ISBN : 978-979-16353-3-2
PROSIDING
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
“Penelitian dan Pendidikan Matematika serta kontribusinya dalam Upaya Pencapaian WCU (World Class University) ” Yogyakarta, 5 Desember 2009
Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Kerjasama dengan Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS) wilayah Jateng dan DIY
Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2009
PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 5 Desember 2009 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
Artikel‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika pada tanggal 5 Desember 2009 di Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
Tim Penyunting Artikel Seminar : 1. 2. 3. 4.
Prof. Dr. Rusgianto Dr. Hartono Dr. Jailani Sahid, M.Sc
Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2009
DAFTAR MAKALAH kode
Nama pemakalah
Judul
Hal 1
A.1
Imam Fahcruddin
Spectrum Pada Graf Star (
A.2 A.3
M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. Lucia Ratnasari/ Y.D. Sumanto
TEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung KOMPLEMEN GRAF FUZZY
An.1
Muslim Ansori
RUANG LINEAR BERNORMA CESS H , L2 ([ a, b])
An.2
Drajad Maknawi /Drs. Mulich, M.Si
An.3
Rudianto Artiono
An.4
Sujito, S.T., M.T
An.5
Hairur Rahman
P.1
Drs. M. Nur Yadil, M.Si
P.2
Drs. Syaiful, M.Pd
P.3
Dra. Dwi Astuti, M.Si/ Bambang Hudiono
P.4
Budiyono
Kompetensi Guru Sekolah Dasar Dalam Memahami Matematika SD
119
P.5
Budiyono /Wanti Guspriati
Jenis-Jenis Kesalahan Dalam Menyelesaikan Soal Persamaan Differensial Biasa (PDB) Studi Kasus Pada Mahasiswa Semester V Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo
131
P.6
Drs. Abusyafik, M. Pd./ Siti Khanifah, S. Pd
P.7
Dra. Sulis Janu Hartati, M.T
Karakteristik Proses Berpikir Siswa Kelas III Sekolah Dasar Pada Saat Melakukan Aktivitas Membagi
153
P.8
Drs. Hamdani, M.Pd.
Pengembangan Pembelajaran Dengan Mathematical Discourse Dalam Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematik Pada Siswa Sekolah Menengah Pertama
163
P.9
Dra. Tina Yunarti, M.Si
Fungsi Dan Pentingnya Pertanyaan Dalam Pembelajaran
174
P.10
Supratman
185
P.11 P.12
Akhmad Jazuli Agustin Ernawati, S.Pd./ Sitti Maesuri Patahuddin
Membandingkan Hasil Belajar Matematika Siswa Yang Pembelajarannya Menggunakan Model Kooperatif Tipe Jigsaw Dengan Tipe Stad Pada Materi Lingkaran Berfikir Kreatif Dalam Kemampuan Komunikasi Matematika
) Dan Graf Bipartisi Komplit (
)
Dengan
(
)
Definisi Tipe Riemann untuk Integral Lebesgue Discounted Feynman Kac Untuk Mencari PDP Pada Penentuan Harga Opsi Saham Karyawan Setelah Vesting Period Implementasi Lagrange Equation Pada Optimasi Incremental Fuel Cost Pembangkit Energi Guna Penjadwalan Pembangkit Berbasis Metode Dynamic Programming Globally Small Riemann Sums (Gsrs) Integral Henstock-Pettis Pada Ruang Euclide Rn Penerapan Model Pembelajaran Van Hiele Untuk Meningkatkan Pemahaman Siswa SMP Karunadipa Palu Terhadap Konsep BangunBangun Segiempat Model Pengajaran Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Pada Guru SMP Perilaku Metakognisi Anak Dalam Matematika: Kajian Berdasarkan Etnis Dan Gender Pada Siswa SMP Di Kalimantan Barat
PEMBELAJARAN FPB DAN KPK DENGAN DAN TANPA ALAT PERAGA PADA SISWA KELAS V SD NEGERI BLENGORKULON KECAMATAN AMBAL KABUPATEN KEBUMEN TAHUN PELAJARAN 2008/2009
Pemanfaatan Internet dalam Mempersiapkan Guru mengajar di Kelas RSBI
12 22 31 38 49 57 72 81 92 107
141
209 221
1
P.13 P.14
Alfath Famela Rokhim/ Sitti Maesuri Patahuddin Darmadi, S.Si, M.Pd.
P.15
Endang Rahayu, S.Si, M.Pd.
P.16
Armiati
P.17
Sitti Maesuri Patahuddin/ Siti Rokhmah/ Mohamad Nur Drs. Mustangin, M.Pd / Agustin Debora MS Drs.Dwikoranto,M.Pd
P.18 P.19 P.20 P.21
Siti Rokhmah/ Siti Maesuri Patahuddin / Mohamad Nur Agustin Debora MS, Drs. Mustangin, MPd Dra. Santi Irawati, M.Si,Ph.D
P.22
Kartini, S.Pd. M.Si
P.23
Ariyadi Wijaya, M.Sc
P.24
Abdussakir, M.Pd/ Nur Laili Achadiyah, S.Pd
P.25
Djamilah Bondan Widjajanti, M.Si
P.26
Sugiman, M.Si
P.28
Kadir, S.Pd., M.Si.
P.30
Risnanosanti
P.31
Abdul Qohar
P.32
Penggunaan Permainan Online Dalam Belajar Matematika Spektrum Hasil Belajar Analisis Real Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika IKIP PGRI Madiun Tahun Akademik 2008/2009 Pembelajaran Konstruktivisme Ditinjau Dari Gaya Belajar Siswa Komunikasi Matematis dan Kecerdasan Emosional
234
Pengembangan LKS berbasis ICT pada Pembelajaran Matematika SMP RSBI Penerapan Global Learning Dan Mind Mapping Dalam Pembelajaran Matematika Sebagai Jaringan Konsep MENINGKATKAN KOMPETENSI GURU MATEMATIKA DAN IPA SMP MELALUI KEGIATAN LESSON STUDY
281
LKS Matematika Berbasis ICT Untuk Memfasilitasi Siswa Berpikir Kritis
247 252 270
295 310 325
Mengoptimalkan Memory Jangka Panjang Siswa SMPN1 Pajarakan dalam Memaknai Konsep Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran Dengan Penyandian Peranan Representasi dalam Pembelajaran Matematika
336
Hypothetical Learning Trajectory dan Peningkatan Pemahaman Konsep Pengukuran Panjang
373
PEMBELAJARAN KELILING DAN LUAS LINGKARAN DENGAN STRATEGI REACT PADA SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 6 KOTA MOJOKERTO
361
388
KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA: APA dan BAGAIMANA MENGEMBANGKANNYA PANDANGAN MATEMATIKA SEBAGAI AKTIVITAS INSANI BESERTA DAMPAK PEMBELAJARANNYA
402
Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMP melalui Penerapan Pembelajaran Kontekstual Pesisir PENGGUNAAN PEMBELAJARAN INKUIRI DALAM MENGEMBANGKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF SISWA SMA DI KOTA BENGKULU PEMAHAMAN MATEMATIS SISWA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA PADA PEMBELAJARAN DENGAN MODEL RECIPROCAL TEACHING
428
Ali Mahmudi, M.Pd
Menulis sebagai Strategi Belajar Matematika
466
P.33
Dra. Sri Hastuti Noer, M.Pd.
473
P.34
Dra. Nila Kesumawati, M. Si
P.35
Eri Satria
Peningkatan Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa SMP Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP Melalui Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik Model Pembelajaran Computer Support Collaborative Learning (CSCL)
S.1
S.3
H. Bernik Maskun *)
S.4
Zulhanif , Yadi Suprijadi
Pendekatan Metode Bayes Untuk Pendugaan Pengaruh Interaksi Pada Model Ammi (Bayesian Approach for Estimating Interaction Effect of AMMI Model) Analisis Interaksi Genotipe Lingkungan Menggunakan Partial Least Square Path Modeling Pengujian Hipotesis Rata-Rata Berurut Menggunakan Statistik Chi-Kuadrat Rank (Pendekatan Non Parametrik) Perbandingan Mekanisme Data Hilang Pada Model Normal
503
S.2
Pika Silvianti, Khairil A. Notodiputro, I Made Sumertajaya I Gede Nyoman Mindra Jaya
414
441 453
484 494
514 530 544
2
S.5
Mohammad Masjkur
Metode Kemungkinan Maksimum Em Pendugaan Parameter Model Nonlinear Jerapan Fosfor
551
S.6
Enny Supartini
560
S.7
Neneng Sunengsih
Menentukan Statistik Pengujian Untuk Eksperimen Faktorial dengan Dua Kali Pembatasan Pengacakan Seleksi Variabel Dalam Analisis Regresi Multivariat Multipel
S.8
Liana Kusuma Ningrum / Winita Sulandari, M.Si
S.9
Retno Hestiningtyas / Winita Sulandari, M.Si
S.10
567
Penerapan Model Arfima (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average) Dalam Peramalan Suku Bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI) Pemodelan Tarch Pada Nilai Tukar Kurs Euro Terhadap Rupiah
581
Aplikasi Multidimensional Scalling (Studi Kasus : Analisis Segmentasi dan Peta Posisi UIN Sunan Kalijaga terhadap Perguruan Tinggi di Yogyakarta) Penentuan Banyak Kelompok dalam Fuzzy CMeans Cluster Berdasarkan Proporsi Eigen Value Dari Matriks Similarity dan Indeks XB (Xie dan Beni)
599
S.11
Epha Diana Supandi, S.Si., M.Sc./ Dra. Khurul Wardati, M.Si./ Iwan Kuswidi, S.Pd.I., M.Sc. Anindya Apriliyanti Pravitasari
S.12
Wahyu Wibowo
633
S.13 S.14
Achmad Zanbar Soleh / Peris Siregar/ Resa Septiani Pontoh Lisnur Wachidah
METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK SPLINE SELEKSI VARIABEL KUALITATIF MELALUI PROPORTIONAL REDUCTION IN UNCERTAINTY (PRU) Uji Kecocokan Chi-Kuadrat Untuk Distribusi Poisson Pada Data Asuransi
S.15
Danang Teguh Qoyyimi
Model Suku Bunga Multinomial
666
S.16
Hery Tri Sutanto
MULTI KOLLINIERITAS DALAM REGRESI MULTIPLE LOGISTIK
676
S.17
Hery Tri Sutanto
Cluster Analysis
681
S.18
Anna Chadidjah/ Indra Elfiyan
Model Regresi Data Panel untuk Menaksir Realisasi Total Investasi Asing dan Dalam Negeri .(Studi Kasus di Provinsi Jawa Barat)
690
S.19
Siti Sunendiari
Model Regresi Linier Dalam Melihat Keberhasilan Belajar Siswa SMU
731
S.20
Anik Djuraidah
746
S.21
Anik Djuraidah
Indeks Kerentanan Sosial Ekonomi Untuk Bencana Alam Di Wilayah Indonesia Evaluasi Status Ketertinggalan Daerah Dengan Analisis Diskriminan
756
S.22
Isnani, M.Si
Penggunaan Bootstrap Untuk Mendeteksi Keakuratanan Kriging
772
S.23
Dr.rer.nat. Dedi Rosadi, M.Sc
Pemanfaatan Software Open Source R dalam pemodelan ARIMA
786
S.24
Indahwati / Dian Kusumaningrum / Wiwid Widiyani
APLIKASI REGRESI DUA LEVEL TERHADAP NILAI AKHIR METODE STATISTIKA
796
S.25
Indahwati / Yenni Angraeni /Tri Wuri Sastuti
PEMODELAN REGRESI TIGA LEVEL PADA DATA PENGAMATAN BERULANG
816
S.26
Yusep Suparman
833
S.27
Ridha Ferdhiana, M.Sc
Perlukah Cross Validation dilakukan? Perbandingan antara Mean Square Prediction Error dan Mean Square Error sebagai Penaksir Harapan Kuadrat Kekeliruan Model Uji Alternatif Data Terurut Perbandingan antara Uji Jonckheere Terpstra dan Modifikasinya
591
623
646 653
840
3
Pelanggaran Asumsi Normalitas Model Multilevel Pada Galat Level yang Lebih Tinggi SENSITIFITAS INDIKATOR KESELURUHAN MULTIKOLINEARITAS DALAM MODEL REGRESI LINEAR MULTIPEL SUATU MODEL HARGA OBLIGASI DAMPAK PENURUNAN HARGA BBM JENIS PREMIUM TERHADAP ANGKA INFLASI DI KOTA YOGYAKARTA (Studi Aplikasi Model Intervensi dengan Step Function) Koefisien Determinasi Regresi Fuzzy Simetris Untuk Pemilihan Model Terbaik Pengaruh Kemampuan Awal dan Kemampuan Berfikir Logis/penalaran terhadap Kemampuan Matematika (Studi Komparasi Sensitivitas Program Lisrel 8.51 dan Amos 6.0) PERAMALAN DERET WAKTU MULTIVARIAT SEASONAL PADA DATA PARIWISATA DENGAN MODEL VAR-GSTAR Desain Linear Quadratic Regulator pada Sistem Inverted Pendulum Membangun Software Aplikasi pada Antrian Jaringan Jackson untuk menentukan Performansi Optimal Simulasi Pengendalian Struktur berbasis pada Material Cerdas
849
S.28
Bertho Tantular
S.30
Dien Sukardinah
S.31 S.32
Lienda Noviyanti Kismiantini / Dhoriva Urwatul Wutsqa
S.33 S.35
Iqbal Kharisudin Heri Retnawati
S.36
Dhoriva Urwatul Wutsqa /Suhartono
T.1 T.2 T.3
Muhammad Wakhid Musthofa, M.Si Gumgum Darmawan, Okira Mapanta , Trifandi Lasalewo Totok Yulianto
T.4
John Maspupu
ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU KEDIP (FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET
993
T.5
John Maspupu
PENENTUAN HUBUNGAN EKSPONEN SPEKTRAL DAN DIMENSI FRAKTAL SINYAL ULF GEOMAGNET
1000
T.6
Gatot Riwi Setyanto, Drs., M.Si.
RISIKO PENDANAAN PENSIUN ACCRUED BENEFIT COST METHOD DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PENGARUH KURS VALUTA ASING
1010
T.7
Bachtiar Anwar
Analyzing Coronal Mass Ejection of July 10, 2005 and Its Effect on the Earth’s Magnetosphere
1021
T.8
Sangadji
FORMULA HERON: TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK
1033
T.9
Dwi Lestari / Atmini Dhoruri, MS
T.10
Renny, M.Si
T.11
Rubono Setiawan
T.12
I Made Sulandra
T.13
Dwi Ertiningsih, Widodo
T.14
M. Navi’ Jauhari Ulinnuha
T.15
Habirun
ANALISIS MODEL VARIASI HARIAN KOMPONEN GEOMAGNET BERDASARKAN POSISI MATAHARI
T.16
Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat / Sulistyono
⎛1⎞ PEMETAAN w = ⎜ ⎟ DAN HASIL PEMETAANNYA ⎝z⎠
1127
T.17
Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat / Siska Ayunani Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.
METODE FINALTI UNTUK MENENTUKAN BERAT SAPI OPTIMAL
1139
Metode Levenberg-Marquardt Untuk Masalah Kuadrat Terkecil Nonlinear
1152
T.18
Model Epidemi Berdasarkan Umur dan Kriteria Threshold MODEL MATEMATIKA DALAM KASUS EPIDEMIK KOLERA DENGAN POPULASI KONSTAN Analisa Kestabilan Ekuilibrium Model Matematika Berbentuk Sistim Persamaan Diferensial Tundaan dengan Waktu Tundaan Diskrit Algoritma Groebner Walk Lambat? Optimalisasi dan Pemodelan Inventory dengan Dua Gudang Penyimpanan untuk Barang yang Mengalami Penyusutan dengan Backlog Shortage dan Waktu Tunggu (Lead Time) Fuzzy Perancangan Software Batik Berbasis Geometri Fraktal
α
862 871 879 895 910 933 950 960 979
1040 1051 1064 1078 1093 1109 1116
4
T.19
Dra. Asmara Iriani Tarigan, M.Si
Optimasi Jadwal Ujian di Perguruan Tinggi dengan Metode Branch and Bound
1162
T.20
Fitriana Yuli Saptaningtyas
Metode Volume Hingga Untuk Mengetahui Pengaruh Sudut Pertemuan Saluran Terhadap Profil Perubahan Sedimen Pasir Pada Pertemuan Sungai
1174
T.21
Nikenasih Binatari
Model SIR untuk Ketahanan Behavioural
1187
T.22
Kuswari Hernawati
Optimalisasi SEO (Search Engine Optimizer) sebagai upaya meningkatkan unsur Visibility dalam Webometric
1198
T.23
Isnaini Rosyida
PENENTUAN BILANGAN KROMATIK FUZZY PADA GRAF FUZZY GF(V,EF) MELALUI BILANGAN KROMATIK PADA CUT Gα(V,Eα)
1210
5
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
T-16 α
⎛1⎞ PEMETAAN w = ⎜ ⎟ DAN HASIL PEMETAANNYA ⎝z⎠ Oleh : H. A. Parhusip1 dan Sulistyono2 Program Studi Matematika Industri dan Statistika Fakultas Sains dan Matematika (FSM) Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW) (www.uksw.edu) 1
[email protected] 2 mahasiswa S1, matematika –FSM‐UKSW Abstrak : Pemetaan w = (1 / z ) α , dengan α ∈ Z − (himpunan bulat negatif) dan α ∈ (0,1) serta hasil pemetaannya ditunjukkan pada makalah ini. Dapat ditunjukkan pemetaan ini konformal. Hasil pemetaan diperoleh dengan melakukan transformasi geometri. Kata kunci : pemetaan konformal, fungsi analitik, persegi 1. Pendahuluan Pemetaan konformal adalah pemetaan yang mempertahankan besaran dan arah sudut diantara sebarang dua kurva yang berpotongan di suatu titik tertentu. Pada makalah terdahulu (Parhusip dan Sulisyono, 2009) ditunjukkan hasil pemetaan α
⎛1⎞ w = ⎜ ⎟ untuk α = 1 dan α = 2 . Hasil pemetaan ditunjukkan dengan terlebih dahulu ⎝z⎠ ditunjukkan untuk pemetaan garis vertikal dan garis horizontal secara terpisah. Selanjutnya dilakukan pemetaan untuk 1 bidang persegi. Untuk persegi lebih dari 1 dilakukan dengan menggunakan transformasi geometri seperti pencerminan. Pada α
⎛1⎞ makalah ini akan ditunjukkan pemetaan w = ⎜ ⎟ untuk berbagai nilai α . ⎝z⎠ Pada Bab II ditunjukkan pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya yang merupakan hasil penelitian sebelum ini (Parhusip dan Sulisyono, 2009) . Pada Bab III dijelaskan cara melakukan penelitian ini. Hasil dan Pembahasan ditunjukkan pada Bab IV. Selanjutnya kesimpulan ditunjukkan pada Bab terakhir. 2.
Pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya Pemetaan garis vertikal dan garis horizontal
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1127
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Telah diketahui bahwa pemetaan garis vertikal dan haris horisontal oleh w=1/z
merupakan persamaan lingkaran (Parhusip dan Sulisyono, 2009). Beberapa hasil pemetaan untuk garis vertikal dan horizontal ditunjukkan pada Gambar 1‐3. Sedangkan untuk y = a dan garis x = b (a,b ≠ 0 ) dengan fungsi pemetaan w = 1/z untuk berbagai nilai a dan b yang berbeda, yaitu a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b > 0 dan a,b < 0 berturut‐turut ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 1. Persamaan garis x=c, x=d dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran , c,d > 0
Gambar 2. Persamaan garis x=c, x=d dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran ,c,d < 0.
Gambar 3. Persamaan garis x=c dan x=d dan bayangannya untuk c>0 dan d<0
Gambar 4. Persamaan garis y=a, x=b dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran dengan a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b > 0 dan a,b < 0. Bayangan persegí untuk 1 persegi
Gambar 4a menunjukkan bahwa a,b > 0 dan bayangan digambarkan dalam
lingkaran penuh. Bayangan pada Gambar 4a ini dapat dibatasi (tidak sebagai lingkaran Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1128
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
penuh) jika kita juga membatasi persegí yang terbentuk pada Gambar 4a, yaitu Gambar 4a diubah sedemikian sehingga terbentuk Gambar 5.
Gambar 5. Persegi ABCO dan bayangannya dengan pemetaan w=1/z. Bayangan pada Gambar 5b diperoleh pertama kali mencari batas dari bayangannya yaitu titik A' , B' dan C ' dan kemudian menghubungkan titik‐titik tersebut. Untuk titik asal tetap dipetakkan ke titik asal, karena titik asal O(0,0) adalah titik singular atau kesingularan dari w=1/z. Untuk titik A(0,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi
1 w=1/z ke titik A' (0,− ) pada bidang w. Hal ini karena titik A(0,a) pada bidang z dapat a ditulis sebagai z = 0+ia, sehingga w =
1 1 1 = = − dan karena w = u + iv maka z 0 + ia a
1 diperoleh titik A' (0,− ) . a
Untuk titik B(b,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi pemetaan w=1/z
ke titik B' ⎛⎜
b a ⎞ ,− 2 ⎟ pada bidang w. Titik B' diperoleh dengan menuliskan titik 2 a + b2 ⎠ ⎝a +b 2
B sebagai z = b + ia , sehingga diperoleh w =
b − ia sehingga diperoleh koordinat B' a2 + b2
⎛1 ⎞ tersebut. Untuk selanjutnya titik C(b,0) pada bidang z dipetakkan ke titik C ' ⎜ ,0 ⎟ ⎝b ⎠ pada bidang w oleh fungsi pemetaan w=1/z Kemudian titik‐titik tersebut dihubungkan untuk memperoleh Gambar 5b. Untuk selanjutnya kita dapat menyusun hasil pemetaan untuk tiap persegi pada kuadran yang lain dengan cara melakukan pencerminan.
Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu u
adalah
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1129
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
⎡1 0 ⎤ XR = ⎢ ⎥ ⎣0 − 1⎦
(3) ⎡xA ⎤ ⎢y ⎥ ⎣ A⎦
sehingga jika koordinat suatu titik A dinyatakan dalam notasi vektor posisi
⎡x ⎤ dengan koordinat bayangannya adalah A' sebagai vektor posisi ⎢ A' ⎥ maka dapat ⎣ y A '⎦
ditulis ⎡ x A' ⎤ ⎡xA ⎤ ⎢ y ⎥ = X R ⎢ y ⎥ . ⎣ A' ⎦ ⎣ A⎦
Kita dapat melakukan transformasi pencerminan untuk titik B dan C untuk mendapatkan koordinat pencerminannya berturut‐turut B' dan C ' . Kita dapat melakukan pencerminan dengan cara serupa sehingga dapat diperoleh berbagai hasil pemetaan yang ditunjukkan pada Gambar 6. Gambar 6 diperoleh dengan melakukan pencerminan Gambar 5a dan Gambar 5b terhadap Sumbu y dan sumbu v secara berturut‐turut
menggunakan
matriks
transformasi
⎡1 0 ⎤ XR = ⎢ ⎥ ⎣0 − 1⎦
dan
⎡− 1 0 ⎤ XR = ⎢ ⎥ . ⎣ 0 − 1⎦
Gambar 6. Pemetaan 1 persegi dan hasil pemetaannya melalui pencerminan. 2.3 Bayangan persegí untuk n x n persegi
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1130
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Dengan menggabungkan hasil gambar‐gambar yang diperoleh pada subbab
sebelum ini beserta bayangannya, diperoleh beberapa hasil pemetaan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7. Untuk persegi dengan jumlah yang lebih banyak, bayangannya dapat diperoleh dengan langkah‐langkah yang sama.
Gambar 7a. Ilustrasi perseguí 4 x 4 yang dipetakkan (kiri) dan hasil pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.
Gambar 7b. Ilustrasi perseguí 14 x 14 yang dipetakkan (kiri) dan hasil pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.
Modifikasi pemetaan w=1/z dan hasil pemetaannya
Modifikasi yang ditunjukkan pada makalah ini adalah menyusun pemetaan α
⎛1⎞ w = ⎜ ⎟ dan α ∈ N (himpunan bilangan asli). Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan ini ⎝z⎠ merupakan pemetaan konformal dengan menyatakan w dalam koordinat polar dan memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann. Untuk persegi yang dibentuk dari persegi 14 2
⎛1⎞ x14 yang dipetakkan oleh w = ⎜ ⎟ ditunjukkan pada Gambar 10. ⎝z⎠
2
⎛1⎞ Gambar 10. Pemetaan persegi 14 x 14 (kiri) oleh w1 = ⎜ ⎟ dan hasil pemetaannya ⎝z⎠ (kanan). 3. METODE PENELITIAN Dalam tahap ini dibagi dalam beberapa kasus, yaitu:
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1131
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
α
⎛1⎞ 3.1 Menunjukkan bahwa pemetaan w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ Z − (himpunan bulat negatif) ⎝z⎠ adalah pemetaan konformal α
⎛1⎞ 3.2 Mengilustrasikan hasil pemetaan w = ⎜ ⎟ , α = − β dan β = 2 untuk bidang ⎝z⎠ persegi yang dipetakkan. α
⎛1⎞ 3.3 Menunjukkan bahwa pemetaan w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ (0,1) adalah pemetaan ⎝z⎠ konformal. α
⎛1⎞ 3.4 Mengilustrasikan hasil pemetaan w = ⎜ ⎟ , α = 0.5 untuk bidang persegi yang ⎝z⎠ dipetakkan. 4. HASIL & PEMBAHASAN α
⎛1⎞ 4.1 Pemetaan w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ Z − (himpunan bulat negatif) ⎝z⎠ − Untuk α ∈ Z maka dapat dituliskan sebagai α = − β dengan β ∈ N (himpunan bilangan asli) sehingga α
⎛1⎞ ⎛1⎞ w = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝z⎠ ⎝z⎠
−β
= z β . Sebutlah w = z β = w1 dengan w1 = u + iv .
(4.1)
−β
⎛1⎞ Teorema 4.1. Pemetaan ⎜ ⎟ = z β dengan β ∈ N merupakan pemetaan konformal. ⎝z⎠ Bukti. Perlu ditunjukkan bahwa w = z β = w1 merupakan pemetaan analitik yang dapat ditunjukkan 2 cara yaitu dengan Koefisien Binomial (cara I) dan koordinat kutub (cara II). Pada bagian ini ditunjukkan kedua cara. Cara 1. Karena z = x + iy maka w1 = z β = ( x + iy ) β . Dengan menggunakan koefisien Binomial diperoleh β
w1 = z β = ( x + iy ) β = ∑ C βj x β − j (iy ) j j =0
β
β
β
β −1
= C0 x + iC1 x y − C 2β x β −2 y 2 − iC3β x β −3 y 3 + C4β x β −4 y 4 + iC5β x β −5 y 5 + ... . (4.a) Dengan menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari persamaan (4.a) berturut‐turut diperoleh k
u = x β − C 2β x β − 2 y 2 + C 4β x β − 4 y 4 − C 6β x β −6 y 6 + ... = ∑ (−1) j C 2βj x β − 2 j y 2 j , j =0
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1132
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
k
u = β x β −1 y − C 3β x β −3 y 3 + C 5β x β −5 y 5 + C 5β x β −5 y 5 + ... = ∑ (−1) j C 2βj +1 x β −( 2 j +1) y 2 j +1 j =0
Sehingga k ∂u = ∑ (−1) j ( β − 2 j )C 2βj x β − 2 j −1 y 2 j ∂x j =0 k ∂u = ∑ (−1) j 2 jC 2βj x β − 2 j y 2 j −1 ∂y j =0
(5.a) (5.b)
∂v = ∑ (−1) j ( β − 2 j − 1)C 2βj +1 x β − 2 ( j +1) y 2 j +1 , ∂x j =0 k
(5.c)
k ∂v = ∑ (−1) j (2 j + 1)C 2βj +1 x β − 2 ( j +1) y 2 j ∂y j =0
(5.d)
⎢β ⎥ k = ⎢ ⎥ . Dari persamaan (5.a)‐(5.b) belum terlihat bahwa ⎣2⎦ persamaan tersebut memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann ⎛ ∂u ∂v ∂u ∂v ⎞ ⎜⎜ Oleh karena itu masing‐masing turuna parsial = dan = − ⎟⎟ . ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂x ∂y pada persamaan (5.a)‐(5.d) dijabarkan diperoleh ∂u = β C 0β x β −1 − (β − 2 )C 2β x β −3 y 2 + (β − 4)C 4β x β −5 y 4 + ..., (6.a) ∂x ∂u = 0 − 2C 2β x β − 2 y + 4C 4β x β − 4 y 3 + 6C 6β x β −6 y 5 + ..., (6.b) ∂y ∂v = ( β − 1)C1β x β − 2 y − ( β − 3)C 3β x β − 4 y 3 + ( β − 5)C 5β x β −6 y 5 + ..., (6.c) ∂x ∂v = C1β x β −1 − 3C 3β x β −3 y 2 + 5C 5β x β −5 y 4 + ..., (6.d) ∂y Dengan menggunakan identitas 0!=1, maka C 0a = C aa = 1 , C1a = a dan C ba = C aa−b . Selain itu ⎞ ⎛ a(a − 1)(a − 2)...(a − (b − 1))(a − b)! ⎞ ⎛ a! ⎟⎟ ⎟⎟ = b⎜⎜ bC ba = b⎜⎜ b!(a − b)! ⎠ ⎝ ⎝ b!(a − b)! ⎠
dengan
⎛ a(a − 1)(a − 2)(a − 3)...(a − (b − 1)) ⎞ ⎟⎟ = b⎜⎜ b!(b − 1)! ⎠ ⎝ ⎛ a (a − 1)(a − 2)(a − 3)...(a − (b − 1)) ⎞ ⎟⎟ = (a − (b − 1))⎜⎜ (b − 1)! ⎠ ⎝
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1133
PROSIDING
Maka
didapatkan
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
2C 2β = (β − 1)C1β , 3C 3β = (β − 2)C 2β , 4C 4β = (β − 3)C 3β
dan
⎛ ∂u ∂v ∂u ∂v ⎞ seterusnya sehingga persamaan (6.a)‐(6.d) diperoleh ⎜⎜ = − ⎟⎟ . = dan ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y Yang berarti w1 memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann. Cara 2. Dalam koordinat polar w1 dapat ditulis sebagai β β w1 = z = r (cos βθ + i sin βθ ) . Denan menuliskan bagian riil dan bagian khayal w1 diperoleh u (r ,θ ) = r β cos βθ dan v(r ,θ ) = r β sin βθ . Sehingga 1 1 ∂v ∂u = β r β −1 cos βθ = βr β cos βθ = r r ∂θ ∂r ∂u ∂v dan = βr β −1 sin βθ = −rβ r β sin βθ = − r . Jadi memenuhi persamaan Cauchy‐ ∂r ∂r Riemann. Karena w1 merupakan polinom berderajat β atau dapat juga disebut sebagai fungsi pangkat, maka turunan w1 yaitu w1' = β z β −1 ada untuk setiap z ≠ 0 ∈ C . Jadi w1 merupakan pemetaan konformal. Untuk β = 1 maka diperoleh w1 = z . Hasil pemetaan adalah gambar yang sama karena fungsi pemetaan ini tidak mengubah bentuk gambar tetapi hanya menggantu sumbu‐sumbu koordinat, yaitu sumbu x menjadi sumbu u dan sumbu y menjadi sumbu v berturut‐turut untuk bidang z dan bidang w. Pada bagian selanjutnya ditunjukkan untuk β = 2 . α
⎛1⎞ 4.2 Hasil pemetaan w = ⎜ ⎟ , α = − β dan β = 2 ⎝z⎠ Untuk nilai β = 2 diperoleh w1 = z 2 dan ini merupakan fungsi parabolik atau fungsi kuadrat. Berdasarkan persamaan (4.1) maka w1 = x 2 + 2ixy − y 2 . Dengan menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari w1 berturut‐turut diperoleh u = x 2 − y 2 dan v = 2 xy . (7) Berdasarkan persamaan (7) maka persamaan garis x = ± a pada bidang –z dipetakkan sebagai keluarga parabola pada bidang‐w, yang ditunjukkan oleh persamaan (8.). Yaitu karena 2
v2 v ⎛ v ⎞ 2 v = ±2ay sehingga y = ± dan u = a 2 − y 2 maka u = a 2 − ⎜ ± ⎟ = a − 2 . 2a 4a ⎝ 2a ⎠ (8.a) Untuk persamaan garis y = ±b pada bidang‐z dipetakkan sebagai suatu keluarga parabola pada bidang‐w, yaitu 2 2 v v = ±2bx sehingga x = ± dan u = x 2 − b 2 maka u = ⎛⎜ ± v ⎞⎟ − b 2 = v 2 − b 2 . (8.b) 2b 4b ⎝ 2b ⎠
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1134
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Keluarga parabola persamaan (8.a)‐(8.b) merupakan sistem ortogonal (Gordon,1963). Masing‐masing dari bayangan garis x = ± a dan y = ±b dan persegi ditunjukkan pada Gambar 4.1‐4.3.
Gambar 11. Bayangan garis x = ± a dan y = ±b beserta bayangan persegi ABCD dengan fungsi w = z 2 .
Gambar 12. Bayangan garis x = ± a dan y = ±b untuk a=1,2 dan b=a,2 serta w = z 2 .
Gambar 13. Bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14 dengan fungsi w = z 2 . α
⎛1⎞ 4.3 Pemetaan w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ (0,1) ⎝z⎠
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1135
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Karena α ∈ (0,1) , maka dapat dituliskan α =
a dengan a,b ∈ N , a
diperoleh a
α
⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞b w = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . ⎝z⎠ ⎝z⎠ a
a
− ⎛ a a ⎞ ⎛ 1 ⎞b Dalam koordinat polar dapat diperoleh w = ⎜ iθ ⎟ = r b ⎜ cos θ − i sin θ ⎟ . Dengan b b ⎠ ⎝ re ⎠ ⎝ −a −a a a b menuliskan bagian riil dan khayalnya diperoleh u = r cos θ , v = − r b sin θ . b b Sehingga a a a − −1 a a − a ∂u ∂u = − r b cos θ ; = − r b sin θ ; (9.a) b b b b ∂r ∂θ a a a a −b a ∂v a − b −1 ∂v (9.b) = r sin θ ; = − r cos θ . b b b ∂r b ∂θ a
a ⎛ 1 ⎞b Jadi persamaan Cauchy‐Riemann dipenuhi. Karena w ' = ⎜ ⎟ b⎝z⎠
−1
≠ 0, ∀z ∈ C maka
α
⎛1⎞ terbukti w = ⎜ ⎟ dengan α ∈ (0,1) merupakan pemetaan konformal. ⎝z⎠ 1 1 Untuk α = , maka diperoleh bentuk pemetaan w = . Dengan 2 z menggunakan koordinat polar diperoleh
( )
w = re iθ
−1 / 2
=
1 ⎛ ⎛ θ + 2kπ ⎞ ⎛ θ + 2kπ ⎜⎜ cos⎜ ⎟ − i sin ⎜ 2 ⎠ 2 r⎝ ⎝ ⎝
Sehingga untuk k = 0 diperoleh nilai utama wk =0 =
(10)
1 ⎛ ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞⎞ ⎜⎜ cos⎜ ⎟ − i sin ⎜ ⎟ ⎟⎟ dan untuk r ⎝ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎛ θ + 2π ⎞ ⎛ θ + 2π ⎞ ⎞ . Dengan
nilai k = 1 diperoleh wk =1 = (re iθ )−1 / 2 = 1 ⎛⎜⎜ cos⎜ r⎝
⎞ ⎞ , k = 0,1. ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠
⎝
2
⎟ − i sin ⎜ ⎠ ⎝
2
⎟ ⎟⎟ ⎠⎠
mengingat bahwa sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b dan cos(a+b)=cos a cos b – sin a sin b , maka 1 ⎛ ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞⎞ ⎜⎜ − cos⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟⎟ = − wk =0 . wk =1 = r⎝ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ Dengan menuliskan wk =0 = u + iv , maka bagian riil dan bagian khayal dapat ditulis sebagai θ θ 1 1 cos dan v = − sin . (11) u = 2 2 r r
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1136
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Dengan menuliskan persamaan (11) dalam x dan y diperoleh u =
1
1 + cos 2θ Karena cos 2 θ = diperoleh 2 1
u=
x r = 1 2 r
1+
r
Secara sama, karena sin 2 θ =
v=−
1 r
1 r+x 1 r+x = = 2 2r 2 r x + y2
x2 + y2 + x 2
r
1 + cos θ . 2
.
1 − cos 2θ diperoleh 2
x r =− 1 2 r
1−
r−x 1 r−x 1 =− =− r 2r 2 x2 + y2
x2 + y2 − x 2
.
Sehingga untuk setiap titik (a,b) pada bidang‐z akan dipetakkan menjadi titik ⎛ 1 ⎜ ⎜⎜ 2 a + b2 ⎝
a2 + b2 + b 2
,−
1 a2 + b2
a 2 + b 2 − a ⎞⎟ pada bidang‐w. Dengan mengambil ⎟⎟ 2 ⎠
nilai utama wk =0 yaitu 0 ≤ θ < 2π maka bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14 ditunjukkan pada Gambar 14 pada dua cabang.
Gambar 14 Hasil pemetaan wk =0 =
1
untuk 14 x14 persegi. z Kita dapat melakukan pemetaan untuk berbagai nilai α yang lain dan menyusun aspek 1 matematis sebagaimana di atas. Untuk nilai α = − dapat ditunjukkan hasil pemetaan 2 yang ditunjukkan pada Gambar 15.
α
1 ⎛1⎞ Gambar 15. Hasil pemetaan persegi 14x14 dengan w = ⎜ ⎟ dengan α = − . 2 ⎝z⎠ 5 KESIMPULAN DAN SARAN Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1137
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Pada makalah ini telah ditunjukkan hasil pemetaan persegi n x n dari α
⎛1⎞ w = ⎜ ⎟ untuk α ∈ Z − (himpunan bilangan bulat negatif) dan α ∈ (0, 1) . ⎝z⎠ Diperoleh bahwa hasil pemetaan persegi n x n untuk α = 2 merupakan keluarga 1 parabola. Sedangkan pemetaan persegi n x n dengan α = merupakan bentuk 2 lemniscate yang terpotong‐potong. Beberapa pengembangan dapat dilakukan dengan melakukan pemetaan tak konformal untuk bidang persegi. DAFTAR PUSTAKA Churchill, R. V. 1960. Complex Variables and Applications,2nd Edition. McGraw‐Hill Book Company. New York. Gordon, L. I dan Sim Lasher. 1963. Elements of Complex Variables. Holt, Rinehart and Winston, Inc. Parhusip H. A., dan Sulistyono, Pemetaaan Konformal dan Modifikasinya untuk suatu Bidang Persegi, Prosiding Seminar Nasioanal Matematika UNPAR 5 September 2009, hal.MT 250‐259, Vol 4. Th. 2009, ISSN 1907‐3909. Pustaka Web web1. http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
1138