METODE BEDA HINGGA UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI SAHAM TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN Lidya Krisna Andani Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the determination of the stock price with the dividend distribution. The model which is used is Black-Scholes model in the form of partial differential equations. Explicit finite difference method is used in order to find numerical solutions. Keywords: Option, Black-Scholes model, explicit finite difference method ABSTRAK Artikel ini membahas penentuan harga saham dengan pembagian dividen, model yang digunakan adalah model Black-Scholes yang berupa persamaan diferensial parsial. Metode beda hingga eksplisit digunakan untuk menentukan solusi secara numerik. Kata kunci: Opsi, model Black-Scholes, metode beda hingga eksplisit 1. PENDAHULUAN Opsi merupakan suatu jenis kontrak antara dua pihak, dimana pihak tertentu memberikan hak kepada yang lain untuk membeli atau menjual aset tertentu pada waktu dan harga yang telah ditetapkan [5, h. 205]. Secara umum ada dua jenis opsi, yaitu opsi beli (call option) dan opsi jual (put option). Opsi beli adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli saham dalam jumlah tertentu pada waktu dan harga yang telah ditentukan, sedangkan opsi jual adalah opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual saham tertentu pada jumlah, waktu dan harga yang telah ditentukan. Berdasarkan tipenya, opsi dibedakan menjadi opsi tipe Amerika yang mana opsi buyer dapat melaksanakan hak opsinya kapan saja selama tanggal pelaksanaan, dan opsi tipe Eropa yaitu opsi yang mana hak pembelian atau penjualan hanya dapat dilaksanakan pada tanggal jatuh tempo yang telah ditentukan dalam kontrak opsi. Salah satu model yang dapat digunakan untuk menentukan harga opsi adalah 1
model Black-Scholes yang dikemukakan oleh Fisher Black-Myron Scholes pada tahun 1973. Ada beberapa asumsi yang dikemukakan dalam menentukan harga opsi pada model Black Scholes, antara lain saham tidak memberikan pembagian dividen, tidak ada biaya transaksi, suku bunga bebas resiko, serta perubahan harga saham mengikuti pola acak. Namun sebagian besar opsi saham yang diperjual belikan pada kenyataannya membayarkan dividen [2, h. 286]. Penentuan harga opsi saham telah banyak diteliti oleh beberapa peneliti. Irwan [3] menggunakan model Black-Scholes dalam menentukan nilai eksak dari harga opsi tipe Eropa. Siswanto et al. [4] menentukan harga opsi pada model BlackScholes menggunakan metode beda hingga Dufort-Frankel. Dalam artikel ini penulis memfokuskan pembahasan dalam model Black-Scholes dengan menggunakan asumsi dari opsi tipe Eropa dengan pembagian dividen, kemudian menyelesaikan persamaan diferensialnya menggunakan metode beda hingga eksplisit. 2. PERSAMAAN DIFERENSIAL BLACK-SCHOLES Pada bagian ini dibahas mengenai persamaan diferensial stokastik untuk harga saham dan derivatif model Black-Scholes dengan pembagian dividen. 2.1 Model Harga Saham Menurut Willmott et al. [6, h. 91], untuk memperoleh harga saham dengan adanya pembagian dividen pada keadaan constant market diperlukan suatu model harga saham. Salah satu model harga saham yang dimaksud adalah persamaan diferensial stokastik dengan mengasumsikan tingkat bunga r dan dividen D0 adalah konstan. Dari kedua asumsi tersebut, dividen dapat ditulis dengan D0 Sdt. Misalkan harga saham pada waktu t adalah S. Harga saham berubah dari S menjadi S +dS dari waktu t ke waktu t+dt. Model hasil pengembalian (return) dari S yang dinotasikan dengan dS/S dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan bahwa hasil pengembalian dS/S mendekati nilai rata-ratanya selama perubahan waktu t. Hal ini dapat dinotasikan dengan µdt, dimana µ adalah ukuran tingkat rata-rata pertumbuhan aset. Berikutnya adalah memodelkan perubahan acak pada harga saham yang tidak diketahui, yaitu perubahan persentase hasil pengembalian pada selang waktu ∆t tanpa memperhatikan harga saham. Ini memberikan penjelasan bahwa deviasi standar pada selang waktu dt sebanding dengan perubahan harga saham. Hal ini dapat dinotasikan dengan σdw, dimana σ disebut dengan volatilitas yang merupakan ukuran deviasi standar dari hasil pengembalian. Kedua pemisalan di atas jika terdapat pembagian dividen maka harga saham akan berpengaruh setiap waktu, sehingga ukuran tingkat rata-rata pertumbuhan harga aset saham (µ) harus dikurangi dengan dividen (D0 ) yang diterima dapat disusun menjadi dS = σdw + (µ − D0 )dt, S
(1)
2
dengan µ : nilai ekspektasi pengembalian saham, σ : volatilitas saham yang merupakan standar deviasi dari pengembalian, w : gerak Brownian atau proses Wiener, D0 : Dividen.
2.2 Derivatif Model Black-Scholes dengan Pembagian Dividen Diketahui lema Itˆ o untuk f (S, t) terdiferensialkan sebanyak (n + 1) kali di titik (S0 , t0 ) adalah ∆f =
∂f ∂f 1 ∂2f ∂2f 1 ∂ 2f 2 2 ∆S + ∆t + ∆S + ∆S∆t + ∆t + · · · ∂S ∂t 2 ∂S 2 ∂S∂t 2 ∂t2
(2)
V (S, t) merupakan opsi pada saham S dan waktu t. Jika diketahui perubahan harga saham dS = σSdw + (µ − D0 )Sdt, maka persamaan (2) menjadi ( ) ∂V ∂V ∂V 1 2 2 ∂V 2 dV = σS dw + (µ − D0 )S + + σ S dt. (3) ∂S ∂S ∂t 2 ∂S 2 Portofolio adalah gabungan dari beberapa aset. Portofolio dikatakan konstan sehingga mempunyai pendapatan yang sama dengan saham jangka pendek lainnya yang bebas resiko. Diketahui nilai portofolio π yang terdiri dari opsi V dengan perubahan saham pada jangka pendek, yaitu π = V − ∆S, ∂V dengan ∆S = , maka untuk perubahan harga portofolio dπ pada interval waktu ∂S singkat dt dengan adanya pembagian dividen adalah ( ) ∂V 1 2 2 ∂ 2V ∂V + σ S − D0 S dt. (4) ∂t 2 ∂S 2 ∂S Diketahui portofolio bebas resiko adalah dπ = rπdt, dimana r adalah suku bunga bebas resiko. Persamaan (4) menjadi 1 ∂V ∂ 2V ∂V + σ 2 S 2 2 +(r − D0 )S − rV = 0. ∂t 2 ∂S ∂S
(5)
Persamaan (5) merupakan persamaan diferensial Black-Scholes yang digunakan untuk menentukan harga opsi.
3
3. METODE BEDA HINGGA UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI SAHAM TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN Diketahui diskritisasi untuk metode beda hingga eksplisit pada persamaan (5) adalah sebagai berikut: S = i∆S,
dan V = Vij ,
∂V V j+1 − Vij , = i ∂t ∆t j j Vi+1 − Vi−1 ∂V , = ∂S 2∆S j j Vi+1 − 2Vij + Vi−1 ∂ 2V = , ∂S 2 ∆S 2 dengan mensubstitusi diskritisasi dari metode beda hingga eksplisit pada persamaan (5) diperoleh ( ) j j ) Vi+1 − Vi−1 Vij+1 − Vi j 1 2 2 ( j j j + σ i Vi+1 − 2Vi + Vi−1 + (r − D0 )i − rVij = 0. ∆t 2 2 Dihasilkan bentuk yang lebih sederhana dengan manipulasi aljabar, yaitu j j Vij+1 = An Vi−1 + Bn Vij + Cn Vi+1 ,
dengan An = dan
(6)
) 1( (r − D0 )i − σ 2 i2 ∆t, 2
( ) Bn = 1 + σ 2 i2 + r ∆t,
serta Cn = −
) 1( 2 2 σ i + i(r − D0 ) ∆t. 2
3.1 Penentuan Syarat Batas Opsi Eropa dengan Pembagian Dividen Berikut diberikan syarat batas kiri, batas kanan dan batas atas untuk opsi beli dan opsi jual tipe Eropa dengan pembagian dividen. Batas Kiri Batas kiri didefinisikan sebagai batas dengan nilai S = 0. Oleh karena S = i∆S, maka S = 0 mengakibatkan i = 0. Diperoleh nilai dari A0 yaitu A0 =
) 1( (r − D0 )i − σ 2 i2 ∆t → A0 = 0. 2 4
Nilai B0 adalah
( ) B0 = 1 + σ 2 i2 + r ∆t → B0 = 1 + r∆t.
Nilai C0 adalah
) 1( 2 2 σ i + i(r − D0 ) ∆t → C0 = 0. 2 Dengan demikian, nilai pada batas kiri yaitu ketika S = 0 adalah C0 = −
V0j+1 = (1 + r∆t) V0j . Batas Kanan Batas kanan didefinisikan sebagai batas ketika nilai S = Sa , yaitu ketika i = nS dimana n adalah banyaknya partisi pada interval [0, Sa ]. Diperoleh nilai dari AnS adalah An =
) ) 1( 1( (r − D0 )i − σ 2 i2 ∆t → AnS = (r − D0 )nS − σ 2 nS 2 ∆t. 2 2
Nilai dari BnS adalah ( ) ( ) Bn = 1 + σ 2 i2 + r ∆t → BnS = 1 + σ 2 nS 2 + r ∆t. Nilai dari CnS adalah Cn = −
) ) 1( 2 2 1( σ i + i(r − D0 ) ∆t → CnS = − σ 2 nS 2 + nS(r − D0 ) ∆t. 2 2
Dengan demikian, pada saat i = nS diperoleh nilai batas kanan yaitu j+1 j j j VnS = AnS VnS−1 + BnS VnS + CnS VnS+1 .
(7)
j tidak terdefinisi pada diskritisasi interval [0, Sa ], maka Oleh karena nilai VnS+1 j VnS+1 dapat didekati dengan j j j . VnS+1 = 2VnS − VnS−1
Persamaan (7) dapat dituliskan kembali menjadi j j j VnS+1 = (AnS − CnS )VnS−1 + (BnS + 2CnS )VnS ,
(8)
dengan AnS − CnS = −(σ 2 nS 2 )∆t, dan BnS + 2CnS = 1 + ((r − D0 )nS + r)∆t.
5
Batas Atas Batas atas merupakan batas dimana nilai dari t = Ta yang terpenuhi ketika j = n, dimana n adalah banyaknya partisi yang dilakukan pada interval [0, Ta ] yang dihitung dengan persamaan Cin = max (i∆S − K, 0) Pin = max (K − i∆S, 0)
untuk opsi beli, untuk opsi jual.
3.2 Simulasi Numerik Sebagai ilustrasi untuk menghitung harga opsi beli dan opsi jual dari saham Barnes Group Inc, diberikan contoh sebagai berikut: Berdasarkan historical price saham Barnes Group Inc [1] yang diperdagangkan pada 02 Januari 2015 s/d 30 April 2015, diketahui waktu T yaitu 0.224 tahun (dengan mengambil 1 tahun=365 hari), harga pelaksanaan K adalah $35, harga saham pada awal perdagangan S = $36.81, tingkat bunga bebas resiko r = 0.79%, dividen D0 = 0.12, dan volatilitas harga saham sebesar σ = 3.73%. Diperoleh perhitungan harga opsi beli dan opsi jual tipe Eropa dengan pembagian dividen menggunakan software Matlab adalah sebagai berikut: (b)
(a) 35
0.9
30
Harga Opsi Jual (P(S,t))
Harga Opsi Beli (C(S,t))
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
20
15
10
5
0.1 0
25
0
5
10
15
20
25
Harga Saham (S)
30
35
40
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Harga Saham (S)
Gambar 1: Grafik Opsi Beli dan Opsi Jual Tipe Eropa dengan Pembagian Dividen (a) Opsi Beli (b) Opsi Jual Setelah dihitung menggunakan software Matlab, diperoleh harga opsi tipe Eropa dengan pembagian dividen untuk opsi beli sebesar $1.81 dan opsi jual sebesar $0. Untuk opsi beli, diketahui harga saham S pada akhir kontrak atau jatuh tempo yaitu pada tanggal 30 April 2015 adalah $40.10 lebih besar dari harga kesepakatan K yaitu sebesar $35, ini berarti S > K. Pada kondisi ini sangat memungkinkan 6
bagi investor untuk melakukan eksekusi, maka investor akan untung sebesar selisih harga saham S dengan harga kesepakatan K yaitu $40.10 − $35 = $5.1. Tetapi apabila pihak pertama dalam hal ini penjual opsi beli memperjualkan opsi belinya sebesar $1.81 (berdasarkan model Black-Scholes), maka dalam situasi ini penjual opsi beli mencapai keuntungan sebesar $5.1. Tetapi apabila pihak kedua dalam hal ini pembeli opsi beli tidak melakukan eksekusi, maka investor hanya akan rugi sebesar harga premi yaitu sebesar $1.81. Sedangkan untuk opsi jual dapat dilihat bahwa harga pelaksanaan K lebih rendah daripada harga saham pada tanggal 02 Januari 2015 yaitu pada saat dimulainya kontrak S sebesar $36.81. Ini berarti nilai opsi jual juga rendah yaitu $0. Keadaan ini dinamakan out of the money. Investor otomatis tidak akan menggunakan haknya karena opsi jual bernilai 0. Berikut diberikan contoh lainnya dalam menghitung harga opsi beli dan opsi jual tipe Eropa dengan menggunakan pembagian dividen pada harga saham Barnes Group Inc dengan tiga harga saham yang berbeda. Misalkan investor A, B, dan C melakukan investasi dengan memilih opsi sebagai investasi pada saham Barnes Group Inc dan jangka waktu berinvestasi selama 82 hari atau 0.224 tahun. Diketahui harga saham S yang beredar pada awal kontrak adalah $35.21, $37.40, dan $40.90, harga kesepakatan K untuk opsi beli adalah $36.31 dan opsi jual adalah $41.25, dividen D0 = 0.12, tingkat suku bunga bebas resiko r= 0.079% dan volatilitas harga saham σ= 3.73%. Diperoleh harga opsi beli dan opsi jual tipe Eropa dengan pembagian dividen menggunakan software matlab adalah sebagai berikut: (b)
(a) 45
5 S=35.21 S=37.4 S=40.9
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1
35 30 25 20 15 10 5
0.5 0
S=35.21 S=37.4 S=40.9
40
Harga Opsi Jual (P(S,t))
Harga Opsi Beli (C(S,t))
4.5
0
5
10
15
20
25
30
Harga Saham (S)
35
40
45
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Harga Saham (S)
Gambar 2: Grafik Opsi Beli dan Opsi Jual Tipe Eropa dengan Pembagian Dividen pada Saham Barnes Group Inc dengan Perbedaan Ketiga Harga Saham (a) Opsi Beli (b) Opsi Jual Setelah dihitung menggunakan software Matlab, diperoleh harga opsi beli investor A, B, dan C untuk ketiga harga saham yang berbeda adalah $0, $1.09, dan $4.59, sedangkan untuk harga opsi jualnya adalah $6.04, $3.85, dan $0.35. 7
Diketahui harga saham S pada waktu jatuh tempo untuk opsi beli dan opsi jual adalah $40.10. Pada opsi beli terlihat bahwa harga saham S pada waktu jatuh tempo lebih besar dari harga kesepakatan K yaitu $36.31. Hal ini menyebabkan S > K sehingga diperoleh harga opsi beli pada jatuh tempo sebesar $3.79. Sedangkan untuk opsi jual terlihat bahwa harga kesepakatan lebih besar dari harga saham pada waktu jatuh tempo, ini berarti K > S sehingga harga opsi jual pada jatuh tempo adalah $1.15. Pada grafik opsi beli akan lebih menguntungkan bagi investor C untuk melakukan eksekusi pada waktu jatuh tempo dibandingkan dengan investor A dan B, karena pada waktu jatuh tempo harga opsi beli lebih murah dibandingkan perhitungan yang dilakukan di awal kontrak. Sedangkan untuk investor A dan B dianjurkan untuk tidak menggunakan haknya yaitu melakukan eksekusi opsi beli di akhir kontrak karena akan menyebabkan kerugian sebesar $3.79 bagi investor A dan $2.7 bagi investor B. Pada grafik opsi jual dianjurkan bagi investor A dan B untuk tidak menggunakan haknya yaitu melakukan eksekusi opsi jual pada waktu jatuh tempo karena akan menyebabkan kerugian sebesar $4.89 bagi investor A dan $2.7 bagi investor B. Sedangkan bagi investor C dianjurkan untuk melakukan eksekusi atau menggunakan haknya untuk menjual opsi jual pada waktu jatuh tempo karena akan menguntungkan bagi investor C sebesar $1.15. Dari kedua contoh di atas dapat dilihat bahwa lamanya waktu berinvestasi tidaklah menjamin harga dari opsi beli dan opsi jual semakin tinggi. Tetapi harga sahamlah yang mempengaruhi besar kecilnya suatu harga opsi pada opsi beli dan opsi jual, sehingga disarankan bagi investor yang ingin berinvestasi pada opsi lebih memperhatikan pergerakan harga saham yang beredar di pasar modal daripada memperhatikan lamanya waktu berinvestasi. 4. KESIMPULAN Penjualan opsi beli memberikan keuntungan sebesar $1.81 pada waktu dimulainya kontrak, yaitu tanggal 02 Januari 2015 dengan harga saham sebesar $36.81 dan kerugian sebesar $0 pada opsi jual atau yang sering disebut dengan keadaan out of the money (Gambar 1). Pada Gambar 2 diperoleh harga opsi beli tipe Eropa dengan pembagian dividen pada saham Barnes Group Inc dengan perbedaan ketiga harga saham oleh investor A, B, dan C dengan masing-masing harga saham diawal kontrak sebesar $35.21, $37.40, $40.90 dan harga kesepakatan untuk opsi beli sebesar $36.31 adalah $0, $1.09, dan $4.5, sedangkan untuk opsi jualnya adalah $6.04, $3.85, $0.35 dengan harga kesepakatan sebesar $41.25. Dari grafik opsi beli dan opsi jual dapat dilihat lamanya waktu berinvestasi tidaklah menjamin harga dari opsi beli dan opsi jual semakin tinggi, tetapi harga sahamlah yang mempengaruhi besar kecilnya suatu harga opsi pada opsi beli dan opsi jual, sehingga disarankan bagi investor yang ingin berinvestasi pada opsi, lebih memperhatikan pergerakan harga saham yang beredar di pasar modal daripada memperhatikan lamanya waktu berinvestasi.
8
Ucapan Terima Kasih Ucapan terima kasih diberikan kepada Dr. M. D. H. Gamal, M.Sc. dan Khozin Mu’tamar, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Barnes Group Inc. ”Historical Price Barnes Group Inc.” 17 Juni 2015. Retrieved from Yahoo!Finance. http://finance.yahoo.com/Barnes+Historical Price. [2] J. C. Hull, Option, Futures and Other Derivatives, Fifth Ed., Prentice Hall, New Jersey, 2003. [3] Irwan, Penentuan Nilai Eksak dari Harga Opsi Tipe Eropa dengan Menggunakan Model Black-Scholes, Jurnal Teknosains, 7 (2013), 20-32. [4] H. Siswanto, K. D. Purnomo dan Kusbudiono, Penentuan Harga Opsi pada Model Black-Scholes Menggunakan Metode Beda Hingga Dufort-Frankel, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember. 2014. [5] Sunariyah, Pengetahuan Pasar Modal: Pengantar, AMP YKPN, Yogyakarta, 2003. [6] P. Willmott, S. Howinson dan J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
9
