STATISTIKA MATEMATIKA Probabilitas, Distribusi, dan Asimtosis dalam Statistika

STATISTIKA MATEMATIKA Probabilitas, Distribusi, dan Asimtosis dalam Statistika Penulis: Prof. Drs. Subanar, Ph.D Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2013 Hak Cipta  2013 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.

Ruko Jambusari No. 7A Yogyakarta 55283 Telp. : 0274-889836; 0274-889398 Fax. : 0274-889057 E-mail : [email protected]

Subanar, Prof., Drs., Ph.D STATISTIKA MATEMATIKA: Probabilitas, Distribusi, dan Asimtotis dalam Statistika /Prof. Drs. Subanar, Ph.D - Edisi Pertama – Yogyakarta; Graha Ilmu, 2013 viii + 180 hlm, 1 Jil.: 26 cm. ISBN:

978-979-756-955-6

1. Statistika

2. Matematika

I. Judul

KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR Penulis memanjatkan rasa syukur kepada Allah SWT atas limpahan rahmat-Nya sehingga buku Statistika Matematika: Probabilitas, Distribusi, dan Asimtotis dalam Statistika dapat diPenulis rasa mahasiswa syukur kepada Allah SWT atas limpahan rahmat-Nya sehingga terbitkan. Bukumemanjatkan ini disusun untuk FMIPA atau FPMIPA dan Pascasarjana Matematika buku Matematika: Probabilitas,yang Distribusi, dan Asimtotis Statistika dapat didalamStatistika mempelajari statistika matematika menekankan pada teoridalam probabilitas sebagai dasar terbitkan. inferensi. Buku ini disusun untuk mahasiswa FMIPA atau FPMIPA dan Pascasarjana Matematika dalam mempelajari statistika matematika yang menekankan pada teori probabilitas sebagai dasar Buku ini diharapkan mampu memberikan pemahaman pada mahasiswa bahwa statistika inferensi. matematika mempunyai akar yang kuat dalam matematika karena matematika merupakan bahasa Buku ini diharapkan mampu memberikan pemahaman padakonsep mahasiswa statistika untuk pemodelan statistika yang dirumuskan. Penjelasan tentang dasar bahwa teori himpunan matematika mempunyai dalam akar yang matematika karena merupakan bahasa mengawali pembahasan bukukuat ini, dalam dan diakhiri dengan teori matematika asimtotis dalam statistika. untuk pemodelan statistika yang dirumuskan. Penjelasan tentang konsep dasar teori himpunan Introduction to Mathematical Statistics karangan Hogg, Mc. Kean dan Craig dan An Inmengawali pembahasan dalam buku ini, dan diakhiri dengan teori asimtotis dalam statistika. troduction to Probability Theory and Mathematical Statistics dari V.R. Rohatgi, ditambah delapan Introduction to Mathematical Statistics karangan Hogg,bahan Mc. Kean Craig dan An Inbelas referensi yang tertulis dalam daftar pustaka merupakan utamadan penyusunan. Semua troduction to Probability Theorypengalaman and Mathematical dari V.R.kuliah Rohatgi, ditambah delapan referensi diramu sesuai dengan penulis Statistics mengampu mata Statistika Matematika belas referensi yangS1 tertulis daftarUGM pustaka bahan utamateorema-teorema penyusunan. Semua baik pada program dan S2dalam di FMIPA sejakmerupakan tahun 1990. Meskipun yang referensi diramubuku sesuai mengampu mata kuliah Statistika Matematika tertulis dalam inidengan sudah pengalaman familiar bagipenulis para statistikawan, tetapi dalam beberapa hal yang baik pada program S1 dan S2 di FMIPA UGM sejak tahun 1990. Meskipun teorema-teorema yang sangat spesifik sumber acuan tetap ditulis untuk memudahkan pencarian acuan utama. tertulis dalam buku ini sudah familiar bagi para statistikawan, tetapi dalam beberapa hal yang Dengan terbitnya buku ini, tak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada Jurusan sangat spesifik sumber acuan tetap ditulis untuk memudahkan pencarian acuan utama. Matematika FMIPA UGM dan MGB (Majelis Guru Besar) UGM atas kerjasamanya. Ucapan Dengan terbitnya bukujuga ini, tak lupaketua penulis terima kasih kepada buku Jurusan terima kasih penulis haturkan kepada danmengucapkan sekretaris MGB UGM sehingga ini Matematika FMIPA dari UGM dan UGM. MGB (Majelis Guru Besar) UGM atas kerjasamanya. Ucapan mendapat dukungan MGB terima kasih penulis haturkan juga kepada ketua dan sekretaris MGB UGM sehingga buku ini Akhirnya, penulis berharap semoga buku ini dapat memberikan kontribusi yang berarti, mendapat dukungan dari MGB UGM. terutama dalam mempelajari statistika matematika. Oleh karena itu, saran dan kritik demi perAkhirnya, penulis berharap semoga buku ini dapat memberikan kontribusi yang berarti, baikan buku ini sangat diharapkan. terutama dalam mempelajari statistika matematika. Oleh karena itu, saran dan kritik demi perbaikan buku ini sangat diharapkan. Yogyakarta,

September 2012

Yogyakarta, 2012 Prof. Subanar, September Ph.D.

troduction to Probability Theory and Mathematical Statistics dari V.R. Rohatgi, troduction to ditambah Probabilitydelapan Theory and Mathem belas referensi yang tertulis dalam daftar pustaka merupakan bahan utama penyusunan. Semua belas referensi yang tertulis dalam daftar p

referensi diramu sesuai dengan pengalaman penulis mengampu mata kuliah diramu Statistika Matematika referensi sesuai dengan pengalaman baik pada program S1 dan S2 di FMIPA UGM sejak tahun 1990. Meskipun teorema-teorema baik pada program S1 dan yang S2 di FMIPA UG

tertulis dalam buku ini sudah familiar bagi para statistikawan, tetapi dalam beberapa yang familiar bag tertulis dalam buku inihalsudah sangat spesifik sumber acuan tetap ditulis untuk memudahkan pencarian acuan utama. sangat spesifik sumber acuan tetap ditulis u

Dengan terbitnya buku ini, tak lupa penulis mengucapkan terimaDengan kasih kepada Jurusan terbitnya buku ini, tak lup Matematika FMIPA UGM dan MGB (Majelis Guru Besar) UGM atas kerjasamanya. Ucapan Matematika FMIPA UGM dan MGB (Ma vi 2 STATISTIKA MATEMATIKA: Probabilitas, Distribusi, dan Asimtotis dalam Statistika terima kasih penulis haturkan juga kepada ketua dan sekretaris terima MGB UGM sehingga buku ini juga kepada kasih penulis haturkan mendapat dukungan dari MGB UGM. mendapat dukungan dari MGB UGM.

muka dan B belakang, maka Akhirnya, penulis berharap semoga buku ini dapat memberikan kontribusi berarti, Akhirnya, yang penulis berharap semoga terutama dalam mempelajari statistika Oleh),karena itu, saran dalam dan kritik demi per-statistika mat Ω = {(Mmatematika. M ), (M B), (BM (BB)}terutama mempelajari

baikan buku ini sangat diharapkan.

baikan buku ini sangat diharapkan.

Contoh 1.2.2 Bila eksperimen adalah pencatatan nilai mata kuliah Statistik Dasar pada suatu kelas, maka Yogyakarta,

September 2012

Ω = [0, 100]

Prof. Subanar, Contoh 1.2.3 Ph.D. Dalam eksperimen pelemparan sebuah dadu seimbang

Yogyakarta,

September 2012

Prof. Subanar, Ph.D.

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} v Contoh 1.2.4 Untuk eksperimen dengan pelemparan sebuah mata uang sampai mendapat M atau muka, Ω = {1, 2, 3, 4, ...} Ruang sampel kita klasifikasikan menjadi dua jenis berdasarkan jumlah elemen yang dimilikinya. Bila terdapat korespondensi 1-1 antara Ω dan himpunan bagian dari N = {1, 2, 3, ...}, maka ruang sampelnya disebut terhitung atau countable. Dengan sendirinya ruang sampel yang terdiri dari sejumlah berhingga elemen termasuk himpunan terhitung. Bila Ω takhingga dan Ω tidak berkorespodensi 1-1 dengan N , maka Ω disebut tak terhitung atau uncountable. Ruang sampel pada contoh 1.2.1 dan 1.2.3 disebut terhitung karena berhingga. Ruang sampel pada contoh 1.2.4 juga disebut terhitung karena Ω = N . Karena Ω dalam contoh 1.2.2 tidak berkorespondensi 1-1 dengan N , maka Ω disebut tak terhitung. Begitu ruang sampel terdefinisikan, kita bisa memperlihatkan himpunan bagian ”yang lebih kecil” dari Ω. Definisi 1.2.2. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari Ω termasuk φ dan Ω sendiri. Definisi 1.2.3. ∅ disebut kejadian mustahil atau impossible event sedangkan Ω disebut kejadian pasti atau sure event. Contoh 1.2.5 Dalam contoh 1.2.1 bila A menyatakan kejadian lemparan yang menghasilkan hasil yang sama, maka A = {(M M ), (BB)}. Contoh 1.2.6 Untuk contoh 1.2.3 bila B adalah kejadian muka yang tampak bilangan genap, maka B = {2, 4, 6} Hubungan antara ruang sampel dan kejadian bisa ditunjukkan dalam bentuk diagram Venn seperti terlihat pada gambar 1.2.1.

DAFTAR DAFTAR ISI ISI DAFTAR DAFTAR ISI ISI KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR ISI BAB I KONSEP BAB I DASAR KONSEPTEORI DASAR HIMPUNAN TEORI HIMPUNAN 1.1 Pendahuluan 1.1 Pendahuluan KATA PENGANTAR 1.2KATA RuangPENGANTAR 1.2 Sampel Ruang danSampel Kejadian dan Kejadian DAFTAR ISI DAFTAR ISI 1.3 Operasi1.3 Kejadian Operasi Kejadian BAB I KONSEP I DASAR KONSEP TEORI DASAR HIMPUNAN TEORI HIMPUNAN 1.4BAB Fields dan 1.4 Fields σ−fields dan σ−fields 1.1 Limit Pendahuluan 1.1 Limit Pendahuluan 1.5 Himpunan 1.5 Himpunan 1.2 Ruang 1.2 Sampel Ruang danSampel Kejadian dan Kejadian 1.6 Latihan1.6 Latihan 1.3BAB Operasi 1.3 Kejadian Operasi Kejadian BAB II PROBABILITAS II PROBABILITAS 1.4 Fields dan 1.4 Fields σ−fields dan σ−fields 2.1 Pendahuluan 2.1 Pendahuluan 1.5 Limit Himpunan 1.5 Limit Himpunan 2.2 Probabilitas 2.2 Probabilitas Klasik danKlasik Frekuensi dan Relatif Frekuensi Relatif 1.6 Latihan 1.6 Latihan 2.3 Probabilitas 2.3 Probabilitas AksiomatikAksiomatik BAB II PROBABILITAS II PROBABILITAS 2.4BAB Probabilitas 2.4 Probabilitas Bersyarat Bersyarat

BAB

BAB

BAB

BAB

2.1 2.1 Pendahuluan 2.5 Pendahuluan Kejadian 2.5Bebas Kejadian atauBebas Independen atau Independen 2.2 Probabilitas 2.2 Probabilitas KlasikBayes danKlasik Frekuensi dan Relatif Frekuensi Relatif 2.6 Rumus2.6 Bayes Rumus 2.3 Probabilitas 2.3 Probabilitas Aksiomatik Aksiomatik 2.7 Latihan2.7 Latihan 2.4 Probabilitas Probabilitas Bersyarat Bersyarat III VARIABEL BAB III2.4 VARIABEL RANDOM RANDOM DAN DISTRIBUSINYA DAN DISTRIBUSINYA 2.5 Kejadian 2.5 Bebas Kejadian atau Bebas Independen 3.1 Pendahuluan 3.1 Pendahuluan atau Independen 2.6 2.6 Bayes Rumus 3.2 Rumus Variabel 3.2 Random VariabelBayes Random 2.7 Latihan 2.7 Latihan 3.3 Variabel 3.3Random VariabelDiskret Random Diskret III3.4 VARIABEL BAB III3.4 VARIABEL RANDOM RANDOM DAN DISTRIBUSINYA DAN DISTRIBUSINYA Variabel Random VariabelKontinu Random Kontinu 3.1 3.1 3.5 Pendahuluan Harga Harapan 3.5 Pendahuluan Harga Harapan 3.2 Variabel 3.2 Variabel Random 3.6 Harga Harapan 3.6Random HargaKhusus Harapan Khusus 3.3 Variabel 3.3 Random Variabel Diskret Random Diskret 3.7 Beberapa 3.7 Ketaksamaan Beberapa Ketaksamaan dalam Statistika dalam Statistika 3.4 Variabel Random Kontinu 3.8 Variabel Latihan3.4 3.8Random LatihanKontinu Harga 3.5 Harga Harapan IV 3.5 DISTRIBUSI BAB IVHarapan DISTRIBUSI MULTIVARIAT MULTIVARIAT 3.6 Harga Harapan 3.6 Harga Khusus Harapan 4.1 Pendahuluan 4.1 Pendahuluan Khusus 3.7 Beberapa 3.7 Ketaksamaan Beberapa Ketaksamaan Statistika dalam Statistika 4.2 Distribusi 4.2 Dua Distribusi Variabel Duadalam Random Variabel Random 3.8 Latihan 3.8 Latihan 4.3 Harga Harapan 4.3 Harga Harapan BAB IV DISTRIBUSI IV 4.4 DISTRIBUSI MULTIVARIAT Transformasi 4.4 Transformasi VariabelMULTIVARIAT Random VariabelBivariat Random Bivariat 4.1 Pendahuluan 4.1 Pendahuluan 4.5 Distribusi 4.5 dan Distribusi Harga dan Harapan HargaBersyarat Harapan Bersyarat 4.2Random Distribusi DuaRandom Variabel Random 4.2 Variabel Distribusi Dua Variabel 4.6 4.6 Variabel Independen Random Independen 4.3 Harga Harapan 4.3 Harga Harapan 4.7 Vektor 4.7 Random Vektoruntuk Random n ≥ untuk 3 n≥3 4.4 Transformasi Transformasi VariabelRandom Random Bivariat 4.4 Transformasi Transformasi VariabelRandom Random Bivariat 4.8 4.8 Vektor Vektor 4.5 dan Distribusi HargaBersyarat Harapan Bersyarat 4.5 Latihan Distribusi Harga dan Harapan 4.9 4.9 Latihan

v vii 1 1 v 1 vii 3 19 131 1 18 193 199 13 19 18 21 19 29 19 32 19 34 21 38 29 41 32 41 34 41 38 46 41 50 41 61 41 65 46 71 50 73 61 77 65 77 71 77 73 86 77 91 77 99 77 106 86 111 91 116 99 120

v vii 1 1 v 1 vii 3 19 131 1 18 193 199 13 19 18 21 19 29 19 32 19 34 21 38 29 41 32 41 34 41 38 46 41 50 41 61 41 65 46 71 50 73 61 77 65 77 71 77 73 86 77 91 77 99 77 106 86 111 91 116 99 120

2.4 Probabilitas 2.4 Probabilitas Bersyarat Bersyarat 29 29 2.5 Kejadian2.5 Bebas Kejadian atau Bebas Independen atau Independen 32 32 2.6 Rumus Bayes 2.6 Rumus Bayes 34 34 2.7 Latihan 2.7 Latihan 38 38 BAB III VARIABEL BAB III VARIABEL RANDOM DAN RANDOM DISTRIBUSINYA DAN DISTRIBUSINYA 41 41 3.1 Pendahuluan 3.1 Pendahuluan 41 41 3.2 Variabel3.2 Random Variabel Random 41 41 3.3 Variabel3.3 Random Variabel Diskret Random Diskret 46 46 3.4 Variabel3.4 Random Variabel Kontinu Random Kontinu 50 50 3.5 Harga Harapan 3.5 Harga Harapan 61 61 viii 2 STATISTIKA MATEMATIKA: Probabilitas, Distribusi, dan Asimtotis dalam 3.6 Harga Harapan 3.6 Harga Khusus Harapan Khusus 65 Statistika 65 3.7 Beberapa 3.7Ketaksamaan Beberapa Ketaksamaan dalam Statistika dalam Statistika 71 71 3.8 Latihan 3.8 Latihan 73 73 mukaIV dan BBAB belakang, maka BAB DISTRIBUSI MULTIVARIAT 77 77 IV DISTRIBUSI MULTIVARIAT 4.1 Pendahuluan 4.1 Pendahuluan 77 77 Ω = {(M M ), (M B), (BM ), (BB)} 4.2 Distribusi 4.2Dua Distribusi Variabel Dua Random Variabel Random 77 77 4.3 Harga Harapan 4.3 Harga Harapan 86 86 Contoh4.4 1.2.2 Transformasi 4.4 Transformasi Variabel Random Variabel Bivariat Random Bivariat 91 91 Bila eksperimen adalah pencatatan nilai mata kuliah Statistik 4.5 Distribusi 4.5dan Distribusi Harga Harapan dan Harga Bersyarat Harapan BersyaratDasar pada suatu kelas, 99 maka 99 4.6 Variabel4.6 Random Variabel Independen Random Independen 106 106 Ω = [0, 100] 4.7 Vektor Random 4.7 Vektor untuk Random n ≥ 3untuk n ≥ 3 111 111 4.8 Transformasi 4.8 Transformasi Vektor Random Vektor Random 116 116 Contoh 1.2.3 4.9 Latihan 4.9 Latihan 120 120 Dalam eksperimen pelemparan sebuah dadu seimbang BAB V DISTRIBUSI BAB V DISTRIBUSI KHUSUS KHUSUS 123 123 5.1 Pendahuluan Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 123 5.1 Pendahuluan 123 5.2Distribusi BeberapaDiskret Distribusi Diskret 123 5.2 Beberapa 123 5.3 Beberapa Distribusi Kontinu 134 5.3 Beberapa Distribusi Kontinu 134 Contoh 1.2.4 vii vii 5.4 Latihan 5.4 Latihandengan 145muka, 145 Untuk eksperimen pelemparan sebuah mata uang sampai mendapat M atau BAB VI ASIMTOTIS DALAM STATISTIKA 147 BAB VI ASIMTOTIS DALAM STATISTIKA 147 Ω = {1, 2, 3, 4, ...} 6.1 Pendahuluan 147 6.1 Pendahuluan 147 6.2klasifikasikan Macam-macam Konvergensi 147 6.2sampel Macam-macam Konvergensi 147 dimilikinya. Ruang kita menjadi dua jenis berdasarkan jumlah elemen yang 6.3 Hubungan Bilangan Besar Lemah dan Kuat 160 6.3 Hubungan Bilangan Besar Lemah dan Kuat 160 Hukum Bilangan Besar Lemah dan Kuat Bila terdapat korespondensi 1-1 antara Ω dan himpunan bagian dari N = {1, 2, 3, ...}, maka ruang 6.4 Limit Fungsi Pembangkit Momen 6.4 disebut Limit Fungsi Pembangkit Momen Dengan 164 terdiri 164 sampelnya terhitung atau countable. sendirinya ruang sampel yang dari 6.5 Teorema Limit Pusat dan Terapannya 167 6.5 Teorema Limit Pusat dan Terapannya 167 sejumlah berhingga elemen termasuk himpunan terhitung. Bila Ω takhingga dan Ω tidak berko6.6 Latihan 173 6.6 1-1 Latihan 173 sampel pada respodensi dengan N , maka Ω disebut tak terhitung atau uncountable. Ruang DAFTAR 175 DAFTAR PUSTAKA 175 1.2.4 juga contoh 1.2.1 dan 1.2.3PUSTAKA disebut terhitung karena berhingga. Ruang sampel pada contoh DAFTAR INDEKS 177 DAFTAR INDEKS 177 disebut terhitung karena Ω = N . Karena Ω dalam contoh 1.2.2 tidak berkorespondensi 1-1 dengan TENTANG PENULIS 179 N , maka Ω disebut tak terhitung. Begitu ruang sampel terdefinisikan, kita bisa memperlihatkan himpunan bagian ”yang lebih kecil” dari Ω. Definisi 1.2.2. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari Ω termasuk φ dan Ω sendiri. Definisi 1.2.3. ∅ disebut kejadian mustahil atau impossible event sedangkan Ω disebut kejadian pasti atau sure event. Contoh 1.2.5 Dalam contoh 1.2.1 bila A menyatakan kejadian lemparan yang menghasilkan hasil yang sama, maka A = {(M M ), (BB)}. Contoh 1.2.6 Untuk contoh 1.2.3 bila B adalah kejadian muka yang tampak bilangan genap, maka B = {2, 4, 6} Hubungan antara ruang sampel dan kejadian bisa ditunjukkan dalam bentuk diagram Venn seperti terlihat pada gambar 1.2.1.

BAB 1

KONSEP DASAR TEORI HIMPUNAN

1.1

PENDAHULUAN

Teori probabilitas adalah dasar Statistika Matematika. Dalam pemodelan fenomena random seperti pemodelan populasi atau eksperimen alat yang paling berperan adalah probabilitas. Melalui model-model tersebut, statistikawan bisa melakukan inferensi atau mengambil kesimpulan tentang populasi berdasarkan informasi sampel yang merupakan bagian dari populasi. Teori probabilitas mempunyai catatan sejarah yang kaya dan panjang, dimulai sekitar abad ke-17, saat the Chevolier de Mere, Pascal, dan Fermat membangun formula matematika dalam perjudian. Dalam buku ini, pembahasan probabilitas tidaklah murni teoritis, tetapi lebih pada ide-ide dasar teori probabilitas yang merupakan dasar dalam mempelajari statistik. Sebelum membicarakan ide dasar teori probabilitas pada bab II, kita akan membicarakan teori himpunan yang merupakan akar probabilitas.

1.2

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

Tujuan utama statistika adalah mengambil kesimpulan tentang populasi berdasarkan informasi yang didapat melalui eksperimen. Langkah pertama dalam usaha ini adalah mengidentifikasi semua hasil (outcome). Definisi 1.2.1. Himpunan semua hasil atau outcome disebut ruang sampel dari suatu eksperimen. Himpunan semua hasil biasanya dinotasikan dengan Ω atau dalam terminologi statistik disebut ruang sampel . Contoh 1.2.1 Sebuah eksperimen adalah pelemparan sebuah mata uang seimbang dua kali. Bila M menyatakan

2

STATISTIKA MATEMATIKA: Probabilitas, Distribusi, dan Asimtotis dalam Statistika

muka dan B belakang, maka Ω = {(M M ), (M B), (BM ), (BB)} Contoh 1.2.2 Bila eksperimen adalah pencatatan nilai mata kuliah Statistik Dasar pada suatu kelas, maka Ω = [0, 100] Contoh 1.2.3 Dalam eksperimen pelemparan sebuah dadu seimbang Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Contoh 1.2.4 Untuk eksperimen dengan pelemparan sebuah mata uang sampai mendapat M atau muka, Ω = {1, 2, 3, 4, ...} Ruang sampel kita klasifikasikan menjadi dua jenis berdasarkan jumlah elemen yang dimilikinya. Bila terdapat korespondensi 1-1 antara Ω dan himpunan bagian dari N = {1, 2, 3, ...}, maka ruang sampelnya disebut terhitung atau countable. Dengan sendirinya ruang sampel yang terdiri dari sejumlah berhingga elemen termasuk himpunan terhitung. Bila Ω takhingga dan Ω tidak berkorespodensi 1-1 dengan N , maka Ω disebut tak terhitung atau uncountable. Ruang sampel pada contoh 1.2.1 dan 1.2.3 disebut terhitung karena berhingga. Ruang sampel pada contoh 1.2.4 juga disebut terhitung karena Ω = N . Karena Ω dalam contoh 1.2.2 tidak berkorespondensi 1-1 dengan N , maka Ω disebut tak terhitung. Begitu ruang sampel terdefinisikan, kita bisa memperlihatkan himpunan bagian ”yang lebih kecil” dari Ω. Definisi 1.2.2. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari Ω termasuk φ dan Ω sendiri. Definisi 1.2.3. ∅ disebut kejadian mustahil atau impossible event sedangkan Ω disebut kejadian pasti atau sure event. Contoh 1.2.5 Dalam contoh 1.2.1 bila A menyatakan kejadian lemparan yang menghasilkan hasil yang sama, maka A = {(M M ), (BB)}. Contoh 1.2.6 Untuk contoh 1.2.3 bila B adalah kejadian muka yang tampak bilangan genap, maka B = {2, 4, 6} Hubungan antara ruang sampel dan kejadian bisa ditunjukkan dalam bentuk diagram Venn seperti terlihat pada gambar 1.2.1.