PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM TIPE AMERIKA DENGAN PEMBAGIAN

PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM TIPE AMERIKA DENGAN PEMBAGIAN DEVIDEN MENGGUNAKAN FINITE ELEMENT METHOD PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM TIPE AMERIKA DENGAN PEMBAGIAN DEVIDEN MENGGUNAKAN FINITE ELEMENT METHOD Nikenasih Binatari, Rosita Kusumawati, Ade Nikenasih Binatari*, Rosita Kusumawati, AdeLatif Latif

Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Nikenasihdan Binatari*, Rosita Kusumawati, Ade Latif Jl. Colombo No. 1 Yogyakarta Fakultas Matematika dan*e-mail: Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta e-mail: [email protected] [email protected] Jl. Colombo No. 1 Yogyakarta *e-mail: [email protected]

Abstrak

Perubahan harga saham, baik saat harga saham mengalami kenaikan maupun penurunan harga, Abstrak

dapat dimanfaatkan untuk memperoleh keuntungan. Salah satu instrumen investasi yang dapat Perubahan baik saat harga saham maupun penurunan harga, digunakan harga untuk saham, memperoleh keuntungan dari mengalami perubahan kenaikan harga saham adalah opsi saham. dapat dimanfaatkan untuk memperoleh keuntungan. Salah satu instrumen investasi yang Selain itu, opsi saham juga dapat digunakan untuk meminimalkan jumlah kerugian dapat yang digunakan untuk memperoleh keuntungan dari perubahan hargakeuntungan saham adalah mungkin diderita investor. Salah satu kunci untuk memperoleh dari opsi opsi saham. saham Selain opsi saham jugaharga dapateksekusi digunakan untuksaham. meminimalkan jumlah kerugian yang adalah itu, ketepatan penentuan dari opsi Model Black-Scholes merupakan mungkin diderita Salah satuluas kunci untuk pendekatan memperolehuntuk keuntungan dari opsimasalah saham model yang telah investor. digunakan secara sebagai menyelesaikan adalah ketepatan penentuan harga eksekusi dari opsi saham. Model Black-Scholes merupakan penentuan harga eksekusi dari opsi saham. Asumsi model ini adalah saham tidak memberikan model yangdeviden, telah digunakan secaratransaksi, luas sebagai pendekatan masalah pembagian tidak ada biaya suku bunga bebas untuk resiko,menyelesaikan serta perubahan harga penentuan harga eksekusi dari opsi saham. Asumsi model ini adalah saham tidak memberikan saham mengikuti pola random. Sementara itu, sebagian besar opsi saham yang diperjualbelikan pembagian deviden, membayarkan tidak ada biaya transaksi, sukudari bunga bebas resiko, sertamenentukan perubahan harga harga pada kenyataannya deviden. Tujuan penelitian ini adalah saham mengikuti pola random. Sementara itu, sebagian besar opsi saham yang diperjualbelikan eksekusi opsi saham dari model Black-Scholes dengan pembagian deviden menggunakan finite pada kenyataannya membayarkan deviden.menunjukkan Tujuan dari penelitian ini kasus adalahtanggal menentukan harga element method (FEM). Hasil penelitian bahwa pada kadaluarsa eksekusi opsi saham dari model Black-Scholes dengan pembagian deviden menggunakan satu tahun, harga eksekusi $10, suku bunga bebas resiko 10%, proporsi pembagian devidenfinite 5%, element Hasil penelitian menunjukkan bahwa$1,5 padadan kasus kadaluarsa volatilitasmethod harga (FEM). saham 0,32 , opsi beli dijual di pasar seharga opsitanggal jual dijual di pasar satu tahun, $10, beli suku$1,8 bunga bebas resiko pembagian seharga $6 harga adalaheksekusi harga opsi dan harga opsi10%, jual proporsi $5,3. Karena harga deviden opsi beli5%, di volatilitas harga saham 0,32 , opsi beli dijual di pasar seharga $1,5 dan opsi jual dijual di pasar pasar lebih murah maka sebaiknya investor membeli opsi sementara untuk harga opsi jual, seharga $6 adalah harga opsi lebih beli $1,8 dan harga opsi jual $5,3. tidak Karena hargaopsi. opsi beli di karena harga opsi jual di pasar mahal maka sebaiknya investor membeli pasar lebih murah maka sebaiknya investor membeli opsi sementara untuk harga opsi jual, Kata kunci: FEMmaka sebaiknya investor tidak membeli opsi. karena hargaopsi opsisaham, jual diBlack-Scholes, pasar lebih mahal Kata kunci: opsi saham, Black-Scholes, FEM Abstract Changes in stock price, either when the stock price increases or decreases, can be exploited for Abstract

profit. One of the investment instruments that can be used to take advantage of the stock price Changes when the stock price increases or used decreases, can bethe exploited change isina stock stock price, option.either In addition, stock options can also be to minimize amountfor of profit. One of the investment instruments that can be used to take advantage of the stock price losses that may be suffered by investors. One of the keys to take advantage of the stock options is change is a stock option. In of addition, options canexercise also be price. used toBlack-Scholes minimize the model amountis ofa the precision determination the typestock of stock option losses that may be suffered by investors. One of the keys to take advantage of the stock is model that has been widely used as an approach to solve the problem of determining theoptions exercise the precision determination of the type of stock option exercise price. Black-Scholes model is a price of stock options. The assumption of this model is not giving the stock dividend, no model that has been widely used as an approach to solve the problem of determining the exercise transaction costs, risk-free interest rates, and changes in stock prices follow a random pattern. price of stock The options assumption of thisinmodel is dividends. not givingBecause the stock no Meanwhile, mostoptions. of the stock are traded fact pay the dividend, most heavily transaction risk-free interest rates, and changes stock follow random traded stockcosts, options is stock options American type, inthen theprices purpose of athis study pattern. was to Meanwhile, most of the stock options are traded in fact pay dividends. Because the determine the Black-Scholes option pricing American type stock with the dividend most modelheavily using traded stock options the purpose of this study interest was to finite element method.isAtstock case options one yearAmerican expirationtype, date,then execution price $10, risk-free determine option pricing American type stock withcall theoption dividend model using rate 10%, the paidBlack-Scholes dividend proportion 5%, stock price volatility 0,32, price at market finite element method. At case one year expiration date, execution price $10, risk-free interest $1,5 and put option price at market $6 then the result shows that call option price is $1,8 and put rate 10%, paid dividend proportion 5%, stock volatility 0,32, call option at market option price is $5,3. Because call option priceprice is cheaper then investor better price buy the option $1,5 and put option price at market $6 then the result shows that call option price is $1,8 and while for put option price, because it’s more expensive then investor better not buy the option. put option price is $5,3. Because call option price is cheaper then investor better buy the option Keywords: pricing Black-Scholes,FEM while for put optionoptions, price, because it’s more expensive then investor better not buy the option. Keywords: pricing options, Black-Scholes,FEM

59 59

Jurnal Penelitian Saintek, Vol. 18, Nomor 2, Oktober 2013 Jurnal Penelitian Saintek, Vol. 18, Nomor 2, Oktober 2013

PENDAHULUAN

Perusahaan menawarkan sahamnya

Investasi merupakan penempatan sePENDAHULUAN

kepada Perusahaan investor melalui IPO (Initial Public menawarkan sahamnya

jumlah Investasi dana pada saat ini dengan harapan merupakan penempatan se-

Offering) di pasar primer. saham kepada investor melalui IPOSetelah (Initial Public

untuk keuntungan waktu jumlah memperoleh dana pada saat ini dengandiharapan

menjadi investor, saham dapat saham diperOffering)milik di pasar primer. Setelah

mendatang. Perkembangan dunia diinvestasi untuk memperoleh keuntungan waktu

dagangkan pasardapat sekunder. menjadi milikkembali investor,disaham diper-

tidak saja Perkembangan ditunjukkan dengan adanya mendatang. dunia investasi

Investor memperoleh kerugidagangkan kembali keuntungan di pasar atau sekunder.

peningkatan uang yang diinvestasitidak saja jumlah ditunjukkan dengan adanya

an dari selisih antara harga beli dan harga jual Investor memperoleh keuntungan atau kerugi-

kan maupunjumlah dengan jumlah peningkatan uangbanyaknya yang diinvestasi-

yang oleh adanya perubahan an dariterbentuk selisih antara harga beli dan hargaharga jual

investor yang dengan berinvestasi, tetapijumlah juga kan maupun banyaknya

saham pada perdagangan di harga bursa yang terbentuk oleh adanya saham perubahan

ditunjukkan oleh berinvestasi, semakin banyaknya investor yang tetapi alterjuga

saham. Perubahan harga saham saham pada perdagangan sahamdipengaruhi di bursa

natif instrumen investasi yang bisa dijadikan ditunjukkan oleh semakin banyaknya alter-

oleh faktor,dipengaruhi beberapa saham.berbagai Perubahanmacam harga saham

pilihan investor investasi untuk berinvestasi. natif instrumen yang bisa dijadikan

diantaranya adalah faktor-faktor eksternal oleh berbagai macam faktor, beberapa

investasi tidak pilihan Adanya investor pasar untuk modal, berinvestasi.

seperti kondisi politik,faktor-faktor ekonomi, keamanan, diantaranya adalah eksternal

hanya dapat dilakukan pada aktiva riil tidak (real Adanya pasar modal, investasi

psikologis pasar.politik, Faktor-faktor tersebut sulit seperti kondisi ekonomi, keamanan,

assets), seperti membangun pabrik, hanya dapat dilakukan pada aktiva riilmem(real

diprediksi sebagai akibatnyatersebut harga saham psikologis dan pasar. Faktor-faktor sulit

buat produk baru, menambah pabrik, saluran distriassets), seperti membangun mem-

berubah-ubah secara akibatnya acak. Apabila harga diprediksi dan sebagai harga saham

busi, dan sebagainya. Investasi juga distridapat buat produk baru, menambah saluran

saham turun hingga nol,Apabila investor harga akan berubah-ubah secara titik acak.

dilakukan pada aktivaInvestasi finansialjuga (financial busi, dan sebagainya. dapat

kehilangan seluruh investasi yang dikeluarkan saham turun hingga titik nol, investor akan

assets), ataupada sekuritas seperti membeli sertifidilakukan aktiva finansial (financial

untuk membeli saham. kehilangan seluruh investasi yang dikeluarkan

kat deposito, commercial paper, saham, assets), atau sekuritas seperti membeli sertifi-

Perubahan harga saham, baik saat untuk membeli saham.

obligasi atau sertifikat reksadana kat deposito, commercial paper,(Husnan, saham,

harga saham mengalami kenaikanbaik maupun Perubahan harga saham, saat

2001: 3). atau sertifikat reksadana (Husnan, obligasi

penurunan harga, dapat dimanfaatkan untuk harga saham mengalami kenaikan maupun

Salah satu instrumen investasi yang 2001: 3).

memperoleh keuntungan. satu instrumen penurunan harga, dapat Salah dimanfaatkan untuk

telah banyak digunakan Salah satu instrumeninvestor investasiadalah yang

investasi dapat Salah digunakan untuk memperolehyang keuntungan. satu instrumen

saham. Saham digunakan sendiri berupa telah banyak investorselembar adalah

memperoleh keuntungan perubahan untuk harga investasi yang dapat dari digunakan

kertas menunjukkan hak untuk memsaham. yang Saham sendiri berupa selembar

saham adalahkeuntungan opsi saham. Selain itu,harga opsi memperoleh dari perubahan

peroleh bagian dari keuntungan sekaligus kertas yang menunjukkan hak untuk mem-

saham adalah juga dapat digunakan untuk meopsi saham. Selain itu, opsi

kepemilikan atas dari perusahaan yang menerbitperoleh bagian keuntungan sekaligus

minimalkan yang mungkin saham juga jumlah dapat kerugian digunakan untuk me-

kan saham atas tersebut. Tujuan kepemilikan perusahaan yangperusahaan menerbit-

diderita investor. Menurut Pham 5), minimalkan jumlah kerugian yang(2007: mungkin

menerbitkan adalah untuk memperoleh kan saham saham tersebut. Tujuan perusahaan

opsi saham didefinisikan perjanjian diderita investor. Menurut sebagai Pham (2007: 5),

modal pengembangan usaha. menerbitkan saham adalah untuk memperoleh

atau kontrakdidefinisikan antara penjual opsi saham opsi saham sebagai perjanjian

modal pengembangan usaha.

atau kontrak antara penjual opsi saham

60 60

Penentuan Harga Opsi Saham (Nikenasih Binatari dkk) Penentuan Harga Opsi Saham (Nikenasih Binatari dkk)

dengan pembeli opsi saham dimana penjual

menggunakan

menjamin adanyaopsi hak saham (bukandimana suatu kewajibdengan pembeli penjual

dikenal dengan nama Metode Elemen Hingga menggunakan metode aproksimasi yang

an) dari pembeli menjamin adanya opsi hak saham (bukan untuk suatu membeli kewajib-

(Finite Method, FEM).Elemen Hingga dikenalElement dengan nama Metode

atau menjual saham dan an) dari pembeli opsitertentu saham pada untukwaktu membeli

(Finite Element Method, FEM).

harga yang telah ditentukan. atau menjual saham tertentu pada waktu dan

METODE PENELITIAN

Berdasarkan periode waktu penggunaharga yang telah ditentukan.

Model Black–Scholes adalah model METODE PENELITIAN

annya, Berdasarkan opsi saham periode dikelompokkan menjadi waktu pengguna-

yang dikembangkan oleh Fisher Black dan Model Black–Scholes adalah model

dua, yaitu sahamdikelompokkan tipe Amerika dan opsi annya, opsiopsi saham menjadi

Myron Scholes padaoleh tahun 1973 (Black, yang dikembangkan Fisher Black dan

saham tipeopsi Eropa. Opsitipe saham tipe Amerika dua, yaitu saham Amerika dan opsi

1973) menentukan tipe Myron untuk Scholes pada tahunharga 1973opsi (Black,

adalah opsiEropa. sahamOpsi yang dapat saham tipe saham tipedieksekusi Amerika

Eropa persamaan diferensial 1973) berupa untuk menentukan harga opsiparsial tipe

sebelum waktusaham kadaluwarsa atau pada waktu adalah opsi yang dapat dieksekusi

berorder dua. Pengembangan model BlackEropa berupa persamaan diferensial parsial

kadaluwarsa. saham tipe sebelum waktuOpsi kadaluwarsa atauEropa pada adalah waktu

Scholes terus Pengembangan dilakukan sehingga dapat berorder dua. model Black-

opsi saham yang dieksekusi hanyaadalah pada kadaluwarsa. Opsibisa saham tipe Eropa

digunakan untuk dilakukan menentukansehingga harga opsidapat tipe Scholes terus

waktu kadaluwarsa. saham yang opsi saham yang bisaOpsi dieksekusi hanyapaling pada

Amerika, memenuhi asumsi-asumsi digunakandan untuk menentukan harga opsiyang tipe

banyak diperdagangkan pada yang bursa paling opsi waktu kadaluwarsa. Opsi saham

semakin keadaan sebenarnya. yang Amerika,mendekati dan memenuhi asumsi-asumsi

saham opsi saham tipe Amerika banyakadalah diperdagangkan pada bursa (Hull, opsi

yangsebenarnya. digunakan pada semakinAsumsi-asumsi mendekati keadaan

2006: 5). Halopsiinisaham disebabkan fleksibilitas saham adalah tipe Amerika (Hull,

model Black-Scholes sebagai berikut: Asumsi-asumsiadalah yang digunakan pada

waktu saham tipe Amerika 2006: penggunan 5). Hal iniopsi disebabkan fleksibilitas

(1) Volatilitas dan rata-rata pertumbuhan model Black-Scholes adalah sebagai berikut:

sehingga memungkinkan investor waktu penggunan opsi saham tipe memperAmerika

harga saham dan konstan. yang (1) Volatilitas rata-rataAsumsi pertumbuhan

oleh keuntungan yang investor lebih besar jika sehingga memungkinkan memper-

digunakan adalahkonstan. volatilitasAsumsi dan rata-rata harga saham yang

dibandingkan opsi saham Eropa. oleh keuntungan yang tipe lebih besar jika

pertumbuhan hargavolatilitas saham dan konstan sedigunakan adalah rata-rata

Investor kesempatan untuk dibandingkan opsimemiliki saham tipe Eropa.

panjang umur harga opsi. (2) Perubahan pertumbuhan saham konstanharga se-

mendapatkan keuntungan setiap situasi Investor memiliki pada kesempatan untuk

saham yang digunapanjangbersifat umur acak. opsi. Asumsi (2) Perubahan harga

pasar apabila keuntungan tepat memilih strategisituasi bermendapatkan pada setiap

kan adalah perubahan harga saham bersifat saham bersifat acak. Asumsi yang diguna-

investasi pada tepat kontrakmemilih opsi saham. pasar apabila strategiKunci ber-

acak mengikuti gerakan Brown. Suku kan adalah perubahan harga saham(3)bersifat

untuk keuntungan dari Kunci opsi investasimemperoleh pada kontrak opsi saham.

bunga bebas resiko konstan. Model acak mengikuti gerakan Brown. (3)BlackSuku

saham Amerika adalah ketepatan untuk tipe memperoleh keuntungan daripenenopsi

Scholes menggunakan dua asumsi terkait bunga bebas resiko konstan. Model Black-

tuan dan batasadalah eksekusi opsi saham. sahamharga tipe Amerika ketepatan penen-

suku bunga bebas resiko. suku Scholes menggunakan dua Pertama, asumsi terkait

Belum ditemukan rumusan eksplisit untuk tuan harga dan batas eksekusi opsi saham.

bunga pinjaman danresiko. pemberian pinjaman suku bunga bebas Pertama, suku

menentukan harga rumusan dan bataseksplisit eksekusiuntuk opsi Belum ditemukan

adalah sama. Kedua adalah suku bunga bunga pinjaman dan pemberian pinjaman

saham tipe Amerika. Oleh karena itu, di opsi sini menentukan harga dan batas eksekusi

bersifat dan berlaku sama sepanjang adalah konstan sama. Kedua adalah suku bunga

akan hargaOleh dan batas sahamditentukan tipe Amerika. karenaeksekusinya itu, di sini

umur (4)danPerdagangan tidak bersifatopsi. konstan berlaku samaopsi sepanjang

akan ditentukan harga dan batas eksekusinya

umur opsi. (4) Perdagangan opsi tidak 61

metode

aproksimasi

yang

61


dipungut pajak dan biaya transaksi. Asumsi yang digunakan adalah perdagangan dipungut pajak dan biaya pada transaksi. Asumsi opsi dipungut pajak biaya yang tidak digunakan adalah padaataupun perdagangan transaksi meliputipajak komisi dan spread opsi tidakyang dipungut ataupun biaya

ௗௌ ௌ ௗௌ

(1)

ൌ ߤ݀‫ ݐ‬൅ ߪܹ݀

dengan,ൌSߤ݀‫ݐ‬ merupakan ൅ ߪܹ݀ fungsi harga saham (1) ௌ

atas waktu t, dan µ merupakan dengan, S merupakan fungsi hargarata-rata saham pertumbuhan persatuanrata-rata waktu, atas waktu t, harga dan saham µ merupakan

pada proses sahamdandanspread opsi, transaksi yangperdagangan meliputi komisi

ı volatilitas harga harga saham saham,persatuan W merupakan pertumbuhan waktu,

serta lain terkait perdagangan pada biaya-biaya proses perdagangan saham dan opsi,

gerakan Brown, q adalah proporsi ı volatilitas hargadan saham, W merupakan

opsi. Tidak adalain peluang arbitrase bebas serta (5) biaya-biaya terkait perdagangan

deviden dibayarkan. gerakan yang Brown, dan q adalah proporsi

resiko. ini peluang digunakan pada model opsi. (5)Asumsi Tidak ada arbitrase bebas

opsi dinyatakan sebagai fungsi devidenHarga yang dibayarkan.

Black-Scholes membangun portofolio resiko. Asumsiuntuk ini digunakan pada model

atas harga saham dan waktu t. Misalkan Harga opsi Sdinyatakan sebagai fungsi

cegah resiko yang memuat kontrak opsi Black-Scholes untuk membangun portofolio

fungsi V merupakan fungsi harga opsi, dan atas harga saham S dan waktu t. Misalkan

dengan saham yang sebagaimemuat aset yang mendasari. cegah resiko kontrak opsi

T merupakan batas umur daerah fungsi V merupakan fungsiopsi, harga opsi, asal dan

(6) Pembagian dividenaset bersifat sedengan saham sebagai yang kontinu mendasari.

ሼሺܵǡ ‫ݐ‬ሻǣ ‫ ݒܦ‬ൌumur fungsi V adalahbatas Ͳ ൑daerah ܵ ൏ λǡ asal Ͳ൑ T merupakan opsi,

panjang umur opsi. Asumsi yangkontinu digunakan (6) Pembagian dividen bersifat seadalah dibagikan proporsi panjangdividen umur opsi. Asumsidengan yang digunakan tertentu secara konstan dan kontinu adalah dividen dibagikan dengan sepanjang proporsi umur Perdagangan opsisepanjang bersifat tertentuopsi. secara(7) konstan dan kontinu

‫ݐ‬൑ܶ . V adalah ‫ ݒܦ‬ൌ ሼሺܵǡ ‫ݐ‬ሻǣ Ͳ ൑ ܵ ൏ λǡ Ͳ ൑ fungsi ‫ݐ‬൑ܶ.

Fungsi V diasumsikan terdifirensial

dua kaliFungsi terhadap S , dan satu kali terhadap V diasumsikan terdifirensial t. Apabila S memenuhi Persamaan maka dua kali terhadap S , dan satu kali(1), terhadap

kontinu. Perdagangan opsi diasumsikan dapat umur opsi. (7) Perdagangan opsi bersifat

menurut Lemma Itô diperoleh t. Apabila S memenuhi Persamaan (1), maka

dilaksanakan tidak hanya pada jam-jam kontinu. Perdagangan opsi diasumsikan dapat

߲ܸItô ߲ܸ ͳ ଶ menurut Lemma diperoleh

opsi tipe AmerikaAsumsi dapat dieksekusi sewaktusewaktu-waktu. ini memungkinkan

߲ଶܸ ൅ ߪ ܵ ଶ ଶ ቉ ݀‫ݐ‬ ߲ܵ ߲‫ʹ ݐ‬ ߲ܵ ߲ܸ ߲ܸ ͳ ଶ ଶ ߲ ଶ ܸ ቉ ݀‫ݐ‬ ܸ ൌ ቈሺߤ െడ௏‫ ݍ‬ሻܵ ൅ ൅ ߪ ܵ ߲ܵ ଶ (2) ൅ߪܵ ܹ߲݀ܵ ߲‫ʹ ݐ‬

waktu sepanjang dengansewaktumengaopsi tipe Amerika umur dapat opsi dieksekusi

Scholes,Dalam unsurpembentukan stokastik pada Persamaan model Black-

baikan jam-jam perdagangan opsi. mengawaktu sepanjang umur opsi dengan

(2) dihilangkan dengan membentuk portoScholes, unsur stokastik pada Persamaan

baikan jam-jam perdagangan opsi.

folio berdasarkan strategi cegah resiko. (2) dihilangkan dengan membentuk porto-

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dibentuk portofolio bernilai yang folio berdasarkan strategi cegahȫ resiko.

perdagangan, namunhanya dapatpada dilaksanakan dilaksanakan tidak jam-jam sewaktu-waktu. Asumsidapat ini memungkinkan perdagangan, namun dilaksanakan

asumsi-asumsi HASILBerdasarkan DAN PEMBAHASAN

yang

digunakan pada model Black Scholes Berdasarkan asumsi-asumsi yang tersebut, harga Black saham Scholes yang digunakan model pada model memenuhi tersebut, asumsi model pertama, harga kedua, saham keenam yang dan ketujuh, adalah model kedua, harga keenam saham, memenuhi asumsi pertama, sesuai dengan persamaan (1). harga saham, dan ketujuh, adalah model sesuai dengan persamaan (1). 62 62

ܸ ൌ ቈሺߤ െ ‫ ݍ‬ሻܵ

൅

డௌ డ௏

ܹ݀ pembentukan model Black(2) ൅ߪܵ Dalam డௌ

memuat satubernilai kontrak ȫ opsi yang dan Dibentuk penjualan portofolio

డ௏ memuat satu kontrak opsi Berdan pembelianpenjualan saham sebanyak lembar. డௌ డ௏

Berpembelian sahamtersebut, sebanyaknilai lembar. dasarkan strategi డௌ portofolio ȫ pada saat strategi t sebesartersebut, nilai portofolio ȫ dasarkan డ௏ sar pada saat൅t sebe ȫ ൌ െ ܵ

ȫ ൌ െ ൅

డௌ డ௏ డௌ

ܵ

(3) (3)


Dari asumsi keenam model Black-

Untuk menyelesaikan Model Black–

ScholesDari di atas diperoleh nilai asumsi keenamperubahan model Black-

ScholesUntuk Opsi Tipe Amerika diperlukan kajian menyelesaikan Model Black–

portofolio singkat adalah nilai Scholes didalam atas waktu diperoleh perubahan

lanjutan mengenai syarat diperlukan batas dan kajian nilai Scholes Opsi Tipe Amerika

డ௏ waktu sinడ௏ portofolio ݀ߎ ൌ െܸ݀dalam ൅ ݀ܵ ൅ ‫ ܵݍ‬gkat ݀‫ ݐ‬adalah

awal opsi mengenai tipe Amerika. lanjutan syarat batas dan nilai

డௌ డ௏

డௌ డ௏

(4)

݀ܵ ൅ ‫( ܵݍ‬2) ݀‫ ݐ‬ke Persama(4) ݀ߎ ൌ െܸ݀ ൅ Persamaan Subtitusi డௌ డௌ an (4), sehingga Subtitusi diperoleh Persamaan (2) ke Persama-

߲ܸ diperoleh ߲ܸ an (4), sehingga ݀ߎ ൌ െܸ݀ ൅ ݀ܵ ൅ ‫ܵݍ‬ ݀‫ݐ‬ ߲ܵ ߲ܵ ߲ܸ ߲ܸ ݀ߎ ൌ െܸ݀ ൅߲ܸ ݀ܵ ൅ ‫ܵݍ‬ ݀‫ݐ‬ ߲ܵ ߲ܵ ൌ െߪܵ ܹ݀ ߲ܵ ߲ܸ ൌ െߪܵ ܹ݀ ߲ܸ ߲ܸ ͳ ଶ ଶ ߲ ଶ ܸ ߲ܵെ ‫ݍ‬ሻܵ െ ቈሺߤ ൅ ൅ ߪ ܵ ቉ ݀‫ݐ‬ ଶ ߲ܵ ߲ܵ ߲‫ʹ ݐ‬ ଶ ߲ܸ ߲ܸ ͳ ଶ ଶ ߲ ܸ െ ቈሺߤ ൅ ߪ ܵ ቉ ݀‫ݐ‬ డ௏ െ ‫ ݍ‬ሻܵ డ௏ ൅ ൅ ݀ܵ ൅ ‫ʹ ݐ߲ ݐ݀ ߲ܵܵݍ‬ (5) ߲ܵ ଶ డௌ డ௏

డௌ డ௏

൅ ݀ܵ ൅ ‫ ܵݍ‬subtitusi ݀‫ݐ‬ Selanjutnya Persamaan (5) (1) డௌ డௌ

ke Persamaan (5), diperoleh Selanjutnya subtitusi Persamaan (1) డమ ௏ డ௏ ଵ డ௏ ke Persamaan ൌെ ቂ ൅ ߪ ଶ(5), ܵ ଶ diperoleh ቃ ݀‫ݐ‬ మ െ ‫ܵݍ‬

ൌ

డ௧ డ௏

ଶ ଵ

డௌ డௌ మ డ௏ ଶ ଶడ ௏ െቂ ൅ ߪ ܵ െ ‫ ܵݍ‬ቃ ݀‫ݐ‬ డ௧Diketahui ଶ డௌ మ perubahan డௌ laju nilai

(6) (6) porto-

folio proporsional dengan nilai awal Diketahui laju perubahan nilai portofolio, dengan konstanta folio proporsional dengan proporsi nilai awalsebesar portotingkat suku bunga bebas proporsi resiko konstan r. folio, dengan konstanta sebesar Sehingga daribunga persamaa n (3)resiko dapatkonstan diperoleh tingkat suku bebas r. డ௏ Sehingga dari൅persamaa ݀ߎ ൌ ‫ ݎ‬ቂെܸ ܵቃ ݀‫ ݐ‬n (3) dapat diperoleh (7) డௌ డ௏

݀ߎ ൌ ‫ݎ‬Opsi ቂെܸ dapat ൅ ܵቃ ݀‫ݐ‬ (7) డௌ dieksekusi lebih awal yang mengakibatkan pertumbuhan nilai portofolio Opsi dapat dieksekusi lebih awal yang yang memuat opsi menjadi lebih atau mengakibatkan pertumbuhan nilai besar portofolio sama dengan portofolio yanglebih diinvestasikan yang memuat opsi menjadi besar atau ke instrumen bebas resiko dandiinvestasikan berkembang sama dengan portofolio yang sepanjang umur opsi. pilihan ke instrumensisabebas resiko danDari berkembang tersebut persamaan (6) dan dapat sepanjangdansisa umur opsi. Dari(7)pilihan diperoleh hubungan di bawah tersebut dan persamaan (6) ini. dan (7) dapat మ

డ௏ ଵ డ௏ డ ௏ diperoleh ini. ൅ డ௏ ܵቃ ݀‫ݐ‬ െ ቂ ൅ ߪ ଶhubungan ܵ ଶ మ െ ‫ ܵݍ‬di ቃbawah ݀‫ ݐ‬൒ ‫ ݎ‬ቂെܸ డ௧ డ௏ డ௏

డௌ ଶ డௌ ଵଵ ଶ ଶ డడమమ௏௏ డ௏ െቂ ൅ ܵ െ ቃ‫ݍ‬ሻ ݀‫ݐ‬డ௏൒ܵ‫ݎ‬െቂെܸ ฻ ൅ ଶ ߪߪ ଶܵܵ ଶ డௌ మమ െ ൅ ‫ݍ‬ሺ‫ݎ‬ ‫ܸݎ‬ డ௧ డௌ డ௧ ଶ డௌ డௌ

฻

డ௏ డ௧

ଵ

൅ ߪ ଶܵଶ ଶ

డమ ௏ డௌ మ

൅ ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬ሻ

డ௏ డௌ

డௌ డ௏

൅ ൑ డௌ Ͳ ܵቃ ݀‫ݐ‬ (8)

ܵ െ ‫ ܸݎ‬൑ Ͳ

(8)

awal opsi tipe Amerika. Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Tipe Amerika Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Tipe Amerika Didefinisikan C(S,t) dan P(S,t) dan berturut-turut sebagaiC(S,t) harga dan opsiP(S,t) beli dan Didefinisikan opsi jual pada saat t danharga harga opsi sahambeli S. dan berturut-turut sebagai opsi jual pada saat t dan harga saham S. Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Beli Tipe Amerika Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Beli Tipe Batas eksekusi opsi beli Sc(t) dapat Amerika didefinisikan sebagai opsi beli Sc(t) dapat Batas eksekusi Sc(t)= inf{SŇC(S,t) didefinisikan sebagai = S – E} Misalkan fungsi=harga Sc(t)= inf{SŇC(S,t) S – E}opsi V, disubtitusiMisalkan dengan fungsi C, fungsi harga harga opsi opsijual V, disehingga harga opsi memiliki daerah subtitusi dengan fungsibeli harga opsi jual C, ke dalam dua asal Dv. Dharga sehingga opsimenjadi beli memiliki daerah v dibagi daerah batas eksekusi, yakni daerah Dv dibagi menjadi ke dalam dua asal Dv.oleh kelanjutan region) dan daerah daerah oleh(continuation batas eksekusi, yakni eksekusi (exercise region). Hargadan opsi beli kelanjutan (continuation region) daerah pada Dv (exercise dijelaskanregion). pada persamaan eksekusi Harga opsi Perbeli samaan ian opsi belipersamaan tipe Amerika. dijelaskan pada Perpada DvJamshid ͳ Jamshid ߲ ଶ ‫ ܥ‬ian opsi beli ߲‫ܥ‬tipe Amerika. ߲‫ܥ‬ samaan ଶ ଶ ሺ‫ݎ‬ ൅ ߪ ܵ ൅ െ ‫ݍ‬ሻ ܵ െ ‫ܥݎ‬ ߲ܵ ߲ܵ ଶ ߲‫ʹ ݐ‬ ߲‫ܥ‬ ߲‫ ͳ ܥ‬ଶ ଶ ߲ ଶ ‫ܥ‬ ൅ ߪെܵ‫ܧݎ‬ሻ‫ܪ‬ሺܵ ൅ ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬ሻ ܵ െ ‫ܥݎ‬ ൌ ʹ ߲ܵ ଶ െ ܵ௖ ሺ‫ݐ‬ሻሻ ߲ܵ ߲‫ݐ‬െሺ‫ܵݍ‬

Hെfungsi ൌ െሺ‫ܵݍ‬Dengan െ ‫ܧݎ‬ሻ‫ܪ‬ሺܵ ܵ௖ ሺ‫ݐ‬ሻሻ heaviside. Selain batas eksekusi, nilai awal heaviside. dan syaratSelain batas Dengan H fungsi yang dipenuhi sebagai berikut. batas harus eksekusi, nilaiadalah awal dan syarat batas Padadipenuhi saat tanggal kadaluwarsa, harga yang harus adalah sebagai berikut. opsi beliPada memenuhi saat tanggal kadaluwarsa, harga opsi beli memenuhi

63 63


C(S,T)= max(S - E, 0), 0 S Smax

asal Dv. Dv dibagi menjadi kedalam dua

PadaC(S,T)= saat harga saham sama max(S - E, 0), 0 dengan S Smax nol,

daerah daerah Dv batas dibagi eksekusi, menjadi yakni kedalam dua asal Dv.oleh

maka opsi beli mencapai terendah Pada harga saat harga saham sama titik dengan nol,

kelanjutan region) dan daerah daerah oleh(continuation batas eksekusi, yakni

yakni nol. opsi beli mencapai titik terendah maka harga

eksekusi region). Hargadan opsi jual kelanjutan(exercise (continuation region) daerah

yakniC(0,t)= nol. 0, 0 t T

persamaan pada Dv dijelaskan eksekusi (exercisepada region). HargaPersamaan opsi jual

PadaC(0,t)= saat harga 0, 0 saham t T mencapai harga

Jams an opsi juapada l tipepersamaan Amerika Persamaan yaitu pada hDidi v dijelaskan

maksimal, beli mencapai Pada saat maka harga harga sahamopsimencapai harga

ଶ ߲ܲ hͳidiଶanଶo߲psi ܲ jual tipe Amerika ߲ܲ Jams yaitu

titik tertinggi yakni, maksimal, maka harga opsi beli mencapai Smax - E, 0, 0 t T C(Smax,t)= titik tertinggi yakni, C(SMasalah E, 0, 0dan tsyarat T batas max,t)= Snilai max - awal Opsi Beli tipe Amerika adalah Masalah nilai awal dan syarat batas ଶ Opsi Beli adalah ߲‫ܥ‬ ͳ ଶtipଶe߲Amerika ߲‫ܥ‬ ‫ܥ‬ ሺ ൅ ߪ ܵ ൅ ‫ݎ‬ െ ‫ݍ‬ሻ ܵ െ ‫ܥݎ‬ ଶଶ ߲‫ʹ ݐ‬ ߲ܵ ߲ܵ ߲‫ܥ‬ ͳ ଶ ଶ߲ ‫ܥ‬ ߲‫ܥ‬ ൅ ߪെܵ‫ܧݎ‬ሻ‫ܪ‬ሺܵ ൅ ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬ሻ ܵ െ ‫ܥݎ‬ ൌ ߲‫ݐ‬െሺ‫ܵݍ‬ ʹ ߲ܵ ଶ െ ܵ௖ ሺ‫ݐ‬ሻሻ߲ܵ ൌ െሺ‫ ܵݍ‬max(S െ ‫ܧݎ‬ሻ‫ܪ‬ሺܵ െ ܵ0௖κሺ‫ݐ‬ሻሻ C(S,T)= - E, 0), S κ Smax

൅ ߪ ܵ ൅ ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬ሻ ܵ െ ‫ܲݎ‬ ଶ ʹ ߲ܵ ߲‫ݐ‬ ߲ܵ ଶ ߲ܲ ͳ ଶ ଶ ߲ ܲ ߲ܲ ൅ ߪെܵ‫ܵݍ‬ሻ‫ܪ‬ሺܵ ൅െሺ‫ܵݎ‬െሺ‫ݐ‬ሻሻ ‫ݍ‬ሻ ܵ െ ‫ܲݎ‬ ൌ െሺ‫ܧݎ‬ ଶ ௣ ߲ܵ ߲‫ʹ ݐ‬ ߲ܵ

ൌ െሺ‫ܧݎ‬Selain െ ‫ܵݍ‬ሻ‫ܪ‬ሺܵ െ eksekusi, ܵ௣ ሺ‫ݐ‬ሻሻ batas nilai awal dan

syarat Selain batas yang harus dipenuhi adalah batas eksekusi, nilai awal dan sebagai berikut. syarat batas yang harus dipenuhi adalah saat tanggal kadaluwarsa, harga sebagai Pada berikut. opsi jualPada memenuhi saat tanggal kadaluwarsa, harga max(E – S, 0), 0 S Smax opsi P(S,T)= jual memenuhi

SC(S,T)= SŇC(S,t) = S 0– κE}S κ Smax max(S - E, 0), c(t)= inf{

PadaP(S,T)= saat harga saham sama max(E – S, 0), 0 dengan S Smax nol,

ScȋȌα (t)= inf{SŇC(S,t) = S – E}

maka hargaharga opsi saham jual mencapai titik makPada saat sama dengan nol, simal harga eksekusititik E. makmaka yakni hargasebesar opsi jual mencapai

C(0,t) =0 κ t κ T ScȋȌα

ǡ ‫ݐ‬κሻ tൌκܵT௠௔௫ െ ‫ܧ‬ǡ Ͳǡ Ͳ ൑ ‫ ݐ‬൑ ܶ ‫ܥ‬ሺܵ C(0,t) =0 ௠௔௫ ሺܵǡ ‫ܥ‬ሺܵ ௠௔௫ ǡ ‫ ݐ‬ሻ‫ݐ‬ሻൌ‫ܦܵא‬ ௠௔௫ െ ‫ܧ‬ǡ Ͳǡ Ͳ ൑ ‫ ݐ‬൑ ܶ ሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ ‫ܦ א‬

E, 0 tharga T eksekusi E. simalP(0,t)= yakni sebesar ȋͻȌ ȋͻȌ

Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Jual Tipe Amerika Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Jual Tipe AmerikaBatas eksekusi opsi jual Sp(t) dapat didefinisikan sebagai opsi jual S (t) dapat Batas eksekusi didefinisikan sebagai= E – S} Sp(t)= sup {SŇP(S,t)

p

Sp(t)= sup {SŇP(S,t) = E – S} Misalkan fungsi harga opsi V, disubtitusi dengan fungsi harga jual V, P, Misalkan hargaopsiopsi sehingga jualharga memiliki daerah disubtitusiharga denganopsi fungsi opsi jual P, sehingga harga opsi jual memiliki daerah

PadaP(0,t)= saat harga harga makE, 0saham t mencapai T simal, maka harga opsi jual sama dengan Pada saat harga saham mencapai harga maknol. simal, maka harga opsi jual sama dengan P(S nol.max,t)= 0, 0 t T Masalah 0, 0 nilai t Tawal dan syarat batas P(Smax,t)= Opsi Jual tipe Amerika adalah Masalah nilai awal dan syarat batas ଶ Opsi Jͳualଶtipଶe߲Amerika adalah ܲ ߲ܲ ߲ܲ ൅ ߪ ܵ ൅ ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬ሻ ܵ െ ‫ܲݎ‬ ଶ ଶ ߲ܵ ߲ܵ ߲‫ʹ ݐ‬ ͳ ଶ ଶ߲ ܲ ߲ܲ ߲ܲ ൅ ߪെܵ‫ܧݎ‬ሻ ൅ଶ ‫ܪ‬ሺܵ ൅ ሺ‫ ݎ‬ሺ‫ݐ‬ሻ െ ‫ݍ‬ሻ ൌ െ ߲ܵ ܵሻ ܵ െ ‫ܲݎ‬ ௖ ʹ ߲‫ݐ‬െሺ‫ܵݍ‬ ߲ܵ

െሺ‫ܵݍ‬ െ ‫ܧݎ‬ሻ ൅ ‫ܪ‬ሺܵ Sൌp(t)= sup{SŇC(S,t) =௖Eሺ‫ݐ‬ሻ – Sെ}ܵሻ

P(S,T)= max(E – S, 0), Sp(t)= sup{SŇC(S,t) = E0 –SS} Smax Sp(T) = Emax(E – S, 0), 0 S Smax P(S,T)= Sp(T) = E

64 64


P(0,t) =E, 0 t T

ܷሺͲǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳǡ Ͳ ൑ ‫ ݐ‬൑ ܶ

‫ݐ‬ሻ0ൌͲǡ ܲሺܵ௠௔௫ P(0, t) =ǡE, t Ͳ T൑ ‫ ݐ‬൑ ܶuntuk ܲሺܵ ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳǡ Ͳ ൑ ‫ ݐ‬൑ ܶuntuk ሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ ௠௔௫ ‫ א‬ǡ‫ܦ‬

(10) (10)

ሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ ‫ܦ א‬

Penyelesaian Model Black-Scholes dengan Pembagian Deviden Menggunakan FEM Penyelesaian Model Black-Scholes dengan FEMDeviden adalah suatu teknik untuk menPembagian Menggunakan FEM cari solusi dari masalah nilai menawal FEMhampiran adalah suatu teknik untuk dan solusi syarat hampiran batas. Pada langkah cari darimetode masalahini,nilai awal awal syarat penentuan solusimetode adalahini, merubah dan batas. Pada langkah masalahpenentuan nilai awal dan syarat batas kemerubah bentuk awal solusi adalah weak formulation, masalah nilai awal dankemudian syarat batasdilanjutkan ke bentuk dengan formulation, membagi domain solusi menjadi weak kemudian dilanjutkan sejumlah membagi berhinggadomain subdomain. dengan solusi Langkah menjadi diakhiri dengan mencarisubdomain. solusi hampiran pada sejumlah berhingga Langkah setiap subdomain yang solusi diasumsikan sebagai diakhiri dengan mencari hampiran pada tertendiasumsikan tu. anggotasubdomain ruang fungsi setiap yang sebagai Misalkan gsi ܵte௠௔௫ . ܴ anggota ruang funሺͲǡ rtenሻtu‫ؿ‬

dan

ܸൌ

ሺͲǡ ܵruang ‫ ܴ ؿ‬dan ܸൌ ‫ܪ‬଴ଵ ሺͲǡMisalkan ܵ௠௔௫ ሻ adalah Diasumsi௠௔௫ ሻ Hibert.

ଵ kan (9) merupakan elemen ܵ௠௔௫ ሻSistem adalah ruang Hibert. Diasumsi‫ܪ‬ ଴ ሺͲǡsolusi

dari ruang Agar (9) memenuhi syaratelemen batas kan solusi V. Sistem merupakan Dirichlet pada V,syarat dilakukan dari ruang homogeny V. Agar memenuhi batas

transformasi pada harga opsiV,beli ‫ܥ‬ሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ Dirichlet homogeny pada dilakukan sebagai berikut. transformasi pada harga opsi beli ‫ܥ‬ሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ ܷሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݕ‬ሺܵሻ െ ‫ ܥ‬ሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ sebagai berikut. ௌ೘ೌೣ ିா ܷሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݕ‬ሺܵൌሻ െ ‫ ܥ‬ሺܵǡܵ‫ݐ‬ሻ dimana ‫ݕ‬ሺܵሻ ௌ೘ೌೣ ௌ೘ೌೣ ିா

dimana ‫ݕ‬ሺܵሻSistem ൌ Akibatnya, (9) ܵdapat ditransformasi ௌ೘ೌೣ

menjadi Akibatnya, Sistem (9) dapat ditransformasi డ௎ ଵ menjad ൅ ߪ ଶiܵ ଶ డ௧ డ௎

డమ ௎

డௌ మ మ௎ డ ߪ ଶܵଶ మ ଶ డௌ ଶ ଵ

൅ ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬ሻ

డ௎

డௌ డ௎

ܵ െ ‫ ܷݎ‬ൌ ‫ܨ‬ሺܵǡ ܵ௖ ሺ‫ݐ‬ሻሻ

൅ ൌ ݂݅݊ሼܵሃܷሺܵǡ ൅ ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬ሻ‫ݐ‬ሻ ൌ ܵെ ‫ ܷݎ‬ൌ ‫ܨ‬ሺܵǡ ܵ௖ ሺ‫ݐ‬ሻሻ ܵడ௧௖ ሺ‫ݐ‬ሻ ܷሺܵǡ ܶሻሽ డௌ

ܷሺܵǡ ܶሻ ൌ ‫ݕ‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ሺܵ െ ‫ܧ‬ǡ Ͳሻ ǡ Ͳ ൑ ܵ ൑ ܵ ܵ ௖ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݂݅݊ሼܵሃܷሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ ܷሺܵǡ ܶሻሽ ௠௔௫ ܵ௖ ሺܶሻ ‫ݏ ܧ‬ሻ െ ሺܵ െ ‫ܧ‬ǡ Ͳሻ ǡ Ͳ ൑ ܵ ൑ ܵ௠௔௫ ܷሺܵǡ ܶሻ ൌ ൌ ‫ݕ‬ሺ

ܵ௖ ሺܶሻ ൌ ‫ܧ‬

ǡ ‫ݐ‬ሻͲǡൌͲ Ͳ൑ ‫ ݐ‬൑ ܶ ܷሺܵ௠௔௫ ܷሺͲ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ

ܷሺܵ Ͳ ௠௔௫ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ operator Didefinisikan diferensial

ଶ ߲operator ͳ ߲ Didefinisikan diferensial ‫ ߪ ؠ ܮ‬ଶ ܵ ଶ ଶ ൅ ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬ሻ െ ‫ܫݎ‬ ʹ ߲ܵ ߲ܵ ͳ ߲ଶ ߲ ‫ ߪ ؠ ܮ‬ଶ ܵ ଶ ଶ ൅ ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬ሻ െ ‫ܫݎ‬ ʹ ߲ܵ ߲ܵ Akibatnya diperoleh persamaan

డ௎ Akibatnya persamaan ൅ ‫ ܷܮ‬ൌdiperoleh ‫ܨ‬ሺܵǡ ܵ௖ ሺ‫ݐ‬ሻሻ డ௧ డ௎ డ௧

(11)

൅ ‫ܷܮ‬Didefinisikan ൌ ‫ܨ‬ሺܵǡ ܵ௖ ሺ‫ݐ‬ሻሻoperasi hasil kali (11) ‫ۃ‬Ǥ ǡ Ǥ ‫ۄ‬

ܵெ ሻ yang dalam dalam ruang ‫ܮ‬ଶ ሺͲǡ Didefinisikan operasi hasil didefinisikali ‫ۃ‬Ǥ ǡ Ǥ ‫ۄ‬

ሻ yangሾ଴ǡௌ ‫ݑ‬ሺܵሻǡ kan dengan ‫ ۄݒ‬ൌ‫ܮ‬ଶ‫ۃ‬ሺͲǡ dalam dalam‫ݑۃ‬ǡ ruang ܵெ‫ݒ‬ሺܵሻ‫ۄ‬ didefinisi೘ೌೣ ሿ ௌ೘ೌೣ ‫ݑۃ‬ǡ ‫ ۄݒ‬ൌ ‫ݑۃ‬ሺܵሻǡ ‫ݒ‬ሺܵሻ‫ۄ‬ሾ଴ǡௌ೘ೌೣሿ ka ൌ n‫׬‬଴dengan ‫ݑ‬ሺܵሻ‫ݒ‬ሺܵሻ݀ܵ ௌ

ൌ ‫׬‬଴ ೘ೌೣMengalikan ‫ݑ‬ሺܵሻ‫ݒ‬ሺܵሻ݀ܵPersamaan (11) dengan డ௎ (11) dengan Mengalikan Persamaan ‫ ۃ‬ǡ ‫ۄݒ‬ fungsi te s ‫ܸ א ݒ‬, diperoleh ൅ ‫ܷܮۃ‬ǡ ‫ۄݒ‬

fu gsi‫ۄݒ‬ tes ‫ܸ א ݒ‬, diperoleh ‫ۃ‬ ൌ n‫ܨۃ‬ǡ

డ௧ డ௎ డ௧

ǡ ‫ ۄݒ‬൅ ‫ܷܮۃ‬ǡ ‫ۄݒ‬ (12)

(11) ൌ ‫ܨۃ‬ǡ ‫ۄݒ‬Permasalahan pada Persamaan (12) menjadiPermasalahan mencari ܷ ‫א‬pada ܸ yang memenuhi Persamaan (11)

Persamaanmencari (12) untuk ܸ. memenuhi menjadi ܷ ‫א ܸݒ׊א‬yang

t akan Diberikan ܰǡt‫ܯ‬ Persamaan (12) un uk‫ݒ׊א‬Յ,‫ א‬domain ܸ. dibagi menjadi ܰǡN‫ ܯ‬subdomain Diberikan ‫ א‬Յ, domainsedangkan t akan

domain menjadi S akan Ndibagi menjadisedangkan M subdibagi subdomain

domain. SMisalkan ukuran tiap M interval domain akan dibagi menjadi subsubdomainMisalkan t adalahukuran k dan tiap ukuran tiap domain. interval interval subdomain akibatnya subdomain t adalahS kadalah dan h, ukuran tiap ܵ௠௔௫akibatnya interval ൗ‫ܯ‬. Didiperolehsubdomain ݇ ൌ ܶൗܰ Sdanadalah ݄ ൌ h, ܵ diperoleh ݇ ൌ ܶൗܰ dan ݄ ൌ ௠௔௫ൗ‫ܯ‬. Dipilih Vh sebagai subruang V yang terdiri dari

polinominal-polinominal pilih Vh sebagai subruang Vberderajat yang terdirisatu, dari kontinu sepotong-sepotong berderajat dan jumlahnya polinominal-polinominal satu, berhingga.sepotong-sepotong Subruang Vh terdiri semua kontinu dan dari jumlahnya fungsi v yang memenuhi berhingga. Subruang Vh terdiri dari semua fungsi v yang memenuhi

65 65


Pemilihan ini didasarkan pada

‫ݒ‬ሾௌ೔షభ ǡௌ೔ ሿ ‫ܲ א‬ଵ ሺሾܵ௜ିଵ ǡ ܵ௜ ሿሻǡ ‫ݒ‬ሺͲሻ

ሿሻǡ ǡ‫ݒ‬ሺͲ ‫ݒ‬ሾௌ‫ݒ‬ሺܵ ‫ܲ א‬ଵ ሺሾܵ௜ିଵ‫ܥ‬ሾܵ ǡ ܵ௜௜ିଵ ൌ ܵ௜ ሿ ሻ ೔షభ ǡௌெ ೔ ሿሻ ൌ Ͳǡ ‫א ݒ‬

ሻ ൌ Ͳǡ ‫ א ݒ‬ruang ൌ ‫ݒ‬ሺܵெPembagian ‫ܥ‬ሾܵ௜ିଵVǡ ܵmenjadi ௜ሿ subruang

Vh

mengakibatkan pada Pembagian ruangpermasalahan V menjadi subruang

Persamaan (12) berubah menjadi mencari permasalahan pada Vh mengakibatkan ‫ݑ‬ sehingga Persamaan (12) berubah menjadi mencari ௛ ‫ܸ א‬௛ sedemikian ߲‫ݑ‬ sedemikian ‫ݑۃ‬௛݄ ‫א‬ǡ ‫ܸݒ‬௛௛‫ ۄ‬൅ ‫ݑܮۃ‬௛ ǡ ‫ݒ‬௛ ‫ ۄ‬sehingga ൌ ‫ܨۃ‬ǡ ‫ݒ‬௛ ‫ۄ‬

(13)

߲‫ݐ‬ ߲‫݄ݑ‬

‫ ۃ‬ǡ ‫ݒ‬௛‫ݒ׊‬ ‫ ۄ‬൅ ‫ݑܮۃ‬ ‫ۄ‬ (13) ௛.ǡ ‫ݒ‬ ௛ ‫ ۄ‬ൌ ‫ܨۃ‬ǡ ‫ݒ‬h௛ memiliki untuk SubruangV basis ௛ ‫ܸ א‬௛ ߲‫ݐ‬

ெିଵ ሼ‫׎‬ untuk ‫ݒ׊‬ ܸ௛ . SubruangV , sehingga Vh =span{ø h memiliki 1,…,øbasis M-1}. ௛ ‫א‬ ௜ ሺܵሻሽ ௜ୀଵ

ெିଵ ሼ‫׎‬௜ ሺܵሻሽ‫׎‬ Fungsi fungsi dimana , sehingga Vh“hat” =span{ø 1,…,øM-1}. ௜ adalah ௜ୀଵ

Fungsi ‫׎‬௜ ߜadalah fungsi ‫׎‬ setiap“hat” i dandimana j , dengan ௜ ൫ܵ௝ ൯ ൌ ௜௝ untuk

‫׎‬௜௝௜ ൫ܵ ߜ௜௝ untuk setiap i dan j , dengan ߜ delta ௝ ൯ ൌkronecker.

௝ ߜ௜௝ deltaFungsi kronecker. ‫ݑ‬௛ merupakan elemen sub௝ ௝ ‫ݑ‬௛ ‫ݑ‬merupakan elemen subruang VFungsi h, sehingga ௛ merupakan kombinasi ௝

ruang dari Vh, sehingga kombinasi linier basis Vh, ‫ݑ‬yakn i ௛ merupakan ௝ ெିଵ V௝ , yakni linier dari basis ‫ݑ‬ ௛ ሺܵሻ ൌ σ௜ୀଵ ߙ௜h‫׎‬௜ ሺܵሻ

(14)

௝ ௝ σெିଵ ‫ݑ‬௛ ሺܵሻ ൌ ߙ௜ ‫׎‬௜ ሺܵሻ (13) pada saat (14)tj Solusi ௜ୀଵ Persamaan

௝ Solusi menentukan Persamaan (13) saat tj cukup dengan nilai ߙpada ௜ pada Per௝

௝ Percukup dengan menentukan ߙ௜ ߙpada samaan (14). Dalam notasi nilai vektor, ௜ dapat ௝

௝ ௝ ߙ ௝dapat ௝ samaan (14).sebagai Dalamߙnotasi dinyatakan ൌ ൣߙvektor, ଵ ǡ ߙଶ ǡ ǥ ǡ ௜ߙெିଵ ൧.

ே ሃܵ ൑ ݄.rkan pada Pemilihan ini didasa ௖ ሺܶሻ െ ܵ ௖ ሃ

ሃܵ௖ ሺܶሻPada െ ܵ௖ே ሃsaat ൑ ݄.T harga U(S,T) dapat

dihitungPada menggunakan Persamaan saat T harga U(S,T) (1.15), dapat dihitung menggunakan Persamaan (1.15), sedangkan solusi hampiran ‫ݑ‬௛ே dicari dengan

ே sedangkan‫ݑ‬solusi hampiran ‫ݑ‬௛ே dicari dengan memilih proyeksi orthogonal ௛ sebagai

dari U(S,T) ruangproyeksi Vh. Didefinisikan memilih ‫ݑ‬௛ே di sebagai orthogonal ே dari U(S,T) di ruang Vh. Didefinisikan ‫ݑ‬ ௛ sebagai ே sebagai ‫ݑ‬௛ே ሺܵሻ ൌ σெିଵ ௜ୀଵ ߙ௜ ‫׎‬௜ ሺܵሻ

ே σெିଵ ‫ݑ‬௛ே ሺܵሻ ൌ ሻ ܶሻ ‫ܸ א‬, ௜ୀଵ ߙ ௜ ‫׎‬௜ ሺܵ Akibat dari ܷሺܵǡ

(15)

(15) dengan

TeoremaAkibat Proyeksi diperoleh perdariOrthogonal ܷሺܵǡ ܶሻ ‫א‬ ܸ, dengan

samaan Teorema Proyeksi Orthogonal diperoleh perே ‫ۃ‬ሺܷሺȈǡ samaan ܶሻ െ σெିଵ ௜ୀଵ ߙ௜ ‫׎‬௜ ሻǡ ‫׎‬௟ ‫ ۄ‬ൌ Ͳ

ே ‫ۃ‬ሺܷሺȈǡ ܶሻ െ σெିଵ ௜ୀଵ ߙ௜ ‫׎‬௜ ሻǡ ‫׎‬௟ ‫ ۄ‬ൌ Ͳ N 1 Perhitungan pada Saat t

(16) (16)

N 1 Turunan parsial Perhitungan pada SaatUt terhadap t dihampiri

menggunakan selisih mundurt dihampiri dua titik Turunanrumus parsial U terhadap Euler. Hampiran turunan terhadap t pada menggunakan rumus selisihUmundur dua titik didefinisikan dengan saat ‫ ݐ‬ேିଵ Euler. Hampiran turunan U terhadap t pada ಿషభ ሻ ேିଵ ಿషభ ሻ ௎ሺௌǡ௧ ಿ ሻି௎ሺௌǡ௧ didefinisikan dengan saat ‫ݐ‬డ௎ሺௌǡ௧ ൎ

డ௧ డ௎ሺௌǡ௧ ಿషభ ሻ

௞ ௎ሺௌǡ௧ ಿ ሻି௎ሺௌǡ௧ ಿషభ ሻ

(17)

ൎhampiran turunan U terhadap (17) Subtitusi డ௧ ௞

dinyatakan sebagai ߙ ௝ ൌ ൣߙଵ ǡ ߙଶ ǡ ǥ ǡ ߙெିଵ ൧.

t pada Subtitusi Persamaan (17) ke Persamaan (11) hampiran turunan U terhadap

dari batas pada saat yakni Bataseksekusi eksekusi numerik ܵ௖ே , T, diperoleh

ே ேିଵ ‫ݑ‬௛ேିଵ ൌ ‫ݑ‬௛ே‫ݑ‬ሺܵሻ ൅ ݇‫ݑܮ‬ െ ݇‫ܨ‬ሺܵǡhampiran ܵ௖ே ሻ(18) Dengan adalah ௛ ሺܵሻsolusi ௛

an sehingga ܵ௖ே ൌ ܵ௟ titik nodal Sl sedemikihitungan, digunakan

mengalikannya kedua fungsi ruas Persamaan tes, dan fungsi ‫׎‬௜ ‫ܸ א‬௛ kesebagai

Perhitungan pada Saat tN

௝

௝

௝

Batas pada eksekusi ܵ௖ே , diperoleh Perhitungan Saatnumerik tN

Sdari lebihpada memudahkan perbatas Agar eksekusi saat T, yakni c(T)=E. hitungan, titikmemudahkan nodal Sl sedemikiSc(T)=E. digunakan Agar lebih per-

dimana ܵ௟ିଵ ൑ ܵ௟ ǡ ݈ ‫ א‬ሼͲǡͳǡʹǡ ǥ ǡ ‫ܯ‬ሽ. an sehingga ܵ௖ே൏ൌܵ௖ܵሺܶሻ ௟ dimana

66 66

ܵ௟ିଵ ൏ ܵ௖ ሺܶሻ ൑ ܵ௟ ǡ ݈ ‫ א‬ሼͲǡͳǡʹǡ ǥ ǡ ‫ܯ‬ሽ.

diperoleh t pada Persamaan (17) ke Persamaan (11) ேିଵ diperoleh ‫ݑ‬ ൌ ‫ݑ‬௛ே ሺܵሻ ൅ ݇‫ݑܮ‬௛ே ሺܵሻ െ ݇‫ܨ‬ሺܵǡ ܵ௖ே ሻ(18) ௛

ேିଵ ܷ ሺܵሻ ‫ݑא‬௛ேିଵ ܸ pada subruang Dipilih Dengan adalah solusiVh.hampiran

sebagai fungsiVh.tes, dan fungsi ܷ ேିଵ ሺܵሻ‫א׎‬ subruang Dipilih ௜ ‫ܸܸא‬௛pada (18), diperoleh ke kedua ruas Persamaan mengalikannya (18), diperoleh


‫ݑۃ‬௛ேିଵ ǡ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑۃ‬௛ே ൅ ݇‫ݑܮ‬௛ே െ ݇‫ܨ‬ሺܵǡ ܵ௖ே ሻǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬ ே

ଶ

ேିଵ ே ݇ߪே െ ݇‫ܨ‬ሺܵǡ ߲‫ݑ‬௛ ܵ ே߲‫׎‬ ௜ ‫ݑۃ‬ ݇‫ݑܮ‬ ௜ ‫ ۄ‬ൌ ‫ۃ‬ே‫ݑ‬ǡ௛‫׎‬൅ ௛ ‫ܵۃ‬ ൌ ௛ሺͳ െǡ ‫ݎ݇׎‬ሻ‫ݑۃ‬ ǡ ܵ௖ ሻǡ ‫ۄ׎‬௜ ‫ۄ‬ ௜‫ ۄ‬െ ௛ ʹଶ ߲ܵே ߲ܵ ݇ߪ ߲‫ݑ‬௛ ߲‫׎‬௜ ൌ ሺͳ െ ݇‫ݎ‬ሻ‫ݑۃ‬௛ே ǡ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬െ ݇ߪ ଶ ‫ݑ߲ ܵۃ‬௛ே ǡ ܵ ߲‫׎‬௜ ‫ۄ‬ ே ʹ ‫ ߲ܵ ܵۃ‬ǡ ܵ ߲ܵ ‫ۄ‬ ൌ ሺͳ െ ݇‫ݎ‬ሻ‫ݑۃ‬௛ ǡ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬െ ߲ܵ ʹଶ ߲ܵ ݇ߪ ߲‫ݑ‬ே ߲‫׎‬௜ ‫ ܵۃ‬௛ ǡ ܵ ே ‫ۄ‬ ൌ ሺͳ െ ݇‫ݎ‬ሻ‫ݑۃ‬௛ேଶǡ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬డ௨ െ೓ಿ ǡʹ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬െ ߲ܵ ݇‫ܨۃ‬ሺ‫ݏ‬ǡ ߲ܵ ܵ௖ ሻǡ ‫׎‬௜ ‫( ۄ‬19) ൅݇ሺ‫ ݎ‬െ ‫ ݍ‬െ ߪ ሻ ‫ܵۃ‬ డௌ ಿ డ௨೓

Perhitungan pada Saat ‫ ݐ‬௝ ǡ ݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ

j Solusipada hampiran Perhitungan Saat U ‫ ݐ‬௝ (S) ǡ ݆ ൌdihitung ܰ െ ʹǡ dengan ǥ ǡͳǡͲ

skema yang sama perhitungan Solusihampir hampiran Ujdengan (S) dihitung dengan N-1 pada . Perbedaannya terletak pada skemasaat yangt hampir sama dengan perhitungan

penggunaan skema tiga titik untuk hampiran pada saat tN-1 . Perbedaannya terletak pada

ǡ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬െ ݇‫ܨۃ‬ሺ‫ݏ‬ǡ (19) ܵ௖ே ሻǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬entri൅݇ሺ‫ ݎ‬െ ‫ݍ‬Misalkan െ ߪ ଶ ሻ ‫ ܵۃ‬matriks A memiliki డௌ

௝ penggunaan skema tiga untuk hampiran turunan U terhadap t di titik titik‫ݐ‬ (Kang et al,

௛ ‫׎ۃ‬ ǡ ‫׎ۃ‬௜ିଵ െ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬ൌ ǡ entri ‫ۄ׎‬ൌ ‫׎ۃ‬௜ାଵ െ௜ െ ଷ ଺ ‫׎‬ଵ ‫ ۄ‬௜ൌ matriks ‫ ܤ‬ൌ ൣܾ௜௝ ൧ dengan

௨ 2008:279). Persamaan (11) menjadi ଵ ௝ାଶ ௝ ೓ ሺௌሻି௨೓ ሺௌሻ ൅ ൫‫ݑܮ‬௛ ሺܵሻ ൅ ‫ݑܮ‬௛ ሺܵሻ൯ ଶ ೕశమ ଶ௞ ೕ ௨೓ ሺௌሻି௨೓ ሺௌሻ ଵ ௝ାଶ ௝ାଵ ሺܵሻ ൅ ‫ݑܮ‬௛௝ ሺܵሻ൯ ‫ܨ‬ሺܵǡ ܵଶ௞௖ ሻ ൅ ଶ ൫‫ݑܮ‬௛

ଶ௛

௛

matriks entri ‫׎ۃ‬Misalkan ǡ ‫׎ۃ‬௜ିଵAെmemiliki ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬ൌ ǡentri௜ െ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬ൌ ଺ ௛

ଷ ଶ௛

଺ ௛

‫׎ۃ‬௜ାଵ െ ‫׎‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ matriks ‫ ܤ‬ൌ ൣܾ௜௝ ௞ఙ൧మdengan డ‫׎‬ ‫ ܵۃ‬೔ ‫ۄ‬ entri ܾ௜௝ ൌ ሺͳ െ଺݇‫ݎ‬ሻ‫׎ۃ‬௝ െ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬െ డ‫׎‬ೕ െ ‫ ۄ ׎‬െ entri ܾ௜௝ ൌ ሺͳ െ ݇‫ݎ‬ሻ‫׎ۃ‬ ൅݇ሺ‫ ݎ‬െ ‫ ݍ‬െ ߪ ଶ ሻ‫ ܵۃ‬௝ ǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬.௜ డௌ డ‫׎‬ೕ

ଶ ௞ఙ మ ଶ

‫ܵۃ‬

డௌ డ‫׎‬೔ డௌ

‫ۄ‬

ଶ ൅݇ሺ‫ ݎ‬െ ‫ ݍ‬െ ሻ‫ܵۃ‬ ǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬. Misalkan f Nߪ merupakan vektor kolom seడௌ

Misalkan demikian

N

ே ே kolom ே seே ் f merupakan sehingga݂ ൌ ሾ݂vektor ଵ ǡ ݂ଶ ǡ ǥ ǡ ݂ெିଵ ሿ

ே ሿ் ே ‫ۄ‬,ଵே dengan݂௜ே sehingga݂ ൌ െ݇‫ܨۃ‬ሺܵǡ ܵே untuk i=1,2,…M-1 demikian ൌ‫׎‬௜ሾ݂ ǡ ݂ଶே ǡ ǥ ǡ ݂ெିଵ ௖ ሻǡ

atau dengan݂௜ே ൌ െ݇‫ܨۃ‬ሺܵǡ ܵ௖ே ሻǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬, untuk i=1,2,…M-1

atau ‫ ݇ ۓ‬൬‫ ݍ‬െ ‫ ܧݍ‬൰ ݄ܵ௜ ǡ ܵ௜ ൏ ܵ௖ே ۗ ܵ௠௔௫ ۖ ۖ ‫ܧݍ‬ ۖ ۖ ଶ൰ ݄ܵ ǡ ܵ ൏ ܵ ே ۗ ݇ ൬‫ݍ‬ െ ‫ۓ‬ ݄ܵ ݄ ‫݄ܵܧݍ‬ ‫݄ܧݎ‬ ௜ ௜ ௖ ௜ ݂௜ே ൌ ۖ݇ ൭ቆ ௜ܵെ ௠௔௫ ቇ ‫ݍ‬ െ ൅ ൱ ǡ ܵ௜ ൌ ܵ௖ே ۖ ʹ ͸ ܵ௠௔௫ ʹ ‫۔‬ ۘ ۖ ۖ ݄ܵ௜ ݄ଶ ‫݄ܵܧݍ‬௜ ‫݄ܧݎ‬ ேۖ ‫ܧݍ‬ ݂௜ே ൌ ۖ ݇ ൭ቆ െ ቇ ‫ݍ‬ െ ൅ ൱ ǡ ܵ ൌ ܵ ۖ ݇ ൬െ ே ௜ ௖ ۖ ݄ܵ ǡ ܵ ʹ ͸ ൅ ‫݄ܧݎ‬൰ ܵ௠௔௫ ʹ ‫۔‬ ௜ ൐ ܵ௖ ۘ ܵ௠௔௫ ௜ ۙ ‫ە‬ ۖ ۖ ۖ ݇ ൬െ ‫ ݄ܵ ܧݍ‬൅ ‫݄ܧݎ‬൰ ǡ ܵ ൐ ܵ ே ۖ ௜ (19) dapat ditulis ௜ ௖ maka, Persamaan dengan ܵ௠௔௫ ۙ ‫ە‬ ேିଵ ே ൌ ‫ ߙܤ‬ே ൅ ݂(19) (20) ‫ߙܣ‬ maka, Persamaan dapat ditulis dengan

‫ߙܣ‬

(20)pada saat t

ேିଵ Batas ேekseskusi ே

ൌ ‫ ߙܤ‬൅ ݂

N-1

di-

tentukanBatas dengan mendefinisikan ekseskusi pada saatparameter tN-1 direlaksasi yang dikaitkan dengan kparameter dan h, ߜ tentukan ߜdengan mendefinisikan

didefinisikan sebagai relaksasi ߜ yang dikaitkan dengan k dan h, ߜ

௝ 2008:279). Persamaan menjadi (Kang et al, turunan U terhadap t di(11) titik‫ݐ‬ ೕశమ

ೕ

௝ାଵ

ൌ

ൌ (21)

(21) ‫ܨ‬ሺܵǡ ܵ௖ ‫ݑ‬ሻ௝ାଶ danܵ௖௝ାଵ telah diketahui nilaiDimana ௛ ௝ାଶ

௝ାଵ

Dimana danܵ௖ telah diketahui nilainya dari‫ݑ‬௛ perhitungan sebelumnya. Dari Persamaan diperoleh sebelumnya. Dari nya dari (21) perhitungan ௝ାଵ ௝ାଶ ௝ ሺ‫ܫ‬ െ ݇‫ܮ‬ሻ‫ݑ‬௛ ሺܵሻ(21) ൌ ሺ‫ܫ‬diperoleh െ ݇‫ܮ‬ሻ‫ݑ‬௛ ൅ ʹ݇‫ܨ‬ሺܵǡ ܵ௖ ሻ (22) Persamaan

௝ାଵ ௝ Dipilih fungsi ‫ ׎‬௝ା‫א‬ଶ ൅ܸ௛ʹ݇‫ܨ‬ሺܵǡ sebagai ሺ‫ ܫ‬െ ݇‫ܮ‬ሻ‫ݑ‬ ܵ௖ fungsi ሻ (22) ௛ ሺܵሻ ൌ ሺ‫ ܫ‬െ ݇‫ܮ‬ሻ‫ݑ‬௜௛

test danDipilih mengalikan‫׎‬ ruas Perfungsi ‫׎‬ ‫ܸ א‬௛kedua sebagai fungsi ௜ ௜pada samaan diperoleh௜ pada kedua ruas Pertest dan (22) mengalikan‫׎‬ ௝ାଶ samaan (22)௛௝ ǡdiperoleh ‫ۃ‬ሺ‫ܫ‬ െ ݇‫ܮ‬ሻ‫ݑ‬ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬ൌ ‫ۃ‬ሺ‫ ܫ‬െ ݇‫ܮ‬ሻ‫ݑ‬௛ ǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬

௝ାଶ ௝ାଵ ‫ۃ‬ሺ‫ ܫ‬െ ݇‫ܮ‬ሻ‫ݑ‬௛௝ ǡ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬ൌ൅‫ܨ݇ʹۃ‬൫ܵǡ ‫ۃ‬ሺ‫ ܫ‬െ ݇‫ܮ‬ሻ‫ݑ‬ ‫׎‬௜ ‫ۄۄ‬ ܵ ௛ ൯ǡǡ ‫׎‬

Subtitusi

௜ ௖ ௝ାଵ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬ ൅‫ܨ݇ʹۃ‬൫ܵǡ ܵ௖ ke൯ǡPersamaPersamaan (19)

an (22) Subtitusi diperolehPersamaan (19) ke Persama݇ߪ ଶ ߲‫ݑ‬௛ ߲‫׎‬௜ ߲‫ݑ‬ ௝ an ሺͳ ൅(22) ‫ ۄ‬െ ݇ሺ‫ ݎ‬െ ‫ ݍ‬െ ߪ ଶ ሻ ‫ ܵۃ‬௛ ǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬ ‫ܵۃ‬ ǡܵ ǡ ‫׎‬௜ ‫ ۄ‬൅ leh ݇‫ݎ‬ሻ‫ݑۃ‬௛dipero ௝

ʹ

߲ܵ

߲ܵ

௝ ௝ାଶ ߲‫׎‬௜ ݇ߪ݇ߪଶ ଶ ߲‫ݑ‬ ௝௝ାଶ ሺͳ ‫ݑ߲ ܵۃܵۃ‬௛௛ ǡ ܵǡ ܵ ߲‫ۄ׎‬௜ െ ൅െ݇‫ݎ‬ሻ‫ݑۃ‬ ‫ ۄ‬൅݇ሺ‫ݎ‬ ݇ሺ‫ݎ‬െ െ‫ݍ‬ ‫ݍ‬ ൌ ሺͳ ݇‫ݎ‬ሻ‫ݑۃ‬௛௛ǡ ‫׎‬௜ǡ ‫׎ۄ‬൅ ௜‫ ۄ‬െ

ൌ ሺͳ െ

௝ାଶ ݇‫ݎ‬ሻ‫ݑۃ‬ ‫ݎ‬ሻ‫ݑۃ‬௛ ǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬ ݇

ʹʹ

߲߲ܵܵ

௝ାଶ

߲߲ܵܵ

௝

߲ܵ ௝ ௝ାଶ ߲‫ݑ‬ ‫ۄ‬ െ ߪߪଶଶሻሻ‫ݑ߲ܵۃܵۃ‬௛ ௛ ǡǡ ‫׎‬ െ ߲ܵ ‫׎‬௜௜‫ۄ‬ ߲ܵ ௝ାଶ

௝ାଶ ݇ߪ ଶ ߲‫ݑ‬௛௝ାଶ ߲‫׎‬௜ ߲‫ݑ‬௛ ǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬ ‫ܵۃ‬ ‫ ۄ‬൅ ݇ሺ‫ ݎ‬െ ‫ ݍ‬െ ߪ ଶ ሻ ‫ܵۃ‬ െ ǡܵ ʹ ߲ܵ ߲ܵ ߲ܵ

௝ାଵ ‫ۄ‬ ሺͳ െ ݇‫ݎ‬ሻ‫ܵݑۃ‬௛௝ାଶ ൌ െʹ݇‫ܨۃ‬൫ܵǡ ‫׎‬௜‫ۄ׎‬௜െ ௖ ǡ ൯ǡ

௝ାଶ

௝ାଶ

(23)

߲‫ݑ‬ ݇ߪ ଶ ߲‫ݑ‬௛ ߲‫׎‬௜ ‫ܵۃ‬ ‫ ۄ‬൅ ݇ሺ‫ ݎ‬െ ‫ ݍ‬െ ߪ ଶ ሻ ‫ ܵۃ‬௛ ǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬ ǡܵ ʹ ߲ܵ ߲ܵ ߲ܵ

(23)

ଶ didefinisikan sebagai ߜ ൌ ݉ܽ݇‫ݏ‬൫݉݅݊൫ሺ݇ ൅ ݇ ‫݄ כ‬ሻǡ ͳͲିସ ൯ǡ ͳͲି଼ ൯

െʹ݇‫ܨۃ‬൫ܵǡ ܵ௖ ൯ǡ ‫׎‬௜ ‫ۄ‬ Persamaan (23) dapat ditulis menjadi

sebagaiBatas berikut, ekseskusi numerik ditentukan

் ௝ାଶ ௝ ௝ ௝ ௝ ሺʹ‫ܣ‬ ൅ ʹ݂ߙ ௝ାଵ dengan ߙ௝ ൌ െ ൣߙ௜‫ܤ‬ሻߙ ǡ ߙଶ ǡ Ǥ Ǥ ൌ Ǥ ǡ ߙ‫ߙܤ‬ ெିଵ ൧ , untuk݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡʹǡͳǡͲǤ

ଶ ߜ ൌ ݉ܽ݇‫ݏ‬൫݉݅݊൫ሺ݇ ൅ ݇numerik ‫݄ כ‬ሻǡ ͳͲିସ ൯ǡ ͳͲି଼ ൯ Batas ekseskusi ditentukan ேିଵ

ே

ேିଵ

ܵ௖ ൌ berikut, ሼܵ௜ ൒ ܵ௖ ሃȁ‫ݑ‬௛ sebagai ଵஸ௜ஸெିଵ

ሺܵ௜ ሻ െ ܷሺܶǡ ܵሻȁ ൑ ߜሽ

ܵ௖ேିଵ ൌ ሼܵ௜ ൒ ܵ௖ே ሃȁ‫ݑ‬௛ேିଵ ሺܵ௜ ሻ െ ܷሺܶǡ ܵሻȁ ൑ ߜሽ ଵஸ௜ஸெିଵ

௝ାଵ

௝ ௝ାଶditulis men ሺʹ‫ܣ‬ Persamaan dapat െ ‫ܤ‬ሻߙ (23) ൌ ‫ߙܤ‬ ൅ ʹ݂ߙ ௝ାଵ jadi dengan ்

ߙ ௝ ൌ ൣߙ௜ ǡ ߙଶ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ߙெିଵ ൧ , untuk݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡʹǡͳǡͲǤ ௝

௝

௝

67 67


௝ାଵ

Misalkan ݂ ௝ାଵ ൌ ൣ݂ଶ

௝ାଵ

௝ାଵ ்

ǡ ǥ ǡ ݂ெିଵ ൧ dimana ௝ାଵ ்

‫ܧݍ‬ ௝ାଶ Misalkan ݂ ௝ାଵ ǡ ǥ ǡ ݂ெିଵ ൧ dimana െ ൌ൰ൣ݂ ݄ܵଶ௜ ǡ ܵ ‫ ݇ ۓ‬൬‫ݍ‬ ۗ ௜ ൏ ܵ௖

ܵ௠௔௫ ۖ ۖ ‫ܧݍ‬ ۖ ௝ାଶ ۖ െ ௜ ݄ଶ൰ ݄ܵ௜ ǡ ܵ ‫ ݇ ۓ‬൬‫݄ܵݍ‬ ‫݄ܵܧݍ‬௜ ‫݄ܧݎ‬ ௜ ൏ ܵ௖௝ାଶ ۗ ௝ାଵ ݂௜ ൌ ۖ݇ ൭ቆ ܵെ ௠௔௫ ቇ ‫ ݍ‬ െ ൅ ൱ ǡ ܵ௜ ൌ ܵ௖ ۖ ʹ ͸ ܵ௠௔௫ ʹ ‫۔‬ ۘ ۖ ۖ ଶ ‫݄ܵܧݍ‬௜ ‫݄ܧݎ‬ ݄ܵ௜ ݄ ௝ାଵ ௝ାଶ ۖ ‫ܧݍ‬ ݂௜ ൌۖ െ ቇ‫ ݍ‬െ ൅ ൱ ǡ ܵ௜ ൌ ܵ௝ାଶ ۖ݇݇ ൭ቆ ۖ ௖ ݄ܵ ǡ ܵ ͸ ൅ ‫݄ܧݎ‬൰ ܵ௠௔௫ ʹ ‫ ۔‬൬െ ʹ ۘ ௜ ൐ ܵ௖ ܵ௠௔௫ ௜ ۙ ‫ە‬ ۖ ۖ ۖ ݇ ൬െ ‫ ݄ܵ ܧݍ‬൅ ‫݄ܧݎ‬൰ ǡ ܵ ൐ ܵ ௝ାଶ ۖ ௜ ௜ ௖ ܵ௠௔௫ akan menjadi ۙ ‫ە‬ Persamaan (23) ௝ାଶmenjadi ሺʹ‫ܣ‬ Persamaan akan ൌ ‫ߙܤ‬ ൅ ʹ݂ ௝ାଵ െ ‫ܤ‬ሻߙ ௝(23)

(23)

ሺʹ‫ ܣ‬െ ‫ܤ‬ሻ untuk݆ ൌߙܰ௝ െ ǥ௝ାଶ ǡͳǡͲ. ൌ ʹǡ ‫ߙܤ‬ ൅ ʹ݂ ௝ାଵ

(23)

untuk݆ Persamaan ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ (23) ǡͳǡͲ. dapat diselesaikan

dengan Persamaan menggunakan berbagai elimi(23) dapat metode diselesaikan dengan menggunakan berbagai eliminilai ߙ ௝metode . nasi sehingga diperoleh ଴ ௝ nasi sehingga . harga opsi Solusi diperoleh hampiran ‫ݑ‬nilai ௛ ሺܵሻߙdan

‫ܥ‬ሺͲǡ ܵሻ dan ܵ௖௜ atau pesan “error”. Langkah-

atau pesan(1) “error”. Langkah‫ܥ‬ሺͲǡ ܵሻ dan langkah yangܵ௖௜dilakukan: Hitung: ‫ݑ‬௛ே dan

ே ேିଵ langkah dilakukan: (1) ܵHitung: ‫ݑ‬௛ேFOR dan ܵ Hitung: ‫ݑ‬௛ேିଵ dan ; (3) ௖ ; (2) yang ௖ ேିଵ ே ௝ ܵ ேିଵ ; ௝(3) FOR dan ܵ௖ , hitung ݆ܵ௖ൌ; ܰ(2)െ Hitung: ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ ‫ݑ‬DO ‫ݑ‬௛ dan ௖ ௛ ௝

௝

݆ ൌ ǡܰܵሻ; െ (4) ʹǡ ǥ‫ܥ‬ሺͲǡ ǡͳǡͲܵሻDO ‫ݑ‬௛ ଵdan hitung ሻǡ ‫ܥ‬ሺܵܵଶ௖ሻǡ, ǥǡ ‫ܥ‬ሺͲ ൌ ሾ‫ܥ‬ሺܵ ் ‫ܥ‬ሺܵ ; ‫ܥ‬ሺͲǡ (5) STOP. ‫ܥ‬ሺͲெିଵ ǡ ܵሻ;ሻሿ(4) ܵሻ ൌ ሾ‫ܥ‬ሺܵଵ ሻǡ ‫ܥ‬ሺܵଶ ሻǡ ǥǡ

‫ܥ‬ሺܵெିଵPerhitungan ሻሿ் ; (5) STOP.numerik untuk harga

dan batas eksekusi opsi tipe Amerika berPerhitungan numerik untuk harga dasarkan 3.1 dan 3.2, dan batasAlgoritma eksekusi opsi tipeAlgoritma Amerika bermenggunakan software R2010a pada dasarkan Algoritma 3.1Matlab dan Algoritma 3.2, komputer dengan spesifikasi CPU pada P4 menggunakan software Matlab R2010a 2.4GHz, 2040MB. komputerRAM dengan spesifikasi

CPU

P4

2.4GHz, RAM 2040MB.

଴ pada saat t=0 adalah ‫ܥ‬ሺܵ௜‫ݑ‬ǡ Ͳሻ ൌ ‫ݕ‬ሺܵ െ ‫ݑ‬௛଴ ሺܵ dan௜ ሻharga opsi Solusi hampiran ௜ሻ ௛ ሺܵሻ

Hasil Perhitungan Numerik Opsi Beli

ʹǡ ǥ ǡͳǡͲBatas ditentu kan sebagai eksekusi padaberikut. saat ݆ ൌ ܰ െ

tahui parameter-parameter inputdimana perhitungan Diperoleh suatu kasus dike-

Batas eksekusi saat௜ ሻ െ݆ ൌ ܰ ௜െ pada saat t=0 adalah ‫ܥ‬ሺܵ௜ ǡpada Ͳሻ ൌ ‫ݕ‬ሺܵ ሻ ‫ݑ‬௛଴ ሺܵ

ܵ ൌ ሃȁ‫ݑ‬௛ ሺܵ௜bሻerikut. െ ‫ݑ‬௛ ሺܵ௜ ሻȁ ൑ ߜൟ. ʹǡ௖ ǥ ǡͳǡͲଵஸ௜ஸெିଵ diten൛ܵ tu௜k൒anܵ௖sebagai ௝

௝ିଵ

௝

௝ିଵ

harga batas eksekusi ܵ௖ ൌ Penentuan ሃȁ‫ݑ‬dan ଵஸ௜ஸெିଵ ൛ܵ௜ ൒ ܵ௖ ௛ ሺܵ௜ ሻ െ ‫ݑ‬௛ ሺܵ௜ ሻȁ ൑ ߜൟ. ௝

௝ିଵ

௝

௝ିଵ

pada opsi jual harga dapat dan dilakukan secara Penentuan batas eksekusi analog. Transformasi opsi jual P pada opsi jual dapatharga dilakukan secara െ ܲሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ dimana menjadi ܹሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݕ‬௣ ሺܵሻ analog. Transformasi harga opsi jual P

ௌ೘ೌೣ‫ݐ‬ሻ ିௌൌ ‫ ݕ‬ሺܵሻ െ ܲሺܵǡ ‫ݐ‬ሻ dimana menjadi ܹሺܵǡ ‫ݕ‬ . ௣ ௣ ሺܵሻ ൌ ‫ܧ‬

‫ݕ‬௣ ሺܵሻ ൌ ‫ܧ‬

ௌ೘ೌೣ ௌ೘ೌೣ ିௌ ௌ೘ೌೣ

.

Simulasi Numerik Dibentuk algoritma untuk menentuSimulasi Numerik kan harga opsi dan batas eksekusi opsi beli Dibentuk algoritma untuk menentutipe kan Amerika. harga opsi dan batas eksekusi opsi beli tipe Amerika. Algoritma B.1

Diperoleh suatu kasus dimana Hasil Perhitungan Numerik Opsi Beli dikesebagai berikut: ܶ ൌ ͳǡ ߪinput ൌ ͲǤ͵ʹǡ ‫ ݎ‬ൌ ͲǤͳ, tahui parameter-parameter perhitungan ‫ݍ‬ ൌ ͲǤͲͷǡberikut: ‫ ܧ‬ൌ ͳͲ. ܶ Dipilih ൌ ͵͸ͷ dan sebagai ൌ ͳǡ ߪ ൌ‫Ͳܯ‬Ǥ͵ʹǡ ‫ ݎ‬ൌ ͲǤͳ,

ܰ ͵͸ͷ.‫ܧ‬Sebagian hasil perhitungan ‫ ݍ‬ൌൌͲǤͲͷǡ ൌ ͳͲ. Dipilih ‫ ܯ‬ൌ ͵͸ͷ harga dan dan beli pada saat ‫ݐ‬harga ൌ Ͳ, ܰ ൌbatas ͵͸ͷ.eksekusi Sebagianopsi hasil perhitungan disajikan Tabel 1. beli pada saat ‫ ݐ‬ൌ Ͳ, dan batas pada eksekusi opsi disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Hasil Perhitungan Numerik Opsi Beli

C Numerik Opsi Sc Beli Tabel 1.S Hasil Perhitungan 14.0000 1.1400 S C Sc 15.0548 1.5775 21.4795 14.0000 1.1400 15.5342 1.7994 15.0548 1.5775 16.0137 2.0355 21.4795 15.5342 1.7994 16.0137 2.0355 Dari Tabel 1, diperoleh harga opsi

Untuk Algoritma B.1 menentukan harga opsi beli

sebesar (dengan pembulatan). Dari$1.8 Tabel 1, diperoleh hargaUntuk opsi

C(0,S) Untuk dan batas eksekusi opsi Sc beli tipe menentukan hargabeli opsi

harga Gambar 1 memperlihatsebesarsaham $1.8 $15.5. (dengan pembulatan). Untuk

Amerika. ܶǡ ‫ݎ‬ǡ ‫ݍ‬ǡ ߪǡ ‫ܯ‬ǡ ܰ. C(0,S) danInput: batas ‫ܧ‬ǡ eksekusi opsi beliOutput: Sc tipe

kan hasil perhitungan harga hargamesh saham $15.5. Gambar 1numerik memperlihat-

Amerika. Input: ‫ܧ‬ǡ ܶǡ ‫ݎ‬ǡ ‫ݍ‬ǡ ߪǡ ‫ܯ‬ǡ ܰ. Output: 68 68

kan mesh hasil perhitungan numerik harga


Gambar 1. Mesh Hasil Numerik Harga Opsi Beli Gambar 1. Mesh Hasil Numerik Harga Opsi Beli opsi beli di seluruh domain D, sedangkan

hitam. Dapat dilihat bahwa harga opsi beli

Gambar eksekusi opsi beli 2dimemperlihatkan seluruh domain batas D, sedangkan

lebih sama dengan nilai fungsi hitam.besar Dapatatau dilihat bahwa harga opsi beli

opsi beli. 2 memperlihatkan batas eksekusi Gambar

payoff opsi beli. itu, harga opsi beli lebih besar atau Selain sama dengan nilai fungsi

Pada Gambar 1, fungsi payoff opsi opsi beli.

monoton harga saham, dan payoff opsinaik beli.terhadap Selain itu, harga opsi beli

beli ditunjukan dengan kurvapayoff berwarna Pada Gambar 1, fungsi opsi

monoton turun terhadap harga waktu.saham, Pada saat naik terhadap dan

beli ditunjukan dengan kurva berwarna

monoton turun terhadap waktu. Pada saat

22

Batas Eksekusi Batas Eksekusi (Sc) (Sc)

22 21 21 20 20 19 19 18 18 17 17 16 16

0

50

100

150

200 Waktu (t)

250

300

350

400

0

50

100

150

200 Waktu (t)

250

300

350

400

Gambar 2. Plot Hasil Numerik Batas Eksekusi Opsi Beli Gambar 2. Plot Hasil Numerik Batas Eksekusi Opsi Beli

69 69


‫ ݐ‬ൌ Ͳ, kurva harga opsi beli berupa kurva

perusahaan ABC memiliki volatilitas se-

luwarsa harga opsi beli memiliki bunga bebas lengkung.kurva Semakin mendekati tanggal kada-

resiko sebesar 10%. besar diketahui 0.32, sedangkan suku bunga bebas

lengkung. Semakin kadavolatilitas se‫ ݐ‬ൌ Ͳ, kurva harga mendekati opsi beli tanggal berupa kurva

besar 0.32, ABC sedangkan suku volatilitas bunga bebas perusahaan memiliki se-

bentuk kurvaopsi fungsi opsi luwarsamendekati kurva harga belipayoff memiliki

Dari data sebesar tersebut 10%. diketahui parameterresiko diketahui

hui parameterbeli, ‫ ݐ‬ൌpayoff ܶ, kurva bentuksedangkan mendekati pada kurva saat fungsi opsi

parameter input perhitungan sebagai Dariuntuk data tersebut diketahui parameter-

ngan sebagai harga opsi beli merepresentasikan beli, sedangkan pada saat ‫ ݐ‬ൌ ܶ, fungsi kurva

berikut: ܶ ൌ ͳǡinput ߪ ൌ ͲǤ͵ʹǡ ‫ ݎ‬ൌ ͲǤͳ sebagai ‫ݍ‬ൌ parameter untuk perhitungan

nodal, Pada sedangkan selama domainumur waktuopsi terdapat 365 satu titik itungan yang

diperoleh, 2. Sebagian pada hasilTabel perhitungan yang N 365 . disajikan

ൌ ͲǤͳ

365

opsi ‫ݍ‬payoff ൌ harga opsi beli. beli merepresentasikan fungsi

Padabeli. domain waktu terdapat 365 titik payoff opsi dan tahun. setiap opsi titik selama nodal pada nodal, Akibatnya, sedangkan umur satu

2.

berikut: ܶ ൌ ͳǡDipilih ߪ ൌ ͲǤ͵ʹǡM ‫ ݎ‬ൌ 365 ͲǤͳ ͲǤͲͷǡ ‫ ܧ‬ൌ ͳͲ.

‫ݍ‬dan ൌ

M 365 yang ͲǤͲͷǡ ‫ ܧ‬5ൌ. ͳͲ. Dipilih dan Sebagian hasil perhitungan N 36 diperoleh, disajikan pada Tabel 2.

domain waktu menunjukkan tahun. Akibatnya, setiap titik satu nodalsatuan pada

Tabel 2. Hasil Perhitungan Numerik Opsi Jual

hari. Padawaktu Gambar 2, dapat dilihat domain menunjukkan satuperilaku satuan erik Opsi Jual

C Numerik Opsi Sp Jual Tabel 2.S Hasil Perhitungan 14.0000 6.0298 S C Sp 15.0548 5.5420 14.0000 6.0298 2.9726 15.5342 5.3335 15.0548 5.5420 2.9726 16.0137 5.1327 15.5342 5.3335

Sp

monoton dari 2, batas eksekusi beli hari. Padaturun Gambar dapat dilihat opsi perilaku terhadap dapat dilihat pada hari monoton waktu, turun dari batas eksekusi opsi opsi beli

dibeli (‫ ݐ‬ൌdapat Ͳ) sampai opsi hari berumur 2.9726 akan terhadap waktu, dilihat pada opsi 217 ൌൌ ʹͳ͹), batas eksekusi opsi akan hari dibeli(‫ݐ( ݐ‬ Ͳ) sampai opsi berumur bernilai pembulatan). 217 hari$21.5 (‫ ݐ‬ൌ(dengan ʹͳ͹), batas eksekusiSelanopsi

16.0137

5.1327

Dari hasil perhitungan yang disajikan

jutnya akan terusSelanturun bernilaibatas $21.5eksekusi (denganopsi pembulatan). yang disajikan

pada Tabel 2, diperoleh hargayang opsidisajikan sebesar Dari hasil perhitungan

sampai titik eksekusi terendah,opsi yakni pada jutnya batas akan terustanggal turun opsi sebesar

$5.3 Olehopsi karena itu, pada (dengan Tabel 2,pembulatan). diperoleh harga sebesar

kadaluwarsa (‫ ݐ‬ൌ ͵͸ͷ) sebesar sampai titik opsi terendah, yakni pada $16. tanggal eh karena itu,

investor sebaiknya tidak membeli karena $5.3 (dengan pembulatan). Oleh opsi karena itu,

eli opsi karena kadaluwarsa opsi (‫ ݐ‬ൌ ͵͸ͷ) sebesar $16.

harga opsi di pasartidak seharga $6, lebih mahal investor sebaiknya membeli opsi karena

Misalkan pada tanggal Juni 2012 Hasil Perhitungan Numerik Opsi7 Jual

Cputime dariperhitungan perhitungan$5.3. menggunadari harga opsi hasil

suatu kontrak jualtanggal tipe Amerika atas an menggunaMisalkanopsi pada 7 Juni 2012

kan Algoritma 3.1 perhitungan adalah 2.0588 detik. Cputime dari mengguna-

saham perusahaan dijual sehargaatas $6 2.0588 detik. suatu kontrak opsi ABC jual tipe Amerika

Selanjutnya, Gambar memperlihatkan mesh kan Algoritma 3.1 3adalah 2.0588 detik.

dengan masa berlakuABC opsi dijual selamaseharga satu tahun lihatkan mesh saham perusahaan $6

hasil perhitungan numerik harga opsi jual di Selanjutnya, Gambar 3 memperlihatkan mesh

sebesar $16. ga opsi jualdan di harga dengan masaeksekusi berlaku opsi selama satu Harga tahun

seluruh domain D.numerik harga opsi jual di hasil perhitungan

saham perusahaan ABCsebesar pada tanggal Juni dan harga eksekusi $16. 7Harga

Gambar 3, fungsi payoff opsi seluruhPada domain D.

2012 $15.5.ABC Diasumsikan perusahaan i payoff opsi sahamsebesar perusahaan pada tanggal 7 Juni

jual ditunjukan dengan kurvapayoff berwarna Pada Gambar 3, fungsi opsi

ABC membagikan dividen secara kontinu va berwarna 2012 sebesar $15.5. Diasumsikan perusahaan

hitam. Dapat dilihat bahwakurva harga berwarna opsi jual jual ditunjukan dengan

dengan proporsi konstan sebesar Dari arga opsi jual ABC membagikan dividen secara5%. kontinu

lebih sama dengan nilai fungsi hitam.besar Dapatatau dilihat bahwa harga opsi jual

data harga5%.saham n nilai fungsi denganhistoris proporsi diketahui konstan sebesar Dari

payoff opsi jual. itu, harga opsi jual lebih besar atau Selain sama dengan nilai fungsi

arga opsi jual data

70 payoff opsi jual. Selain itu, harga opsi jual

Hasil Perhitungan Numerik Opsi Jual , lebih mahal $5.3.

70

historis

diketahui

harga

saham

dari hasil perhitungan hargaharga opsiopsi di pasar seharga $6,$5.3. lebih mahal

70


Gambar 3. Mesh Hasil Numerik Harga Opsi Jual Gambar 3. Mesh Hasil Numerik Harga Opsi Jual monoton turun terhadap harga saham, dan kurva harga opsi jual merepresentasikan waktu. saat‫ݐ‬dan ൌ monoton naik turunterhadap terhadap hargaPada saham,

fungsi payoff kurva harga opsi opsijual. jual merepresentasikan

Ͳ, kurvanaik harga opsi waktu. jual berupa kurva monoton terhadap Pada saat‫ݐ‬ ൌ

Pada opsi domain fungsi payoff jual. waktu terdapat 365

tanggal kadaluwarsa harga mendekati opsi jual lengkung. Selanjutnya,kurva semakin

satu nodal, tahun. sedangkan Akibatnya, umur setiap opsi titik selama nodal titik

memilki kadaluwarsa bentuk mendekati kurvaopsi fungsi tanggal kurva harga jual

pada tahun. domainAkibatnya, waktu menunjukkan satu satu setiap titik nodal

payoff opsibentuk jual, sedangkan saat ‫ݐ‬fungsi ൌ ܶ, memilki mendekatipada kurva

satuan domain hari. Pada Gambar 4, dapat dilihat pada waktu menunjukkan satu

lengkung. semakin mendekati Ͳ, kurva Selanjutnya, harga opsi jual berupa kurva

payoff opsi jual, sedangkan pada saat ‫ ݐ‬ൌ ܶ,

titik nodal, umur terdapat opsi selama Pada sedangkan domain waktu 365

satuan hari. Pada Gambar 4, dapat dilihat

16

16 14

Batas Eksekusi (Sp) (Sp) Batas Eksekusi

14 12 12 10 10 8 8 6 6 4 4 2 0

50

100

150

250

300

350

400

2 0

200 Waktu (t)

50

100

150

200 Waktu (t)

250

300

350

400

Gambar 4. Plot Hasil Numerik Batas Eksekusi Opsi Jual Gambar 4. Plot Hasil Numerik Batas Eksekusi Opsi Jual

71 71


perilaku monoton naik dari batas eksekusi

awal dan syarat batas; (2) Mengasumsikan

opsi jualmonoton terhadapnaik waktu, opsi perilaku dari pada batas hari eksekusi engasumsikan

solusi darisyarat sistem sebagai anggota ruang awal dan batas; (2) Mengasumsikan

akan (‫ ݐ‬ൌ Ͳ) sampai berumur 332 opsi dibel jual terhadap waktu,opsi pada hari opsi nggota ruang

Hilbert. Trasnformasi sistemanggota agar solusi solusi dari sistem sebagai ruang

agar solusi hari ൌ ͵͵ʹ), batas eksekusi opsi bernilai akan (‫ݐ‬dibel (‫ ݐ‬ൌ Ͳ) sampai opsi berumur 332

memenuhi syarat keanggotaan Hilbert. Trasnformasi sistem ruang agar Hilbert. solusi

weak formulaeksekusi opsi akan terus Selanjutnya naik sampaibatas titik $3 (dengan pembulatan).

tion; (3) Mencari hampiran sistem pada Mengubah modelsolusi ke bentuk weak formula-

ruang Hilbert. $3 pembulatan). Selanjutnya batas hari(dengan (‫ ݐ‬ൌ ͵͵ʹ), batas eksekusi opsi bernilai

Mengubah model keanggotaan ke bentuk weak memenuhi syarat ruangformulaHilbert.

an sistem pada tertinggi, yakniakan padaterus tanggal eksekusi opsi naik kadaluwarsa sampai titik

subruang berdimensi dengan tion; (3) Mencari solusi hingga hampiran sistem basis pada

dengan basis opsi ( t 365 ) sebesar tertinggi, yakni pada $16. tanggal kadaluwarsa

fungsi hat. berdimensi hingga dengan basis subruang

opsi ( t

365 ) sebesar $16.

fungsi hat.

KESIMPULAN

Daftar Pustaka

Penentuan batas eksekusi opsi tipe KESIMPULAN

Daftar Pustaka Black, F dan Scholes, M. 1973. The pricing of option dan corporate liabilities. The Black, F dan Scholes, M. 1973. The pricing Journal of Political Economy Vol. 81, of option dan corporate liabilities. The no 3. JSTOR Journal of Political Economy Vol. 81, 3. JSTOR Hull,noJohn. 2006. Option, futures, and other

AmerikaPenentuan model Black-Scholes menggunakan batas eksekusi opsi tipe 3. The pricing Finite Method dibagi menjadi AmerikaElements model Black-Scholes menggunakan abilities. The omy Vol. 81, beberapa tahap sebagai berikut: (1) MemforFinite Elements Method dibagi menjadi

mulasikan batas eksekusi secara beberapa tahap sebagai berikut: opsi (1) Memfores, and other matematis sifat-sifat yangsecara telah mulasikan berdasarkan batas eksekusi opsi New Jersey: diketahui; (2) Memilih sifat-sifat parameteryang relaksasi matematis berdasarkan telah

untuk mengubah formulaparameter batas eksekusi opsi diketahui; (2) Memilih relaksasi r-dasar teori yang diperoleh menjadi untuk telah mengubah formula batas formula eksekusibatas opsi s sekuritas. eksekusi opsi numerik;menjadi (3) Menentukan yang telah diperoleh formula batas

2008. Finite eksekusi opsi numerik umur opsi. numerik;sepanjang (3) Menentukan batas price and the harga opsi tipe Amerika eksekusiPenentuan opsi numerik sepanjang umur opsi. n call and put No.4. model Penentuan Black-Scholes Finite hargamenggunakan opsi tipe Amerika

Elements Method dibagi menjadi beberapa Black-Scholes menggunakan Finite l methods model in B. Cambrigde: tahap berikut: (1)dibagi Memodelkan tipe Elements Method menjadi opsi beberapa ss. Amerika berdasarkan kerangka pemodelan tahap berikut: (1) Memodelkan opsi tipe modelling Black-Scholes. of Model yang diperoleh berupa Amerika berdasarkan kerangka pemodelan s. Desertasi. sistem persamaan yangyang terdiridiperoleh atas persamaan Black-Scholes. Model berupa

derivative securities. New Jersey: Hull, John. 2006. Option, futures, and other Prentice Hall. derivative securities. New Jersey: Prentice Hall.2001. Dasar-dasar teori Husnan, Suad.

portofolio dan analisis sekuritas. Husnan, Suad. 2001. Dasar-dasar teori Yogyakarta: AMPYKPN. portofolio dan analisis sekuritas. Yogyakarta: Kang, S.K, dan AMPYKPN. T. Kwon, Y. 2008. Finite element methods for the price and the Kang, S.K, dan T. Kwon, Y. 2008. Finite free boundary of American call and put element methods for the price and the option. J.KSIAM Vol 12, No.4. free boundary of American call and put option. J.J.KSIAM Vol 12, No.4. Kiusalaas, 2005. Numerical methods in engineering with MATLAB. Cambrigde: Kiusalaas, J. 2005. Numerical methods in Cambrigde University Press. engineering with MATLAB. Cambrigde: Cambrigde Press. Pham, K. 2007. University Finite element modelling of multi-asset barrier options. Desertasi. Pham, K. 2007. Finite element modelling of University of Reading. multi-asset barrier options. Desertasi. University of Reading.

diferensial parsial orde nonhomogen, nilai sistem persamaan yangdua terdiri atas persamaan diferensial parsial orde dua nonhomogen, nilai

72 72

72

PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM TIPE AMERIKA DENGAN PEMBAGIAN

Recommend Documents