Penentuan Harga Opsi (call) Asia Menggunakan Metode Lattice multinomial

Penentuan Harga Opsi (call) Asia Menggunakan Metode Lattice multinomial Nur Roza Fitriyana 1 , Deni Saepudin2 , Irma Palupi 3 Prodi S1 Ilmu Komputasi, Fakultas Informatika, Universitas Telkom Jalan Telekomunikasi No.1, Dayeuh Kolot, Bandung 40257 [email protected] ,[email protected] 2 ,[email protected] 1.2.3

Abstrak Opsi dalam saham adalah suatu hak yang didasarkan oleh suatu perjanjian kesepakatan antara penjual dan pembeli suatu opsi saham, pada tingkat harga yang sudah disepakati diawal oleh kedua belah pihak dan dalam jangka waktu tertentu selama masa kontrak tersebut berlangsung. Opsi Asia adalah jenis opsi yang perhitungan keuntungan (laba) pada saat meng exercise opsinya bergantung pada rata-rata harga aset sepanjang masa kontrak opsi tersebut berlangsung. Dalam Tugas Akhir ini dibahas cara menentukan harga opsi Asia tipe Eropa, jenis opsi beli (call option), dengan menggunakan metode lattice multinomial. Opsi Asia tipe Eropa hanya bisa di exercise pada saat maturity time atau pada saat tanggal jatuh tempo dari opsi tersebut. Kemudian metode yang di gunakan adalah metode lattice multinomial, metode lattice adalah metode yang digunakan untuk menghitung dan memodelkan perg erakan harga saham dengan membagi waktu antara sekarang hingga saat berakhirnya opsi (maturity time) ke dalam periode diskrit. Dalam perhitungan opsi (call) Asia ada beberapa parameter yang dibutuhkan, yaitu parameter untuk harga kesepakatan (X), parameter untuk nilai suku bunga (r), dan parameter nilai saham (S). Semakin besar nilai X maka harga opsi yang dihasilkan akan semakin kecil, sementara semakin besar nilai r maka harga opsi yang dihasilka akan semakin besar. Sehingga dapat disimpulkan metode multinomial lattice dapat digunakan untuk menghitung opsi (call) Asia tipe Eropa. Kata kunci : opsi asia, metode lattice, lattice multinomial, call option

Abstract In stock, option is a right that is grounded by a treaty agreement between the seller and buyer of a stock option, at a price that has been agreed upon by both parties at the beginning and in a certain time during the contract period lasts. Asia n option is a type of option that calculation of benefits while clicking the option exercise depend on averaging asset prices throughout the period of the option contract lasts. In this final project discussed how to determine the price of the Asian option European t ype, the type of call option, using multinomial lattice. Europe Asia option type can only be exercised at the time of maturity time or on the date of maturity of the option. Then the methods used is a multinomial lattice method, lattice method is the metho d used to calculate and model the movement of stock prices by dividing the time between now and the expiry of options (maturity time) into discrete period. In the calculation of option (call) Asia there are some parameters that are needed, the parameters for the strike price (X), the parameters for the value of the interest rate (r), and the parameter value of the stock (S). The larger the value of X, the resulting option price will be smaller, while the greater the value r dihasilka the option price will b e even greater. It can be concluded multinomial lattice method can be used to calculate the option (call) Asian European type. Keywords : Asian option, lattice method, lattice multinomial and call option.

1. Pendahuluan Opsi adalah suatu kontrak yang berisi hak (bukan kewajiban) kepada pemegang opsi untuk membeli atau menjual suatu aset dengan harga dan waktu pelaksanaan yang telah disepakati dalam perjanjian sebelumnya. Sebagaimana layaknya saham, opsi juga merupakan surat berharga yang dapat diperjual-belikan, tetapi yang diperjual-belikan adalah hak jual dan hak beli dari opsi tersebut. Opsi tidak akan memiliki nilai apabila pada saat sudah jatuh tempo pemegang opsi tidak menggunakan haknya untuk meng-exercise opsi tersebut. Berdasarkan waktu pelaksanaannya, opsi terbagi dua jenis, yaitu European style dan American style. Opsi denga European style adalah jenis opsi yang masa pengeksekusiannya pada saat masa opsi berakhir atau saat

jatuh tempo (maturity time) [10]. Sementara opsi dengan American style adalah opsi dengan masa pengeksekusiannya kapanpun sepanjang masa opsi tersebut masih berlaku [6]. Berdasarkan bentuknya opsi juga terbagi atas dua jenis, yaitu opsi jual dan opsi beli. Opsi beli atau yang sering disebut call option adalah suatu kontrak yang berisi hak untuk membeli sebuah aset dengan harga yang sudah disepakati sebelumnya. Sedangkan opsi jual atau yang biasa disebut put option adalah suatu hak untuk menjual sebuah aset atau efek dengan harga yang sudah disepakati sebelumnya. Opsi Asia adalah opsi eksotik yang perhitungan payoffnya ditentukan oleh rata-rata nilai aset yang mendasari s elama masa opsi tersebut berlangsung. Opsi Asia pertama kali

diperkenalkan oleh Boyle (1996) dan Emanuel (1980) [7] dan pertama kali digunakan oleh Ingersol. Opsi asia awalnya pertama kali diperdagangkan di pasar Asia saja, terutama di Tokyo [4].

dari volatilitas return sahan dalam hal ini adalah akar dari nilai variansi return saham pada persamaan (2). Maka rumusnya seperti persamaan (3) berikut ini: 𝜎 = √𝜎 2

(3)

Tedapat banyak metode untuk menentukan harga opsi Asia, salah satunya menggunakan metode lattice. Metode lattice adalah metode yang digunakan untuk memetakan semua nilai dari opsi saham pada saat ini hingga saat jatuh tempo (maturity time). Dalam tugas akhir ini akan dijelaskan bagaimana menentukan harga opsi asia dengan European style dan path-dependent option menggunakan metode lattice multinomial dengan menghitung harga opsi berdasarkan rata-rata harga opsi selama masa opsi tersebut berlangsung hingga pada saat sudah jatuh tempo (maturity time).

dimana, σ : volatilitas return saham σ2 : variansi return saham

2. lattice

Model dinamika nilai return kontinu untuk aset yang mendasari opsi adalah:

Opsi Asia Menggunakan Metode Multinomial

2.1 Return Saham Return pada saham merupakan hasil dari keuntungan atau kerugian yang diperoleh dari suatu investasi saham. Nilai return pada saham bisa positif ataupun negatif, tergantung dari data sahamnya. Jika return saham bernilai positif maka itu berarti mendapatkan keuntungan (capital gain). Sedangkan jika return saham bernilai negatif berarti rugi (capital lost). 𝑅𝑠(𝑡0) =

𝑆(𝑡1) − 𝑆(𝑡0) 𝑆(𝑡0)

: return terhadap saham

S(t)

: harga saham pada waktu ke t

S(t1)

: harga saham pada periode sebelumnya

S(t0)

: harga saham saat periode sekarang

2 ∑𝑛 𝑖 =0(𝑅𝑠(𝑡0) − (𝐸 (𝑅𝑠(𝑡0)) ))

𝑛

dimana, S r dWτ σ

= 𝑟 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑑𝑊𝜏

: nilai saham (aset) : tingkat bunga bebas resiko : gerak brown yang mengikuti proses wiener : Jarak antara fluktuasi naik/turun suatu saham (volatilitas) : waktu jatuh tempo

Dalam model binomial, jika St adalah saham pada waktu ke-t, maka St mempunyai dua kemungkinan, yaitu kemungkinan saham naik yang dinyatakan dengan Stu dengan probabilitas p dan kemungkinan saham turun yang dinyatakan dengan Std dengan probabilitas 1-p.

(2)

dimana, R_(s(t0)): return terhadap saham n

𝑆

τ

2.2 Variansi Variansi saham adalah ukuran penyebaran data. Varians i merupakan salah satu parameter bagi distribusi normal. Variansi digunakan untuk mengetahui seberapa jauh penyebaran nilai dari hasil observasi terhadap rata-rata. Untuk menghitung variansi return saham dapat menggunakan rumus pada persamaan (2) berikut ini: 𝜎2 =

𝑑𝑆

(1)

dimana, Rs(t0)

2.4 Opsi Asia Opsi asia adalah opsi yang perhitungan payoff nya berdasarkan rata-rata nilai aset yang mendasari selama masa opsi tersebut berlangsung. Oleh karena payoffnya dari opsi ini kurang berfluktuasi. Opsi ini memberikan hak pada pemiliknya untuk membeli saham pada saat jatuh tempo dengan exercise priceyang telah ditentukan.

: banyaknya total harga saham

2.3 Volatilitas Volatilitas adalah tingkat ketidakpastian yang terjadi pada bursa saham yang bisa mempengaruhi harga opsi. Nilai

Metode binomial pertama kali diperkenalkan oleh Cox, Ross and Rubinstein tahun 1979, atau sering disebut dengan model CRR. Untuk mencari nilai u,d dan p kita perlu menggabungkan beberapa persamaan dari model binomial CRR, yaitu dengan menggabungkan persamaan model binomial diskrit dan model binomial kontinu. Ekspektasi dari model diskrit dirumuskan pada persamaan (4) seperti berikut ini : (4) 𝐸 ( 𝑆𝑡+1 ) = 𝑝𝑆𝑡 𝑢 + (1 − 𝑝) 𝑆𝑡 𝑑 Kemudian ekspektasi dari model kontinu dirumuskan pada persamaan (5) (5) 𝐸 ( 𝑆𝑡+1 ) = 𝑆𝑡 𝑒 𝑟∆𝑡 Dari persamaan (4) dan (5) di atas, kita dapat menggabungkan persamaan tersebut menjadi persamaan (6) berikut ini: 𝑒 𝑟 ∆𝑡 − 𝑑 𝑒 𝑟∆𝑡 = 𝑝𝑢 + (1 − 𝑝) 𝑑 → 𝑝 = (6) 𝑢−𝑑 dimana, 𝑒 𝑟∆𝜏 = 𝑅 d : nilai penurunan saham

u : nilai kenaikan saham p : probabilitas saham Sn akan naik pada n+1

option dan put option dibandingkan dengan metode sebelumnya yaitu model black-scholes yang hanya dapat menghitung opsi tipe eropa dan call option Amerika [8].

r menunjukkan return tanpa risiko per periode. Baik d ≤ R ≤ u dan 0 ≤ p ≤ 1 harus dipenuhiuntuk menghindari peluang arbitrase. mereka bisa statis ketika N>r^2 τ/σ^2 . Kemudian untuk nilai variansi dari model kontinu kita memiliki persamaan (7) dan (8) berikut ini: 2 2 ) (7) 𝐸 (𝑆𝑡+1 = 𝑆𝑡2 𝑒 (2𝑟 +𝜎 )∆𝑡 2 ) 2 )) 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑆𝑡+1 ) = 𝐸 ( 𝑆𝑡+1 − (𝐸( 𝑆𝑡+1

= 𝑆𝑡2 𝑒 2𝑟∆𝑡 (𝑒 𝜎

2 ∆𝑡

− 1)

2

(8)

Dari model diskrit kita punya persamaan (9) berikut ini: 𝑉𝑎𝑟 (𝑆𝑡+1 ) = 𝑝 ( 𝑆𝑡 𝑢) 2 + (1 − 𝑝)( 𝑆𝑡 𝑑 )2 (9) − 𝑆𝑡2 (𝑝𝑢 + (1 − 𝑝) 𝑑 )2 Dengan menggabungkan persamaan (8) dan (9) di atas, maka kita dapatkan persamaan (10) berikut ini: 2 (10) 𝑒 2𝑟 ∆𝑡+𝜎 ∆𝑡 = 𝑝𝑢 2 + (1 − 𝑝) 𝑑 2 Dari persamaan (6) dan (10) maka kita dapat asumsikan nilai u ∙d= 1, maka kita dapatkan persamaan u, d dan p sebagai berikut ini: 𝑢 = 𝛽 + √𝛽 2 − 1 1 𝑑 = = 𝛽 + √𝛽 2 − 1 𝑢 2 1 dengan , 𝛽 = (𝑒 −𝑟∆𝑡 + 𝑒 (𝑟+𝜎 )∆𝑡 ) 2

dan 𝑝 =

Metode lattice multinomial yang akan dibahas pada tugas akhir ini merupakan pengembangan dari metode lattice binomial. Metode lattice multinomial ini memiliki lebih banyak node dibandingkan dengan metode lattice binomial, oleh karena itu metode ini membuat nilai akurasi lebih tinggi. Pada metode ini, setiap node memiliki 4 cabang yang menggantikan 2 node untuk konektivitas yang mendasari metode lattice binomial. Secara umum, setiap node pada metode lattice multinomial memiliki I + 1 cabang. Untuk lebih memahaminya, maka akan disimulasikan dalam bentuk gambar node-node pada binomial dan multinomial lattice.

Gambar 1 binomial tree Source : journal of Efficient pricing of discrete Asian options

𝑒𝑟∆𝑡−𝑑 𝑢−𝑑

Maka diperoleh parameter Binomial Moder CRR adalah sebagai berikut ini: 𝑢 = 𝑒 𝜎 √∆𝑡 (11) 𝑑 = 𝑒 −𝜎√∆𝑡 dimana, 𝑇 ∆𝑡 = (12) 𝑛 σ : volatilitas return saham T : waktu hingga jatuh tempo (maturity time). N : banyaknya langkah waktu Δt : interval waktu N menunjukkan jumlah monitor poin dan membiarkan setiap interval waktu antara dua titik yang berdekatan dipartisi menjadi i langkah waktu. Sekarang N = ni adalah jumlah langkah waktu. Jalan dari simpul akar ke simpu l pada saat jatuh tempo berisi N + 1 harga dari S0, S1, ..., SN. 2.5 Multinomial lattice Metode lattice adalah metode yang digunakan untuk menghitung dan memodelkan pergerakan harga saham hingga saat jatuh tempo secara sederhana untuk menghitung harga opsi pada saat sekarang. Metode ini lebih popular karena bisa memodelkan langsung call

Gambar 2 multinomial tree Source : journal of Efficient pricing of discrete Asian options

Dari Gambar 1 dan Gambar 2 terlihat bahwa multinomial lattice adalah bentuk transformasi dari binomial lattice dengan menghilangkan beberapa intraday periods. Dalam metode ini dibutuhkan nilai kemungkinan kenaikan dan penurunan saham pada setiap node. Oleh karena itu perlu dimodelkan kenaikan dan penurunan saham untuk dapat menghitung nilai opsi. Untuk mempermudah, akan disimulasikan menggunakan Gambar 3 di bawah ini.

Gambar 3 nilai kemungkinan kenaikan dan penurunan saham Source : journal of Efficient pricing of discrete Asian options

Dari Gambar 3 dapat dilihat skema kemungkinan kenaikan dan penurunan saham tiap node. Jika node mengalami kenaikan maka yang akan ditambah adalah nilai u (up) dan jika node mengalami penurunan maka yang akan ditambahkan adalah nilai d (down). 2.6 Nilai Opsi Asia Setiap holder berhak membeli kontrak opsi dengan harga yang lebih kecil dibandingkan harga yang ditawarkan oleh writer. Oleh karena itu nilai payoff standard untuk sebuah opsi call dihitung dengan menggunakan persamaan (13). 𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 𝑐𝑎𝑙𝑙 = max {𝑆 − 𝑋, 0} dimana, S X

(13)

𝑆0 + 𝑆𝐼 + … + 𝑆[𝑛𝐼].𝐼𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑 𝑜𝑝𝑠𝑖 𝑎𝑠𝑖𝑎 (17) 𝑃≡{ 𝑆𝐼 + 𝑆2𝐼 + … + 𝑆[𝑛𝐼].𝐼𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑓𝑜𝑟𝑤𝑎𝑟𝑑 − 𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑜𝑝𝑠𝑖 𝑎𝑠𝑖𝑎

P adalah running sum yang sesuai dengan rata-rata dari 𝑃/([𝑛/𝐼] + 1) atau 𝑃/[𝑛/𝐼] tergantung pada jenisnya. Berbeda dengan versi yang kontinu, perubahannya hanya terjadi pada monitor poin untuk opsi Asia diskrit. Kondisi pada saat (n+1,Sn+1 , Q) berkaitan dengan kondisi pada saat ini (n, Sn , P) melalui 𝑃 + 𝑆1+1 , 𝑄≡{ 𝑃,

(𝑛 + 1, 𝑆𝑛𝑢, 𝑃𝑛 , 𝑆𝑛𝑢) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑢𝑝

(𝑛, 𝑆𝑛 , 𝑃𝑛 ) (𝑛+ 1, 𝑆𝑛𝑑, 𝑃𝑛, 𝑆𝑛𝑑) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑑𝑜𝑤𝑛

Ketika n+1 bukan sebagai titik monitor maka:

𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 𝑝𝑢𝑡 = max {𝑋 − 𝑆, 0}

(14) : Nilai saham : Harga saham yang ditawarkan

𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 = (

𝑛+1

𝑛

∑ 𝑆𝑖𝐼 − 𝑋 )

(𝑛 + 1, 𝑆𝑛𝑢, 𝑃𝑛) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑢𝑝

(𝑛, 𝑆𝑛 , 𝑃𝑛 )

Dari pernyataan di atas, maka dapat dibentuk rumus payoff opsi Asia tipe Eropa diskrit untuk opsi call pada saat jatuh tempo, yaitu: 1

(15)

(𝑛 + 1, 𝑆𝑛 𝑑, 𝑃𝑛 ) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑑𝑜𝑤𝑛

Untuk setiap keadaan (n, Sn , P) nilai untuk standar opsi Asia diskrit yang sesuai dengan nilai V(n, S n , P) adalah persamaan (18).

𝑖 =0

𝑉 (𝑛 , 𝑆𝑛 , 𝑃𝑛 ) = (

dimana, n : jumlah banyaknya saham SiI : nilai saham X : harga saham yang ditawarkan (harga kesepakatan) Ketika (X)+ berarti nilai max(X,0). Karena S_iI merupakan variabel acak, maka harga bebas arbitrase payoff opsi Asia dapat dinyatakan pada persamaan (16). 𝐸 [(

𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 𝑎𝑡 𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑖𝑡𝑦 𝑡𝑖𝑚𝑒 =

+ 1 ∑𝑛 𝑆 −𝑋) ] 𝑛+1 𝑖=0 𝑖𝐼 𝑅𝑛

dimana, E : ekspektasi n : jumlah banyaknya langkah SiI : nilai saham X : harga saham yang ditawarkan (harga kesepakatan) R : return tanpa resiko per periode

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 + 1 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑜𝑛𝑖𝑡𝑜𝑟 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 + 1 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑜𝑛𝑖𝑡𝑜𝑟.

Untuk model binomial, ketika n+1 sebagai monitor point maka:

: nilai saham : harga saham yang ditawarkan

Setiap holder berhak untuk tidak menjual opsinya jika harga yang ditawarkan lebih kecil dari harga beli opsi tersebut, maka nilai payoff standard untuk sebuah opsi put dihitung dengan menggunakan persamaan (14) dimana, S X

Sebuah path mempunyai harga (S0,S1 ,…,Sn ), 0 ≤ I ≤ n, memiliki jumlah harga sampai saat ini sama dengan

𝑃𝑛 𝑛 +1

+

− 𝑋)

(18)

dimana, Pn : running sum pada waktu ke n n : jumlah banyaknya langkah X : harga saham yang ditawarkan (harga kesepakatan) Formula harga menetapkan bahwa nilai opsi saat ini sama dengan diskon, diharapkan nilai opsi masa depan adalah 𝑝𝑉(𝑛+1,𝑆𝑛 𝑢,𝑃𝑛 +𝑆𝑛 𝑢)+ ( 1−𝑝 )𝑉(𝑛+1,𝑆𝑛 𝑑,𝑃𝑛 +𝑆𝑛 𝑑) 𝑅

(16)

2.7 Menghitung nilai opsi call Asia pada saat sekarang dengan melakukan discount dari nilai payoff

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 + 1 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑜𝑛𝑖𝑡𝑜𝑟,

𝑉 (𝑛, 𝑆𝑛 , 𝑃𝑛 ) ≡

𝑝𝑉(𝑛+1,𝑆𝑛 𝑢,𝑃𝑛 )+ ( 1−𝑝 )𝑉(𝑛+1,𝑆𝑛 𝑑,𝑃𝑛 )

{ dimana, p 1-p R

𝑅

,

(19) ,

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 + 1 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑜𝑛𝑖𝑡𝑜𝑟.

: probabilitas harga saham Sn akan naik pada n+1 : probabilitas harga saham Sn akan turun pada n+1 : return tanpa resiko per periode

𝑉 (𝑛 + 1, 𝑆𝑛 𝑢, 𝑃𝑛 + 𝑆𝑛 𝑢) : nilai pada saat keadaan naik (jika n+1 adalah titik monitor) 𝑉 (𝑛 + 1, 𝑆𝑛 𝑑, 𝑃𝑛 + 𝑆𝑛 𝑑 ) : nilai pada saat keadaan turun (jika n+1 adalah titik monitor) 𝑉 (𝑛 + 1, 𝑆𝑛 𝑢, 𝑃𝑛 ) : nilai pada saat keadaan naik (jika n+1 bukan titik monitor) (𝑖 + 1, 𝑆𝑛 𝑑, 𝑃𝑛 ) : nilai pada saat keadaan turun (jika n+1 bukan titik monitor)

Sebelum dilakukan perhitungan niali opsi ada beberapa parameter parameter yang harus ditentukan terlebih dahulu, diantaranya adalah penentuan harga saham yang akan dijadikan acuan. Harga saham yang akan dijadikan acuan dalam perhitungan ini adalah harga saham close dengan nilai S0 = 40.29.

2.8 Nilai Ekspektasi Opsi Call Asia Ekspektasi opsi adalah nilai opsi dilihat dari peluang kemungkinan dari opsi tersebut. Untuk mengihitung nilai ekspektasi opsi, kita perlu menghitung nilai peluang dari tiap node, maka dibutuhkan persamaan (20) berikut ini: 𝑛 𝑝𝑛 ,𝑗 = ( 𝑗 ) 𝑝 𝑛−𝑗 (1 − 𝑝) 𝑗 , 𝑗 = 0,1, … , 𝑛. dimana, p n,j p 1-p n 𝑗

(20)

Setelah menentukan harga saham yang akan digunakan sebagai acuan, selanjutnya dilakukan perhitungan nilai return untuk menganalisis apakah saham tersebut mengalami keuntungan atau kerugian. Apabila nilai return saham berbernilai positif maka itu berarti mendapatkan keuntungan (capital gain). Sedangkan jika return saham bernilai negatif berarti rugi (capital lost). Dari data return tersebut dapat ditentukan parameter parameter lain yang akan digunakan untuk perhitungan harga opsi Asia. Diantaranya adalah menghitung variansi untuk mendapatkan nilai volatilitas menggunakan persamaan (2) dan (3) pada BAB II. Berikut ini nilai yang didapat: • Variansi (σ2) = 0.000224 • Volatilitas (σ) = 0.014968 Sehingga dapat ditentukan nilai Δt = 1/n dan σ = 0.014968, maka dapat ditentukan nilai parameter u, d dan p adalah sebagai berikut ini:

: nilai kemungkinan peluang tiap node : probabilitas naik : probabilitas turun : jumlah banyaknya node : letak node

Untuk lebih jelasnya maka akan dijelaskan cara menghitung nilai kemungkinan peluang tiap node menggunakan Gambar 4 berikut ini:

• • •

u = 1.0012 d = 0.9988 p = 0.5620

Setelah mendapatkan nilai dari parameter-parameter yang dibutuhkan, selanjutnya dapat ditentukan nilai kemungkinan saham. Nilainya dapat dilihat pada Gamb ar 5.

Gambar 4 peluang masing masing node Source : journal of Efficient pricing of discrete Asian options

Setelah didapatkan nilai peluang dari tiap node menggunakan rumus pada persamaan (20), maka persamaan untuk menghitung nilai ekspektasi opsi Asia adalah persamaan (21) berikut : 𝐸 [ 𝑉(𝑛 , 𝑆𝑛 , 𝑃𝑛 )] = ∑𝑛𝑗=0 𝑝𝑛 ,𝑗 ∙ 𝑉 (𝑛, 𝑆𝑛 , 𝑃𝑛 ) 3.

(21)

Analisis Hasil Pengujian

Pada pengujian kali ini data yang diambil adalah da b ta saham dari perusahaan Microsoft Co. (MSFT) yang akan digunakan sebagai data acuan untuk menentukan nilai opsi asia tersebut. Data saham tersebut diambil melalu situs resmi yahoo finance yang diambil mulai dari tanggal 2 April 2013 sampai 2 April 2015.

Gambar 5 grafik nilai kenaikan dan penurnan saham

Tabel 1 merupakan perkiraan harga opsi call Asia. Hasil perhitungan secara komputasi pada kolom tabel. Nilai opsi yang didapat berdasarkan data pengamatan yang digunakan yaitu pada saat awal 2 April 2013 hingga data

pada 2 April 2015. Dengan nilai r = 2.29%, n = 151, N = 51 dan nilai X = 39.

0

Nilai Opsi

N

Tabel 1 Harga opsi call Asia Tabel Nilai Ekspektasi Opsi nilai ekspektasi S0 opsi opsi 40.29 2.1672 2.1672

Pengaruh nilai opsi terhadap perubahan harga kesepakatan

7,57 6,56 5,55 4,54 3,53 2,52 1,51 0,50

opsi

1

40.29

2.1672

2.1682

34 35 36 37 38 39 40 41

2

40.29

2.1672

2.1692

Harga kesepakaan

3

40.29

2.1672

2.1702

4

40.29

2.1672

2.1712

5

40.29

2.1672

2.1721

6

40.29

2.1672

2.1731

7

40.29

2.1672

2.1741

…

…

…

…

…

…

48

40.29

2.1672

2.2151

49

40.29

2.1672

2.2161

50

40.29

2.1672

2.2171

Gambar 6 Grafik pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai kesepakatan (X) pada t=1 Pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai kesepakatan (X), dengan nilai r = 2.29%, n = 151, N = 51, t saat jatuh tempo dan menggunakan pengujian terhadap beberapa nilai X = 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 Tabel 3 Pengujian pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai kesepakatan (X) pada t= jatuh tempo Tabel Hasil Pengujian r X opsi 7.217065652 34

3.1 Pengujian terhadap nilai sensitivitas Berikut ini akan dilakukan pengujian pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai kesepakatan (X), dengan nilai r = 2.29%, n = 151, N = 51, t = 1 dan menggunakan pengujian terhadap beberapa nilai X = 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41

2.29%

Tabel 2 Pengujian pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai kesepakatan (X) pada t=1 Tabel Hasil Pengujian r X opsi 7.054742647 34 6.077234198

36

5.09972575

37

4.122217302

38

3.144708855

39

2.167213622

40

1.194447113

41

0.358176171

6.217065652

36

5.217065652

37

4.217065652

38

3.217065654

39

2.217080359

40

1.221945175

41

0.366886525

Pengaruh nilai opsi terhadap perubahan harga kesepakatan

Nilai Opsi

2.29%

35

35

7,58 6,57 5,56 4,55 3,54 2,53 1,52 0,51 0

opsi

34 35 36 37 38 39 40 41 Harga kesepakaan

Gambar 7 Grafik pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai kesepakatan (X) pada t= jatuh tempo

Dari data-data di atas dapat disimpulkan bahwa nilai opsi mengalami perubahan. Semakin besar strike price (X) yang ada maka harga opsi yang didapatkan akan semakin kecil. Selanjutnya akan dilakukan pengujian pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai interest rate (r), dengan nilai X = 39 , n = 151, N = 51, t = 1 dan menggunakan pengujian terhadap beberapa nilai r = 2.29%, 2.24%, 2.31%, 2.27%, 2.28%, 2.35%, 2.33%, 2.30%

2.27%

2.208893199

2.28%

2.21298657

2.29%

2.217080359

2.30%

2.221174566

2.31%

2.22526919

2.33%

2.233459689

2.35%

2.241651855

Tabel 4 Pengujian pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai interest rate (r) pada t = 1 Tabel Hasil Pengujian

Pengaruh nilai opsi terhadap perubahan interst rate

2.30%

2.171000

2.31%

2.174786209

2.33%

2.182357331

2.35%

2.189926984

interest rate

Gambar 9 Grafik pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai interest rate (r) pada t= jatuh tempo Dari data-data di atas dapat disimpulkan bahwa nilai opsi mengalami perubahan. Semakin besar nilai interest rate (r) yang ada, maka nilai opsi yang didapat akan semakin besar. Selanjutnya akan dilakukan pengujian pengaruh nilai opsi dan waktu running program terhadap perubahan nilai (n), dengan nilai X = 39, t = 1 dan menggunakan pengujian terhadap beberapa nilai n = 31, 46, 61, 76, 91, 106, 121, 136, 151 dan nilai N= 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51. Maka berikut tabel dan penjelasannya:

2,35%

2,33%

2,31%

2,30%

2,29%

2,28%

2,27%

opsi

2,24%

Nilai Opsi

Pengaruh nilai opsi terhadap perubahan interst rate

2,2 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13 2,12

2,35%

2.167213622

2,33%

2.29%

opsi

2,31%

2.163426779

2,30%

2.28%

2,29%

2.159639571

2,28%

2.27%

2,25 2,24 2,23 2,22 2,21 2,2 2,19 2,18 2,17

2,27%

39

2.24%

opsi 2.148275752

2,24%

R

Nilai Opsi

X

interest rate

Gambar 8 Grafik pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai interest rate (r) pada t= 1 Pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai interest rate (r), dengan nilai X = 39 , n = 151, N = 51, t pada saat jatuh tempo dan menggunakan pengujian terhadap beberapa nilai r = 2.29%, 2.24%, 2.31%, 2.27%, 2.28%, 2.35%, 2.33%, 2.30% Tabel 5 Pengujian pengaruh nilai opsi terhadap perubahan nilai interest rate (r) pada t= jatuh tempo Tabel Hasil Pengujian X r 39

2.24%

opsi 2.196615596

Tabel 6 pengujian pengaruh nilai opsi dan waktu running program terhadap perubahan nilai (n) Nilai Ekspektasi Opsi

time = 1.493447

n= 136, N = 46 time = 1.85987

time = 2.492354

2.16477

2.16579

2.16658

2.16721

2.16396

2.16524

2.16620

2.16694

2.16754

2.16284

2.16451

2.16571

2.16661

2.16731

2.16787

2.16116

2.16349

2.16505

2.16617

2.16702

2.16767

2.16820

2.15837

2.16197

2.16414

2.16560

2.16664

2.16743

2.16804

2.16853

2.15285

2.15945

2.16278

2.16480

2.16614

2.16711

2.16784

2.16840

2.16886

6

2.15444

2.16052

2.16359

2.16545

2.16669

2.16758

2.16825

2.16877

2.16919

7

2.15603

2.16160

2.16440

2.16610

2.16723

2.16805

2.16866

2.16913

2.16952

8

2.15762

2.16268

2.16522

2.16675

2.16778

2.16852

2.16907

2.16950

2.16984

9

2.15922

2.16375

2.16603

2.16741

2.16833

2.16898

2.16948

2.16987

2.17017

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

n

2.19136

2.20178

2.20707

2.21027

2.21242

2.21396

2.21512

2.21602

2.21674

N

2.19298

2.20288

2.20790

2.21094

2.21298

2.21444

2.21554

2.21639

2.21708

n = 31, N = 11

n = 46, N = 16

n = 61, N= 21

n = 76, N 26

n = 91, N = 31

n = 106, N = 36

n = 121, N = 41

time = 0.134103

time = 0.244093

time = 0.395128

time = 0.581444

time = 0.811723

time = 1.114331

0

2.14491

2.15408

2.15872

2.16154

2.16342

1

2.14650

2.15515

2.15953

2.16219

2

2.14808

2.15623

2.16035

3

2.14967

2.15730

4

2.15126

5

t

n = 151, N = 51

waktu running program (dalam hitungan detik)

Pengaruh nilai opsi dan waktu running program terhadap perubahan banyaknya (n)

3 2

1

waktu

0

11 16 21 26 31 36 41 46 51 N

Gambar 10 Grafik pengujian pengaruh nilai opsi dan waktu running program terhadap perubahan nilai (n)

Dari data di atas dapat disimpulkan bahwa banyaknya nilai (n) sangat berpengaruh terhadap nilai opsi dan juga akan berpengaruh terhadap perubahan lama nya waktu untuk running program. Semakin banyak nilai (n) yang diinputkan maka akan semakin besar juga nilai opsi tersebut, meskipun perbandingan nilai opsinya nya tidak terlalu jauh. Sama dengan nilai opsi, lamanya waktu untuk running program juga berpengaruh, yaitu semakin banyak nilai (n) yang diinputkan maka waktu yang dibutuhkan juga semakin lama. Dari data di atas juga dapat di simpulkan bentuk kompleksitas algoritma pada program perhitungan opsi (call) Asia. Nilai kompleksitas algoritma yang dihasilkan adalah O(n 2 ), yang berarti grafik pergerakannya membentuk pola algoritma kuadratik. Analisis untuk keseluruhan percobaan di atas adalah perubahan nilai opsi bisa terjadi karena banyak pengaruh, diantaranya adalah pada perubahan harga kesepakatan (X), perubahan interest rate (r) dan perubahan nilai (n). Pada pengujian perubahan nilai (n) waktu running program beruba-ubah tergantung pada banyaknya nilai (n) yang diinputkan. Semangkin besar nilai (n) maka waktu untuk memproses nilai opsinya tersebut akan semakin lama. 4. Kesimpulan Berdasarkan hasil pengujian yang dilakukan untuk menghitung opsi call Asia, maka dapat disimpulkan sebagai berikut. a)

d) Diketahui juga bahwa semakin besar nilai interest rate (r), maka nilai opsi akan semakin besar. e) Perubahan nilai (n) sangat berpengaruh terhadap waktu pengeksekusian program. Semakin besar nilai (n) maka waktu yang dihasilkan semakin besar, hal tersebut membuat kompleksitas algoritma yang di hasilkan membentuk pola kuadratik.

Metode lattice multinomial dapat digunakan untuk menghitung opsi call Asia tipe eropa dengan menggunakan skema lattice binomial. b) Perubahan nilai opsi dapat dipengaruhi oleh perubahan nilai harga kesepakatan (X), interest rate (r) dan banyaknya (n). c) Dari percobaan yang telah dilakukan didapat bahwa semakin besar harga kes epakatan (X), maha harga opsi nya akan semakin kecil.

Daftar pustaka [1] Asna, M. (2011). Penentuan Harga Opsi Beli Eropa dengan Metode Simulasi Montecarlo . [2] Forsyth, P., Vetzal, K., & Zvan, r. (2002). CONVERGENCE OF NUMERICA L METHODS FOR VALUING PATHDEPENDENT OPTIONS USING INTERPOLATION . [3] Harapan, R. (2007). Penentuan Harga Opsi Asia . [4] Hsu, W. W., & Lyuu, Y.-D. (2011). Efficien t pricing of discrete Asian options. Applied Mathematics and Computation . [5] Khuriyanti. (2009). Penentuan Harga Opsi Asia. [6] Laprise, S. B., Fu, M. C., Marcus, S. I., Lim, A. E., & Zhang, H. (2006). Management Science. Pricing American-Style Derivative with European Call Option . [7] Linetsky, V. (2004). Spectral Expansions for Asian. Operation Research . [8] Raymond, A. (2009). Perhitungan Harga Opsi Vanilla dengan Meenggunakan Metode Binomial dan Trinomial . [9] Tchomgouo, H. F., Gil, F. J., & Bartoszewicz, B. (2003). Ecotic Option . [10] Zhang, B., & Oosterlee, C. (2013). Efficien t Pricing of European Style Asian Option under Exponential Levy Processes Based on Fourier Cosine Expansion . [11] Yahoo Finance, [online ]. Available: http://www.finance.yahoo.com terakhir diakses tanggal 2 April 2015. [12] U.S Department Of The Treasury. Available: http://www.treasury.gov/Pages/default.aspx terakhir diakses tanggal 13 mei 2015.