Probabilitas
Hermita DP @2014
Materi Sejarah Probabilitas Konsep Dasar Probabilitas Definisi Probabilitas Teori Dasar Probabilitas Hukum Probabilitas Probability Theorem Teknik Cacah
PERCOBAAN (TARUHAN) Kalah
X
TARUHAN Rp1.000.000,00
Menang
Y
Persentase Menang???
Strategi???
Rp2.000.000,00 X
3
TARUHAN
Y
PERCOBAAN (TARUHAN) Pada permainan berturut-turut dari 2 pihak dengan strategi : “Apabila pada suatu permainan suatu pihak mengalami kekalahan, maka maka pada permainan selanjutnya, pihak yang kalah memasang sejumlah uang yang lebih besar dari uang yang dipasang pada permainan sebelumnya”. MANTINGAL 4
5 -- indwi--
12/09/2014
Probability is the chance that something will happen
We can say that the probability of an event occurring will be somewhere between impossible (0) and certain (1) 6 -- indwi--
12/09/2014
exercise
a) The sun will rise tomorrow. b) I will not have to learn maths at IT Telkom. c) If I flip a coin it will land heads up. d) If you have a choice of red, yellow, blue or green you will choose red.
7 -- indwi--
12/09/2014
Remember The probability of an event will not be more than 1. This is because 1 is certain that something will happen. And the probability of an event will not be less than 0. This is because 0 is impossible (sure that something will not happen).
8 -- indwi--
12/09/2014
9 -- indwi--
12/09/2014
Sejarah Probabilitas Tahun 1550 : Gerolamo Cardano (The Book on Dice Games) The Probability that one of two exclusive event occurs equals the sum their probabilities The Probability that two independent event occurs simultaneously equals the product of their probabilities. Gerolamo Cardano dijuluki “The father of the theory probability”
Penerus / pengembang teori probabilitas : Piere de Fermat (1600 -1665) Blaise Pascal (1623-1662) Christiaan Huyghens (1629-1695) Bernoulli (1654-1705) Abraham de Moivre (1667-1754)
Sejarah Probabilitas Tahun 1709 : Jaques (Jacob) Bernoulli menulis buku “Ars Conjectandi”, yang terdiri 5 bagian, yaitu: 1. Menulis ulang “Liber de Ludo Aleae” (Book on Games of Chance) karya Cardano 2. Permutasi dan Kombinasi 3. Distribusi Binomial dan Multinomial 4. Teori Peluang/Probabilitas 5. The Law Large Number (Hukum Bilangan Besar)
Sejarah Probabilitas Abraham de Moivre : -
-
Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) Distribusi Normal (1737), pendekatan distribusi Binomial untuk n yang besar (1738, The Doctrine of Chances) Diperluas oleh Laplace dalam buku Analytical Theory of Probabilities (1812) Teorema De Moivre-Laplace. Jouffret (1872), memberi nama kurva lonceng (bell curve) terhadap distribusi Normal Nama distribusi Normal diberikan oleh S.Pierce, Francis Galton dan Wilhelm Lexis pada tahun 1875.
Sejarah Probabilitas Pada abad ke 18, para pelopor teori probabilitas berikut aplikasinya : Pierre – Simon Laplace (1749-1827) Simeon Denis Poisson (1777-1855) Pada abad ke- 19 para ahli matematika terkemuka melanjutkan karya pendahulunya, yaitu: P. Chebyshev (1821-1894) A. Markov (1856-1922) A. Lyapunov (1857-1918)
Konsep Dasar Probabilitas
Unsur peluang/probabilitas : 1. Random experiments 2. Sample space 3. Events
PROBABILITAS
15
Konsep Dasar Probabilitas Random Experiments
Experiments
Deterministic Experiments
If the results of the repeated experiments are exactly the same
Random / Stochastic Experiments If the results very in spite of all efforts to keep the experimental conditions the same
Konsep Dasar Probabilitas Sample spaces / ruang sampel ( Ω ): Suatu set dari seluruh kemungkinan hasil Contoh: Pengundian sebuah dadu
Pengambilan kartu bridge yang lengkap
Konsep Dasar Probabilitas Sample Spaces / Ruang Sampel
Ruang sampel diskrit ruang sampel yang memuat perubah (variabel) acak diskrit, dimana banyaknya elemen dapat dihitung sesuai dengan bilangan cacah (digunakan untuk data yang berupa cacahan atau dapat dihitung). Misalnya: banyak produk yang cacat, banyaknya kecelakaan lalu lintas di suatu kota dan sebagainya
Ruang sampel kontinu ruang sampel yang memuat perubah (variabel) acak kontinu, yaitu memuat semua bilangan dalam suatu interval (digunakan untuk data yang dapat diukur). Misalnya: indeks prestasi, tinggi badan, bobot, suhu, jarak, umur dan sebagainya 18
Konsep Dasar Probabilitas Events Events adalah subset dari sample spaces Contoh : Misalkan kita ingin mempelajari seluruh keluarga yang memiliki 1, 2, atau 3 anak
Ω = {l, p , ll, lp, pl, pp, lll, llp, lpl, lpp, pll, plp, ppl, ppp} Keluarga manakah yang memiliki anak pertama laki-laki? A = keluarga yang memiliki anak pertama laki-laki A = {l, ll, lp, lll, llp, lpl, lpp}
Konsep Dasar Probabilitas • Sebuah event E dikatakan subset dari event F, jika pada saat E terjadi maka F juga terjadi. E F • Event E dan F dikatakan sama, jika E F dan F E • Sebuah event dikatakan irisan (intersection) dari E dan F jika dia hanya terjadi pada saat E dan F terjadi EF atau E F
• Sebuah event dikatakan gabungan (union) dari event E dan F, jika dia terjadi pada saat paling sedikit salah satu event tersebut terjadi. E F • Sebuah event dinamakan complement dari suatu event E, jika dia terjadi hanya jika E tidak terjadi. E c E
Visualizing Events Contingency Tables Ace
Not Ace
Black Red
2 2
24 24
26 26
Total
4
48
52
Tree Diagrams 2 Sample Space
Total
24
Full Deck of 52 Cards
2 Chap 4-21
24
Sample Space
Konsep Dasar Probabilitas A B
A
A B
B
A
A dan B
A
B
A A S
A B
c
S A
B
B
A
Ac
Sample space, S A
Event, A
Konsep Dasar Probabilitas Jenis-jenis Events Simple event Sebuah outcome (kemungkinan hasil) dari sample space dengan satu karakteristik event Misal : Terambil sebuah kartu merah dari kartu bridge Complement of an event A (ditulis A’) Semua kemungkinan hasil yang bukan bagian dari event A Misal : Kartu yang bukan diamond Joint event Melibatkan dua atau lebih karakteristik event Misal : Terambilnya kartu As warna merah dari kartu bridge
Konsep Dasar Probabilitas Mutually exclusive events Event yang tidak terjadi secara bersama-sama (saling asing) tidak ada irisan Contoh : A = queen dari diamonds ; B = queen dari clubs A dan B adalah mutually exclusive event
Konsep Dasar Probabilitas Collectively exhaustive events One of the events must occur The set of events covers the entire sample space Contoh : A = As ; B = Kartu warna hitam C = Diamonds; D = Hearts A, B, C dan D adalah collectively exhaustive event (tetapi bukan mutually exclusive – sebuah As mungkin saja heart) B, C dan D adalah collectively exhaustive event dan juga mutually exclusive event
Definisi Probabilitas Experiment : Pelemparan/pengundian dua koin uang logam. 4 kemungkinan hasil
T T
T H
H
T
H
H
X : Event muncul “H” X Value
Probability
0
1/4 = 0.25
1
2/4 = 0.50
2
1/4 = 0.25
Definisi Probabilitas Sebuah ukuran tingkat peluang (likelihood of occurrence) dari sebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event). Diukur dengan nilai antara 0 dan 1 (atau antara 0% dan 100%)
Jumlah probabilitas dari mutually exclusive dan collectively exhaustive event adalah 1 P(A) P(B) P(C) 1 jika A, B, dan C mutually exclusive dan collectively exhaustive event
1
Pasti
0.5
0
Mustahil
Definisi Probabilitas Pendekatan Perhitungan Probabilitas
Obyektif Richard Von Mises
Aksiomatik
Subyektif
Andrei N. Kolmogrov (1903-1987)
Frank P. Ramsey (1903-1930)
Pendekatan Klasik Pendekatan Frekuensi Relatif
Definisi Probabilitas Pendekatan Aksiomatik Definisi : Misal Ω adalah sample space dan S merupakan event space. Probabilitas sebuah event A dinyatakan dengan P(A), mengikuti 3 aksioma berikut : 1. P(A) > 0
2. P(Ω) = 1 3. Jika A1, A2, A3, … merupakan mutually exclusive events maka P A j P( A j ) j 1 j 1
Definisi Probabilitas Pendekatan Obyektif – Pendekatan Klasik Didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai peluang yang sama (equally-likely)
Tidak memperhatikan keyakinan perorangan. Dianggap sama untuk setiap peneliti (objektif). Probabilitas ini dapat diketahui tanpa harus melakukan suatu percobaan Contoh: pelemparan/pengundian koin atau dadu.
Definisi Probabilitas Pendekatan Obyektif – Pendekatan Frekuensi Relatif Pendekatan ini mendefinisikan probabilitas sebagai: 1. proporsi terjadinya peristiwa dalam jangka panjang bila semua kondisi stabil 2. frekuensi relatif peristiwa yang diamati melalui sejumlah besar percobaan Contoh: Jika 1000 kali pelemparan/pengundian koin menghasilkan kemunculan 529 tanda gambar,maka frekuensi relatif-nya adalah 529/1000
Definisi Probabilitas Pendekatan Subyektif Berlandaskan pada keyakinan individu, pengalaman, intuisi, dan justifikasi personal. Ada perbedaan untuk setiap peneliti (subjektif). Contoh: pemasaran produk baru, ramalan cuaca, hasil pertandingan olah raga. Jika tidak ada pengamatan masa lalu sebagai dasar, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subyektif.
Teori Probabilitas Probabilitas (Peluang) : Jika sebuah event dapat muncul dalam N cara yang “equally likely”, dan jika terdapat n buah cara diantaranya memiliki atribut A, maka probabilitas atau peluang terjadinya A, dinyatakan dengan P(A), didefinisikan sebagai n P( A) N Syarat Probabilitas (Peluang) : 1. P(A) > 0 2. P(Ω) = 1
Teori Probabilitas Contoh :
Misalkan kita ingin mempelajari seluruh keluarga yang memiliki 1, 2, atau 3 anak. Berapa peluang sebuah keluarga memiliki 2 anak perempuan? Ω = {l, p , ll, lp, pl, pp, lll, llp, lpl, lpp, pll, plp, ppl, ppp} n(Ω) = N = 14 A = memiliki 2 anak perempuan A = {pp, lpp, plp, ppl} n(A) = 4
n 4 2 P( A) N 14 7
Hukum Probability Hukum Penjumlahan (Additive Rule)
P(A atau B) = P(A or B)
P A B P( A) P( B) P( A B)
• Hukum Perkalian (Multiplicative Rule) P(A dan B) = P(A and B) = P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Hukum Probability Hukum Himpunan : Identity laws : (A∪∅ = A, A∩∅ = ∅) Idempotent law : (A∪A = A, A∩A = A) Complement law : (A∪A = S, A∩A =∅) Commutative law : (A∪B = B∪A, A∩B = B∩A) De morgan’s law : (A∪B = B∩A, A∩B = B∪A) Associative law : A∩(B∩C) = (A∩B)∩C A∪(B∪C) = (A∪B)∪C Distributive law : A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
Probability Theorems Theorem 1 : P(Φ) = 0 Theorem 2 : If A ϵ S P(A) < 1 then implies :
0 < P(A) < 1
Probability Theorems Theorem 3 : If A, B ϵ S then
P( A B) P( A) P( A B) Proof : B A
A B A B
A A B B A
P( A) P A B PB A P A B P A B
P( A B) P( A) P( A B)
Probability Theorems Corollary, theorem 3 : If B A, then P(A – B) = P(A) – P(B) Proof : If B A, then A ∩ B = B P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B) = P(A) – P(B) Corollary : P( B ) 1 P( B) Proof : let A = Ω Theorem 3 P(Ω – B) = P(Ω) – P(Ω ∩ B) P( B) P( B ) ; P() 1 ; P( B) P( B)
P( B) P( B ) 1 P( B)
Probability Theorems Theorem 4 : if A, B S, then
P(A Proof : B A
υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) A υ B = (A – B) υ (B – A) υ (A ∩ B) P(A υ B) = P(A – B)+P(B – A)+P(A ∩ B) A = (A – B) υ (A ∩ B) B = (B – A) υ (A ∩ B)
P(A υ B) = P(A – B)+P(B – A)+P(A ∩ B) P(A υ B) = P(A) - P(A ∩ B) + P(B) - P(A ∩ B) +P(A ∩ B)
P(A
υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Probability Theorems Corollary 1 : P(A υ B) < P(A) + P(B) Corollary 1 can be extended to an arbitrary of events υA j :
P A j PA j j j Corollary 2 : if B = then
Aand A and B are disjoint,
1 P( A) P( A ) P( A) 1 P( A )
Probability Theorems Theorem 5 : if A,B S and B A, then P(B) < P(A) Proof : Corollary, theorem 3 P(A – B) = P(A) – P(B)
And by axiom 1, P(A – B) > 0 P(A – B) > 0 P(B) < P(A)
Contoh Seorang mahasiswa mengambil dua mata kuliah kalkulus ( I, II ). Misal A adalah event bahwa dia lulus kalkulus I dan B adalah event bahwa dia lulus kalkulus II. Jika dia menduga bahwa P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,9 ; dan P(A⋂B) = 0,75 a. Tentukan sample space untuk kasus tersebut b. Dengan menggunakan diagram Venn, gambarkan Ω c. Nyatakan dengan kata-kata untuk events : i. A B
ii.
AB
iii.
A B
iv.
A B
d. Tentukan probabilitas dari events pada bagian (c)
Contoh Solusi : Misalkan pasangan ( x1, x2 ) masing-masing menyatakan lulus atau tidak lulus kalkulus I dan Kalkulus II. Misal xi = 1 menyatakan lulus, dan xi = 0 menyatakan tidak lulus, maka Example a. Ω = { (1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}
b.
Ω
Region
1
2
3
4
Outcomes
(1,0)
(0,1)
(1,1)
(0,0)
Events
A B A B A B A B
Contoh c. (i)
A B
(ii)
AB
(iii) A B (iv) A B
: lulus paling sedikit satu mata kuliah tersebut; lulus kalkulus I atau kalkulus II atau keduanya (regions 1,2 and 3) : tidak lulus paling sedikit 1 mata kuliah tersebut; tidak lulus kalkulus I atau kalkulus II atau keduanya. (regions 1,2 and 4) : lulus kalkulus I dan tidak lulus kalkulus II ( region 1) : tidak lulus kedua mata kuliah tersebut; (region 4)
Contoh d. (i) P(A⋃B) = P(A) + P(B) – P(A⋂B) = 0,8 + 0,9 – 0,75 P(A⋃B) = 0,95 (ii) P(Ā⋃ B ) = P(Ā) + P( B ) – P(Ā⋂B ) = 0,2 + 0,1 - P(Ā⋂B )
A B = Ā⋂ B P(A B ) = P (Ā⋂ B ) P(Ā⋂B ) = 1 – P(A⋃B) = 1 – 0,95 = 0,05 P(Ā⋃B ) = 0,2 + 0,1 – 0,05 = 0,25
Contoh (iii) P(A⋂ B ) = ? P(A) = P(A⋂B) + P( B ⋂A)
P(A⋂ B ) = 0,8 – 0,75 = 0,05
(iv) P(A B ) = 1 - P(A⋃B) = 1 – 0,95 = 0,05
Teknik Cacah Aturan untuk mencacah (menghitung) semua kemungkinan hasil (outcomes) Counting Rule 1: Jika ada n mutually exclusive dan collectively exhaustive event yang berbeda dimana tiap event terdapat k percobaan, maka jumlah semua kemungkinan caranya adalah :
nk
Teknik Cacah Contoh : – Pengundian sebuah dadu : n(Ω) = 6 = 61 – Pengundian dua buah dadu : n(Ω) = 36 = 62 . . .
– Pengundian k buah dadu : n(Ω) = 6k
Teknik Cacah Counting Rule 2: Jika ada k1 event pada percobaan pertama, k2 event pada percobaan kedua, … dan kn event pada percobaan ke-n, Jumlah semua kemungkinan cara susunannya adalah :
(k1)(k2)…(kn) Contoh: Hasil dua pelemparan/pengundian uang logam dapat muncul dalam 4 cara. Pengundian uang logam pertama memiliki 2 cara kemunculan dan pengundian uang logam kedua memiliki 2 cara kemunculan, sehingga secara keseluruhan terdapat 4 (= 2 x 2) cara kemunculan hasil pengundian 2 kali uang logam.
Teknik Cacah Counting Rule 3 (FAKTORIAL): Jumlah cara dimana n objek dapat diurutkan
n! = (n)(n – 1)…(1) Contoh : Ada berapa cara untuk mengurutkan 6 huruf A, B, C, D, E, dan F? (6*5*4*3*2*1 = 720)
Teknik Cacah Permutasi (Counting Rule 4)
Kombinasi (Counting Rule 5)
• Jumlah cara yang dapat dilakukan sebuah set objek dengan memperhatikan urutan
• Jumlah cara yang dapat dilakukan sebuah set objek tanpa memperhatikan urutan
• Formula :
• Formula :
P(n, r ) n Pr Prn n(n 1)(n 2) (n r 1)
n! (n r )!
C (n, r ) n Cr Crn n n Pr n! r r! r!(n r )!
LATIHAN Dari 11 buku sastra dan 3 buku akuntansi akan dipilih 4 buku sastra dan 1 buku akuntansi dan diatur pada sebuah rak buku sehingga buku akuntansi selalu di tengah. Berapa banyak pengaturan tersebut yang mungkin? banyak cara pengisisan tempat pertama = C(11,1) = 11 banyak cara pengisisan tempat kedua = C(10,1) = 10 banyak cara pengisisan tempat ketiga = C(3,1) = 3 banyak cara pengisisan tempat keempat = C(9,1) = 9 banyak cara pengisisan tempat kelima = C(8,1) = 8 N = 11 * 10 * 3 * 9 * 8
N=
Latihan Permutasi 1. Ada 9 buku. berapa cara buku-buku itu bisa disusun pada seluruh rak sehingga : a) 3 buku tertentu selalu bersama-sama b) 3 buku tertentu tidak pernah bersama-sama 2. 6 buku biologi, 5 buku kimia, 2 buku fisika disusun pada rak buku. Berapa banyak cara penyusunan sehingga: a) Buku biologi bersamasama, buku kimia bersamasama, buku fisika bersama-sama b) Jika hanya buku kimia saja yang bersama-sama.
Solusi No:1 Permutasi Latihan no 1a Ada 9 buku (A, B, C, D, E, F, G, H, I) 3 buku tertentu (misal A, B, C) selalu bersama kemungkinanya bisa ABC, ACB, BAC, BCA, CAB,CBA (walaupun mereka sudah BERURUTAN, ternyata letak antara A, B, dan C masih bisa DITUKAR) PERMUTASI 9 Buku (3 selalu bersama-sama). Yg 3 buku ini kita anggap sebagai 1 kelompok, artinya sekarang ada 7 kelompok. Sehingga susunan yang mungkin = 7!* 3! 1. b 3 buku tertentu tidak pernah bersama, berarti 9!.dikurangi jawaban di atas, sehingga susunan yang mungkin= 9! - (7!*3!)
Solusi No: 2 permutasi 2. a Buku biologi bersama", buku kimia bersama", buku fisika bersama. Logikanya kitan anggap saja buku' yg sama itu sebagai 1 kelompok dan tiap kelompok bisa ditukartukar sedemikian rupa. Sehingga susunan yang mungkin: 6! * 5! * 2! * 3! 2. b Klo sekarang cuma buku kimia yang bersama-sama, berarti tinggal tiga kelompok. Sehingga susunan yang mungkin terjadi: 9! * 5! * 2!
Latihan Kombinasi 1. Terdapat 10 titik (A-J) pada suatu bidang. a) berapa garis yang dapat dibuat? b) berapa garis yang tidak melalui A atau B? c) berapa segitiga yang dibentuk? d) berapa segitiga yang mengandung sisi AB? 2. Seorang siswa diharuskan menjawab 8 dari 10 soal ulangan. berapa banyak cara jika menjawab 4 dari 5 pertanyaan pertama?
Solusi no: 1 Kombinasi Ada 10 titik Berap garis yang dapat dibuat kemungkinannya bisa AB, AC, AD,..., BC, BD, CD, ... dst (BA TIDAK TERMASUK karena BA dan AB adalah garis yang sama, begitu juga dengan CA, DA, dst)
1. a Garis dapat terbentuk dari 2 titik artinya: 10C2 (Hitung sendiri) 1. b tidak lewat A atau B, berarti tinggal 8 titik, artinya: 8C2 (Hitung sendiri)
Solusi 1. c Segitiga terbentuk akibat tiga titik, jadi: 10 C 3 (Hitung sendiri)
1. d Artinya AB kita anggap 1 kelompok, sehingga sekarang terdapat 9 titik, jadi segitiga terbentuk 9C3 (Hitung sendiri) 2 cek lagi soalnya apa maksudnya, berapa banyak cara jika menjawab 4 dari 5 pertanyaan pertama apa ya? Mungkin jika 4 soal pertama harus dikerjakan, jadi: 5C4
Teknik Cacah Pascal’s Triangle Is a way of finding the coefficients for the binomial in a simple way. Start by writing the coefficients for n = 1: 1 1. Below this, the coefficients for n = 2 are found by putting 1’s on the outside and adding up adjacent coefficients from the line above: 1, 1 + 1 = 2, 1. Next line goes the same way: write 1’s on the outsides, then add up adjacent coefficients from the line above: 1, 1+2 = 3, 2+1 = 3, 1. For n = 5, coefficients are 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Teknik Cacah Latihan : • Misal terdapat 4 jenis pekerjaan yang dialokasikan untuk 7 orang pekerja. Jika 1 orang hanya dapat mengerjakan sebuah pekerjaan, berapa cara yang dapat dilakukan untuk menyusun pasangan pekerja dan pekerjaannya? • Misal 5 orang pekerja masing-masing akan ditempatkan sebagai manajer atau pelatih suatu tim sepak bola. Berapa cara yang dapat dilakukan untuk menyusun pasangan manajer dan pelatih, jika posisi jenis pekerjaan tidak diperhatikan?
Tim Dosen E-Learning STATISTIKA
