STATISTIK DAN STATISTIKA A. Pengertian Statistik dan Statistika Statistik berasal dari kata “State” yang artinya negara, mengapa demikian karena ilmu ini diilhami dari penemuan para ahli yaitu : “bahwa di setiap negara pasti mempunyai sesuatu yang disebut kumpulan keterangan” . Dari keterangan ( selanjutnya disebut “data” ) ini bila diolah akan didapat banyak manfaat darinya. Misalnya : 1. Keterangan atau data tentang jumlah penduduk suatu negara, data ini menghasilkan olahan yang bemanfaat untuk : a. Mengukur kekuatan potensial suatu negara bisa merekrut mnjadi tentara untuk keperluan perang. b. Menarik pajak dari rakyatnya, dll. 2. Catatan keterangan tentang musim disuatu negara, bermanfaat untuk menentukan kapan musim tanam akan datang, dll. Akhirnya para ahli bersepakat bahwa ada suatu ilmu yang mempelajari tentang kumpulan keterangan yang belum termasuk dari ilmu – ilmu yang sudah ada. Ilmu yang baru itu dinamakan Statistik yang pada perkembangan selanjutnya disebut Statistika hal ini bisa dijelaskan dengan uraian selanjutnya. Pada perkembangan terakhir disepakati pengertian keduanya sebagai berikut : 1. Pengertian Statistik : a. Pengertian awal adalah sebagai kumpulan keterangan b. Kumpulan fakta yang berbentuk bilangan yang disusun dalam tabel atau diagram untuk menggambarkan suatu keadaan. c. Suatu ukuran sebagai wakil sekumpulan keterangan mengenai suatu hal. Statistik yang menggambarkan tentang sesuatu hal biasa diberi nama mengenai hal yang bersangkutan, misalnya : Statistik penduduk, Statistik perdagangan, dan sebagainya. 2. Pengetian Statistika : Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang cara mengumpulkan keterangan atau data, menyusun, menyajikan, mengolah dengan metode analisa sehingga dapat ditarik kesimpulan yang cermat serta keputusan rasional dan logis. Statistika menurut prosesnya pengerjaannya dibedakan menjadi 2 yaitu : a. Statistika Deskriptif (Statistika Deduktif). Statistika deskriptif adalah bagian dari proses pengerjaan statistika yang membicarakan cara mengumpulkan, menyusun, menyajikan menganalisa data sampai menarik kesimpulan selingkup data yang ada, tidak sampai menarik kesimpulan yang berlaku umum. b. Statistika Induktif (Statistika Inference). Statistika Induktif adalah bagian dari proses pengerjaan statistika yang menyatakan semua aturan dan cara yang dapat dipakai untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum dari data yang sudah tersusun maupun yang belum tersusun serta menjelaskan sebab dan akibatnya. 3. Fungsi, Peran dan Kegunaan Statistika : Fungsi dan peran statistika menurut Guiford adalah : a. Merupakan pencatatan yang pasti atau eksak b. Memaksa pengamat/peneliti bertata pikir dan tata kerja yang definitif, tersusun, terarah dan terprogram c. Menyediakan cara untuk meringkas data d. Memberi dasar untuk menarik kesimpulan dan mengambil keputusan yang benar e. Memberi landasan untuk meramal secara ilmiah tentang suatu gejala f. Memungkinkan menganalisa sebab dan akibat yang kompleks dan rumit. Statistika pada masa sekarang hampir bisa dimanfaatkan untuk segala bidang pekerjaan yang membutuhkan analisa dan tindak lanjut, misalnya : a. Bidang marketing b. Produksi c. Akuntansi d. Riset e. Pendidikan f. Militer, dan sebagainya. Pada statistika yang dibicarakan adalah data (keterangan), apakah itu data, bagaimana cara mengumpulkannya, bagaimana macamnya bisa diikuti penjelasannya berikut.
1. Pengertian Data Data adalah kumpulan keterangan (biasanya berupa bilangan) dari pengamatan suatu obyek atau pengukuran suatu variabel dan yang dimaksud variabel adalah apa yang kita kehendaki terhadap suatu obyek. Misal : tinggi siswa, hobi siswa, berat badan, dan sebagainya 2. Cara mengumpulkan data Ada beberapa cara yang dapat dipakai dalam pengumpulan data yaitu : a. Pengamatan atau observari Cara ini adalah langsung mengamati terhadap obyek – obyek yang diselidiki. b. Wawancara atau interview Wawancara adalah pengumpulan data dengan tanya jawab langsung dengan seseorang yang ada hubungannya dengan obyek – obyek yang diselidiki. c. Angket atau quesioner Pengumpulan data dengan angket adalah dengan memberikan pertanyaan tertulis yang telah disusun oleh peneliti dalam kumpulan pertanyaan dengan harapan dapat dijawab dengan jujur oleh responden tentang obyek – obyek yang diselidiki. d. Koleksi Cara ini adalah dengan mengkoleksi keterangan – keterangan tentang obyek – obyek yang diselidiki dari media yang ada. Misal : surat kabar, berita dari radio atau TV, dsb. 3. Macam – macam data Data dapat dibedakan dari beberapa tinjauan, diantarnya : 1. Menurut jenisnya, data dibedakan menjadi : a. Data kualitatif Data kualitatif adalah data atau keterangan yang tidak bisa dinyatakan dengan bilangan, misalnya : 1) Warna 2) Agama 3) Jenis kelamin, dll. b. Data kuantitatif Data kuantitaif adalah data yang dapat dinyatakan dengan bilangan, misal : 1) Nilai tes matematika kelas 3 2) Berat badan balita, dll. 2. Menurut bilangannya, data dibedakan menjadi : a. Data Kontinu Data kontinu adalah data dari hasil pengukuran, sehingga pada umumnya bukan merupakan bilngan bulat b. Data Diskrit Data diskrit adalah data dari hasil membilang, bilangannya umumnya berupa bilangan bulat 3. Menurut sumbernya, data dibedakan menjadi : a. Data Intern Data yang diperoleh dari sumbernya sendiri, misalnya : produksi suatui perusahaan b. Data ekstern Data yang didapat dari luar sumbernya, misalnya : pemasaran 4. Menurut cara mendapatkan, data dibedakan menjadi : a. Data Primer Adalah data yang diperoleh langsung dari sumbernya, misalnya mengamati perkembangan harga emas datanya didapat langsung dari toko penjual emas. b. Data Skunder Adalah data yang diperoleh melaui sumber lain, misalnya mengamati perkembangan harga emas datanya didapat dari berita di surat kabar. 5. Menurut obyek pengamatan, data dibedakan menjadi : a. Data Populasi Data populasi adalah data dari suatu pengamatan melibatkan seluruh obyek pengamatan, misalnya sensus penduduk b. Data sampel Data sampel adalah data dari suatu pengamatan yang hanya mengambil sebagian dari obyek pengamatan, misalnya jika akan mengetahui perkembangan
harga sembako di suatu provinsi tapi hanya mengamati dibeberapa pasar yang dianggap bisa mewakili di provinsi tersebut. 4. Syarat – syarat data yang baik Hasil olahan data akan bisa memberikan informasi yang benar dan bermanfaat bila data tersebut merupakan data yang benar dan baik. Data yang baik adalah data atau keterangan yang bila diolah dengan benar akan didapat keterangan yang sesuai dengan keadaan sebenarnya, untuk hal tersebut maka agar data bisa dikatakan baik harus memenuhi beberapa syarat diantanya : a. Data harus Obyektif Artinya data harus sesuai dengan keadaan sebenarnya tidak direkayasa disesuaikan dengan kehendak seseorang. b. Data harus valid Valid artinya sah, sehingga data tersebut harus bisa dipertanggungjawabkan kebenaran maupun sumbernya saat didapatkan. c. Data harus bisa mewakili (representatif) Data harus dipilih dari obyek – obyek yang bisa mewakili dari obyek pengamatan, hal ini sangat perlu untuk data sampel (hanya diambil beberapa dari seluruh obyek pengamatan). d. Data harus sesuai dengan waktu pengamatan (Up to Date) Rentang waktu yang lama dari suatu data mungkin sudah kurang cocok dengan kondisi saat pengamatan (kadaluwarsa), sehingga data harus yang baru agar tidak diragukan kemanfaatannya. Soal latihan : Jawablah pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas secara mandiri, kemudian buat kelompok yang terdiri paling banyak 5 orang diskusikan jawaban anda dengan teman 1 kelompok dan bila ada yang kurang sepaham dengan teman mintalah penjelasan kepada guru ! 1. Tuliskan pengertian dari Statistik dan Statistika ! 2. Sebutkan dua macam statistika menurut proses pengerjaannya dan jelaskan masing – masing ! 3. Sebutkan fungsi dan peran statistika menurut Guiford ! 4. Sebutkan 10 bidang pekerjaan yang banyak memanfaatkan statistika yang anda tahu ! 5. Sebutkan cara mengumpulkan data ! 6. Sebutkan macam – macam data ! 7. Sebutkan contoh data kualitatif dan data kuantitatif masing – masing 5 macam ! 8. Tuliskan syarat data yang baik ! B. Penyajian Data Setelah kita memahami apa itu statistika, bagaimana cara mengumpulkan data dan apa syarat data yang baik agar bisa diolah dan didapatkan informasi yang benar, selanjutnya bagaimana cara menyajikan data agar data yang ada bisa dinikmati oleh peminatnya ? Hal ini akan bisa diikuti pembahasan berikut : Data yang telah terkumpul bisa jadi masih belum tertata, agar kumpulan data tersebut bisa segera diketahui menggambarkan tentang apa dan bagaimana yang terjadi haruslah kita sajikan dengan baik sesuai dengan pengertian ”disajikan” artinya kita menawarkan sesuatu untuk segera bisa dinikmati. Misal : ada data tentang hasil Tes matematika dari 40 siswa sebagai berikut : 8 4 7 6 3 9 8 5 6 3 7 9 9 2 5 7 4 5 9 8 7 5 3 6 6 5 8 7 2 9 10 5 5 8 7 6 10 3 5 7 Dari data nilai seperti ini kita belum bisa segera tahu berapa nilai terendah dan berapa nilai tertinggi, kebanyakan siswa mendapat nilai berapa, semua harus dicari dulu. Agar kita bisa segera tahu berapa nilai tertinggi, terendah dan kebanyakan siswa nilainya berapa, maka data tersebut bisa kita sajikan dengan mengurutkan nilainya dari yang terkecil sampai terbesar misalnya, dan inilah yang dimaksud menyajikan data. Cara menyajikan data : 1. Dengan Array Suatu array adalah penyusunan data mentah numeric dalam urutan besaran menaik atau menurun. Contoh data nilai tes matematika di atas kita susun array menaik sebagai berikut : 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8
8 Atau 10 8 6 5
8
8
9
9
9
9
9
10
kita susun array menurun sebagai berikut : 10 9 9 9 9 9 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 5 5 4 4 3 3 3 3 2
10 8 6 5 2
Pemaparan data seperti ini sudah bisa dikatakan penyajian data walau masih sangat sederhana karena kita dengan sepintas pandang telah bisa tahu nilai tes matematika tertingginya 10, terendah 2 dan ada 8 siswa mendapat nilai 5. Selisih antara data terbesar dengan data terkecil disebut rentangan data ( range ) Data nilai tersebut mempunyai range = 10 – 2 = 8 2. Dengan Tabel Penyajian data yang sudah lebih baik dari sekedar array adalah kita buat tabel dari data tersebut menjadi : Turus / Banyak siswa Banyak siswa Nilai Nilai tally (Frekuensi) (Frekuensi) 10 // 2 10 2 9 //// 5 9 5 8 //// 5 8 5 7 //// // 7 7 7 6 //// 5 6 5 5 //// /// 8 5 8 4 // 2 4 2 3 //// 4 3 4 2 // 2 2 2 40 40 Lihat dengan tabel penyajian terkesan lebih singkat tapi telah memuat apa yang kita harapkan. Kolom turus atau tally hanyalah untuk pertolongan agar pemindahan susunan data yang belum tertata kedalam tabel tidak terjadi ada data yang tercecer atau bahkan terhitung lebih dari satu kali. Keberadaan kolom turus tidak harus atau boleh ditinggalkan. Sehingga tabel tersebut disajikan seperti tabel disebealnya. Apa bila rentang data (range) terlalu besar dan banyaknya data relatif besar, maka penyajian dengan tabel tersebut kurang bagus karena tabelnya menjadi terlalu panjang, sehingga perlu dibuat tabel tidak terlalu panjang tetapi juga jangan terlalu pendek. Misal : 23 28 79 40 72 31 47 58 67 71 56 81 81 25 52 48 32 84 72 95 43 90 53 59 76 81 43 29 56 34 47 56 78 42 32 34 25 71 62 71 87 62 64 50 22 75 46 98 37 45 Data tersebut jika kita susun seperti tabel di atas, tabelnya terlalu panjang sehingga sajiannya kurang menarik, untuk mengatasi hal ini datanya kita kelompok – kelompokkan (kelas – kelas) sehingga tabelnya tidak terlalu panjang agar enak dipandang. Langkah – langkah mengelompokkan data : a. Kita cari rentang datanya : Range = data terbesar – data terkecil = 98 – 22 = 76 (hal ini berarti jika dibuat tebal biasa dari data terkecil sampai data terbesar ada 76 baris) b. Tentukan rentang/panjang kelompok (panjang kelas) Rentang kelompok atau panjang kelas sering juga disebut interval kelas ditulis dengan lambang ” i ” . Kali ini kita ambil i = 5, artinya data kita kelompokkan lima – lima. Kelompok yang didapat : 22 – 26 ; 27 – 31 ; 32 – 36 ; 37 – 41 ;
c.
42 – 46 ; 47 – 51 ; 52 – 56 ; 57 – 61 ; 62 – 66 ; 67 – 71 ; 72 – 76 ; 77 – 81 ; 82 – 86 ; 87 – 91 ; 92 – 96 ; 97 – 101 ; Kita dapatkan 16 kelas (16 kelompok) selanjutnya kita buat tabelnya. Banyaknya kelompok/kelas ditulis dengan lambang ” k ” Buat tabel Nilai Turus / tally Frekuensi Nilai 22 – 26 //// 4 22 – 26 27 – 31 /// 3 27 – 31 32 – 36 //// 4 32 – 36 37 – 41 // 2 37 – 41 42 – 46 //// 5 42 – 46 47 – 51 //// 4 47 – 51 52 – 56 //// 5 52 – 56 57 – 61 // 2 57 – 61 62 – 66 /// 3 62 – 66 67 – 71 //// 4 67 – 71 72 – 72 //// 4 72 – 72 77 – 81 //// 5 77 – 81 82 – 86 / 1 82 – 86 87 – 91 // 2 87 – 91 92 – 96 / 1 92 – 96 97 – 101 / 1 97 – 101 50 Tabel masih terlihat cukup panjang, bisa kita perpendek, misal dengan i = 15 (dikelompokkan lima belas – lima belas) Didapat kelas – kelas : 22 – 36 ; 37 – 51 ; 52 – 66 ; 67 – 81 ; 82 – 96 ; 97 – 121 ; Didapat ada 6 kelas ditulus : k = 6 Tabelnya : Nilai Turus / tally Frekuensi Nilai 22 – 36 //// //// / 11 22 – 36 37 – 51 //// //// / 11 37 – 51 52 – 66 //// //// 10 52 – 66 67 – 81 //// //// /// 13 67 – 81 82 – 96 //// 4 82 – 96 97 – 121 / 1 97 – 121 50
f 4 3 4 2 5 4 5 2 3 4 4 5 1 2 1 1 50 mengambil
f 11 11 10 13 4 1 50
Hubungan antara range ( R ), panjang kelas ( i )dan banyak kelas ( k ) adalah : R R k= untuk = bilangan pecah dan akhirnya k harus i i dibulatkan keatas. R R atau k= +1 untuk bilangan bulat. i i Tabel data semacam ini sering disebut Tabel Distribusi Frekuensi . Sekali lagi dalam penyajian data harus mempertimbangkan bahwa data yang disajikan dengan sepintas pandang orang sudah tahu data tersebut menggambarkan tentang apa dan orang segera bisa membaca apa yang ia cari, tabel yang baik adalah tidak terlalu panjang tapi juga jangan terlalu pendek karena jika terlalu pendek akan mengaburkan gambaran data, untuk itu telah ditemukan aturan untuk menentukan banyak kelas agar tabel tidak terlalu panjang dan juga tidak terlalu pendek pada ukuran sejumlah data, yaitu Aturan STURGES sebagai berikut : k = 1 + 3,3 log n
n = banyak data dan k = banyak kelas.
Karena perhitungan k menggunakan logaritma, biasanya k berupa bilangan pecah, sedangkan k adalah banyak kelas yang harus berupa bilangan bulat tidak negatif, maka harus diadakan pembulatan dan pembulatannya selalu dibulatkan keatas.
Contoh : Pada data diatas buatlah tabel distribusi frekuensi dengan banyak kelas ditentukan dengan aturan Sturges ! Jawab : Data terbesar = 98 dan data terkecil = 22 Range = 98 – 22 = 76 Banyak data 50 ( n = 50) k = 1 + 3,3 log n k = 1 + 3,3 x log 50 k = 1 + 3,3 x 1,69897 = 1 + 6,606601 = 7,606601 k dibulatkan menjadi 8 R interval kelas dapat dicari dengan hubungan k = i R R k= i= i k 76 i= = 9,5 dibulatkan menjadi i = 10 8 Nilai Turus / tally Frekuensi Nilai f 22 – 31 //// // 7 22 – 31 7 32 – 41 //// / 6 32 – 41 6 42 – 51 //// //// 9 42 – 51 9 52 – 61 //// // 7 52 – 61 7 62 – 71 //// // 7 62 – 71 7 72 – 81 //// //// 9 72 – 81 9 82 – 91 /// 3 82 – 91 3 92 – 101 // 2 92 – 101 2 50 50 Catatan : 1) Data yang telah disusun dengan dikelompok – kelompokkan disebut sebagai data kelompok atau data majemuk. 2) Untuk pembuatan tabel, kelas pertama tidak harus selalu dimulai dengan data terkecil, boleh mengambil titik awal (starting point) bilangan yang lebih kecil dari data terkecil. Hal ini mempertimbangkan tampilan tabel, misal kelas terakhir mestinya data terbesar 98 tapi menurut perhitungan kelas terakhir 92 – 101 kelas terakhir ini dianggap kurang efektif, maka perlu batas akhir kelas terakhir didekatkan pada 98 (umpama kita kehendaki kelas terakhir 90 – 99, hal ini mengakibatkan titik awalnya bukan 22 tapi 20 dan kelas yang pertama 20 – 29). 3) Pada setiap kelas, data – data pembatas kelas disebut Batas kelas, batas yang kecil disebut Batas Bawah (ditulis Bb) dan batas yang besar disebut Batas Atas (ditulis Ba). Misal : Nilai 22 – 31 Batas Atas Batas Bawah 32 – 41 ... ... 82 – 91 92 – 101 4) Bila dicermati disetiap antar kelas ada celah bilangan dan apabila ada data yang besarnya terletak pada celah tersebut tidak akan bisa dimasukkan, hal ini tidak boleh terjadi, maka setiap kelas perlu diperlebar dengan setengah satuan terkecil data yang ada agar semua data bisa masuk kesalah satu kelas yang ada. Misal : Kelas pertama 22 – 31 Kelas kedua 32 – 41 Bila ada data yang besarnya 31,4 ; 31,6 ; 31,9 dst. Tentu tidak bisa masuk di kelas pertama maupun di kelas kedua, untuk mengantisipasinya kelas tersebut di perlebar ke kiri dan ke kanan sebesar setengah dari satuan terkecil datanya. Kelas Kelas Kelas
22 – 31 32 – 41 92 – 101
menjadi menjadi menjadi
21,5 – 31,5 31,5 – 41,5 91,5 – 101,5
dst.
Pada pelebaran kelas menjadi interval yang baru batas – batasnya yang baru disebut Tepi kelas (batas nyata kelas) , tepi kelas yang kecil disebut Tepi bawah (ditulis Tb) dan tepi kelas yang besar disebut Tepi Atas (ditulis Ta) disetiap kelasnya. Tepi Bawah
Tepi Atas
21,5 – 31,5 31,5 – 41,5 ................. 91,5 – 101,5
5) Jika pada kelas 22 – 31 interval kelasnya 10 ( i = 31 – 22 = 10), maka selisih antara tepi atas dengan tepi bawah setiap kelasnya disebut Luas kelas ( Ta – Tb) 6) Setiap kelas mempunyai titik tengah kelas ( dilambanghkan dengan Xt ). xt =
Ba Bb 2
Selain kita mengenal frekuensi yang dilambangkan dengan ” f ” yaitu bilangan yang menunjukkan banyaknya data yang sama pada sekumpulan data, juga dikenal istilah : 1) Frekuensi Kumulatif kurang dari (dilambangkan dengan ” fk< ” atau ” fk ” ), yang dimaksud adalah jumlah frekuensi kurang dari atau kurang dari sama dengan ( ) dari data yang disebutnya. 2) Frekuensi Kumulatif lebih dari (dilambangkan dengan ” fk> ” atau ” fk ” ), yang dimaksud adalah jumlah frekuensi lebih dari atau lebih dari sama dengan ( ) dari data yang disebutnya. 3) Frekuensi relatif ( fr ) : Frekuensi relatif adalah frekuensi yang dinyatakan dalam persen (%) dibandingkan dengan jumlah seuruh frekuensi. 4) Frekuensi Kumulatif Relatif ( fkr ) : Frekuensi kumulatif relatif adalah frekuensi kumulatif yang dinyatakan dalam persen (%) dibandingkan dengan jumlah seuruh frekuensi. Contoh : Nilai
f
fr
22 – 31 32 – 41 42 – 51 52 – 61 62 – 71 72 – 81 82 – 91 92 – 101
7 6 9 7 7 9 3 2 f = 50
14 % 12 % 18 % 14 % 14 % 18 % 6% 4%
fk fk 7 13 22 29 36 45 48 50
Fkr fk 50 43 37 28 21 14 5 2
fkr 14 % 23 % 44 % 58 % 72 % 90 % 96 % 100 %
fkr 100 86 74 56 42 28 10 4
Catatan : Pada frekuensi relatif ( fr ) , frekuensi kumulatif relatif ( fkr ) satuan persen boleh tidak dituliskan, lihat kolom fkr . Contoh soal 1 : Berikut adalah nilai tes matematika dari 36 siswa yang diambil dari daftar nilai sesuai urutan nomor absen siswa : 7 8 5 6
4 5 8 4
Tentukan :
6 6 7 9
6 4 7 9
5 6 6 7
8 6 7 7
7 8 10 5
5 7 7 9
10 7 5 7
a. Nilai tertinggi dan nilai terendah b. Range nilai c. Sajian tabel dengan data tunggal, lengkapi dengan frekuensi relatif kurang dari atau sama dengan ( fk ), frekuensi kumulatif dan frekuensi kumulatif relatifnya ( fkr ) Jawab : Untuk mempermudah kita urutkan nilai tersebut dari nilai terkecil ke nilai terbesar pada kertas klat (kertas lain untuk corat – coret) agar mempermudah kerja selanjutnya. 4 6 7 8
4 6 7 8
4 6 7 8
5 6 7 8
a. Nilai tertinggi = 10 Nilai terendah = 4 b. Range nilai = 10 – 4 = 6 c. Tabel data tunggal Nilai f 4 3 5 6 6 7 7 11 8 4 9 3 10 2 f = 36 Contoh 2 : Hasil pengukuran tinggi 143 136 161 155 151 148 140 154 153 147 156 149
badan 159 151 158 151
5 6 7 9
5 6 7 9
fk 3 9 16 27 31 34 36
fkr 8,33 25 44,44 75 86,11 94,44 100
40 siswa 136 152 154 149
sampai 141 148 140 134
5 6 7 9
5
5
7 10
7 10
7
7
cm terdekat adalah sebagai berikut : 143 163 153 133 156 150 160 158 160 158 163 164 147 153 156 138
Tentukan : a. Tinggi badan tertinggi dan terendah b. Range data c. Banyak kelas bila interval kelas 5 d. Tabel distribusi data majemuk dengan starting point 130, lengkapi tabel dengan titik tengah kelas, tepi bawah masing – masing kelas, fr, fk dan fkr ! Penyelesaian : Urutkan dulu data dari yang kecil ke yang besar pada kertas klat (buram) ! 133 134 136 136 138 140 140 141 143 143 147 147 148 148 149 149 150 151 151 151 152 153 153 153 154 154 155 156 156 156 158 158 158 159 160 160 161 163 163 164 a. Tinggi badan tertinggi = 164 Tinggi badan terendah = 133 b. Range = 164 – 133 = 31 R 31 c. Banyak kelas : k = k= = 6,1 dibulatkan keatas k = 7 i 5 d. Tabel distribusi frekuensi f Tb Nilai xt fk fkr 130 – 134 2 129,5 132 40 100 135 – 139 3 134,5 137 38 76 140 – 144 5 139,5 142 35 70 145 – 149 6 144,5 147 30 60 150 – 154 10 149,5 152 24 48 155 – 159 8 154,5 157 14 24 160 – 164 6 159,5 162 6 12 f = 40 f=
1029 Contoh 3 : Pada data tinggi badan contoh 2 di atas buatlah tabel distribusi frekuensi, dengan banyak kelas dihitung dengan aturan Sturges dan starting point 133 ! Jawab : Range = 31 ; banyak data n = 40 k = 1 + 3,3 log n k = 1 + 3,3 x log 40 k = 1 + 3,3 x 1,60206 = 6,2868 dibulatkan ke atas k = 7 R 31 31 k= 7= i= = 4,428 i i 7 dibulatkan keatas didapat i = 5 didapat tabel mirip tabel contoh 2 dengan beda starting poit, yaitu : Nilai f 133 – 137 4 138 – 142 4 143 – 147 4 148 – 152 9 153 – 157 9 158 – 162 7 163 – 167 3 f = 40 Penyajian data dengan tabel distribusi seperti diatas yang isi tabelnya berupa bilangan – bilangan disebut Tabel Distribusi Frekuensi Numerik ( Numerical Frecuency Distribution). Kadang adapula tabel distriobusi yang penggolongan datanya tidak bisa dinyatakan dengan bilangan tetapi menurut sifatnya (datanya kualitatif), tabel seperti ini disebut Tabel Distribusi Kategori ( Categorical Frecuency Distribution). Misal : Pekerjaan 40 orang tua suatu siswa SMK Banyaknya Pekerjaan (f) Petani 15 Pedagang 8 Guru 4 TNI 7 Wira Swasta 6 f = 40
Soal Latihan : 1) Susunlah array untuk data a) 8 11 15 7 6 12 17 8 b) 6.5 6.3 7.1 5.2 9.6 6.4
berikut dan tentukan rangenya ! 6 10 9 9 7 4 6 5 7.6 8.0 6.5 4.2 5.9 7.2 5.6 4.8 8.2 9.0
7.7 6.3
2) Hasil pengukuran berat badan 25 balita sampai dengan kg terdekat adalah : 5 6 8 8 9 10 7 6 4 11 7 5 8 9 11 9 6 7 8 6 6 6 9 8 8 Buatlah tabel distribusi frekuensi, lengkapi dengan frekuensi relatifnya. 3) Nilai tes Matematika suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa adalah : 76 53 89 91 54 67 72 69 90 43 55 49 82 76 60 59 79 45 87 51 63 81 89 75 72 62 46 57 98 56
6.4 7.2
68 73 49 81 97 59 44 64 73 66 a) buatlah tabel distribusi frekuensi dengan interval kelas 5, lengkapi dengan titik tengah kelas, frekuensi relatif, frekuensi relatif. b) Ulangi buat tabel distribusi dengan banyak kelas ditentukan dengan aturan Sturges, lengkapi dengan, titik tengah kelas, tepi bawah kelas, tepi atas kelas, fk dan fkr ! 4) Pada sekumpulan data diketahui, data terkecil 32 data terbesar 98, jumlah data 200. Tentukan : a) Range b) Banyak kelas dengan aturan Sturges c) Panjang interval kelas 3. Dengan Diagram atau Grafik Cara lain menyajikan data adalah dengan diagram atau grafik, cara ini perlu dipelajari karena dengan sajian diagram penyajian data mungkin bisa lebih menarik. Macam – macam diagram : a. Diagram Lambang atau diagram gambar atau Piktogram (Pictograms atau Pictographs) Diagram lambang adalah sajian data berupa lambang – lambang dari obyek yang diamati. Misal : 1) data tentang jumlah pria dan wanita disuatu kota, maka piktogramnya diusahakan menggunakan lambang atau gambar manusia pria dan wanita (mirip pria dan wanita), 2) Data tentang sapi diusahakan piktogramnya bergambar sapi (mirip sapi) Contoh : Piktogram banyak siswa kelas XII A dengan 40 siswa 15 diantaranya wanita. = 5 Pria
= 5 Wanita
Diagram ini cukup menarik apabila penyaji data mempunyai jiwa seni dan mempunyai kemampuan menggambar sesuai obyek pengamatan. Kelemahan diagram lambang adalah menggambar lambang yang mirip obyek, jumlah data bukan merupakan kelipatan dari satuan gambar karena sisa kelipatannya susah digambar juga susah dibaca. Diagram lambang lebih cocok untuk menunjukkan perbandingan daripada menentukan nilai. b. Diagram Batang ( Bar diagram, Bar Chart, atau Bar graph) Diagram batang disajikan dengan batang yang berupa persegi panjang tegak atau mendatar pada suatu susunan sumbu. Contoh : Data diatas disajikan dengan diagram batang sebagi berikut : 1) Digram Batang tegak berjajar 3) Diagram Batang Tegak bertumpuk
2) Digram Batang mendatar berjajar
c.
4) Diag. Batang Mendatar tumpuk
Diagram Lingkaran ( Pie Chart, Pie Graph, atau Circular Graph) Diagram lingkaran adalah diagram yang yang besarnya masing – masing data ditunjukkan dengan juring – juring pada suatu lingkaran. Besar sudut Jenis f % Pusat Juring Pria
25 .3600 = 40
25
62,5 %
2250 Wanita
15
15 .3600 = 40 135
Jumlah
40
Pria 62,5 %
37,5 %
Wanita 37,5 %
0
3600
100 %
d. Diagram garis ( Line Chart, atau line Graph ) Diagram Garis lebih cocok untuk menggambarkan data kontinu karena garis akan terbaca setiap titik pada garis bermakna, hal ini beda dengan 3 diagram sebelumnya yang lebih cocok untuk menggambarkan data yang terpisah antara data yang sati dengan yang lain dan lebih menunjukkan perbandingan ketimbang perhitungan frekuensinya. Contoh : Data pemantauan suhu ruang untuk suatu ruang pembititan jamur dicatat sebagai tabel berikut : Jam Suhu
06.00 37,4
08.00 38,2
10.00 39,0
12.00 38,4
14.00 37,9
16.00 37,0
18.00 36,5
20.00 36,1
22.00 36,5
00.00 36,9
Diagram garisnya : Suhu 39,0 38,5 38,0 37,5 37,0 36,5 36,0 Waktu 06.00
08.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
20.00
22.00
00.00
e. Histogram Histogram adalah diagram penggambaran data dengan persegi panjang dimana dari dua persegi panjang yang berdekatan berimpit pada salah satu sisinya, besarnya frekuensi data ditunjukkan dengan luas persegi panjang datanya. Histogram umumnya untuk menggambarkan distribusi frekuensi (data kelompok) batas kiri dan kanan persegi panjang datanya mengambil tepi kelas data. Contoh : Tabel berikut adalah hasil penimbangan berat badan 50 siswa : Berat Badan f (kilogram) 50 – 54 5 55 – 59 17 60 – 64 14 65 – 69 10 70 – 74 4 f = 50 Histogramnya adalah sebagai berikut : f 18
12
6 2
Berat 49,5
f.
54,5
59,5
64,5
69,5
74,5
Poligon Frekuensi Poligon frekuensi adalah segi banyak yang didapat dengan menghubungkan titik – titik tengah puncak persegi panjang histogram yang berdekatan, dimulai dari satu kelas interval sebelum kelas pertama dengan frekuensi nol dan diakhiri satu kelas interval sesudah kelas interval terakhir dengan frekuansi nol. Contoh : Pada tabel berat badan di atas kita buat Poligon Frekuensinya. f 18 Poligon Frekuensi
12
6 2
Berat 49,5
54,5
59,5
64,5
69,5
74,5
g. Ogif ( Ogive ) Suatu grafik penggambaran dari frekuensi kumulatif suatu kumpulan data disebut Poligon Frekuensi Kumulatif atau Ogif atau Ogive. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari ( fk ) disebut Ogif Positif. Dan Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari ( fk ) disebut Ogif Negatif. Bila poligon frekuensi kumulatif tersebut dimuluskan kurvanya ( smoothed ) akan diperoleh kurva frekuensi kumultif yang dinamakan Kurva Ogif atau kurva Ogive. Ogif juga bisa disajikan untuk frekuensi kumulatif relatif ( frekuensi kumulatif dalam bentuk persen) Contoh : Kita gambar data tentang berat badan 50 siswa tersebut di atas. Frek. kumulatif Frek. Kum. Relatif Berat Badan Batas f Kurang Lebih Kurang Lebih (kilogram) Nyata dari dari dari dari 49,5 0 50 0 100 50 – 54 5 54,5 5 45 10 90 55 – 59 17 59,5 22 28 44 56 60 – 64 14 64,5 36 14 72 28 65 – 69 10 69,5 46 4 92 8 70 – 74 4 74,5 50 0 100 0 f = 50 Poligon frekuensi kumulatif kurang dari atau Ogif Positif : f
45 Ogif Positif 30
15 5
Berat
49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 Poligon frekuensi kumulatif lebih dari atau Ogif Negatif : f
45 Ogif Negatif 30
15 5
Berat 49,5
54,5
59,5
64,5
69,5
74,5
Soal Latihan : 1. Data pasien demam berdarah disuatu rumah sakit pada tri wulan pertama tahun 2005 adalah : dewasa 8 orang, Remaja 12 orang dan anak – anak 16 orang. Gambarkan diagram berikut data tersebut di atas dengan rapi bila perlu dengan berwarna : a. Diagram lambang ( 1 lambang mewakili 4 orang) b. diagram lingkaran c. Diagram Batang tegak d. diagram batang mendatar 2. Data pengiriman sapi potong dari suatu daerah ke Jakarta terlihat seperti pada tabel berikut : Tahun 2002 2003 2004 2005 2006 Jumlah 500 750 1250 2000 1500 Buatlah diagramnya dengan rapi dan menarik : a. Diagram Batang tegak b. Diagram lingkaran c. Piktogram d. diagram garis 3. Pemantauan suhu badan pasien suatu rumah sakit menggunakan termometer dalam derajat Celcius dilakukan setiap 120 menit. Diperoleh data sebagia berikut : Jam 06 08 10 12 14 16 18 20 22 00 02 Suhu 38,2 38,9 39,1 39,7 40,1 39,8 38,8 38,2 37,6 38,2 37,1 Gambarlah diagram garisnya 4. Data pada tabel berikut lengkapi dengan frekuensi relatif, frekuensi kumulatif, frekuensi kumulatif relatif : Berat Badan f (kilogram) 50 – 54 6 55 – 59 7 60 – 64 9 65 – 69 12 70 – 74 10 75 – 79 6 f = 50
Dan kemudian gambarlah : a. Histogram dan poligon frekuensinya b. Ogif positif dan ogif negatif c. ogif positif dan negatif dengan frekuensi kumulatif relatif 5. Ulang soal nomor 4 dengan data sebagai berikut : Nilai f 10 – 24 3 25 – 39 5 40 – 54 7 55 – 69 13 70 – 84 8 85 – 99 4 f = 40
C. Ukuran Pemusatan Data Setelah kita bisa menyajikan data dengan tabel maupun diagram, kini kita mengadakan pengolahan data tersebut agar kumpulan data yang kita punya dapat diambil manfaatnya. Misalnya : Pada data nilai suatu tes matematika sebagai berikut : Banyak Siswa Nilai (f) 3 1 4 2 5 6 6 12 7 10 8 5 9 4 f = 40 Dari tabel tersebut sudahkah bisa disimpulkan berdasarkan nilai tesnya pembelajaran matematika tersebut sudah berhasil apa belum ? karena masih ada anak yang mendapatkan nilai 3 dan 4 walau ada juga yang nilainya 9. Untuk bisa menjelaskan jawabannya kita perlu mengolah data tersebut untuk dicari suatu nilai yang bisa mewakili data tersebut sehingga dengan nilai yang mewakili ini keadaan data nilai bisa disimpulkan. Nilai yang bisa mewakili data tersebut umumnya mengacu pada pertanyaan umum misalnya : 1. siswa umumnya mendapat nilai rata – rata berapa ? Hal ini menunjukkan bahwa nilai rata – rata suatu kumpulan data adalah bisa mewakili data tersebut. Nilai rata – rata ini selanjutnya disebut dengan Rata – rata Hitung. 2. Nilai berapa yang banyak didapatkan siswa ? Pertanyaan ini mempnyai makna nilai yang paling sering muncul (frekuensinya tertinggi) bisa juga menjadi wakil suatu kumpulan data. Suatu data/nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi ini disebut Modus ( Mode yaitu sesuatu yang baru banyak digunakan) 3. Bisa juga ditanyakan berapa nilai tengahnya dari kumpulan data tersebut ? Nilai tengah selanjutnya disebut dengan Median. Ketiga nilai ini yang awalnya bisa menjadi wakil suatu kumpulan data atau menjadi pusat perhatian pada suatu kumpulan data, sehingga nilai – nilai tersebut ( Rata – rata hitung, Modus dan Median ) sering dinamakan Ukuran Pemusatan data. Rumus perhitungan Rata – rata Hitung (Mean) , Median dan Modus : 1. Rata – rata hitung ( Mean ) Konsep rata – rata hitung adalah membagi sama rata dari semua nilai yang ada diberikan kepada semua anggotanya. Rata – rata hitung ( Mean ) dilambangkan dengan X . Jumlah semua data mean Banyaknya data
a. Rata – rata hitung data tunggal :
Contoh : Seorang siswa mempunyai nilai ulangan : 1) Bahasa Indonesia 8 2) Matematika 10 3) Bahasa Inggris 9 4) Sejarah 6 5) Olahraga 7 Nilai rata – rata (rata – rata hitung) ulangan siswa tersebut adalah :
X =
8 10 9 6 7 40 = =8 5 5
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut : Nilai/data : x1 , x2 , x3 , x4 , ...... , xn
X =
x1 x x ... x n 2 3 n
disingkat dengan
X =
x n
Ada cara lain untuk mendapatkan rata – rata hitung tersebut yaitu dengan menggunakan ”rata – rata dugaan ” atau ” guessed mean ” ada juga yang menyebut ” rata – rata sementara ” kita tulis dengan A Pada nilai – nilai ulangan tersebut 8, 10, 9, 6, 7 kita misalkan dugaan rata – ratanya adalah 7 ( A = 7 ). Dari nilai yang ada bila dibanding dengan rata – rata dugaan tentunya ada selisihnya (simpangan atau deviasi dilambangkan dengan ” d ”), maka nilai rata – rata hitungnya bisa didapat dengan menambahkan rata – rata selisih (simpangan) nilai tadi dengan rata – rata dugaan kita. Mean = Rata – rata dugaan + rata – rata deviasi 1) 2) 3) 4) 5)
Nilai Nilai Nilai Nilai Nilai
Bahasa Indonesia Matematika Bahasa Inggris Sejarah Olahraga
Rata – rata deviasinya
8 10 9 6 7
dugaannya dugaannya dugaannya dugaannya dugaannya
7 7 7 7 7
ada ada ada ada ada
simpangan simpangan simpangan simpangan simpangan
X =A+
d
d=(x–A)
n
Rumus ini efektif digunakan pada jumlah data yang besar. b. Rata – rata hitung data tunggal berbobot :
3 4 5 6 7 8 9
X =
Banyak Siswa (f) 1 2 6 12 10 5 4 f = 40
259 = 6,475 40
d d d d d
= = = = =
(8 – 7) (10 – 7) (9 – 7) (6 – 7) (7 – 7)
(8 7) (10 7) (9 7) (6 7) (7 7) 5 5 = = 1 5 =
Maka : X = 7 + 1 = 8 (hasilnya sama dengan pakai cara I) Kesimpulannya :
Nilai (x)
: : : : :
f.x 3 8 30 72 70 40 36 f x = 259
Secara umum dapat ditulis sebagai berikut : Nilai/data : x1 , x2 , x3 , x4 , ...... , xn berbobot : f1 , f2 , f3 , f4 , ...... , fn f . x f . x f . x ... fn . x n 2 2 3 3 X = 1 1 f1 f f ... fn 2 3 Disingkat dengan : X =
f .x
f
Rumus mean dengan rata – rata dugaan A adalah ;
X =A+
f .d
f
c. Rata – rata hitung ( mean ) data Kelompok (data majemuk) : Untuk mencari mean pada data kelompok (data majemuk) rumus yang dipakai sama dengan rumus mean pada data tunggal berbobot, hanya saja nilai x diganti dengan titik tengah kelas. Contoh : Dari data pengukuran tinggi badan dari 40 siswa seperti tertera pada tabel dibawah ini tentukan rata – rata hitungnya dengan cara : 1) Langsung 2) Rata – rata dugaan Tinggi Badan (cm) 135 – 139 140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169
F 1 2 6 12 10 5 4 f = 40
Jawab : 1) Dengan cara langsung : Tinggi Badan F (cm) 135 – 139 1 140 – 144 2 145 – 149 6 150 – 154 12 155 – 159 10 160 – 164 5 165 – 169 4 f = 40
X =
f .x
f
X =
Titik tengah kelas ( x ) 137 142 147 152 157 162 167
6175 = 154,375 40
f.x 137 284 882 1824 1570 810 668 f x = 6175
2) Dengan rata – Tinggi Bdn (cm) 135 – 139 140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169
X =A+
rata sementara : Ttk tengah f kelas ( x ) 1 137 2 142 6 147 12 152 10 157 5 162 4 167 40
f .d
f
A
d=x–A
f.d
152
– 15 – 10 –5 0 5 10 15
– 15 – 20 – 30 0 50 50 60 95
95 = 152 + 2,375 = 154,375 40
X = 152 +
Jika kita lihat pada kolom d = x – A merupakan kelipatan 5 ( 5 adalah panjang interval kelas) maka kita boleh membagi d dengan 5 atau i yang kita beri notasi
d . i
, sehingga =
Rumus X = A +
Tinggi Bdn (cm) 135 140 145 150 155 160 165
– 139 – 144 – 149 – 154 – 159 – 164 – 169
X =A+
1 2 6 12 10 5 4 40 .i
X =A+
menjadi
f f
f .
f
f .d
Ttk tengah kelas ( x ) 137 142 147 152 157 162 167
A
d=x–A
152
– 15 – 10 –5 0 5 10 15
X = 152 +
f .
f
= –3 –2 –1 0 1 2 3
d i
.i
f. –1 –4 –6 0 10 10 12 21
21 5 = 152 + 2,375 = 154,375 40
Ternyata mencari mean dengan rumus yang manapun hasilnya sama 154,375 2. Modus Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau data yang mempunyai frekuensi tertinggi. Contoh : a. Modus pada data tunggal dan data berbobot : Modus pada data tunggal maupun data berbobot cara mendapatkannya sama. Contoh : 1) Pada kumpulan data berikut tentukan modusnya ! a) 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 9 b) 2, 3, 4, 5, 7, 10 c) 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 11 Jawab : a) 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 9 mempunyai modus = 5 b) 2, 3, 4, 5, 7, 10 data tersebut tidak mempunyao modus karena tidak frekuensi setiap datanya sama besar. c) 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 11 Pada data ini mempunyai dua modus yaitu 7 dan 9 2) Dari tabel data berikut tentukan modusnya ! Nilai (x) Banyak Siswa
(f) 1 2 6 12 10 5 4 f = 40
3 4 5 6 7 8 9
Jawab : Modusnya adalah 6 (karena 6 mempunyei frekuensi tertinggi diantara nilai yang lain) b. Modus pada data kelompok : Banyak Siswa Nilai (f) 135 – 139 1 140 – 144 4 145 – 149 16 150 – 154 10 155 – 159 6 160 – 164 3 f = 40 Pada tabel terlihat bahea frekuensi tertingginya 16 untuk data yang terletak dikelas interval 145 – 149. Kelas yang mengandung modus adalah 145 – 149, untuk menghitung modusnya ada 2 pendekatan yaitu : 1) Pendekatan kasar : Modus diambil titik tengah dari kelas yang mengandung modus. Sehingga modus kasar pada tabel tersebut adalah 147 2) Pendekatan perhitungan : Pendekatan ini menggunakan histogram datanta : f 16
E
D
P
12
C 6 2
F Nilai A
M
B
134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5
Modus tidak selamanya berada ditengah kelas intervalnya, dimana letak sebenarnya bisa kita lihat pada histogram di atas. Modus terletak pada kelas interval yang ketiga. AB = lebar kelas = i M = Modus yaitu proyeksi titik P hasil perpotongan EC dan DF A = Tepi bawah kelas yang mengandung Modus B = Tepi atas kelas yang mengandung Modus EF = AE – AF = 16 – 4 = 12 ( disebut d1 ) d1 = selisih frekuensi kelas yang mengandung modus dengan fre-
DC d2
kuensi kelas yang mendahuluinya BD – BC = 16 – 10 = 6 (disebut d2 ) selisih frekuensi kelas yang mengandung modus dengan frekuensi dari kelas berikutnya
= =
Perhatikan segitiga PFE dan segitiga PCD adalah 2 segitiga yang kungruen (sebangun) akibatnya didapat hubungan : d1 d AM AM EF atau 1 AM MB d d MB CD d 2 2 1 AM AB
d1 d d 2 1
AM
d1 AB d d 2 1
AM
d1 i d d 2 1
Akhirnya didapat rumus modus : d1 i Mo = L + d d 2 1 Dimana : Mo : Modus L : Tepi bawah kelas yang mengandung modus d1 : selisih frekuensi kelas yang mengandung modus dengan frekuensi kelas yang mendahuluinya d2 : selisih frekuensi kelas yang mengandung modus dengan frekuensi dari kelas berikutnya i : interval ( panjang ) kelas
3. Median Median sekumpulan data adalah nilai yang ada persis di tengah – tengah dfata tersebut (membagi data menjadi 2 kelompok yang sama banyak) setelah data disusun berurut. Cara mendapatkan median adalah : 1) Data diurutkan dahulu. 2) Carilah nilai yang letaknya di tengah – tengah. a. Median data tunggal dan data berbobot. 1) Banyaknya ganjil : Letak median adalah pada urutan ke
1 (n+1) 2
Contoh : Tentukan median dari : 3, 4, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9 , 9, 9, 10, 12 Jawab : Jumlah data 13, sehingga median terletak pada urutan ke 3, 1
4, 2
4, 3
5, 4
6, 5
6, 6
8, 7
8, 8
9, 9
9, 10
1 ( 13 + 1 ) = 7 2 9, 11
10, 12
12 13
Mediannya = 8 2) Banyaknya data genap : Letak median adalah pada urutan ke
1 ( n + 1 ) menunjukan bilangan tidak 2
bulat berarti mediannya adalah rata – rata dari dua data tengahnya. Contoh : Tentukan median dari : 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9 , 9, 9, 10, 11 Jawab :
Jumlah data 13, sehingga median terletak pada urutan ke 4, 1
4, 2
5, 3
6, 4
6, 5
7, 6
8, 7
9, 8
9, 9
9, 10
1 1 ( 12 + 1 ) = 6 2 2 10, 11
11 12
Median Mediannya =
78 = 7,5 2
Apabila data tersebut : x1 , x2 , x3 , x4 , .... , x1 , dengan n bilangan genap genap maka :
data ke Median =
1 1 n data ke ( n 1) 2 2 2
3) Data berbobot : Cara mendapatkan median sama dengan cara di atas, hanya saja masing – masing data frekuensinya ada beberapa. Bila jumlah frekuensinya relatif banyak untuk mempermudah menentukan letak median gunakan frekuensi kumulatif kurang dari. Contoh : Tentukan median dari data pada tabel berikut : Nilai (x) f 3 1 4 2 5 6 6 14 7 8 8 5 9 4 f = 40 Jawab : Nilai (x) 3 4 5 6 7 8 9
f 1 2 6 14 8 5 4 f = 40
f.x 1 3 9 21 31 36 40
Jumlah data 40, sehingga median terletak pada urutan ke Median = Median =
1 1 ( 40 + 1 ) = 20 2 2
data ke 20 data ke 21 2 6 6 2
=6
b. Median data kelompok (majemuk). Median pada data kelompok dapat dipahami dengan histogram datanya. Contoh : Nilai 40 – 44
Banyak Siswa (f) 4
45 50 55 60 65
12
– – – – –
49 54 59 64 69
7 12 9 5 3 f = 40 f
N
D
C
10 8
9
3
6 7
9
4 5
4
2
3 K 39,5
A 44,5
49,5
M
Nilai L
B
54,5
59,5
64,5
69,5
Garis MN membagi daerah histogram menjadi dua daerah yang sama luasnya, hal ini dimaksud M adalah Median. Luas persegipanjang – persegipanjang tersebut sebanding dengan frekuensi sebab lebar persegipanjang – persegipanjang sama. KM = ML = 20 (setengah jumlah frekuensi) Luas AMND = 20 – 4 – 7 = 9 Luas MBCN = 20 – 9 – 5 – 3 = 3 Didapat AM =
9 9 AB = . 5 = 3,75 12 12
( AB = interval kelas = 5 )
Sehingga nilai mediannya = 49,5 + 3,75 = 53,25 Dari penjelasan tersebut dapat diturunkan rumus median :
1 Me = L +
Dengan :
2
f fk Me f Me Me L fk Me f Me
i
= Median = Tepi kelas yang mengandung median = Frekuensi kumulatif sebelum Median = Frekuensi kelas median
4. Rata – rata Haronis dan Rata – rata Ukur a. Rata – rata Harmonis (RH) Rata – rata hitung biasa sering kurang cocok untuk jenis data tertentu, sehingga diperlukan model menghitung rata – ratanya. Misal ; data jenis kecepatan yang menghubungkan antara jarak dan waktu kurang cocok dicari rata – rata hitungnya. Contoh : Seorang pedagang dari Yogyakarta akan mencari dagangan ke Semarang misalnya berjarak 200 km. Saat berangkat bisa berkendaraan kecepatan rata – ratanya 80 km perjam, waktu kembali ke Yogyakarta laju kendaraannya hanya 50 km perjam.
Berapakah kecepatan rata – rata laju kendaraan pedagang tersebut dari Yogyakarta ke Semarang dan kembali lagi ke Yogyakarta ? Jawab : Dengan rata – rata hitung didapat :
80 50 km/jam = 65 km/jam. 2 200 km Waktu tempuh Yogyakarta ke Semarang = = 2,5 jam 80 km / jam 200 km Waktu tempuh Semarang ke Yogyakarta = = 4 jam 50 km / jam Kecepatan rata – ratanya =
Waktu tempuh seluruhnya = 2,5 jam + 4 jam = 6,5 jam. Jarak tempuh seluruhnya (Yogyakarta – Semarang – Yogyakarta ) = 400 km. Sampai disini sepertinya tidak ada masalah, tetapi jika kita kembalikan dengan kecepatan rata – rata tersebut dikalikan waktu tempuh apakah sama dengan jarak tempuh yang 400 km ? Jarak tempuh = kecepatan x waktu tempuh Jarak tempuh = 65 km/jam x 6,5 jam = 422,5 km. Hal ini tidak cocok dengan jarak tempuh sebenarnya yaitu 400 km. Sekarang nampak ketidak cocokannya, maka cukup jelas bahwa jenis data yang berhubungan dengan kecepatan tidak cocok digunakan rata – rata hitung biasa. Muncul gagasan dengan Rata – rata Harmonis (RH) yang bertujuan untuk mengharmoniskan kasus tersebut. Rata – rata harmonis adalah perbandingan banyaknya data dengan jumlah kebalikan data – datanya, yang dituliskan sebagai : RH =
n 1 x1
1 x
2
1 x
...
3
1 xn
Sehingga data kecepatan tersebut didapat :
2 4000 4000 = 2. = = 61,538 1 1 50 80 130 65 80 50 4000 4000 Kecepatan rata – rata (dengan rata – rata harmonis) = km/jam. 65 4000 Kita hitung jarak tempuh selama 6,5 jam dengan kecepatan km/jam (=61,538 65 RH =
2
=
mk/jm) Jarak tempuh =
4000 km/jam x 6,5 jam = 400 km. 65
(cocok dengan jarak sebenarnya) Hal ini menunjukkan bahwa Rata – rata Harmonis awalnya digunakan untuk menghitung rata – rata pada data yang menyangkut tentang kecepatan, namun pada perkembangan selanjutnya segala macam data boleh dihitung rata – rata harmonisnya. Apabila datanya berbobot : RH =
f
1 f x
Rumus ini berlaku juga untuk data kelompok. b. Rata – rata Ukur ( RU ) Rata – rata Ukur sering juga disebut Rata – rata Geometri, hal ini dikarenakan awal mulanya cara ini lebih cocok untuk menentukan rata – rata pada data yang menyerupai barisan geometri atau data dengan perbandingan tiap dua data berurutan tetap
atau hampir tetap, bisa juga dikatakan rata – rata ukur adalah untuk pengrata – rataan rasio. Rata – rata Ukur dirumuskan sebagai berikut : RU = n x . x . x ...x n 1 2 3 Contoh : Tentukan rata – rata ukur dari : 2, 4, 8 Jawab : RU = n x . x . x ...x n 1 2 3 Jadi rata – rata ukurnya adalah 4. Untuk data berbobot : RU =
f x f1 . x f2 . x f3 ...x fn 1 2 3 n
RU =
3
2.4.8
= (26)1/3 = 4
atau
1 RU = x1f1 . x 2f2 . x 3f3 ...x nfn f diambil logaritmanya menjadi ; Log RU =
1 log x f1 . x f2 . x f3 ...x fn 2 3 n 1 f
Log RU =
1 f log x .f log x f log x ... f log x 1 2 2 3 3 n n f 1
Log RU =
f1 log x1 .f2 log x 2 f 3 log x 3 ... f n log x n f
atau Log RU =
f log x f
Catatan : Dalam gejala yang bersifat pertumbuhan dengan syarat – syarat tertentu, misal pertumbuhan penduduk, pertumbuhan ekonomi dll. Sering digunakan rumus yang mirip rata – rata Ukur. Misal : rumus peetumbuhan digunakan : Dengan
Pt = P0 (1 +
P0 = Keadaan awal Pt = Keadaan akhir
x = rata – rata pertumbuhan setiap periode t = satuan periode yang digunakan.
x t ) 100
Soal Latihan : 1. Dari kumpulan data berikut tentukan Mean, Median dan modusnya : a. 3, 4, 4, 5, 5, 5, , 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 12 b. 7, 8, 9, 14, 13, 12, 10, 6, 7, 5, 11, 9, 10, 7, 9 c. Data berbobot Nilai (x) f 3 3 4 5 5 6 6 14 7 10 8 8 9 4 f = 50 d. Data kelompok Nilai 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 - 90
f 2 3 5 8 6 4 2 f = 30
2. Tuliskan bagaimana caranya mendapatkan median untuk data yang telah diurutkan yang jumlahnya : a. 73 b. 80 3. Nilai tes ulangan umum semester untuk matapelajaran matematika kelas 1 didapat data sebagai berikut : Kelas 1A banyak siswa 36 siswa, rata – ratanya nilai 72 Kelas 1B banyak siswa 35 siswa, rata – ratanya nilai 65 Kelas 1A banyak siswa 29 siswa, rata – ratanya nilai 70 Berapakan nilai rata – rata matematika kelas 1 ? 4. Brama mengikuti tes bahasa Inggris yang terdiri dari Reading, Comprehension, Translation, Dictation dan Conversation, mendapatkan nilai masing – masing 80, 65, 85, 70, 80, 60. Bobot masing – masing mata uji 1, 3, 1, 2, dan 2 berapakah nilai rata – rata bahasa Inggris Brama ? 5. Diketahui 3 buah data mempunyai median 15, mean 15 dan rangenya 10, tentukan besarnya data – data tersebut ! 6. Nilai rata – rata sejumlah data adalah 8, setelah ditambah data baru senilai 24 rata – rata barunya menjadi 10. Berapakah banyaknya data mula – mula ? 7. Tentukan rata – rata harmonis data berikut : a. 1, 3, 9 b. 2, 4, 5, 8 c. Kecepatan 50 km/jam, 40 km/jam dan 30 km/jam 8. Tentukan rata – rata geometri data berikut : a. 1, 3, 9 b. 4, 5, 8, 10
9. Tentukan rata – rata harmonis data berikut :
Nilai (x) 4–8 9 – 13 14 – 18 19 – 23
f 2 3 4 3 f = 12
10. Tentukan rata – rata geometri data berikut : Nilai (x) f 6 4 7 2 8 8 9 6 f = 20
D. Ukuran Penyebaran (Dispersi) Data Awal pemahaman Rata – rata hitung, Modus dan Median adalah nilai – nilai yang bisa mewakili sekumpulan data. Namun pada kasus tertentu ternyata ketiganya belum bisa menjadi wakil yang ” baik ” . Contoh : Di kampung saya mampunyai warga yang beragam profesinya, ada warga yang pekerjaannya penarik becak, penjual bakso, PNS, pengusaha perak dll. Suatu pengamatan secara sampel tentang penghasilan keluarga perbulan ditunjukan dengan tabel berikut : Pekerjaan Penarik becak Penjual Bakso PNS Tukang Batu Juru Parkir Pengusaha Perak
Penghasilan/Bln dalam ribuan rupiah 300 500 1500 700 400 40.000
f
f.x
4 5 10 2 2 2 25
1.200 2.500 15000 1400 800 80.000 100.900
Jika dihitung rata pendapatan perbulan dari warga kampung tersebut adalah : f .x 1.00.900 X = X = = 4.036 25 f Artinya rata – rata pendapatan keluarga perbulan Rp. 4.036.000,00 Rata – rata hitung ini tidak bisa mewakili kumpulan data tersebut sebab bilangannya sangat jauh dari kenyataan data yang ada, mengapa hal ini bisa terjadi ? Penyebabnya antara lain selisih data terkecil dengan data terbesar (range) sangat jauh, tingkat keberagaman pendapatan yang mencolok, dsb. Oleh karena itu agar pengolahan data lebih baik dan didapat suatu nilai yang bisa mewakili sekumpulan data selain Ukuran Pemusatan juga diperlukan ukuran lain yaitu Ukuran Penyebaran (dispersi) data. Ukuran penyebaran data ada beberapa macam antara lain : 2. Rentangan (jangkauan/range) data. 3. Simpangan/deviasi rata – rata. 4. Simpangan Baku (Simpangan Standar/Standar Deviasi). 5. Nilai perempatan (Kuartil) 6. Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Semi Inter Kuartil 7. Nilai Persepuluhan ( Desil ) 8. Nilai Perseratusan (Persentil) 9. Jangkauan Persentil. Marilah kita pahami ukuran penyebaran tersebut satu – persatu, sebagai berikut : 1. Rentangan (jangkauan/range) data ( R ). Sudah dibicarakan dimuka pada penyajian data bahwa : Range adalah selisih nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.
a. Untuk data tunggal : Range ( R ) = Data terbesar – data terkecil.
R = xmax – xmin Contoh : Pada data berikut tentukan rangenya ! 3, 3, 4, 5, 5, 7, 7’ 8, 10, 11, 13, 14 Jawab : Data terbesr = 14 dan data terkecil = 3 Range = 14 – 3 = 11 b. Untuk Data Kelompok : Range ( R ) = Tepi atas kelas dari kelas tertinggi dikurangi tepi bawah kelas terkecil.
R = Tmaks – Tmin Contoh : Pada data berikut tentukan rangenya ! Banyak Siswa Nilai (f) 40 – 44 4 45 – 49 7 50 – 54 12 55 – 59 9 60 – 64 5 65 – 69 3 f = 40 Jawab : Kelas terkecil 40 – 44 mempunyai Tepi bawah kelas = 39,5 Kelas terbesar 65 – 69 mempunyai Tepi atas kelas = 69,5 Range = 69,5 – 39,5 = 30 2. Simpangan/deviasi rata – rata ( SR ). Simpangan rata – rata adalah rata – rata hitung dari selisih atau simpangan (dispersi) nilai – nilai data terhadap rata – ratanya. Jika kumpulan data tersebut : x1 , x2 , x3 , x4 , ... , xn , dan mempunyai mean x , maka
SR =
x x i n
dengan SR n
xi x
= Simpangan rata – rata = Banyak data = harga mutlak dari xi –
x
Misal : 2 – 5 = 3 , harga mutlak artinya diambil nilai positifnya 6–2=4 Contoh : Tentukan simpangan rata – rata dari : 3, 3, 4, 7, 7, 8, 8, 8
Jawab :
x =
33477888 48 = =6 8 8
SR
36 36 4 6 76 76 86 86 86
= =
SR
8
3 3 2 11 2 2 2 16 = =2 8 8
=2
Apabila datanya berbobot maka :
SR =
f. x x i
f
Rumus ini juga berlaku untuk data kelompok dengan mengganti xi oleh titik tengah masing – masing kelas intervalnya. Contoh : Tentukan simpangan rata – rata dari data pada tabel berikut : x D = x – 62 Nilai f X– x f . X– x 50 – 54 5 52 – 10 10,6 53 55 – 59 10 57 –5 5,6 56 60 – 64 12 62 0 0,6 7,2 65 – 69 9 67 5 4,4 39,6 70 – 74 8 72 10 9,4 75,3 75 – 79 6 77 15 14,4 86,4 50 30 317,5
x =A+ SR =
f .d
f
f. x x i
f
x = 62 +
SR =
30 = 62,6 50
317,5 = 6,35 50
3. Simpangan Baku /Simpangan Standar/Standar Deviasi ( Ss ). Simpangan baku adalah simpangan rata – rata yang dibakukan, untuk membayangkan seperti apa maksudnya, kita ambil contoh ukuran baju secara internasional telah dibakukan menjadi ukuran S (smal), M (medium), L (large), XL dll. Simpangan baku/simpangan standar adalah akar pangkat dua dari jumlah deviasi kuadrat dari sekumpulan bilangan dibagi dengan banyaknya bilangan. Jika sekumpulan bilangan tersebut : x1 , x2 , x3 , x4 , ... , xn , dan mempunyai mean maka simpangan bakunya :
Ss =
( x x)
2
n
Contoh : Tentukan simpangan rata – rata dari : 3, 3, 4, 7, 7, 8, 8, 8 Jawab :
x = Ss =
33477888 48 = =6 8 8
3 6 2 3 6 2 4 6 2 7 6 2 7 6 2 8 6 2 8 6 2 8 6 2
9 9 4 11 4 4 4 = 8 1 2 Ss = 1 2 =
8
36 = 8
18 = 4
Jika datanya berbobot rumus simpangan baku menjadi :
18 1 2 =1 2 2
x,
Ss =
f . ( x x)
2
f
Rumus ini juga berlaku untuk data kelompok, dengan x adalah titik tengah kelas – kelasnya. Contoh : x f f.x x– x (x– x )2 f.(x– x )2 4 1 4 –2,5 6,25 6,25 5 8 40 –1,5 2,25 18 6 14 84 –0,5 0,25 3,5 7 8 56 0,5 0,25 2 8 5 40 1,5 2,25 11,25 9 4 36 2,5 6,25 25 40 260 66
x =
260 = 6,5 40
Ss =
f . ( x x)
2
f
66 = 40
Ss =
1 33 = 165 10 20
Penyederhanaan bentuk simpangan baku. Kesulitan mencari nilai simpangan baku umumnya adalah pada harga
x yang tidak
selalu berupa bilangan bulat (bahkan umumnya x adalah bilangan pecah) hal ini menyebabkan perhitungan menjadi semakin rumit karena harus menghitung kuadrat bilangan pecah. Untuk mempermudah perhitungan tersebut kita bisa mencari bentuk lain dari rumus simpangan baku sebagai berikut ; Kita ambil rumus : Ss =
2
Ss =
( x x)
2
n
( x x)
Kita kuadratkan kedua ruas didapat :
2
=
n
=
2
Ss
(x
2
2
2x . x x ) n
=
=
=
=
x2
n x
2
x
2
x
2
n
n n x2
n
2
2x . x
2
x .x
2
n
2
n.x n
n
x
.
x
n 2
x n
x n
n
Ss
=
n
x2
x
2
n
2
inagt X =
f .x
f
( x )2
x n
2
2
dan terakhir kita dapati rumus Ss yang baru yitu :
x n
2
Pada data berbobot : Ss
f.x f
=
2
f . x f
2
Untuk efisiensi dalam perhitungan (mencegah permainan bilangan yang relatif besar bisa digunakan deviasi sementara, sehingga rumus simpangan baku menjadi :
Ss
=
d2 n
d n
2
Pada data berbobot : Ss
f.d f
=
2
f . d f
2
Contoh : kita kerjakan kembali soal di atas dengan rumus baru x f x2 f.x (f . x)2 f . x2 4 1 16 4 16 16 5 8 25 40 1600 200 6 14 36 84 7056 504 7 8 49 56 3136 392 8 5 64 40 1600 320 9 4 91 36 1296 364 260 14704 1796 40 Kita gunakan rumus : Ss
=
f.x f
=
44,9 42,25 =
2
f . x f
2
Ss =
1796 260 40 40
2
2,65
4. Nilai perempatan (Kuartil) Nilai perempatan (kuartil) adalah suatu nilai yang membagi sekelompok data menjadi 4 bagian sama banyak dilambangkan dengan Kn . atau kuartil dapat dipahami sebagai berikut : Median adalah nilai yang sekelompok data menjadi 2 bagian sama banyak (sama lebar), jika di sebelah kiri atau kanan median datanya dibagi lagi menjadi 2 bagian sama banyak nilai inilah yang disebut kuartil ( Kn ). Kuartil yang ada di sebelah kiri median disebut kuartil bawah atau kuarti pertama ( K1 ) dan kuartil yang ada di sebelah kanan median disebut kuartil atas atau kuarti ketiga ( K3 ) dengan demikian median bisa juga disebut kuarti yaitu kuartil tengah atau kuarti kedua ( K2 ).
Median
K1
K2
K3
25 % 25 % : a. Kuartil untuk data tunggal
25 %
Letak Kuartil ke – x ( Kx )adalah pada urutan ke
25 %
x ( n + 1 ), dengan x = 1, 2, 3 4
Contoh : Tentukan Kuartil 1, 2 dan 3 dari data : 3, 4, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9 , 9, 9, 10, 12 Jawab : 3, 4,
4,
5,
K1
6,
6,
8,
K2
8,
9,
9,
9,
K3
10,
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Jumlah data 13, sehingga : Letak K1 pada urutan ke
1 ( 13 + 1 ) = 3,5 4
45 = 4,5 2 2 Letak K2 pada urutan ke ( 13 + 1 ) = 7 4 3 Letak K3 pada urutan ke ( 13 + 1 ) = 10,5 4 99 K3 = =9 2 K1 =
K2 = 8
Rumusan ini juga berlaku untuk data berbobot. b. Kuartil untuk data kelompok : Rumusan kuartil analog dengan median, hanya saja kuartil adalah membagi sekelompok data menjadi 4 bagian sama banyak, untuk itu rumus Kuartil dapat diturunkan dari rumus median. 1 f fk Me 2 i Me = L + f Me Maka rumus kuartilnya ; x Kx = L + 4
Dengan :
f fk K fK
x
i
x
Kx L fk Kx f Kx
= Kuartil ke-x = Tepi kelas yang mengandung Kx = Frekuensi kumulatif sebelum Kx = Frekuensi kelas Kx
Contoh : Tentukan besarnya kuartil pertama dan kuarti ketiga dari data pada tabel berikut : Banyak Siswa Nilai (f) 40 – 44 4 45 – 49 7 50 – 54 12 55 – 59 9 60 – 64 5 65 – 69 3 f = 40 Jumlah frekuensi 40, K1 terletak pada urutan ke yang mengandung K1 adalah 45 – 49. x f fk K x Kx = L + 4 i fK x 1 40 4 4 K1 = 44,5 + 5
7
1 ( 40 + 1 ) = 10,25 artinya kelas 4 1
K1 = L + 4
K1 = 44,5 +
f fk K fK
1
10 4
7
5
1
i
K1 = 44,5 +
3 5 = 44,5 + 2,14 = 46,64 7
Jumlah frekuensi 40, K3 terletak pada urutan ke yang mengandung K1 adalah 55 – 59. x f fk K x Kx = L + 4 i fK x 3 40 23 K3 = 54,5 + 4 5
3 ( 40 + 1 ) = 30,75 artinya kelas 4 3
K3 = L + 4
K1 = 44,5 +
9
f fk K fK
i
3
30 23
7
3
5
7 5 = 54,5 + 5 = 59,5 7
K1 = 54,5 +
5. Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Semi Inter Kuartil Jangkauan adalah rentang (range) sehingga : Jangkauan Kuartil ( JK ) adalah selisih Kuartil atas dengan kuartil bawah JK = K3 – K1 Sedangkan jangkauan semi inter kuarti (semi artinya setengah) adalah setengah Jangkauan kuartil. Jangkauan semi inter kuartil dilambangkan dengan JSK ada kalanya jangkauan semi inter kuartil disebut Simpangan Kuartil ditulis dengan Kd . JSK =
1 ( K 3 – K1 ) 2
atau
Kd =
1 ( K3 – K 1 ) 2
Contoh : Pada kuartil di atas K1 = 46,64 dan K3 = 59,5 maka didapat : Jangkauan kuartilnya : JK = 59,5 – 46,64 = 12,86 Jangkauan semi inter kuartilnya JKS =
1 (59,5 – 46,64) = 6,43 2
6. Nilai Persepuluhan ( Desil ) Nilai persepuluhan disebut Desil adalah suatu nilai yang membagi sekelompok data menjadi 10 bagian sama banyak dilambangkan dengan Dx . Desil pertama ( D1 ) dan Desil kedua ( D2 ) dan seterusnya sampai Desil kesembilan ( D9 ).
D1
10%
D2
10%
D5
10%
10%
10%
D9
10%
10%
10%
10%
10%
a. Desil untuk data tunggal : Letak Desil ke – x ( Dx )adalah pada urutan ke
x ( n + 1 ), x = 1, 2, 3, ... ,9 10
Contoh : Tentukan Desil ke 1, 4 , 5 dan 9 dari data : 3, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 , 9, 9, 10, 12 Jawab : 3, 3,8 5, 1 2
5, 3
6, 4
D1 Jumlah data 13, sehingga :
7, 7 7, 5 6
8, 7
D4
D5
8, 8
9, 9
9, 10
9, 11
10, 11,2 12 12 13 D9
1 4 ( 13 + 1 ) = 1 10 10 4 D1 = data 1 + (5 – 3) = 3 + 0,8 = 3,8 10 4 Letak D4 pada urutan ke ( 13 + 1 ) = 5,6 10 Letak D1 pada urutan ke
D4 = data 5 + 0,6 (7 – 7) = 7 + 0 = 7
5 ( 13 + 1 ) = 7 10 9 Letak D9 pada urutan ke ( 13 + 1 ) = 12,6 10 Letak D5 pada urutan ke
K2 = 8
D9 = data ke 12 +0,6 (12 – 10) = 10 + 1,2 = 11,2 Rumusan ini juga berlaku untuk data berbobot. b. Desil untuk data kelompok : Rumusan Desil analog dengan median maupun Kuartil, hanya saja Desil adalah membagi sekelompok data menjadi 10 bagian sama banyak, untuk itu rumus Kuartil dapat diturunkan dari rumus median. 1 f fk Me 2 i Me = L + f Me Maka rumus Desilnya ;
x Dx = L + 10
f fk Dx
Dengan :
i
f Dx Dx L fk Kx f Kx
= Desil ke-x = Tepi kelas yang mengandung Dx = Frekuensi kumulatif sebelum Dx = Frekuensi kelas Dx
Contoh : Data pada tabel berikut tentukan : 1) Desil 1 2) Desil 4 3) Desil 8 Banyak Siswa Nilai (f) 40 – 44 4 45 – 49 7 50 – 54 12 55 – 59 9 60 – 64 5 65 – 69 3 f = 40 Jumlah frekuensi 40, D1 terletak pada urutan ke yang mengandung K1 adalah 45 – 49. x f fk Dx i Dx = L + 10 f Dx
1 D1 = 44,5 +
10
1 ( 40 + 1 ) = 4,1 artinya kelas 10 1
D1 = L +
10
40 4
4
D1 = 44,5 + 0 = 44,5
5
D1 = 44,5 +
f fk D 1 fD 1 44
4
5
i
Jumlah frekuensi 40, D4 terletak pada urutan ke
4 ( 40 + 1 ) = 16,4 artinya kelas 10
yang mengandung K1 adalah 50 – 54.
x Dx = L + 10
4
f fk Dx i
f Dx
4 D4 = 49,5 + 10
D4 = L +
5
yang mengandung K1 adalah 60 – 64. x f fk Dx i Dx = L + 10 f Dx
D9 = 59,5 +
10
i
5
9 ( 40 + 1 ) = 36,9 artinya kelas 10
D9 = L +
10
40 32
5 D9 = 59,5 + 4 = 63,5
12
9
5
4
4
16 4
D4 = 44,5 +
Jumlah frekuensi 40, D9 terletak pada urutan ke
f fk D fD
40 11
12 D4 = 49,5 + 5 = 54,5
9
10
D9 = 59,5 +
f fk D fD
i
9
36 32 5
9
5
7. Nilai Perseratusan (Persentil) Nilai perseratusan disebut Persenil adalah suatu nilai yang membagi sekelompok data menjadi 100 bagian sama banyak dilambangkan dengan Px . Persentil pertama ( P1 ) dan Persentil kedua (P2) dan seterusnya sampai Persentil kesembilanpuluh ( P90 ). Pada umumnya Persentil tidak ditanyakan sampai Persentil pertama tetapi persentil terkecil adalah Persentil ke sepuluh ( P10 ) dan Persentil terbesarnya persentil kesembilan puluh ( P90 ).
P10
10%
P20
10%
P50
10%
10%
10%
P90
10%
10%
10%
10%
10%
a. Persentil untuk data tunggal : Letak Persentil ke – x ( Px )adalah pada urutan ke
x ( n + 1 ), x = 1, 2, 3, ... ,99 100
Contoh : Tentukan Desil ke 10 dan 90 dari data : 3, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 , 9, 9, 10, 12 Jawab : 3, 3,8 5, 1 2
5, 3
6, 4
D1
7, 7 7, 5 6
8, 7
D4
D5
8, 8
9, 9
Jumlah data 13, sehingga : Letak P10 pada urutan ke
10 ( 13 + 1 ) = 1,4 100
P10 = data 1 + 0,4 (5 – 3) = 3 + 0,8 = 3,8
9, 10
9, 11
10, 11,2 12 12 13 D9
Letak P90 pada urutan ke
90 ( 13 + 1 ) = 12,6 100
P90 = data ke 12 +0,6 (12 – 10) = 10 + 1,2 = 11,2 Rumusan ini juga berlaku untuk data berbobot. b. Persentil untuk data kelompok : Rumusan Desil analog dengan median maupun Kuartil, hanya saja Desil adalah membagi sekelompok data menjadi 10 bagian sama banyak, untuk itu rumus Kuartil dapat diturunkan dari rumus median. 1 f fk Me 2 i Me = L + f Me Maka rumus Persentilnya ; x
Px = L +
100
f fk Px i
f Px
Dengan :
Px L fk Px f Px
= Persentil ke-x = Tepi kelas yang mengandung Px = Frekuensi kumulatif sebelum Px = Frekuensi kelas Px
Contoh : Data pada tabel berikut tentukan : 1) Persentil 10 2) Persentil 80 Banyak Siswa Nilai (f) 40 – 44 4 45 – 49 7 50 – 54 12 55 – 59 9 60 – 64 5 65 – 69 3 f = 40 Jumlah frekuensi 40, P10 terletak pada urutan ke yang mengandung K1 adalah 45 – 49. x f fk Px 100 i Px = L + f Px
10 P10 P10
= 44,5 + 100
10 ( 40 + 1 ) = 4,1 artinya kelas 100 10
P10 = L +
100
7 = 44,5 + 0 = 44,5
P10 = 44,5 +
Jumlah frekuensi 40, P80 terletak pada urutan ke yang mengandung K1 adalah 55 – 59. x f fk Px 100 i Px = L + f Px
i
f P10
40 4 5
f fk P10
4 4 7
5
80 ( 40 + 1 ) = 32,8 artinya kelas 100 80
P80= L + 100
f fk P80 f P80
i
80 P80
= 54,5 + 100
40 23 5
9 P80 = 54,5 + 5 = 59,5
P80 = 54,5 +
32 23 9
5
8. Jangkauan Persentil ( JP ). Jnagkauan persentil pada umumnya yang dimaksud adalah jangkauan 10 – 90 persentil (10 – 90 Percentile range) dari sekumpulan data. Sehingga Jangkauan Persentil ( JP ) = P90 – P10 Contoh : Pada data : 3, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 , 9, 9, 10, 12 Telah dicari bahwa : P10 = 3,8 dan P90 = 11,2 Maka jangkauan persentilnya JP = P90 – P10 JP = 11,2 – 3,8 = 7,4 Pemahaman tentang persentil dan jangkauan persentilnya kegunaannya sebagai berikut :
1 1 ( P90 + P10 ) = ( 11,2 + 3,8) = 7,5 2 2 1 1 dan ( P90 – P10 ) = ( 11,2 – 3,8 ) = 3,7 2 2 Kita cari
dari sini digambarkan bahwa 80% dari data tersebut mempunyai simpangan (7,5 3,7) 9. Varian, Koefisien Variasi dan Angka Baku Pada ukuran penyebaran adalah untuk mngetahui tingkat penyebaran data, maka ukuran varian, koefisien variasi dan angka baku bisa untuk melengkapi hasil olahannya. a. Varian (var) Varian yang dimaksud adalah variabilitas atau tingkat penyebaran data ditulis dengan lambang Var. , dirumus-kan sebagai berikut : Varian adalah kuadrat dari simpangan baku. Var. = ( Ss )2 Contoh apabila sekumpulan data diketahui simpangan bakunya 2,5 maka : Vaiannya Var = Ss2 Var = 2,52 = 6,25 b. Koefisien Variasi
Koefisien Variasi yang ditulis dengan lambang KV adalah perbandingan simpangan baku terhadap rata – rata hitungnya yang dinyatakan dalam persen. KV =
Ss x
x 100%
Bilangan koefisien variasi semakin besar maka data semakin heterogen dan sebaliknya semakin kecil nilai koefisien variasi tentunya data semakin homogen. c. Angka Baku ( Nilai Baku ) Angka baku atau bilangan baku atau bilangan standar atau ”Z score” yang ditulis dengan notasi Z adalah nilai penyimpangan data terhadap rata – rata hitungnya dalam satuan simpangan baku atau indeks pengukuran jarak terhadap simpangan baku dari suatu nilai data. Z=
x x Ss
Contoh : Dalam suatu penimbangan padi dalam kilogram diperoleh keterangan, rata – ratanya 32,75 kg, simpangan bakunya 7,5 kg. Berapakah angka baku untuk pengukuran 35,8 kg ?
Jawab : Diketahui : x = 32,75, Z=
x x Ss
Ss = 7,5, Z=
Soal Latihan : 1. Kumpulan data : 56, 69, 69, 80, 69, 45, Tentukan : a. Range/jangkauan b. Mean c. Simpangan rata – rata d. Simpangan baku e. Jangkauan kuartil f. Simpangan kuartil
x = 35,8
35,8 32,75 7,5
70, 70,
45, 56,
=
80, 69,
3,05 7,5
= 0,41
70, 70,
69, 70,
45, 69,
70, 69,
56, 45
2. Data : 4, a, 3, 6, 7, 8, 9, (a + 5) mempunyai jangkauan 7 Tentukan : a. nilai a b. mean c. simpangan rata – rata d. simpangan baku 3. Diketahui kumpulan data sebagai berikut : 116, 242, 281, 192, 217, 290, 158, 127, 184, 135, 272, 213, 281, 281, 193, 116, 281, 131, 242, 140, 130, 111, 200, 160, 293 Tentukan : a. K1, K2 dan K3 b. D1, D3, dan D9 c. P10, P60 dan P90 d. Jangkauan kuartil e. Simpangan kuartil f. Jangkauan Persentil 4. Pada data majemuk berikut : Banyak Siswa Nilai (f) 41 – 45 3 46 – 50 6 51 – 55 10 56 – 60 12 61 – 65 5 66 – 70 4 f = 40 Tentukan : a. K1, K2 dan K3 b. D1, D3, dan D9 c. P10, P60 dan P90 d. Jangkauan Kuartil e. Jangkauan semi inter kuartil f. Jangkauan Persentil 5. Pada data berikut : Banyak Siswa Data (f) 24 2 27 4 28 8 30 12 35 10 41 4 f = 40 Tentukan :
a. b. c. d. e. f.
Mean dengan rata – rata dugaan 30 Simpangan Rata – rata Simpangan baku dengan 2 cara Angka baku untuk x = 35 Varian Koefisien variasi
6. Ulangi soal nomor 5 a sd. f , untuk data kelompok berikut : Banyak Siswa Nilai (f) 41 – 45 3 46 – 50 6 51 – 55 10 56 – 60 12 61 – 65 5 66 – 70 4 f = 40 7.
Jika angka baku sekumpulan data dan untuk nilai data = 7 adalah 1,2 dengan simpangan baku 2,5. Tentukan rata – rata hitungnya !
8. Dua kelompok data tentang pengamatan daya tahan lampu pijar didapat sebagai berikut : Lampu pijar merk ”X” mempunyai umur masa pakai rata – rata 3000 jam, dengan simpangan baku 2,7 sedangkan Lampu pijar merk ”Y” mempunyai umur masa pakai rata – rata 2800 jam, dengan simpangan baku 2,2 sedangkan. Dari segi umur masa pakai lampu pijar tersebut merk manakah yang lebih baik ?
