DISTRIBUSI PROBABILITAS DAN TERMINOLOGI KEANDALAN

Materi #7 TIN315 – Pemeliharaan dan Rekayasa Keandalan

#7

© Genap 2015/2016

DISTRIBUSI PROBABILITAS DAN TERMINOLOGI KEANDALAN

7.1. Pendahuluan Pada pembahasan terdahulu, keandalan hanya dievaluasi sebagai suatu sistem rekayasa (engineering) dengan tidak menggunakan distribusi probabilitas dari masingmasing komponen yang ada di dalam sistem tersebut. Dalam hal ini nilai keandalan dari masing-masing komponen yang ada di dalam sistem berupa angka yang tetap, artinya tidak bergantung pada waktu. Untuk tahap awal dalam mempelajari teori keandalan sistem hal ini akan sangat membantu untuk memahami dasar-dasar perhitungan keandalan dari suatu sistem. Nilai keandalan suatu komponen atau sistem merupakan nilai kemungkinan/probabilitas dari suatu komponen atau sistem untuk dapat memenuhi fungsinya dalam kurun waktu dan kondisi tertentu yang sudah ditetapkan. Dan kenyataannya, untuk mengevaluasi keandalan suatu sistem rekayasa yang sebenarnya, nilai keandalan dari suatu komponen tidak lagi merupakan harga yang tetap melainkan akan bergantung terhadap waktu. Untuk itu pengevaluasian keandalan akan banyak berhubungan distribusi probabilitas dengan waktu sebagai variabel random. Ada dua kelompok utama dari distribusi probabilitas, yaitu distribusi diskrit (discrete distribution) dan distribusi kontinyu (continuous distribution). Distribusi diskrit yang sering dipakai adalah distribusi binomial dan distibusi Poisson. Sedang distribusi kontinyu yang sering banyak dipakai adalah distribusi eksponensial, distribusi normal, distribusi lognormal, distribusi weibull, distribusi Rayleigh, dan distribusi gama. Konsep yang berkaitan dengan distribusi probabilitas yang akan di bahas pada seksi ini adalah variabel random, fungsi probabilitas massa (probability mass function), fungsi probabilitas densitas (probability density function), fungsi distribusi kumulatif (cummulative distribution function), nilai harapan (expected value), varian dan deviasi standar. Konsep tersebut di atas sangat diperlukan dalam mengevaluasi keandalan dari suatu sistem rekayasa yang berbasis pada waktu. 7.2. Variabel Random Di dalam mengolah data, ada suatu nilai atau parameter yang akan diukur. Agar teori probabilitas dapat diterapkan maka kejadian dari nilai-nilai ini haruslah random terhadapa waktu (time) atau ruang (space) atau kedua-duanya. Parameter dari kejadian yang akan diukur, misal laju kegagalan dari komponen, lama waktu untuk mereparasi, kekuatan mekanis dari komponen, adalah variabel yang bervariasi secara random terhadap waktu dan/atau ruang. Variabel random ini dapat didefinisikan secara diskrit maupun secara kontinyu. Sebuah variabel random diskrit adalah variabel random yang hanya mempunyai bilangan diskrit pada suatu interval tertentu. Sedang variabel random kontinyu adalah variabel yang mempunyai nilai secara kontinyu pada suatu interval tertentu. Contoh dari variabel random diskrit adalah pada eksperimen pelemparan dadu, dimana variabel Hal. 1 / 17

6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id


© Genap 2015/2016

random nya didefinisikan sebagai hasil yang keluar dari pelemparan sebuah dadu. Sedangkan contoh untuk variabel random yang kontinyu misalnya adalah pada eksperimen pengujian kegagalan komponen dengan waktu sebagai variabel random nya. Perilaku dari variabel random didiskripsikan dalam hukum-hukum probabilitas. Cara yang paling umum dalam mengekspresikan probabilitas dari suatu variabel random adalah dengan memakai distribusi proabilitas. Untuk analisa keandalan sistem, variabel random yang sering dipakai adalah variabel random waktu kegagalan (time to failure – TTF) dan sering dinotasikan dengan T. Gambar 7.1 menunjukkan ilustrasi dari sebuah TTF. Absis pada pada gambar 7.1 menunjukkan waktu sedang ordinat menunjukkan keadaan dari komponen/sistem, jika komponen/sistem dalam keadaan up/tidak rusak maka komponen/sistem ditunjukkan dengan angka 1 sebaliknya jika komponen/sistem dalam keadaan down/rusak maka komponen/sistem ditunjukkan oleh angka 0.

Gambar 7.1. Ilustrasi TTF Dari Sebuah Komponen/Sistem 7.3. Variabel Random Kontinyu Misalkan T adalah variabel random yang kontinyu dan f(t) mewakili suatu fungsi ) menyatakan probabilitas dari probabilitas untuk random variabel T. Jika ( variabel random t pada interval a dan b maka: (

)

∫ ( )

(7.1)

Fungsi f(t) yang mewakili fungsi probabilitas untuk variabel random T yang kontinyu disebut fungsi probabilitas densitas (probability density function). Untuk selanjutnya istilah fungsi probabilitas densitas akan disingkat dengan fpd. Secara umum fungsi probabilitas densitas memenuhi sifat: ( )

(7.2)

∫ ( )

(7.3)

Hal. 2 / 17



© Genap 2015/2016

Contoh 7.1 Untuk memberi gambaran mengenai sifat-sifat dari fpd, perhatikan fungsi berikut ini. ( )

{

Tentukan nilai a agar fungsi di atas dapat dikategorikan sebagai fpd. Solusi Agar fungsi di atas dapat dikategorikan sebagai fpd maka: ∫ ( )

∫

Jadi persamaan fpd untuk fungsi di atas adalah: ( )

{

Syarat yang lain, yaitu ( ) sudah dipenuhi, karena nilai dari f(t) untuk nilai t dengan interval 0 sampai 5 selalu positif. Sketsa dari fpd untuk fungsi di atas dapat dilihat pada gambar 7.2.

Gambar 7.2. fpd Untuk Contoh Soal 7.1 Nilai harapan (expectation) dari variabel random T dengan fpd f(t) didefiniskan oleh: ( )

∫

Hal. 3 / 17

( )


(7.4)


© Genap 2015/2016

Sedang varians (variance) dari f(t) didefinisikan oleh: ( )

*(

(7.5)

* +) +

Persamaan (7.5) dapat disederhanakan menjadi: ( )

( )

(7.6)

* ( )+

Sedang deviasi standar (deviation standard) σ didefinisikan oleh: (7.7)

( )

√

7.4. Variabel Random Diskrit Jika T adalah variabel random yang diskrit dan f(t) mewakili suatu fungsi ) menyatakan probabilitas dari probabilitas untuk variabel random T dan ( ), maka: variabel random T pada saat ( (

)

(7.8)

( )

Fungsi f(t) yang mewakili fungsi probabilitas untuk variabel random T yang diskrit disebut fungsi probabilitas massa (probability mass function). Untuk selanjutnya istilah fungsi probabilitas massa akan disingkat dengan pmf. Secara umum fungsi probabilitas densitas memenuhi sifat: (7.9)

( ) ∑

( )

(7.10)

Contoh 7.2 Pada sebuah percobaan pelemparan sebuah mata dadu, jika T merupakan variabel random yang mewakili mata dadu dan f(t) mewakili probabilitas dari variabel random T, maka hubungan antara variabel random T dengan probabilitas dapat ditabelkan sebagai berikut. T

1

2

3

4

5

6

f(t)

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Jika hubungan antara variabel random T dan fungsi probabilitas f(t) diplot pada sebuah kurva, akan terlihat bahwa fungsi probabilitas di atas memenuhi sifat-sifat fpm. Sketsa dari fpm untuk fungsi di atas dapat dilihat pada gambar 7.3.

Hal. 4 / 17



© Genap 2015/2016

Gambar 7.3. fpm Untuk Contoh Soal 7.2 Nilai harapan (expectation) dari variabel random T dengan fpm f(t) didefiniskan oleh: ( )

∑

(7.11)

( )

Sedang varians (variance) dan deviasi standar dari f(t) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan seperti yang didefinisikan pada persamaan (7.6) dan (7.7). 7.5. Fungsi Distribusi Kumulatif Jika T adalah variabel random, baik variabel random yang kontinyu ataupun variabel random yang diskrit, maka fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari variabel random T didefinisikan oleh: ( )

(

(7.12)

)

Jika T merupakan variabel random yang kontinyu dengan fpd f(t), maka fungsi distribusi kumulatifnya adalah: ( )

(

)

∫ ( )

(7.13)

Sedang jika T merupakan variabel random yang diskrit dengan fpm f(t), maka fungsi distribusi kumulatifnya adalah: ( )

∑ ( )

Contoh 7.3 Pada contoh 7.1, fpd dari variabel random T didefinisikan oleh: ( )

{

Hal. 5 / 17


(7.14)


© Genap 2015/2016

Dapatkan fungsi distribusi kumulatif dari fungsi di atas.

Gambar 7.4. Fungsi Distribusi Kumulatif Contoh Soal 7.3 Solusi Maka fungsi distribusi kumulatif dari fungsi di atas adalah: ( )

∫

Gambar 7.4 menunjukkan sketsa dari fungsi distribusi kumulatif dari contoh soal 7.3. Hubungan antara fungsi distribusi kumulatif dan fpd adalah: ( )

( )

(7.15)

7.6. Terminologi Keandalan Fungsi distribusi kumulatif nilainya akan naik mulai dari nol sampai satu seiring dengan naiknya nilai variabel random dari yang terkecil sampai yang terbesar. Fungsi distribusi ini bertambah seperti anak tangga untuk variabel random diskrit dan bertambah seperti kurva yang kontinyu untuk variabel random yang kontinyu. Dalam mengevaluasi keandalan suatu sistem, variabel random yang dipakai umumnya adalah waktu. Pada saat t = 0, komponen atau sistem berada dalam kondisi akan beroperasi, sehingga probabilitas komponen atau sistem itu untuk mengalami kegagalan pada saat t = 0 adalah 0. Pada saat , probabilitas untuk mengalami kegagalan dari suatu komponen atau sistem yang dioperasikan akan cenderung mendekati 1. Karakteristik ini sama dengan fungsi distribusi kumulatif. Fungsi distribusi kumulatif ini akan mengukur probabilitas kegagalan dari suatu sistem atau komponen sebagai fungsi dari waktu. Dalam terminologi keandalan fungsi distribusi kumulatif ini dikenal sebagai fungsi distribusi kegagalan kumulatif (cumulative failure distribution function) atau disingkat distribusi kegagalan kumulatif (cumulative failure distribution). Distribusi kegagalan kumulatif ini biasanya dilambangkan dengan Q(t). Jika R(t) menyatakan fungsi keandalan dari suatu komponen atau suatu sistem sebagai fungsi waktu maka hubungan antara fungsi keandalan R(t) dan distribusi Hal. 6 / 17



© Genap 2015/2016

kegagalan kumulatif atau fungsi ketidakandalan Q(t) dihubungkan oleh sebuah formula di bawah ini. ( )

(7.16)

( )

Persamaan (7.15) menunjukkan bahwa fungsi distribusi probabilitas merupakan turunan dari distribusi probabilitas kumulatif. Dalam terminologi keandalan fungsi distribusi probabilitas ini disebut dengan fungsi densitas kegagalan (failure density function). Fungsi densitas kegagalan ini, yang dinotasikan dengan f(t), dapat diturunkan baik dari fungsi ketidakandalan maupun fungsi keandalan seperti pada formula di bawah ini. ( )

( )

( )

(7.17)

Sebaliknya fungsi ketakandalan maupun fungsi keandalan dapat diperoleh dari fungsi densitas kegagalan seperti yang dituliskan dalam formulasi di bawah ini. ( )

(7.18)

∫ ( )

dan ( )

∫ ( )

∫ ( )

(7.19)

Gambar 7.5 menunjukkan sebuah tipikal kurva fungsi densitas kegagalan. Sesuai dengan formulasi fungsi ketakandalan dan keandalan yang ditunjukkan pada rumus (7.18) dan (7.19) maka luasan daearah di bawah kurva untuk interval mulai dari 0 sampai t mewakili fungsi ketakandalan sedang luasan daerah di bawah kurva untuk interval mulai dari t sampai tak hingga.

Gambar 7.5. Tipikal Fungsi Densitas Kegagalan Satu konsep lagi yang sering dipakai adalah laju perubahan (transition rate). Salah satu aplikasi dari konsep laju perubahan yang sering dipakai dalam mengevaluasi komponen atau sistem adalah laju kegagalan (failure rate) dan laju pembenahan (repair Hal. 7 / 17



© Genap 2015/2016

rate). Penjelasan berikut ini akan menjelaskan bagaimana laju kegagalan dari suatu komponen atau siatem yang memiliki fungsi densitas kegagalan f(t). Misalkan pada saat t sebuah komponen sedang bekerja. Probabilitas dari komponen itu untuk mengalami kegagalan pada interval waktu antara t dan t+Δt jika komponen itu diketahui berfungsi pada saat t dapat diekspresikan oleh: (

|

(

)

) (

)

(7.20)

Bagian pembilang dari persaamaan (7.20) dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi ) ( ), sedang penyebut dari persamaan (7.20) distribusi kumulatif sebagai ( dapat diekspresikan sebagai R(t). Persamaan (7.20) dapat ditulis menjadi: (

|

(

)

) ( )

( )

(7.21)

Dengan membagi ekspresi probabilitas pada persamaan (7.20) atau (7.21) dengan interval waktu Δt dan membuat Δt→0, maka akan diperoleh laju kegagalan dari suatu komponen dan diekspresikan dengan notasi z(t). (

( )

)

( ) ( )

(

)

(7.22)

()

Ekspresi pada persamaan (7.22) adalah sama identik dengan persamaan (7.15), sehingga persamaan (7.22) dapat disederhanakan menjadi: ( )

( ) ( )

(7.23)

Dengan mensubstitusikan persamaan (7.17) ke persamaan (7.23), maka akan diperoleh: ( )

( ) ( )

(7.24)

Dengan mengintegralkan kedua ruas dari 0 sampai t, dan mensubstitusikan nilai R(0)=1, maka persamaan (7.24) akan menjadi: ∫ ( )

( )

(7.25)

atau ( )

∫

( )

(7.26)

Untuk kasus yang khusus dimana laju kegagalan suatu komponen adalah konstan, ( ) , maka persamaan (7.26) akan berubah menjadi: Hal. 8 / 17



© Genap 2015/2016

(7.27)

( )

yang merupakan ekspresi fungsi keandalan dari suatu komponen atau sistem yang mengikuti distribusi eksponensial. Waktu rata-rata kegagalan (mean time to failure/MTTF) dari suatu komponen yang memiliki fungsi densitas kegagalan (failure density function) f(t) didefinisikan oleh nilai harapan dari komponen itu. Secara matematis waktu rata-rata kegagalan dapat diekspresikan sebagai: ( )

(7.28)

( )

∫

Dengan mensubstitusikan persamaan (7.17) ke dalam persamaan (7.28), maka akan diperoleh: (7.29)

( )

∫

Persamaan (7.29) dapat diselesaikan dengan memakai integral parsial: ,

Jika

( )-

∫ ( )

, maka nilai dari ,

( )-

, sehingga persamaan di atas menjadi:

∫ ( )

(7.30)

Persamaan (7.30) lebih banyak dipakai untuk mendapatkan MTTF suatu komponen. Untuk kasus komponen yang memiliki fungsi keandalan ( ) , maka MTTF dari komponen itu adalah: (7.31)

∫

7.7. Kurva Laju Kegagalan Laju kegagalan dari suatu komponen atau sistem dapat di plot pada suatu kurva dengan variabel random waktu sebagai absis dan laju kegagalan dari komponen atau sistem sebagai ordinat. Kurva laju kegagalan klasik yang sering dipakai untuk menjelaskan perilaku dari komponen atau sistem adalah kurva bak mandi (bath-up curve). Kurva ini terdiri dari tiga buah bagian utama, yaitu masa awal (burn-in period), masa yang berguna (useful life period), dan masa aus (wear out period). Gambar 7.6 menunjukkan kurva bak mandi dengan ketiga bagian utamanya.

Hal. 9 / 17



© Genap 2015/2016

Gambar 7.6. Kurva Laju Kegagalan Bak Mandi Bagian pertama dari kurva ini, yaitu masa awal dari suatu sistem atau komponen, ditandai dengan tingginya kegagalan pada fase awal dan berangsur-angsur turun seiring bertambahnya waktu. Bagian kedua dari kurva ini ditandai dengan laju kegagalan yang konstan dari komponen atau sistem. Sedang bagian ketiga dari kurva ini ditandai dengan naiknya laju kegagalan dari komponen atau sistem seiring dengan bertambahnya waktu. 7.8. Distribusi Binomial Misalkan R menyatakan probabilitas sukses dari suatu kejadian dan Q menyatakan proabilitas gagal dari suatu even, sehingga R + Q = 1 dan probabilitas dari R dan Q adalah tetap. Jika ada n kali trial yang diulang maka probabilitas k kali sukses dari n kali trial dengan T sebagai variabel random dapat dituliskan dalam distribusi binomial sebagai: (

)

. /

(7.32)

Sedangkan rata-rata (mean), varian (variance), dan standar deviasi dari distribusi binomial dapat diekspresikan oleh persamaan-persamaan berikut. (7.33) (7.34) (7.35)

√ Contoh 7.4

Sebuah subsistem terdiri dari dari tiga buah komponen yang masing-masing memiliki probabilitas kesusksesan untuk menjalankan fungsinya 0,95. Agar subsistem ini dapat berfungsi dengan normal, diperlukan minimal dua komponen yang berfungsi dengan baik. Tentukan probabilitas dari subsistem itu untuk suskes menjalankan fungsinya. Solusi Hal. 10 / 17



© Genap 2015/2016



Probabilitas sukses untuk tiap komponen, R = 0,95 sehingga Q = 0,05. Agar subsistem itu sukses menjalankan fungsinya, harus ada minimal 2 buah komponen yang berfungsi.



Ada 3 buah komponen yang identik, ini sama halnya kita melakukan tiga kali trial untuk sebuah komponen, jadi probabilitas subsistem itu untuk sukses menjalankan fungsinya adalah: (

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

7.9. Distribusi Poisson Distribusi Poisson mewakili probabilitas dari sebuah kejadian yang di isolasi pada suatu interval waktu kontinyu tertentu untuk laju kegagalan yang konstan. Karakteristik khusus dari distribusi Poisson adalah distribusi hanya memperhitungkan kejadian dari satu event tertentu sedangkan event lain yang tidak termasuk dalam kejadian tidak diperhitungkan. Ini yang membedakan antara distribusi Poisson dan distribusi binomial. Jika distribusi binomial memperhitungkan baik probabilitas untuk suskes dan gagal dari suatu event maka distribusi Poisson hanya memperhitungkan probabilitas kegagalan atau kesuksesan dari suatu event. Distribusi Poisson termasuk salah satu distribusi yang diskrit. Fungsi probabilitas massa dari distribusi Poisson dengan T sebagai variabel random didefinisikan oleh: (

)

( )

(7.36)

dengan k bilangan bulat positif. Sedangkan rata-rata (mean), varian (variance), dan standar deviasi dari distribusi Poisson dapat diekspresikan oleh persamaan-persamaan berikut. (7.37) (7.38) (7.39)

√ Contoh 7.5

Pada sebuah sistem instalasi pipa, jumlah kegagalan pipa per tahun per 1000 meter adalah 0,3. Jika diambil pipa sepanjang 100 meter sebagai sample, hitung probabilitas pipa itu untuk mengalami kegagalan sebanyak 3 kali untuk periode: a) 5 tahun, dan b) 10 tahun. Solusi Laju kegagalan dari pipa adalah: Hal. 11 / 17



(

⁄

)

© Genap 2015/2016

⁄

a) Untuk periode 5 tahun

(

)

(

)

b) Untuk periode 10 tahun

(

)

(

)

7.10. Distribusi Normal Distribusi normal, yang seringkali di refer sebagai distribusi Gaussian, merupakan distribusi probabilitas yang paling banyak dan sering dipakai. Dalam kaitannya dengan keandalan, distribusi ini banyak dipakai pada cabang keandalan struktur (structural reliability). Kurva fungsi probabilitas densitas dari ditribusi normal memiliki bentuk simetris yang sempurna terhadap nilai rata-ratanya (mean value) dan dispersi terhadap mean diukur dengan deviasi standarnya. Bentuk yang presisi dan posisi dari fungsi densitas dapat ditentukan hanya dengan term mean dan standar deviasi saja. Sifat ini menghasilkan kemungkinan bagi distribusi normal untuk disalah-pakaikan (misused) karena semua distribusi dapat dikarakterisasi oleh mean dan standar deviasi. Dengan hanya menentukan mean dan standar deviasi, amat mungkin bahwa distribusi yang bukan normal akan diasumsikan memiliki distribusi normal, karena tidak informasi tambahan lain yang tersedia selain mean dan standar deviasi. Satu teorema yang sering dirujuk, dan sekali lagi besar kemungkinan juga disalah-pakaikan adalah Central Limit Theorem (CLT). Jika time to failure dari suatu komponen adalah T mengikuti distribusi normal, maka pdf nya dapat diekspresikan sebagai: ( )

.

/

√

(7.40)

dengan: σ = deviasi standar μ = rata-rata/mean Fungsi keandalan dari sebuah komponen yang memiliki distribusi normal dapat ditulis sebagai: Hal. 12 / 17



( )

.

∫

/

(

√

© Genap 2015/2016

)

(7.41)

sedangkan fungsi unreliability-nya adalah: ( )

(

(7.42)

)

Mean time to failure dari distribusi normal ini adalah: (7.43) 7.11. Distribusi Lognormal Distribusi lognormal berhubungan dengan distribusi normal. Time to failure, dari suatu komponen dikatakan memiliki distribusi lognormal bola mengikuti distribusi ̅ ̅̅̅̅ normal dengan rata-rata dan varians . Probability density function dari distribusi lognormal adalah: (

( ) ̅

̅ ̅

)

(7.44)

√

Fungsi keandalan dari komponen yang mengikuti distribusi lognormal adalah: ( )

(

∫ ̅

̅ ̅

)

(7.45)

√

sedang fungsi ketakandalannya adalah: ( )

(

∫ ̅

̅ ̅

)

√

(7.46)

7.12. Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial merupakan distribusi yang paling banyak dipakai di dalam mengevaluasi keandalan sistem. Ciri utama dari distibusi ini adalah laju kegagalannya yang konstan. Jika waktu untuk gagal (time to failure) dari suatu komponen adalah T terdistribusi secara eksponensial dengan parameter λ, maka fungsi densitas probabilitas dapat diekspresikan sebagai: (7.47)

( ) Sedangkan fungsi keandalannya adalah: Hal. 13 / 17



( )

© Genap 2015/2016

∫ ( )

(7.48)

Dengan demikian fungsi ketidakndalannya dapat ditulis sebagai: ( )

( )

(7.49)

Waktu rata-rata kegagalan dari komponen itu adalah: ∫ ( )

(7.50)

Yang menarik dari distribusi ini adalah jika komponen yang memiliki distribusi eksponen ini dioperasikan sampai MTTF-nya, atau , maka keandalan dari komponen itu dapat diprediksi dengan memakai persamaan (7.50), yaitu: ( )

. ⁄ /

Jadi bila sebuah komponen yang memiliki fungsi densitas kegagalan yang mengikuti distribusi eksponensial bila dioperasikan dengan durasi sampai pada MTTFnya, maka keandalan dari komponen itu hanya tinggal 37%.

Gambar 7.7. Tipikal Fungsi Densitas Probabilitas Eksponensial

Gambar 7.8. Fungsi Keandalan Dan Ketidakandalan Eksponensial Hal. 14 / 17



© Genap 2015/2016

Laju kegagalan dari komponen yang memiliki fungsi densitas kegagalan yang mengikuti distribusi eksponensial dapat diturunkan dengan menerapkan persamaan (7.23). ( )

( ) ( )

(7.51)

Tipikal kurva dari distribusi eksponensial untuk kegagalan/jam dapat dilihat pada gambar 7.7. Sedang fungsi keandalan dan ketakandalannya dapat dilihat pada gambar 7.8. Misalkan komponen yang memiliki fungsi densitas kegagalan yang mengikuti distribusi eksponensial telah berioperasi selama t. Untuk mengevaluasi probabilitas kegagalan dari komponen itu pada interval waktu τ, probabilitas kegagalan dari komponen itu tidak bisa dihitung secara a priori atau independen dari waktu pengoperasian sebelumnya sampai waktu t. Alasannya adalah, jika pada interval (0,t) maka komponen itu tidak bisa gagal pada interval (t,t+τ). Oleh karena itu untuk mengevaluasi probabilitas kegagalan dari komponen itu selama periode waktu τ adalah penting untuk mempertimbangkan probabilitas kegagalan selama periode waktu (0,t). Probabilitas kegagalan selama waktu τ dikenal sebagai probabilitas a posteriori, yaitu harga dari probabilitas kegagalannya tergantung dari sejarah komponen yang terdahulu. Misalkan T adalah waktu kegagalan (time to failure) dari suatu komponen yang mengikuti distribusi eksponensial, maka akan berlaku probabilitas kondisional di bawah ini. (

|

)

(

) (

(

)

)

(7.52)

Persamaan (7.52) menunjukkan probabilitas dari suatu komponen yang akan berfungsi pada interval t+τ jika diketahui bahwa komponen itu berfungsi pada saat t tidak tergantung dari waktu operasional sebelumnya, dalam hal ini waktu operasional komponen itu adalah t. Sifat ini disebut sebagai sifat tak bermemori (memory less property) dari distribusi eksponensial. Kembali kepada probabilitas a priori dan probabilitas a posteriori, jelas bahwa probabilitas kegagalan dari komponen yang mengikuti distribusi eksponensial tidak tergantung dari sejarah komponen yang terdahulu. Atau dengan kata lain untuk distribusi eksponensial, probabilitas a priori dan probabilitas a posteriori adalah sama. Hal ini tidak berlaku untuk komponen-komponen lain yang mengikuti distribusi probabilitas selain distribusi eksponensial. 7.13. Distribusi Weibull Selain distribusi eksponensial yang sering dipakai di dalam mengevaluasi keandalan sistem, distribusi weibull banyak dipakai karena distribusi ini memiliki shape parameter sehingga distribusi mampu untuk memodelkan barbagai data. Jika time to failure dari suatu komponen adalah T mengikuti distribusi Weibull dengan tiga parameter β, η, dan γ, maka pdf nya dapat diekspresikan sebagai: Hal. 15 / 17



( )

(

.

)

/

© Genap 2015/2016

(7.53)

dengan β = shape parameter, β > 0 η = scale parameter, η > 0 γ = shape parameter, γ < first time to failure jika nilai dari γ = 0, maka akan diperoleh distribusi Weibull dengan dua parameter. Beberapa karakteristik dari distribusi Weibull berdasarkan: 

Untuk 0 < β < 1, laju kegagalan (failure rate) akan berkurang seiring bertambahnya waktu.



Untuk β = 1, maka kegagalan (failure rate) nya adalah konstan.



Untuk β > 1, laju kegagalan (failure rate) akan bertambah seiring bertambahnya waktu.

Sedangkan fungsi reliability-nya adalah: ( )

.

(7.54)

/

dan fungsi unreliability-nya dapat ditulis sebagai: ( )

.

(7.55)

/

Mean time to failure dari distribusi Weibull itu adalah: (

)

(7.56)

dimana ( ) menyatakan fungsi gamma. 7.14. Goodness-of-fit test Jika ada sekumpulan data waktu kegagalan (TTF) dari sebuah komponen, kita tidak bisa langsung menyimpulkan bahwa data tersebut memiliki distribusi normal untuk memodelkan kegagalan sistem, kecuali ada bukti-bukti fisik yang menunjang. Pertanyaan yang timbul adalah seberapa tepat data yang ada memiliki kesesuaian dengan distribusi probabilitas tertentu untuk memodelkan kegagalan komponen. Pertanyaan ini dapat dilakukan dengan melakukan uji kesesuaian (goodness-of-fit test).

Hal. 16 / 17



© Genap 2015/2016

Ada berbagai metode untuk mlakukan pengujian ini, seperti maximum likelihood estimate (MLE), chi-square test (x2), dan Kolmorov–Smirnov (K–S) test. Bagi pembaca yang menginginkan mempelajari metode ini lebih detail, dianjurkan untuk me-refer referensi 3 dan 4. Sedangkan bagi para pembaca yang menginginkan memakai bantuan software dalam mengolah dan menganalisa data, ada beberapa software komersial yang yang bisa dipakai dan menyediakan fasilitas untuk analisa data seperti yang telah disebutkan di atas, diantaranya SPSS dan Weibull ++. 7.15. Referensi dan Bibliografi 1. Priyanta. Dwi, [2000], Keandalan dan Perawatan, Institut Teknologi Sepuluh Nopemeber ,Surabaya 2. Billinton, R. and Ronald N. Allan [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2nd edition, Plenum Press, New York and London 3. Hoyland, Arnljot and Marvin Rausand [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods, John Willey & Sons, Inc. 4. Lawless, J.F. [1982], Statistical Models and Methods for Lifetime Data, John Willey and Sons, New York.

Hal. 17 / 17


DISTRIBUSI PROBABILITAS DAN TERMINOLOGI KEANDALAN

Recommend Documents