Matematika dan Statistika

ISSN 1411-6669 Volume 12, Juni 2012

MAJALAH ILMIAH

Matematika dan Statistika

DITERBITKAN OLEH:

JURUSAN MATEMATIKA

FMIPA – UNIVERSITAS JEMBER

Model Permukaan Respon pada....(24 –32)

MODEL PERMUKAAN RESPON PADA PERCOBAAN FAKTORIAL (Response Surface Models at Factorial Experiment) Nurul Isnaini, Alfian Futuhul Hadi, Bagus Juliyanto Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Abstact:

In the experimental research, there are two kinds of experiments based on its design of treatment. They are a single experiment and factorial experiment. By factorial experiment, we want to get level factor that cause the optimal response. That is studied at Response Surface Methodology (RSM). The aims of this research is how to implement RSM analysis to get response surface equation from the factorial experiment, level factor that cause the optimal response and the optimal response from the response surface equation. The data came from factorial experiment about the effect of microwave cooking on ATP (Adenosine Tri Phosphate) conc. of meat (Douglass, without years). There are two kind of variable; response (y), and independent variable (x1 is cook time and x2 is thaw time). The analysis result’s are response surface equation, y = 2,15746 + 0,413596 x1 – 0,0273246 x2 –0,302632 x12 + 0,000219298 x22 + 0,00583333 x1 x2; response optimal rearch at x1 = 1,1379 and x2 =47,1663 with response at this point is 1,75.

Keywords: Factor, factorial experiment, RSM, response surface.

I. PENDAHULUAN Pada metode percobaan, seorang peneliti memiliki keleluasaan untuk melakukan pengawasan terhadap sumber-sumber keragaman. Peneliti dapat menciptakan perlakuan yang diinginkan dan mengamati perubahan-perubahan yang terjadi pada responnya. Perlakuan dapat disusun dari beberapa faktor atau peubah bebas, baik bersifat kualitatif maupun kuantitatif. Berdasarkan pada jumlah faktor penyusun perlakuan yang dicobakan, ada dua macam percobaan, yaitu percobaan satu faktor dan percobaan faktorial. Untuk faktor yang bersifat kuantitatif, biasa digunakan kontras polynomial untuk menguji nilai tengah perlakuan yang signifikan. Selain itu, telah dikembangkan sebuah metode yang digunakan untuk memperoleh level-level faktor yang membuat percobaan optimal, yaitu RSM. Tetapi metode ini jarang digunakan oleh peneliti. Padahal, RSM mempunyai beberapa kelebihan, yaitu meminimalkan pengamatan dengan menggunakan rancangan percobaan dan optimasi menggunakan pendugaan persamaan respon yang dihasilkan. Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan persamaan permukaan respon dari percobaan faktorial, level faktor yang menyebabkan respon percobaan optimum serta nilai

24

Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 12, Juni 2012

optimum respon dari persamaan permukaan respon yang telah didapat dengan menggunakan analisa RSM. Manfaat yang bisa diambil dari penulisan skripsi ini adalah menjelaskan keterkaitan antara pendekatan polynomial dan Response Surface Methodology (RSM) secara geometris, berguna bagi peneliti dalam hal pengambilan keputusan dan desain/rancangan percobaan untuk meminimalkan pengamatan

II. METODE PENELITIAN 2.1 Data Penelitian Data yang akan dianalisa dalam penelitian ini adalah data percobaan faktorial tentang pengaruh penggunaan microwave terhadap konsentrasi ATP daging [2]. Data tersebut mempunyai dua variabel, yaitu variabel bebas dan variabel terikat (respon). Variabel bebas mempunyai dua faktor, yaitu cooktime (x1) dan thawtime (x2). Cooktime (x1) mempunyai tiga level faktor, yaitu 0, 1, dan 2; thawtime juga mempunyai tiga level faktor, yaitu 0, 30, 60; dan dilakukan empat kali ulangan. Sedangkan variabel terikat (respon) yaitu ATP daging.

2.2 Metode Analisa dan Pengolahan Data Pengolahan data dilakukan dengan menggunakan program Minitab. Untuk analisa RSM digunakan toolbox DOE. Langkah-langkah untuk analisa RSM adalah : 1. membuat desain (rancangan) percobaan; 2. membuat model regresi dari data yang ada; 3. mengestimasi parameter menggunakan metode least square; 4. menguji hipotesis; 5. menginterpretasi hasil model; 6. memprediksi respon optimum berdasarkan permukaan respon dan contour yang didapat dari persamaan respon; 7. mencari level yang menyebabkan respon optimum.

25


III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Tinjauan Pustaka Percobaan Faktorial Percobaan faktorial adalah sebuah percobaan yang melibatkan dua faktor atau lebih. Percobaan faktorial lebih efisien daripada percobaan satu faktor, baik dari segi waktu maupun jumlah percobaan yang dilakukan. Hal ini disebabkan banyak masalah dalam dunia nyata atau percobaan yang responnya dipengaruhi oleh beberapa faktor secara simultan. Percobaan faktorial juga mengurangi kesimpulan yang salah akibat adanya interaksi antar faktor. Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) Salah satu metode untuk mengestimasi koefisien persamaan dari sebuah model adalah metode kuadrat terkecil (least square method). Metode ini bertujuan untuk meminimalkan jumlah kuadrat kesalahan dengan estimator tak bias dari β dan ditulis dalam bentuk :

b = (X′X) −1 X′Y Hipotesis yang diujikan :

H 0 : β j = 0 , j = 0,..., n H1 : β j ≠ 0 Kesimpulan : Jika t 0 > tα / 2,n − k −1 atau p-value < α maka H0 ditolak, artinya nilai estimasi mempengaruhi model. Polinomial Ortogonal Analisa yang digunakan untuk menerangkan fungsi hubungan antara respon dan perlakuan adalah uji trend (metode polinomial ortogonal). Metode ini bertujuan untuk mencari pangkat polinomial terendah yang dapat menerangkan hubungan antara variabel tak bebas Y dan variabel bebas X. Fungsi paling sederhana dan paling umum yang digunakan adalah fungsi polinomial yang ditulis dalam bentuk : Y = α + β1 X + β 2 X 2 + ... + β n X n

dengan :

α = intercept (perpotongan fungsi Y dengan sumbu Y); β i = koefisien regresi parsial, i = 1,..., n

26


Persamaan polinomial terbaik dalam menerangkan hubungan perlakuan dan respon adalah polinom pangkat tertinggi yang berbeda nyata.

Model Permukaan Respon Suatu hasil percobaan faktorial dengan faktor kuantitas yang bersifat kontinyu dapat dianalisa dengan pendekatan regresi untuk mendapatkan pendugaan respon. Teknik statistika dan matematika yang mempelajari masalah ini adalah Response Surface Methodology (RSM). RSM juga terdiri dari rancangan percobaan untuk meminimalkan variansi dan optimasi dengan menggunakan pendugaan respon yang dihasilkan. Uji Hipotesis Analisa ragam digunakan untuk menentukan apakah model yang didapat sesuai dengan data dan dapat ditabelkan sebagai berikut : Sumber Keragaman Regresi Linier Kuadratik Interaksi Sisaan Lack-of-fit Galat murni Total

Derajat Bebas dbR = p dbL dbK dbI=nc-1 dbRES = n-p-1 dbLOF=n-m dbE dbT= n-1

Jumlah Kuadrat JKR JKL JKK JKI JKRES JKLOF JKE JKT

Kuadrat Tengah KTR = JKR / dbR KTL = JKL / dbL KTK = JKK / dbK KTI = JKI / dbI KTRES = JKRES / dbRES KTLOF =JKLOF / dbLOF KTE = JKE / dbE

F hit FR FL FK FI

Pemecahan pada analisa ragam ini bisa berubah-ubah, sesuai dengan kebutuhan penelitian. Tetapi, inti dari pemecahan ini adalah memperkecil sisaan (residual) dari sebuah regresi. Sehingga diharapkan penduga y hanya dipengaruhi oleh x. Center Point dan Central Composite Design Umumnya percobaan dua faktor akan menerima model orde satu. Tetapi kita harus mengantisipasi diterimanya second-order model (model orde dua) dalam percobaan tersebut. Satu metode yang bisa dilakukan adalah penambahan pengamatan pada titik pusat percobaan dengan nc ulangan. Hal ini dilakukan karena titik pusat tidak mempengaruhi pendugaan desain di 2k [3]. Desain yang paling terkenal untuk mencocokkan model orde dua yaitu dengan Central Composite Design (CCD). Berdasarkan jarak star (axial) pointnya, ada tiga macam CCD, yaitu CCC (Circumscribed), CCI (inscribed) dan CCF (Face-Center).

27


Jenis CCD Optimalisasi Misal dicari titik level x1, x2, ..., xk yang menyebabkan respon optimal. Hal ini dapat diselesaikan dengan mencari titik stasioner dari persamaan permukaan respon yang didapat. Berhubung variabel bebas lebih dari satu, maka titik stasioner dicari dengan menggunakan turunan parsial, yaitu : ∂y ∂y ∂y = = ... = =0 ∂x1 ∂x 2 ∂x k

Titik ini akan menghasilkan tiga macam kemungkinan titik, yaitu titik maksimum, titik minimum atau titik pelana (saddle point). Aunudin [1] menyatakan permukaan respon yang terbentuk dicirikan dengan nilai akar dari matrik B (yang dilambangkan dengan λ ). Apabila semua nilai akar cirinya positif, maka permukaan respon memiliki nilai minimum dan sebaliknya. Tetapi, jika sebagian bernilai positif dan lainnya negatif maka titik stasioner berbentuk pelana. Untuk mempermudah perhitungan, bentuk persamaan model orde dua dibuat dalam bentuk matriks menjadi :

yˆ = β 0 + x ′b + x ′Bx  x1  x   2 dengan : x =  .  ;   .  x k 

 βˆ1  ˆ  β 2  b= .  ;    .   βˆ   k

 βˆ11   B=     sym.

βˆ12 2

.

.

βˆ 22

.

.

. .

  .      βˆ kk  βˆ1 k 2

3.2 Pembahasan Analisa Polinomial Ortogonal Douglass telah melakukan analisa polinomial terhadap data pada penelitian ini. Untuk melakukan analisa tersebut, Douglass [2] menggunakan seluruh data percobaan

28


yaitu sebanyak 36 data. Dari analisa yang telah dilakukan, diperoleh persamaan regresi yang mungkin adalah : y = 2,01 + 0,369 x1 – 0,238 x12 – 0,0144x2 + 0,00479 x1 x2 (Douglass, tanpa tahun). Analisa Response Surface Methodology (RSM) RSM mempunyai dua model yang dapat menggambarkan hubungan X dan Y, yaitu model orde satu dan model orde dua. Kedua model mempunyai sedikit perbedaan pada desain percobaan yang akan dianalisa. Kedua model ini harus dianalisa dan model orde satu dianalisa terlebih dahulu. Apabila model orde satu sudah baik untuk menggambarkan data, maka tidak perlu dilakukan analisa model orde dua. Data dan Analisa Model Orde Satu Data untuk analisa model orde satu RSM, adalah sebagai berikut : Kode Variabel

ξ1

-1 -1 0 0 0 1 1

x1

ξ2

-1 1 0 0 0 -1 1

0 0 1 1 1 2 2

x2 0 60 30 30 30 0 60

y 2,2 1,4 1,8 1,9 1,8 1,7 1,6

Dari rangkaian analisa yang dilakukan, dihasilkan model regresi adalah y = 2,07143 – 0,0750 x1 – 0,00750 x2. Sedangkan berdasarkan uji ANOVA dapat disimpulkan model tidak layak untuk menggambarkan data. Data dan Analisa Model Orde Dua Data pada model orde dua, agak berbeda dengan model orde satu. Pada model orde dua, data model orde satu ditambah dengan data pada titik axialnya. Model permukaan respon yang dihasilkan adalah : y = 2,15746 + 0,413596 x1 – 0,0273246 x2 – 0,302632 x12+ 0,000219298 x22 + 0,00583333 x1 x2 Berdasarkan uji ANOVA yang dihasilkan dari data orde dua, disimpulkan bahwa model orde dua memang layak diterima. Setelah mendapatkan persamaan permukaan (regresi) yang tepat menggambarkan data respon, maka dapat digambarkan plot 3D dan konturnya, sebagai berikut :

29


(a)

(b) (a) Plot 3D; (b) Kontur Optimalisasi Setelah mendapatkan persamaan regresi, selanjutnya akan dicari level yang menyebabkan respon optimal, yaitu dengan cara mencari titik stasioner yang diperoleh dengan menggunakan rumus X s = − 12 B −1b . Berdasarkan hasil regresi diperoleh nilai b dan B sebagai berikut :  0,413596   − 0,302632 0,00291665  dan B =  b=   − 0,0273246 0,00291665 0,000219298 30


Sehingga titik stasionernya adalah x1 = 1,1379 dan x2 = 47,1663. Dari perhitungan akar-akar ciri matriks B diperoleh bahwa akar cirinya berlainan tanda,

yaitu λ1 = −0,0002471 dan

λ2 = 0,3026598 . Sehingga disimpulkan bahwa

permukaan respon berupa pelana. Dengan kata lain, respon di titik stasioner bukan merupakan nilai maksimum ataupun minimum. Apabila nilai di titik stasionernya dimasukkan ke dalam persamaan regresi model dua yang didapat, diperoleh responnya mendekati 1,75. Polinomial Ortogonal dan RSM Persamaan permukaan respon dapat diperoleh menggunakan analisa polinomial ortogonal maupun Response Surface Methodology (RSM). Sebagai metode untuk mendapatkan persamaan permukaan respon, kedua metode mempunyai persamaan dalam hal metode estimasi parameter. Hal ini dapat dibuktikan dengan persamaan analisa dan hasil yang hampir sama. Persamaan yang lain adalah keduanya diterapkan untuk percobaan faktorial, walaupun ada perbedaan pada sifat level faktornya. Pada RSM, level faktor harus bersifat kontinu. Salah satu kelebihan analisa polinomial ortogonal adalah langsung dipisahnya atau dikeluarkannya faktor yang tidak mempengaruhi model, sehingga model yang dihasilkan akan tepat menggambarkan respon data. Apabila menggunakan analisa RSM maka jumlah percobaan yang dilakukan jauh lebih sedikit daripada menggunakan polinomial ortogonal. Tetapi, analisa RSM ini sangat bergantung pada desain percobaan yang diambil. Kekurangtepatan pemilihan CCD juga akan menyebabkan perbedaan kesimpulan yang akan diambil. Selain itu, RSM kurang tepat untuk digunakan pada analisa awal. Artinya, harus diketahui terlebih dahulu faktor yang signifikan terhadap model

IV. KESIMPULAN Dari data yang dianalisa, didapat persamaan regresi yang sesuai untuk respon percobaan tersebut yaitu : y = 2,15746 + 0,413596 x1 – 0,0273246x2 – 0,302632x12 + 0,000219298 x22 + 0,00583333 x1 x2 Berdasarkan model permukaan respon di atas, diperoleh level yang menyebabkan respon optimal terjadi pada saat x1 = 1,1379 dan x2 = 47,1663 dan didapat respon (ATP) sebesar 1,75.

31


DAFTAR PUSTAKA [1] Aunuddin. 2005. Statistika : Rancangan dan Analisa Data. Bogor : IPBPress. [2] Douglass, L. Tanpa tahun. BIOM602. [serial on line]. www.wam.umd.edu/~bmomen/ BIOM602/Lab/LabManuals/04%20Fax1orial%20SO6.pdf. [3] Montgomery, Douglas C. 2001. Design and Analisis of Experiments 5th Edition. New York : John Wiley & Sons, Inc.

32

Matematika dan Statistika

Recommend Documents