Menjelaskan pengertian distribusi binomial, mengidentifikasi eksperimen binomial dan menghitung probabilitas binomial, menghitung ukuran pemusatan

Teknik Mesin – FTUI

ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng

Tujuan Pembelajaran q Menjelaskan pengertian distribusi binomial, mengidentifikasi eksperimen binomial dan menghitung probabilitas binomial, menghitung ukuran pemusatan dan penyebaran distribusi binomial q Menjelaskan pengertian distribusi Poisson, mengidentifikasi eksperimen Poisson dan menghitung probabilitas Poisson, menghitung ukuran pemusatan dan penyebaran distribusi Poisson q Mengetahui adanya jenis-jenis distribusi probabilitas variabel acak diskrit lainnya q Menjelaskan sifat-sifat suatu distribusi normal, menggunakan mean dan deviasi standard dari variabel acak kontinyu yang terdistribusi secara normal untuk mengubah nilai variabel acak menjadi skor standard Teknik Mesin – FTUI


Tujuan Pembelajaran q Menghitung probabilitas distribusi normal dan menjelaskan hubungannya dengan luas daerah di bahwa kurva probabilitas normal, Menentukan skor z dari persyaratan probabilitas yang ditentukan q Mengetahui adanya jenis-jenis distribusi probabilitas variabel acak kontinyu lainnya



Pokok Bahasan q Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit - Distribusi Binomial - Distribusi Poisson q Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu - Distribusi Gaussian (Normal)



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Binomial Eksperimen Binomial q Suatu distribusi binomial dapat digunakan dengan tepat dalam suatu eksperimen binomial q Eskperimen Binomial: q Setiap percobaan/trial, hanya dapat menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin, sukses atau gagal q Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu tetapdalam setiap percobaan (trial) q Setiap percobaan/trial saling bebas secara statistik, yang berarti hasil suatu percobaan tidak berpengaruh pada hasil percobaan lainnya q Jumlah percobaan n adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya (dinyatakan sebelum eksperimen dimulai) Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Binomial Contoh 4.1: Berikut ini adalah beberapa contoh eksperimen binomial: q Suatu kuis terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah jawaban alternatif, probabilitas banyaknya soal yang benar dijawab oleh seseorang adalah eksperimen binomial dengan p = 1/4, q = 3/4, n = 5 dan variabel acak diskrit adalah jumlah jawaban benar, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 q Dalam suatu kajian tentang ketangguhan mesin suatu jenis mobil didapati bahwa 67 persennya memiliki jarak tempuh lebih dari 400 ribu kilometer sampai harus turun mesin (overhaul) yang pertama kalinya. Dua belas mobil jenis yang bersangkutan dipilih secara acak dan jarak tempuh rata-rata sampai turun mesin diperiksa. Eksperimen diatas adalah eksperimen binomial dengan p = 0,67, q = 0,33, n = 12 dan variabel acak diskrit adalah jumlah mobil yang dapat menempuh jarak lebih dari 400 ribu kilometer sebelum turun mesin pertama kali, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Binomial Probabilitas Binomial q

Dalam sebuah eksperimen binomial dengan n percobaan (trial), dimana p adalah probabilitas sukses dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal dalam sekali percobaan, maka probabilitas variabel acak X yakni banyaknya x sukses yang terjadi pada n percobaan tersebut dapat dihitung dengan :

P ( X = x ) = p( x ) = n C x p x q n - x = n C x p x (1 - p ) n -x nCx

q

= kombinasi dari n obyek yang setiap kali dipilih x obyek

Distribusi kumulatif dari probabilitas binomial : x

x

k =0

k =0

F ( x) = å n Ck p k q n -k =å n Ck p k (1 - p)n -k Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Binomial Contoh 4.2: Distribusi probabilitas pada contoh 4.1 mengenai suatu kuis terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah jawaban alternatif, yang merupakan suatu eksperimen binomial (p = 1/4, q = 3/4, n = 5 dan variabel acak diskrit (X) adalah jumlah jawaban benar), dapat ditentukan sebagai berikut: 5! 1 ( 4 ) (3 4 ) = 0!5! ( 4 ) (3 4 ) =0, 2373 0

P( X = 0) = p (0) = 5 C0 1

1

5

4

( 4) ( 4)

P( X = 1) = p (1) = 5 C1 1

3

2

=

3

5! 1 1!4! 4

3

( 4) ( 4)

P( X = 2) = p (2) = 5 C2 1

0

=

1

5

4

( ) ( 4)

5! 1 2!3! 4

3

2

=0,3955 3

( ) ( 4 ) =0, 2637 3

5! 1 ( 4 ) (3 4 ) = 3!2! ( 4 ) (3 4 )

P( X = 3) = p (3) = 5 C3 1

2

3

4

5

3


3

5! 1 5!0! 4

5

=

0

( 4) ( 4)

P( X = 5) = p (5) = 5 C5 1

5! 1 4!1! 4

4

=

1

( 4) ( 4)

P( X = 4) = p (4) = 5 C4 1

2

3

=0, 0879

1

( ) ( 4 ) =0, 0146 3

0

( ) ( 4) 3

=0, 0010


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Binomial Ukuran Pemusatan dan Penyebaran q Mean Aritmatika (Nilai Harapan) :

m x = E ( X ) = np

q Varians dan Standard Deviasi :

s x2 = npq

q Kemencengan (skewness) :

b1 =

q Keruncingan (kurtosis) :

b2 = a 4 =


q p 2 + np nq n

® ®

s x= a3 =

b1 =

npq q-p npq

1 - 6 pq +3 npq ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng

Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Binomial Contoh 4.3: Pada distribusi probabilitas dalam contoh 4.1 mengenai suatu kajian tentang ketangguhan mesin suatu jenis mobil yang merupakan eksperimen binomial dengan p = 0,67, q = 0,33, n = 12, diperoleh :

m x = E ( X ) = np = (12)(0, 67) =8, 04 s x2 = npq = (12)(0, 67)(0,33) = 2,6532 s x = npq = 2,6532 =1,6289

q p 2 0,33 0, 67 2 b1 = + - = + - =1 np nq n (12)(0, 67) (12)(0,33) 12

b2 =

1 - 6 pq 1 - 6(0, 67)(0,33) +3 = +3 =2 npq (12)(0, 67)(0,33)



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Binomial Ilustrasi Distribusi Binomial di Bidang Teknik q Pemeriksaan elemen-elemen benda manufaktur q Dalam kebanyakan kasus, pemeriksaan menggunakan dua kategori, rusak atau dapat diterima/dipakai q Diasumsikan elemen-elemen benda kerja berasal dari sebuah populasi yang: Ø memiliki persentase bagian baik dan buruk yang tetap Ø persentase ini tetap sama pada waktu kita mengambil sampel untuk diuji ü populasi yang cukup besar ü menggantikan setiap sampel yang terambil dengan yang lainnya yang memiliki karakteristik serupa selama kita melakukan pengambilan sampel Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Binomial Ilustrasi Distribusi Binomial di Bidang Teknik q probabilitas mendapatkan x elemen baik dari batch sampel sejumlah n adalah:

P ( X = x) = p ( x) = n C x p x q n -x = n C x p x (1 - p ) n -x q

q

q

p = probabilitas mendapatkan elemen yang baik = 0,25 q = probabilitas mendapatkan elemen yang buruk = 1 – p = 0,75 n = jumlah elemen dalam batch yang sedang diuji =10



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Binomial Dalam praktek: q nilai p yang sebenarnya tidak diketahui q Perkirakan p berdasarkan data yang diperoleh dari jumlah sampel yang terbatas q Batas-batas interval kepercayaan untuk p telah dikaji dan hasilnya telah dibuat dalam bentuk tabel-tabel (n < 30) dan grafik-grafik (n ³ 30) The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Poisson Eksperimen Poisson q Distribusi Poisson digunakan dalam mengamati jumlah kejadian-kejadian khusus yang terjadi dalam satu satuan waktu atau ruang q Suatu distribusi Poisson dapat digunakan dengan tepat dalam suatu eksperimen Poisson : q Eksperimen yang meliputi penghitungan/pencacahan banyaknya kali suatu peristiwa terjadi dalam suatu satuan waktu atau ruang yang ditentukan q Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap satuan waktu atau ruang q Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam suatu satuan waktu atau ruang saling bebas terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada suatu satuan waktu atau ruang lainnya Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Poisson Contoh 4.4: Berikut ini adalah beberapa contoh eksperimen Poisson: q Banyaknya klaim asuransi kecelakaan mobil terhadap suatu perusahaan asuransi setiap tahunnya q Banyaknya cacat pada permukaan sebuah panel lembaran logam yang digunakan dalam produksi suatu satelit ruang angkasa q Banyaknya panggilan telepon yang masuk setiap menitnya pada kantor pelayanan darurat jalan tol q jumlah yang rusak pada setiap 3000 meter pita pada jalur manufaktur pita magnetik



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Poisson Probabilitas Poisson q

Dalam sebuah eksperimen Poisson, probabilitas memperoleh dengan tepat peristiwa X sebanyak x kejadian setiap satu satuan waktu atau ruang (jam, menit, meter persegi, dll) dapat dihitung dengan rumus:

l x e -l P( X = x) = p( x) = x!

l = laju kejadian (rata-rata banyaknya kejadian dalam satu satuan waktu) e = basis logaritma natural = 2,71828….



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Poisson Contoh 4.5: Contoh yang mudah dijelaskan misalnya adalah pada peristiwa emisi dari partikel radioaktif yang dideteksi dengan sebuah Geiger counter. Partikel-partikel ini diemisikan dalam waktu yang acak. Namun, jika kita hitung jumlah emisi tersebut untuk waktu yang “lama”, maka laju ratarata emisi m partikel-partikel perdetik dapat dihitung. Jika kemudian kita ingin memperkirakan probabilitas P(X=x) atau p(x) dapat menghitung secara tepat x partikel dalam selang satu detik, fenomena ini menunjukkan sangat mendekati model matematika Poisson. m x e -m P ( X = x) = p ( x) = x!

Sebagai contoh, jika m = 3 maka probabilitas dengan tepat 5 partikel perdetik adalah 35 e-3 (243)(0, 0498) P( X = 5) = p(5) = = =0,1008 5! 120



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Poisson Ukuran Pemusatan dan Penyebaran q Mean Aritmatika (Nilai Harapan) :

mx = E ( X ) = l

q Varians dan Standard Deviasi :

s x2 = l

q Kemencengan (skewness) :

1 b1 = l

q Keruncingan (kurtosis) :

b2 = a 4 =


®

®

s x=

a 3=

1 b1 = l

l

1 +3 l ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng

Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Poisson Ilustrasi Distribusi Poisson di Bidang Teknik q Pengendali yang akan menghentikan proses saat terjadi cacat yang tidak normal (laju cacat tinggi), untuk mengurangi jumlah sisa tak terpakai (scrap) q Misal cacat terjadi secara acak dan secara rata-rata terjadi 0,6 cacat untuk setiap 1000 meter produk Ø Kondisi syarat untuk menghentikan proses ü Menghentikan proses ketika tidak terjadi kecacatan ü Tidak menghentikan proses ketika terjadi kecacatan

Ø Keuntungan dan kerugian menggunakan sampel dengan ukuran tertentu Ø Ukuran sampel yang terbaik yang harus digunakan



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Poisson q Untuk kasus 1 atau lebih cacat, gunakan kurva berlabel x = 0: q untuk proses normal, kita akan menemukan 1 atau lebih cacat adalah sekitar 46 persen dari keseluruhan waktu q Jika kriteria diubah menjadi 2, 3, dan 4 cacat atau lebih maka proporsinya akan menjadi berturut-turut 13, 3, 0,4 persen dari keseluruhan waktu The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit – Distribusi Lain



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Histogram Probabilitas q

Sifat-sifat histogram probabilitas variabel acak kontinyu: q Luas daerah hc dari setiap batang adalah probabilitas mendapatkan varibel acak dalam kelas interval yang bersangkutan q Jumlah seluruh luas daerah batang tersebut harus 1,00 (100 persen probabilitas bahwa variable didapatkan antara nilai terendah dan tertinggi) q Probabilitas dari setiap batang adalah persentase dari nilai data yang berada di dalam kelas interval tersebut

h=

probabilitas mendapatkan variabel acak dalam kelas interval lebar kelas interval, c



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Histogram Probabilitas



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Fungsi Kepadatan Probabilitas q

q

q

q

Eksperimen hipotetis yang mempersyaratkan dua hal yaitu : q Variabel acaknya (dalam contoh di atas adalah breaking stress) harus dapat diukur dengan ketelitian (resolusi) yang kecil tak hingga (infinitesimal), artinya nilai yang diukur memiliki jumlah angka penting yang tak terbatas q Sampel yang diuji jumlahnya juga tidak terbatas Lebar kelas interval dapat kecil sekali (jumlah kelas interval semakin banyak), sehingga histogram yang berbentuk seperti tangga akan menjadi sebuah kurva yang mulus Kurva ini adalah kurva sebuah fungsi f dari variabel x, f(x). Fungsi f(x) ini disebut fungsi kepadatan probabilitas (probability density function/PDF) Luas batang f(x)dx masih memiliki arti yang sama yakni probabilitas mendapatkan x dalam kelas interval dx



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Fungsi Kepadatan Probabilitas q Jadi probabilitas mendapatkan x bernilai antara a dan b b adalah:

P ( X | a < x < b) = p(a < x
q Jika diketahui PDF dari sebuah variabel acak f(x), maka banyak perhitungan berguna yang dapat dilakukan: a

P( X | x < a ) = p( x < a) = ò f ( x)dx -¥ ¥

P( X | x > b) = p ( x > b) = òf ( x )dx b

¥

P( X | -¥ < x < ¥ ) = p(-¥ < x < ¥ ) =

ò f ( x)dx = 1.0 -¥



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Fungsi Kepadatan Probabilitas



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Fungsi Kepadatan Probabilitas q Untuk setiap PDF f(x) terdapat sebuah fungsi terkait F(x) yang disebut fungsi distribusi kumulatif, yang didefinisikan sebagai: x

F ( x) = òf ( x)dx -¥

q Fungsi ini menyatakan probabilitas bahwa x kurang dari sebuah nilai tertentu: xa

p(-¥ < x £ xa ) =

ò f ( x)dx -¥



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Fungsi Kepadatan Probabilitas Teoritis q Ketika mencari fungsi-fungsi matematik yang bisa dipakai sebagai fungsi kepadatan probabilitas PDF, hanya ada beberapa kriteria dasar yang harus dipenuhi: q Fungsi f(x) yang ingin dijadikan PDF harus tidak negatif (non-negative function) q Fungsi f(x) harus berupa kurva yang baik yang sesuai dengan data dalam praktek sebenarnya yang akan dikaji q ¥ òf ( x)dx = 1.0 -¥

q Setiap fungsi yang memenuhi persyaratan tersebut adalah model matematik yang berguna dan potensial untuk menjadi fungsi kepadatan probabilitas.



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu – Distribusi Gaussian Fungsi Kepadatan Probabilitas Gaussian q Distribusi yang paling penting dan paling biasa digunakan sebagai model bagi data aktual à distribusi normal

f ( x) =

1 s x 2p

-

e

( x -m x ) 2 (2s x 2 )

-¥ < x < ¥

q Untuk setiap nilai sx dan mx : Ø kurva fungsi simetris terhadap mx Ø memiliki total luas di bawah kurva tepat 1.0 Ø Nilai dari sx menentukan bentangan dari kurva sedangkan mx menentukan pusat (center)nya Ø Kemencengannya (skewness) = a3 = b1 = 0 Ø keruncingannya (kurtosis) = a4 = b2 = 3 Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu – Distribusi Gaussian Fungsi Kepadatan Probabilitas Gaussian



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu – Distribusi Gaussian PDF Gaussian Standard q Kurva PDF gaussian yang khusus dengan nilai mean, m = 0dan deviasi standar,s = 1 q Variabel acak dari PDF gaussian standard adalah satuan standard deviasi dan didefinisikan sebagai skor z (z score):

zx =

x - mx sx

q Dengan menggunakan variabel z fungsi PDF gaussian standardnya menjadi

1 - zx2 / 2 f ( zx ) = e 2p q Perhitungan probabilitas untuk distribusi gaussian apapun, dapat dipermudah dengan menggunakan tabel gaussian standard Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu – Distribusi Gaussian PDF Gaussian Standard



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu – Distribusi Gaussian



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu – Distribusi Gaussian Contoh 4.6: Nilai tahanan yang pada sejenis rangkaian menunjukkan suatu distribusi gaussian dengan mean 100 ohm dan deviasi standard 5 ohm : Probabilitas nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih secara random yang lebih besar dari 110 adalah: x - mohm 110 -100 x m x = 100, s x = 5, x >110 ® z x >

sx

=

5

=2

P( x > 100) = P( z x > 2) =1 -P( z x £2) =1 -0,97725 =0, 02275 =2, 28%

Probabilitas nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih m x = 100, = 5, secara random yangs xbernilai antara 96,72 ohm dan 101,17 ohm adalah: 96,72 £ x £101,17 ®

96, 72 -100 96, 72 -101,17 £ zx £ ® 5 5

-0, 656 £ z x £ 0, 234 P (96,72 £ x £101,17) = P ( -0, 656 £z x £0, 234) = 0,5925 - 0, 2559 = 0,3366 =33, 66% Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu – Distribusi Gaussian Contoh 4.6 (lanjutan): Nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih secara random yang probabilitasnya meliputi 99,43 % dari seluruh rangkaian: P ( z x £ a ) = 99, 43% = 0,9943 ® a= z x = 2,53 zx =

x - mx sx

®

x= m x+ z xs x = 100 + (2,53)(5) =112, 65

Jadi 99,43 % dari rangkaian memiliki nilai tahanan kurang dari 112,65 ohm.



Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu – Distribusi Lainnya



Menjelaskan pengertian distribusi binomial, mengidentifikasi eksperimen binomial dan menghitung probabilitas binomial, menghitung ukuran pemusatan

Recommend Documents