Penentuan Harga Opsi Model Binomial Dua Periode A. Model Binomial Satu Periode Model ini merupakan model pasar saham (trading) dengan satu periode (one time step) dengan kata lain pada model ini hanya terdapat dua waktu trading yaitu pada saat t
0 dan t 1. Seperti telah dibahas sebelumnya, maka pada akhir periode yaitu
pada saat t 1 pergerakan harga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga saham naik sebesar u dengan peluang sebesar p atau harga saham turun sebesar d dengan peluang sebesar (1 – p). Misalkan S 0 menyatakan harga saham pada saat t pada akhir periode S 0 dapat berubah menjadi S1
1
atau S2
2
0 , maka
. Selanjutnya pada
pasar dengan model binomial satu periode ini tersusun dari dua asset yaitu aset beresiko yaitu saham dan aset bebas resiko yaitu tabungan dalam bentuk deposito di bank. Bt menyatakan jumlah tabungan dalam bentuk deposito di bank pada saat t dan S t menyatakan harga saham pada saat t. Pada model ini proses pergerakan tabungan berlangsung secara deterministik, dan dapat dinyatakan sebagai berikut
Bt
1 r
t
(1)
sedemikian hingga
B0 1 B1 1 r dimana r adalah risk-less (risk-free) interest rate. Selain itu perlu diketahui bahwa pada pasar uang berlaku suku bunga deposito bank per periode sebesar r dan diasumsikan akan berlaku hubungan berikut:
d 1 r u
(2)
persamaan (2) dapat dinyatakan pula dengan: d
er
u
(3)
Sedangkan proses pergerakan harga saham merupakan proses stokastik, dan dapat dinyatakan sebagai berikut
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
1
S1
S1
1
S0 u
peluang p
S1
2
S0 d
peluang q
1 p
(4)
Replikasi Portfolio Misalkan
0
, B0 adalah self-financing portfolio, r adalah risk less interest
rate, C menyatakan harga opsi dari opsi call Eropa, C u menyatakan payoff apabila harga saham naik, dan C d menyatakan payoff apabila harga saham turun. Apabila Su Sd
S 0u dan
S0 d maka payoff dari opsi call Eropa pada saat t 1 sebagai berikut Cu
max Su
K ,0
(5)
Cd
max S d
K ,0
(6)
Persamaan (5) dan persamaan (6) memperlihatkan besarnya dana yang menjadi hak holder opsi call untuk segala kemungkinan skenario pergerakan harga saham. Pada saat yang bersamaan persamaan (5) dan persamaan (6) merupakan kewajiban bagi writer opsi call untuk menyediakan dana sebesar C u dan C d di akhir periode 1. Karena hal itu merupakan kewajiban bagi writer maka writer harus mengusahakan agar mempunyai dana sebesar C u dan C d pada akhir periode 1. Cara yang dapat ditempuh oleh writer adalah dengan pembentukan replikasi portfolio. Replikasi portfolio Θ merupakan derivative security dari C apabila nilai replikasi portfolio tersebut pada saat akhir periode sama dengan C untuk segala kemungkinan skenario pergerakan harga saham. Replikasi portfolio tersebut akan dibentuk dengan cara sebagai berikut. Misalkan writer menjual opsi call di awal periode 1 seharga V0. Agar writer mempunyai dana yang cukup untuk menutup kewajiban membayar dana sebesar C u dan C d maka sejak awal periode 1 writer akan membuat suatu portfolio keuangan yang terdiri dari saham sebanyak θ0 lembar. Kepemilikan saham tersebut diambil dari penjualan opsi call seharga V0. Apabila besar V0 tidak mencukupi bagi writer opsi call untuk membeli θ0 lembar saham maka writer mempunyai pinjaman dengan bunga r per periode untuk mencukupinya. Sebaliknya apabila ada kelebihan dana maka sisanya ditabung dengan suku bunga r per periode. Nilai portfolio pada awal periode 1 adalah V 0 = C0 yang berupa θ0S0 dalam bentuk saham dan B0 Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
V0
0
S0 dalam bentuk tabungan atau pinjaman.
2
C0
0
C0
V0
S0
V0
0
(7)
S0
(8)
Pada akhir periode 1, nilai portfolio akan menjadi V 1 yang terdiri dari θ0S0 dalam bentuk saham dan yang dalam bentuk tabungan atau pinjaman akan bertambah menjadi e r V0
0
S0
e r B0 . Nilai portfolio pada akhir periode 1 dapat dinyatakan sebagai
berikut: V1
V1
(9)
C1
0 u
S
e r V0
0 0
S
Cu
Sd
e r V0
0 0
S
Cd
0
(10)
atau persamaan (10) dapat dituliskan dalam bentuk: S
e r B0
Cu
Sd
e r B0
Cd
0 u
V1
0
(11)
Dengan menyelesaikan (11) maka diperoleh 0
Cu Su
Cd Sd
(12)
1 Cd S u er Su
B0
Cu S d Sd
(13)
dimana θ0 menyatakan banyaknya saham dan B0 menyatakan besarnya tabungan atau pinjaman. Berdasarkan law of one price "jika dua aset mempunyai nilai akhir yang sama maka dua aset tersebut mempunyai dua nilai awal yang sama, apabila hal tersebut tidak terjadi maka prinsip no-arbitrage tidak berlaku", sehingga C0
V0 0
S0
Cu Su C0
B0
Cd S0 Sd
1 er d Cu er u d
1 Cd Su er Su 1 u er er u d
Cu Sd Sd (14)
Risk-neutral probability Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
3
Berdasarkan hasil yang diperoleh pada persamaan (14) diketahui bahwa penjumlahan dari koefisien C u dengan koefisien C d sama dengan 1, sehingga koefisien C u dengan koefisien C d dapat diinterpretasikan sebagai peluang. Oleh karena itu,
persamaan (14) dapat disederhanakan menjadi
dimana ~ p
er d dan q~ u d
C0
1 ~ p Cu er
C0
1 ~ E C1 er
u er ~ P u d
q~ Cd
(15) (16)
~ p , q~ merupakan ukuran probabilitas baru
yang disebut sebagai probabilitas risk-neutral (risk-neutral probability). Secara umum nilai derivative security X pada saat t
X0
X0
0 untuk model binomial satu periode adalah
1 ~ E X1 er ~ E X1
(17) (18)
dimana X 1 merupakan harga saham terdiskon pada saat t 1 .
B. Model Binomial Dua Periode Ini merupakan model pasar saham (trading) dengan dua periode (dua time step) dengan kata lain pada model ini hanya terdapat tiga waktu trading yaitu pada saat t = 0, t = 1 dan t = 2. Seperti telah dibahas sebelumnya, maka pada akhir periode yaitu pada saat t = 2 pergerakan harga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga saham naik atau harga saham turun. Misalkan S1 menyatakan harga saham pada saat t = 1, maka pada akhir periode S1 dapat berubah menjadi
S2
S2
2 1
S2
1
S2
2 2
u 2 S0 2
S2
2
1
u d S0
(19)
2
d S0
Misalkan Θ = (θ1,B1) adalah self-financing portfolio, r adalah risk less interest rate, C menyatakan nilai dari European Call Option, Cu menyatakan payoff apabila harga saham naik, dan Cd menyatakan payoff apabila harga saham turun. Apabila Suu Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
u 2 S0 ,
4
Sud
u d S0 , dan S dd
d 2 S 0 maka payoff dari European Call Option pada saat t = 2
sebagai berikut
Cuu
max Suu
K ,0
u 2 S0
Cud
max Sud
K ,0
u d S0
Cuu
max Sdd
K ,0
d 2 S0
(20)
K
(21)
K
(22)
K
Berdasarkan law of one price "jika dua aset mempunyai nilai akhir yang sama maka dua aset tersebut mempunyai dua nilai awal yang sama, apabila hal tersebut tidak terjadi maka prinsip no-arbitrage tidak berlaku". Berdasarkan persamaan (15) yang diperoleh pada model binomial satu periode maka:
1. Apabila pada akhir periode 2, harga saham mengalami kenaikan maka diperoleh
Cu
1 ~ p Cuu er
q~ Cdu
(23)
2. Apabila pada akhir periode 2, harga saham mengalami penurunan maka diperoleh
Cd
1 ~ p Cud er
q~ Cdd
(24)
selanjutnya persamaan (23) dan persamaan (24) disubstitusikan ke persamaan
C
1 ~ p Cu er
q~ Cd
maka diperoleh
C
C
1 ~ 1 ~ p r p Cuu er e
q~ Cdu
1 ~2 p Cuu e2 r
~ pq~ Cdu
1 ~2 p Cuu e2 r
2~ pq~ Cdu
1 ~2 2 p u S0 e2 r
K
1 q~ r ~ p Cud e
q~~ p Cud
q~ Cdd
q~ 2Cdd
q~ 2Cdd 2~ pq~ u d S0
K
q~ 2 d 2 S0
K
(25)
persamaan (25) dapat disederhanakan penulisannya menjadi
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
5
C
1 e2 r
2 j
0
2 ~ j ~2 p q j
j
max u j d 2
j
S0
K, 0
(26)
Analog dengan model binomial satu periode dan dua periode, maka untuk model binomial tiga periode diperoleh
C
C
1 ~ p Cu er
q~ Cd
1 ~2 p Cuu e2r
~ pq~ Cdu
q~~ p Cud
1 ~3 p Cuuu 3 ~ p 2 q~ Cuud 3r e
C
q~ 2Cdd
3q~ 2 ~ p Cudd
q~ 3Cddd
~3 3 3~ p 2 q~ u 2 d S0 K 1 p u S0 K e3 r 3q~ 2 ~ p u d 2 S0 K q~ 3 d 3S0 K
(27)
seperti halnya pada model binomial dua periode maka persamaan (27) dapat disederhanakan penulisannya menjadi
C
1 e3 r
3 j
0
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
3 ~ j ~3 p q j
j
max u j d 3
j
S0
K, 0
(28)
6
