BAB III METODE BINOMIAL
Metode Binomial ialah metode sederhana yang banyak digunakan untuk menghitung harga saham. Metode ini berdasarkan pada percabangan pohon yang menerapkan aturan binomial pada tiap-tiap titik percabangan. Pada awalnya, pohon binomial tidak memiliki makna apapun kecuali tiap titik akan dibagi menjadi dua cabang (naik dan turun). Metode Binomial mengadaptasi itu untuk merepresentasikan pergerakan harga saham yang mengalami dua kemungkinan setiap periodenya. Kemungkinan itu ialah kemungkinan naik dan kemungkinan turun. Sehingga dua kemungkinan dapat direpresentasikan dengan gambaran pohon Binomial sebagai berikut:
Gambar 3.1 Gambar Umum Pohon Binomial
19
20
Gambar 3.2 Prinsip Dasar Metode Binomial
3.1
Model Diskrit Model dari metode Binomial ialah model diskrit yang memulai proses
dari diskritisasi waktu (T) yang kontinu. Metode Binomial mengubah T yang kontinu menjadi waktu (t) yang mengandung unsur diskrit i. Agar menghasilkan i yang mendekati kontinu, maka T dipartisi sejumlah M dimana M secara umum ialah jumlahan yang besar (M → ∞) . Notasi yang digunakan: M : jumlah partisi waktu
∆ , ialah jangka waktu
(3.1)
ti : = i.∆t, dengan i adalah banyaknya partisi, i = 0,1,2,...,M
(3.2)
Si : = S(ti), Si adalah harga aset dasar saat ti
(3.3)
Pada langkah selanjutnya akan diubah nilai kontinu dari St menjadi nilai diskrit Sij untuk setiap i dan nilai j yang menyesuaikan i.
21
Asumsi Metode Binomial Pembangunan metode Binomial mengikuti tiga asumsi. Yaitu: (A.1) Harga S pada setiap periode ∆t hanya memiliki dua kemungkinan hasil. Nilai S dapat naik menjadi Su atau turun menjadi Sd. u ialah faktor yang mempengaruhi pergerakan naik S dan d ialah faktor penurun S. (A.2) Peluang naiknya S ialah p, P(naik) = p. (A.3) Nilai harapan dari S pada masa mendatang diukur dengan pergerakan tingkat bunga bebas resiko r. Nilai dari harga aset S yang dibangun dari Si saat ti menuju Si+1 pada ti+l ialah . ∆
(3.4)
. ∆ ialah harapan nilai S pada waktu ti+j. Dengan asumsi A3, nilai harapan yang diwakili dengan pergerakan harga yang mengikuti pergerakan r dapat ditunjukkan dengan uraian sebagai berikut: 1
1 ∆
1 ∆ Karena ∆t →0 dan i →∞, maka
lim→ 1 ∆ . ∆ Pada saat memodelkan, parameter u, d, dan p tidak diketahui. Nilai parameter-parameter tersebut didapat dari pemodelan asumsi metode Binomial.
22
Asumsi A1 dan A2 memiliki konsekuensi model diskrit sebagai berikut, Peluang naiknya aset ialah p sementara itu peluang turunnya aset ialah (1-p). u ialah unsur yang membuat saham naik dan d ialah unsur yang membuat harga saham turun. Sehingga, nilai aset yang turun ialah Sd dan nilai aset yang naik ialah Su. Ekspektasi (nilai harapan) dari peluang Binomial ialah ∑# !. " !
(3.5)
Pada perhitungan peluang Binomial, Ekspektasi harga saham satu periode berikutnya E(Si+1) dipengaruhi oleh peluang kenaikan yang dikalikan dengan kenaikan harga saham itu sendri Siu dan peluang penurunan yang dikalikan dengan penurunan harga saham itu sendiri Sid. $ % 1 & $ '
(3.6)
Dengan menyamakan antara hasil ekspektasi diskrit dan kontinu maka didapat persamaan,
∆ $ % 1 & $ ' ∆ $ 1 & ' ' $
( )∆* + ,+
(3.7)
Agar nilai p tepat maka nilai harus 0≤p≤1. Nilai ini akan ekivalen dengan ' ≤ ∆ ≤ %
(3.8)
dengan asumsi yang harus dipenuhi 0
(3.9)
23
Pada bagian ini akan dimasukkan nilai volatilitas σ ke dalam model agar didapat hubungan volatilitas dengan parameter u, d, p. Nilai ini masuk ke dalam model melalui persamaan variansi. Volatilitas ialah nilai naik-turunnya suatu aset dasar atau biasa disebut simpangan baku suatu data. Dari model kontinu didapat: / / . /0
1 ∆
(3.10)
/
2 3 / . /∆
(3.11)
45 / & 2 3
/
(3.12)
45 / & 2 3 / . /0
1 ∆
/ . /∆ 0
/
& / . /∆
1 ∆
& 1
(3.13)
Sementara itu dari model diskrit didapat 45 / & 2 3
/
$ %/ 1 & $ '/ & / $% 1 & $'/
(3.14)
Dari persamaan varian model diskrit dan kontinu didapat 45 45
/ . /∆ 2 0
1 ∆
& 13 $ %/ 1 & $ '/ & / $% 1 & $'/
didapat /∆0
1 ∆
$ %/ 1 & $ '/
(3.15)
24
Pada persamaan ini, nilai volatilitas telah masuk ke dalam model. Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamnaan ini akan didapat nilai dari u, d, dan p. Penyelesaian persarnaan ini akan dilanjutkan dengan mengambil asumsi u.d = 1
(3.16)
u dan d menggambarkan kesimetrisan dari perubahan naik-turunnya harga aset. Parameter-parameter tersebut bergantung pada r, 6, ∆t. Kembali pada penyelesaian persamaan 3.16, dapat dilihat hubungan dari r,
6, ∆t dengan u, d, dan p. Persamaan 3.16 dapat diselesaikan dengan memasukkan persamaan 3.7 dan asumsi 3.16 sehingga diperoleh /∆0
1 ∆
7
( )∆* + ,+
8 %/ 71 &
( )∆* + ,+
8 '/
atau dapat ditulis /∆0
1 ∆
,1 ( )∆* , ,,9:
%/ &
,91 ( )∆* ,9; ,,9:
ambil < ∆ maka
1 ∆
,1 =,,9: ,91 = ,,9:
atau dapat ditulis
1 ∆
=2,,9: 3 ,,9: ,,9:
&1
atau dapat ditulis
1 ∆
< % % & 1
atau dapat ditulis
1 ∆
& %< & % < 1 0
(3.17)
25
,
Dengan mengalikan = pada 3.17 maka diperoleh %< 0
1 ∆
& %/ & 1 %< 0 atau dapat ditulis
%/ & % < < 0
1 ∆
10
Dengan substitusi 2@ < < 0
1 ∆
dan penyelesaian dengan rumus
ABC didapat %/ @ A B@ / & 1
(3.18)
Secara ringkas tiga parameter u, d, p diberikan sebagai berikut:
@ / < ∆ 0
1 ∆
(3.19)
% @ B@ / & 1
(3.20)
' , @ & B@ / & 1 $
(3.21)
( )∆* + ,+
Selanjutnya akan ditunjukkan % 0√∆ . Hal ini dapat ditunjukkan
dengan mensubstitusikan @ / < ∆ 0 dengan
( )∆* ( )∆*
1 ∆
ke dalam u dan mengalikan
, sehingga diperoleh
% / < ∆ 0
1 ∆
DE < ∆ 0
1 ∆
/ & 1
atau dapat ditulis %
1 1 1 1 1 ∆ 0 ∆ D 1 2 ∆ 0 ∆ /∆ / 0 ∆ & 4 /∆ 2 ∆
Ambil G ∆ dan 6H / /∆ 0
1 ∆
26
Maka %
1 1 6H 2 B1 26H 2 6H 4 & 4G2 2G
1 / 1 6H 2 D 6H 2 1 & 4G2 2G
Pemyataan untuk u dalam rumus tersebut masih rumit. Sehingga, perlu dicari rumus sederhana tanpa mengubah derajat kesamaan dan keakuratan. Dengan mengekspansi u dalam deret Taylor dengan kuasa √∆, maka diperoleh
/
62√∆3 6 / 2√∆3 % 1. 2√∆3 0 7B ∆J 8 1! 2!
1 62√∆3
6 / ∆ 0 7B ∆J 8 2
Dengan mengamati ketiga suku yang pertama, maka dapat disimpulkan bahwa % !$26√∆3 0 7B ∆J 8
(3.22)
0 7B ∆J 8 ialah nilai sisa. Sehingga dapat ditunjukkan % 0√∆
3.2
Menginisialisasi Pohon Sekarang parameter u, d, p sudah didapatkan. Mereka bergantung pada
nilai r, 6, dan ∆t. 'r' ialah bunga bebas resiko, 6 ialah volatilitas, dan ∆t ialah selisih waktu. Jika u dan d dikenakan pada aset (saham) maka akan membentuk pohon Binomial sebagai berikut.
27
Gambar 3.3 Konstruksi Pohon Binomial Aturan di atas digunakan untuk masing - masing level i = 0,...M dimulai dari t0 = 0 dengan nilai S = S0. Sekarang, u dan d kita anggap sebagai variabel yang telah diketahui dan nilai diskrit dari S untuk ti hingga tM = T dapat dihitung. Akar dari pohon Binomial diinisialisasi dengan S = S0 untuk t0 = 0. Nilai saham di awal waktu ialah akar dari pohon. Supaya berada di ruang 2 dimensi maka S0= S∞. Begitu pula untuk tahapan waktu selanjutnya. Distribusi harga saham Sji mengikuti distribusi Binomial.
K L % K ' K , dengan S 1,2, … , U dan V 0,1, … , S
(3.23)
Dengan didapatnya titik - titik di jaringan (ti, Sji) nilai option Vji = V(ti, Sji) dapat dihitung.
28
S0u3 S0u2 S0u
S0u S0ud
S0 S0d S0d S0d2 S0d3
Gambar 3.4 Pohon Binomial 1,2,3 Periode Untuk Pergerakan Harga Saham
3.3
Nilai Opsi dari Masing-Masing Titik Untuk setiap waktu ti, i = 0, 1, 2, ..., M, Payoff opsi put ialah 4 , 4K max & , 0 & K Perhitungan nilai opsi pada masing-masing titik menggunakan Backward
phase yaitu metode menghitung mundur nilai opsi dari ujung pohon menuju akar pohon. Dimulai dari tM-1, tM-2, ... untuk menghitung mundur nilai opsi V untuk semua ti, berawal dari VJM. Payoff' di ujung pohon ialah 4 , 4K max & , 0 & K
(3.24)
dengan i = 0, 1, 2, ..., M dan j = 0,1,2,...,i Berdasarkan persamaan untuk pergerakan harga saham dengan asumsi A3 dari metode binomial, dapat dibuat relasi antara persamaan Sji dengan Vji sebagai berikut: 4K ∆ . $4K, 1 & $4K,
(3.25)
29
Untuk mendapatkan nilai opsi put Amerika, Nilai ini dibandingkan dengan nilai instrinsik (Vji). Sehingga nilai opsi put Amerika menjadi: 4K X5! & K , ∆ . $4K, 1 & $4K,
(3.26)
