kasus Diskrit • Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah • Distribusi Poisson • Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya • Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1 • Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4
• Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4 Paramete • Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = 7 r • JJika a t = 4 (dalam (da a minggu) ggu) maka a a X ~ P (7) , dengan de ga rata-rata aa aa= t = (7/ (7/4)(4) )( ) = 7 distribusi • t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = .... Pertanya • t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = .... an a. Pertanya • t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka = .... • t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka = .... an b.
... Ingat definisi: sehingga a.
e t t P ( X x) x!
x
, x 0,1, , , 2,... ,
P( X 2) 1 P X 2 1 P X 0 P X 1 P X 2 e 3,5 3,5 e 3,5 3,5 e 3,5 3,5 1 0! 1! 2! 1 0.030 0,106 0,370 0, 494 t 0,5
15
0
1
2
b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14. 14
Hubungan distribusi Bernoulli, Binomial, Poisson d Normal dan N l 16
Misalkan p.a X Distribusi Di ib i Bernoulli B lli X ~ Ber (1, p)
n >1 Distribusi Normal X ~ N(μ, σ N(μ, σ2) μ = np, σ2 = np(1- p) μ = , σ2 =
n >>> Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p)
n >>>, p <<<
n >>> DLP
Distribusi Poisson X ~ POI (t) = np = np(1- p)
Beberapa p distribusi diskrit lainnya y 17
Distribusi Multinomial Di t ib i Hipergeometrik Distribusi Hi t ik Distribusi Binomial Negatif Di t ib i Geometri Distribusi G ti
Distribusi Multinomial 18
Bila suatu usaha tertentu dapat p menghasilkan g k macam hasil E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan banyak terjadinya j y E1, E2, …,, Ek dalam n usaha bebas ialah,,
n x1 x2 xk p p p P ( X 1 x1 , X 2 x2 ,..., X k xk ) 1 2 k , ,..., x x x k 1 2 dengan, k
x i 1
i
n
k
dan
p i 1
i
1
Percobaan Binomial menjadi Multinomial jjika setiap p percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.
Contoh 4 19
Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta. Jawab: Misalkan Xi : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta. 9 3 3 1 2 P( X 1 3, X 2 3, X 3 1, X 4 2) 0.4 0.2 0.3 0.1 3,3,1, 2 9! 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 105 0, 038702 3!3!1!2!
Distribusi Hipergeometrik p g 20
X ~ h(N, ( n, k)) X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal. gagal
k N k x n x , P ( X x) h( x; N , n, k ) N n
Rataan :
nk N
x 0,1, 2,..., n
Variansi :
N n k k n 1 N 1 N N 2
21
Contoh 5
Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran! Jawab : Misalkan X : banyak y g gedung g yang y g dipilih p mempunyai p y kode pelanggaran. X ~ h(50, 10, 12) 12 38
3 7 220 12620256 0.2703 P ( X 3) h(3;50,10,12) 10272278170 50 10
Kaitannya dengan distribusi Binomial 22
Percobaan binomial maupun hipergeometrik samasama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal. Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan b dilakukan d l k k dengan d pengembalian b li sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian. Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap p N,, maka distribusi hipergeometrik p g dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .
Distribusi Geometrik 23
X ~ g(p) atau X ~ Geom(p) X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan usaha-usaha gagal (1-p).
P ( X x) g ( x; p ) p (1 p ) x 1 ,
Rataan :
1 p
Variansi : 2
1 p p2
x 1, 2,...
24
Contoh 6
Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hit Hitung peluang l pada d tes t kketiga ti ditemukan dit k patahan t h pertama! t ! Jawab : X ~ Geom(0.2) Geom(0 2)
P( X 3) g (3;0.2) (3;0 2) 0.2(0.8) 0 2(0 8) 2 0.128 0 128
Distribusi Binomial Negatif 25
X ~ b*(k, p) X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usaha-
usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).
x 1 k xk P ( X x) b *( x; k , p) p (1 p ) , k 1
x k , k 1, k 2...
Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acakpeubah acak Geometrik. X = Y1 + Y2 + ... + Yk dimana Y1, Y2, ..., Yk adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p).
Rataan :
k p
Variansi :
k (1 p ) p2 2
Contoh 7 26
Perhatikan Contoh 6. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga gg ditemukan 3 patahan p pertama. p Hitung g peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama! Jawab : 7 P( X 8) b *(8;3 (8;3, 0.2) 0 2) (0.2) (0 2)3 (0.8) (0 8)5 0.05505 0 05505 2
Referensi 27
Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and
Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill. Walpole, p Ronald E. dan Myers, y Raymond y H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Hall Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.