ISBN: 978-602-8355-39-1
PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN STATISTIKA
“Penguatan Peran Matematika dan Statistika dalam Percepatan Pembangunan Nasional”
Pontianak, 27 Februari 2014
Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tanjungpura Pontianak 2014
ISBN: 978-602-8355-39-1
PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN STATISTIKA 27 Februari 2014 FMIPA Universitas Tanjungpura Pontianak
Artikel-artikel dalam prosiding ini telah dipublikasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Statistika pada tanggal 27 Februari 2014 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tanjungpura Pontianak
Tim Reviewer: 1. Prof. Dr. H. Thamrin Usman, DEA 2. Prof. Dr. Sabirin Matsjeh 3. Prof. Dr. Sri Haryatmi 4. Ir. Dadan Kusnandar, Ph.D 5. Dr. Edy Tandililing, M.Pd 6. Dr. Elah Nurlaelah, M.Si 7. Dr. Fajar Adi Kusumo 8. Dr. Tarmizi Usman, M.Sc 9. Dr. Dra Titin Siswantining, DEA 10. Dr. Udjiana Sekteria Pasaribu
(UNTAN) (UGM) (UGM) (UNTAN) (UNTAN) (UPI) (UGM) (UNSYAH) (UI) (ITB)
Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tanjungpura Pontianak 2014
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN STATISTIKA “Penguatan Peran Matematika dan Statistika Dalam Percepatan Pembangunan Nasional”. 27 Februari 2014 Di selenggarakan oleh: Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tanjungpura Pontianak Prosiding Diterbitkan Oleh: Universitas Tanjungpura Pontianak Jalan Prof. Dr. H.Hadari Nawawi/Jalan Jend.Ahmad Yani Pontianak, 78124 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNTAN, 2014 Cetakan ke-1 Terbitan Tahun 2014 Katalog Dalam Terbitan (KDT) Seminar Nasional (2014 Februari 27: Pontianak) Prosiding/ Reviewer: Dadan Kusnandar (et.al)-Pontianak: FMIPA Editor: Muhlasah Novitasari Mara (et.al)-Pontianak: FMIPA Universitas Tanjungpura, 2014 ISBN:978-602-8355-39-1
978-602-8355-39-1 Penyuntingan semua tulisan dalam prosiding ini dilakukan oleh tim reviewer Seminar Nasioanal MATEMATIKA DAN STATISTIKA 2014 dari berbagai Institusi se Indonesia Prosiding dapat diakses: http://untan.ac.id/view/subjects/semesta2014.html
KATA PENGANTAR Alhamdulillah segala puji dan syukur kami panjatkan kehadirat ALLAH SWT atas segala karunia dan rahmat Nya, sehingga prosiding ini dapat diterbitkan. Prosiding ini memuat kumpulan makalah dan hasil penelitian baik yang dilakukan oleh dosen, mahasiswa, maupun praktisi yang berkompeten dibidang Matematika dan Statistika serta bidang keilmuan lainnya yakni Pendidikan, Kimia, Biologi, Komputer, Kesehatan, Teknik, dan Ekonomi. Seluruh makalah yang dimuat telah melalui tahap penyuntingan oleh tim reviewer yang anggotanya tercantum pada halaman lain prosiding ini. Makalah yang termuat juga telah disajikan pada Seminar Nasional Matematika dan Statistika tanggal 27 Februari 2014 yang diikuti oleh 162 peserta dan 95 diantaranya merupakan peserta pemakalah. Panitia mengucapkan terima kasih kepadaRektor Universitas Tanjungpura Bapak Prof. Dr. H Thamrin Usman,DEA yang telah memfasilitasi penerbitan prosidingSeminar Nasional Matematika dan Statistika 2014. Ucapan terima kasih juga kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu penyusunan prosiding ini. Kritik dan saran sangat kami harapkan sebagai masukan untuk penyusunan prosiding pada seminar nasional berikutnya.
Pontianak, 27 Februari 2014
Tim Editor
DAFTAR ISI Kata Pengantar Kata Sambutan Rektor Universitas TanjungPura Kata Sambutan Dekan Fakultas MIPA Universitas Tanjungpura Kata Sambutan Ketua Panitia Semesta 2014 Daftar Isi Makalah Utama MAKALAH UTAMA 1 Hari Wijayanto Peningkatan Kualitas Data Untuk Meningkatkan Efektivitas Pembangunan Nasional MAKALAH UTAMA 2 Asep Saefuddin Pendidikan Statistika Masa Depan MAKALAH UTAMA 3
Edy Tandililing
Makalah Pendamping Bidang Matematika MATEMATIKA-01 Eka Susanti
MATEMATIKA-02
MATEMATIKA-03 MATEMATIKA-04
MATEMATIKA-05 MATEMATIKA-06
MATEMATIKA-07
Febrianti, Evi Noviani, Nilamsari Kusumastuti M. Yusuf Fajar Indrawati, Irmeilyana, Fitri Maya Puspita, Meiza Putri Lestari Suhardi, Helmi, Yundari Bambang Dwi Cahyo, Nilamsari Kusumastuti, Mariatul Kiftiah Vega Setiawan, Neva Satyahadewi
MATEMATIKA-08
Arif Rahman
MATEMATIKA-09
Evi Noviani, Yoga Satria Putra, Kuntjoro Adji Sidarto
Makalah Pendamping Bidang Statistika STATISTIKA-01 Gaguk Margono
1 7
Penguatan Peran Pendidikan Matematika Untuk Pembelajaran Yang Lebih Berkualitas
11
Optimasi Biaya Pengangkutan Menggunakan Program Linear Multiobjektif Fuzzy (Studi Kasus Pada PT. Sentosa Mulia Bahagia)
19
Solusi Pendekatan Terbaik Sistem Persamaan Linear Tak Konsisten Menggunakan Dekomposisi Nilai Singular
27
Model Persediaan Dengan Permintaan Konstan Dan Laju Kerusakan Konstan Perbandingan Fungsi Utilitas Cobb-Douglass Dan Quasi-Linear Dalam Menentukan Solusi Optimal Masalah Pembiayaan Layanan Informasi Sifat-Sifat Lanjut Fungsi Terbatas
41
Analisis Input Output Sektor Perekonomian Provinsi Kalimantan Barat Dengan Menggunakan Model Leontif
71
Optimasi Pelayanan Di PT. Taspen (Persero) Cabang Pontianak Dengan Menggunakan Teori Antrian Isomorfisma Dari (SU(2)×SU(2))/Ker α Ke SO(4) Klustering Pasien Dengan SVD-gaps Sebagai Alternatif Diagnosa Pada Kanker Paru-paru.
79
Aplikasi Analisis Faktor Konfirmatori Untuk Menentukan Reliabilitas Multidimensi Instrumen Kepuasan Mahasiswa Sebagai Pelanggan Internal
101
47
57
85 93
STATISTIKA-02
Ratu Amilia Avianti
STATISTIKA-03
Abdul Kudus, Aceng Komarudin
STATISTIKA-04
Aceng Komarudin, Abdul Kudus Anuar Sanusi, Ary Meizari, Novita Sari Muhlasah Novitasari Mara, Dadan Kusnandar Septian Rahardiantoro, Bagus Sartono Suwanda
STATISTIKA-05 STATISTIKA-06 STATISTIKA-07 STATISTIKA-08 STATISTIKA-09 STATISTIKA-10
STATISTIKA-11 STATISTIKA-12 STATISTIKA-13 STATISTIKA-14 STATISTIKA-15
STATISTIKA-16 STATISTIKA-17
Aplikasi Analisis Faktor Esploratori Untuk Memvalidasi Instrumen Kepuasan Mahasiswa Sebagai Pelanggan Internal Metode Random Survival Forest Untuk Mengidentifikasi Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Perceraian Penurunan Ekspektasi Bersyarat Dari Distribusi Log-Logistik Analisis Model Faktor-Faktor Mempengaruhi Mahasiswa Berhenti Studi (Drop Out) Di PTS Bandar Lampung Prediksi Tinggi Muka Air Laut dengan Hybridizing Exponential Smoothing dan Neural Network Aplikasi Algoritma Genetika Sebagai Alternatif Solusi Penentuan Indeks Preferensi Dalam Hal Ada Data Kosong Diagram Kontrol Reekspresi Variansi Vektor Dan Implementasinya Implementasi Model Carma (2,1) Pada Pergerakan Tingkat Bunga
115
Kajian Simulasi Tingkat Kepercayaan Bagi Parameter, Fungsi Tahan Hidup Dan Kuartil Waktu Hidup Dari Data Berdistribusi Eksponensial Tersensor Tipe-II Eko Tjahjono Karakteristik Estimator Deret Fourier Terbobot Pada Regresi Nonparametrik Sediono Penentuan Distribusi Limit Statistik Uji Rasio Likelihood Semiempiris Untuk Data Truncated Muhammad Masjkur, Model Parameter Acak Percobaan Pemupukan Bagus Sartono, Fosfor Padi Sawah Pada Tanah Kandungan P Itasia Dina Sulvianti Rendah Ferry Juniardi, Pemodelan Bangkitan Dan Tarikan Pergerakan Heri Azwansyah Penummpang Di Kalimantan Barat Menggunakan Anallisis Regresi Linear Fajar Supriadi, Pendekatan Metode Chi Square Pada Uji Doni Irawan, Independensi Penyalahgunaan Narkoba Dengan Intan Kurniawati, Karakteristik Tersangka Ayu Indraswari Nurmaya Putri, Noviami Trisniarti, Nur Eka Septiana, Edy Widodo, Kariyam Bahridin Abapihi Pendugaan Parameter Regresi Eksponensial Dengan Algoritme Cross-Entropy Untuk Memperkecil Galat Hendra Perdana, Pemanfaatan Software Open Source R Dalam Adhitya Ronnie Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Effendie, Dedi Rosadi
193
Shantika Martha, Beniva D Handari, Gatot F Hertono Akhmad Fauzy
135 143 147 163 167 175 185
203 211 221 229 241
249 253
STATISTIKA-18
Suci Astutik
STATISTIKA-19
Sariyanto, Hadi Sumarno, Siswandi Budi Suharjo, N. K. Kutha Ardana, La Mbau Edi Saputra, Evy Sulistianingsih Dila Aprillia, Bayu Prihandono
STATISTIKA-20 STATISTIKA-21 STATISTIKA-22
STATISTIKA-23
Hidayu Sulisti, Nilamsari Kusumastuti
STATISTIKA-24
Fanny Syahfitri Budiman, Bayu Prihandono
STATISTIKA-25
Marisa Effendi, Nilamsari Kusumastuti
STATISTIKA-26
Destriani, Neva Satyahadewi, Lasta Dewi Winda Sri Wulandari, Neva Satyahadewi Lasta Dewi, Neva Satyahadewi
STATISTIKA-27 STATISTIKA-28 STATISTIKA-29
Nova Minarti, Neva Satyahadewi
STATISTIKA-30
Septiana, Dadan Kusnandar, Neva Satyahadewi Fitri Catur Lestari
STATISTIKA-31
STATISTIKA-32
Dadan Kusnandar, Naomi N Debataraja
Pemodelan Curah Hujan Dengan Model Hirarkhi Poisson Gamma Modifikasi Unistate Life Table Menjadi Multistate Life Table Pendidikan
261
Perbandingan Metode Pendugaan Parameter Dalam Pemodelan Persamaan Struktural
273
Penggunaan Value At Risk Dalam Analisis Risiko pada Portofolio Single Index Model Peramalan Jumlah Penumpang Pada Pt. Angkasa Pura II (Persero) Kantor Cabang Bandar Udara Supadio Pontianak dengan Metode Winter’s Exponential Smoothing Perhitungan Pendanaan Pensiun Manfaat Pasti Karyawan PT. TASPEN Cab.Pontianak Menggunakan Metode Cost Prorate Tipe Constant Dollar Peramalan Jumlah Penumpang Pada PT. Angkasa Pura II (Persero) Cab. Bandar Udara Internasional Supadio Pontianak Dengan Metode Seaseonal ARIMA Perbandingan Metode Brown'S Linear Exponential Smoothing Dan Holt's Linear Exponential Smoothing Dalam Meramalkan Jumlah Pembayaran Manfaat Pensiun Pada PT. TASPEN (Persero) Cab.Pontianak Perbandingan Tabel Mortalita Dan Tingkat Suku Bunga Yang Digunakan Pada Penentuan Cadangan Dengan Metode New Jersey Pengaruh Tabel Mortalita Terhadap Premi Tunggal Bersih Pada Asuransi Jiwa Seumur Hidup Pengaruh Peluang Kematian Terhadap Penentuan Cadangan Zillmer Pada Asuransi Jiwa Dwi Guna Analisis Data Laju Peningkatan Peserta Pensiun Di PT. Taspen (Persero) Wilayah Klaimantan Barat Cabang Pontianak Dengan Menggunakan Uji Median Pengaruh Tabel Mortalita Pada Supplemental Cost Dengan Metode Accrued Benefit Cost
291
Penerapan Metode Statistik Non Parametrik Uji Bredenkamp sebagai Padanan Analisis Variansi Dua Arah Pada Kasus Pengaruh Faktor Metode Reparasi dan Faktor Merek Terhadap Kadar Timbal Jamu Cina Evaluasi Uji Banding Laboratorium Balai Proteksi Tanaman Perkebunan Untuk Kerapatan Spora Beuveria Bassiana
383
265
303
313
321
331
339 347 355 365
377
399
STATISTIKA-33 STATISTIKA-34 STATISTIKA-35 STATISTIKA-36 STATISTIKA-37 STATISTIKA-38 STATISTIKA-39
STATISTIKA-40
Suhartono, Dwiatmono Agus Widodo Ryan Kurniawan, Neva Satyahadewi, Dadan Kusnandar Ekawati, Rahmatullah Rizieq Dodi Vionanda, Helma Erni Tri Astuti Lexy Janzen Sinay, Neva Satyahadewi Wahyono Kuntohadi
Kurnia Susvitasari, Titin Siswantining
Makalah Pendamping Bidang Teknik TEKNIK-01 Yulisa Fitrianingsih, Dian Rahayu Jati, Sendy Yulianti TEKNIK-02 TEKNIK-03
Heri Azwansyah, Ferry Juniardi Hendro Priyatman
Makalah Pendamping Bidang Komputer KOMPUTER-01 Ilhamsyah, Cucu Suhery
Model Regresi Dua Level Untuk Peramalan Deret Waktu Yang Mengandung Variasi Kalender Perhitungan Supplemental Cost Dengan Metode Benefit Prorate Pada Program Pendanaan Pensiun Manfaat Pasti (Defined Benefit) Aplikasi Model AIDS (Almost Ideal Demand System) Dinamis Dalam Permintaan Pangan Penanganan Pencilan Bergandadalam Analisis Regresi Denganmetoda Forward Search Graduasi Tingkat Kematian Indonesia Denganmodel Regresi Poisson Tergeneralisir Lokal Aproksimasi Tabel Mortalita Menggunakan Persamaan Dufresne Analisis Data Program Penanggulangan Kemiskinan: Permasalahan Dan Tantangan Statistisi Pada Aktifitas Monitoring Dan Evaluasi Distribusi Posterior Dari Taksiran Titik Mean Berdasarkan Hierarki Bayes SpasialPada Small Area Estimation
405
Hubungan Konsentrasi Gas Karbon Monoksida (Co) Terhadap Variasi Jarak Pengambilan Sampel Pada Ruas Jalan Gajah Mada Pontianak Analisis Daerah Rawan Kecelakaan Lalulintas Dikota Ketapang Dengan Metode Z-SCORE Model Matematis Pada Bidang Kendali
471
Penjadwalan Mobil Algoritma Genetika
497
Taksi
Menggunakan
Makalah Pendamping Bidang Pertanian PERTANIAN-01 Encik Eko Rifkowaty Upaya Memperpanjang Umur Simpan Bunga Potong Anggrek Vanda Var. Douglas Dengan Berbagai Jenis Pengemas Makalah Pendamping Bidang Ekonomi EKONOMI-01 Titik Harsanti, Novi Hidayat Pusponegoro EKONOMI -02 Sahat Sinaga
415 423 429 437 445 455
463
477 493
505
Kemiskinan Anak Dan Variabel-Variabel Yang Mempengaruhi
521
Mensiasati Percepatan Pembangunan Kalbar Melalui Pemberdayaan Komoditas Unggulan
533
Makalah Pendamping Bidang Kesehatan KESEHATAN-01 Engelina Ng, Andhi Fahrurroji, Liza Pratiwi KESEHATAN-02
Era Kurnializa, Siti Nani Nurbaeti, Wintari Taurina KESEHATAN-03 Syari Wahyuni Ansiah, Sri Wahdaningsih, Siti Nani Nurbaeti Makalah Pendamping Bidang Kependidikan PENDIDIKAN -01 Agus Santoso PENDIDIKAN-02
Suparman I.A, Yunita
PENDIDIKAN-03
Muhammad Rohmadi
PENDIDIKAN-04
Kalbin Salim, Dayang Hjh Tiawa, Teti Kumalasari, Abdul Bin Hamdan Kalbin Salim, Dayang Hjh Tiawa, Teti Kumalasari, Abdul Bin Hamdan Kalbin Salim, Dayang Tiawa
PENDIDIKAN-05
PENDIDIKAN-06
PENDIDIKAN-07
Eka Murdani
PENDIDIKAN-08
Ristia Apriana, Nindy Citroresmi P, Mariyam Wahyudi, Lia Angraeni
PENDIDIKAN-09 PENDIDIKAN-10
Vindo Feladi
Optimasi Krim Sarang Burung Walet Putih (Aerodramus Fuciphagus) Tipe M/A Dengan Variasi Emulgator Sebagai Pencerah Kulit Menggunakan Simplex Lattice Design Potensi Amilum Limbah Batang Kelapa Sawit (Elaeis Guineensis Jacq) Sebagai Bahan Penghancur Pada Formulasi Tablet Parastamol Formulasi Sediaan Gel Antiseptik Fraksi Polar Daun Kesum (Polygonum Minus Huds)
539
Pemilihan Butir Soal Pada Rancangan Tes Adaptif Berdasarkan Efficiency Balanced Information Faktor Yang Menentukan Prestasi Belajar Matematika Siswa Sekolah Menengah Atas Di Jakarta
563
547 555
57 3
Analisis Wacana Tekstual Dan Kontekstual Prakmatik Soal Cerita Matematika Ujian Nasional SD Sebagai Bentuk Implementasi Bahasa Sebagai Penghela Ilmu Dalam Kurikulum 2013 Pengajaran Dan Pembelajaran Arab Melayu Berdasarkan Pendekatan Quantum Learning
581
Teknologi Education Indonesia
Distance Learning Berbasis EDi Wilayah Kepulauan Riau
599
Persepsi Siswa Terhadap pembelajaran Matematika Dengan Menggunakan Flash Animasi
607
Pembelajaran Fisika Berbasis Praktikum: Pengujian Hambatan Suatu Resistor Komersial Dengan Hukum Ohm Pembelajaran Matematika Dengan Project Based Learning
615
Penerapan Model Inkuiri Terhadap Penguasaan Konsep ditinjau dari Sikap Ilmiah Mahasiswa pada Materi Optika Fisis Hubungan Antara Kemampuan Awal Dengan Hasil Belajar Pembuatan Tabel Dalam Basis Data Mahasiswa Program Studi Pendidikan TIK STKIP-PGRI Pontianak
627
587
621
639
PENDIDIKAN-11
Sandie
PENDIDIKAN-12
Handy Darmawan,
PENDIDIKAN-13
Dwi Fajar Saputri Nurhayati Soka Hadiati, Eti Sukadi
PENDIDIKAN-14
PENDIDIKAN-15
Adi Pramuda, Matsun
PENDIDIKAN-16
Dominikus Dasit
Makalah Pendamping Bidang Kimia KIMIA-01 Intan Syahbanu, Indriana Kartini, M. Muchalal KIMIA-02 Afghani Jayuska, Siti Syamsiah, Sarto, Tutik Dwi Wahyuningsih KIMIA-03 Adhitiyawarman, Winda Rahmalia KIMIA-04 Muhammad Agus Wibowo, Aulannia'am Makalah Pendamping Bidang Biologi BIOLOGI-01 Siti Khotimah, Dessy Dhavina
Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif Siswa Dengan Model Reciprocal Teaching Pada Materi Pecahan Di Kelas VII SMPN 21 Pontianak Penerapan Sains Teknologi Masyarakat Melalui Media CD Interaktif dan Animasi 3DS Max Ditinjau Dari Kemandirian Belajar dan Keterampilan Proses Sains Mahasiswa Pengembangan Modul Fisika Berbasis Inkuiri Pada Materi Gerak Lurus Pengembangan Perangkat Pembelajaran Inkuiri Berkarakter Melalui Pemanfaatan Limbah Barang Bekas Untuk Meningkatkan Prestasi Belajar Afektif Pengembangan Perangkat Pembelajaran Listrik Magnet Yang Berorientasi Pada Hyperphisics Di Program Studi Pendidikan Fisika STKIP-PGRI PONTIANAK Pengaruh Pembelajaran Matematika Dengan Pendekatan Open-Ended terhadap Kemampuan Berfikir Kreatif Matematik Siswa SMK Negeri Ngabang
645
Analisis Spektrofotometri UV-Visible pada Ekstrak Indigovera Tinctoria Linn dan Senyawa Turunannya Penentuan Kondisi Optimum Pemungutan Minyak Atsiri Dari Limbah Kulit Jeruk Dengan Distilasi
703
Uji Fotostabilitas Pigmen Karotenoid Kulit Buah Melinjo (Gnetum Gnemon L) Pemberian Fraksi N-Heksana Ekstrak Daun Kesum (Polygonum Minus L.) Secara Preventif Mampu Mencegah Inflamasi Jaringan Paru Hewan Model Terpapar Bensapiren
717
Pengaruh Ekstrak Metanol Sargassum Polycystum Agardh Terhadap Pertumbuhan Staphylococcus Aureus Dan Escherichia Coli
731
649
667 675
681
693
711
725
ISBN: 978-602-8355-39-1
PROSIDING
STATISTIKA-38
APROKSIMASI TABEL MORTALITA MENGGUNAKAN PERSAMAAN DUFRESNE Lexy Janzen Sinay 1, Neva Satyahadewi 2 1
PS Matematika FMIPA Universitas Pattimura Ambon, PS Statistika FMIPA Universitas Tanjungpura Pontianak 1
[email protected],
[email protected]
2
Abstrak Persamaan Dufresne merupakan sebuah persamaan matematika yang diperkenalkan oleh Daniel Dufresne.Persamaan Dufresne dibangun dari polinomial Jacobi teralihkan yang diterapkan pada komplemen fungsi peluang.Secara analitis, persamaan ini menghasilkan sebuah barisan-barisan kombinasi eksponensial. Dengan demikian, penulisan ini memberikan suatu cara untuk mengaproksimasi tabel mortalita dengan menerapkan persamaan Dufresne pada distribusi Makeham. Kata kunci: Aproksimasi Dufresne, komplemen fungsi peluang, distribusi Makeham, kombinasi eksponensial, polinomial Jacobi teralihkan, tabel mortalita.
PENDAHULUAN Pada umumnya bentuk eksponensial sering ditemukan dalam model matematika ataupun statistika.Secara numerik, bentuk ekponensial memberikan kemudahan dalam penghitungan.Oleh karena itu, bentuk eksponensial digunakan sering digunakan dalam membentuk fungsi-fungsi khusus untuk menentukan suatu distribusi peluang.Distribusi peluang yang menggunakan bentuk eksponensial adalah distribusi eksponensial. Kombinasi eksponensial merupakan suatu bentuk kombinasi dari fungsi kepadatan peluang distribusi eksponensial.Secara numerik bentuk kombinasi eksponesial tersebut memiliki kemudahan untuk diterapkan.Hal ini dikarenakan distribusi eksponensial memberikan suatu penghitungan yang sangat sederhana, sehingga mudah untuk dapat diaplikasikan ke berbagai bidang seperti teori resiko, teori antrian, teori keuangan, teori aktuaria, dan lain-lain. Salah satu sifat penting dari kombinasi eksponensial adalah suatu bentuk yang dense dalam himpunan
distribusi peluang atas 0, .
Ada berbagai metode yang dapat digunakan untuk menentukan dan mengaproksimasi sebuah distribusi peluang.Pada tahun 2006, Daniel Dufresne memberikansuatu metode aproksimasi distribusi peluang yang didasarkan atas kombinasi eksponensial dengan menggunakan sifat-sifat dari polinomial Jacobi.Aproksimasi iniadalahsebuahpersamaan yang terdiri atas barisan-barisan yang berbentuk kombinasi eksponensial, yang mana barisan-barisan tersebut merupakan barisan-barisan yang konvergen.Persamaan tersebutmerupakan sebuahformula yang konstruktif untuk mengaproksimasi distribusi peluang.Kemudian, formula ini dikenal sebagai persamaan Dufresne. Dengan demikian, Penulisan ini memberikan suatu cara untuk mengaproksimasi sebuah tabel mortalita dengan menggunakan persamaan Dufresne, yaitu denganmengkonstruksi suatu bentuk aproksimasi distribusi waktu hidup yang akan datang (future lifetime) ke dalam bentuk kombinasi eksponensial dan kemudian memperlihatkan keakuratan dari hasil-hasil aproksimasi tersebut secara numerik.
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Statistika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Statistika Dalam Percepatan Pembangunan Nasional " pada tanggal 27 Februari 2014 di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tanjungpura.
PROSIDING
ISBN: 978-602-8355-39-1
PEMBAHASAN Bagian ini membahas tentang teori-teori dan studi kasus.Teori-teori yang dimaksud merupakan beberapa definisi dasar yang digunakan untuk memperoleh persamaan Dufresne dan mendukung studi kasus.Sementara itu, studi kasus yang diberikan pada bagian ini merupakan implementasi numerik dari aproksimasi distribusi waktu hidup (lifetime), dimana hasil dari implementasi numerik tersebut digunakan untuk menentukan tabel mortalita.Tabel mortalita yang diperoleh pada bagian ini merupakan sebuah ilustrasi, karena diperoleh dengan membuat asumsi parameter distribusi waktu hidup. A. Distribusi Waktu Hidup Distribusi waktu hidup (lifetime) merupakan sebuah distribusi peluang dari usia hidup seseorang. Usia hidup yang dimaksud adalah usia sesorang dari kelahiran sampai usia kematian. Bagian iniakan diberikan beberapa definisi penting mengenai distribusi waktu hidup yang akan digunakan dalam pembahasan ini. Definisi-definisi yang digunakan pada bagian ini merupakan definisi-definisi dasar. 1.
Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival) Misal X adalah variabel random kontinu yang mengikuti usia hidup seseorang (dari kelahiran sampai kematian). Misal FX x merupakan cdf dari X,
FX x P X x ,
x R
dan ccdf didefinisikan seperti berikut:
S x 1 FX x P X x ,
x R ,
dengan asumsi bahwa FX 0 0 yang berakibat S 0 1 . Fungsi S x sering disebut juga sebagai fungsi kelangsungan hidup (survival). 2.
Percepatan Mortalitas (Force of Mortality) Misal X adalah variabel random kontinu yang mengikuti usia hidup seseorang (dari kelahiran sampai kematian), dengan fungsi distribusinya adalah FX x . Dengan demikian, pdf dari X yang dinotasikan dengan f X x adalah
f X x dFX x , x R sehingga dapat didefinisikan sebuah fungsi sebagai berikut: f x dS x x X , x R 1 FX x S x ekuivalen dengan x S x exp y dy , x R 0 di mana S x adalah fungsi survival dari variabel random X.
Dalam aktuaria dan demografi fungsi x disebut juga sebagai percepatan
mortalita.Dalam teori reliabilitas fungsi x disebut sebagai tingkat kegagalan (failure rate) atau tingkat resiko (hazard rate).
Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNTAN Pontianak, 27 Februari 2014 446
PROSIDING
ISBN: 978-602-8355-39-1
3.
Fungsi-Fungsi pada Tabel Mortalita Jumlah individu yang hidup dari suatu kelompok individu-individu berusia x, dinotasikan dengan lx , merupakan suatu fungsi seperti berikut ini:
lx l0 S x ,
dimana S x merupakan fungsi survival, dan l0 merupakan suatu konstanta yang sering disebut dengan radix. Dengan demikian peluang hidup seorang berusia x adalah l p x x 1 . lx Kemudian, d x merupakan jumlah orang yang meninggal dari suatu kelompok orang yang berusia x, diberikan seperti berikut ini: d x lx lx1 . Dengan demikian, peluang meninggal orang yang berusia x adalah d qx 1 px x . lx B.
Distribusi Waktu Hidup yang didasarkan atas Hukum Makeham Bagian ini merupakan penerapan langsung dari distribusi waktu hidup yang dijelaskan pada Bagian A di atas.Bagian ini membahas tentang distribusi waktu hidup yang didasarkan atas hukum Makeham.Distribusi tersebut sering disebut sebagai distribusi Makeham. Misal X adalah variabel random kontinu yang mengikuti usia hidup seseorang (dari kelahiran sampai kematian). Untuk usia hidupx, diberikan percepatan mortalitas yang didasarkan atas hukum Makeham seperti berikut x A Bc x , x R Bentuk ini sering disebut sebagai hazard rate atau failure rate. Berdasarkan percepatan mortalitas hukum Makehammaka dapat diperoleh fungsi survival dari distribusi Makeham seperti berikut B (1) S x exp Ax m c x 1 ,dengan m log c
C. Penurunan Persamaan Dufresne 1.
Fungsi Hipergeometri Gauss Simbol Pochhammer untuk suatu bilangan a dinotasikan dengan a n , didefinisikan
seperti berikut,
a 0 1 , a n
a a 1
a n 1 ,
n 1, 2,
.
Fungsi hipergeometri Gauss yang dinotasikan dengan 2 F1 , , ; , dapat didefinisikan seperti berikut, a n b n z n 1 c a b 1 c b 1 F a , b , c ; z 1 zt t 1 t dt 2 1 b c b 0 c n n! n 0
dengan z 1 , Re c Re b 0 .
Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNTAN Pontianak, 27 Februari 2014 447
PROSIDING
ISBN: 978-602-8355-39-1
2. a.
Kombinasi Eksponensial dari Aproksimasi Distribusi Peluang Kombinasi Eksponensial Berikut ini, akan diberikan bentuk umum dari suatu kombinasi ekponensial dengan mendefinisikan sebuah fungsi yang berbentuk f t
n
a
j
j e
jt
j 1
(2)
1t 0
dimana a j , j adalah konstan. Fungsi ini adalah fungsi densitas peluang (pdf) jika (a)
n
a
j
1;
j 1
(b) j 0 , untuk setiap j; (c)
f x 0 , untuk setiap x 0 .
Kondisi (a) dan (b) menyatakan bahwa fungsi f
terintegral untuk 1 atas R , namun tidak
untuk kondisi (c). Jika a j 0 untuk semua j, maka persamaan (2) disebut sebuah mixture of exponentials atau disebut juga sebagai distribusi hiper-eksponensial. Teorema 1 memperlihatkan kekonvergenan dari barisan variabel random yang mana pdf dari variabel random tersebut merupakan suatu kombinasi eksponensial. Teorema 1 (a) Misal T variabel random non negatif. Maka terdapat suatu barisan variabel random Tn masing-masing dengan suatu pdf yang diberikan oleh suatu kombinasi eksponensial dan sedemikian sehingga Tn konvergen dalam distribusi ke T. (b) Jika distribusi T tidak mempunyai atom, maka
lim sup FT t FTn t 0
n 0t
b.
Polinomial Jacobi Teralihkan Pada umumnya, bentuk polinomial Jacobi dapat didefinisikan seperti berikut 1n 1 x Pn , x 2 F1 n, n 1, 1; , untuk n 0,1, dan , 1 . n! 2
Diketahui juga bahwa polinomial Jacobi ortogonal atas interval 1, 1 , untuk fungsi bobot
1 x 1 x . Kemudian bentuk polinomial Jacobi teralihkan (shifted Jacobian polynomials) dapat diturunkan seperti berikut: n 1n Rn , x Pn , 2 x 1 nj x j , 2 F1 n, n 1, 1;1 x n! j 0
dimana 2 F1 adalah fungsi hipergeometri Gauss dan
1n 1n n j n j nj . 1 j n! j ! Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNTAN Pontianak, 27 Februari 2014 448
PROSIDING
ISBN: 978-602-8355-39-1
Dengan demikian, polinomial Jacobi teralihkan ortogonal atas 0, 1 , dengan fungsi bobotnya adalah
w , x 1 x x .
Sifat-sifat dari polinomial Jacobi teralihkan dapat diberikan untuk suatu fungsi
yang
terdefinisi atas 0, 1 (termasuk semua fungsi kontinu dan terbatas) sedemikan sehinga, w , x 1 x x , cn 1
hn
hn
, 0 1 x x Rn x 1
2
x 1 x 1
0
dx
x Rn , x dx ,
n 1 n 1 2n n! n
c. Persamaan Dufresne Berdasarkan teori shifted Jacobi polynomials yang diberikan pada bagian sebelumnya, maka teori tersebut dapat diterapkan ke dalam suatu distribusi peluang atas R dengan cara seperti berikut ini. Misal F t adalah cdf, dan misal F t 1 F t P T t . F t merupakan ccdf (komplemen cdf). F t sering disebut juga sebagai fungsi survival. Jika F 0 1 dan F 1 , untuk 0 t . Misal T menyatakan waktu dari kelahiran sampai kematian dari usia hidup x, maka F t t px . Diketahui bahwa r 0 , 1 g x F log x , 0 x 1 , g 0 0 . r
Pemetaan yang terjadi dari bentuk ini merupakan pemetaan 0, pada 0, 1 , yang mana t 0 berkorespondensi dengan x 1 , dan t berkorespondensi dengan x 0 . Diketahui juga bahwa F 0 , maka dapat diperoleh sedemikian rupa sehingga g 0 0 .
Misal parameter-parameter , , p dan bk diketahui sedemikian sehingga, dengan menerapkan shifted Jacobi polynomials dapat diperoleh g x x p
b R x , ,
k
k
0 x 1.
k 0
Ekuivalen dengan
j p rt . bk kj e k 0 j j k 0 Bentuk di atas memiliki kesamaan dengan persamaan (2), jika j j p r , untuk j 0,1, 2, . Jika p 0 , suatu kombinasi eksponensial dapat diperoleh dengan cara pemotongan jumlahan dari deret di atas. Berdasarkan bentuk dari deret yang diberikan di atas, maka konstanta bk dapat ditemukan seperti berikut:
F t g e rt e prt
bk
1 hk
bk
kj e jrt
x g x R x 1 x x dx 1
0
p
,
k
(3)
Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNTAN Pontianak, 27 Februari 2014 449
PROSIDING
ISBN: 978-602-8355-39-1
r hk
p 1 rt
0
e
1 e
rt
Rk
,
e F t dt . rt
Dengan demikian, bentuk (3) merupakan kombinasi dari bentuk
p j 1 rt
0
e
1 e
rt
F t dt ,
j 0, 1,
,k
Jika 0 , maka dapat diperoleh
0
Hal ini berarti, konstanta bk distribusi T. Teorema 2. Misal , 1 , F
1 1 F t d e st 1 Ee st ,dengan s 0 s 0 s dapat diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace dari
e st F t dt
kontinu atas 0, dan diberikan fungsi berikut ini.
e prt F t yang memiliki sebuah limit yang berhingga untuk t menuju tak hingga, untuk beberapa pR (hal ini selalu benar di mana p 0 ). Maka berlaku F t e prt
b R e rt
,
k
(4)
k
k 0
Untuk setiap t 0, dan konvergen seragam atas setiap interval a, b , untuk 0 a b . Tidak semua distribusi terkondisi dalam Teorema 2.Hasil dalam teorema berikut tidak membutuhkan asumsi ini. Teorema 3. Misal , 1 dan untuk beberapa pR dan r 0
1 2 p rt
0
(ini selalu benar jika p
lim
N 0
1 2
F t e
e
1 e
rt
F t dt 2
). Maka
prt
N
b R k
k 0
,
k
e rt
2
1 2 p rt 1 e rt e
dt 0
Selanjutnya, persamaan (4) lebih dikenal sebagai persamaan Dufresne.Pemotongan jumlahan dari deret yang diperoleh dari persamaaan Dufresne bukanlah fungsi distribusi yang sebenarnya. Hasil pemotongan deret pada persamaan Dufresne merupakan suatu aproksimasi dari bentuk ccdf distribusi T. Nilai fungsi yang diperoleh dari persamaan Dufresne, bisa lebih kecil dari 0 atau lebih besar dari 1, atau fungsi tersebut mungkin saja turun pada beberapa interval. D. Studi Kasus Bagian ini memuat tentang implementasi numerik dari persamaan Dufresne untuk mengaproksimasi distribusi waktu hidup, yang bertujuan untuk menghasilkan sebuah tabel Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNTAN Pontianak, 27 Februari 2014 450
PROSIDING
ISBN: 978-602-8355-39-1
mortalita.Hasil aproksimasi pada bagian ini, diperoleh dengan cara mensubtitusi parameterparameter = = 0, p = 10–9, r = 0.015 ke dalam persamaan (4). Langkah awal yang perlu dilakukan adalah mengaproksimasi distribusi waktu hidup.Dalam penulisan ini distribusi yang digunakan adalah distribusi Makeham. a.
Aproksimasi Distribusi Waktu Hidup Bagian ini merupakan penerapan langsung dari bagian-bagian sebelumnya.Hasil-hasil yang diperoleh pada bagian ini didasarkan atas hukum Makeham seperti yang diberikan pada persamaan (1), dengan menggunakan asumsi parameter-parameter seperti berikut A 0.0007 ; B 5 105 ; c 100.04 , (5) mengikuti Bowers et al (1997). Misalkan X menyatakan usia hidup dari seseorang, berarti X 0 . Kemudian, subtitusi parameter-parameter (5) ke dalam persamaan (1) maka diperoleh fungsi survival dari Xseperti berikut S x 1.00054e
0.00054 1.09648 x 0.0007 x
, x0 Kemudian, hasil ini dapat diterapkan pada persamaan Dufresne.Secara visual hasil aproksimasi distribusi waktu hidup untuk N 7 dan N 20 dapat dilihat pada Gambar 1. Dengan demikian, tingkat ketelitian aproksimasi pada saat N 20 lebih baik dibandingkan N 7 . Berdasarkan Gambar 1, aproksimasi yang diperoleh pada saat N 20 sangat akurat, karena hampir keseluruhan grafiknya berimipitan dengan grafik eksak. ccdf
ccdf
1
Eksak Aproks 7 bagian
0.8
Aproks 20 bagian 0.6 0.4 0.2 x 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
0.2
Gambar 1. Distribusi waktu hidup yang akan datang Untuk melihat lebih jelas mengenai tingkat ketelitian (keakuratan) hasil aproksimasi untuk masing-masing N, maka diberikan pada Tabel 1. Tabel 1 Hasil Estimasi tingkat ketelitian dari N-bagian aproksimasi F t 3 7 10 15 20
0.323073 0.142532 0.0796111 0.037354 0.0146908
Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNTAN Pontianak, 27 Februari 2014 451
PROSIDING
ISBN: 978-602-8355-39-1
b.
Ilustrasi Tabel Mortalita Berdasarkan keakuratan hasil aproksimasi distribusi waktu hidup di atas, maka dipilih hasil aproksimasidengan N 20 . Kemudian hasil tersebut diterapkan pada fungsi-fungsi tabel mortalita maka diperoleh tabel mortalita sebagai berikut: Tabel 2 Ilustrasi Tabel Mortalita lx Usia Eksak Aproksimasi (N = 20) 13 96.808 96.897 14 96.724 96.835 15 96.638 96.730 16 96.550 96.590 17 96.460 96.432 18 96.369 96.279 19 96.275 96.147 KESIMPULAN Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa: 1. Persamaan Dufresne berbentuk seperti berikut ini F t e prt
b R e , ,
k
rt
k
k 0
merupakanbentuk aproksimasi ccdf (fungsi survival) dari sebuahdistribusi peluang (distribusi waktu hidup), yaitu dengan melakukan pemotongan terhadap jumlahan dari deret tersebut. Jika pemotongan deret tersebut dalam N bagian, maka hasil dari aproksimasi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk F t
N
c e
jt
j
j 0
dengan j j p r , j 0,1, , N . 2.
Penggunaan persamaan Dufresne dalam mengaproksimasi tabel mortalita cukup akurat. Keakuratan aproksimasi tersebut bergantung pada pemilihan parameter-parameter yang terdapat pada persamaan Dufresne.
DAFTAR PUSTAKA Abramowitz, M., dan Stegun, I. A., 1972,Handbook of Mathematical Functional,(cetakan kesepuluh), Dover, New York. Bain, L. J., dan Engelhardt, M., 1992,Introduction to Probability and Mathematical Statistics, edisi kedua,Duxburry Press, California. Billingsley, P., 1986,Probability and Measure,edisi kedua,John Wiley & Sons, Inc., New York. Bowers, N. L. Jr., Gerber, H. U., Hickman, J. C., Jones, D. A., dan Nesbitt, C. J., 1997,Actuarial Mathematics. edisi kedua,Society of Actuaries, Schaumburg, IL. Dufresne, D., 2006,Fitting Combinations of Exponentials to Probability Distributions,To appear in Applied Stochastic Models in Business and Industry. Dufresne, D., 2007,Stochastic Life Annuities, North American Actuarial Journal. Feller, W., 1971,An Introduction to Probability Theory and its Applications II, Edisi kedua,John Wiley & Sons, Inc., New York. Gut, A., 2005,Probability: A Graduate Course, Springer, New York. Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNTAN Pontianak, 27 Februari 2014 452
PROSIDING
ISBN: 978-602-8355-39-1
Higgins, J. R.,1977, Completeness and Basis Properties of Sets of Special Functions, Cambridge University Press,London. Hogg, R. H., dan Craig, A. T.,1991.Introduction to Mathematical Statistics, edisi kelima.Higher Education Press. Khuri, A. I., 2003, Advanced Calculus with Applications in Statistics, edisi kedua, John Willey & Sons, Inc., New Jersey. Lebedev, N. N., 1972,Special Functions and Their Applications, Dover, New York. Luke, Y. L., 1969,TheSpecial Functions and Their Applications, Academic Press,New York. Sinay, L. J., 2010, Anuitas Hidup yang didasarkan atas Kombinasi Eksponensial dari Aproksimasi Distribusi Waktu Hidup Yang Akan Datang, Tesis pada Program Studi S2 Matematika Fakultas MIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Stahl, S., 1999,Real Analysis: A Historical Approach,John Wiley & Sons, Inc., New York. Stoll, M.,2001,Introduction to Real Analysis,Edisi kedua, Addison Wesley Longman, Inc.
Seminar Nasional Matematika dan Statistika FMIPA UNTAN Pontianak, 27 Februari 2014 453
