Pembahsan Tugas 9 Probabilitas dan Statistika Distribusi Peluang Diskrit dan Distribusi Peluang Kontinyu Distribusi Peluang Diskrit 1. Hitunglah P(X < 10) dengan distribusi binomial untuk n = 15, p = 0,4 ! 9
P( X 10) b( x;15,0.4) x 0
Cari pada baris tabel n = 15, x = 9, dan p = 0.4, maka diperoleh : 9
P( X 10) b( x;15,0.4) 0.9662 x 0
2. Probabilitas seorang pasien yang sembuh dari suatu penyakit flu adalah 40%. dan diketahui 15 orang telah tertular penyakit ini. a. Tentukan dulu kasus ini menggunakan jenis distribusi apa dan sertakan alasannya Kasus ini adalah proses Bernoulli. Probabilitas “sukses”, yaitu sembuh adalah p =0.4. Variabel random X menyatakan banyak orang yang “sukses” = sembuh, sedangkan total percobaannya adalah n=15. Kemudian karena terdapat kondisi yang sesuai dengan sifat distribusi binomial maka proses perhitungan dapat dilaukan dengan pendekatan binomial. b. Berapakah probabilitasnya bahwa : i. paling tidak 10 orang sembuh ii. antara 3 hingga 8 orang sembuh iii. tepat 5 orang sembuh P(X≥10) = 1 - P(X<10) = 1 - B(r=9;n=15,p=0.4) = 1 - 0.9662 = 0.0338 P(3≤X≤8) = P(X≤8) - P(X<3) = B(r=8;n=15,p=0.4) - B(r=2;n=15,p=0.4) = 0.9050 - 0.0271 = 0.8779
P(X=5) = P(X≤5) - P(X<5) = B(r=5;n=15,p=0.4) - B(r=4;n=15,p=0.4) = 0.4032 - 0.2173 = 0.1859
atau jika ada pertanyaan binomial yang menanyakan jumlah “tepat” berupa sebuah nilai, maka pertanyaan ini bisa dijawab dengan melakukan perhitungan binomial biasa (non cumulative) dengan menggunakan rumus binomial, yang nilai x-nya berupa bilangan yang ditanyakan tersebut ( tepat 5 orang sembuh = x = 5) 15 b(5; 15; 0.4) = 0.4 5 0.73155 5 3. Misalkan dari 27% dari semua copy dari buku tertentu mengalami kegagalan dalam test penjilidan. Misalkan X adalah jumlah dari 12 copy buku yang dipilih secara acak yang gagal dalam test, dengan X mempunyai distribusi binomial n = 12 dan p = 0.27. Tentukan : a) Peluang dari maksimal 7 gagal dalam tes b) Peluang dari 7 gagal semua P = 27% = 0.27 n = 12 n b( x; n, p) p x q n x x a. P(X≤7) P(X≤7) = ∑70 b(x; 12; 0.27) = 0.991 b. P(X=7) P(X=7) = P(X≤7) - P(X<7) = ∑70 b(x; 12; 0.27) - ∑60 b(x; 12; 0.27) = 0.017
atau jika ada pertanyaan binomial yang menanyakan jumlah “tepat” berupa sebuah nilai, maka pertanyaan ini bisa dijawab dengan melakukan perhitungan binomial biasa (non cumulative) dengan menggunakan rumus binomial, yang nilai x-nya berupa bilangan yang ditanyakan tersebut (dalam kasus ini jumlah buku yang gagal semua = 7)
12 b(7; 12; 0.27) = 0.27 7 0.73127 7
4. Diperkirakan 10% dari keseluruhan harddisk di sebuah toko penjualan server telah mengalami bad sector akibat kehujanan. Untuk memeriksa kebenaran hal tersebut, dilakukan pemeriksaan secara acak dengan mengambil 25 hardisk a) Tentukan dulu kasus ini menggunakan jenis distribusi apa dan sertakan alasannya b) Berapa probabilitas tepat 7 hardisk mengalami bad sector ? c) Pertanyaan yang sama tapi lebih dari 5 harddisk mengalami bad sector ? a.
Kasus ini pada awalnya adalah kasus binomial. Namun karena didapat perhitungan yang mempunyai proses perhitungan yang agak rumit (misalnya pada kasus ini ada perhitungan pangkat 18), maka dapat dihitung dengan metode pendekatan melalui distribusi poisson. Namun jika tetap dihitung dengan binomial, maka hasilnya akan benar, sangat benar malahan, karena memang pada dasarnya ini kasus binomial yang harusnya dihitung dengan rumus persamaan binomial juga. Namun karena ada perhitungan yang rumit maka, proses perhitungan dapat “dibantu” dengan pendekatan distribusi poisson (lihat sifat dan aplikasi poisson dan hubungannya dengan distribusi binomial di slide) Jadi mau dihitung dengan binomial dan poisson keduanya dianggap benar, karena keduanya memang berhubungan, dengan catatan hasilnya nggak jauh beda sehingga kelihatan nilai perhitungan binomialnya “didekati” oleh perhitungan poisson. Pembahasan ini untuk pendekatan poissonnya. Nilai rata2 = 0.1 * 25 = 2.5
b.
c.
P(X=7) P(X=7)
P(X>5) P(X>5)
= P(7;2.5) – P(6;25) = 0.9958 – 0.9858 = 0.01
= 1 - P(X<=5) = 1 – P(5;2.5) = 1 – 0.9580 = 0.042
Penggunaan distribusi Poisson disini digunakan sebagai alternatif dalam penghitungan distribusi binomial yang memiliki hasil perhitungan yang relative susah dihitung (ingat sifat dan aplikasi distribusi poisson di slide terakhir materi distribusi diskrit 2). Distribusi poisson bisa digunakan untuk melakukan “pendekatan” terhadap distribusi binomial. Namun hasil pendekatan dari metode
poisson tidak dapat tepat sepenuhnya sama dengan binomial, hasil perhitungannya akan memiliki hasil yang agak beda tipis, mungkin hanya beda sedikit di angkaangka di belakang koma. Misalnya jika hasil asli dari perhitungan binomial nilainya 0.038 maka kalau dihitung dengan pendekatan poisson bisa didapat hasil 0.042. Jadi boleh dibilang bedanya beda tipis, karena pasti ada pergeseran, yang namanya pendekatan tidak bisa menebak nilai “pas” dengan aslinya dan hanya bisa “mendekati” saja 5. Di dalam lemari terdapat 3 celana berwarna hitam dan 3 celana berwarna biru. Bila diambil 2 celana secara acak, berapa probabilitas diperoleh 2 celana berwarna hitam ? Gunakan persamaan distribusi hipergeometri x=2;N=6;n=2;k=3 h(x;N;n;k) h(2;6;2;3)
h(2;6;2;3) =
3 6−3 ( )( ) ( 2 62−2 ) ( ) 2
= 0.2
Distribusi Peluang Kontinyu 1. Variabel X terdistribusi normal dengan mean 50 dan standard deviasi =10. Carilah probabilitas untuk menemukan X bernilai antara 45 dan 62 ? Dalam soal ini μ = 50 dan σ=10. x1 = 45 dan x2 =62 Pertama kita mapping x ke z (melakukan normalisasi atau standardisasi): z1 = (x1 - μ)/σ z1 = (45-50)/10 = -0.5 z2 = (x2 - μ)/σ z2 = (62-50)/10 = 1.2 Sehingga P(45 <x< 62) = P(-0.5
2. Diketahui luas dibawah distribusi normal yang diinginkan yang terkait dengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X yang terkait. Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai x0 sehingga P(x<x0) = 45% Kita mulai dengan mencari nilai Z yang sama luasnya. P(z
3. Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?
A = P(μ < x < xA) = 0.5 – 0.12 = P(μ < Z < ZA) = 0.38 Luas daerah kurva distribusi normal yang dibatasi oleh ZA P(Z < ZA) P(0) + A = 0.5 + 0.38 = 0.88 ZA = 1.175 (lakukan perkiraan dan pendekatan dari tabel) atau P(Z < ZA) = 1 – 0.12 = 0.88 ZA = 1.175 (lakukan perkiraan dan pendekatan dari tabel)
ZA
XA
xA = ZA . σ + μ = (1.175).7 + 74 = 82.225
Catatan : Silakan dipelajari pembahasan tugas ini, sebagai salah satu bahan untuk latihan soal untuk Quiz dan UAS. Namun sebelumnya, silakan dihitung dulu apakah hasil yang ada di pembahasan ini benar atau tidak. Karena tidak semua jawaban di kunci jawaban itu benar, sehingga butuh diverifikasi dan divalidasi lagi. Terimakasih
