BAB IX. STATISTIKA
Contoh : hasil ulangan Matematika 5 siswa sbb: 6 8 7 6 9
Pengertian Statistika dan Statistik: Statistika adalah ilmu pengetahuan yang membahas metode-metode ilmiah tentang cara-cara pengumpulan data, pengolahan, penganalisian dan penarikan kesimpulan. Statistik adalah kumpulan data, bilangan ataupun non bilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram yang menggambarkan suatu masalah Statitika secara umum dibagi menjadi dua macam: 1. Statistika Deskriptif: Meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan dan mengelompokkan data, menyusun dan menyajikan data dalam bentuk tabel atau grafik yang mudah dipahami dan menganalisa tanpa mengambil kesimpulan. 2. Statistika Inferensia atau induktif: Meliputi penganalisian data agar diperoleh kesimpulan secara umum
Angka masing-masing 6, 8, 7, 6, 9 disebut datum, keseluruhan angka-angka disebut data Data Kuantitatif: data dalam bentuk angka atau bilangan Terdiri dari 2 jenis: 1. Data diskrit atau cacahan : data diperoleh dengan cara menghitung atau mencacah misal: data siswa kelas 3 yang tidak lulus UNAS 2. Data Kontinu/ukuran : data diperoleh dengan cara mengukur. misal: data tentang berat siswa kelas 2 IPA
Data kualitatif : data berupa kategori yang menunjukkan keadaan fisik objek yang diamati Terdiri dari 2 jenis: 1. Data nominal: data yang memerlukan subbagian untuk melengkapi deskripsi data. misal: warna kulit : sawo matang, putih, hitam
Populasi dan Sampel: Populasi : keseluruhan objek yang akan diambil datanya/ akan diteliti
2. Data ordinal : data yang memerlukan pemeringkatan/tingkatan untuk melengkapi deskripsi data. misal: Kecepatan siswa dalam merespon pelajaran: cepat, sedang, lambat.
Sampel : beberapa/sebagian populasi yang dipilih untuk diteliti
Datum, data, data kuantitatif, data kualitatif
Penyajian Data:
Datum : informasi yang didapat dari pengamatan terhadap objek, dapat berupa angka atau lambang Data : kumpulan dari datum-datum secara keseluruhan
Data yang telah dikumpulkan perlu disusun dan disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik agar mudah dipahami untuk keperluan laporan dan atau analisa lebih lanjut. Bentuk tersebut berupa tabel atau diagram.
www.belajar-matematika.com - 1
9. SOAL-SOAL STATISTIKA UN2004SMK 1. Diagram lingkaran di bawah menyajikan jenis ekstrakurikuler di suatu SMK yang diikuti oleh 500 orang siswa . Banyak siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler Paskibra adalah…..
Olah Paskibra raga 30% 20 % Beladiri 10%
A. 200 siswa B. 250 siswa C. 300 siswa D. 350 siswa E. 375 siswa
jawab: k
∑f i =1
x =
i
.x i
k
∑f i =1
i
k
∑f
x = 5.5 ;
i =1
5.5 =
= 40
i
17.4 + 10.x + 6.(6.5) + 7.8 163 + 10.x = 40 40
163 + 10.x 40 220 = 163 +10. x 57 = 10.x 57 = 5.7 x= 10
5.5 =
Pramuka
jawab:
jawabannya adalah D
Yang tidak mengikuti ekstrakurikuler Paskibra =
EBTANAS1996 3. Rata-rata nilai ulangan Matematika dari 40 orang siswa adalah 5,1. Jika seorang siswa tidak disertakan dalam perhitungan maka nilai rata-ratanya menjadi 5,0. Nilai siswa tersebut adalah …
100 % - 30 % = 70 % Sehingga banyaknya siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler Paskibra = 70% x 500 siswa = 350 siswa
A. 9,0
B. 8,0
C. 7,5
D. 6,0
E. 5,5
Jawabannya adalah D EBTANAS2002 2. Nilai rata-rata ujian Bahasa Inggris 40 siswa suatu SMU yang diambil secara acak adalah 5,5. Data yang nilai yang diperoleh sebagai berikut: Frekuensi Nilai
17 4
10 X
6 6.5
jawab: k
∑f x =
7 8
i =1
i
.x i
k
∑f i =1
i
k
x = 5.1 ;
nilai x = ….. A. 6
B. 5.9
∑f i =1
C. 5.8
D. 5.7
E. 5.6
i
k
∑ i =1
= 40 ; k
f i .x i = x .
∑f i =1
i
= 5.1 . 40 = 204
jika seorang siswa tidak disertakan x = 5. Misal nilai siswa yang disertakan adalah x, maka 5=
204 − x 40 − 1
www.belajar-matematika.com - 1
jawab:
5 . 39 = 204 – x 195 = 204 – x x = 204 – 195 =9
S2 =
jawabannya adalah A x =
EBTANAS1995 4. Simpangan kuartil dari data 16, 15, 15, 19, 20, 22, 16,17, 25, 29, 32, 29, 32 adalah … A. 6
B. 6,5
C. 8
D. 9,5
1 (Q 3 - Q 1 ) 2
data disusun dahulu menjadi:
2
x1 + x 2 + x3 + ... + x n n
112 =7 16
=
S2 =
Q2
Q3
=
Q 1 = (16+16)/2 = 16 Q 2 = 20 Q 3 = (29+29)/2 = 29 1 1 (29 -16) Q d = (Q 3 - Q 1 ) = 2 2
∑ (x n
i =1
i
−x
)
2
1 {(6-7) 2 + (8-7) 2 + (6-7) 2 + (7-7) 2 + (8-7) 2 16 +(7-7) 2 + (9-7) 2 + (7-7) 2 + (7-7) 2 + (6-7) 2
+ (7-7) 2 } =
jawabannya adalah B
=
EBTANAS1997 5. Ragam (varians) dari data 6, 8, 6, 7, 8, 7, 9, 7, 7, 6, 7, 8, 6, 5, 8, 7 adalah … 1 C. 1 8
1 n
(7-7) 2 + (8-7) 2 + (6-7) 2 + (5-7) 2 + (8-7) 2
1 = . 13 = 6.5 2
A. 1
)
n = 16
15, 15, 16, 16, 17, 19, 20, 22, 25, 29, 29, 32, 32
3 B. 1 8
i =1
−x
i
x = 6+8+6+7+8+7+9+7+7+6+7+8+6+5+8+7 16
Simpangan Quartil :
Q1
∑ (x n
karena urutan data tidak berpengaruh kita langsung hitung saja
E. 16
Jawab:
Qd =
1 n
7 D. 8
5 E. 8
1 (1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 4 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 16 + 1+ 4 + 1 + 0) 1 . 16 = 1 16
jawabannya adalah A EBTANAS1988 6. Ditentukan data : 6 , 7 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 , 5 , 4 , 8 . Jangkauan semi inter kuartil adalah … A. 5,25
B. 2,25
www.belajar-matematika.com - 2
C. 4
D. 2,125
E. 2
jawab: Jangkauan semi antar kuartil (Simpangan kuartil) adalah setengah dari hamparan.
EBTANAS1987 8. Dari 10 data berikut 1, 3, 5, 6, 6, 6, 8, 9, 10, 12 tentukan kuartil atas (Q3) … A. 5
1 1 Q d = H = ( Q 3 - Q1) 2 2
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
jawab: memakaia cara biasa :
urutkan data menjadi :
step 1 : susun data Data sudah tersusun.
2 , 2 , 2 , 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 , 8
step 2 : bagi data menjadi 4 bagian: 1 2 3 4 Q1
Q2 Q3 3+ 4 Q3 = 6 Q1 = 2 ; Q 2 = 2 1 1 Q d = ( Q 3 - Q 1 ) = (6-2) = 2 2 2 jawabannya adalah E
1, 3, 5, 6, 6, 6, 8, 9, 10, 12
Q1
Q2 Q3 (di tengah) Q 3 adalah 9 jawabannya adalah E
EBTANAS1986 7. Dari data 7 , 8 , 5 , 6 , 9 , 7 , 10 , 9 mediannya adalah … A. 6
B. 7,5 C. 8
D. 8,5
E. 9
jawab: - Jika n ganjil : median = x n +1 2
1 - Jika n genap : median= 2
⎞ ⎛ ⎜ xn + xn ⎟ ⎜ +1 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2
urutkan datanya:
catatan: bagaimana jika data ganjil ? ambil contoh data tersebut ditambah 1 angka sehingga n = 11 menjadi: 1, 3, 5, 6, 6, 6, 8, 9, 10, 12, 12 menggunakan rumus letak Qi = data ke x i ( n +1) 4
1(11 + 1) letak Q 1 = data ke 4 = data ke 3 = 5
5 , 6 , 7 , 7, 8 , 9, 9, 10 x 1 x 2 ………… x 8
letak Q 2 = data ke
n = 8 = genap 1 Median = (x 8 + x 8 ) +1 2 2 2
letak Q 3 = data ke
2(11 + 1) 4 = data ke 6 = 6 3(11 + 1) 4 = data ke 9 = 10
1 1 (x 4 + x 5 ) = (7+8) = 7.5 2 2 Jawabannya adalah B =
www.belajar-matematika.com - 3
UNAS2003 9. Kuartil bawah dari data yang tersaji pada tabel distribusi frekuensi di samping adalah … Nilai Frekuensi 30 – 39 1 40 – 49 3 50 - 59 11 60 - 69 21 70 - 79 43 80 - 89 32 90 - 99 9 A. 66.9 B. 66.5 C. 66.6 D. 66.1
E. 66.0
= 1 + 3 +11 = 15 f = frekuensi kelas kuartil ke-i = 21 c = lebar kelas = 69.5 – 59.5 = 10 ⎞ ⎛ ⎜ i. n ⎟ ⎜ 4 − fk ⎟ Qi = Li + ⎜ ⎟ c f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ⎜ 1. 120 ⎟ − 15 ⎜ 4 ⎟ Q 1 = 59.5 + ⎜ ⎟ .10 21 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Jawab: 30 − 15 15 .10 ).10 = 59.5 + 21 21 = 59.5 + 7. 14 = 66.64
= 59.5 + ( soal adalah data berkelompok. yang ditanya adalah Q 1
jawabannya adalah C EBTANAS1996 10. Berat Badan Frekuensi 50 – 52 4 53 – 55 5 56 - 58 3 59 – 61 2 62 - 64 6
⎛ ⎞ ⎜ i. n ⎟ ⎜ 4 − fk ⎟ Qi = Li + ⎜ ⎟ c f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
n = 120 ,
Letak Q 1 =
i .n 1 .120 = 30 = 4 4
Nilai
Frekuensi
30 – 39 40 – 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
1 3 11 21 43 32 9
Median dari distribusi frekuensi di atas adalah … A. 52.5 B. 54.5 C. 55.25 D. 55.5
Frekuensi komulatif 1 4 15 36 79 111 120
E. 56.5
Jawab: banyaknya data adalah n = 4+5+3+2+6 = 20 20 n median terletak pada nilai ke = = 10 2 2 nilai data ke 10 terletak pada kelas interval ke 3. Sehingga kelas interval ke 3 merupakan kelas median.
terletak di kelas interval ke 4 (60 – 69) Gunakan rumus media data berkelompok: L i = tepi bawah kuartil ke-i = 60 – 0.5 = 59.5
f k = frekuensi komulatif kelas sebelum kuartil ke-i www.belajar-matematika.com - 4
⎞ ⎛n ⎜ − fk ⎟ ⎟ c Median = L + ⎜ 2 ⎜ f ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
L = tepi bawah kelas median= 56-0.5 = 55.5 f k = frekuensi komulatif kelas sebelum median = 4+5 = 9 f = frekuensi kelas median= 3 c = panjang kelas = 58.5 – 55.5 = 3 ⎞ ⎛ 20 −9⎟ ⎜ ⎟ .3 Median = 55.5 + ⎜ 2 ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
= 55.5 + (
rumus modus data berkelompok: ⎛ ∆1 ⎞ ⎟⎟ c M 0 = L + ⎜⎜ ⎝ ∆1 + ∆ 2 ⎠ L = tepi bawah kelas modus = 49 – 0.5 = 48.5 c = panjang kelas = 54.5 – 48.5 = 6 ∆ 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya = 14 – 9 = 5 ∆ 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya = 14 – 10 = 4 ⎛ 5 ⎞ M 0 = 48.5 + ⎜ ⎟. 6 ⎝5+ 4⎠ = 48.5 +
10 − 9 ).3 3
5 30 . 6 = 48.5 + 9 9
= 48.5 + 3.333 = 51.83 kg jawabannya adalah E
1 = 55.5 + . 3 = 55.5 + 1 = 56.5 3
EBTANAS1993 12. Simpangan dari kuartil data berkelompok pada tabel di bawah ini adalah ……
jawabannya adalah E
Nilai f 40 – 48 4 49 - 57 12 58 - 66 10 67 – 75 8 76 - 84 4 84 - 93 2 A. 21 B. 18 C. 14
UNAS2007 11. Perhatikan tabel berikut: Berat (kg) 31 – 36 37 - 42 43 - 48 49 - 54 55 – 60 61 – 66 67 - 72
Frekuensi 4 6 9 14 10 5 2
D. 2
jawab: Qd =
Modus data pada tabel tersebut adalah … A. 49,06 kg C. 50,70 kg E. 51,83 kg B. 50,20 kg D. 51,33 kg Jawab: Pada tabel tampak bahwa kelas interval ke 4 adalah modus karena mempunyai frekuensi yang paling besar yaitu 14.
1 ( Q 3 - Q1) 2
Rumus Quartil data berkelompok: ⎛ ⎞ ⎜ i. n ⎟ − f k ⎟ ⎜ 4 Qi = Li + ⎜ ⎟ c f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
www.belajar-matematika.com - 5
E. 9
EBTANAS1991 12 Daftar distribusi frekuensi di bawah menyatakan hasil ulangan matematika. Siswa yang lulus adalah yang mendapat nilai lebih dari 55,5. Maka banyak siswa yang lulus adalah …
Q1 : n = 40
i. n 1. 40 = 10. = 4 4 letak Q 1 terletak pada kelas interval ke 2
letak Q 1 =
Nilai 11 – 20 21 – 30 31 - 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100 ∑f
L 1 = 49 – 0.5 = 48.5 f k = 4 ; f = 12 ; c = 57.5 – 48.5 = 9 ⎛ ⎞ ⎜ 1. 40 ⎟ ⎜ 4 −4⎟ Q 1 = 48.5 + ⎜ ⎟ .9 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10 − 4 6 = 48.5 + ( .9 ) . 9 = 48.5 + 12 12 = 48.5 + 4.5 = 53
A. 36
Frekuensi 3 7 10 16 20 14 10 6 4 90
B. 44
C. 54
D. 56
E. 60
jawab: Q3: Nilai 55.5 terletak di interval kelas ke 5. Gunakan rumus Kuartil data berkelompok :
i. n 3. 40 = 30. = letak Q 3 = 4 4 letak Q 1 terletak pada kelas interval ke 4 L 1 = 67 – 0.5 = 66.5 f k = 4+12+10=26 ; f = 8 ; c = 75.5 – 66.5 = 9 ⎛ ⎞ ⎜ 3. 40 ⎟ ⎜ 4 − 26 ⎟ Q 2 = 66.5 + ⎜ ⎟ .9 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 30 − 26 4 ) . 9 = 66.5 + . 9 = 66.5 + ( 8 8 = 66.5 + 4.5 = 71 1 Q d = ( Q 3 - Q1) 2 1 1 = (71 – 53) = . 18 = 9 2 2
jawabannya adalah E
⎛ ⎞ ⎜ i. n ⎟ ⎜ 4 − fk ⎟ Qi = Li + ⎜ ⎟ c f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Menjadi : ⎛ x − fk Q = L + ⎜⎜ ⎝ f
⎞ ⎟⎟ c ; x = siswa yg tidak lulus ⎠
L = batas bawah kelas interval = 51 – 0.5 = 50.5
f k = frekuensi komulatif kelas sebelum kuartil = 3 + 7 + 10 + 16 = 36
f = frekuensi kelas kuartil = 20 c = lebar kelas = 60.5 – 50.5 = 10 ⎛ x − fk Q = L + ⎜⎜ ⎝ f
www.belajar-matematika.com - 6
⎞ ⎟⎟ c ⎠
⎛ x − 36 ⎞ = 50.5 + ⎜ ⎟ .10 ⎝ 20 ⎠
L = tepi bawah kelas modus = 23.5 c = panjang kelas = 28.5 – 23.5 = 5 ∆ 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya = 10 - 4 = 6 ∆ 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya = 10 – 6 = 4
x ⎛ x − 36 ⎞ = 50.5 + ⎜ ⎟ = 50.5 + - 18 2 ⎝ 2 ⎠
55.5 = 50.5 +
x - 18 2
⎛ ∆1 M 0 = L + ⎜⎜ ⎝ ∆1 + ∆ 2
x = 55.5 – 50.5 + 18 2 x = 23 ; 2 x = 23 . 2 = 46 Æ siswa yang tidak lulus
Maka banyaknya siswa yang lulus : 90 – 46 = 44 siswa
= 23.5 + (
= 23.5 +
⎞ ⎟⎟ c ⎠
6 ).5 6+4
6 . 5 = 23.5 + 3 = 26.5 10
jawabannya adalah D
jawabannya adalah B
UN2005 14. Nilai rataan dari data pada diagram adalah:
UN2003 13. Modus dari data pada histogram di bawah adalah…..
f
18 12 9 6 5
10.5 15.5 20.5 25.5 30.5 35.5 A. 23 B. 25 C. 26 D. 28
E. 30
A. 25.0 B. 25.5 C. 26.0 D. 26.5 E. 27 jawab :
jawab : Modus berada pada nilai grafik yang mempunyai nilai frekeunsi ynag tertinggi yaitu 10 dengan nilai batas bawah 23.5 dan batas atas 28.5. nilai modus dapat dicari dengan rumus: ⎛ ∆1 M 0 = L + ⎜⎜ ⎝ ∆1 + ∆ 2
⎞ ⎟⎟ c ⎠
x =
∑ f .x ∑f
Nilai tengah interval 10.5 – 15.5 Æ 15.5 − 10.5 ) = 10.5 + 2.5 = 13 10.5 + ( 2
www.belajar-matematika.com - 7
data
dengan cara yang sama nilai tengah kelas berikutnya 15.5 – 20.5 Æ 18 20.5 – 25.5 Æ 23 25.5 – 30.5 Æ 28 30.5 – 35.5 Æ 33 x =
=
∑ f .x ∑f 5.13 + 6.18 + 2.23 + 18.28 + 9.33 5 + 6 + 9 + 12 + 18
⎛ ⎞ ⎜ 2. n ⎟ − f k ⎟ ⎜ 4 Q2 = L2 + ⎜ ⎟ .c f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛n ⎞ ⎜ − fk ⎟ ⎟ .c Æ Median = L + ⎜ 2 ⎜ f ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
n = 5 + 6 + 8 +9 + 4 + 2 = 34 n 34 = 17 = 2 2 data ke 17 berada pada kelas interval ke 3 dengan frekuensi 8
letak median berada pada data ke
1250 = 25 = 50 jawabannya adalah B UN2004 15. Nilai Median dari data pada gambar adalah… f 9
L = tepi bawah kelas median= 15.5 f k = frekuensi komulatif kelas sebelum median = 5+6 = 11 f = frekuensi kelas median= 8 c = panjang kelas = 20.5 – 15.5 = 5
8 6 5
4 2
5.5 10.5 15.5 20.5 25.5 30.5 35.5 ukuran
⎛n ⎞ ⎜ − fk ⎟ ⎟ .c Median = L + ⎜ 2 ⎜ f ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
jawab:
⎛ 34 ⎞ − 11 ⎟ ⎜ ⎟.5 = 15.5 + ⎜ 2 ⎜ 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Nilai median = Q 2
= 15.5 + (
A. 16.75 C. 21.75 E. 24.25 B. 19.25 D. 23.75
Rumus dasar : ⎛ ⎞ ⎜ i. n ⎟ − f k ⎟ ⎜ 4 Qi = Li + ⎜ ⎟ c f ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠
17 − 11 ).5 8
6 .5 8 30 = 15.5 + 3.75 = 19.25 = 15.5 + 8
= 15.5 +
Jawabannya adalah B
www.belajar-matematika.com - 8
1. Penyajian data dalam bentuk diagram a. Diagram garis :
Kelas interval: Banyak data dikumpulkan dalam kelompok yang disebut kelas interval 51 – 60 Æ kelas interval pertama
b. Diagram batang
91 – 100 Æ kelas interval kelima
Frekuensi: Bilangan yang menyatakan banyak data pada setiap kelas interval Batas kelas:
c. Diagram lingkaran:
Nilai-nilai ujung pada kelas interval. Ujung atas disebut batas atas Ujung bawah disebut batas bawah 51, 61, 71, 81, 91 disebut batas bawah 60, 70, 80, 90, 100 disebut batas atas Tepi kelas: a. jika ketelitian hingga satuan , maka - tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5 - tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5
Daftar distribusi frekuensi: Penyajian data berukuran besar (n ≥ 30) dapat ilakukan dengan mengggunakan daftar distribusi frekuensi
Nilai ulangan Matematika
Banyak siswa (f)
51 - 60 61 - 70 71 – 80 81 - 90 91 - 100
10 15 10 7 3
b. jika ketelitian hingga satu desimal, maka - tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,05 - tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,05 a. jika ketelitian hingga dua desimal , maka - tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,005 - tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,005
Panjang kelas: Panjang kelas= tepi atas – tepi bawah
www.belajar-matematika.com - 2
Histogram dan Poligram Frekuensi: DATA TUNGGAL Histogram: 1. Ukuran Pemusatan : Untuk menyajikan data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi menjadi diagram, dibuat 2 sumbu yang saling tegak lurus, sumbu datar untuk kelas interval (tepi bawah dan tepi atas) , sumbu tegak untuk frekuensi
Terdapat nilai statistika yang dapat dimiliki oleh sekumpulan data yang diperoleh yaitu :
a. Rata-rata
Rata-rata =
jumlah seluruh data banyaknya data
Misal x1 , x 2 , x3 , ……, x n adalah sekumpulan data yang telah diurutkan maka: x =
x1 + x 2 + x3 + ... + x n n
atau x =
1 n
n
∑x i =1
i
x dibaca x bar adalah satuan hitung yang biasa disebut dengan rataan atau mean
Poligram Frekuensi: Tiap sisi atas batang yng berdekatan dihubungkan dengan sebuah garis dan sisi terakhir dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu mendatar maka akan terbentuk poligram frekuensi.
b. Rataan Sementara
Cara lain untuk menghitung rataan dengan cara menentukan rataan sementara yaitu dengan mengambil titik tengah sembarang kelas interval. Misalnya diketahui data tunggal x1 , x 2 , x3 , ……, x n dan rataan sementara yang ditaksir adalah x s maka rataan data tersebut adalah : x = xs +
∑d
i
n
di = x i - x s x i = nilai interval (nilai data) x s = nilai rataan sementara (nilai tengah interval)
www.belajar-matematika.com - 3
c. Median d. Rataan Tiga
Nilai tengah yang membagi seluruh data menjadi dua bagian yang sama setelah diurutkan - Jika n ganjil maka mediannya adalah nilai data n +1 ke atau median = x n +1 2 2
Rataan Tiga =
1 ( Q1 + 2 Q 2 + Q 3 ) 4
e. Desil
Ukuran yang membagi data menjadi 10 bagian
- Jika n genap maka mediannya adalah rata-rata nilai data n n ke dan nilai data ke +1 atau 2 2 ⎞ 1 ⎛ ⎜ xn + xn ⎟ median = ⎜ +1 ⎟ 2 ⎝ 2 2 ⎠
yang sama besar, didapatkan 9 buah desil yaitu D 1 , D 2 , D 3 , . . ., D 9 Untuk menentukan desil ke-i dapat digunakan rumus : D i = x i ( n +1) 10
d. Modus
D i = desil ke-i n = banyaknya datum (nilai data)
Data yang paling banyak muncul 2. Ukuran Letak:
x i ( n +1) = datum pada urutan ke 10
a. Kuartil
Jika median membagi data menjadi 2 bagian yang sama maka kuartil membagi data menjadi 4 bagian yang sama. Untuk menentukan kuartil dari suatu data yang telah diurutkan dapat dilakukan dengan membaginya menjadi 4 bagian juga dapat menggunakan rumus : Qi = x i ( n +1)
i (n + 1) 10
3. Ukuran Penyebaran : a. Jangkauan Data
Selisih antara nilai data terbesar dengan data yang terkecil J = x maks - x min
4
dimana :
Qi = kuartil ke-i n = banyaknya data
b. Statistik lima serangkai Terdiri dari : - datum(nilai data) terkecil (x min ) - datum terbesar (x max ) - Kuartil pertama (Q 1 ) - Kuartil kedua (Q 2 ) - Kuartil ketiga (Q 3 ) c. Rataan Kuartil
Rataan Kuartil =
b. Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan)
Selisih antara Kuartil ketiga dengan kuartil pertama H = Q 3 - Q1 c. Simpangan Kuartil ( Jangkauan semi antar kuartil)
adalah setengah dari hamparan. Qd =
1 1 H = ( Q 3 - Q1) 2 2
1 (Q 1 + Q 3 ) 2
www.belajar-matematika.com - 4
d. Langkah (L)
L=
DATA BERKELOMPOK 1. Ukuran Pemusatan Data
3 ( Q 3 - Q1) 2
a. Rataan hitung: Misalnya diketahui data dalam daftar distribusi frekuensi . Rataan data tersbut adalah :
e. Pagar Dalam
Pagar Dalam = Q 1 - L
k
∑f x =
f. Pagar Luar
i =1
i
.x i
k
∑f i =1
i
Pagar Luar = Q 3 + L k fi
g. Simpangan Rata-Rata (SR)
= banyaknya kelas = frekuensi pada kelas ke-i
k
∑f
Seberapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan. SR =
1 n
n
∑ i =1
i =1
i
= n = menyatakan banyaknya data
b. Rataan Sementara
xi − x
Misalnya diketahui titik tengah kelas x1 , x 2 , x3 , ……, x n yang masing-masing mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , f 3 , …., f k maka rataan datanya adalah:
n = banyaknya data xi = data ke i x = rataan
h. Ragam
Rata-rata kuadrat jarak suatu data dari nilai rataannya S2 =
1 n
∑ (x n
i =1
i
−x
)
(
i
i
= n menyatakan banyaknya data
c. Modus Modus dari suatu data berkelompok adalah:
i. Simpangan Baku/ Standar Deviasi 1 n ∑ xi − x n i =1
1
i
∑f
x = rataan
S2 =
∑ f .d ∑f
x s = rataan sementara di = xi - xs
2
n = banyaknya data xi = data ke i
S=
x = xs +
)
2
⎛ ∆1 M 0 = L + ⎜⎜ ⎝ ∆1 + ∆ 2
⎞ ⎟⎟ c ⎠
M 0 = modus data berkelompok L = tepi bawah kelas modus c = panjang kelas (tepi atas – tepi bawah kelas modus) ∆ 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya www.belajar-matematika.com - 5
∆ 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
Contoh:
Nilai ulangan Matematika
Banyak siswa (f)
51 - 60 61 - 70 71 – 80 81 - 90 91 - 100
10 15 8 7 3
⎞ ⎛n ⎜ − fk ⎟ ⎟ c Median = L + ⎜ 2 ⎜ f ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
L = tepi bawah kelas median n = banyaknya data f k = frekuensi komulatif kelas sebelum median f = frekuensi kelas median c =panjang kelas
2. Ukuran Letak Data a. Kuartil Kuartil data berkelompok dirumuskan sbb:
Letak modus data di atas adalah pada kelas ke 2 (jumlah frekuensi terbesar yaitu 15)
⎛ ⎞ ⎜ i. n ⎟ − f k ⎟ ⎜ 4 Qi = Li + ⎜ ⎟ c f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
L = tepi bawah = 61 – 0.5 = 60.5 ∆ 1 = 15 – 10 = 5 (10 adalah frekuensi kelas sebelumnya) ∆ 2 = 15 – 8= 7
i Li n fk f c
(8 adalah frekuensi kelas sesudahnya.
c = 70.5 - 60.5 = 10
Sehingga modus dari data berkelompok tersebut bisa didapat dengan memasukkan angka-angka di atas ke dalam rumus. ⎛ ∆1 M 0 = L + ⎜⎜ ⎝ ∆1 + ∆ 2
b. Desil Desil data berkelompok didapat dengan rumus: ⎛ ⎞ ⎜ i. n ⎟ ⎜ 10 − f k ⎟ Di = Li + ⎜ ⎟ c f ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎞ ⎟⎟ c ⎠
⎛ 5 ⎞ = 60.5 + ⎜ ⎟ . 10 ⎝5+7⎠ = 60.5 + 4,167 = 64.667
d. Median Median data berkelompok adalah:
= 1,2,3 = tepi bawah kuartil ke-i = banyaknya data = frekuensi komulatif kelas sebelum kuartil ke-i = frekuensi kelas kuartil ke-i = lebar kelas
i Li n fk
= 1,2,3, …, 9 = tepi bawah kelas interval yang memuat D i = banyaknya data = jumlah frekuensi semua kelas interval sebelum kelas interval yang memuat D i f = frekuensi kelas interval yang memuat D i c = lebar kelas interval
www.belajar-matematika.com - 6
3. Ukuran Penyebaran Data a. Jangkauan:
i. Angka Baku (Z) Z=
H = Q 3 - Q1
x−x S
b. Simpangan Kuartil 1 (Q 3 - Q 1 ) 2
Qd = c. Langkah L=
3 ( Q 3 - Q1) 2
d. Pagar dalam Pagar Dalam = Q 1 - L e. Pagar Luar Pagar Luar = Q 3 + L f. Simpangan Rata-rata k
∑f SR =
i =1
i
| xi − x | k
∑f
i
∑ f (x
i
i =1
g. Ragam k
S2 =
i =1
i
−x
)
2
k
∑f i =1
i
h. Koefisien Keragaman (v) S x 100% (v) = x S = Simpangan baku x = Rataan hitung
www.belajar-matematika.com - 7
