DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS

DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS •Uniform •Bernoulli •Binomial •Poisson Distribusi Lainnya: •Multinomial •Hipergeometrik •Geometrik •Binomial Negatif

BI5106 Analisis Biostatistika p 2012 27 September

Distribusi uniform (seragam) ( g ) 2









Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x1, x2, …, xk) memiliki peluang yang sama. Distribusi peluang X : 1 P( X  x)  , k

x  x1 , x2 ,..., xk

Rataan :

1 k    xi k i 1

Variansi :

1 k 2     xi    k i 1 2

Contoh 1 3

Pelantunan sebuah dadu. 1 P( X  x)  , 6

x  1, 2,3, 4,5, 6 0.18

1 2  3  4  5  6   3,5 35 6

0.175 P(X=x)



0.17 0.165

2 2 2 2 2 2 1  2  3  4  5  6  3.52 2  6  15.17 15 17  12 12.25 25  22.92 92

0.16 1

2

3

4 x

5

6

Percobaan Bernoulli 4

 Percobaan terdiri dari 1 usaha

Sukses Usaha

G Gagal l

 Peluang sukses  p

Peluang gagal  1-p  Misalkan

1, jika terjadi sukses X  0, jika terjadi tidak sukses (gagal)

Distribusi Bernoulli 5

X

b di ib i Bernoulli, berdistribusi B lli  p x (1  p )1 x , x  0,1 P( X  x)  ber ( x; p )   , x lainnya 0

 Rataan  Variansi

: E[X] = µx = p : Var(X)= x2 = p(1-p)

Percobaan Binomial 6

n

usaha yang berulang.  Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal.  Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya.  Tiap usaha saling bebas.

Distribusi Binomial 7



Distribusi binomial binomial, parameter n dan p



Notasi X ~ B(n,p)

 F.m.p:

n x P( X  x)  b( x; n, p )    p (1  p ) n  x  x

 Koefisien binomial : n n!     x  x !( n  x )!

n! = n.(n-1).(n-2) … 1 untuk x = 0,1, … , n

o

Rataan

: E[X] = µx = np

o

Variansi

: var(X)= X2 = np(1-p)

Contoh 2 8

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun obat itu hanyalah menutupi penyakit apapun, sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?

Jawab 9

Misalkan p peubah acak X menyatakan y banyaknya y y p penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhn a’. sesungguhnya Maka X~B(5, 0.7)

Yang ingin Y i i dicari di i adalah d l h P(X  3). 3) P(X  3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

5 5 5 3 2 4 1 5 0     0.7   0.3      0.7   0.3      0.7   0.3   3 4 5 5! 5! 5!  (0 343)(0 (0, 343)(0, 09)  (0 (0, 240)(0, 240)(0 30)  (0,168)(1) (0 168)(1) 2!3! 1!4! 0!5! edited by UM 0,837  0, 309  0, 360  0,168  2011

Percobaan Poisson 10

 

Me Memiliki 2 keluaran e ua a hasil as : SU SUKSES S S da dan GAGAL. G G . Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial)  Panjang selang waktu  Luas daerah/area Contoh : - Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US - Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2 meter panjang sungai “A” - Banyak B k tikus ik yang ditemukan di k dalam d l 1 hha persawahan h

Proses Poisson 11

 



Selang waktu atau daerahnya saling bebas. Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah. Peluang g untuk selang g yang y g pendek p atau daerah yang sempit dapat diabaikan.

Distribusi Poisson 12

 Peubah acak X berdistribusi Poisson

X~P((t))  F.m.p :

P( X  x) 

e

 t

 t  x!

x

, x  0,1, 2,...

e = tetapan Euler (2.71828…) o o

Rataan : E[X] = X = t Variansi : var(X)= X2 = t

Contoh 3 13

Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7. 7 a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu. minggu b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan. bulan

Jawab 14

Jenis kasus

Satuan

• Kasus Diskrit • Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah • Distribusi Poisson • Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya • Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1 • Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4

• Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4 Paramete • Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata  = t = 7 r • JJika a t = 4 (dalam (da a minggu) ggu) maka a a X ~ P (7) , dengan de ga rata-rata aa aa= t = (7/ (7/4)(4) )( ) = 7 distribusi • t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = .... Pertanya • t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = .... an a. Pertanya • t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka  = .... • t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka  = .... an b.

... Ingat definisi: sehingga a.

e  t   t  P ( X  x)  x!

x

, x  0,1, , , 2,... ,

P( X  2)  1  P  X  2   1  P  X  0   P  X  1  P  X  2  e 3,5  3,5  e 3,5  3,5  e 3,5  3,5   1   0! 1! 2!  1  0.030  0,106  0,370  0, 494 t  0,5

15

0

1

2

b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14. 14

Hubungan distribusi Bernoulli, Binomial, Poisson d Normal dan N l 16

Misalkan p.a X Distribusi Di ib i Bernoulli B lli X ~ Ber (1, p)

n >1 Distribusi Normal X ~ N(μ, σ N(μ, σ2) μ = np, σ2 = np(1- p) μ =  , σ2 = 

n >>> Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p)

n >>>, p <<<

n >>> DLP

Distribusi Poisson X ~ POI (t)  = np = np(1- p)

Beberapa p distribusi diskrit lainnya y 17

   

Distribusi Multinomial Di t ib i Hipergeometrik Distribusi Hi t ik Distribusi Binomial Negatif Di t ib i Geometri Distribusi G ti

Distribusi Multinomial 18



Bila suatu usaha tertentu dapat p menghasilkan g k macam hasil E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan banyak terjadinya j y E1, E2, …,, Ek dalam n usaha bebas ialah,,

n   x1 x2 xk  p p p P ( X 1  x1 , X 2  x2 ,..., X k  xk )    1 2 k , ,..., x x x k   1 2 dengan, k

x i 1

i

n

k

dan

p i 1

i

1

Percobaan Binomial menjadi Multinomial jjika setiap p percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

Contoh 4 19





Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta. Jawab: Misalkan Xi : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.  9  3 3 1 2 P( X 1  3, X 2  3, X 3  1, X 4  2)   0.4 0.2 0.3 0.1           3,3,1, 2  9!   0.064  0.08 0.3 0.01  2520 1.536 105  0, 038702 3!3!1!2!

Distribusi Hipergeometrik p g 20

 

X ~ h(N, ( n, k)) X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal. gagal

 k  N  k     x n  x , P ( X  x)  h( x; N , n, k )     N   n 

Rataan :

nk  N



x  0,1, 2,..., n

Variansi :

N n k  k    n 1   N 1 N  N  2

21

Contoh 5 



Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran! Jawab : Misalkan X : banyak y g gedung g yang y g dipilih p mempunyai p y kode pelanggaran. X ~ h(50, 10, 12) 12  38 

   3  7   220 12620256     0.2703 P ( X  3)  h(3;50,10,12)  10272278170  50     10 

Kaitannya dengan distribusi Binomial 22







Percobaan binomial maupun hipergeometrik samasama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal. Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan b dilakukan d l k k dengan d pengembalian b li sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian. Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap p N,, maka distribusi hipergeometrik p g dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .

Distribusi Geometrik 23

 

X ~ g(p) atau X ~ Geom(p) X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan usaha-usaha gagal (1-p).

P ( X  x)  g ( x; p )  p (1  p ) x 1 , 

Rataan : 

1 p



Variansi : 2 

1 p p2

x  1, 2,...

24

Contoh 6 



Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hit Hitung peluang l pada d tes t kketiga ti ditemukan dit k patahan t h pertama! t ! Jawab : X ~ Geom(0.2) Geom(0 2)

P( X  3)  g (3;0.2) (3;0 2)  0.2(0.8) 0 2(0 8) 2  0.128 0 128

Distribusi Binomial Negatif 25

 X ~ b*(k, p)  X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usaha-

usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

 x  1 k xk P ( X  x)  b *( x; k , p)   p (1  p ) ,   k  1 

x  k , k  1, k  2...

Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acakpeubah acak Geometrik. X = Y1 + Y2 + ... + Yk dimana Y1, Y2, ..., Yk adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p). 

Rataan :

k  p



Variansi :

k (1  p )   p2 2

Contoh 7 26

 



Perhatikan Contoh 6. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga gg ditemukan 3 patahan p pertama. p Hitung g peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama! Jawab : 7 P( X  8)  b *(8;3 (8;3, 0.2) 0 2)    (0.2) (0 2)3 (0.8) (0 8)5  0.05505 0 05505  2

Referensi 27

 Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and

Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill.  Walpole, p Ronald E. dan Myers, y Raymond y H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.  Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Hall  Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.