Model Trinomial Dalam Teori Penentuan Harga Opsi Tipe Eropa Abdurakhman, Subanar, Suryo Guritno Universitas Gadjah Mada December 17, 2004 Abstract In this paper we study the Trinomial model for European option pricing theory using lse-hedge strategies in particular for call options as a kind of derivative securities. We use pseudoinverse matrix to find pseudo arbitrage probability and option price. Key words : Trinomial, pseudo arbitrage probability, least square errors.
Latar Belakang
Model binomial dalam teori penentuan harga opsi mempunyai beberapa kelemahan antara lain dipandang terlalu ekstrim karena hanya memandang dua kejadian perubahan harga saham saja, yaitu harga saham naik dengan peluang q1 atau harga saham turun dengan peluang q2 . Sementara itu terdapat banyak kemungkinan perubahan harga saham, seperti model trinomial yang melibatkan tiga kemungkinan atau bahkan model multinomial yang melibatkan n kemungkinan harga saham, sehingga lebih fleksibel dalam menjembatani dengan kenyataan di lapangan. Mengingat solusi untuk model trinomial tidak tunggal maka pemodelan harga opsi model trinomial masih sangat terbuka. Dalam paper ini akan dibahas pemodelan trinomial harga opsi pada pasar diskrit yang dibangun oleh dua asset rekening bank (B) yang tidak beresiko dan saham (S) yang sangat beresiko yang sering disebut dengan pasar (B, S) . Penelitian pada model binomial dalam pasar (B, S) menunjukkan dapat diperoleh strategi (β, γ) yang merupakan strategi hedging, dan secara sempurna dapat digunakan untuk menurunkan rumus harga opsi yang rasional. Yang dimaksud dengan sempurna di sini adalah dengan strategi (β, γ) di atas bebas resiko , sedangkan yang dimaksud dengan harga opsi yang rasional adalah dipenuhinya prinsip kesamaan keuntungan antara pembeli opsi dan penjual opsi yang menginvestasikan hasil penjualan opsinya dalam pasar (B, S). Pada model trinomial masalahnya menjadi lebih komplek karena persamaan linear yang diperoleh overdetermined, yaitu jumlah persamaan hedging yang ada lebih banyak dari parameter strategi yang dicari. Model penentuan harga opsi tipe Eropa distribusi binomial telah banyak dibahas oleh pakar ilmu keuangan antara lain Cox,Ross, Rubenstein (1979) [1] , Boyle [3] , Shiryaev 1994 [4] melalui pendekatan martingale. Penggunaan matrik dalam matematika membawa perubahan kemudahan yang sangat signifikan. Disamping lebih efisien dalam notasi dengan adanya matrik perhitungan jadi lebih mudah dan cepat. Selain Inverse suatu matrik bujur sangkar An×n , dikenal juga pseudoinverse atau invers semu suatu matrik persegi 1
panjang Am×n . Untuk suatu matrik Am×n diperoleh matrik pseudoinverse yang dinotasikan dengan lambang A+ dan harus memenuhi empat sifat berikut a. AA+ A = A b. A+ AA+ = A+ ′
c. (AA+ ) = AA+ ′
d. (A+ A) = A+ A
Pseudoinverse suatu matrik A dapat dicari dengan memanfaatkan teorema aljabar di bawah ini : Teorema 1
Misalkan dipunyai matrik Am×n dan memenuhi P AQ =
B 0
0 0
,
B
adalah matrik berukuran non singgular maka pseudo invers matrik r−1× r yang B U + Am×n adalah An×m = Q P, dengan V W −1 −1 U = −B −1 P1 P2+ , V = −Q+ W = Q+ P1 P2 2 Q1 B 2 Q1 B P1 Qn×n = Q1 Q2 Pm×m = P2 ′ −1 ′ ′ ′ −1 P2+ = P2 P2 P2 Q+ Q2 2 = Q2 Q2
dan Q adalah matrik hasil operasi elementer baris dan kolom matrik Am×n , sedangkan r adalah rank matrik Am×n .
P
Opsi
Logika dalam opsi adalah jika pada waktu T harga saham atau barang di pasar lebih besar dari pada harga kontrak dalam opsi (ST > K) maka pemegang opsi otomatis akan menjalankan opsinya dan memperoleh keuntungan sebesar (ST − K) . Jika yang terjadi sebaliknya yaitu harga saham lebih kecil maka pemegang opsi tidak akan menjalankan opsinya dan tidak memperoleh untung. Dapat disimpulkan bahwa didalam teori penentuan harga opsi terdapat fungsi keuntungan fT = max {0, ST − K} . Sementara itu bagi penjual opsi yang memperoleh hasil penjualan opsi sebesar C bisa mengalokasikan hasil penjualan opsinya dalam pasar diskrit (B, S) pada rekening bank dan saham dengan strategi (β, γ). Sudah menjadi suatu prinsip apabila dalam penentuan harga opsi diusahakan keuntungan pemegang opsi dan penjual opsi sama. Pada model diskrit trinomial dibentuk suatu model pasar diskrit (B, S) yang beroperasi pada waktu diskrit t = 0, 1, 2...T . Model ini sering disebut dengan model multiperiode. Rekening bank dan saham untuk model diskrit diusulkan mengikuti hubungan matematis seperti di bawah ini : Bt St
= (1 + r)Bt−1 , = (1 + ρt )St−1 ,
(1) (2)
r adalah suku bunga dan ρt adalah koefisien perubahan naik turun harga saham, ρt = a1 , a2 , a3 dengan hubungan a1 > a2 > a3 dan ρt didefinisikan pada ruang terukur 2
dengan Ω adalah ruang realisasi (ρ1 ), yaitu Ω = {a1 , a2 , a3 }T dan ℑ adalah sigma aljabar dan dipenuhi P (ρt = ai ) = pi , p1 + p2 + p3 = 1. Misalkan dipunyai β0 Obligasi(rekening Bank), dan dipunyai γ0 saham pada waktu t = 0, Sehingga diperoleh X0 = (β0 B0 + γ0 S0 ) dan π0 = (β0 , γ0 ) adalah strategi pada waktu t = 0. Diperbolehkan dalam interval (0, 1) investor mengubah strateginya menjadi π1 = (β1 , γ1 ) sebelum harga saham yang baru diumumkan. Diperoleh X0 = (β1 B0 + γ1 S0 ). Pada waktu t = 1 modal menjadi X1 = (β1 B1 + γ1 S1 ). Dari gambaran di atas jelas dari pasar (B, S) dimungkinkan orang dengan modal awal X0 akan memperoleh modalnya menjadi X1 pada waktu 1 dengan strategi tertentu. Prinsip di atas dapat diterapkan oleh penjual opsi dengan mengalokasikan uang hasil penjualan opsinya pada pasar (B, S), dengan strategi (Ω, ℑ)
(β1 , γ1 ) .
Pada model trinomial prinsip kesamaan keuntungan tidak dapat dipenuhi, sehingga dipandang perlu untuk menggunakan prinsip lse hedging, yaitu prinsip meminimalkan selisih fungsi keuntungan opsi dengan membentuk model linear X1 + ǫ = f1 .
Bagaimana agar harga opsi yang disepakati adalah harga yang adil bagi kedua belah pihak ? Bagaimana kriteria harga yang fair ? Yang dimaksud dengan harga yang fair di sini adalah suatu harga yang menganut prinsip lse hedging, dimana apabila penjual opsi memutar uang hasil bersih penjualannya untuk usaha yang sama maka pada waktu T fungsi keuntunganya mempunyai kesalahan yang minimal dibandingkan dengan keuntungan yang diperoleh pembeli saham. Apabila penjual tidak mau memutarkan uangnya juga tidak apa-apa. Jadi kedua belah pihak diberi kesempatan (peluang) yang sama untuk mendapatkan keuntungan yang sama pula. Kriteria di atas diadopsi dalam definisi berikut : Dipunyai suatu strategi π dan modal awal x > 0, π dikatakan sebagai suatu (x, f1 ) −least square errors hedging untuk x > 0 jika untuk sembarang ω ǫ Ω berlaku :
Definisi 2
X0π (ω) = X1π (ω) + ǫ =
x dan f1
Dalam model binomial Pelim (1992), Shiryaev (1994),Tham (2000), memperoleh rumus harga opsi singleperiode sebagai harga ekspektasi fungsi keuntungan opsi yaitu C = (1 + r)
−1
(C1 × (p∗1 ) + C2 × (p∗2 ))
dimana C1 = max {0, Snaik − K} dan C2 = max {0, Sturun − K} masing-masing adalah fungsi keuntungan opsi ketika harga saham naik dan harga saham turun. Pada model trinomial dipunyai dugaan yaitu opsi merupakan harga ekspektasi fungsi keuntungan opsi juga yaitu : C = (1 + r)−1
3 X
Ci × p∗i
i=1
Akan diteliti secara analitis apakah dugaan di atas masih berlaku atau tidak.
HASIL DAN PEMBAHASAN 3
Inti dari model trinomial adalah adanya pergerakan naik-turunnya harga saham (S) . Diasumsikan harga saham mengikuti proses trinomial multiplikatif selama periode waktu diskrit. Nilai return saham tersebut menjalani harga dengan tiga kemungkinan yaitu (1 + ai ) , i = 1, 2, 3 dengan peluang masing-masing qi , diP mana qi = 1. Jadi jika harga saham sekarang S , maka harga saham satu periode ke depan adalah (1 + ai ) S. Kejadian ini dapat digambarkan sebagai berikut : (1 + a1 ) S0 , S0 − ≺ (1 + a2 ) S0 , (1 + a3 ) S0 ,
prob q1 prob q2 prob q3
Pada model ini diasumsikan bahwa suku bunga bebas resiko r ≥ 0 relatif konstan, seorang investor boleh meminjam dan menginvestasikan uang sebanyak yang dikehendaki. Diasumsikan juga tidak ada pajak atas pembelian, biaya transaksi, dan tidak ada pembatasan permintaan saham dan rekening bank.
Opsi Satu Periode
Pertama-tama dibahas bagaimana menentukan harga opsi model trinomial suatu saham pada situasi yang cukup sederhana yaitu model waktu ekspirasi satu periode. Model satu periode cukup mewakili dalam aplikasi karena sangat fleksibel. Satu periode bisa mengambil waktu satuan hari, minggu, bulan, semester atau tahun, bahkan lebih lama lagi. Selanjutnya dimisalkan C adalah nilai opsi saat ini, C1 adalah nilai opsi pada akhir periode jika harga saham naik menjadi (a1 + 1) S0 , begitu juga dengan C2 , C3 adalah nilai opsi pada akhir periode jika harga saham menjadi (a2 + 1) S0 dan (a3 + 1) S0 . Kemudian diperoleh rumus untuk Ci = max {0, (ai + 1) S0 − K} , i = 1, 2, 3. Notasi Ci sering juga dinamakan dengan fungsi keuntungan opsi. Dalam bentuk diagram dapat diperlihatkan seperti di bawah ini, C1 = max {0, (a1 + 1) S0 − K} , C − ≺ C2 = max {0, (a2 + 1) S0 − K} , C3 = max {0, (a3 + 1) S0 − K} ,
prob q1 prob q2 prob q3
Dalam dunia investasi sudah umum mengalokasikan modal dengan membentuk portofolio. Portofolio yang dipakai disini adalah susunan banyaknya saham (γ)dan banyaknya rekening bank (β). Portofolio (γ, β) pada model trinomial ini dimaksudkan untuk meminimalkan resiko kerugian. Penjual opsi yang menerima uang hasil penjualannya menginvestasikannya dalam portofolio dengan strategi (γ, β) sehingga pada waktu ekspirasi memperoleh X1 = γ (ai + 1) S0 + rβ. Pemegang opsi pada waktu ekspirasi akan memperoleh fungsi keuntungan f1 = (S1 − K)+ . Dengan mengambil nilai rekening bank (B) = 1 diperoleh nilai portofolio awal γS0 + β. Pada akhir periode nilai portofolio mempunyai tiga kemungkinan perubahan γ (a1 + 1) S0 + (r + 1) β, γS0 + β − ≺ γ (a2 + 1) S0 + (r + 1) β, γ (a3 + 1) S0 + (r + 1) β,
4
prob q1 prob q2 prob q3
Dengan asumsi bahwa nilai perubahan saham akan bersesuaian dengan nilai keuntungan opsi yang terletak dalam satu hubungan linear, portofolio (γ, β) dipilih dengan menyamakan nilai portofolio pada akhir periode dengan nilai opsi akhir periode untuk masing-masing keadaan. Kondisi ini memenuhi harapan bahwa keuntungan penjual opsi yang menginvestasikan uang penjualan opsinya dengan portofolio (γ, β) di atas akan minimal terhadap keuntungan opsi. Selanjutnya diperoleh sistem persamaan linear :
S0 (1 + a1 ) 1 + r S0 (1 + a2 ) 1 + r γ β S0 (1 + a3 ) 1 + r
C1 = C2 C3
Persamaan di atas overdetermined, yaitu suatu sistem persamaan dengan jumlah persamaan yang lebih banyak daripada jumlah variabel yang dicari. Untuk mendapatkan strategi (γ, β) yang tunggal dipergunakan pseudoinverse matrik. Untuk lebih mudahnya dinotasikan kembali nilai return saham sebagai berikut : a1 = b, a2 = c, a3 = a. Selanjutnya diperoleh
γ β
=
×
1
0
(1+c) − S01+r
1 1+r
1 S0 (b−c)
=
"
0
1 − S0 (b−c) 1
c−a b−c
a−b b−c
(
)
1
0
− 12 c−2a+b (c2 −ca+a2 −ab+b2 −bc)S
0
1
(a−b)(−b+c) 1 2 c2 −ca+a2 −ab+b2 −bc
0 C1 = k 0 C2 = l C3 = m 1
0
#
kc + ka − 2kb − 2lc + la + lb + mc − 2ma + mb (c2 − ca + a2 − ab + b2 − bc) S0 1 kc2 − kbc + kc − 2kb + ka + ka2 − kab − lbc − lca − 2lc + la2 + lb + lb2 + la 2 (1 + r) (c2 − ca + a2 − ab + b2 − bc) mc − 2ma + mb + mc2 − mca − mab + mb2 + (1 + r) (c2 − ca + a2 − ab + b2 − bc) − 12
Jelas sekali strategi (γ, β) yang diperoleh melalui pseudoinverse di atas tidak dapat memenuhi hedging karena diambil dari persamaan yang overdetermined. Secara ekonomi hal ini dapat diartikan bahwa strategi (γ, β) tidak bebas resiko seperti pada model binomial dan membawa konsekuensi keuntungan penjual opsi yang menginvestasikan uang penjualan opsinya dengan portofolio di atas tidak akan selalu sama dengan keuntungan opsi. Walaupun begitu menurut sifat pseudoinverse matriks strategi (γ, β) mempunyai sifat jumlah kuadrat kesalahan fungsi keuntungan yang minimal dibandingkan dengan strategi lain. Jadi dalam model linear portofolio saham dan rekening bank strategi ini memberikan kesalahan yang minimal dan bisa dikatakan sebagai strategi yang terbaik. Setelah menemukan
5
strategi (γ, β) dapat ditentukan harga opsi sebagai berikut :
C= =
S0
1
γ β
1 −kab−lar−kar+2kbr+2lcr−lca−lbc+kc2 +ka2 +la2 +lb2 −kbc−kcr−lbr 2 (1+r)(c2 −ca+a2 −ab+b2 −bc)
+
1 −mcr+2mar−mab−mca+mc2 +mb2 −mbr (1+r)(c2 −ca+a2 −ab+b2 −bc) 2
= (1 + r)
−1
1 2rb−ra−rc−ab−bc+a2 +c2 2 c2 −ca+a2 −ab+b2 −bc C1
2 1 +b2 −ac−ab + 2ra−rb−rc+c C3 2 −ca+a2 −ab+b2 −bc c 2
+
1 2rc−ra−rb+b2 +a2 −bc−ac 2 c2 −ca+a2 −ab+b2 −bc C2
Nilai harga opsi di atas berlaku untuk harga C ≥ S − K , dan jika tidak maka diambil C = S − K . Harga opsi model trinomial di atas dapat disederhanakan dengan mengambil E(ρ1 − r) = 0, yaitu asumsi bahwa ekspektasi koefisien naik turunnya harga saham relatif sama dengan bunga bebas resiko. Asumsi ini cukup masuk akal karena pada dasarnya keduanya berasal dari satu istilah return. Seterusnya diperoleh sistem persamaan linear a1 p 1 + a2 p 2 + a3 p 3 = r p1 + p2 + p3 = 1
(3)
Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matrik
a1 1
a2 1
a3 1
p1 p2 = p3 A2×3 pe3×1 = pe3×1 =
r 1
re2×1 A+ e2×1 3×2 r
Vektor pseudoprobabilitas untuk model trinomial dicari dengan memanfaatkan teorema (1) . Untuk lebih mudahnya dinotasikan kembali nilai return sebagai berikut : a1 = b, a2 = c, a3 = a.
6
Dengan menggunakan teorema (1) diperoleh :
Q3×3
=
=
P2×2
=
B −1 V
1 0 0 "
−c b−c b b−c
c−a (b−c) − b−a b−c
0
1 1 0
0 1 −c2 +ac−b2 +ab − 12 c2 −ac+a 2 +b2 −ab−bc
(b−c)(−c+a) 1 2 c2 −ac+a2 +b2 −ab−bc # 1 0 b
−
1 b
1
sehingga diperoleh pseudoinverse matrik A :
A+ 3×2
−2b + a + c 1 − 2 c2 − ac + a2 + b2 − ab − bc b − 2c + a = − 12 2 c − ac + a2 + b2 − ab − bc −c + 2a − b 1 2 c2 − ac + a2 + b2 − ab − bc
−ab − bc + a2 + c2 − ac + a2 + b2 − ab − bc b2 − bc − ac + a2 1 2 c2 − ac + a2 + b2 − ab − bc −c2 + ac − b2 + ab − 12 2 c − ac + a2 + b2 − ab − bc 1 2 c2
selanjutnya diperoleh vektor probabilitas sebagai berikut :
2rb − ra − rc − ab − bc + a2 + c2 c2 − ac + a2 + b2 − ab − bc −rb + 2rc − ra + b2 − bc − ac + a2 1 2 c2 − ac + a2 + b2 − ab − bc 2 2 1 2ra − rc − rb + c + b − ac − ab 2 2 2 2 c − ac + a + b − ab − bc 1 2
p1 = pe = p2 = p3 =
(4)
Dikatakan sebagai probabilitas semu karena pi dalam persamaan (4) di atas bukanlah probabilitas nyata perubahan harga saham akan tetapi merupakan probabilitas yang diperoleh dari hubungan E(ρ1 − r) = 0. Nilai probabilitas ini selalu lebih besar dari nol dan lebih kecil dari satu, sehingga pi mempunyai sifat-sifat probabilitas sehingga sering disebut dengan probabilitas semu. Selanjutnya memanfaatkan vektor probabilitas pada persamaan di atas harga opsi dapat ditulis dalam bentuk yang cukup sederhana C
=
(1 + r)
−1
3 X
pi × Ci
i=1
=
(1 + r)−1 E (CT =1 )
Setelah melihat rumus harga opsi model trinomial di atas dan model binomial yang sudah cukup terkenal maka dapat disimpulkan di sini secara umum bahwa harga opsi untuk model satu periode merupakan harga harapan nilai keuntungan opsi untuk semua keadaan yang mungkin yang terdiscount oleh kenaikan tingkat suku bunga (1 + r). 7
Jika dilihat rumus harga opsi di atas diperoleh suatu catatan yaitu bahwa peluang qi , i = 1, 2, 3 tidak muncul dalam rumus. Ini berarti probabilitas dunia nyata naik turunnya harga saham tidak mempunyai peran yang berarti dalam penentuan harga opsi. Jadi walaupun para investor mempunyai perbedaan berapa besar peluang naik turunnya harga saham, mereka masih dapat menerima pada hubungan rumus C yang dibangun oleh unsur-unsur S, ai , dan r. Rumus harga opsi di atas berlaku dalam kondisi E (ρ1 − r) = 0, tidak untuk kondisi yang lain. Hubungan ai dan r dapat diturunkan dari asumsi E (ρ1 − r) = 0. Dari persamaan (3) di atas diperoleh hubungan antara p2 dan p1 p2
r − a1 a1 − a3 + p1 ≥ 0 a2 − a1 a2 − a1 r − a1 + (a1 − a3 ) p1 a2 − a1 0 ⇐⇒ r − a1 + (a1 − a3 ) p1 ≤ 0 a1 − r p1 ≤ <1 a1 − a3
= =
a2 − a1
<
0
<
Selanjutnya diperoleh hubungan antara p3 dan p1 sebagai berikut : p3
r − a2 (a2 − a3 ) p1 + ≥0 a1 − a2 a1 − a2 r − a2 + (a2 − a3 ) p1 a1 − a2 0 ⇐⇒ r − a2 + (a2 − a3 ) p1 ≥ 0 a2 − r ≥0 a2 − a3
= =
a1 − a2
>
p1
≥
Dari hubungan di atas diperoleh a3 < 0 ≤ r ≤ a 2 < a1
Hasil perhitungan matematis di atas dapat dituangkan dalam sebuah teorema tentang harga opsi model trinomial satu periode sebagai berikut : Teorema 3 Harga opsi tipe Eropa model trinomial satu periode dengan fungsi keuntungan Ci = max{0, S0(1 + ai ) − K} adalah sebagai berikut : C
= =
(1 + r)
−1
((C1 × p1 ) + (C2 × p2 ) + (C3 × p3 ))
(1 + r)
−1
E (C1 )
dengan pe adalah probabilitas semu pada persamaan (4).
Opsi n Periode
Setelah berhasil merumuskan harga opsi untuk waktu ekspirasi satu periode dan menuangkannya dalam sebuah teorema, selanjutnya akan diteliti model harga opsi untuk periode yang lebih umum yaitu n periode. Untuk melihat model ini
8
dimulai dengan model trinomial dua periode, diperoleh diagram pergerakan harga saham seperti di bawah ini : 2
S
≺
(1 + a1 ) S, (1 + a1 ) S ≺ (1 + a1 ) (1 + a2 ) S (1 + a1 ) (1 + a3 ) S (1 + a2 ) (1 + a1 ) S 2 (1 + a2 ) S ≺ (1 + a2 ) S, (1 + a2 ) (1 + a3 ) S (1 + a1 ) (1 + a3 ) S (1 + a3 ) S ≺ (1 + a2 ) (1 + a3 ) S 2 (1 + a3 ) S,
dengan cara yang sama akan diperoleh diagram untuk nilai opsi sebagai berikut di bawah ini : 2
C11 = max{0, (1 + a1 ) S − K} C1 ≺ C12 = max{0, (1 + a1 ) (1 + a2 ) S − K} C13 = max{0, (1 + a1 ) (1 + a3 ) S − K} C21 = max{0, (1 + a2 ) (1 + a1 ) S − K} 2 C ≺ C2 ≺ C22 = max{0, (1 + a2 ) S − K} C23 = max{0, (1 + a2 ) (1 + a3 ) S − K} C31 = max{0, (1 + a3 ) (1 + a1 ) S − K} C3 ≺ C32 = max{0, (1 + a3 ) (1 + a2 ) S − K} 2 C33 = max{0, (1 + a3 ) S − K}
Notasi C11 menyatakan nilai opsi dalam dua periode jika harga saham bergerak naik (1 + a1 ) pada setiap periodenya, notasi Cij analog nilai opsi setelah dua periode untuk setiap kemungkinan harga saham. Selanjutnya dengan memandang peluang pi selalu tetap maka diperoleh hubungan antara Ci dan Cij sebagai berikut : C1 = (1 + r)
−1
(C11 × (p1 ) + C12 × (p2 ) + C13 × (p3 ))
C2 = (1 + r)
−1
(C21 × (p1 ) + C22 × (p2 ) + C23 × (p3 ))
C3 = (1 + r)
−1
(C31 × (p1 ) + C32 × (p2 ) + C33 × (p3 ))
Karena nilai β dan γ mempunyai bentuk fungsional yang sama di setiap perioda, harga opsi sekarang C untuk model dua periode dapat direpresentasikan dalam
9
rumus
C = (1 + r)
3 X
pi × Ci i=1 r)−2 p21 C11 + 2p1 p2 C12
+ p22 C22 + 2p1 p3 C13 + p23 C33 + 2p2 p3 C13 n o 2 P 2 P i j 2−i−j 2! i j 2−i−j p p p max 0, (1 + a ) (1 + a ) (1 + a ) S − K 1 2 3 1 2 3 i!j!(2−i−j)!
= (1 +
=
−1
i=0 j=0
(1 + r)
≧ berlaku
2
untuk i + j ≤ 2
Lebih lanjut rumus di atas dapat digeneralisasi untuk n periode dan diperoleh rumus harga opsi model trinomial sebagai berikut :
C=
n P n P
i=0 j=0
n! i j n−i−j i!j!(n−i−j)! p1 p2 p3
n o i j n−i−j max 0, (1 + a1 ) (1 + a2 ) (1 + a3 ) S−K (1 + r)n
≫ berlaku
untuk i + j ≤ n
Hasil generalisasi di atas untuk model n periode dapat dituangkan dalam sebuah teorema tentang harga opsi sebagai berikut : Teorema 4 Harga opsi tipe r ≥ 0 relatif konstan adalah
C=
n P n P
i=0 j=0
Eropa model trinomial n periode dengan suku bunga sebagai berikut :
n! i j n−i−j i!j!(n−i−j)! p1 p2 p3
≥ berlaku
n o i j n−i−j max 0, (1 + a1 ) (1 + a2 ) (1 + a3 ) S−K (1 + r)
n
untuk i + j ≤ n
dengan pe adalah probabilitas semu pada persamaan (4).
Sampai di sini cukup jelas bahwa penurunan rumus yang dibuat pada model satu periode berhasil digeneralisasi untuk sebarang n periode. Secara khusus dapat dilihat bahwa harga opsi merupakan bentuk ekspektasi dari fungsi keuntungan opsi itu sendiri terdiskount oleh suku bunga dalam ruang probabilitas semu. Berikut ini diberikan satu contoh untuk memperjelas teori-teori dan hasil-hasil yang diperoleh pada model opsi trinomial di atas. Contoh 5 Diberikan contoh aplikasi rumus teori penentuan harga opsi model trinomial pada pasar (B, S) untuk mata uang dollar. Anggap Sn , n = 0, 1 adalah harga 10
yang diukur dalam rupiah. Misalkan S0 = 1$ = 8000 rp. Perubahan nilai dolar dalam kurs rupiah diasumsikan mengikuti distribusi binomial Jika kurs dollar 1 naik maka diprediksikan harga S1 = 8800 atau nilai a1 = 10 dan jika kurs dollar tu−1 run maka diprediksikan harga S1 = 7200 atau nilai a3 = 10 , dan a2 = 0. Disepakati harga kontrak K = 8000 rp . Diambil B0 = 1 rp dan r = 0. Jadi pada contoh ini diambil pengaruh dari rekening bank nol atau dinonaktifkan. Selanjutnya diperoleh vektor probabilitas pe∗ = [1/3, 1/3, 1/3]. Harga opsi dapat ditentukan : 1$
C = (8800 − 8000) × =
1 1 + (8000 − 8000) × + 0 3 3
800 rupiah 3
Selanjutnya dengan menggunakan strategi lse-hedge dapat diperoleh strategi γ1∗ = 0.5 dan β1∗ = −3733.3 yang dapat diartikan bahwa dengan menjual opsi seharga 800/3 rp dan meminjam sebesar 3733.3 penjual opsi dapat memiliki 0.5 saham. Selanjutnya diperoleh kemungkinan berikut : a
Pada saat harga saham turun. Penjual opsi memiliki setengah saham seharga 3600 dan ia mempunyai hutang sebesar 3733.3 sehingga ia masih mempunyai minus sebesar −133.3. sedangkan pembeli opsi mendapatkan nol.
b
Pada saat harga saham tetap. Penjual opsi memiliki setengah saham seharga 4000 dan ia mempunyai hutang sebesar 3733.3 sehingga ia masih untung 266.7. sedangkan pembeli opsi mendapatkan nol.
c
Pada saat harga saham naik. Penjual opsi memiliki setengah saham seharga 4400 dan ia mempunyai hutang sebesar 3733.3 sehingga ia masih untung 666.7. sedangkan pembeli opsi mendapatkan keuntungan 800.
Dapat dilihat dari ketiga kemungkinan yang terjadi hedging tidak mampu dipenuhi. Sebagai perbandingan dengan menggunakan model binomial tanpa mengikutkan kemungkinan harga saham tetap diperoleh risk neutral probability pe∗ = [1/2, 1/2] dan akhirnya dapat ditentukan harga opsi C = (8800 − 8000) × = 400
1 +0 2
rupiah
Selanjutnya dengan menggunakan strategi hedge bebas resiko dari model binomial dapat diperoleh strategi γ = 0.5 dan β = −3.600 yang dapat diartikan bahwa dengan menjual opsi seharga 400 rp dan meminjam sebesar 3600 penjual opsi dapat memiliki 0.5 saham. Pada uraian di atas diperoleh bahwa strategi (γ, β) akan bersifat least square error, yaitu mempunyai jumlah kuadrat yang minimal. Pada contoh di atas dapat dibuktikan bahwa strategi γ = 0.5 dan β = −3733.3 memberikan hasil jumlah kuadrat error yang minimal dibandingkan dengan strategi-strategi lainnya. Hal ini dapat dilihat pada tabel di bawah ini :
11
γ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
β 266.67 −133.33 −533.33 −933.33 −1333.33 −1733.33 −2133.33 −2533.33 −2933.33 −3333.33 −3733.33 −4133.33 −4533.33 −4933.33 −5333.33 −5733.33 −6133.33 −6533.33 −6933.33 −7333.33 −7733.33
Xnaik 266.67 306.67 346.67 386.67 426.67 466.67 506.67 546.67 586.67 626.67 666.67 706.67 746.67 786.67 826.67 866.67 906.67 946.67 986.67 1026.67 1066.67
fnaik 800
Xtetap 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67 266.67
ftetap 0
Xturun 266.67 266.67 186.67 146.67 106.67 66.67 26.67 26.67 −13.33 −53.33 −93.33 −133.33 −173.33 −213.33 −253.33 −293.33 −333.33 −373.33 −413.33 −453.33 −493.33
fturun 0
M se 426666.7 365866.7 311466.7 263466.7 221866.7 186666.7 157866.7 135466.7 119466.7 109866.7 106666.7 109866.7 119466.7 135466.7 157866.7 186666.7 221866.7 263466.7 311466.7 365866.7 426666.7
Dapat diperlihatkan juga bahwa harga opsi C = 266.67 memberikan jumlah kuadrat error yang minimal dibandingkan dengan harga yang lain pada strategi di atas. Hasilnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini : C M se C M se C M se
230 110700 253.33 107200 276.67 106966.7
233.3 110000 256.67 106966.7 280 107200
236.67 109366.7 260 106800 283.33 107500
240 108800 263.33 106700 286.67 107866.7
243.3 108300 266.67 106666.7 290 108300
246.67 107866.7 270 106700 293.33 108800
250 107500 273.33 106800 296.67 109366.7
Ilustrasi di atas membuktikan bahwa strategi (γ, β) merupakan strategi yang layak diterapkan dalam investasi model diskrit karena memberikan jumlah kuadrat error yang minimal dan harga C adalah harga opsi yang dipandang fair bagi kedua belah pihak karena jumlah kuadrat error yang minimal.
KESIMPULAN
Dari hasil penelitian dan pembahasan di bab sebelumnya mengenai penentuan harga opsi model trinomial pada pasar diskrit dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : 1.
Rumus harga opsi untuk model trinomial merupakan suatu pengembangan dari rumus harga opsi model binomial yang lebih sederhana
2.
Rumus harga opsi model trinomial merupakan harga harapan fungsi keuntungan opsi
12
3.
Pada harga opsi model trinomial diperoleh probabilitas bebas resiko yang tidak tunggal, dan diantara probabilitas bebas resiko yang tidak tunggal tersebut dapat diperoleh probabilitas semu bebas resiko yang meminimalkan jumlah kuadrat kesalahan.
DAFTAR PUSTAKA 1.
J.C.Cox, R.A.Ross, M.Rubeinstein, Option Pricing : A Simplified Approach, Journal Financial Economic, 1976,7, pp 229-263.
2.
J.M.Harrison, D.M. Kreps, Martingale and Arbitrage in Securities Markets, Journal Economic Theory,1979, pp. 381-408.
3.
P.P. Boyle, Options and The Management of Financial Risk, Society of Actuaries, 1992.
4.
Shiryaev.A.N, Toward the theory of options of both European and American Types, Theory of Probability and Its Application, 1994,39, pp.1-13
13
