PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

ISBN : 978-979-16353-1-8

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

“Peningkatan Kualitas Penelitian dan Pembelajaran Matematika untuk Mencapai World Class University” Yogyakarta, 28 November 2008

Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Kerjasama dengan

Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS) wilayah Jateng dan DIY

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2008

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 28 November 2008 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Artikel‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika pada tanggal 28 November 2008 di Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

Tim Penyunting Artikel Seminar : 1. Prof. Dr. Rusgianto HS 2. Dr. Hartono 3. Dr. Djailani 4. Sahid, M.Sc.

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2008

ii

KATA PENGANTAR

Puji Syukur ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala Karunia dan RahmatNya

sehingga prosiding ini dapat diselesaikan. Prosiding ini merupakan

kumpulan makalah dari peneliti, dosen dan guru yang berkecimpung di bidang Matematika dan Pendidikan Matematika

yang berasal dari berbagai daerah di

Indonesia. Makalah yang dipresentasikan meliputi 1 makalah utama dan 65 makalah pendamping yang terdiri dari 4 makalah bidang Aljabar, 1 makalah bidang Analisis, 25 makalah bidang Statistika, 9 makalah bidang Terapan dan Komputer, dan 28 makalah bidang Pendidikan Matematika Pada kesempatan ini panitia mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dan mendukung penyelenggaraan seminar ini. Kepada seluruh peserta seminar diucapkan terimakasih atas partisipasinya dan selamat berseminar semoga bermanfaat.

iii

DAFTAR ISI

Cover Prosiding

i

Kata Pengantar

iii

Daftar Isi

iv

1. Makalah Bidang Matematika Kode

Judul

Hal

M - 1. Generalized Non-Homogeneous Morrey Spaces And Olsen Inequality (I. Sihwaningrum, H. Gunawan, Y. Soeharyadi, W. S. Budhi)

1– 1

M - 2. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval (M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo)

1– 8

M - 3. Keterbatasan Operator Integral Fraksional Di Ruang Lebesgue Tak Homogen (Herry Pribawanto Suryawan)

1 – 19

M - 4. Solusi Periodik Tunggal Suatu Persamaan Rayleigh (Sugimin)

1 – 28

( Δ ) ,1 < p < ∞ Dan Beberapa Permasalahan Karakterisasi Produk Tensor l ( Δ ) ⊗ l ( Δ ) (Muslim Ansori)

M - 5. Ruang Barisan Selisih l

p

p

1 – 33

q

M - 6. Menampilkan Penaksir Parameter Pada Model Linear ( Mulyana )

1 – 40

M - 7. Simulasi Radius Jarak Pengaruhnya Terhadap Kebaikan Model Regresi Logistik Spasial (Utami Dyah Syafitri, Agus M Sholeh, Poppy Suprapti)

1 – 45

M - 8. Estimasi Bayesian untuk Penentuan Besarnya Pengaruh Genetik Terhadap Sifat Fenotip Dan Studi Simulasinya (Adi Setiawan)

1 – 50

M - 9. Penduga Maksimum Likelihood Untuk Parameter Dispersi Model PoissonGamma Dalam Konteks Pendugaan Area Kecil (Alfian F. Hadi, Nusyirwan, Khairil Anwar Notodiputro)

1 – 63

M - 10. Penentuan Sampling Minimal Dalam Eksperimen Life-Testing menggunakan Order Statistics (Budhi Handoko)

1 – 78

M - 11. Analisis Conjoint Sebagai Alat Menentukan Model Preferensi Nasabah Menabung Di Bank (Budiono, Nani Hidayati)

1 – 90

M - 12. Evaluasi Tingkat Validitas Metode Penggabungan Respon ((Indeks Penampilan Tanaman, IPT) (Gusti N Adhi Wibawa, I Made Sumertajaya, Ahmad Ansori Mattjik) Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

1 – 103

iv

M - 13. Pemodelan Persamaan Struktural Dengan Partial Least Square (I Gede Nyoman Mindra Jaya,I Made Sumertajaya)

1 – 118

M - 14. Penggerombolan Model Parameter Regresi dengan Error-Based Clustering (I Made Sumertajaya, Gusti Adhi Wibawa, I Gede Nyoman Mindra Jaya)

1 – 133

M - 15. Koreksi Metode Connected Ammi dalam Pendugaan Data Tidak Lengkap (Made Sumertajaya, Ahmad Ansori Mattjik, I Gede Nyoman Mindra Jaya)

1 – 145

M - 16. Pendekatan Metode Pemulusan Kernel Pada Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation) (Indahwati, Kusman Sadik, Ratih Nurmasari)

1 – 162

M - 17. Penerapan Metode Pemulusan Kernel Pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita Di Kota Bogor Tahun 2005)

1 – 173

(Indahwati, Utami Dyah Syafitri, Renita Sukma Mayasari) M - 18. Zero Inflated Negative Binomial Models In Small Area Estimation (Irene Muflikh Nadhiroh, Khairil Anwar Notodiputro, Indahwati)

1 – 183

M - 19. Aplikasi Multidimensional Scaling Untuk Peningkatan Pelayanan Proses Belajar Mengajar (PBM). (Irlandia Ginanjar)

1 – 194

M - 20. Peranan Formulasi Inversi Pada Fungsi Karakteristik Suatu Variabel Acak (John Maspupu)

1 – 202

M - 21. Pendugaan Berbasis Model Untuk Kasus Biner Pada Small Area Estimation (Kismiantini)

1 – 209

M - 22. Pendugaan Komponen Utama Pada Pengaruh Acak Model Linear Campuran Terampat (Mohammad Masjkur)

1 – 216

M - 23. Distribusi Poisson Tergeneralisasi Tak Terbatas Dan Beberapa Sifat-Sifatnya ( Suatu Pengembangan Teori Statistika Matematika) (Mutijah)

1 – 237

M - 24. Regresi Rasio Prevalensi Dengan Model Log-Binomial: Isu Ketakkonvergenan (Netti Herawati, Alfian Futuhul Hadi, Nusyirwan, Khoirin Nisa)

1 – 249

M - 25. Pengujian Autokorelasi Terhadap Sisaan Model Spatial Logistik (Utami Dyah Syafitri, Bagus Sartono, Salamatuttanzil)

1 – 264

M - 26. Penerapan Analisis Survival Untuk Menaksir Waktu Bertahan Hidup Bagi Penderita Penyakit Jantung (Yani Hendrajaya,Adi Setiawan dan Hanna A. Parhusip)

1 – 269

M - 27. Pendekatan Analisis Multilevel Respon Biner dalam Menentukan Faktor-Faktor yang Memengaruhi Imunisasi Lengkap (Bertho Tantular, I Gede Nyoman Mindra Jaya)

1 – 281

Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

v

M - 28. Optimasi Bobot Portofolio Dan Estimasi Var (Portfolio Weighted Optimization And Var Estimation) (Sukono, Subanar, Dedi Rosadi )

1 – 292

M - 29. Estimasi Var Dengan Pendekatan Extreme Value (Estimation Of Var By Extreme Value Approach) (Sukono, Subanar, Dedi Rosadi )

1 – 304

M - 30. Activities In Sunspot Group NOAA 9393 (Bachtiar Anwar, Bambang Setiahadi)

1 – 315

M - 31. Penyelesaian Asymmetric Travelling Salesman Problem Dengan Algoritma Hungarian Dan Algoritma Cheapest Insertion Heuristic (Caturiyati)

1 – 324

M - 32. Studi Model Variasi Harian Komponen H Berdasarkan Pola Hari Tenang (Habirun)

1 – 335

M - 33. Pemodelan Perembesan Air dalam Tanah (Muhammad Hamzah, Djoko S, Wahyudi W.P, Budi S)

1 – 346

M - 34. Eksistensi Dan Kestabilan Solusi Gelombang Jalan Model Kuasiliner Dissipatif Dua Kanal (Sumardi)

1 – 354

M - 35. Minimal Edge Dari Graf 2-Connected dengan Circumference Tertentu (On Edge Minimal 2-Connected Graphs With Prescribed Circumference) (Tri Atmojo Kusmayadi)

1 – 365

M - 36. Model Sis dengan Pertumbuhan Logistik (Eti Dwi Wiraningsih, Widodo, Lina Aryati, Syamsuddin Toaha)

1 – 373

M - 37. Aplikasi Model Dinamik Pada Bursa Efek (Joko Purwanto)

1 – 386

M - 38. Analisis Fraktal Emisi Sinyal ULF Dan Kaitannya Dengan Gempa Bumi di Indonesia (Sarmoko Saroso)

1 – 400

M - 39. Pengujian Hipotesis Rata-Rata Berurut untuk Membandingkan Tingkat kebocoran di Daerah Dinding Gingival menggunakan Tiga Macam Bahan Tambalan Sementara (Pendekatan Parametrik) (H. Bernik Maskun)

1 – 407


vi

2. Makalah Bidang Pendidikan Matematika Kode

Judul

Hal

P- 1

Pengembangan Model Creative Problem Solving Berbasis Teknologi Dalam Pembelajaran Matematika Di SMA (Adi Nur Cahyono)

2- 1

P–2

Mengembangkan Soal Terbuka (Open-Ended Problem) dalam Pembelajaran Matematika (Ali Mahmudi)

2 - 12

P–3

Pengaruh Pemberian Tugas Creative Mind Map Setelah Pembelajaran Terhadap Kemampuan Kreativitas Dan Koneksi Matematik Siswa (Ayu Anzela Sari, Jarnawi Afgani D)

2 - 23

P–4

Kontribusi Matematika Dan Pembelajarannya bagi Pendidikan Nilai (Gregoria Ariyanti )

2 - 38

P–5

Mahasiswa Field Independent Dan Field Dependent dalam Memahami Konsep Grup * (Herry Agus Susanto)

2 - 64

P–6

Peningkatan Pembelajaran Konsep Pengolahan Data Melalui Tutor Sebaya Dengan Komputer (Endah Ekowati )

2 - 78

P-7

Pembelajaran Matematika Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa Sekolah Menengah Atas (Ibrahim)

2 - 90

P–8

Strategi Pembelajaran Kolaboratif Berbasis Masalah (Djamilah Bondan Widjajanti)

2 - 101

P–9

Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Kooperatif Tutor Sebaya Bertingkat dalam Persiapan Menghadapi UN 2009 (Kukuh Guntoro)

2 - 111

P – 10

Melatih Kemampuan Metakognitif Siswa dalam Pembelajaran Matematika (Risnanosanti, M.Pd)

2 - 115

P – 11

Teori Van Hiele Dan Komunikasi Matematik (Apa, Mengapa Dan Bagaimana) ( Hj.Epon Nur’aeni)

2 - 124

P – 12

Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematis Tingkat Tinggi Calon Guru Matematika Melalui Pembelajaran Berbasis Komputer Pada Perguruan Tinggi Muhammadiyah (Bambang Priyo Darminto)

2 - 139

P – 13

Pembelajaran Matematika dengan Konflik Kognitif (Dasa Ismaimuza)

2 - 155

P – 14

Peran Penalaran dalam Pemecahan Masalah Matematik (E. Elvis Napitupulu)

2 - 167


vii

P – 15

Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Dengan Menerapkan Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD Pada Materi Pokok Aljabar Dan Aritmatika Sosial di Kelas 7C SMPN I Pringsurat Tahun Pelajaran 2008/2009 (Hidayati)

2 - 181

P – 16

Rekonstruksi Tingkat-Tingkat Berpikir Probabilistik Siswa Sekolah Menengah Pertama (Imam Sujadi)

2 - 187

P – 17

Mengembangkan Board Game Labirin Matematika Bagi Siswa Kelas Rendah Guna Menghindari Mind In Chaos Terhadap Matematika (Maman Fathurrohman, Hepsi Nindiasari, Dan Ilmiyati Rahayu)

2 - 209

P – 18

Pemahaman Konsep Matematik Dalam Pembelajaran Matematika (Nila Kesumawati)

2 - 229

P – 19

Meningkatkan Pemahaman Mahasiswa Pendidikan Matematika Fkip Ups Tegal Pada Konsep Distribusi Peluang Khusus melalui Pembelajaran Kooperatif Model STAD (Nina R. Chytrasari,Eleonora D. W.)

2 - 236

P –20

Pembelajaran Kooperatif Tipe Teams-Games-Tournaments (Tgt) guna Meningkatkan Kemandirian Belajar Mahasiswa Statistika Matematika Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNTIRTA (Nurul Anriani, Novaliyosi, Maman Fathurahman)

2 - 248

P –21

Pengembangan Bahan Ajar Berdasarkan Perkembangan Kognitif Untuk Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa SD (Rasiman)

2 - 257

P –22

Problem-Based Learning dan Kemampuan Berpikir Reflektif dalam Pembelajaran Matematika (Sri Hastuti Noer)

2 - 267

P –23

Pengaruh Penilaian Portofolio Dan Kecerdasan Emosional Terhadap Hasil Belajar Matematika Topik Dimensi Tiga Siswa Kelas X Sma Negeri 4 Kendari Tahun 2006 (Sunandar)

2 - 281

P –24

Proses Pembelajaran Student Centered Pada Mata Kuliah Statistik Nonparametrik 2 - 200 (Penerapan Strategi Instant Assessment, Index Card Match, Practice Rehearsal Pairs, Dan Case Study) (Yuliana Susanti)

P –25

Mengembangkan Keterampilan Berfikir Matematika ( Sehatta Saragih)

P –26

Pembelajaran Matematika Dengan Melibatkan Manajemen Otak (Suatu Alternatif 2 - 327 Pembelajaran Interaktif) (Somakim)

P –27

Kemampuan Komunikasi Matematik Dan Keterampilan Sosial Siswa Dalam Pembelajaran Matematika (Kadir)

2 - 339

P –28

Pengaruh Bimbingan Belajar terhadap Hasil Belajar Mahasiswa (Studi Kasus Terhadap Mata Kuliah Analisis II) (Sugimin)

2 - 351


2 - 310

viii

P – 29

Keterbatasan Memori dan Implikasinya dalam Mendesain Metode Pembelajaran Matematika (Endah Retnowati)


2 - 359

ix

Estimasi Bayesian untuk Penentuan Besarnya Pengaruh Genetik terhadap Sifat Fenotip dan Studi Simulasinya Adi Setiawan ([email protected]) Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711, Indonesia Abstract Twins that have a particular categorical trait can be used to determine the genetic contribution to the trait. In this paper it is described a simulation study to generate a particular categorical data trait in MZ and DZ twin. The data is then used to find the genetic contribution to the trait by using Bayesian method. Key-words: twin, genetic contribution, Bayesian method. A. Pendahuluan Dalam upaya menentukan besarnya pengaruh genetik terhadap sifat fenotip (trait) dapat digunakan metode momen dan metode maksimum likelihood yang menggunakan data trait pada pasangan kembar hasil simulasi (lihat dalam makalah Setiawan (2008)). Dalam makalah ini akan dijelaskan metode lain yang menggunakan pendekatan Bayesian.

B. Dasar Teori Misalkan dimiliki suatu trait kuantitatif X dari suatu individu yang dipilih secara random dari suatu populasi. Trait X dapat dianggap mengikuti model X = A + E, dengan A dan E masing-masing adalah faktor genetik dan faktor lingkungan yang saling bebas. Dua individu yang diambil secara random dari suatu populasi masing-masing dengan trait X1 dan X2 dapat dimodelkan sebagai X1 = A1 + C + E1, X2 = A2 + C + E2, dengan (G1, G2), C, E1, E2 saling bebas dan E1, E2 berdistribusi identik. Dalam hal ini C adalah faktor lingkungan bersama dan E adalah faktor lingkungan bukan bersama. Model ini dinamakan model ACE.


1 - 50

Apabila suatu trait yang didekomposisi sebagai X = A + C + E maka heritabilitas (heritability) didefinisikan sebagai V ( A) V ( A) , = V ( X ) V ( A ) + V (C ) + V ( E )

yang dapat diestimasi berdasarkan dari data pengamatan X. Heritabilitas dapat dipandang sebagai besarnya pengaruh faktor genetik terhadap sifat fenotip. Dalam model ACE, variansi dan kovariansi dari trait X1 dan X2 antara dua individu yang bersaudara dapat didekomposisi menjadi V ( X 1 ) = V ( X 2 ) = σ 2 = ν 2 +η 2 + κ 2 ,

(1)

Cov( X 1 , X 2 ) = 2 Ψν 2 + η 2 , dengan ν2, η2 dan κ2 masing-masing adalah variansi faktor genetic A, variansi lingkungan bersama C dan variansi lingkungan bukan bersama E sedangkan Ψ merupakan koefisien kinship yang tergantung pada hubungan antara dua saudara tersebut (Lange, 2002). Untuk pasangan kembar MZ dan DZ masing-masing dapat digunakan Ψ = 1/4

dan Ψ = 1/2. Dekomposisi variansi pada persamaan (1) tersebut

dapat diterapkan untuk trait kuantitatif maupun trait yang merupakan data kategori (categorical trait). Trait ini dapat dianggap dipengaruhi oleh trait lain yang tidak teramati (unobservable trait) yang dinamakan liabilitas (liability). Trait kategori yang teramati (observable trait) seperti berpenyakit tertentu atau tidak, akan berkaitan dengan suatu liabilitas yang melampaui batas (threshold). Hal tersebut dapat dijelaskan dalam model matematika berikut ini.

Misalkan Y1 dan Y2 adalah ukuran dari suatu trait dikotomi pada 2 anggota pasangan kembar. Kita menganggap bahwa vektor (Y1,Y2)t tergantung pada variabel laten (X1, X2)t dan suatu batas b melalui persamaan Yi = 0 jika Xi ≤ b dan Yi = 1 jika Xi > b untuk i =1,2. Diasumsikan bahwa (X1, X2)t mempunyai distribusi normal dan dapat didekomposisi ke dalam komponen genetik A1, A2, komponen lingkungan bersama C dan komponen lingkungan tidak bersama E1, E2 sebagai berikut :

⎛ X 1 ⎞ ⎛ A1 ⎞ ⎛ C ⎞ ⎛ E1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ X 2 ⎠ ⎝ A2 ⎠ ⎝ C ⎠ ⎝ E 2 ⎠

(2)

dengan


1 - 51

⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ν 2 ν 2 ⎞ ⎞ ⎛ A1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ~ N 2 ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ 2 ⎜⎝ 0⎠ ν ν 2 ⎟⎟ A 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝

pada pasangan kembar MZ dan ⎛⎛0⎞ ⎛ ν 2 ⎛ A1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ~ N 2 ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎜ ⎝ 0 ⎠ 0,5ν 2 ⎝ A2 ⎠ ⎝ ⎝

0,5ν 2 ⎞ ⎞⎟ ⎟ ν 2 ⎟⎠ ⎟⎠

pada pasangan kembar DZ, sedangkan ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛η 2 η 2 ⎞ ⎞ ⎛C ⎞ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ ~ N 2 ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ 2 ⎜⎝0⎠ η η 2 ⎟⎟ ⎝C ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛κ 2 0 ⎞ ⎞ ⎛ E1 ⎞ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ ~ N 2 ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜ E 0 0 κ ⎝ 2⎠ ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝

Dalam hal ini (A1,A2)t, (C,C)t dan (E1,E2)t saling bebas. Probabilitas bersyarat bahwa Y1 = 0 diberikan A1, A2 dan C adalah

P( Y1 = 0 | A1 , A2 , C ) = P( X 1 ≤ b | A1 , A2 , C ) = P( A1 + C + E1 ≤ b | A1 , A2 , C ) = P( E1 ≤ b − A1 − C | A1 , A2 , C ) ⎛ b − a1 − c ⎞ ⎟ = Φ⎜⎜ ⎟ κ2 ⎠ ⎝ dan probabilitas bersyarat bahwa Y1 = 1 diberikan A1, A2 dan C adalah

P( Y1 =1| A1 , A2 , C ) = P( X 1 > b | A1 , A2 , C ) = P( A1 + C + E1 > b | A1 , A2 , C ) = P( E1 > b − A1 − C | A1 , A2 , C ) ⎛ b − a1 − c ⎞ ⎟. = 1 − Φ⎜⎜ ⎟ κ2 ⎠ ⎝

Jika diberikan A1, A2 dan C maka Y1 dan Y2 variabel

saling bebas. Probabilitas

bersyarat dari Y2 jika diberikan A1, A2 dan C dapat ditentukan dengan cara yang sama. Batas b dapat distandardisasi menjadi b′ =

b b . = 2 V ( X1) ν +η 2 + κ 2


(3)

1 - 52

Lebih jauh, heritabilitas atau komponen genetic Vg = σ2A dari status berpenyakit atau tidak dapat ditentukan dengan Vg = σ

2

A

V ( A1 ) ν2 = = , V ( X 1 ) ν 2 +η 2 + κ 2

komponen lingkungan bersama Vs = σ2C dengan Vs = σ 2C =

V (C ) η2 = 2 2 V ( X 1 ) ν +η + κ 2

dan komponen lingkungan tidak bersama Vu = σ2E dengan Vu = σ 2 E =

V ( E1 ) κ2 = 2 2 . V ( X 1 ) ν +η + κ 2

Misalkan pemetaan (y1, y2, a, c) → p(y1, y2, a, c) adalah fungsi densitas dari vektor (Y1, Y2, A, C ) dan yj → p(yj | a, c) adalah densitas bersyarat dari Yj diberikan (A, C) untuk j =1,2. Fungsi likelihood untuk pengamatan vektor dalam n pasangan kembar MZ yang dipilih secara acak (dengan A := A1, A2) adalah n

LMZ = ∏ p( y i1 , y i 2 , a i , ci ) i =1 n

= ∏ p ( y i1 , y i 2 | ai , ci ) f A (ai ) f C (ci ) i =1 n

= ∏ p ( yi1 | ai , ci ) p( yi 2 | ai , ci ) f A (ai ) f C (ci ) i =1 n

= ∏ q ( y i1 , ai , ci ) q ( y i 2 , ai , ci ) f A (ai ) f C (ci ) i =1

dengan fA dan fC masing-masing adalah fungsi densitas dari A dan C yang diberikan oleh

f A (ai ) =

⎡ a ⎤ exp ⎢− i 2 ⎥ , ⎣ 2ν ⎦ 2πν

f C ( ci ) =

⎡ c ⎤ exp ⎢− i 2 ⎥ , 2πη ⎣ 2η ⎦

1

2

1

2

dan ⎡ ⎛ b − a − c ⎞⎤ ⎟⎥ q ( y, a, c) = ⎢Φ⎜⎜ ⎟ κ 2 ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝


1− y

⎡ ⎛ b − a − c ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢1 − Φ⎜⎜ ⎟ 2 ⎢⎣ κ ⎠⎥⎦ ⎝

y

1 - 53

[(

= Φ (b − a − c) θ1

)] [1 − Φ((b − a − c) θ )] 1− y

y

1

dengan θ 1= 1/κ2. Fungsi likelihood ini akan sebanding dengan ⎡ n 2⎤ ⎡ n 2⎤ a ⎢ ∑ i ⎥ ⎢ ∑ ci ⎥ n i =1 2 −n / 2 2 −n / 2 ⎥ exp ⎢− i =1 2 ⎥ ∏ q ( yi1 , ai , ci ) q ( yi 2 , ai , ci ) LMZ ∝ [ν ] [η ] exp ⎢− 2 ⎢ 2ν ⎥ ⎢ 2η ⎥ i = 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Dengan kata lain, fungsi likelihood untuk n pasangan kembar MZ akan sebanding dengan n n ⎡ ⎡ 2⎤ 2⎤ a θ θ ⎢ 3∑ i ⎥ ⎢ 4 ∑ ci ⎥ n −n / 2 −n / 2 LMZ ∝θ 3 θ 4 exp ⎢− i = 1 ⎥ exp ⎢− i =1 ⎥ ∏ q ( yi1 , ai , ci ) q ( yi 2 , ai , ci ) 2 ⎥ 2 ⎥ i =1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dengan θ 3= 1/ν2 dan θ 4= 1/η2. Fungsi likelihood untuk pengamatan (Y1, Y2, A1, A2, C ) dalam m pasangan kembar DZ yang dipilih secara acak diperoleh dengan cara yang sama dengan hanya fungsi densitas bersama (A1, A2) yang berubah yaitu n

LDZ = ∏ p( yi1 , yi 2 , ai1 , ai 2 , ci ) i =1 n

= ∏ p( yi1 , yi 2 | ai1 , ai 2 , ci ) f (ai1 , ai 2 ) f C (ci ) i =1 n

= ∏ p ( yi1 | ai1 , ai 2 , ci ) p( yi 2 | ai1 , ai 2 , c) f (ai1 , ai 2 ) f C (ci ) i =1 n

= ∏ q( yi1 , ai1 , ci ) q( yi 2 , ai 2 , c) g (ai1 | ai 2 ) f A (ai 2 ) f C (ci ) i =1

dengan f adalah fungsi densitas bersama dari (A1, A2) dan g adalah fungsi densitas bersyarat dari A1 jika diberikan A2 yang dinyatakan dengan rumus

f ( a i1 , a i 2 ) =

1 ⎛1⎞ 2π 1 − ⎜ ⎟ ⎝2⎠

2

⎡ ⎢ ⎢ exp ⎢ − ⎢ 2ν ⎢ ⎣

1 2

(a ⎞

⎛ ⎜ 1 − ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 2


2 i1

− 2 ( 0 ,5 ) a i1 a i 2 + a i 2

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

)

1 - 54

1

g A ( a i1 | a i 2 ) =

⎛3⎞ 2π ⎜ ⎟ ν ⎝4⎠

2

⎡ ⎢ ( a − 0 ,5 a ) 2 i2 exp ⎢ − i1 ⎛3⎞ 2 ⎢ 2 ⎜ ⎟ν ⎢⎣ ⎝4⎠

⎤ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥⎦

Hal itu berarti bahwa fungsi likelihoodnya sebanding dengan n

LDZ ∝ [ν 2 ]− n / 2 [η 2 ]− n / 2 exp[− x ] ∏ q ( yi1 , ai1 , ci ) q ( yi 2 , ai 2 , ci ) i =1

dengan

2 ∑i =1 (ai1 − 0,5ai 2 ) 2 m

x=

3ν 2

∑ +

m

i =1

ai 2

2

2ν 2

∑ +

m 2 i =1 i 2

c

2η

.

Dengan kata lain, fungsi likelihood sebanding dengan LDZ ∝θ 3 θ 4 m

m/2

n

exp[− z ] ∏ q ( yi1 , ai1 , ci ) q ( yi 2 , ai 2 , ci ) i =1

dengan 2 θ 3 ∑i =1 (ai1 − 0,5ai 2 ) 2 m

z=

3

θ 3 ∑i =1 ai 2 2

+

2

θ 4 ∑i =1 ci 2 m

m

+

2

.

Kita memilih prior konjugat untuk parameter θ3, θ4, θ1 dari keluarga distribusi gamma sehingga fungsi densitas priornya adalah p1

p π 1 (θ 3 ) = 2 θ 3 p1−1 exp(− p2θ 3 ) , Γ( p1 ) p3

p π 2 (θ 4 ) = 4 θ 3 p 3−1 exp(− p4θ 4 ) , Γ ( p3 ) p5

p π 3 (θ1 ) = 6 θ1 p 5−1 exp(− p6θ1 ) , Γ ( p5 )

dan distribusi konjugat prior untuk parameter b dari keluarga distribusi normal, yaitu fungsi densitas prior :

(b − p7 ) 2 exp(− ). π 4 (b) = 2 p8 2π p8 1

Dalam hal ini p1, p2, ..., p8 adalah parameter yang dipilih yang sesuai. Berdasarkan pada anggapan bahwa parameter saling bebas maka fungsi densitas bersamanya adalah

π (θ 3 ,θ 4 ,θ1 , b) = π 1 (θ3 ) π 2 (θ 4 ) π 3 (θ1 ) π 4 (b) .


1 - 55

Akibatnya fungsi densitasnya sebanding dengan (θ 3 ,θ 4 ,θ1 , b) → π (θ 3 ,θ 4 ,θ1 , b) LMZ LDZ Fungsi densitas posterior bersama π (θ1 , θ 3 , θ 4 , b | data ) memenuhi

π (θ1 ,θ 3 ,θ 4 , b | data ) ∝θ 3( p

1

+

n + m −1) 2

θ 4( p

3

+

n m + − 1) 2 2

θ1 p 5 −1 exp[ − w1 ] w2 ,

dengan w1 = p6 θ1 + u θ 3 + v θ 4 +

(b − p7 ) 2 , 2 p8

n

m

i =1

i =1

w2 = ∏ q ( yi1 , ai1 , ci ) q ( yi 2 , ai 2 , ci ) ∏ q ( yi1 , ai1 , ci ) q ( yi 2 , ai 2 , ci ) dan 2 1 n 2 2 ∑i =1 (ai1 − 0,5ai 2 ) ∑i =1 ai 2 + u = p2 + ∑ ai + 2 i =1 3 2 m

v = p4 +

m

2

1 n 2 1 m 2 ci 2 . ∑ ci1 + 2 ∑ 2 i =1 i =1

Berdasarkan pada fungsi densitas bersama, distribusi bersyarat penuh (full conditional distribution) untuk masing-masing parameter dapat dinyatakan sebagai berikut : m

n

π (θ 3 | yang lain ) ∝ θ 3 ( p + 2 + m−1) exp p[−uθ 3 ] ∏ q ( yi1 , ai1 , ci ) q ( yi 2 , ai 2 , ci ) , 1

i =1

π (θ 4 | yang lain ) ∝θ 4 ( p

3

+

n m + −1) 2 2

m

exp p[−vθ 4 ] ∏ q ( yi1 , ai1 , ci ) q ( yi 2 , ai 2 , ci ) , i =1

π (θ1 | yang lain) ∝ θ1 p −1 exp p[− p6θ1 ] w2 , 5

⎡ (b − p7 ) 2 ⎤ ⎥ w2 . 2 p8 ⎦ ⎣

π (b | yang lain) ∝ exp ⎢−

Untuk variabel laten, distribusi bersyarat penuh dapat ditentukan dengan ⎡ ai 2 θ 3 ⎤ π (ai | yang lain) ∝ exp ⎢− ⎥ q ( yi1 , ai , ci ) q ( yi 2 , ai , ci ) 2 ⎦ ⎣

untuk i=1,2, ..., n, ⎡ ci 2 θ 4 ⎤ π (ci | yang lain ) ∝ exp ⎢− ⎥ q ( yi1 , ai , ci ) q ( yi 2 , ai , ci ) 2 ⎦ ⎣

untuk i=1,2, ..., n + m, Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

1 - 56

⎡ 2(ai1 − 0,5 ai 2 ) 2 θ 3 ⎤ ⎥ q( yi1 , ai1 , ci ) 2 ⎣ ⎦

π (ai1 | yang lain) ∝ exp ⎢− untuk i=1,2, ..., m,

⎡ 2(ai 2 − 0,5 ai1 ) 2 θ 3 ⎤ ⎥ q( yi 2 , ai 2 , ci ) 2 ⎣ ⎦

π (ai 2 | yang lain) ∝ exp ⎢− untuk i=1,2, ..., m.

Untuk mengkonstruksikan penyampel Markov Chain Monte Carlo (MCMC), kita menggunakan algoritma Gibbs Sampler sebagai berikut : 1. Inisialisasi parameter [θ3]0, [θ4]0, [θ1]0, b0, [a1]0, [c1]0, ...…., [an]0, [cn]0, [a11]0, [a12]0, [c1]0, ….,[am1]0 , [am2]0, [cm]0, dan diset j=1. 2. Dibangkitkan [θ3]j ∼ θ3 → π(θ3 | yang lain) dengan yang lain berarti parameter yang lain. 3. Dibangkitkan [θ4]j ∼ θ4 → π(θ4 | yang lain). 4. Dibangkitkan θ1 ∼ θ1 → π(θ1 | yang lain). 5. Dibangkitkan bj ∼ b → π(b | yang lain). 6. Dibangkitkan [ai]j ∼ ai → π(ai | yang lain). 7. Dibangkitkan [ci]j ∼ ci → π(ci | yang lain). 8. Dibangkitkan [ai1]j ∼ ai1 → π(ai1 | yang lain). 9. Dibangkitkan [ai2]j ∼ ai2 → π(ai2 | yang lain). 10. Langkah 2 sampai 9 untuk j = 1, 2, ... sampai rantai Markov (Markov chain) menjadi konvergen.

Distribusi bersyarat di atas tidak ada yang merupakan anggota keluarga standard. Untuk menyampelnya kita menggunakan algoritma Metropolis-Hasting yang diusulkan sebagai berikut : 1. Distribusi eksponensial dengan rata-rata nilai θ3 sebelumnya untuk parameter θ3 yaitu

p ( y |θ 3 ) =

⎛ y⎞ exp⎜⎜ − ⎟⎟, y > 0 , θ3 ⎝ θ3 ⎠ 1

2. Distribusi eksponensial dengan rata-rata nilai θ4 sebelumnya untuk parameter θ4, Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

1 - 57

3. Distribusi eksponensial dengan rata-rata nilai θ1 sebelumnya untuk parameter θ1, 4. Distribusi normal dengan rata-rata nilai b sebelumnya dan variansi 1 untuk variabel laten b, 5. Distribusi normal dengan rata-rata nilai ai sebelumnya dan variansi 1 untuk variabel laten ai, 6. Distribusi normal dengan rata-rata nilai ci sebelumnya dan variansi 1 untuk variabel laten ci, 7. Distribusi normal dengan rata-rata nilai ai1 sebelumnya dan variansi 1 untuk variabel laten ai1, 8. Distribusi normal dengan rata-rata nilai ai2 sebelumnya dan variansi 1 untuk variabel laten ai2.

C. Studi Simulasi, Hasil dan Pembahasan Paket program R digunakan untuk membangkitkan data kategorikal pada sampel pasangan kembar MZ dan DZ dengan menggunakan model pada persamaan (2). Dalam simulasi ini, kami memilih menggunakan 400 pasangan kembar dan menggunakan input pengaruh faktor genetik σ2A = 0,3, pengaruh lingkungan bersama σ2C = 0,4 dan pengaruh lingkungan tidak bersama σ2E = 0,3 untuk memberikan gambaran bagaimana metode ini digunakan. Tabel 1 dan Tabel 2 merupakan contoh dari hasil simulasi tersebut. Dari tabel tersebut, terlihat bahwa terdapat 400 pasangan kembar. Tabel 1 berarti bahwa dari 400 pasang tersebut, terdapat 313 pasang yang keduanya tidak berpenyakit tertentu yang menjadi perhatian (categorical trait), 30 pasang kembar yang orang kembar 1 tidak berpenyakit sedangkan orang kembar 2 berpenyakit, 25 pasang kembar yang orang kembar 1 berpenyakit sedangkan orang kembar 2 tidak berpenyakit, dan 32 pasang yang keduanya berpenyakit. Tabel 1. Tabel kontingensi dari status berpenyakit tertentu (kategori 1) atau tidak (kategori 0) pada pasangan kembar MZ.

Kembar 2 Kategori 0

Kategori 1

Kategori 0

313

30

Kategori 1

25

32

Kembar 1


1 - 58

Tabel 2. Tabel kontingensi dari status berpenyakit tertentu (kategori 1) atau tidak (kategori 0) pada pasangan kembar DZ.

Kembar 2 Kembar 1

Kategori 0

Kategori 1

Kategori 0

300

40

Kategori 1

34

26

Tabel 3. Data hasil simulasi dari status berpenyakit tertentu atau trait kategori (categorical trait) pada pasangan kembar MZ dan DZ serta estimasi kembali pengaruh faktor genetik σ2A, lingkungan bersama σ2C dan lingkungan tidak bersama σ2E dengan menggunakan metode Bayesian.

MZ

DZ

Metode Bayesian

No 1 2 3

(0,0) 313 298 305

(0,1) 30 33 34

(1,0) 25 29 29

(1,1) 32 40 32

(0,0) 300 306 308

(0,1) 40 34 37

(1,0) 34 38 28

(1,1) 26 22 27

σ2A

σ2C

σ2E

0.26 (0.10, 0.55) 0.34 (0.04, 0.63) 0.20 (0.06, 0.52)

0.36 (0.20, 0.49) 0.36 (0.12, 0.63) 0.47 (0.17, 0.63)

0.38 (0.28, 0.48) 0.30 (0.20, 0.42) 0.33 (0.22, 0.44)

4 5

292 318

27 22

36 27

45 33

296 284

44 41

37 41

23 31

0.56 (0.27, 0.75) 0.55 (0.10, 0.67)

0.16 (0.02, 0.41) 0.19 (0.02, 0.50)

0.27 (0.18, 0.38) 0.26 (0.16, 0.38)

Bila simulasi dilakukan n=5 kali maka akan diperoleh hasil lengkap seperti dinyatakan pada Tabel 3. Berdasarkan data kategorikal pasangan kembar MZ dan DZ, untuk mengestimasi besarnya komponen genetik Vg=σ2A, komponen lingkungan bersama Vs=σ2C dan komponen lingkungan tidak bersama Vu=σ2E metode yang telah dijelaskan di atas diimplementasikan dalam WinBUGS versi 1.4 (untuk gambaran penggunaan WINBUGS versi 1.4 dalam estimasi Bayesian, lihat makalah Cowles, 2004). Untuk parameter 1/ν2, 1/η2 dan 1/κ2, dipilih prior Γ(1,1). Berdasarkan pada prior ini, variansi dari variabel laten X1 yang dinyatakan dengan V(X1) = ν2 + η2 + κ2 akan memberikan probabilitas yang tinggi pada interval (2,20). Prior dari b′ digunakan distribusi N(0,1) sehingga dalam pandangan persamaan (3), parameter b memberikan probabilitas yang tinggi pada interval ( -3√(20-2), 3√(20-2)) sehingga prior distribusi N( 0 , 18) akan merupakan pemilihan yang beralasan untuk parameter b. Dalam hal ini digunakan median dari rantai Markov dalam MCMC untuk mengestimasi ketiga komponen tersebut. Nilai dalam tanda

kurung

memberikan

estimasi interval kredibel 95 % (credible interval) untuk metode Bayesian. Gambar 1 dan Gambar 2 masing-masing memberikan plot MCMC dan estimasi density (kernel density estimation) untuk parameter-parameter yang diperlukan. Apabila digunakan Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

1 - 59

input pengaruh faktor genetik σ2A = 0,8, pengaruh lingkungan bersama σ2C = 0,1 dan pengaruh lingkungan tidak bersama σ2E = 0,1 akan dihasilkan Tabel 4 sedangkan bila digunakan input pengaruh faktor genetik σ2A = 0,1, pengaruh lingkungan bersama

σ2C = 0,4 dan pengaruh lingkungan tidak bersama σ2E = 0,3 akan dihasilkan Tabel 5. Berdasarkan pada Tabel 3, Tabel 4 dan Tabel 5, terlihat bahwa metode Bayesian memberikan estimasi yang relatif memuaskan karena sesuai dengan parameter yang digunakan untuk membangkitkan data pasangan kembar MZ dan DZ.

Tabel 4. Data hasil simulasi dari status berpenyakit tertentu atau trait kategori (categorical trait) pada pasangan kembar MZ dan DZ serta estimasi kembali pengaruh faktor genetik σ2A, lingkungan bersama σ2C dan lingkungan tidak bersama σ2E dengan menggunakan metode Bayesian. Dalam hal ini digunakan input σ2A = 0,8, σ2A = 0,1 dan σ2A = 0,1. MZ

DZ

Metode Bayesian

No

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

σ2A

σ2C

σ2E

1

313

17

21

49

285

46

40

29

0.77 (0.52, 0.89)

0.12 (0.03, 0.34)

0.12 (0.06, 0.19)

2

321

13

20

46

306

32

39

23

0.79 (0.57, 0.92)

0.11 (0.01, 0.29)

0.09 (0.05, 0.15)

3

323

19

21

37

302

42

35

21

0.68 (0.43, 0.85)

0.15 (0.02, 0.38)

0.17 (0.09, 0.26)

4

319

12

20

49

294

34

45

27

0.85 (0.57, 0.94)

0.07 (0.01, 0.32)

0.08 (0.04, 0.15)

5

320

16

13

51

288

36

46

30

0.81 (0.58, 0.91)

0.12 (0.03, 0.38)

0.07 (0.04, 0.17)

0.80

0.2

0.95

0.6

1.10

Gambar 1. Plot MCMC dengan ukuran sampel 10000 untuk batas b’ pengaruh faktor genetik Vg = σ2A, lingkungan bersama Vs = σ2C dan lingkungan tidak bersama Vu = σ2E .

0

4000

8000

0

8000

Vg

0.1

0.2

0.4

0.4

0.7

b'

4000

0

4000

8000

Vs


0

4000

8000

Vu

1 - 60

Tabel 5. Data hasil simulasi dari status berpenyakit tertentu atau trait kategori (categorical trait) pada pasangan kembar MZ dan DZ serta estimasi kembali pengaruh faktor genetik σ2A, lingkungan bersama σ2C dan lingkungan tidak bersama σ2E dengan menggunakan metode Bayesian. Dalam hal ini digunakan input σ2A = 0,1, σ2A = 0,8 dan σ2A = 0,1. MZ

DZ

Metode Bayesian

No

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

σ2A

σ2C

σ2E

1

321

22

13

44

324

18

18

40

0.10 (0.01, 0.24)

0.80 (0.67, 0.89)

0.10 (0.05, 0.15)

2

318

20

19

43

301

27

31

41

0.19 (0.07, 0.45)

0.65 (0.42, 0.78)

0.14 (0.08, 0.22)

3

307

19

17

57

315

27

24

34

0.25 (0.06, 0.55)

0.65 (0.36, 0.82)

0.10 (0.05, 0.17)

4

320

20

18

42

321

15

21

43

0.05 (0.00, 0.16)

0.84 (0.72, 0.90)

0.11 (0.07, 0.17)

5

310

16

24

50

307

17

21

55

0.06 (0.02, 0.17)

0.84 (0.73, 0.90)

0.10 (0.06, 0.15)

0.0

1.0

2.0

0 2 4 6 8

Gambar 2. Estimasi densitas untuk batas b’ pengaruh faktor genetik Vg = σ2A, lingkungan bersama Vs = σ2C dan lingkungan tidak bersama Vu = σ2E .

0.80

0.90

1.00

1.10

0.0

0.2

0.6

0.8

Vg

0

2

4

0.0 1.0 2.0

6

b'

0.4

0.0

0.2

0.4

0.6

Vs

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Vu

Pendekatan Bayesian dengan bantuan MCMC dalam kasus ini merupakan masalah yang relatif baru (Eaves dan Erkanli, 2003). Makalah atau hasil penelitian lain yang terkait dengan pendekatan Bayesian dalam studi pasangan kembar (twin study) sebagai contohnya adalah ditulis oleh Eaves et al. (2004), Eaves et al. (2005), van den Berg et al. (2006) dan Setiawan (2007).

D. Kesimpulan Dalam makalah ini telah dijelaskan bagaimana pendekatan Bayesian digunakan untuk menentukan besarnya pengaruh genetik terhadap sifat fenotip tertentu dari data yang diperoleh dengan cara simulasi. Penelitian ini dapat dikembangkan pada studi simulasi yang menggunakan dua trait kategorikal pada pasangan kembar MZ dan DZ.


1 - 61

E. Daftar Pustaka [1] Lange, K. [2002], Mathematics and Statistical Methods for Genetic Analysis, Springer, New York [2] Berg, S. M. van den, Setiawan, A., Bartels, M., Polderman, T.J.C., van der Vaart, A.W., Boomsma, D.I., (2006), Individual Differences in Puberty Onset in Girls : Bayesian Estimation of Heritabilities and Genetic Correlations, Behavior Genetics, 36 (2) : 261-270. [3] Cowles, M. K., (2004), Review of WinBUGS 1.4, Am. Stat. 58:330-336. [4] Eaves, L. J., and Erkanli, A. (2003). Markov Chain Monte Carlo approaches to analysis of genetic and environmental components of human developmental change and G × E interaction. Behav. Genet. 33:279-299· [5] Eaves, L., Silberg, J., Foley, D., Bulik, C., Maes H., Erkanli A., Angold A., Costello E. J., Worthman C. (2004). Genetic and environmental influences on the relative timing of pubertal change, Twin Res. 7:471-481. [6] Eaves, L., Erkanli, A., Silberg, J., Angold, A., Maes, H. H., Foley, D., (2005), Application of Bayesian Inference using Gibbs Sampling to Item Response Theory Modeling of Multi Sympton genetic Data, Behavior Genetics 35 (6) : 765-780. [7] Setiawan, A. [2007] , Statistical Data Analysis of Genetic Data in Twin Studies and Association Studies, Vrije Universiteit, Amsterdam, Ph.D Thesis, ISBN 978-909021728. [8] Setiawan, A. [2008] , Penentuan Besarnya Pengaruh Faktor Genetik terhadap Sifat Fenotip dengan Metode Pasangan Kembar, Prosiding Seminar Basic Science V 2008 di Universitas Brawijaya, Malang.


1 - 62

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Recommend Documents