Matematika dan Statistika

ISSN 1411-6669 Volume 12, Juni 2012

MAJALAH ILMIAH

Matematika dan Statistika

DITERBITKAN OLEH:

JURUSAN MATEMATIKA

FMIPA – UNIVERSITAS JEMBER

Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 12, Juni 2012

PROFIL PENDERITA DEMAM BERDARAH YANG BERKAITAN DENGAN LAJU PERTUMBUHAN POPULASI Kusbudiono Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Abstact:

Through this research, we will consider and analyze the influence of birth rate of dengue hemorrhagic fever epidemic. Furthermore, using Hemorrhagic dengue transmission model we will simulate the model with multiple birth rate increased. The results of this research in numeric shows a significant influence birth rate against the maximum value of x and y. The maximum value Increase in birth rate 10 times the normal cause the maximum x value increases from 2227 to 4703 people person and a maximum value of y from 9547 to 118 600 people.

Keywords:Dengue Hemorrhagic Fever dan Logistic Growth.

I. PENDAHULUAN Perubahan jumlah populasi populasi setiap waktu merupakan salah satu penanda terjadinya pertumbuhan populasi yang dipengaruhi oleh jumlah kelahiran, kematian dan migrasi. Salah satu model pertumbuhan adalah model pertumbuhan kontinu khususnya model logistik. Dimana model pertumbuhan logistik tersebut tentunya mempunyai kelebihan dan kekurangan. Dengan diketahuinya banyaknya kelahiran, kematian dan migrasi maka laju perubahan populasi dapat dihitung. Kembali pada model pertumbuhan logistik, model ini merupakan pengembangan dari model pertumbuhan eksponensial yang pertama kali dicetuskan oleh Maltus. [2] Laju kelahiran dan kematian tidak hanya berpengaruh terhadap perubahan jumlah populasi. Akan tetapi keduanya juga berpengaruh terhadap epidemi penyakit. Salah satunya adalah penyakit demam berdarah Dengue. Pada daerah dengan tingkat kepadatan penduduk tinggi maka akan meningkatkan angka kejadian. [1]. Selama ini antara pertumbuhan penduduk dengan epidemik suatu penyakit dianggap sebagai sesuatu yang terpisah. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis akan mencoba mengaitkan antara laju pertumbuhan populasi dari model pertumbuhan populasi logistik dengan epidemi penyakit demam berdarah Dengue.

65

Profil Penderita Demam Berdarah …(65 – 74)

II. HASIL DAN PEMBAHASAN 2.1 Kajian Pustaka Demam berdarah ditularkan kepada manusia oleh nyamuk Aedes aegypti betina. Beberapa fakta diketahui tentang nyamuk Aedes aegypti dan proses transmisi adalah sebagai berikut [5]: a. Nyamuk menggigit terjadi pada siang hari, b. Waktu hidup nyamuk adalah sekitar 10 hari, c. Jarak terbng nyamuk adalah sekitar 100 meter, d. Nyamuk bertelur di lingkungan air bersih, e. Telur nyamuk menetas dalam 6-8 hari, tetapi bisa bertahan dalam periode lebih lama dan menetas setelah kontak pertama kali dengan air, f. Tingkat kelangsungan hidup dari telur sampai dewasa sangay rendah, g. Masa inkubasi adalah sekitar 14 hari, h. Virus hidup dalam tubuh manusia untuk sekitar 7 hari dan kemudian mati secara alami, i. Transmisi vertikal di nyamuk adalah insgnificant. Sedangkan menurut [4] sistem dinamik untuk manusia dan nyamuk dinyatakan sebagai berikut: bβ d h S = α NT − h S h I v − µ h S h dt NT d h bβ h h v I S I − ( µh + r ) I h = dt NT d h R= rI h − µh R h dt bβ d v S = D − v S v I v − µv S v dt NT bβ d v S = D − v S v I v − µv S v dt NT d v bβ v v h I S I − µv I v = dt NT

Dengan kondisi-kondisi: NT = S h + I h + R h dan N= Sv + Iv v

66

(1)


dimana:

S h = subpopulasi sehat yang dapat terinfeksi demam berdarah dengue. I h = subpopulasi individu yang terinfeksi oleh virus demam berdarah dengue. R h = subpopulasi individu yang sembuh dari penyakit demam berdarah dengue.

S v = subpopulasi nyamuk sehat yang rentan terinfeksi. I v = subpopulasi nyamuk yang terinfeksi. Sedangkan nilai dari parameter-parameter yang digunakan dalam model ini diberikan pada Tabel 1. [3]. Tabel 1. Nilai Parameter Model Transmisi epidemi Demam Berdarah Simbol

Definisi

Nilai

µh

−1

Harapan hidup manusia

70 tahun

µk −1

Harapan hidup nyamuk

14 hari

r

Rata-rata periode infeksi dalam tubuh manusia Rata-rata gigitan nyamuk perhari x peluang transmisi dari nyamuk ke manusia Rata-rata gigitan nyamuk perhari x peluang transmisi sukses dari nyamuk ke manusia

10 – 15 hari [0,5]

βh

βv

[0,5]

2.2 Analisis Data dan Hasil Pembahasan Untuk mengetahui dinamika epidemi penyakit demam berdarah Dengue, dapat dilakukan analisa kualitatif dengan menganalisa kestabilan di titik setimbangnya. Untuk menentukan titik kesetimbangan, dilakukan dengan membuat nol persamaan (1), sehingga diperoleh: a. P 0 = (0, 0, 0) adalah titik kesetimbangan bebas penyakit dan, b. P1 = ( S * , I * , I v* ) adalah titik kesetimbangan endemik penyakit. dengan S* =

L+β β + LA0

A0 − 1 I = β + LA0 *

dan I = * v

β ( A0 − 1)

A0 ( β + L )

67


untuk b2 βh βv n bβ v µh + r 0 dan A = ,L β = = µv ( µ h + r ) µv µh

(2)

Untuk menentukan stabilitas lokal dari titik kesetimbangan endemik, terlebih dahulu dihitung matriks Jacobian dari sisi kanan persamaan (2). Jika semua nilai eigen yang diperoleh dengan mendiagonalkan matriks Jacobian mempunyai bagian real negatif maka solusi keseimbangan adalah stabilitas lokal. Diagonalisasi Jacobian untuk titik kesetimbangan

endemik,

persamaan

karakteristik

diberikan

oleh

persamaan

det ( J − η I ) = 0 . Dengan J adalah matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan endemik,

η adalah nilai eigen, dan I adalah matriks identitas. Sehingga didapat nilai-nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan berikut:

η 3 + e0η 2 + e1η + e2 = 0 Dengan e0 µh = e1 µh2 =

( (

β + LA0 L+ β β + LA0 L+ β

)+µ L+µ A ( ) ) + µ µ A + ( A − 1) ( 0

h

v

0

v

L+β β + LA0

0

h

= e2 µv µh2 L ( A0 − 1)

µv µ h β L β + LA0

)

Kriteria Routh-Hurwitz digunakan untuk mencari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan endemik. Jika koefisien e0 , e1 dan e2 memenuhi ketidaksamaan berikut: e0 > 0, e1 > 0 dan e0 e1 > e2 maka titik kestimbangan adalah stabil lokal. Dengan kata lain titik kesetimbangan endemik adalah stabil lokal untuk A0 > 1 dengan A0 =

b2 βh βv n . µv ( µ h + r )

Selanjutnya akan dijelaskan nilai basic reproductive number yaitu banyaknya ratarata dari kasus sekunder latent menghasilkan satu individu terinfeksi baru yang berasal dari individu suscebtible. Nilai R0 bergantung secara linier terhadap β (laju transmisi penyakit) dan ratarata periode infeksi (

1

γ

). Jika laju transmisi penyakit besar dan periode infeksi juga besar,

maka R0 juga akan membesar atau akan terjadi wabah. Begitu juga dengan sebaliknya.

68


Jika R0 < 1, maka tidak akan mungkin terjadi epidemik dan penyakit akan hilang (punah). Akan tetapi jika R0 > 1 maka akan terjadi wabah pada populasi tersebut. Dengan asumsi bahwa populasi manusia dan nyamuk konstan mengakibatkan sistem dinamik model transmisi demam berdarah pada persamaan (1) menjadi lebih sederhana, yaitu d h = I bI v dt

α NT µh

− I h − Rh α NT µh

β h − rI h − µh I h

d h R= rI h − µh R h dt h D d v v I I =b  − I  α NT − µv I v dt  µv  µh

(3)

Prosedur mencari R0 pada persamaan (3) menggunakan next generation matrix didapat R0 = b

α NT ( r + µh ) pv µh Dβ h . Parameter yang bisa dikontrol di R0adalah b dan α NT ( r + µ h ) µ v

D dengan cara memakai obat nyamuk dan kelambu dan membasmi tempat-tempat perindukan nyamuk. Jika prosentase b dan D dikurangi maka R0 akan berkurang secara signifikan. Profil sebaran penderita demam berdarah Perilaku model transmisi demam berdarah Dengue akan dilihat pada grafik hasil perhitungan secara numerik dengan parameter sebagai berikut: a.

Dimisalkan seseorang terinfek virus Dengue jika orang tersebut mendapatkan

βh gigitan nyamuk ribuan kali. Sehingga=

1 = 0, 001. 1000 1 . 70

b.

Berdasarkan rata-rata umumr manusia adalah 70 tahun. Sehingga µh =

c.

Dimisalkan rata-rata umur hidup nyamuk aedes aegypti 30 hari. Dengan demikian

= µv

1 = 12,167 tahun . 30 hari

d.

Dimisalkan β v = 0,5.

e.

Dimisalkan bahwa nyamuk menggigi 2 kali per 3 hari sehingga b = 243 gigitan/ekor/tahun.

f.

Dimisalkan r = 0,2 / tahun.

69


Profil penyebaran penderita demam berdarah Dengue ini akan digambarkan kedalam empat kasus sebagai berikut: a. Kasus I Kondisi awal Rh=235 orang/tahun, D = 45000 ekor/tahun, I h =1 orang, R h = 0 orang, I v = 0, NT = 16.450 orang, N v = 3698 ekor. Dari parameter yang disimulasikan pada kasus I didapat nilai R0 =1,5323. Hasil simulasi pada kasus I terlihat pada Gambar 1.tampak bahwa telah terjadi epidemi yang ditandai dengan terjadinya penurunan nilai S h secara ekponensial. Seiring dengan berjalannya waktu, pada akhirnya nilai S h akan konstan setelah mencapai nilai kesetimbangannya. Sedangkan untuk sub populasi I h pada awalnya terjadi kenaikan sampai batas maksimal kemudian akan turun hingga mencapai titik kesetimbangannya dan kemudian konstan. Selanjutnya untuk sub populasi R h langsung terjadi kenaikan karena terjadinya proses transmisi dari I h menuju ke R h hingga mencapai nilai kesetimbangannya untuk kemudian konstan.

Gambar 1. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdarah untuk Kasus I

b. Kasus II Kondisi awal Rh = 235 orang/tahun, D = 70000 ekor/tahun, I h = 1 orang, R h = 0 orang, I v = 0, NT = 16.450 orang, N v = 4109 ekor. Dari parameter yang disimulasikan pada kasus II didapat nilai R0 = 1,9111.

70


Hasil simulasi kasus II pada Gambar 2. pada dasarnya sama dengan pada kasus I tetapi terjadi perubahan pada nilai kesetimbangan masing-masing sub populasi. Pada sub populasi S h , terjadi penurunan nilai maksimum bila dibandingkan dengan nilai maksimum kasus II. Sedangkan pada sub populasi I h dan R h malah terjadi kenaikan nilai maksimumnya.

Gambar 2. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdarah untuk Kasus II

Secara umum karena nilai R0 > 1 maka akan terjadi epidemi sampai pada titik kesetimbangannya seperti terlihat pada Gambar 1. dan Gambar 2. Juga tampak bahwa I h dan R h pada mulanya naik sampai titik maksimum kemudian mengalami penurunan jumlah secara ekponensial menuju ke titik kesetimbangannya. Bila dibandingkan antara kasus I dan II kenaikan nilai R0 menunjukkan terjadinya kenaikan nilai maksimum dari I h dan tentu saja R h . Jika nilai parameter tersebut semakin tinggi maka waktu terjadinya nilai maksimum juga makin cepat. Hubungan Pertumbuhan Populasi dengan Epidemi Demam Berdarah Dengue Dalam bagian ini akan dikaji kaitan antara pertumbuhan populasi dengan epidemi penyakit demam berdara Dengue atau disingkat DBD. Hubungan ini diberikan oleh pengaruh laju pertumbuhan populasi dalam model epidemi penyakit demam berdarah. Hal ini bisa terjadi karena penyakit demam berdarah dalam penyebarannya dipengaruhi oleh adanya dinamika pertumbuhan penduduk.

71


Laju pertumbuhan penduduk berhubungan erat dengan dengan jumlah kelahiran dan kematian pada suatu populasi. Untuk menentukan laju pertumbuhan penduduk yang dapat digunakan sebagai acuan memprediksi dinamka penduduk dimasa yang akan datang memerlukan data relatif homogen. Selanjutnya dari data laju pertumbuhan ini akan diolah sebagai informasi pada model epidemi penyakit demam berdarah Dengue.

Gambar 3. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdarah untuk Sh

Untuk menentukan kaitan tersebut, akan dilakukan simulasi numerik dengan 4 kejadian dan hasilnya berupa gambar untuk beberapa kondisi parameter tertentu sebagai berikut: a. Kejadian I, ketika kelahiran dianggap masih normal. b. Kejadian II, ketika kelahiran naik dua kali dari keadaan normal. c. Kejadian III, ketika kelahiran naik empat kali dari keadaan normal. d. Kejadian IV, ketika kelahiran naik sepuluh kali dari keadaan normal. Dari Gambar 3. dengan menggunakan parameter data seperti pada kasus II subbab sebelumnya tampak bahwa S h mengalami kenaikan ketika angka kelahiran naik. Kemudian sejalan dengan waktu populasi turun dan kemudian naik lagi menuju ke titik kesetimbangan.

72


Gambar 4. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdarah untuk Ih

Gambar 5. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdarah untuk Rh

Pada saat laju kelahiran dinaikkan menjadi dua kali lipatnya, jumlah I h mengalami kenaikan yang signifikan seperti yang terlihat pada Gambar 4. Begitu pula R h pada Gambar 5. juga terlihat mengalami kenaikan nilai maksimum dan kesetimbangan juga tampak bergeser kekanan bila dibandingkan dengan saat kelahiran berada dalam keadaan normal.

73


III. KESIMPULAN Kesimpulan dari hasil penelitian ini adalah: a. Dari hasil simulasi pada empat kasus dengan perubahan parameter yang menyebabkan kenaikan nilai R0, didapat nilai maksimum I h dan R h juga semakin naik. Pada kasus I nilai maksimum I h = 1.229 dan R h = 7.171 dan pada kasus II nilai maksimum I h = 2.227 dan R h = 9.792. b. Kenaikan laju kelahiran dapat menyebabkan kenaikan jumlah maskimum dari I h dan R h seperti tampak dari hasil dari simulasi, yaitu untuk laju kelahiran normal maksimum I h = 2.227 dan R h = 9.792, laju kelahiran 2 kali normal maksimum I h = 3.069 dan R h = 21.610, laju kelahiran 4 kali normal maksimum I h = 4.703 dan R h = 45.850, sedangkan untuk laju kelahiran 10 kali dari normal jumlah maksimum I h = 9.547 dan R h = 118.600.

DAFTAR PUSTAKA [1] Djallalluddin, Hasni, H.B., Riana. W. Dan Lisda, H. 2006. Gambaran Penderita Pada Kejadian Luar Biasa Demam Berdarah Dengue Di Kabupaten Banjar dan Kota Banjarbaru Tahun 2001., DEXA MEDIA., No. 2, Vol. 17, hal. 85-91. [2] Muchyidin, A. 2009. Model Pertumbuhan Populasi dan Kaitannya dengan Epidemi Penyakit Tuberkolosis, Tesis Magister, Institut Teknologi Bandung, Bandung. [3] Nuraini, N., Soewono, E. dan Sidarto, K.A. 2007, Mathematical Model of Dengue Disease Transmission with Severe DHF Compartment, Bull. Malays. Math. Sci. Soc, Vol. 30, No. 2. hal. 143-157. [4] Pongsumpun, P. 2006. Transmission Model for Dengue Disease With and Without The Effect of Extrinsic Incubation Period , KMITL sci. Tech. J., Vol. 6, No. 2. hal. 74-82. [5] Soewono, E. 2001. Transmission Model of Dengue Fever Disease with Periodic Recruitment Rate, MIHMI,Vol. 7, No. 3, hal. 85-96.

74

Matematika dan Statistika

Recommend Documents