ANALISIS STATISTIK tentang PENGERTIAN STATISTIK, PENGERTIAN STATISTIKA, MACAM-MACAM DATA, DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIKNYA, UKURAN PEMUSATAN, UKURAN PENYEBARAN (FRAKTIL) DAN UKURAN DISPERSI
DISUSUN OLEH : 1. Trilius Septaliana KR
(20102512011)
2. Aisyah (20102512023)
DOSEN PENGASUH : Dr. Ratu Ilma I.P.,M.Si
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA PALEMBANG TAHUN AJARAN 2011/2012
BAB 1 PENGERTIAN STATISTIK, STATISTIKA DAN MACAM-MACAM DATA
1.1. Pengertian Statistik dan Statistika Statistik adalah kumpulan data, bilangan maupun non-bilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram yang melukiskan suatu persoalan Statistika
adalah
pengetahuan
yang
berhubungan
dengan
cara-cara
pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan.
1.2. Pembagian Statistik Berdasarkan Cara Pengolahan Datanya Didasarkan atas cara pengolahan datanya, statistik dapat dibagi dua, yaitu statistik deskriptif dan statistik inferensi. a. Statistika deskriptif adalah metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna. b. Statistika inferensia adalah metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan tentang seluruh gugus data induknya.
1.3. Pembagian Statistik Berdasarkan Ruang Lingkup Penggunaannya a. Statistik sosial adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu-ilmu sosial. b. Statistik pendidikan adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu dan bidang pendidikan. c. Statistik ekonomi adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu-ilmu ekonomi. d. Statistik perusahaan adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam bidang perusahaan. e. Statistik pertanian adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu-ilmu pertanian.
f. Statistik kesehatan adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam bidang kesehatan.
1.4. Pembagian Statistik Berdasarkan Bentuk Parameternya a. Statistik parametrik adalah bagian statistik yang parameter dari populasinya mengikuti suatu distribusi tertentu, seperti distribusi normal dan memiliki varians yang homogen. b. Statistik nonparametrik adalah bagian statistik yang parameter dari populasinya tidak mengikuti suatu distribusi tertentu atau memiliki distribusi yang bebas dari persyaratan, dan variansnya tidak perlu homogen.
1.5. Data Statistik Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia data adalah keterangan yang benar dan nyata. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah keterangan atau ilustrasi itu mengenai sesuatu hal yang bisa berbentuk kategori (misalnya rusak, baik, senang, cerah, berhasil, gagal dan sebagainya) atau bilangan. Jadi, data dapat diartikan sebagai sesuatu yang diketahui atau yang dianggap atau anggapan.
1.6. Pembagian Data A. Jenis Data Menurut Cara Memperolehnya 1. Data Primer, adalah secara langsung diambil dari objek, atau objek penelitian oleh peneliti perorangan maupun organisasi. Data primer disebut juga data asli atau data baru. Contoh: Mewawancarai langsung penonton bioskop 21 untuk meneliti preferensi konsumen bioskop. 2. Data Sekunder, adalah data yang didapat tidak secara langsung dari objek penelitian. Peneliti mendapatkan data yang sudah jadi yang dikumpulkan oleh pihak lain dengan berbagai cara atau metode baik secara komersial maupun non komersial. Data sekunder disebut juga data tersedia. Contohnya adalah pada peneliti yang menggunakan data statistik hasil riset dari surat kabar atau majalah.
B. Macam-Macam Data Berdasarkan Sumber Data 1. Data Internal, adalah data yang menggambarkan situasi dan kondisi pada suatu organisasi secara internal. Misal : data keuangan, data pegawai, data produksi, dsb. 2. Data Eksternal, adalah data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada di luar organisasi. Contohnya adalah data jumlah penggunaan suatu produk pada konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain sebagainya.
C. Klasifikasi Data Berdasarkan Jenis Datanya 1. Data Kuantitatif, adalah data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka. Misalnya adalah jumlah pembeli saat hari raya idul adha, tinggi badan siswa kelas 3 ips 2, dan lain-lain. 2. Data Kualitatif, adalah data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang mengandung makna. Contohnya seperti persepsi konsumen terhadap botol air minum dalam kemasan, anggapan para ahli terhadap psikopat dan lain-lain.
D. Pembagian Jenis Data Berdasarkan Sifat Data 1. Data Diskrit, adalah data yang nilainya adalah bilangan asli. Contohnya adalah berat badan ibu-ibu pkk sumber ayu, nilai rupiah dari waktu ke waktu, dan lainsebagainya. 2. Data Kontinu, adalah data yang nilainya ada pada suatu interval tertentu atau berada pada nilai yang satu ke nilai yang lainnya. Contohnya penggunaan kata sekitar, kurang lebih, kira-kira, dan sebagainya.
E. Jenis-jenis Data Menurut Waktu Pengumpulannya 1. Data Cross Section, adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu. Contohnya laporan keuangan per 31 desember 2006, data pelanggan PT. angin ribut bulan mei 2004, dan lain sebagainya. 2. Data Time Series/ Berkala, adalah data yang datanya menggambarkan sesuatu dari waktu ke waktu atau periode secara historis. Contoh data time series adalah data perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropa dari tahun 2004 sampai 2006, jumlah pengikut jamaah nurdin m. top dan doktor azahari dari bulan ke bulan, dll.
1.7. Penyajian Data Fungsi penyajian data yaitu : 1. Menunjukkan perkembangan suatu keadaan, 2. Mengadakan perbandingan pada suatu waktu. Secara garis besar penyajian data dapat dilakukan melalui tabel dan grafik. a. Tabel Tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun menurut kategori-kategori tertentu, dalam suatu daftar. Dalam tabel, disusun dengan cara alfabetis, geografis, menurut besarnya angka, historis, atau menurut kelas-kelas yang lazim. Berdasarkan pengaturan datanya, tabel dibedakan atas beberapa jenis, yaitu : 1. Tabel frekuensi, adalah tabel yang menunjukkan atau memuat banyaknya kejadian atau frekuensi dari suatu kejadian. Contoh :
TABEL HASIL UJIAN STATISTIK Nilai
Jumlah Mahasiswa
45 – 49
3
50 – 54
5
55 – 59
6
60 – 64
8
65 – 69
12
70 – 74
15
75 – 79
11
80 – 84
7
85 – 89
5
Jumlah
70
2. Tabel klasifikasi, Tabel klasifikasi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat pengelompokkan data. Tabel klasifikasi dapat berupa tabel klasifikasi tunggal dan ganda. Contoh tabel klasifikasi tunggal TABEL JUMLAH MURID XII IPA SMA X PALEMBANG YANG LULUS UJIAN MATEMATIKA TAHUN 2009 Jenis
Jumlah
Laki-laki
81
Perempuan
88
Jumlah
169
Contoh : tabel klasifikasi ganda TABEL JUMLAH MURID XII IPA SMA X PALEMBANG YANG LULUS UJIAN MATEMATIKA TAHUN 2009 Jenis
Jumlah
Kelamin
Murid
Kelas XII IPA 1
XII IPA 2
XII IPA 3
XII IPA 4
Laki-laki
81
17
20
25
19
Perempuan
88
22
23
18
25
Jumlah
169
39
43
43
44
3. Tabel kontingensi, Tabel kontingensi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat data sesuai dengan rinciannya. Apabila bagian baris tabel berisikan m baris dan bagian kolom tabel berisikan n kolom maka didapatkan tabel kontingensi berukuran m x n. Contoh : TABEL BANYAK MURID MENYUKAI BELAJAR MATEMATIKA DI SEKOLAH DAERAH T MENURUT TINGKAT KELAS DAN JENIS KELAMIN TAHUN 2009 Jenis Kelamin
Tingkat Kelas
Jumlah
X
XI
XII
Laki-laki
115
103
201
419
Perempuan
234
212
195
641
Jumlah
349
315
396
1.060
4. Tabel korelasi Tabel korelasi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat adanya korelasi (hubungan) antara data yang disajikan. Contoh : TABEL HASIL UJIAN STATISTIK DAN AKUNTANSI 100 MAHASISWA DI SUATU AKADEMI Nilai
Nilai Statistik
Akuntansi
40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
90-99
2
4
4
80-89
1
4
1
4
6
5
70-79
3
6
5
10
8
1
60-69
3
5
9
5
2
50-59
6
2
40-49
4
b. Diagram Data Diagram data disebut juga grafik data, adalah penyajian data dalam bentuk gambar-gambar. Grafik data biasanya berasal dari tabel dan grafik biasanya dibuat bersama-sama, yaitu tabel dilengkapi dengan grafik. Grafik data sebenarnya merupakan penyajian data secara visual dari data bersangkutan. Grafik data dibedakan atas beberapa jenis, yaitu : 1. Piktogram Piktogram adalah grafik data yang menggunakan gambar atau lambang dari data itu sendiri dengan skala tertentu. Contoh Penduduk dunia pada akhir abad ke-20 diperkirakan : 1) Afrika
:
350 juta jiwa
2) Amerika
:
500 juta jiwa
3) Asia
: 2.000 juta jiwa
4) Eropa
:
600 juta jiwa
5) Jerman
:
50 juta jiwa
6) Uni Soviet :
250 juta jiwa
2. Diagram batang atau balok Diagram batang atau balok adalah diagram data berbentuk persegi panjang yang lebarnya sama dan dilengkapi dengan skala atau ukuran sesuai dengan data yang bersangkutan. Setiap batang tidak boleh saling menempel atau melekat antara satu dengan lainnya dan jarak antara setiap batang yang berdekatan harus sama. Contoh : Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010 Jenis Mata Pelajaran
Banyaknya Siswa
Kesenian Bahasa Indonesia Ekonomi Bahasa Inggris Matematika
65 34 13 10 9
Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010 80 60 40 20 0 Kesenian
Bahasa Indonesia
Ekonomi
Banyaknya Siswa
Bahasa Inggris
Matematika
3. Diagram garis Diagram Garis adalah diagram berupa garis, diperoleh dari beberapa ruas garis yang menghubungkan titik-titik pada bidang bilangan. Pada diagram garis digunakan dua garis yang saling berpotongan. Pada garis horizontal (sumbu-X) ditempatkan bilangan-bilangan yang sifatnya tetap, seperti tahun dan ukuran-ukuran. Pada garis tegak (sumbu-Y) ditempatkan bilangan-bilangan yang sifatnya berubah-ubah, seperti harga, biaya jumlah, dan jumlah. Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010 70 60 50 40 30 20 10 0
65 34 13
10
9
Banyaknya Siswa
4. Diagram lingkaran Diagram lingkaran adalah diagram data berupa lingkaran yang telah dibagi menjadi juring-juring sesuai dengan data tersebut. Bagian-bagian dari keseluruhan data tersebut dinyatakan dalam persen. Contoh: Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010 Jenis Mata Pelajaran
Banyaknya Siswa
Kesenian
65
Bahasa Indonesia
34
Ekonomi
12
Bahasa Inggris
10
Matematika
9
Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T tahun 2010 9%
8%
7%
Kesenian 50%
26%
Bahasa Indonesia Ekonomi Bahasa Inggris Matematika
Untuk mencari besar sudut tiap-tiap juring atau %, caranya sebagai beikut. 1. sudut untuk pelajaran kesenian
65 360 0 180 0 130
=
65 100% 50% 130
2. sudut untuk pelajaran bahasa indonesia
34 360 0 94,154 0 130
=
34 100% 26,154% 130
3. sudut untuk pelajaran ekonomi
12 360 0 33,2310 130
=
12 100% 9,231% 130
4. sudut untuk pelajaran bahasa inggris
10 360 0 27,692 0 130
=
10 100% 7,692% 130
5. sudut untuk pelajaran matematika
=
9 360 0 24,9230 130
9 100% 6,923% 130
5. Kartogram Kartogram atau peta statistik adalah diagram data berupa peta yang menunjukkan kepadatan penduduk, curah hujan, hasil pertanian, hasil pertambangan dsb. Contoh : TABEL PEMASARAN TELEVISI PERUSAHAAN “X”, SEMESTER I, 1990 Daerah Pemasaran Jumlah Semarang Yogyakarta Purwokerto Tegal Pati Surakarta
500.000 400.000 300.000 300.000 200.000 350.000
Dalam bentuk kartogram peta statistik tersebut digambarkan sebagai berikut. PETA PEMASARAN TELEVISI PERUSAHAAN “X”, SEMESTER I, 1990
6. Diagram Pencar Diagram pencar untuk kumpulan data yang terdiri atas dua variable dengan nilai kuantitatif, diagramnya dapat dibuat dalam system sumbu koordinat dan gambarnya akan merupakan kumpulan titik-titik yang terpencar. Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010 80 60 40 Banyaknya Siswa
20 0 0
1
2
3
4
5
6
BAB 2 DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIKNYA
1. Pengertian Distribusi Frekuensi Distribusi Frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Jadi, distribusi frekuensi dapat diartikan pengelompokan data ke dalam beberapa kategori/ kelas yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori/ kelas, dan setiap data tidak dapat dimasukkan ke dalam dua atau lebih kategori/ kelas. Tujuan pengelompokan data ke dalam distribusi frekuensi adalah : 1. untuk memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami dan dibaca sebagai bahan informasi, 2. memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, dan grafik.
2. Langkah-langkah Distribusi Frekuensi: a. Mengumpulkan data, b. Mengurutkan data dari terkecil ke terbesar atau sebaliknya, c. Membuat kategori kelas Jumlah kelas k = 1 + 3,3 log n,
k bulat
di mana 2k > n; di mana k = jumlah kelas; n = jumlah data, d. Membuat interval kelas, Interval kelas = (nilai tertinggi – nilai terendah)/ jumlah kelas e. Melakukan penghitungan atau penturuskan setiap kelasnya.
Contoh: Dari hasil nilai ujian matematika 40 siswa, diperoleh data sebagai berikut. 78
72
74
79
74
71
75
74
72
68
72
73
72
74
75
74
73
74
65
72
66
75
80
69
82
73
74
72
79
71
70
75
71
70
70
70
75
76
77
67
Penyelesaian: a. Urutan data 65
66
67
68
69
70
70
70
70
71
71
71
72
72
72
72
72
72
73
73
73
74
74
74
74
74
74
74
75
75
75
75
75
76
77
78
79
79
80
82
ℎ
82 − 65 6
b. Membuat kategori kelas (k) adalah = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 5,3 = 6,3 = 6 c. Membuat interval kelas − ℎ
( )=
= =
= 2,8 = 3
d. Tabelnya Nilai
Turus
Frekuensi
65 – 67
III
3
68 – 70
IIII I
6
71 – 73
IIII IIII II
12
74 – 76
IIII IIII III
13
77 – 79
IIII
4
80 – 82
II
2
Jumlah
40
3. Histogram, Poligon Frekuensi dan Kurva 3.1. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang sering digunakan untuk menggambarkan distribusi frekuensi. Histogram merupakan grafik batang dari distribusi frekuensi dan poligon frekuensi merupakan grafik garisnya.
Contoh: Distribusi Frekuensi Hasil Pengukuran Tinggi Badan 50 Siswa Interval Kelas
Frekuensi
(Tinggi (cm))
(Banyak Murid)
140 – 144
Tepi Interval Kelas
Titik Tengah
3
139,5 – 144,5
142
145 – 149
6
144,5 – 149,5
147
150 – 154
12
149,5 – 154,5
152
155 – 159
15
154,5 – 159,5
157
160 – 164
12
159,5 – 164,5
162
165 – 169
7
164,5 – 169,5
167
170 - 174
5
169,5 – 174,5
172
Σ = 60
a. Histogram Histogram tinggi badan 60 siswa
banyak siswa (frekuensi)
15 10 5 0 139,5
144,5
149,5
154,5
159,5
164,5
169,5
tinggi badan
frekuensi
b. Poligon Frekuensi 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Frekuensi
137 142 147 152 157 162 167 172 177 tinggi badan
3.2. Kurva Frekuensi Kurva distribusi frekuensi, disingkat kurva frekuensi yang telah dihaluskan mempunyai berbagai bentuk dengan ciri-ciri tertentu. Bentuk-bentuk kurva frekuensi adalah sebagai berikut. 1. Simetris atau berbentuk lonceng, ciri-cirinya adalah nilai variabel di sampingkiri dan kanan yang berjarak sama terhadap titik tengah (yang frekuensinya terbesar) mempunyai frekuensi yang sama. Bentuk kurva simetris sering dijumpai dalam distribusi bermacam-macam variabel, karena itu dinamakan distribusi normal. 2. Tidak simetris atau condong, ciri-cirinya ialah ekor kurva yang satu lebih panjang daripada ekor kurva lainnya. Jika ekor kurva lebih panjang berada di sebelah kanan, kurva disebut kurva condong ke kanan (mempunyai condong positif), sebaliknya disebut kurva condong ke kiri (mempunyai condong negatif). 3. Bentuk J atau J terbalik, ciri-cirinya ialah salah satu nilai ujung kurva memiliki frekuensi maksimum. 4. Bentuk U, dengan ciri kedua ujung kurva memiliki frekuensi maksimum. 5. Bimodal, dengan ciri mempunyai dua maksimal. 6. Multimodal, dengan ciri mempunyai lebih dari dua maksimal. 7. Uniform, terjadi bila nilai-nilai variabel dalam suatu interval mempunyai frekuensi yang sama.
4. Jenis-Jenis Distribusi Frekuensi Distribusi frekuensi dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu distribusi frekuensi biasa, distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif. a. Distribusi Frekuensi Biasa, adalah distribusi frekuensi yang hanya berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok data atau kelas. b. Distribusi Frekuensi Relatif, adalah distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan yang terkandung dalam kumpulan data yang berdistribusi tertentu. Rumusnya: =
×
,
= , , ,…
Misalkan distribusi frekuensi memiliki k buah interval kelas dengan frekuensi masing-masing:
,
,…,
maka distribusi yang terbentuk adalah sebagai berikut.
Interval Kelas
Frekuensi
Interval kelas ke-1
f1
Interval kelas ke-2
f2
Interval kelas ke-k
fk
Jumlah
Σ =
Frekuensi Relatif
Σ
=1
Frekuensi relatif kadang-kadang dinyatakan dalam bentuk perbandingan, desimal atatupun persen.
c. Distribusi Frekuensi Kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi yang berisikan frekuensi kumulatif. Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan. Distribusi frekuensi komulatif memiliki grafik atau kurva yang disebut ogif. Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari. a. Distribusi Frekuensi Kumulatif kurang dari, adalah distribusi frekuensi yang memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari nilai batas kelas suatu interval tertentu. b. Distribusi Frekuensi Kumulatif lebih dari, adalah distribusi frekuensi yang memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari nilai batas kelas suatu interval tertentu.
Contoh: Berikut ini adalah data 50 mahasiswa dalam perolehan nilai statistik pada Pendidikan Matematika Universitas “T” semester II tahun 2010!
70
91
93
82
78
70
71
92
38
56
79
49
48
74
81
95
87
80
80
84
35
83
73
74
43
86
68
92
93
76
81
70
74
97
95
80
53
71
77
63
74
73
68
72
85
57
65
93
83
86
a. berapa orang yang mendapat nilai antara 44 – 52 dan 80 – 88 ? b. berapa % orang yang mendapat nilai antara 53 – 61 dan 89 – 97 ? c. berapa banyak orang yang nilainya kurang dari 44 ? d. berapa banyak orang yang nilainya lebih dari 71 ? Penyelesaian: Untuk menjawab pernyataan a diperlukan distribusi frekuensi, untuk menjawab pertanyaan b diperlukan distribusi relatif, untuk menjawab pertanyaan c diperlukan distribusi kumulatif kurang dari, dan untuk pertanyaan d diperlukan distribusi kumulatif lebih dari. a. Tabel Distribusi Frekuensinya adalah sebagai berikut. Nilai Statistik 50 Mahasiswa pada Pendidikan Matematika Universitas “T” Semester II tahun 2010 Nilai
Frekuensi (f)
35 – 43
3
44 – 52
2
53 – 61
3
62 – 70
7
71 – 79
13
80 – 88
13
89 - 97
9
Jumlah
50
b. Tabel distribusi frekuensi relatinya adalah: Nilai
Frekuensi (f)
35 – 43
3
44 – 52
2
53 – 61
3
62 – 70
7
71 – 79
13
80 – 88
13
89 - 97
9
Jumlah
50
Frekuensi Relatif Perbandingan
Desimal
Persen
3 50 2 50 3 50 7 50 13 50 13 50 9 50
0,06
6
0,04
4
0,06
6
0,14
14
0,26
26
0,26
26
0,18
18
1
1
100
Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara 53 – 61 adalah 6% dan yang mendapat nilai antara 89 – 97 adalah 18%, cara mencarinya: 53 − 61 =
× 100% = 6%.
89 − 97 =
× 100% = 18%.
c. Tabel data frekuensi kumulatif untuk data tersebut adalah Tabel distribusi frekuensi kumulatif Kurang Dari Nilai
Frekuensi (f)
Frekuensi Kumulatif (fkumulatif) Nilai
fk Kurang Dari
< 35
0
35 – 43
3
< 44
3
44 – 52
2
< 53
5
53 – 61
3
< 62
8
62 – 70
7
< 71
15
71 – 79
13
< 80
28
80 – 88
13
< 89
41
89 - 97
9
< 98
50
Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang.
d. Tabel data frekuensi kumulatif untuk data tersebut adalah Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari Nilai
Frekuensi (f)
Frekuensi Kumulatif (fkumulatif) Nilai
fk Lebih Dari
> 35
50
35 – 43
3
> 44
47
44 – 52
2
> 53
44
53 – 61
3
> 62
42
62 – 70
7
> 71
33
71 – 79
13
> 80
20
80 – 88
13
> 89
9
89 - 97
9
> 98
0
Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya lebih dari 71 adalah 33 orang.
e. Ogifnya adalah Nilai
Frekuensi Kumulatif (fkumulatif)
Frekuensi (f)
Nilai
fk Kurang Dari
Nilai
fk Lebih Dari
< 35
0
> 35
50
35 – 43
3
< 44
3
> 44
47
44 – 52
2
< 53
5
> 53
44
53 – 61
3
< 62
8
> 62
42
62 – 70
7
< 71
15
> 71
33
71 – 79
13
< 80
28
> 80
20
80 – 88
13
< 89
41
> 89
9
89 - 97
9
< 98
50
> 98
0
60 50 40 30
fk Kurang Dari fk Lebih Dari
20 10 0 0
20
40
60
80
100
120
BAB 3 UKURAN PEMUSATAN
A. Pengertian Nilai Pusat Ukuran pemusatan atau nilai pusat adalah ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan. B. Jenis-Jenis Ukuran Nilai Pusat 1. Rata-Rata Hitung (Mean) Mean adalah nilai rata-rata dari data-data yang ada. Rata-rata hitung dari populasi diberi simbol µ dan rata-rata hitung dari sampel diberi simbol . Mencari ratarata hitung secara umum dapat ditentukan dengan rumus :
a.
Untuk data tunggal Cara menghitung mean untuk data tunggal ialah sebagai berikut.
1.
Jika X1, X2, ..., Xn merupakan n buah nilai dari variabel X, maka rata-rata hitungnya sebagai berikut.
X
X n
X 1 X 2 ... X n n
X = rata-rata hitung (mean) X = wakil data n = jumlah data Contoh : Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 7, 6, 3, 4, 8, 8? Penyelesaian : X = 7,6,3,4,8,8;
n = 6;
Sehingga mean adalah : X 2.
ΣX = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36
36 6 6
Jika nilai X1, X2, ..., Xn masing-masing memiliki frekuensi f1, f2, ..., fn maka mean adalah,
X
fX f
f1 X 1 f 2 X 2 ... f n X n f1 f 2 ... f n
Contoh soal : Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 3, 4, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 2, 6, 4, 3, 6, 1? Penyelesaian : X1 = 3 maka f1 = 3;
X2 = 4 maka f2 = 3
X3 = 2 maka f3 = 2;
X4 = 5 maka f4 = 2
X5 = 1 maka f5 = 3;
X6 = 6 maka f6 = 2
ΣfX = (3 x 3) + (4 x 3) + (2 x 2) + (5 x 2) + (1 x 3) + (6 x 2) = 50 Σf = 3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 = 15 Sehingga mean adalah : X
3.
50 3,3 15
Jika f1 nilai yang memiliki mean m1, f2 nilai yang memiliki mean m2, ... dan fk nilai yang memiliki mean mk. Maka mean dapat dihitung sebagai berikut.
x
b.
fm f
f1 m1 f 2 m2 ... f k mk f1 f 2 ... f k
Untuk data berkelompok Untuk data berkelompok, mean dihitung dengan menggunakan 3 metode yaitu
metode biasa, metode simpangan rata-rata dan metode coding. 1.
Metode Biasa
X
fX f
f = frekuensi X = titik tengah
2.
Metode simpangan rata-rata
X M
fd f
M = Rata-rata hitung sementara (titik tengah frekuensi terbesar) f = frekuensi d=X-M X = titik tengah
3.
Metode coding
X M C
fu f
M = Rata-rata hitung sementara (titik tengah frekuensi terbesar) C = Lebar kelas u = 0, +1, +2, …. = ,
=
−
Contoh : Tentukan rata-rata hitung dari tabel dibawah ini Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997 Metode
Metode Simpangan
Metode
Biasa
Rata-Rata
Coding
Frekuensi Titik Tengah Nilai Ujian
(f)
(X)
31 - 40
1
35.5
41 - 50
2
51 - 60
d=X-M
fd
u = d/C
35.5
-40
-40
-4
-4
45.5
91
-30
-60
-3
-6
5
55.5
277.5
-20
-100
-2
-10
61 - 70
15
65.5
982.5
-10
-150
-1
-15
71 - 80
25
75.5
1887.5
0
0
0
0
81 - 90
20
85.5
1710
10
200
1
20
91 - 100
12
95.5
1146
20
240
2
24
80
a. Mean dengan metode biasa
X
fX f
6130 76,625 80
b. Metode Simpangan Rata-Rata M = 75,5
X M
fd 75,5 90 76,625 80 f
fX
6130
90
fu
9
c. Metode Coding M = 75,5;
C = 10
X M C x
2.
fu 75,5 10 x 9 76,625 80 f
MEDIAN Median adalah nilai tengah dari data yang ada setelah data diurutkan. Median
disimbolkan dengan Me atau Md. Untuk Mencari Median dibedakan data tunggal dan data kelompok. a.
Untuk data tunggal - Jika n ganjil maka, Me X n 1 2
- Jika n genap maka, X n X n2 Me
2
2
2
Contoh : Tentukan Median dari data berikut : a.
4, 3, 2, 6, 7, 5, 8
Jawab : Urutan data : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 n = 7 (ganjil) maka Me X 7 1 X 4 5 2
b.
11, 5, 7, 4, 8, 14, 9, 15 Urutkan data : 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14 X 8 X 8 2 n = 8 (genap) maka Me
2
2
2
X4 X5 8 9 8,5 2 2
b.
Untuk data berkelompok 1 nF Me b p 2 f
Me
= Median
b
= batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletak.
p
= panjang interval kelas
n
= banyak data
F
= Jumlah frekuensi sebelum kelas-kelas median
f
=
frekuensi kelas median
Contoh : Tentukan median dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997 Frekuensi
Titik Tengah
Nilai Ujian
(f)
(X)
31 -
40
1
35.5
41 -
50
2
45.5
51 -
60
5
55.5
61 -
70
15
65.5
71 -
80
25
75.5
81 -
90
20
85.5
91 -
100
12
95.5
80 Penyelesaian : n = 80 maka b = 70,5;
1 1 n (80) 40 berarti terletak di kelas ke-5 2 2
F = 1 + 2 + 5 + 15 = 23;
f = 25
1 (80) 23 77,3 sehingga median dari data diatas adalah Me 70,5 10 2 25
3.
MODUS Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Modus sering disimbolkan
dengan Mo. Sejumlah data bisa tidak mempunyai modus, mempunyai satu modus (unimodal), mempunyai dua modus (bimodal), atau mempunyai lebih dari dua modus (multimodal). Untuk Mencari modus dibedakan data tunggal dan data kelompok. a.
Untuk data tunggal Modus dari data tunggal adalah data yang frekuensi terbanyak.
b. Untuk data berkelompok
b1 Mo b p b1 b2
Dimana : Mo = modus b
= tepi bawah kelas modus
b1
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
b2
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
p
= panjang interval kelas
Contoh : Tentukan modus dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997 Nilai Ujian
Frekuensi (f)
Titik Tengah (X)
31
-
40
1
35.5
41
-
50
2
45.5
51
-
60
5
55.5
61
-
70
15
65.5
71
-
80
25
75.5
81
-
90
20
85.5
91
-
100
12
95.5
80
Penyelesaian : Dari tabel diketahui bahwa kelas modus adalah kelas ke-5 b = 70,5;
P = 10;
b1 = 25-15 = 10;
sehingga,
b Mo b p 1 b1 b2
b2 = 25-20 = 5
10 70,5 10 77,17 10 5
C. RATA-RATA UKUR (RATA-RATA GEOMETRIS) Jika perbandingan setiap dua data berurut adalah tetap atau hampir tetap maka rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Rata-rata ukur ada 2 yaitu untuk data tunggal dan data kelompok. a.
Untuk data tunggal Jika seperangkat data adalah X1, X2, X3, ..., Xn maka rata-rata ukurnya dirumuskan.
G n X 1 . X 2 . X 3 ....X n atau log G
1 log X 1 log X 2 log X 3 ... log X n n
Contoh : Tentukan rata-rata ukur dari 2, 4, 8, 16, 32 Penyelesaian : n=5 G 5 2 x 4 x8 x16 x32 5 32768 8 Atau 1 log 2 log 4 log 8 log 16 log 32 5 log G 0,903 log G
G 8
b.
Untuk data berkelompok Untuk data berkelompok maka rata-rata ukur dapat dihitung dengan : log G
f . log X f
Contoh : Tentukan rata-rata ukur dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997
Nilai Ujian
Frekuensi (f)
Titik Tengah (X)
Log X
f.Log X
31 -
40
1
35.5
1.5502
1.5502
41 -
50
2
45.5
1.6580
3.3160
51 -
60
5
55.5
1.7443
8.7215
61 -
70
15
65.5
1.8162
27.2436
71 -
80
25
75.5
1.8779
46.9487
81 -
90
20
85.5
1.9320
38.6393
91 - 100
12
95.5
1.9800
23.7600
80
log G
150.1794
f . log X 150,1794 1,8772 80 f
G 75,37
Sehingga rata-rata ukur adalah 75,37
c. Rata-rata ukur untuk gejala pertumbuhan atau kenaikan Rata-rata ukur untuk gejala pertumbuhan atau kenaikan dengan syarat-syarat tertentu, seperti pertumbuhan bakteri, pertumbuhan penduduk, kenaikan bunga dapat dihitung dengan rumus : X Pt Po 1 100
t
Keterangan : Pt
= keadaan akhir pertumbuhan
Po = keadaan awal atau permulaan pertumbuhan
X = Rata-rata pertumbuhan setiap waktu t
= satuan waktu yang digunakan
Contoh Soal : Tentukan laju pertumbuhan rata-rata penduduk Indonesia jika pada akhir tahun 1946 dan akhir tahun 1956 jumlah penduduk masing-masing 60 juta dan 78 juta ? Penyelesaian : Pt = 78 Juta Po = 60 Juta
t = 10 tahun X Pt Po 1 100
t
X 78 601 100 X 1 100
10
10
1,3
1 X 1,310 100 X 1 1,0266 100 X 2,66
1
D. RATA-RATA HARMONIS a.
Rata-rata harmonis untuk data tunggal Rata-rata harmonis dari seperangkat data X1, X2, X3, ..., Xn dirumuskan : RH
n
1 X
n 1 1 1 1 ... X1 X 2 X 3 Xn
Contoh soal : Si B berepgian pergi-pulang ke kampus dengan kendaraan mobil. Waktu pergi ia menggunakan waktu 40 km/jam, sedang waktu kembali menggunakan waktu 30 km/jam. Berapa kecepatan rata-rata pergi pulang si B? Penyelesaian :
RH
b.
2 32,3 km / jam 1 1 40 30
Rata-rata harmonis untuk data berkelompok Untuk data berkelompok, rata-rata harmonis dapat dihitung dengan rumus : RH
f f X
Antara ketiga rata-rata dalam ukuran nilai pusat, yaitu rata-rata hitung, rata-rata ukur dan rata-rata harmonis terdapat hubungan : RH G X Contoh : Tentukan rata-rata harmonis dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas Borobudur! Frekuensi
Titik Tengah
Nilai Ujian
(f)
(X)
31 -
40
1
35.5
0.0282
41 -
50
2
45.5
0.0440
51 -
60
5
55.5
0.0901
61 -
70
15
65.5
0.2290
71 -
80
25
75.5
0.3311
81 -
90
20
85.5
0.2339
91 -
100
12
95.5
0.1257
80 Penyelesaian : RH
f f X
80 73,94 1,0819
1.0819
BAB 4 UKURAN PENYEBARAN (FRAKTIL)
1. Pengertian Fraktil Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi beberapa bagian yang sama. Fraktil dapat berupa kuartil, desil dan persentil. a. Kuartil Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama. Ada 3 kuartil yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3). a.
Untuk data tunggal Q = nilai yang ke
i(n + 1) , 4
i = 1, 2, 3
Contoh : Tentukan kuartil dari data : 2, 6, 8, 5, 4, 9, 12 Penyelesaian : Data diurutkan : 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12 n=7
b.
Q1
17 1 2, yaitu 4 4
Q3
37 1 6, yaitu 9 4
Q2
27 1 4, yaitu 6 4
Untuk data berkelompok =
− (Σ ) +4 ∙C
Keterangan: Bi = tepi bawah kelas kuartil i = 1, 2, 3
n = jumlah semua frekuensi = frekuensi kelas kuartil
(Σ ) = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil C = panjang interval kelas
Contoh : Tentukan kuartil ke-3 dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa Universitas T Tahun 2010 Frekuensi
Titik Tengah
Nilai Ujian
(f)
(X)
31 -
40
1
35.5
41 -
50
2
45.5
51 -
60
5
55.5
61 -
70
15
65.5
71 -
80
25
75.5
81 -
90
20
85.5
91 -
100
12
95.5
Penyelesaian : n = 80;
i = 3,
Bi = 80,5;
C = 10;
maka
in 380 60 terletak di kelas ke-6 4 4
= 20;
(Σ ) = 1+2+5+15+25 = 48
=
− (Σ ) +4 ∙C
=
− (Σ ) 60 − 48 +4 ∙ C = 80,5 + ∙ 10 = 80,5 + 6 = 86,5 20
b. DESIL Desil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. 1. Untuk data tunggal Di
in 1 ; i 1,2,3,...,9 10
2. Untuk data berkelompok =
+ 10
− (Σ )
∙C
Contoh: Tentukan desil ke-4 (D4) dan desil ke-8 (D8) dari distribusi frekuensi berikut. Nilai Matematika 40 Mahasiswa Universitas T Tahun 2010 Nilai
Frekuensi (f)
30 – 39
5
40 – 49
3
50 – 59
6
60 – 69
7
70 – 79
8
80 – 89
7
90 – 99
4
Jumlah
40
Penyelesaian: Untuk desil ke-4 (D4) n = 40;
i = 4,
B4 = 59,5;
C = 10;
+ 10
=
− (Σ )
maka
in 440 16 terletak di kelas ke-4 10 10
= 7;
(Σ ) = 5 + 3 + 6 = 14
∙ C = 59,5 +
16 − 14 ∙ 10 = 59,5 + 2,86 = 62,36 7
Untuk desil ke-8 (D8) n = 40;
i = 8,
B8 = 79,5;
C = 10;
+ 10
=
c.
− (Σ )
maka
in 840 32 terletak di kelas ke-6 10 10
= 7; ∙ C = 79,5 +
(Σ ) = 5 + 3 + 6 + 7 + 8 = 29 32 − 29 ∙ 10 = 79,5 + 4,29 = 83,79 7
PERSENTIL Persentil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut
menjadi seratus bagian yang sama. 1.
Untuk data tunggal Pi
in 1 ; i 1,2,3,...,99 100
2.
Untuk data berkelompok =
+ 100
− (Σ )
∙C
Contoh: Dari distribusi frekuensi di bawah ini, tentukan P88! Tinggi 100 Mahasiswa Universitas Borobudur Tinggi (cm)
Frekuensi (f)
150 – 154
4
155 – 159
8
160 – 164
14
165 – 169
35
170 – 174
27
175 - 179
12
Jumlah
100
Penyelesaian: n = 100;
i = 88,
B88 = 169,5;
C = 5;
=
+ 100
− (Σ
maka
in 88100 88 terletak di kelas ke-5 100 100
= 27; ) ∙ C = 169,5 +
(Σ
) = 4 + 8 + 14 + 35 = 61
88 − 61 ∙ 5 = 169,5 + 5 = 174,5 27
BAB 5 UKURAN DISPERSI A. PENGERTIAN DISPERSI Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.
B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI 1. Jangkauan (Range, R) Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecil data. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. a. Jangkauan Data Tunggal Bila ada sekumpulan data tunggal, X1, X2, ....., Xn maka jangkauannya adalah: Jangkauan = Xn – X1 Contoh: Tentukan jangkauan data: 2, 6, 8, 5, 4, 12, 9 Penyelesaian: Data diurutkan: 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12 X7 = 12 dan X1 = 2 Jangkauan = X7 – X1 = 12 – 2 = 10
b. Jangkauan Data Berkelompok Dapat ditentukan dengan dua cara: 1) Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah. 2) Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi kelas terendah.
Contoh: Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut! Tabel Nilai Matematika 50 Siswa Nilai
Frekuensi
50 – 54
2
55 – 59
4
60 – 64
10
65 – 69
14
70 – 74
12
75 – 79
5
80 – 84
3
Jumlah
50
Penyelesaian: Titik tengah kelas terendah
= 52
Titik tengah kelas tertinggi
= 82
Tepi bawah kelas terendah
= 49,5
Tepi atas kelas tertinggi
= 84,5
1. Jangkauan = 82 – 52 = 30 2. Jangkauan = 84,5 – 49,5 = 35
2. Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil Jangkauan antarkuartil adalah selisih antar kuartil atas (Q3) dan kuatil bawah (Q1). Dirumuskan:
JK = Q3 – Q1
Jangkauan semi interkuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas (Q3) dan kuatil bawah (Q1). Dirumuskan:
= (
−
)
Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok. Contoh Soal: 1. Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari data berikut! 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 Penyelesaian: Q1 = 4 dan Q3 = 12, = (
JK = Q3 – Q1 = 12 – 4 = 8 − ) = (8) = 4
2. Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuatil distribusi frekuensi berikut.
NILAI UJIAN STATISTIK 80 MAHASISWA Nilai Ujian 30 40 50 60 70 80 90
– – – – – – –
Frekuensi (f)
39 49 59 69 79 89 99
2 3 5 14 24 20 12
Jumlah
80
Penyelesaian: n ( f1 ) Q1 B1 4 C fQ1
3n ( f3 ) Q3 B3 4 C fQ3
80 10 4 Q1 59,5 10 14
3 (80) 48 4 Q3 79,5 10 20
Q1 59,5 7,14 66,64
Q3 79,5 6 85,5
JK = 85,5 – 66,64 = 18,86 dan Qd
1 85,5 66,64 9,43 . 2
Jangkauan antarkuartil (JK) dapat digunakan untuk menemukan data pencilan, yaitu data yang dianggap salah atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang, karena itu perlu diteliti ulang. Data pencilan adalah data yang kurang dari pagar luar. L
= 1,5 x JK
PD = Q1 – L PL = Q3 + L Keterangan: L
= satu langkah
PD
= pagar dalam
PL
= pagar luar
Contoh soal: Selidikilah apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini! 15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97. Penyelesaian: Q1
= 50 dan Q3 = 68
JK
= 68 – 50 = 18
L
= 1,5 x 18 = 27
PD
= 50 – 27 = 23
PL
= 68 + 27 = 95 Pada data di atas terdapat nilai 15 dan 97 yang berarti kurang dari pagar dalam
(23) atau lebih dari pagar luar (95). Dengan demikian, nilai 15 dan 97 termasuk data pencilan, karena itu perlu diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur, atau data dari kasus menyimpang.
3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangansimpangannya. a. Deviasi rata-rata data tunggal
X X 1 X X n n Contoh soal : Tentukan deviasi rata-rata data 2, 3, 6, 8, 11! DR
Penyelesaian: Rata-rata hitung = X
X
i
DR
2 3 6 8 11 6 5
X 2 6 3 6 6 6 8 6 11 6 14
X
i
n
X
14 2,8 5
b. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok 1 DR f X X n
f
X X n
4. Varians Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai simpangan rata-rata kuadrat. Varians sampel disimbolkan dengan s2. Varians populasi disimbolkan dengan σ2(sigma). a. Varians data tunggal Dapat digunakan dengan dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka kasar. 1. Metode Biasa a. Untuk sampel besar (n > 30) : 2
s
2 n
b. Untuk sampel kecil (n 30) : 2
s
2 n 1
2. Metode Angka Kasar a. Untuk sampel besar (n > 30) : 2
s
X2 n
X n
2
b. Untuk sampel kecil (n 30) : 2
s
X2 n 1
2 n (n 1)
Contoh Soal: Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11 ? Penyelesaian: n=5 X
2 3 6 8 11 6 5
2
s
X
X X
2 3 6 8 11 30
-4 -3 0 2 5
2
n 1
X X
X2
16 9 0 4 25 54
4 9 36 64 121 234
2
54 13,5 5 1
2
s
2
n 1
2 n (n 1)
30 2 13,5 234 5 1 55 1
b. Varians data berkelompok Untuk data berkelompok, dapat digunakan dengan tiga metode, yaitu : 1) Metode biasa, a. Untuk sampel besar (n > 30) : 2
s
f 2 n
b. Untuk sampel kecil (n 30) : 2
s
f 2 n 1
2) Metode angka kasar, dan a. Untuk sampel besar (n > 30) : s
2
2 fX 2 fX n n
b. Untuk sampel kecil (n 30) : s
2
fX 2 fX 2 n n n 1
3) Metode coding. a. Untuk sampel besar (n > 30) : 2
s C
2
fu n
2
fu n
2
b. Untuk sampel kecil (n 30) :
2
s C
2
fu
2
n 1
fu
2
nn 1
Keterangan: C
= panjang interval kelas
u
=
M
= rata-rata hitung sementara
d X M C C
Contoh: Tentukan varians dari data diistribusi frekuensi berikut! Tabel Nilai Matematika 40 Siswa di Sekolah T Nilai
Frekuensi
65 – 67
2
68 – 70
5
71 – 73
13
74 – 76
14
77 – 79
4
80 - 82
2
Jumlah
40
Penyelesaian: Nilai 65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 - 82 Jumlah
=
X 66 69 72 75 78 81
f 2 5 13 14 4 2 40
− -7,425 -4,425 -1,425 1,575 4,575 7,575
( − ) 55,130625 19,580625 2,030625 2,480625 20,930625 57,380625
( − ) 110,26125 97,903125 26,398125 34,72875 83,7225 114,76125 467,775
(66 × 2) + (69 × 5) + (72 × 13) + (75 × 14) + (78 × 4) + (81 × 2) 40
= =
= 73,425 Σ ( − )
=
467,775 = 11,694375 40
5. Simpangan Baku (Standar Deviasi) Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat. Simpangan Baku sampel disimbolkan dengan s. Simpangan Baku populasi disimbolkan dengan σ. Menentukan simpangan baku : s var ians a. Simpangan Baku Data Tunggal 1. Metode biasa a. Untuk sampel besar (n > 30) :
s
2 n
b. Untuk sampel kecil (n 30) : s
2 n 1
3. Metode angka kasar a. Untuk sampel besar (n > 30) : s
X
2
n
X n
2
b. Untuk sampel kecil (n 30) : s
X
2
n 1
X
2
nn 1
Contoh Soal: 1. Tentukan simpangan baku (standar deviasi) dari data 2, 3, 6, 8, 11 ? Penyelesaian: Dari perhitungan sebelumnya, diperoleh s2 = 13,5 Simpangan bakunya adalah:
s var ians 13,5 3,67 . 2. Berikut ini adalah sampel nilai mid test statistik I dari sekelompok mahasisiwa di sebuah universitas. 30
35
42
50
Tentukan simpangan bakunya! Penyelesaian: n = 10
58
66
74
82
90
98
X
s
s
900
-27,5
756,25
1225
42
-20,5
420,25
1764
50
-12,5
156,25
2500
58
-4,5
20,25
3364
66
3,5
12,25
4356
74
11,5
132,25
5476
82
19,5
380,25
6724
90
27,5
756,25
8100
98
35,5
1260,25
9604
625
X 62,5
4950,5
44013
n 1
X
4905,5 550,056 23, 45 10 1
X
2
2
nn 1
n 1
2
44013 625 4890,33 4340,28 23,45 10 1 1010 1
b. Simpangan baku Data Berkelompok 1. Metode biasa a. Untuk sampel besar (n > 30) :
f 2 n
b. Untuk sampel kecil (n 30) :
f 2 n 1
2. Metode angka kasar a. Untuk sampel besar (n > 30) : s
1056,25
35
s
X2
2
30
2
s
X X
X X -32,5
fX 2 n
fX n
2
b. Untuk sampel kecil (n 30) : s
fX 2 n 1
fX 2 nn 1
3. Metode coding a. Untuk sampel besar (n > 30) : s C
fu
2
n
fu n
2
b. Untuk sampel kecil (n 30) : s C
fu
2
n 1
fu
2
nn 1
Contoh: Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut (gunakan ketiga rumuusnya)! Penyelesaian: Berat Badan 100 Mahasiswa Universitas T tahun 2010 Berat Badan (kg)
Frekuensi (f)
40 – 44
8
45 – 49
12
50 – 54
19
55 – 59
31
60 – 64
20
65 – 69
6
70 - 74
4
Jumlah
100
Penyelesaian: a. Dengan metode Biasa Nilai 40 – 44
X 42
f 8
fX 336
− -13,85
( − ) 191,8225
( − ) 1534,58
45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 - 74 Jumlah =
=
Σ Σ
12 19 31 20 6 4 100
47 52 57 62 67 72
=
564 988 1767 1240 402 288 5585
-8,85 -3,85 1,15 6,15 11,15 16,15
78,3225 14,8225 1,3225 37,8225 124,3225 260,8225
939,87 281,6275 40,9975 756,45 745,935 1043,29 5342,75
5585 = 55,85 100
Σ ( − )
=
5342,75 = 7,31 100
b. Metode Angka Kasar Nilai 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 - 74 Jumlah
=
Σ
X 42 47 52 57 62 67 72
−
Σ
f 8 12 19 31 20 6 4 100
=
fX 336 564 988 1.767 1.240 402 288 5.585
317.265 5.585 − 100 100
X2 1.764 2.209 2.704 3.249 3.844 4.489 5.184
fX2 14.112 26.508 51.376 100.719 76.880 26.934 20.736 317.265
= 7,31
c. Metode Coding
Nilai 40 – 44 45 – 49
X 42 47
f 8 12
u -3 -2
u2 9 4
fu -24 -24
fu2 72 48
50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 - 74 Jumlah
19 31 20 6 4 100
52 57 62 67 72
-1 0 1 2 3
1 0 1 4 9
-19 0 20 12 12 -23
19 0 20 24 36 219
c = 5; = c∙
Σ
−
Σ
= 5∙
219 −23 − 100 100
= 7,31
C. KOEFISIEN VARIASI Koefisien dispersi atau variasi yang telah dibahas sebelumnya merupakan dispersi absolut, seperti jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan kuartil dan simpangan baku. Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data, digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara dispersi absolut dan rata-ratanya. Dispersi relatif digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya. Koefisien variasi adalah contoh dispersi relatif. Ada empat macam dispersi relatif, yaitu : 1. Koefisien Variasi (KV) Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi relatifnya disebut koefisien variasi (KV).
KV
s 100% X
Keterangan: KV = koefisien variasi s
= simpangan baku
X
= rata-rata
Contoh Soal: Dari hasil penelitian 2 sekolah, diketahui jumlah siswa yang menyukai belajar matematika, datanya sebagai berikut. Sekolah A = X A 980 anak, s A 15
Sekolah B = X B 785 anak, s B 5 Tentukan Koefisien variasi masing-masing! Penyelesaian:
KV A
sA 15 100% 100% 1,53% XA 980
KV B
sB 5 100% 100% 0,636% XB 785
2. Variasi Jangkauan (VR) Variasi jangkauan adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan jangkauan.
VR
R 100% X
3. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR) Variasi Simpangan Rata-Rata adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan simpangan rata-rata.
VR
SR 100% X
4. Variasi Kuartil (VQ) Variasi Kuartil adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan kuartil. Qd 100% Me Q Q1 VQ 3 100% Q3 Q1 VQ
DISPERSI ABSOLUT digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilainilai observasi pada suatu data, sedangkan DISPERSI RELATIF digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara. Irianto, Agus. 2008. Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana. Pusat Pembina dan Pengembangan Bahasa. 1998. Kamus Besar Bahasa Indonesia Edisi ke 2. Jakarta: Balai Pustaka. Sudjana. 2002. Metoda Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.
