Probabilitas dan Statistika Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika “Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu”

Adam Hendra Brata

Variabel Acak Kontinyu Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Variabel Acak Kontinyu  Himpunan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan himpunan tak terhitung yaitu tidak dapat dinyatakan sebagai {x1, x2, x3, …., xn} atau {x1, x2, x3, ….} tetapi berupa interval atau gabungan beberapa interval misalnya {xR|a < x < b, a,bR} atau {xR|a  x  b, a,bR} atau {xR|a < x  b, a, bR}, dan sebagainya  Suatu variabel yang memiliki nilai pecahan didalam range tertentu

Variabel Acak Kontinyu Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Variabel Acak Kontinyu  Variabel acak kontinyu mempunyai nilai-nilai pada sumbu real dalam lingkup kontinyu  Sumber eksperimen untuk variabel acak bukanlah kejadian diskrit, sebab sumbu real yang kontinyu terdiri dari titik-titik yang kontinyu yang seharusnya juga memiliki hubungan dengan kejadian  Fungsi pemetaan haruslah “single valued” dari semua kejadian pada setiap titik  Dalam praktiknya, peubah acak kontinyu ini digunakan untuk data yang diukur misalnya, tinggi, berat, suhu atau jarak

Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu  Distribusi acak kontinyu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sering disebut dengan (density function) atau fungsi kepadatan probabilitas dan bukan fungsi probabilitas  Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1

Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu

Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu  Distribusi variabel acak kontinyu tidak dapat disusun dalam tabel yang menyatakan nilai probabilitas  Nilai distribusi kontinyu dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis dan digambarkan dalam bentuk kurva

Fungsi Rapat Peluang f(x)

Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

f(x)

x (a)

x (b)

Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Contoh Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu  Probabilitas menemukan orang dengan tingginya tepat 165.0 cm mungkin bisa jadi nilainya 0  Tapi probabilitas menemukan orang dengan tinggi antara 160.0 cm s/d 165.0 cm tentunya ada 

Catatan - Probabilitas sebuah variabel random memiliki nilai dalam sebuah selang interval, e.g. P(a<X
Fungsi Rapat Peluang Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Fungsi Rapat Peluang  Misalkan X peubah acak kontinyu dan suatu fungsi f dengan nilai f(x) yang didefinisikan pada R merupakan fungsi kerapatan peluang atau fungsi padat peluang dari X jika dan hanya jika b

P(a  X  b ) =

 f ( x)dx a

untuk setiap konstanta real a dan b dengan a≤b

Fungsi Rapat Peluang Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Fungsi Rapat Peluang  Jika X peubah acak kontinyu dan a, b adalah dua konstanta real dengan a ≤ b

Fungsi Rapat Peluang Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Fungsi Rapat Peluang  Fungsi nilai-nilai peubah acak kontinyu X, dapat digambarkan sebagai suatu kurva kontinyu  Contoh grafik fungsi kerapatan peluang yang mempunyai penerapan praktis dalam analisis data statistik bersifat kontinyu untuk semua nilai X adalah sebagai berikut f(x)

f(x)

x f(x)

(a)

x f(x)

(b)

x

(c)

(d)

Fungsi Rapat Peluang Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu

Fungsi Rapat Peluang  Luas bidang di bawah f(x) antara x=a dan x=b memberikan probabilitas menemukan nilai X antara a dan b, atau P(a<X
b

Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

P(a  X  b)   f ( x)dx a

Fungsi Rapat Peluang Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu Fungsi Rapat Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Ciri Fungsi Rapat Peluang  f(x) merupakan fungsi kerapatan peluang dari peubah acak kontinyu X jika nilai fungsi f(x) memenuhi :

1. f(x) ≥ 0 

2.

 f ( x)dx  1



Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu

Misalkan ada kesalahan dalam pencatatan temperatur di sebuah percobaan adalah sebuah variabel random X yang memiliki fungsi rapat probabilitas sebagai berikut :

 x2  1  x  2 f ( x)   3   0 lainnya a. Periksalah apakah f(x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat probabilitas ! b. Berapakah probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0 dan 1?

Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu a. Syarat fungsi rapat probabilitas f(x) =1 





2

2

3 2

x x dx  3 9 1

f ( x)dx  

1

1

b. Probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0 dan 1 1

P(0  X  1)   0

1

2

3 1

x x f ( x)dx   dx  3 9 0

0

1  9

Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif Variabel Acak Kontinyu Fungsi Distribusi Peluang Acak Kontinyu

Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif  Analog dengan kasus diskrit, maka fungsi distribusi probabilitas kontinyu kumulatif F(x) dari fungsi rapat probabilitas f(x) didefinisikan sebagai : x

F ( x)  P( X  x) 

 f (t )dt



Fungsi Rapat Peluang

 1.

Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

2.

Dari definisi di atas tentu akan berlaku : f(x) = dF(x) / dx P(a < X < b) = F(b) - F(a)

Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif

Misalkan ada kesalahan dalam pencatatan temperatur di sebuah percobaan adalah sebuah variabel random X yang memiliki fungsi rapat probabilitas sebagai berikut :

 x2  1  x  2 f ( x)   3   0 lainnya a. Tentukan fungsi distribusi kumulatifnya ! b. Gunakan untuk menghitung P ( 0 < x < 1 ) !

Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Kumulatif Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu a. Distribusi kumulatif 





2

2

3 2

x x dx  3 9 1

f ( x)dx  

1

1

b. P ( 0 < x < 1 ) 1

P(0  X  1)   0

1

2

3 1

x x f ( x)dx   dx  3 9 0

0

1  9

Terimakasih dan Semoga Bermanfaat v^^