BAB IV METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

35

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

BAB IV METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA Pada bab ini akan dibahas suatu pendekatan numerik untuk penentuan harga opsi Asia, khususnya opsi Asia dengan rata-rata geometrik. Metode yang dipakai adalah metode binomial, yang akan dibahas terlebih dahulu untuk kasus vanilla option. Selain itu, pada bab ini juga akan ditampilkan contoh penerapan metode binomial tersebut pada suatu program Matlab 7.0.

4.1

Metode Binomial Untuk Penentuan Harga Opsi Metode binomial adalah metode yang dimulai dari model diskrit pergerakan harga saham yang sederhana. Selang waktu [ 0,T ] (di mana T=maturity time) dibagi menjadi N subselang yang panjangnya seragam dengan titiktitik 0 = t0 < t1 < ... < t N = T di mana ti = iΔt ( i = 0,1,..., N ) , Δt =

Si = S ( ti ) adalah harga saham pada saat ti .

Penentuan Harga Opsi Asia Riswan Harapan (10103024)

T N

dan


Asumsi yang digunakan: 1. Dalam selang waktu Δt , harga saham dapat naik atau turun menjadi S → S u atau S → S d dengan 0 < d < 1 < u

2. Peluang harga saham naik P ( naik ) = p 3. Ekspektasi return harga saham besarnya sama dengan risk-free rate r sehingga untuk harga saham S yang bergerak secara acak dari Si pada saat ti menjadi Si +1 pada saat ti +1 . Ini berarti E ( Si +1 ) = Si er Δt

Pada tahap ini ketiga buah parameter u,d, dan p nilai-nilainya belum diketahui. Nilai parameter-parameter ini akan dapat ditentukan setelah kita memiliki cukup persamaan yang menghubungkan ketiga parameter tersebut ataupun dengan menambahkan asumsi baru.

Dari asumsi (1) dan (2) diperoleh

E ( Si +1 ) = p Si u + (1 − p ) Si d

(4.1)

sehingga e r Δt = p u + (1 − p ) d → p =

e r Δt − d u−d

(4.2)

karena 0 ≤ p ≤ 1 maka haruslah d ≤ e r Δt ≤ u . Dari model kontinu kita miliki

(

)

E Si +12 = Si 2 e

(

)

( 2 r +σ )Δt , 2

(4.3)

(

Var ( Si +1 ) = E Si +12 − ( E ( Si +1 ) ) = Si 2 e 2 r Δt eσ 2

2

Δt

)

−1

(4.4)

dan dari model diskrit kita punyai

Var ( Si +1 ) = p ( Si u ) + (1 − p )( Si d ) − Si 2 ( p u + (1 − p ) d ) . 2

2

2

(4.5)

Dengan menyamakan kedua variansi (diskrit dan kontinu) maka kita dapatkan e 2 r Δt + σ

2

Δt

= p u 2 + (1 − p ) d 2

(4.6)

.


36


Persamaan (4.2) dan (4.6) memberikan 2 hubungan untuk u, d, dan p. Persamaan ketiga dapat kita pilih. Persamaan ketiga yang sering digunakan adalah

ud = 1 atau p = 1/ 2 . Jika kita pilih ud = 1 , maka akan diperoleh solusi: u = β + β 2 − 1, d = β − β 2 − 1, dengan β =

(

1 − r Δt ( r +σ 2 )Δt e +e 2

dan p =

)

e r Δt − d . u−d

dan untuk p = 1/ 2 solusinya adalah u = eσ

2

d = eσ

2

Δt

Δt

(1 + (1 −

eσ

2

eσ

2

Δt

Δt

) −1).

−1 ,

Setelah itu, harga saham dihitung untuk setiap titik bagi (ti) yakni

S ji = S0u j d i − j

(4.7)

dengan Sji menyatakan harga saham pada saat ti dengan telah terjadi kenaikan harga saham sebesar j kali serta penurunan harga saham sebesar (ij) kali (untuk i = 0,1,..., N dan j = 0,1,..., i ).

Setelah itu, akan dicari nilai payoff untuk semua nilai j yang mungkin pada saat maturity

( t = N ). Adapun pada saat ti selalu terdapat i + 1

kemungkinan sehingga pada saat expiration date terdapat

( N + 1)

kemungkinan. Sehingga V jM = maks {S jM − K , 0} untuk opsi call dan V jM = maks { K − S jM , 0} untuk opsi put (untuk j = 0,1,..., N ).

Metode binomial selanjutnya bekerja secara rekursif (dalam waktu) untuk memperoleh nilai opsi pada saat t = 0 . Untuk tiap titik ti berlaku

(

V ji = e − rÄt pV j +1i +1 + (1 − p )V j i +1 Penentuan Harga Opsi Asia Riswan Harapan (10103024)

)

(4.8) 37


Namun untuk tipe Amerika, harus dilakukan pengujian lebih lanjut, karena early exercise dapat terjadi pada opsi Amerika. Untuk opsi Amerika, berlaku

{

(

V ji = maks payoff *, e− rÄt pV j +1i +1 + (1 − p)V j i +1

)}

(4.9)

payoff * = maks {S ji − K , 0} untuk call payoff * = maks { K − S ji , 0} untuk put i = N − 1, N − 2,..., 0 dan j = 0,1,..., i

4.2

Metode Binomial pada Opsi Asia dengan Rata-rata Geometrik

Misalkan sebuah opsi Eropa yang masa hidupnya berlangsung pada waktu [0, T ] , di mana T merupakan expiration date-nya. Selang waktu tersebut

dibagi menjadi sejumlah N selang diskrit, sehingga kita memiliki titik-titik

dengan Δt =

waktu nΔt , n = 0,1,… , N ,

T . Misalkan r adalah suku bunga N

dan σ merupakan nilai volatilitas harga underlying asset.

Misal rata-rata geometrik dinyatakan dengan n ⎛ I ⎞ exp ⎜ n ⎟ , dengan I n = ∑ ln Si ⎝ n +1 ⎠ i =0

(4.10)

Misalkan pula Sn menyatakan harga saham pada titik ke- n , dan

V ( Sn , I n , n ) adalah harga opsi geometrik pada titik ke- n . Sn akan bergerak naik menjadi Snu dengan probabilitas p atau bergerak turun menjadi Sn d dengan probabilitas

(1 − p )

pada titik ke- ( n + 1) . Kemudian, dengan

memilih e r Δt − d p= u−d

dan dengan pengaproksimasian: e − r Δt ≈ 1 − r Δ t

( r + σ ) Δt 2

≈ 1 + r Δt + σ 2 Δ t 1 β ≈ 1 + σ 2 Δt 2

e


38


maka bisa didapatkan: u = eσ

Δt

,d =

1 u

(4.11)

Selain itu, I n juga akan naik menjadi I nu+1 atau turun menjadi I nd+1 , di mana

I nu+1 = I n + ln ( Snu ) = I n + ln Sn + σ Δt

(4.12)

I nd+1 = I n + ln ( Sn d ) = I n + ln Sn − σ Δt

dan dengan menggunakan metode binomial standar, maka akan didapatkan formulasi harga opsi sebagai berikut:

V ( Sn , I n , n ) = e− rΔt ⎡⎣ pV ( Snu, I nu+1 , n + 1) + (1 − p ) V ( Sn d , I nd+1 , n + 1) ⎤⎦

(4.13)

Kemudian, metode binomial untuk opsi dengan rataan geometrik ini akan dipecah menjadi dua bagian besar, yakni untuk tipe average strike dan average value.

a. Average Strike Asian Option dengan rata-rata geometrik

Payoff untuk opsi jenis ini dinyatakan dalam: IN ⎪⎧ ⎪⎫ V ( S N , I N , N ) = max ⎨ S N − e N +1 , 0⎬ ⎩⎪ ⎭⎪

(4.14)

Misalkan

V ( Sn , I n , n ) = S nW n ( yn ) , dengan yn = I n − ( n + 1) ln Sn Kemudian, dari perumusan I n di atas, dapat ditulis:

I nu+1 = I n + ln Sn + σ Δt , kemudian I nu+1 − ( n + 2 ) ln ( Snu ) = I n + ln Sn + σ Δt − ⎡⎣( n + 2 ) ln S n + ( n + 2 ) σ Δt ⎤⎦ = I n − ( n + 1) ln S n − ( n + 1) σ Δt = yn − ( n + 1) σ Δt sehingga perumusan harga opsi untuk titik ke ( n + 1) ditulis kembali menjadi:

(

)

V ( Snu, I nu+1 , n + 1) = SnuW n +1 yn − ( n + 1) σ Δt ,


39


dan dengan cara serupa dapat pula dituliskan:

(

V ( Sn d , I nd+1 , n + 1) = Sn dW n+1 yn + ( n + 1) σ Δt

)

Dengan menerapkan rumusan umum metode binomial pada persamaan (4.13), maka bisa ditulis:

(

)

(

)

W n ( yn ) = e − r Δt ⎡ puW n +1 yn − ( n + 1) σ Δt + (1 − p ) dW n +1 yn + ( n + 1) σ Δt ⎤ ⎣ ⎦

(4.15) dan pada waktu expiry, berlaku IN ⎛ ⎪⎧ ⎪⎫ ⎞ N +1 IN ⎜⎜ max ⎨ S N − e , 0 ⎬ ⎟⎟ ⎧ ⎫ N ⎪ e +1 ⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎠ ⎝ N , 0⎬ = max ⎨1 − W ( yN ) = SN SN ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

yN ⎧⎪ ⎫⎪ W N ( yN ) = max ⎨1 − e N +1 , 0 ⎬ ⎩⎪ ⎭⎪

Catat bahwa I 0 = ln S0 dan

(4.16)

y0 = 0 . Kemudian, dalam tujuan untuk

menentukan nilai V ( S0 , I 0 , 0 ) = S0W 0 ( 0 ) , kita harus mencari nilai-nilai W n di setiap titik yang berada di interval: n −1 ⎞ n ( n + 1) ⎛ n −1 ⎞ ⎛ n ( n + 1) − + Δ k 1 t , σ σ Δt , σ Δt ⎟ . ) ( k + 1) σ Δt ⎟ = ⎜ − ∑ ⎜ ∑( 2 2 k =0 ⎝ k =0 ⎠ ⎝ ⎠

(

)

Supaya mempermudah pembacaan notasi, sebut saja W n ( j ) = W n jσ Δt . Sehingga, didapat perumusan: W n ( j ) = e − r Δt ⎣⎡ puW n +1 ( j − ( n + 1) ) + (1 − p ) dW n +1 ( j + ( n + 1) ) ⎤⎦ untuk 0 ≤ n ≤ N − 1, j = −

n ( n + 1) 2

,−

n ( n + 1) 2

+ 2,… ,

n ( n + 1)

(4.17)

2

sedangkan di titik expiry, berlaku


40

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA jσ Δt j ⎧ ⎫ ⎪⎧ ⎪⎫ W N ( j ) = max ⎨1 − e N +1 , 0 ⎬ = max ⎨1 − u N +1 , 0 ⎬ , ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩ ⎭ N ( N + 1) N ( N + 1) N ( N + 1) untuk j = − ,− + 2,… , 2 2 2

(4.18)

Untuk lebih jelasnya, di bawah ini akan disajikan algoritma penghitungan nilai call European Average Strike Geometric Asian Option:

Masukan : Hitung :

r , σ , S0 , T , N Δt = T / N , u , d , p untuk t = N for j = −

N ( N + 1) 2

,−

N ( N + 1) 2

⎧ W N ( j ) = max ⎨1 − u ⎩ for n = N , N − 1,… , for j = − W

Keluaran :

n ( n + 1) 2 n

,−

( j) = e

j N +1

+ 2,… ,

2

⎫ , 0⎬ ⎭

n ( n + 1) 2

− r Δt

N ( N + 1)

⎡ puW ⎣

+ 2,… ,

n +1

n ( n + 1) 2

( j − ( n + 1) ) + (1 − p ) dW ( j + ( n + 1) )⎤⎦ n +1

C 0 ( 0 ) = W 0 ( 0 ) * S0

Dan algoritma untuk nilai put European Average Strike Geometric Asian Option:

Masukan : Hitung :

r , σ , S0 , T , N Δt = T / N , u , d , p untuk t = N for j = −

N ( N + 1) 2

,−

N ( N + 1)

⎧ W N ( j ) = max ⎨u ⎩ for n = N , N − 1,… , for j = − W


n ( n + 1) 2 n

2 j N +1

,−

( j) = e

+ 2,… ,

N ( N + 1) 2

⎫ − 1, 0 ⎬ ⎭ n ( n + 1)

− r Δt

2 ⎡ puW ⎣

+ 2,… ,

n +1

n ( n + 1) 2

( j − ( n + 1) ) + (1 − p ) dW ( j + ( n + 1) )⎤⎦ n +1

41


C 0 ( 0 ) = W 0 ( 0 ) * S0

Keluaran :

Selain itu, algoritma untuk nilai call American Average Strike Geometric Asian Option:

Masukan : r , σ , S0 , T , N Hitung :

Δt = T / N , u , d , p untuk t = N

for j = −

N ( N + 1) 2

,−

N ( N + 1) 2

⎧ W N ( j ) = max ⎨1 − u ⎩

j N +1

+ 2,… ,

N ( N + 1) 2

⎫ , 0⎬ ⎭

for n = N , N − 1,… , for j = −

n ( n + 1) 2

,−

n ( n + 1) 2

+ 2,… ,

n ( n + 1) 2

j ⎧⎪ − r Δt ⎛ ⎞⎫ n +1 n +1 n +1 ⎪ ⎡ ⎤ W ( j ) = max ⎨e ⎣ puW ( j − ( n + 1) ) + (1 − p ) dW ( j + ( n + 1) ) ⎦ , ⎜1 − u ⎟ ⎬ ⎝ ⎠ ⎭⎪ ⎩⎪ n

C 0 ( 0 ) = W 0 ( 0 ) * S0

Keluaran :

Dan algoritma untuk nilai put American Average Strike Geometric Asian Option:

Masukan :

Hitung :

r , σ , S0 , T , N Δt = T / N , u , d , p


42


untuk t = N for j = −

N ( N + 1) 2

,−

N ( N + 1) 2

⎧ W N ( j ) = max ⎨u ⎩

j N +1

+ 2,… ,

N ( N + 1) 2

⎫ − 1, 0 ⎬ ⎭

for n = N , N − 1,… , for j = −

n ( n + 1) 2

,−

n ( n + 1) 2

+ 2,… ,

n ( n + 1) 2

⎧⎪ − r Δt ⎛ n +j 1 ⎞ ⎫⎪ n +1 n +1 ⎡ ⎤ W ( j ) = max ⎨e ⎣ puW ( j − ( n + 1) ) + (1 − p ) dW ( j + ( n + 1) ) ⎦ , ⎜ u − 1⎟ ⎬ ⎝ ⎠ ⎭⎪ ⎩⎪ n

Keluaran :

C 0 ( 0 ) = W 0 ( 0 ) * S0

b. Average Value Asian Option dengan rata-rata geometrik

Payoff untuk opsi jenis ini dinyatakan dalam: I ⎪⎧ N ⎪⎫ V ( S N , I N , N ) = max ⎨e N +1 − X , 0 ⎬ , dengan X =strike price ⎩⎪ ⎭⎪

(4.19)

Untuk kali ini, akan dimisalkan

V ( Sn , I n , n ) = W n ( yn ) , dengan yn = I n + ( N − n ) ln S n Kemudian, dari perumusan I n di atas, dapat ditulis: I nu+1 = I n + ln Sn + σ Δt , kemudian I nu+1 + ( N − n − 1) ln ( Snu ) = I n + ln Sn + σ Δt + ⎡⎣( N − n − 1) ln S n + ( N − n − 1) σ Δt ⎤⎦ = I n + ( N − n ) ln S n + ( N − n ) σ Δt = yn + ( N − n ) σ Δt Dengan prosedur serupa dengan average strike, maka akan didapatkan

(

)

(

)

W n ( yn ) = e − r Δt ⎡ pW n +1 yn + ( N − n ) σ Δt + (1 − p ) W n +1 yn − ( N − n ) σ Δt ⎤ ⎣ ⎦

(4.20) dan pada n=N, berlaku


43


⎧ Ny+1 ⎫ W ( y ) = max ⎨e − X , 0 ⎬ ⎩ ⎭ n

(4.21)

Catat bahwa y0 = I 0 + N ln So = ( N + 1) ln So . Kemudian, dalam tujuan untuk menentukan nilai V ( S0 , I 0 , 0 ) = W 0 ( y0 ) , kita harus mencari nilai-nilai W n di setiap titik yang berada di interval : n −1 n −1 ⎛ ⎞ − − Δ + y N k σ t , y ( ) ( N − k ) σ Δt ⎟ = ∑ ∑ 0 0 ⎜ k =0 k =0 ⎝ ⎠

⎛ ⎞ n ( 2 N − n + 1) n ( 2 N − n + 1) σ Δt , y0 + σ Δt ⎟ ⎜ y0 − 2 2 ⎝ ⎠

(

)

Notasikan W n ( j ) = W n y0 + jσ Δt . Sehingga, didapat perumusan: W n ( j ) = e − r Δt ⎡⎣ pW n +1 ( j + N − n ) + (1 − p )W n +1 ( j − N + n ) ⎤⎦ untuk 0 ≤ n ≤ N − 1, j = −

n ( 2 N − n + 1) 2

,−

n ( 2 N − n + 1) 2

+ 2,… ,

n ( 2 N − n + 1) (4.22) 2

sedangkan di titik expiry, berlaku j ⎧⎪ y0 + jσ Δt ⎫⎪ ⎧ ⎫ N +1 N +1 W ( j ) = max ⎨e − X , 0 ⎬ = max ⎨ S0u − X , 0 ⎬ , ⎩ ⎭ ⎩⎪ ⎭⎪ N

untuk j = −

N ( N + 1) 2

,−

N ( N + 1) 2

+ 2,… ,

N ( N + 1)

(4.23)

2

dengan X =strike price

Berikut adalah algoritma penentuan harga call Average Value Geometric Asian Options:

Masukan :

r , σ , S0 , T , N

Hitung :

Δt = T / N , u , d , p


44


untuk t = N n ( 2 N − n + 1)

for j = −

2

,−

n ( 2 N − n + 1)

⎧ W N ( j ) = max ⎨ S0u ⎩ for n = N , N − 1,… , for j = − W

Keluaran :

n

n ( 2 N − n + 1) 2

( j) = W ( j) = e n

2 j N +1

,−

− r Δt

+ 2,… ,

n ( 2 N − n + 1) 2

⎫ − X , 0⎬ ⎭

n ( 2 N − n + 1) 2 ⎡⎣ pW

n +1

+ 2,… ,

n ( 2 N − n + 1)

2 ( j + N − n ) + (1 − p )W n+1 ( j − N + n )⎤⎦

C 0 ( 0) = W 0 ( 0)

Dan berikut juga akan disajikan algoritma penentuan harga put European Average Value Geometric Asian Options:

Masukan :

r , σ , S0 , T , N

Hitung :

Δt = T / N , u , d , p untuk t = N

for j = −

n ( 2 N − n + 1) 2

,−

n ( 2 N − n + 1) 2

⎧ W N ( j ) = max ⎨ X − S0u ⎩ for n = N , N − 1,… , for j = − W

Keluaran :

n

n ( 2 N − n + 1) 2

( j) = W ( j) = e n

,−

− r Δt

j N +1

+ 2,… ,

2

⎫ , 0⎬ ⎭

n ( 2 N − n + 1) 2 ⎡⎣ pW

n ( 2 N − n + 1)

n +1

+ 2,… ,

n ( 2 N − n + 1)

2 ( j + N − n ) + (1 − p )W n+1 ( j − N + n )⎤⎦

C 0 ( 0) = W 0 ( 0)

Namun transformasi yang dilakukan pada opsi ini tidak bisa digunakan untuk menghitung nilai American Average Value Geometric Asian Options


45


4.3

Program Binomial dengan MATLAB

Pada kesempatan ini, akan dilakukan simulasi metode binomial untuk menentukan harga opsi Asia tipe geometrik dengan nilai-nilai masukan sebagai berikut:

r =0.09, σ =0.2, saham awal =100, time to maturity=1/3, strike price=95 (untuk tipe average value) u = eσ

Δt

,d =

1 e r Δt − d ,p= u u−d

Berikut akan ditampilkan hasilnya: a.

Average strike call options

Akan dihitung nilai W, dan nilai C di saat (0) dihitung dengan hubungan:

V ( S0 , I 0 , 0 ) = S0W 0 ( 0 ) N

4

Harga C Eropa 3,45

Harga P Eropa 1,84

Harga C Amerika 3.45

Harga P Amerika 1,95

10

3,49

1,89

3.49

1,98

50

3,51

1,91

3,51

2,00

100

3,51

1,91

3,51

2,00

200

3,51

1,91

3,51

2,00

300

3,51

1,91

3,51

2,00

500

3,51

1,91

3,51

2,00

eksak

3,51


46


Ilustrasi gambar pohon binomial untuk European Average Strike Geometric Asian Options:

0

0 0 0

0

0

0.013

0

0.026

0

0.015

0.026

0.022

0.035 0.0345 0.038 0.040

0.022 0.051 0.053 0.045 0.066 0.072

0.086

0.109

b.

Average value call options N

4

Harga C Eropa 6,691

Harga P Eropa 0,5009

10

6,729

0,5295

50

6,7543

0,5468

100

6,7577

0,5492

200

6,7594

0,5504


47


300

6,7600

0,5508

500

6,7604

0,5512

800

6,7607

0,5513

Eksak

6,7611

0,5517

Ilustrasi gambar pohon binomial untuk European Average Value Geometric Asian Options: 17.2 15.9 13.6

14.6 12.1

10.3

10.9 9.7 6.4

8.5 7.3 6.2 5

6.69 4.1

3.9 2.9 1.2 0.48

2.3 0.36

0

0.14 0

0


0

48

BAB IV METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

Recommend Documents