Matematika dan Statistika

ISSN 1411-6669 Volume 12, Juni 2012

MAJALAH ILMIAH

Matematika dan Statistika

DITERBITKAN OLEH:

JURUSAN MATEMATIKA

FMIPA – UNIVERSITAS JEMBER

Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 12, Juni 2012

PELUANG PENINGKATAN TENAGA KERJA DI INDONESIA DENGAN METODE RANTAI MARKOV (The Opportunities of Increasing Labors in Indonesia by Using Markov Chain Method Convex) Ika Hesti Agustin Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Abstact:

Labor is person who is ready to enter the job market in accordance with the wages offered by the provider of job. The amount of labor is calculated from the productive age population who entered the labor force category. Availability of jobs is not enough for all the existing labors. These problems can be overcome by knowing the probability of accretion rate of labor in the future. The probability of accretion rate of labor can be calculated using markov chain analysis. This research shows that the probability of the number of labors aged 15-19 years is 0.214, 20-24 years is 0.259, 25-29 years is 0.268, and 30-34 years is 0.255.

Keywords: Labor, Probability, Markov Chain.

I. PENDAHULUAN Tersedianya lapangan kerja baru untuk mengatasi peningkatan penawaran tenaga kerja merupakan salah satu target yang harus dicapai dalam pembangunan ekonomi daerah. Tenaga kerja adalah orang yang siap masuk dalam pasar kerja sesuai dengan upah yang ditawarkan oleh penyedia pekerjaan. Jumlah tenaga kerja dihitung dari penduduk usia produktif yang masuk kategori angkatan kerja (labourforce). Setiap tahunnya rata-rata angka tenaga kerja Indonesia meningkat sehingga tidak menutup kemungkinan ketersediaan lapangan kerja tidak mencukupi semua tenaga kerja yang ada. Akibatnya timbul banyak masalah, seperti menigkatnya jumlah pengangguran di Indonesia, kriminalitas sering sekali terjadi, Korupsi Kolusi dan Nepotisme (KKN) semakin bertambah, dan jumlah angka kemiskinan semakin bertambah setiap tahunnya. Namun disamping hal-hal dari segi negatif yang terjadi juga ada segi positif dari peningkatan angka tenaga kerja di Indonesia yaitu, Sumber Daya Manusia (SDM) di Indonesia semakin baik karena banyaknya masyarakat yang sadar bahwa pendidikan itu penting sehingga tidak sedikit masyarakat yang melanjutkan pendidikan ke tingkat yang lebih tinggi. Untuk mengatasi masalah tersebut maka dapat diperkirakan peluang pertambahan angka tenaga kerja di masa yang akan datang, salah satu caranya dengan malakukan perhitungan menggunakan analisa rantai markov.

33

Peluang Peningkatan Tenaga Kerja........(33 – 40)

II. METODE PENELITIAN 2.1 Data Penelitian Su mbe r: We bsit e

Tahun 2000 2001 2002 2003 2004

15-19 1,813,356 2,026,365 1,702,683 1,434,250 1.446.012

Umur Penduduk yang Bekerja 30-34 20-24 25-29 4.914.567 4,149,243 5,037,068 5.313.891 4,445,507 5,347,269 5.460.713 4,301,711 5,275,595 5.733.980 4,545,832 5,420,150 5.589.107 4.310.466 5.166.240

Jumlah 15.914.234 17.133.032 16.740.702 17.134.212 16.511.825

Badan Statistik Indonesia Dalam penelitian ini digunakan data riil jumlah penduduk umur 15 ke atas yang bekerja menurut propinsi, umur, dan daerah perkotaan-pedesaan yang berasal dari data Badan Statistika Indonesia yang di akses dari website Badan Statistika Indonesia selama periode satu hari pada hari kamis tanggal 24 Februari 2011. Data yang digunakan adalah penduduk berusia 15 tahun sampai 34 tahun, hal ini dikarenakan pengangkatan tenaga kerja umumnya maksimal berusia 30-35 tahun.

2.2 Langkah-langkah Penyelesaian Masalah Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Indentifikasi data Menghitung peluang atau presentase penduduk berusia 15 tahun ke atas yang bekerja menurut propinsi, usia, dan daerah perkotaan-pedesaan. 2. Pembuatan Matriks Peralihan Pada tahap ini peluang atau presentase penduduk berusia 15 tahun ke atas yang bekerja menurut propinsi, usia, dan daerah perkotaan-pedesaan yang sudah diperoleh pada langkah pertama akan dibuat menjadi matriks dengan menjadikan data per tahun menjadi satu kolom dengan ordo sesuai dengan banyak pengelompokkan data. Karena pada penelitian ini data yang digunakan merupakan jumlah dari penduduk berusia 1519 tahun, 20-24 tahun, 25-29 tahun, dan 30-34 tahun, yang bekerja menurut propinsi, usia, dan daerah perkotaan-pedesaan, maka matriks yang digunakan berordo 4 x 4. 3. Perhitungan Vektor keadaan Pada tahap ini akan dihitung vektor keadaan dari matriks peralihan yang sudah dibuat pada langkah ke – 2, dengan menggunakan persamaan 𝒙𝒙(𝑛𝑛 +1) = 𝑃𝑃𝒙𝒙𝑛𝑛 . 34


4. Perhitungan Vektor Keadaan Tunak Pada tahap ini akan dicari vektor keadaan tunak dengan menggunakan persamaan (1 − 𝑃𝑃)𝒒𝒒 = 0 III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Tinjauan Pustaka Analisis markov adalah suatu tehnik matematika untuk peramalan perubahan pada variabel berdasarkan pengetahauan dari perubahan sebelumnya. Pada analisis ini terlihat suatu sistem setelah percobaan berulang, dimana hasil sistem pada periode yang akan datang tidak dapat ditentukan sebelumnya dengan pasti. Suatu set kemungkinan perubahan keadaan (transisi) diperhitungkan untuk menjelaskan bagaimana sistem tersebut melakukan transisi (perubahan) dari satu periode ke periode lainnya. Dapat juga diartikan jika suatu keadaan eksak yang sistem pengamatannya tidak dapat ditentukan dengan pasti, namun peluang suatu keadaan tertentu dengan mengetahui keadaan sisitem itu pada pengamatan sebelumnya. Jika keadaan eksak sistem pada setiap pengamatan tidak dapat ditentukan dengan pasti,tetapi probabilitas suatu keadaan tertentu hanya dengan mengetahui keadaan sistem itu pada pengamatan sebelumnya,maka proses peralihan tersebut dinamakan Rantai Markov atau proses Markov. Misalkan sebuah sistem fisis atau matematis adalah sedemikian rupa sehingga pada sebarang saat sistem itu dapat menempati salah satu dari sejumlah berhingga keadaan. Misalnya, cuaca dalam sebuah kota tertentu dapat berada dalam salah satu dari antara tiga keadaan yang mungkin: cerah, mendung, atau hujan. Atau seseorang dapat berada dalam salah satu dari antara empat keadaan emosional yang mungkin: gembira, sedih, marah, atau gelisah. Misalkan sistem seperti itu berubah menurut waktu dari satu keadaan ke keadaan lainnnya dan pada beberapa jadwal waktu keadaan sistem tersebut diamati. Jika keadaan eksak dan sistem itu pada setiap pengamatan tidak dapat ditentukan dengan pasti, tetapi probabilitas suatu keadaan tertentu hanya dengan mengetahui keadaan sistem itu pada pengamatan sebelumnya, maka proses peralihan tersebut rantai Markov atau proses Markov. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :

35


𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏

Persamaan semacam ini kita namakan persamaan linier dalam peubah (variabel) x dan peubah y. Secara lebih umum, kita mendefinisikan persamaan linier dalam n peubah 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … ,𝑥𝑥𝑛𝑛 sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk : 𝑎𝑎1 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎2 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏

Dimana 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 dan b adalah konstanta - konstanta riil.

Definisi 1. Jika sebuah Rantai Markov memiliki k keadaan yang mungkin, yang kita sebut 1, 2, …, k, maka probabilitas bahwa sistem itu dalam keadaan i pada sebarang pengamatan sesudah sistem itu pada keadaan j pada pengamatan sebelumnya ditandai dengan pij dan disebut kemungkinan peralihan (transition probability) dari keadaan j ke

[ ]

keadaan i. Matriks P = pij disebut matriks peralihan dari Rantai Markov. Matriks peralihan dari Rantai Markov mempunyai ciri-ciri bahwa entri pada kolom manapun berjumlah 1. Jika p = [𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 ] adalah matriks peralihan dari Rantai Markov dengan k keadaan, maka untuk setiap j harus mempunyai:

𝑃𝑃1𝑗𝑗 + 𝑃𝑃2𝑗𝑗 + ⋯ + 𝑃𝑃𝑘𝑘𝑘𝑘 = 1

Matriks dengan sifat 𝑃𝑃1𝑗𝑗 + 𝑃𝑃2𝑗𝑗 + ⋯ + 𝑃𝑃𝑘𝑘𝑘𝑘 = 1 dinamakan matriks stokastik, matriks probabilitas atau matriks markov. Ini berarti bahwa matriks peralihan untuk Rantai Markov haruslah Matriks Stokastik. Definisi 2. Vektor keadaan (state vektor) untuk suatu pengamatan Rantai Markov dengan k keadaan adalah vektor kolom x dimana komponennya yang ke-i, yaitu 𝑥𝑥𝑖𝑖 , adalah

probabilitas bahwa sistemnya berada dalam keadaan ke-i pada waktu itu.

Vektor keadaan x (0 ) untuk suatu Rantai Markov pada suatu pengamatan awal. Teorema berikut menentukan vektor keadaan

x (1) , x (2 ) ,  , x (n ) ,  Pada waktu-waktu pengamatan berikutnya. Teorema 1. Jika P adalah matriks peralihan dari sebuah rantai Markov dan 𝑥𝑥 (𝑛𝑛 ) adalah

vektor keadaan pada pengamatan ke n, maka 𝑥𝑥 (𝑛𝑛 +1) = 𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑛𝑛) .

Definisi 3. Sebuah matriks peralihan adalah reguler jika suatu pangkat bulat dari matriks itu mempunyai entri yang semuanya positif. Sebuah rantai Markov yang ditentukan oleh sebuah matriks peralihan yang regular dinamakn rantai Markov Reguler. Rantai Markov yang reguler mempunyai sebuah vektor

36


keadaan q yang tetap sedemikian hingga P n x (0 ) mendekati q jika n bertambah besar untuk sebarang pilihan x (0 ) . Teorema 2. Jika P adalah sebuah matiks peralihan yang reguler jika n → ∞ maka

 q1 q n P → 2   q k

q1 q2  qk

 q1   q 2      qk 

dimana qi adalah bilangan-bilangan positif sedemikian sehingga q1 + q 2 +  + q k = 1 . Teorema 3. Jika P adalah sebuah matiks peralihan yang reguler dan x adalah sebarang vektor probabilitas, jika n → ∞ maka

 q1  q  n P x →  2 = q    q k  dimana q adalah sebuah vektor probabilitas yang tetap yang tak bergantung pada n, yang semua entrinya adalah positif . Teorema 4. Vektor keadaan tunak q dari sebuah matriks peralihan P yang reguler adalah vektor probabilitas yang unik yang memenuhi persamaan Pq=q.[1]

3.2

Hasil dan Pembahasan

Hasil Dari data di atas diperoleh matriks peralihan sebagai berikut:

Dengan vektor keadaan X(0) =

X(1) =

37


X(2) =

X(3) =

X(4) =

X(5) =

maka untuk iterasi ke n ≥ 5, diperoleh vektor keadaan yang tetap, yaitu: X(n) =

Sehingga vektor keadaan tunak adalah

q=

Pembahasan Dari data perkembangan jumlah tenaga kerja dihitung dari penduduk usia 15 tahun sampai 34 tahun yang masuk kategori angkatan kerja (labourforce) dari tahun 2000-2004 di Indonesia, diperoleh matrik peralihan, vektor keadaan, dan vektor keadaan tunak dengan menggunakan analisis rantai markov. Matriks keadaan yang digunakan dalam pembahasan ini ialah matrik 4 x 4 yang menyatakan probabilitas jumlah tenaga kerja yang berumur 15 - 34 tahun pada periode tahun 2000-2004. Baris pada matrik menyatakan probabilitas dari tenaga kerja berdasarkan umurnya masing-masing. Sedangkan kolom menyatakan probabilitas dari setiap umur tenaga kerja per tahun. Jumlah tiap kolom pada matrik adalah satu. Dari data yang diperoleh, setelah memperoleh matrik peralihan dan vektor keadaan x(0),x(1),x(2),x(3),x(4),x(5) sampai x(n). Vektor-vektor keadaan ini menunjukkan

38


probabilitas perkembangan jumlah tenaga kerja pada masing-masing umur dalam satu tahun hinggan n tahun ke depan. Perhitungan matrik keadaan dapat dihitung dengan rumus 𝒙𝒙(𝑛𝑛+1) = 𝑃𝑃𝒙𝒙𝑛𝑛 . Sedangkan perhitungan akhir menggunakan rumus (1 − 𝑃𝑃)𝒒𝒒 = 0.

Matriks peralihan dari data diatas adalah matriks peralihan yang reguler karena

jumlah masing–masing kolom sama dengan satu. Vektor keadaan diperoleh dengan rumus : X(n+1) = PX(n) dengan P adalah matriks peralihan dari sebuah rantai markov dan X(n) adalah vektor keadaan pengamatan ke- n. Dari data di atas diperoleh vektor keadaan pengamatan ke- n sebagai berikut:

Vektor keadaan tunak q dari sebuah matriks peralihan P yang reguler adalah vektor probabilitas yang unik yang memenuhi persamaan Pq = q atau dapat dinyatakan dengan (I– P)q = 0. Matriks keadaan tunak yang diperoleh dari data diatas adalah:

Pengertian dari vektor keadaan tunak diatas ialah jumlah presentase tenaga kerja berdasarkan usia dalam jangka waktu lama. Sehingga dapat diketahui bahwa jumlah presentase tenaga kerja yang berusia 15-19 tahun adalah 0.214, usia 20-24 tahun adalah 0.259, usia 25-29 tahun adalah 0.268, sedangkan tenaga kerja yang berusia 30-34 tahun adalah 0.255.

39


IV. KESIMPULAN Probabilitas perkembangan jumlah tenaga kerja dari usia 15-69 tahun yang dihasilkan dengan menghitung vektor keadaan dan vektor keadaan tunak pada tahun pertama hingga tahun ke – n adalah sebagai berikut. a. b. c. d.

Tenaga kerja yang berusia 15-19 adalah 0,214 . Tenaga kerja yang berusia 20-24 adalah 0,259.

Tenaga kerja yang berusia 25-29 adalah 0,268. Tenaga kerja yang berusia 30-34 adalah 0,255.

DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H. 1988. Penerapan Aljabar Linier. Jakarta: Erlangga.

40

Matematika dan Statistika

Recommend Documents