METODE BEDA HINGGA UNTUK SOLUSI NUMERIK DARI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES HARGA OPSI PUT AMERIKA
SURITNO
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juni 2008
Suritno NIM 060281
ABSTRACT SURITNO. Finite Difference Method for the Numerical Solution of the BlackScholes Equation for the Price of American Put Option. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and DONNY CITRA LESMANA For the evaluation of American options, a general closed-form analytical solution does not exist yet. The basic reason is that the corresponding partial differential equation, known as Black-Scholes equation, needs to be solved with a free boundary value. A common way to deal with this problem is to apply numerical methods. The objectives of this paper are: to explore the determination of American put option price through analytical approximation and to compare the methods of determining American put option price with explicit, implicit and Crank-Nicholson finite difference methods. The results show that analytical approximation of American put option price can be formulated. Compared to other methods, the explicit finite difference method by transformation of variable is the best method according to its computing time. Keywords: Black-Scholes, American put option, analytical approximation, finite difference method
RINGKASAN SURITNO. Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan DONNY CITRA LESMANA . Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Aset tertentu dalam penelitian ini adalah saham. Terdapat dua jenis kontrak opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli aset dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusi terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sampai dengan jatuh tempo. Harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan formula Black-Scholes yang merupakan solusi analitik dari persamaan Black-Scholes, namun untuk opsi Amerika belum terdapat solusi analitik, sehingga penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan analitik, stokastik dan numerik. Pendekatan numerik yang sering dilakukan untuk menentukan nilai suatu opsi adalah dengan menggunakan metode beda hingga dan metode lattice (binomial dan trinomial). Berdasarkan hal tersebut, maka penelitian ini bertujuan mengeksplorasi penentuan harga opsi put Amerika dengan pendekatan analitik dan membandingkan metode penentuan harga opsi put Amerika secara numerik dengan metode beda hingga eksplisit, implisit dan Crank-Nicholson. Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan langkah pertama menurunkan persamaan Black-Scholes. Selanjutnya dengan persamaan ter-sebut dicari formula untuk harga opsi put Amerika dengan menggunakan pendekatan analitik. Langkah berikutnya menentukan solusi numerik persamaan Black-Scholes yang merupakan harga opsi put Amerika dengan menggunakan metode beda hingga. Metode beda hingga yang digunakan untuk menentukan harga opsi put Amerika adalah metode implisit, Crank-Nicholson dan eksplisit serta implisit dengan transformasi peubah. Untuk memperoleh output berupa harga opsi put Amerika, metode beda hingga tersebut diimplementasikan pada software Matlab. Untuk mengimplementasikan pada Matlab terlebih dahulu disusun kode programnya dengan menggunakan parameter-parameter input, yaitu: S (harga saham awal), K (harga eksekusi), r (suku bunga), (volatilitas), T (waktu jatuh tempo), M (banyaknya partisi untuk harga saham) dan N (banyaknya partisi untuk waktu). Dari hasil simulasi pada komputer dapat dilihat perbandingan harga opsi put Amerika dan waktu komputasi yang digunakan serta hubungan antara harga opsi put Amerika dengan parameter-parameter S, r dan T . Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa: 1) harga opsi put Amerika dengan pendekatan analitik dapat dinyatakan dalam suatu formula yang memuat
parameter S yang menyatakan harga kritis saham, 2) penentuan harga opsi put Amerika dengan menggunakan metode beda hingga, menunjukkan bahwa metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah merupakan metode yang lebih baik dibandingkan dengan ketiga metode lainnya berdasarkan waktu komputasinya, dan 3) berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi: semakin tinggi harga saham pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah, semakin tinggi suku bunga pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah dan semakin lama waktu jatuh tempo maka harga opsi semakin tinggi. Kata kunci: persamaan Black-Scoles, opsi put Amerika, pendekatan analitik, metode beda hingga
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
METODE BEDA HINGGA UNTUK SOLUSI NUMERIK DARI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES HARGA OPSI PUT AMERIKA
SURITNO
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl.
Judul Tesis Nama NRP
: Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika : Suritno : G551060281
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Ketua
Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Tanggal Ujian: 23 Juli 2008
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 ini ialah masalah opsi Amerika, dengan judul Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS dan Bapak Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math selaku pembimbing, serta kepada Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku penguji luar komisi. Tak lupa ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
Bogor, Juli 2008 Suritno
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Sleman pada tanggal 24 Oktober 1967 dari ayah Pawirowiryo dan ibu Wagirah. Penulis merupakan putra ketujuh dari tujuh bersaudara. Tahun 1986 penulis lulus dari MAN Yogyakarta II jurusan IPA. Pada tahun 1987 melanjutkan pendidikan di IKIP PGRI Yogyakarta. Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun 1991. Tahun 1991 sampai dengan tahun 1995 penulis bekerja di IKIP PGRI Yogyakarta. Pada tahun 1995 masuk PNS dan mengajar di MTs Negeri Tempel Sleman. Pada tahun 2001 pindah tugas mengajar di MTs Negeri Godean Sleman. Pada tahun 2006 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor lewat jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL.............................................................................................
xii
DAFTAR GAMBAR........................................................................................
xiii
DAFTAR LAMPIRAN.....................................................................................
xiv
I
PENDAHULUAN…………………………………………………….. 1.1 Latar Belakang…………………………………………………........ 1.2 Tujuan Penelitian.................................................................................
1 1 3
II
LANDASAN TEORI................................................................................ 2.1 Aset yang Mendasari Opsi................................................................ 2.2 Nilai Opsi.......................................................................................... 2.3 Tipe Opsi........................................................................................... 2.4 Keuntungan Opsi............................................................................... 2.5 Faktor-faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi................................ 2.6 Persamaan Black-Scholes.................................................................. 2.7 Formulasi Harga Black-Scholes........................................................ 2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes....................................................... 2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika............................ 2.10 Masalah Nilai Batas Opsi Put Amerika............................................
4 4 4 5 6 7 8 11 16 18 19
III PENDEKATAN ANALITIK UNTUK HARGA OPSI AMERIKA........ 3.1 Penentuan Harga Opsi Call Amerika................................................ 3.2 Penentuan Harga Opsi Put Amerika.................................................
21 21 25
IV METODE BEDA HINGGA...................................................................... 4.1 Diskretisasi dari suatu Persamaan..................................................... 4.2 Aproksimasi Turunan Parsial............................................................ 4.3 Syarat Batas dan Syarat Akhir........................................................... 4.4 Transformasi Peubah......................................................................... 4.5 Metode Beda Hingga Eksplisit.......................................................... 4.6 Metode Beda Hingga Implisit........................................................... 4.7 Metode Beda Hingga Crank-Nicholson............................................ 4.8 Metode Beda Hingga Eksplisit dengan Transformasi Peubah.......... 4.9 Metode Beda Hingga Implisit dengan Transformasi Peubah............ 4.10 Analisis Kestabilan............................................................................
28 28 29 31 31 33 34 36 37 38 39
V
HASIL SIMULASI................................................................................... 5.1 Implementasi pada Matlab................................................................ 5.2 Hasil Simulasi dengan Matlab...........................................................
46 46 47
VI SIMPULAN...............................................................................................
52
x
DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................
53
LAMPIRAN......................................................................................................
54
xi
DAFTAR TABEL Halaman 1
Perbandingan harga opsi dan waktu komputasi..........................................
47
2
Harga opsi put Amerika dengan harga saham awal yang bervariasi.........
49
3
Harga opsi put Amerika dengan suku bunga bervariasi.............................
50
4
Harga opsi put Amerika dengan waktu jatuh tempo yang bervariasi.........
50
xii
DAFTAR GAMBAR Halaman 1
Grid untuk aproksimasi beda hingga..........................................................
29
2
Skema beda hingga eksplisit.......................................................................
33
3
Skema beda hingga implisit........................................................................
34
4
Perbandingan harga opsi.............................................................................
48
5
Perbandingan waktu komputasi.............................................................................
48
6
Waktu komputasi metode Crank-Nicholson..........................................................
48
7
Hubungan harga opsi degan harga saham awal.........................................
49
8
Hubungan harga opsi dengan suku bunga..................................................
50
9
Hubungan harga opsi degan waktu jatuh tempo........................................
51
xiii
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1
Penurunan Persamaan (2.8)……………………………………………….
55
2
Penentuan rataan dan standar deviasi peubah Q.........................................
55
3
Penurunan Persamaan (2.25).......................................................................
56
4
Penurunan Persamaan (4.16).......................................................................
57
5
Penurunan Persamaan (4.20).......................................................................
58
6
Penyederhanaan (4.41)................................................................................
59
7
Program metode beda hingga implisit........................................................
59
8
Program metode beda hingga Crank-Nicholson.........................................
61
9
Program metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah........
63
10 Program metode beda hingga implisit dengan transformasi peubah.........
65
xiv
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam dunia keuangan, dikenal adanya pasar keuangan (financial market) yang terdiri atas pasar uang (money market) dan pasar modal (capital market). Pada pasar uang terjadi jual beli aset keuangan dalam jangka pendek, sedangkan untuk pasar modal terjadi jual beli aset keuangan untuk jangka panjang. Pasar modal terdiri atas pasar obligasi, pasar saham dan pasar untuk derivatif (Bodie et al. 2006). Hull (2003) menyatakan bahwa derivatif adalah instrumen keuangan yang nilainya didasarkan atau diturunkan dari aset yang mendasarinya. Beberapa produk derivatif antara lain: kontrak berjangka (future contract), kontrak forward dan kontrak opsi. Kontrak berjangka merupakan suatu kewajiban untuk membeli atau menjual suatu aset pada harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Kontrak forward merupakan perjanjian untuk melakukan penyerahan aset di masa mendatang pada harga yang disepakati. Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu (Niwiga 2005). Terdapat dua jenis kontrak opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli aset dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusi terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sampai dengan waktu jatuh tempo (Hull 2003). Pada tahun 1973, Fisher Black, Myron Scholes (Hull 2003) berhasil menentukan solusi analitik dari suatu persamaan Black-Scholes-Merton. Solusi analitik tersebut dikenal sebagai formula Black-Scholes. Formula Black-Scholes
2
itu menyatakan harga dari opsi call Eropa. Harga opsi put Eropa dapat ditentukan melalui kesetaraan antara put dan call. Pada opsi Amerika terdapat kebebasan waktu eksekusi, maka hingga saat ini belum terdapat solusi analitik. Penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan analitik, stokastik dan numerik (Pauly 2004). Penelitian penentuan harga opsi Amerika dengan pendekatan analitik telah dilakukan oleh MacMillan, kemudian dikembangkan oleh Barone-Adesi dan Whaley (Hull 2003). Eksplorasi penentuan harga opsi Amerika dengan pendekatan analitik hingga saat ini masih terus dikembangkan. Hull dan White (1990) menyatakan bahwa dua pendekatan numerik yang sering dilakukan untuk menentukan nilai suatu derivatif adalah dengan menggunakan
metode beda
hingga dan metode lattice (binomial dan trinomial). Beberapa penelitian yang menggunakan pendekatan numerik untuk menentukan harga opsi Amerika antara lain dilakukan oleh Kerman (2002) dengan menggunakan metode beda hingga dengan cara mengubah Persamaan Black-Scholes menjadi persamaan difusi. Niwiga (2005) juga menggunakan metode numerik, yaitu dengan cara menerapkan metode beda hingga pada Persamaan Black-scholes-Merton, yang hasil simulasinya memperlihatkan perbandingan antara harga opsi put Amerika menggunakan metode beda hingga implisit dan Crank-Nicholson. Brenan dan Schwartz, Geski dan Shastri dalam Hull dan White (1990) menyatakan bahwa akan lebih efisien menggunakan transformasi logaritma terhadap harga saham ketika menggunakan metode beda hingga, sehingga dalam penelitian ini juga akan digunakan transformasi logaritma untuk harga saham. Berdasarkan uraian di atas, harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan formula Black-Scholes yang merupakan solusi analitik dari persamaan Black-Scholes-Merton, namun untuk opsi Amerika belum terdapat solusi analitik, sehingga dalam penelitian ini akan diekplorasi penentuan harga opsi Amerika dengan pendekatan analitik, serta penggunaan pendekatan numerik beda hingga untuk menentukan harga opsi Amerika.
3
1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: 1 mengeksplorasi penentuan harga opsi put Amerika dengan pendekatan analitik, 2 membandingkan metode penentuan harga opsi put Amerika secara numerik dengan metode beda hingga eksplisit, implisit dan Crank-Nicholson.
4
BAB II LANDASAN TEORI
Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut.
2.1 Aset yang Mendasari Opsi Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option) opsi berjangka (future option) dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah mata uang asing dengan kurs tertentu, sedangkan opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah kontrak berjangka. Opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham. Bursa Amerika yang memperdagangkan opsi saham antara lain The Chicago Board Option Exchange (CBOE), The Philadephia Stock Exchange (PHLX), The American Stock Exchange (AMEX), The Pacific Stock Exchange (PSE), dan New York Stock Exchange (NYSE). Bursa Indonesia yang memperdagangkan opsi saham adalah Bursa Efek Jakarta (BEJ). Dalam penelitian ini yang digunakan adalah opsi saham. 2.2 Nilai Opsi 2.2.1 Nilai intrinsik Nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi dengan segera tidak positif, maka nilai intrinsik adalah nol. Untuk opsi call, nilai
5
intrinsik akan positif jika harga saham yang terjadi St
lebih besar dari pada
harga eksekusi (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo). Sedangkan untuk opsi put nilai intrinsik akan positif jika harga saham berlaku St
kurang dari
harga eksekusi K . 2.2.2 Nilai waktu Nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuat.
2.3 Tipe Opsi Terdapat dua tipe kontrak opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat hal utama, yaitu: ? harga aset yang mendasari yang akan dibeli ? jumlah aset yang mendasari yang dapat dibeli ? harga eksekusi aset yang mendasari ? tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut dengan expiration date. Pada kontrak opsi put empat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi call. Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga saham awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi adalah K, serta c call Eropa pada saat t, dan p
c S , t menyatakan harga opsi
p S , t menyatakan harga opsi put Eropa pada
saat t. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi yaitu
6
c
Jika ST
K,0 .
max ST
K , opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi
akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga ST yang lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah ST
K . Jika ST
opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST
K
K opsi
call dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah p
Jika
ST
ST , 0 .
max K
K , opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak
menggunakan haknya. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal dengan put-call-parity, dapat dinyataan sebagai berikut: c Ke
rT
p S,
dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko. Apabila P
P S,t
C
C S,t
menyatakan harga opsi call Amerika dan
menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu
maturity untuk call adalah:
C
max S T
K,0 .
Sedangkan untuk opsi put
P
max K
S T ,0 .
2.4 Keuntungan Opsi Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat seperti berikut ini. ?
Manajemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun dratis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.
7
? Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir. ? Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung turun maka akan membeli opsi put. ?
Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi warrant, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.
2.5 Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi 2.5.1 Harga aset yang mendasari dan harga eksekusi Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call
akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang
mendasari meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sementara pada opsi put, pembayaran atas eksekusi hak adalah sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya. 2.5.2 Tanggal jatuh tempo Untuk tipe Amerika, dari kedua macam opsi baik opsi call maupun opsi put menjadi lebih berharga jika waktu jatuh temponya semakin meningkat. Sementara untuk tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call mupun put tidak terpengaruh dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi hak. 2.5.3 Volatilitas Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa datang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan terhadap suatu opsi.
8
2.5.4 Suku Bunga Bebas Risiko (Risk free interest rate) Suku bunga bebas risiko mempengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan akan mempengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko. 2.6 Persamaan Black-Scholes Fischer Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 dalam merumuskan nilai opsi call Eropa mendasarkan pada beberapa asumsi berikut ini: Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener dengan
dan
konstan. Tidak ada biaya transaksi dan pajak. Tidak ada pembayaran dividen pada opsi. Tidak terdapat peluang arbitrase, yaitu suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko. Short selling diijinkan. Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo. Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah berikut:
Definisi 1 (Proses Stokastik) Proses stokastik X
X t ,t
H adalah suatu koleksi (himpunan) dari peubah
acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X t adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan sebagai waktu (Ross 1996).
Definisi 2 (Gerak Brown) Proses stokastik X 1 X 0
0.
X t ,t
H disebut proses gerak Brown jika (Ross 1996):
9
2 Untuk 0 t1
tn peubah acak X ti
t2
X ti
1
, i 1, 2, 3,..., n saling
bebas. 3 Untuk setiap t
0, X t berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian
2
t.
Definisi 3 (Gerak Brown Geometris) Jika X t , t
0 adalah gerak Brown, maka proses stokastik Z t , t
didefinisikan Z t
eX
t
0 yang
disebut gerak Brown geometris (Ross 1996).
Definisi 4 (Proses Wiener ) Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).
Definisi 5 (Proses Wiener Umum) Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003): dX t
(2.1)
adt bdW (t )
adt disebut sebagi komponen deterministik dan bdW (t ) menyatakan komponen stokastik, serta W (t ) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan rataan dan standar deviasi dari X.
Definisi 6 (Proses Ito’) Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull,2003):
dX t
a X t , t dt b X t , t dW t
(2.2)
Definisi 7 (Lemma Ito’) Misalkan proses X t
memenuhi (2.2) dan fungsi Y t
f X t ,t
kontinu serta turunan-turunan f t X t , t , f X X t , t , f XX X t , t maka Y t
f X t , t memenuhi persamaan berikut (Gihman 1972):
adalah kontinu,
10
dY t
f t X t , t dt
f X X t , t dX t
1 f XX X t , t dX t 2
2
,
(2.3)
dengan f , fX t
ft
2
f , f XX X
f
X2
dan dt
2
dW t dt
dtdW t
0, dW t
2
dt.
Definisi 8 (Model Harga Saham) Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan
volatilitas harga
saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu (Hull 2003): dS t
S t dt
(2.4)
S t dW t .
Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan
diturunkan
persamaan
Black-Scholes. Misalkan X(t) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1). Persamaan ini
dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan
ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalkan S(t) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Ito’, perubahan S(t) akan memiliki nilai harapan drift rate Parameter
S.
menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan
S t dt disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi
oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah dengan
S t dW t ,
menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham
mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4), yaitu: dS t
S t dt
S t dW t .
Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan lemma Ito’ untuk suatu fungsi V(S,t), yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh: dV
S
V S
V t
1 2
2
2
S2
V dt S2
S
V dW t . S
(2.5)
11
Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan menjual
V saham. Misalkan S
adalah nilai portofolio yang dimaksud,
maka
V S. S
V
(2.6)
Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai d
V dS . S
dV
(2.7)
Dengan menyubstitusikan (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh V t
d
2
1 2
2
S2
V dt. S2
(2.8)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 1) Return dari investasi sebesar
pada saham takberisiko akan memiliki
pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt , dengan r adalah suku bungan bebas resiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu: V t
r dt
1 2
2 2
V2 dt. S2
S2
(2.9)
Substitusi (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan
V rS dt t
rV 1 2
2
2
S2
V S2
rS
V t V S
1 2 V t
2 2
S2
rV
V2 dt S2
0.
(2.10)
Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes.
2.7 Formulasi Harga Black-Scholes Hull (2003) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko
12
netral. Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah
Eˆ max ST
K ,0 .
(2.11)
Didefinisikan g(ST) adalah fungsi kepekatan peluang dari S T , maka Eˆ max ST
K ,0
ST
(2.12)
K g ST dST .
K
Misalkan G
G S
ln S , maka
1 2G , S S2
1 G dan 2 t S
0 . Berdasarkan lemma
Ito’ diperoleh
dG
S
1 S
0
1 2 dan
Karena
1 2
2
2
1 2
2
dt
konstan maka G 2
dan variansi
S2
1 dt S2
S
1 dW t S
dW t . ln S mengikuti gerak Brown dengan rataan
.
dS merupakan tingkat pengembalian dari harga saham. S
Berdasarkan (2.3),
Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah
dt . Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat
deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta dapat diganti dengan r. Karena G G
r
ln S berubah dari 0 sampai dengan T dan
ln S mengikuti gerak Brown, maka ln S berdistribusi normal dengan rataan
1 2
2
T dan variansi
2
T.
Misalkan pada waktu t = 0 nilai G maka pada selang waktu t
ln S 0 dan pada waktu T nilai G
0 sampai dengan T, ln ST
ln S 0
ln ST ,
adalah berdis-
tribusi normal dengan rataan dan variansi seperti di atas, sehingga diperoleh:
13
\
ln ST
ln S 0 ~ N
1 2
r
2
T,
T
atau dapat dituliskan ln ST berdistribusi normal dengan ln ST ~ N ln S 0
1 2
r
2
T .
T,
Dengan demikian ln ST berdistribusi normal dengan rataan
m ln S 0
1 2
r
2
T
dan standar deviasi s
T.
(2.13)
Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah Q dengan Q=
ln ST
m T
.
(2.14)
Substitusi m dari (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh
1
Q
ln ST
T
ln S 0
2
1 T
r
2
T,
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h(Q), yaitu
1 e 2
hQ
Q2 / 2
.
(2.15)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 2) Persamaan (2.14) diubah menjadi
ST
eQ
T
m
.
(2.16)
maka, perubahan batas integral pada sisi kanan dari (2.12), dari integral menurut
ST menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut: Jika S T
, maka Q =
.
Jika ST
K maka K = e
Q
T
m
sehingga Q =
ln K
m T
.
Dengan menggunakan (2.15), (2.16) dan perubahan batas integral serta misalkan s =
T , maka (2.12) menjadi:
14
Eˆ max ST
e Qs
K ,0
m
K h Q dQ
ln K m / s
e Qs
=
m
h(Q) dQ – K
(ln K m ) / s
e Qs
=
1
m
1
=
(ln K m ) / s
em
em
2m) / 2
s2
dQ – K
h(Q) dQ
2m) / 2
dQ – K
h(Q) dQ (ln K m ) / s
1 ( e 2
s2 / 2
s2 / 2
h(Q) dQ (ln K m ) / s
(Q s )2
(ln K m ) / s
=
dQ – K
(ln K m ) / s
1 ( e 2
=
Q2 / 2
Q 2 2 Qs
e(
2
(ln K m ) / s
e
2
(ln K m ) / s
=
h(Q) dQ (ln K m ) / s
(Q s )2 ) / 2
dQ – K
h(Q) dQ (ln K m ) / s
h(Q s ) dQ – K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ, (ln K m ) / s
sehingga (2.12) dapat dinyatakan dengan
Eˆ max ST
K ,0 =
s2 / 2
em
h(Q s ) dQ – K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ.
(2.17)
(ln K m ) / s
Jika N(x) didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal kumulatif, maka
em
s2 / 2
2
h(Q s ) dQ = e m
T /2
[1 N [(ln K
m) / s
s ]]
(ln K m ) / s
= em
2
T /2
[ N [( ln K
m) / s s ]].
Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di atas disubstitusi dengan (2.13) dan s =
em
s2 / 2
T , maka diperoleh 2
h(Q s ) dQ e m
2
em
2
T /2
N
ln K ln S 0
r
2
(ln K m ) / s T /2
T /
T
T
2
N
ln S0 / K
r
2
T
2
T /
T
15
2
em
2
em
2
T /2
N
T /2
ln S0 / K
r
2
T /
T
N d1 ,
2
dengan d1
ln S 0 / K
r
T /
2
T.
Dengan alasan yang seperti di atas, maka
K
h(Q) dQ
ln K m S
K 1 N
(ln K m ) / s
ln K S
KN
m
.
(2.18)
Dengan menyubstitusikan m dan s pada (2.13) ke dalam (2.18) diperoleh 2
K
h(Q ) dQ
KN
ln K ln S0
r
2
(ln K m ) / s
T /
T
2
KN
ln S0 / K
r
T /
2
T
= KN d 2 , 2
dengan d 2
ln S0 / K
r
T /
2
T,
sehingga (2.12) menjadi
Eˆ [max(ST – K, 0)]
em e ln S0
2
T /2
N d1
r
2
/2 T
= S 0 e rT N d1
KN d 2 2
T /2
N d1
KN d 2 .
KN d 2
(2.19)
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai
c e
rT
Eˆ max ST
K ,0 .
(2.20)
Dengan substitusi (2.19) ke dalam (2.20) diperoleh formula Black-Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan dividen pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu
16
c
S0 N d1
Ke
rT
(2.21)
N d2
dan dengan put-call-parity diperoleh harga opsi put Eropa p
rT
Ke
N
d2
S0 N
d1
dengan 2
d1
ln S0 / K
r
d2
ln S0 / K
r
2
T /
T dan
T /
T
2
2
d1
T.
2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes Berikut ini akan ditunjukkan bahwa c S , t pada (2.21) merupakan solusi dari (2.10), maka kita tentukan turunan-turunan (2.21) terhadap t dan S serta peubah T diganti dengan T t . Turunan d1 terhadap S adalah
d1 S
1 (S / K ) K T
1 S Dari persamaan d 2
T
t
d1
T t
t
2
.
(2.22)
T t , turunan terhadap t
dan S
berturut-turut
adalah d1 t
d2 t
2 T t
d2 S
d1 S
S
d2 S
d1 . S
dan
T t
sehingga (2.23)
17
Turunan parsial (2.21) terhadap t adalah'
SN ' d1
d1 t
rK
= SN ' d1
d1 t
rK
c t
d1 t
= SN ' d1
r (T t )
r (T t )
d2 t
N d2
K
N d2
rK
r (T t )
SN '(d1 )
r (T t )
N ' d2
d2 t
d2 t
N d2 .
(2.24)
Substitusi (2.23) ke dalam (2.24) diperoleh
c t
SN ' d1
rK
2 T t
r (T t )
N d2
(2.25)
dengan
SN ' d1
N ' d 2 Ke
r (T t )
.
(2.26)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3) Turunan parsial (2.21) terhadap S adalah
c S
d1 S
N (d1 ) SN ' d1
K
r (T t )
N ' d2
d2 S
(2.27)
Substitusi (2.23) dan (2.26) ke dalam (2.27) diperoleh
c S
N (d1 ) SN ' d1
d1 S
SN ' d1
d2 S
c S
N (d1 ) SN ' d1
d1 S
SN ' d1
d1 S
= N d1
(2.28)
2
c S2
d1 S
N ' d1
(2.29)
Substitusi (2.22) ke dalam (2.29) diperoleh 2
c S2
N ' d1
1 T t
S
(2.30)
Peubah V pada (2.10) diubah dengan c maka menjadi c t
rS
c S
1 2
2 2 2
S2
c S2
rc
0
Substitusi (2.21), (2.25), (2.27) dan (2.30) ke dalam (2.31) didapat
(2.31)
18
c t
rS
c S
2
1 2
2
S2
c S2
rc
SN ' d1
2 T t
1 2
rSN d1 r SN d1
rSN d1
=
2
K
r (T t )
rK
S 2 N ' d1 r (T t )
N d2
S
1 T t
N d2
rSN d1
+ SN ' d1
rK
+
2 T t r (T t )
N d2
1 2
2
S 2 N ' d1
rK
r (T t )
S
1 T t
N d2
=0
2. 9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika Persamaan (2.4) menyatakan bahwa model perubahan harga saham adalah dS t
S t dt
S t dW t .
Seperti halnya pada penurunan Persamaan Black-Scholes, dibentuk suatu portofolio dengan membeli sebuah opsi put Amerika dan menjual sejumlah
saham,
maka diperoleh:
V Dengan memilih
S.
V S
dan analogi (2.8), maka nilai portofolio berubah
menjadi d
V t
1 2
2 2
V2 dt . S2
S2
Pada Persamaan Black-Scholes untuk opsi Eropa argumentasinya adalah dibentuk suatu persamaan dengan return takberisiko, agar tidak terjadi peluang arbitrase. Namun ketika opsi pada portofolio itu opsi Amerika, diperoleh pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga
d
r dt
r V
S
V dt . S
19
Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan:
V t
1 2
2 2
V2 dt S2
S2
r V
S
V dt S
atau V t
rS
V S
1 2
2 2
S2
V2 S2
rV
0.
(2.32)
Pertidaksamaan (2.32) adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan (2.32) dapat dinyatakan sebagai berikut:
V t
rS
V S
1 2
V t
rS
V S
1 2
2 2
V2 S2
S2
0
(2.33)
0.
(2.34)
2 2
S2
V2 S2
rV rV
Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka perlu adanya nilai batas untuk menentukan nilai opsi put Amerika
2.10 Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika Pauly (2004) menyatakan, kondisi batas bawah untuk opsi put Amerika adalah
V S,t
K
S
,
S,t .
(2.35)
Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika 0 = V = K – S seseorang dapat membeli opsi put V, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak berisiko sebesar K
S V
0 . Karena Black-Scholes dengan asumsi tidak terjadi kesempatan
arbitrase, maka (2.35) adalah kendala yang benar untuk opsi put Amerika. Misalkan S(t) menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan 0 S t akan dieksekusi, namun jika S t (2.35) dapat dinyatakan dengan:
K , jika S
S t maka opsi
S opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian
20
V (S , t )
K
S,
S
S (t )
(K
S ) , S (t )
(2.36)
S.
Karena S(t) tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap V(S,t) ini disebut masalah nilai batas bebas (free boundary-value problem), sehingga ketika
S
S (t )
K nilai V S , t
K S , serta V harus memenuhi (2.33), sehingga
nilai opsi put Amerika memenuhi: V t
V S
rS
V (S , t )
2
1 2
2
S2
V2 S2
0
K S.
(2.37)
S , nilai V ( S , t ) ( K
Pada saat S t
rV
S ) , serta V harus memenuhi (2.34),
sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi:
V t
V S
1 2
V (S , t ) ( K
S)
rS
2 2
S2
V2 S2
rV
0 (2.38)
Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika adalah sebagai berikut: untuk S < S(t)
V t
rS
V (S , t ) untuk S(t )< S
V t
rS
V S
1 2
2 2
V2 S2
S2
rV
0
K S V S
1 2
2 2
S2
V2 S2
rV
0
V (S , t ) ( K S ) . lim V ( S , t ) 0
Syarat batas
S
lim V ( S , t ) S
syarat akhir
K
0
V ( S (t ), t )
K
dan
S (t ) .
(2.39)
21
BAB III PENDEKATAN ANALITIK UNTUK HARGA OPSI AMERIKA Penelitian dengan pendekatan analitik untuk menentukan harga opsi Amerika telah dilakukan oleh beberapa peneliti. Salah satu peneliti
adalah
MacMillan, yang selanjutnya dikembangkan oleh Barone-Adesi dan Whaley (Hull 2003). Mereka memisahkan harga opsi menjadi dua komponen, yaitu: harga opsi Eropa
dan premi eksekusi awal. Kemudian diperoleh persamaan diferensial
parsial untuk premi eksekusi awal. Dari persamaan diferensial tersebut, akan diberikan beberapa asumsi penyederhanaan untuk mendapatkan persamaan kuadratik untuk mengaproksimasi solusi.
3.1 Penentuan Harga Opsi Call Amerika Mengacu pada Hull (2003), untuk menentukan harga opsi Amerika dengan pendekatan analitik digunakan beberapa pemisalan, yaitu: misalkan v adalah harga v , v SS S
opsi, dengan vS
2
v
S
2
v t
dan vt
eksekusi. Kemudian misalkan V S , t
dan v S , T
serta K menyatakan harga masing-masing menyatakan
harga opsi Amerika dan Eropa. Harga opsi call dinyatakan oleh C S , t untuk opsi Amerika dan c S , T untuk opsi Eropa. Misalkan opsi tidak memberikan dividen, sehingga persamaan diferensial parsial yang menyatakan harga opsi call Amerika berdasarkan (2.10) diberikan oleh 1 2
2
S 2CSS
rSCS
Ct
rC
0.
(3.1)
Selanjutnya premi eksekusi awal didefinisikan oleh S,T
C (S , T ) c S , T .
(3.2)
dengan S menyatakan harga saham, dan T waktu jatuh tempo serta (3.2) harus memenuhi
1 2 Misalkan
2
S2
SS
rS
S
t
r
0.
(3.3)
22
T t, h
r
1 e
2r
,
, dan
2
h( ) g S , h . (3.4)
S,
Dari (3.4) diperoleh S
t
hg S ,
hg SS dan
SS
ht g hg t . h
t
h
g h g S St
g h ht
1g
ghh
h0
1
h g hh g h .
(3.5)
2
Selanjutnya kedua ruas (3.3) dikalikan dengan S2
2r SS
2
S
2 S
2
2
2r t
sehingga didapat persamaan
0.
2
(3.6)
Substitusi (3.4) ke dalam (3.6) diperoleh S2
SS
S
S
r
0,
hg
t
(3.7)
dan substitusi (3.5) ke dalam (3.7) diperoleh
S 2 hg SS
Shg S
r
h g hh g h g h
S 2 g SS
Sg S
S 2 g SS
Sg S
S 2 g SS
Sg S
1 h
S 2 g SS
Sg S
g h
h
r
r
re
r
h gh
g h
hg g
gh
g h
gh
1 h
gh
0
0
g
g
0
0
0.
(3.8)
Pendekatan analitik diperoleh dengan mengasumsikan suku terakhir pada (3.8) dapat diabaikan karena nilainya relatif kecil. Asumsi tersebut didasarkan pada hal-hal berikut. Untuk
, maka lim 1 h = lim 1 1 e
sedangkan untuk
0 , maka lim g h 0
r
= lim e
0 , sehingga 1 h
r
= 0, gh
0.
23
Dengan demikian maka diperoleh
S 2 g SS
g h
Sg S
0.
( 3.9)
Persamaan (3.9) adalah persamaan diferensial biasa orde dua yang mempunyai dua solusi yang berbentuk
aS . Misalkan
g
aS
dan
disubstitusikan ke dalam (3.9) diperoleh
S2
2
1 aS 2
aS
1
S aS
1
h
aS
0
0.
h
(3.10)
Akar polinomial karakteristik dari (3.10) adalah 1
1 2
1
1
2
1 2
1
1
Karena 4 / h 0 , maka g ( S ) a1 S
Nilai
1
dan
2
0 dan
1
2
4 h
2
4 h
2
S
0
S
ketika S
1
0
0,
a2 S 2 .
1
(3.12)
berdasarkan (3.11) dapat ditentukan, selanjutnya akan
a2 S
2
c S,
1
0
dan misalkan a1
0 maka
. Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa
mendekati nol. Misalkan a1
C S,
(3.11)
0 sehingga solusi umum (3.9) adalah
ditentukan koefisien a1 dan a2 . Karena
lim g ( S ) lim a1S
.
0 maka diperoleh persamaan
ha2 S 2 .
(3.13)
Persamaan (3.13) merupakan pendekatan untuk harga opsi call Amerika. Untuk menentukan a2 diperhatikan beberapa kondisi berikut: 1 untuk S
0 , berakibat max S
C S , T akan mendekati S
K
0 sehingga ketika S meningkat maka
K,
2 jika S menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal apabila dieksekusi lebih awal, maka analog dengan (2.36), untuk S
S harga
24
opsi call Amerika diberikan oleh (3.13), dan untuk S Amerika adalah S
S
harga opsi call
K.
Dengan memperhatikan kondisi di atas maka S
K
cS ,
2
ha2 S
.
(3.14)
Untuk menentukan nilai S , diferensialkan (3.14) terhadap S , maka berdasarkan (2.28) diperoleh
1 N d1 S
h 2 a2 S
2
1
(3.15) 2
ln S / K
dengan
r
2
d1 S
.
Dengan menggunakan (3.15) dapat ditentukan nilai dari a 2 , yaitu
a2
1 N d1 S h 2S
2
1
.
(3.16)
Substitusi (3.16) ke dalam (3.14), maka diperoleh
S
K
c S ,
c S ,
h
1 N d1 S h 2S
2
S
1
1 N d1 S
2
S
2
c S ,
S
1 N d1 S
.
(3.17)
2
Setelah
a 2 dapat ditentukan, maka harga opsi call Amerika adalah sebagai
berikut: untuk S
S , maka substitusi (3.16) ke dalam (3.13) diperoleh
C S,
c S,
c S,
h
1 N d1 S h 2S
2
1 N d1 S
S
1
S S
S
2
c S,
1 N d1 S
2
S 2
2 2
S S
2
,
25
sedangkan untuk S
S harga opsi call Amerika adalah S
K . Dengan demikian
harga opsi call Amerika adalah
untuk nilai A2
2
c S, A2 S / S S K,
C S,
1 N d1 S
S
, jika S jika S
S S
(3.18)
. 2
3.2 Penentuan Harga Opsi Put Amerika Misalkan P S , T menyatakan harga opsi put Amerika dan p S , T untuk opsi Eropa. Persamaan diferensial parsial yang menyatakan harga opsi put Amerika diberikan oleh
1 2
2
S 2 PSS
rSPS
Pt
0.
rP
Misalkan premi eksekusi awal untuk opsi put Amerika didefinisikan oleh S ,T
dengan
P(S , T )
(3.19)
p S,T
h( ) g S , h .
S,
Pada opsi put Amerika nilai a 2
0 , karena
0 dan premi eksekusi awal untuk
2
opsi put Amerika harus mendekati nol ketika S mendekati tak hingga. Sehingga harga pendekatan untuk opsi put Amerika dinyatakan oleh
P S,
p S,
ha1 S 1 .
(3.20)
Untuk menentukan nilai dari a1 , diperhatikan kondisi berikut: jika S
menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal
apabila dieksekusi lebih awal, maka berdasarkan (2.36), untuk S put Amerika diberikan oleh (3.20), dan untuk adalah K
S
S
harga opsi
S harga opsi put Amerika
S.
Dengan memperhatikan kondisi di atas maka
K
S
p S ,
ha1S
1
.
(3.21)
Untuk menentukan nilai S , didiferensialkan (3.21) terhadap S maka diperoleh
1
N
d1 S
h 1a1S
1
1
(3.22)
26
2
ln S / K
dengan
r
2
d1 S
.
Dengan menggunakan (3.22) dapat ditentukan nilai dari a1 , yaitu
1 N a1
d1 S
h 1S
1
.
1
(3.23)
Substitusi (3.23) ke dalam (3.21) diperoleh
1 N K
S
p S ,
h
d1 S h 1S
1 N
1
S 1
d1 S
p S ,
1
S
1
p S ,
1 N
S
d1 S
.
(3.24)
1
Setelah a1 dapat ditentukan, maka harga opsi put Amerika adalah sebagai berikut. Untuk S
S , maka substitusi (3.23) ke dalam (3.20) diperoleh 1 N P S,
p S,
h
d1 S
h 1S 1 N
p S,
d1 S 1
p S,
1 N
1
S
S
1
1
S 1S 1
S
d1 S
1
sedangkan untuk S
S harga opsi put Amerika adalah K
S S
1
,
S . Dengan demikian
harga opsi put Amerika adalah P S,
dengan
A1
p S, A1 S / S K S,
1 N
d1 S
1
S /
, jika S S jika S S 1
.
(3.25)
27
Untuk menentukan nilai opsi put dengan menggunakan formula (3.25), maka terlebih dahulu ditentukan nilai S dengan metode numerik, misalnya dengan metode Newton yang tidak akan dibahas lebih lanjut.
28
BAB IV METODE BEDA HINGGA Salah satu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial adalah metode beda hingga. Metode beda hingga adalah suatu metode numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dengan mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebut menjadi sistem persamaan linear. Metode beda hingga dalam penelitian ini adalah
metode eksplisit, implisit,
Crank-Nicholson dan eksplisit serta implisit dengan transformasi peubah. Untuk menerapkan metode beda hingga pada suatu permasalah persamaan diferensial parsial beberapa hal perlu diperhatikan, yaitu: diskretisasi dari suatu persamaan, bentuk aproksimasi beda hingga, kondisi syarat akhir dan syarat batas serta kestabilan dari skema beda hinga. 4.1 Diskretisasi dari suatu Persamaan Misalkan V(S,t) menyatakan nilai opsi maka Persamaan Black-Scholes dapat dinyatakan V (S , t ) t
1 2
2
S2
V (S , t ) S2
rS
V (S , t ) S2
rV ( S , t )
(4.1)
0.
Peubah yang menentukan terhadap nilai V adalah S dan t. S menyatakan harga saham dan t menyatakan waktu berlakunya opsi, tmax
T , sehingga diskretisasi
(4.1) adalah terhadap S dan t. Bidang (S,t) dipartisi menjadi grid, dan aproksimasi untuk interval di antara grid adalah
S dan
t . Kemudian pada t didefinisikan
terdapat N+1 titik, yaitu t0 , t1 , t2 , ..., t N . Titik-titik tersebut untuk mendiskretkan turunan terhadap waktu, serta terdapat M+1 titik, yaitu
t
tn
1
tn dan
t
T / N . Misalkan pada S
S0 , S1 , S 2 , ..., S Max . Titik-titik tersebut untuk
mendiskretkan turunan terhadap harga saham S, dengan S
S
Sm
S max / M . Dengan demikian pada bidang (S,t) terdapat M 1
seperti terlihat pada Gambar 1. Titik
1
Sm
dan
N 1 grid,
j , i pada tiap-tiap grid berhubungan de-
ngan harga saham ke j S dan waktu ke i t. Selanjutnya nilai dari opsi pada waktu t i ketika harga saham Sj dinyatakan oleh:
29
vij
dengan j
(4.2)
v( j S , i t ) v( S j , ti ) V ( S , t )
0, 1, 2,
, M dan i
0, 1, 2,
,N.
Smax
2
S
o
o
o
o
o
0o
o
o 2
o 3
o
S
t
t
T
t
Gambar 1 Grid untuk aproksimasi beda hingga
4.2. Aproksimasi Turunan Parsial Aprosimasi untuk turunan parsial
v , t
v dan S
2
v
t2
diperoleh dari ekspansi
deret Taylor. Aproksimasi untuk turunan pertama dan turunan kedua seperti berikut ini.
4.2.1 Aproksimasi untuk turunan pertama Misalkan V t , S dinyatakan oleh v ij , ekspansi deret Taylor untuk v t , S dan v t , S
S
S adalah sebagai berikut:
v t, S
S
v t, S
v S S
1 2v S2 2 2 S
S3
(4.3)
v t, S
S
v t, S
v S S
1 2v S2 2 S2
S3 .
(4.4)
Menggunakan Persamaan (4.3) diperoleh persamaan beda maju, yaitu:
30
v S
v t, S
v S
v ij
S S
v ij
1
S
v t, S
S
.
(4.5)
Menggunakan Persamaan (4.4) diperoleh persamaan beda mundur, yaitu: v S
v t, S
v S
v ij
v t, S S
v ij
1
S
S
S
.
(4.6)
Hasil pengurangan (4.4) dari (4.3) diperoleh persamaan beda pusat, yaitu
v S
v t, S
v S
v ij
S
v t, S
S
S2
2 S
v ij
1
1
(4.7)
2 S
Ekspansi deret Taylor untuk v(t
t , S ) dan v(t
t , S ) adalah sebagai berikut:
vt
t, S
v t, S
v t t
1 2v 2 t 2 t2
t3
(4.8)
vt
t, S
v t, S
v t t
1 2v 2 t 2 t2
t3
(4.9)
Menggunakan (4.8) dan (4.9), aproksimasi terhadap
v adalah sebagai berikut t
Aproksimasi beda maju: i 1 v ij v vj
(4.10)
t t Aproksimasi beda mundur: i i 1 v vj vj
t
(4.11)
t
4.2.2 Aproksimasi untuk turunan kedua 2
Aproksimasi
v diperoleh dengan cara menjumlahkan (4.3) dan (4.4) sehingga S2
diperoleh: 2
v S2
v t, S
S
2v t , S S
2
v t, S
S
S2
31
vij
2
v S2
2v ij
1
S
v ij
2
1
.
(4.12)
Persamaan (4.11) disebut aproksimasi beda pusat simetris.
4.3 Syarat Batas (boundary condition) dan Syarat Akhir (terminal condition) Untuk menentukan harga opsi put Amerika dengan menggunakan metode beda hingga, diperlukan kondisi syarat batas dan syarat akhir. Nilai opsi put pada saat T adalah max(K – ST, 0), dengan ST menyatakan harga saham pada saat T, sehingga
v Nj
max( K
j S , 0), j
(4.13)
0,1, 2,..., M .
Persamaan (4.13) menyatakan syarat akhir, sehingga penentuan nilai pada v tidak di awal periode tetapi di akhir periode. Hal ini dilakukan dengan bergerak mundur dari waktu maturity sampai waktu nol. Nilai opsi put pada saat harga saham sama dengan nol adalah K, sehingga
v0i
K, i
0,1, 2,..., N .
(4.14)
Apabila harga saham meningkat, maka nilai opsi put akan mendekati nol pada saat S = Smax, sehingga
vMi
0, i
(4.15)
0,1, 2,..., N .
Persamaan (4.14) dan (4.15) adalah merupakan syarat batas. Pada
pendahuluan
telah
disebutkan
bahwa
penelitian
ini
akan
menggunakan transformasi peubah, yaitu harga saham S diubah (ditransformasi) menjadi ln S , sehingga pembahasan berikut mengenai transformasi peubah.
4.4 Transformasi Peubah Brennan dan Schwartz dalam Hull dan White menyatakan bahwa ketika S adalah harga saham, persamaan Black-Scholes lebih efisien menggunakan ln S daripada S apabila metode beda hingga diterapkan, karena jika
konstan maka
standar deviasi dari ln S juga konstan. Transformasi standar deviasi ln S pada interval
t tidak bergantung pada S dan t (Hull & White 1990).
Didefinisikan y
ln S dan V S , t
W y, t adalah harga opsi pada waktu
t. Turunan parsial (bukti lihat lampiran 4) terhadap S, t dan y adalah:
32
V S
W e y
y
2
2 V W W e 2y 2 2 y S y V W t t Substitusi (4.16) pada Persamaan Black-Scholes V V 1 2 2 2V rS S rV 0 t S 2 S2 diperoleh W 1 2 2 y 2W W y W y re e e e 2 t y 2 y y
W t
r
W y
2
1 2
2
W y2
W y
rW
(4.16)
2y
rW
0
0
W 1 2 W 1 2 2W r rW 0 (4.17) t 2 y 2 y2 Untuk menerapkan metode beda hingga, peubah y dipartisi dengan interval
y . Misalkan harga saham minimum adalah nol dan maksimum tak hingga. Maka harga saham yang mungkin adalah 0, y, 2 y, diterapkan metode ini, dipilih
, y, y
y,
,
. Ketika
y sekecil mungkin dan harga saham maksimum
berhingga. Karena ln 0 tidak terdefinisi maka minimum dari ln S mendekati nol tapi tidak sama dengan nol. Sehingga dipilih minimum ln S adalah diskretisasi untuk t adalah 0, t , 2 t ,
, t, t
t,
,
. Sedangkan
. Sehingga nilai aprok-
simasi untuk opsi put Amerika dengan transformasi peubah pada waktu ti dan harga saham y j dengan i .
wij
0, 1, 2,
w j S,i t
, N dan j w y j , ti
0, 1, 2,
, M dinyatakan oleh
W y, t .
(4.18)
Akibat dari transformasi peubah maka kondisi syarat batas untuk opsi put Amerika adalah sebagai berikut: Persamaan (4.14) menyatakan nilai opsi put pada saat harga saham sama dengan nol adalah K, maka v0i
K, i
0,1, 2,..., N .
sehingga diperoleh w i
K , untuk
semua i. Apabila harga saham meningkat, nilai opsi put dengan y
ln S akan
Dengan transformasi peubah maka ln S =
mendekati nol pada saat S
S Max sehingga wMi
0, i
0, 1, 2, ..., N . Persamaan
33
(4.13) menyatakan bahwa nilai opsi put pada saat T adalah max K
ST , 0 ,
dengan ST menyatakan harga saham pada saat T, maka syarat batasnya v Nj
max K
menjadi w Nj
j S, 0 , j
0, 1, 2, ..., M . Karena y
max K e j y , 0 , j
ln S maka syarat batasnya
0, 1, 2, ..., M .
4.5 Metode Beda Hingga Eksplisit Hull dan White (1990) menyatakan bahwa metode beda hingga eksplisit dalam komputasi tidak memerlukan matriks invers, sehingga turunan parsial aproksimasinya menggunakan beda maju dan aproksimasi turunan parsial
v t
v dan S
2
v pada langkah waktu i+1 menggunakan aproksimasi beda pusat. Substitusi S2 (4.7), (4.10) dan (4.12) ke dalam (2.10) diperoleh persamaan
v ij
1
v ij
rj S i vj 2 S
t
1 1
v ij
2 2
S2
2 S
2
j
1 1
v ij
1 1
2v ij
1
v ij
1 1
rv ij
0
(4.19)
Persamaan (4.19) dapat disederhanakan (lihat lampiran 5) menjadi: v ij
untuk i
0, 1, 2,
1 a1 j v ij 1 r t
1 1
b1 j v ij
, N 1 dan j 1, 2,
1
c1 j v ij
1 1
(4.20)
,M 1
dengan
a1 j
1 rj t 2
1 2
2
j 2 t , b1 j
1
2
j 2 t dan c1 j
1 rj t 2
1 2
2
j2 t .
(4.21)
v ij dapat ditentukan mundur menggunakan v ij 11 , v ij 1 dan v ij 11 , sehingga skema
metode beda hingga eksplisit dapat digambarkan seperti di bawah ini. v ij 11
v ij
v ij 1
v ij 11
Gambar 2 Skema Beda hingga Eksplisit
34
Pada (4.20) untuk setiap nilai j
0, 1, 2,
, M maka akan terdapat suatu
sistem persamaan linier, yaitu
0,
v0i
b10 v0i 1
c10 v1i
1
j 1,
v1i
a11v0i 1
b11v1i
1
j
2,
v2i
a12 v1i
b12 v2i 1
j
M 1, vMi
j
M,
j
1
c11v2i 1 c12 v3i 1
a1M 1vMi 1 2 b1M 1vMi 1 1 c1M 1vMi 1
1
vMi
a1M vMi 1 1
b1M vMi 1
Sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks tridiagonal sebagai berikut:
b10
c10
a11 b11 ... ... 0 0 0
0
0
...
0
0 0 ...
0 0 ...
c11 ... 0 ... ... ... ... ... a1M 1 b1M 1 c1M 1 a1M b1M 0 ... 0
v0i 1 v1i 1 ... vMi 1 1 vMi 1
Bentuk (4.22) dapat dinyatakan sebagai v ij
v0i v1i ...
.
(4.22)
i M 1 i M
v v
Av ij 1 , untuk j
0, 1, 2,
,M.
Vektor v ij 1 untuk i 1 T telah diketahui dari syarat akhir, kerena itu untuk menyelesaikan v ij dapat dilakukan dengan bekerja mundur menggunakan matriks A yang unsur-unsurnya telah diketahui, untuk j
0, 1, 2,
,M.
4.6 Metode Beda Hingga Implisit Niwiga (2005) menyatakan untuk menentukan harga opsi put Amerika dengan metode beda hingga implisit, aproksimasi turunan-turunan parsial pada Persamaan
Black-Scholes
adalah
sebagai
berikut:
turunan
parsial
v t
diaproksimasi dengan persamaan beda maju, sedangkan aproksimasi beda pusat digunakan untuk mengaproksimasi turunan parsial
v dan S
2
v pada langkah S2
waktu i. Substitusi (4.7), (4.10) dan (4.12) ke dalam (2.10) diperoleh
35
v ij 1
v ij
2
rj S i vj 2 S
t
v ij
1
j2 S 2 i vj 2 S2
1
2v ij
1
v ij
1
rv ij 1
0
(4.23)
Persamaan (4.23) dapat disederhanakan menjadi:
v ij 1 untuk i
1 a2 j v ij 1 r t
0, 1, 2,
1
b2 j v ij
c2 j v ij
, N 1 dan j 1, 2,
dengan
a2 j
dan
c2 j
1 rj t 2 1 rj t 2
1 2
(4.24)
1
, M 1, 2
1 2
j 2 t , b2 j 2
1
2
j2 t
j2 t .
(4.25)
Dengan demikian v ij 1 dapat dihitung maju menggunakan v ij 1 , v ij dan v ij 1 , sehingga skema beda hingga implisit dapat digambarkan seperti di bawah ini v ij
1
v ij
v ij
v ij 1
1
Gambar 3 Skema beda hingga implisit Untuk j
0, 1, 2,
, M , (4.24) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai
berikut:
b20
c 20
a 21 ... 0
b21 ... 0
0
0
0
...
0
c 21 ... 0 ... ... ... ... ... a 2 M 0
...
0
1
0 0 ...
0 0 ...
b2 M 1 a2M
c2 M 1 b2 M
v0i v1i ... v Mi 1 v Mi
Bentuk (4.26) dapat dinyatakan sebagai vij 1 Penyelesaian dari v ij 1
Av ij adalah v ij
v0i 1 v1i 1 ... v Mi 1 1 v Mi 1
Avij , untuk j
(4.26)
0, 1, 2,
,M.
A 1v ij 1 . Unsur-unsur pada vektor v ij 1
untuk i 1 T telah diketahui. Dengan iterasi berulang dari waktu T sampai nol akan didapat nilai opsi v.
36
4.7 Metode Beda Hingga Crank-Nicholson Skema metode beda hingga Crank-Nicholson ini diperoleh dengan cara mengambil rata-rata dari penjumlahan (4.20) dan (4.24), yaitu:
v ij 1 v ij
rj S i 1 i 1 i vj 1 vj 1 vj 4 S
t
j2 S 2 i 1 vj 1 4 S2
v ij
1
1
2
2v ij 1
v ij 11
v ij
2v ij
1
v ij
1 i rv j 2
1
rv ij 1 .
(4.27)
Persamaan (4.27) dapat disederhanakan menjadi: a3 j v ij
untuk i
0, 1, 2,
dengan
1
b3 j v ij
c3 j v ij
1
a 4 j v ij 11
, N 1 dan j 1, 2, 1 rj t 4
a3 j
c3 j b4 j
1
1 4
2
1 rj t 4
1 4
1 r t 2
1 2
b4 j v ij 1
c 4 j v ij 11
(4.28)
, M 1,
j 2 t , b3 j
1
1 r t 2
1 2
1 rj t 4
2
j 2 t , a4 j
2
j 2 t dan c 4 j
2
1 4
1 rj t 4
1 4
j2 t , 2
j2 t , 2
j2 t .
(4.29)
Matriks tridiagonal dari (4.27) dapat dinyatakan sebagai berikut
0
0
c31 ... 0 ... ... ... ... ... a3M
0 ...
0 ...
c30
a31 ... 0
b31 ... 0
0
0
0
...
0
a3M
b3 M
b40
c 40
0
...
0
a 41 ... 0
b41 ... 0
0 0 ...
0 0 ...
0
0
b4 M 1 a4M
c4 M 1 b4 M
Persamaan
Avij
0
b30
Bvij 1
0
...
c 41 ... 0 ... ... ... ... ... a 4 M 0
...
0
1
1
b3M
(4.30) dapat dinyatakan adalah
vij
c3 M
1
1
v0i v1i ... v Mi 1 v Mi v0i 1 v1i 1 ... v Mi 1 1 v Mi 1
sebagai Av ij
(4.30)
Bv ij 1 . Penyelesaian dari
A 1Bvij 1 . Unsur-unsur pada vektor
v ij 1
untuk
i 1 T telah diketahui. Dengan iterasi berulang dari waktu T sampai nol akan
didapat nilai opsi v.
37
4.8 Metode Beda Hingga Eksplisit dengan Transformasi Peubah
y dan t adalah interval
Trevor dan Richard (1990) menyatakan jika
w , y
untuk harga saham dan waktu, maka aprosimasi untuk
2
w t
w dan y2
berturut-turut adalah sebagai berikut : v ij 11
w y
v ij 11
2 y
w y2
v ij 11
w t
v ij
2
2v ij 1
v ij 11
y2 1
v ij
(4.31)
t
Substitusi (4.31) ke dalam (4.17) diperoleh w ij 1
w ij
1
t
2 y
r
2
1 2
2
w ij 11
w ij 11
w ij 11
2 y2
2 w ij 1
w ij 11
rw ij
0
Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi: w ij
untuk i
0, 1, 2,
dengan
1j
w ij 11
, N 1 dan j 1j
dan
1 1 r t
1j
t r 2 y
t r 2 y
1j
1, 2, 1 2
1 2
w ij 1
1j
w ij 11
(4.32)
,M 1 t
2
2 y
2
2
t
2
,
1j
1
2
t y
2
2
2 y2
.
(4.33)
Bentuk matriks tridiagonal dari (4.32) adalah 10
10
0
11
11
11
0 ...
0 0 ...
0 0 ...
1M 1
1M 1
1M 1
1M
1M
...
0
... 0
... 0
... ...
... ... ...
0
0
0
...
0
w0i 1 w1i 1 ... wMi 1 1 wMi 1
Persamaan (4.34) dapat dinyatakan sebagai wij
w0i w1i ... wMi 1 wMi
Awij 1 , untuk j
(4.34)
0, 1, 2,
,M.
38
Vektor wij 1 untuk i 1 T telah diketahui dari syarat akhir. Kerena itu, untuk menyelesaikan wij dilakukan dengan bekerja mundur menggunakan matriks A yang unsur-unsurnya telah diketahui, untuk j
0, 1, 2,
,M.
4.9 Metode Beda Hingga Implisit dengan Transformasi Peubah Pada metode beda hingga implisit, aproksimasi untuk turunan parsial W(y,t) hampir sama dengan aproksimasi yang digunakan pada metode eksplisit. Metode eksplisit menggunakan langkah waktu
t 1 , sedangkan metode implisit
menggunakan langkah waktu t. Sehingga aproksimasi yang digunakan adalah: w y
v ij
2
w y2
v ij
w t
v ij
v ij
1
1
,
2 y
2v ij 1 v ij
1
y 1
v ij t
1
2
.
(4.35)
Substitusi (4.35) ke dalam (4.17) diperoleh:
wij 1 wij t
1 2 y
r
1 2
2 2
wij
1
wij
1
2 y2
wij
2 wij
1
wij
rw ij 1
1
0.
Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:
wij 1 dengan
2j
dan
2j
1 1 r t
2j
t r 2 y
1 2
t r 2 y
wij 11
2j
wij 1
2 y2 1 2
2
wij 11
2
t
2
2j
t
,
2j
1
(4.36) t
2
y2
2
2 y2
.
(4.37)
Bentuk matriks tridiagonal dari (4.36) adalah 20
210
21
21
0
0 ...
0 0 ...
2M 1
2M 1
2M 1
2M
2M
0
... 0
... 0
... ...
... ... ...
0
0
0
...
21
0 0 ...
...
0
w0i w1i ... wMi 1 wMi
w0i 1 w1i 1 ... wMi 1 1 wMi 1
(4.38)
39
Persamaan (4.38) dapat dinyatakan sebagai wij 1
Penyelesaian dari wij 1
Awij adalah wij
Awij , untuk j
0, 1, 2,
,M.
A 1wij 1 . Unsur-unsur pada vektor wij 1
untuk i 1 T telah diketahui. Dengan iterasi berulang dari waktu T sampai nol akan didapat nilai opsi w.
4.10 Analisis Kestabilan Untuk menganalisis kesetabilan skema metode beda hingga diperlukan beberapa definisi dan teorema, berdasarkan (Bradie 2006) yaitu:
Definisi 1 Sebuah matriks norm adalah suatu fungsi dan A
: Rn
R , untuk semua A,B R n
n
n
R memenuhi: 0,
A , A B
A
A
B dan A B
A
B .
Definisi 2 Misalkan A
R n n , jika untuk beberapa
sehingga Ax
x , maka
berhubungan dengan
terdapat vektor tak nol sedemikian
adalah nilai eigen dan x vektor eigen yang
.
Definisi 3 Radius spectral dengan
A
dari matriks A, didefinisikan oleh
A
max A
,
A himpunan nilai eigen dari A.
Teorema 1 Misalkan A matriks berukuran n n , maka
A
A .
Bukti: Misalkan
A yang berhubungan dengan vektor eigen x, dengan mengambil
norm dari Ax
x , yaitu: x
x A
Ax
A x
40
jadi
A
A .
max A
Mitchell dan Griffiths (1990) menyatakan jika A adalah matriks tridiagonal b a
berukuran N N , dengan
c b
0 ... 0 c ... 0
0 0
0 0
A = ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ... a b c 0 0 0 ... 0 a b
serta a, b dan c bilangan riil dan ac > 0, maka nilai eigen dari A adalah
b 2 ac cos
k
k 1, 2,3,
dan
k N 1
(4.39)
,N
Lax-Richtmyer dalam Niwiga (2005) menyatakan bahwa syarat untuk kestabilan adalah A
1 , sehingga berdasarkan Definisi 3 dan Teorema 1 maka
A
1 . Jadi untuk menentukan kestabilan skema metode beda
max A
hingga, maka akan dianalisis nilai eigen dari matriks pada (4.22), (4.26), (4.34) dan (4.38).
4.10.1 Kestabilan metode beda hingga eksplisit Untuk menganalisis kestabilan metode beda hingga eksplisit digunakan matriks pada (4.22). Unsur-unsur tak nol pada matriks tersebut adalah
1 rj t 2
a
1 2
2
j2 t ,
2
b 1
j 2 t dan
1 rj t 2
c
1 2
2
j2 t .
Nilai eigen untuk matriks dengan unsur-unsur tak nol a, b dan c di atas adalah k
b 2 ac cos
1
2
2
j
1
2
j2 t 2
k N 1
1 rj t 2
t 2
1 4
rj t
1 2
2
2
j
2
2
t
j2 t
1 rj t 2
2
0.5
1 2
0.5
cos
2
k N
j
2
t
cos
k N
(4.41)
41
dengan k
1, 2, 3,
, N 1 . Selanjutnya dengan menerapkan ekspansi binomial
pada bagian akar dan menghilangkan beberapa suku, maka (4.41) dapat disederhanakan menjadi (lihat lampiran 6) 2
1 2
k
j 2 t sin 2
k (Niwiga 2005). 2N
Persamaan akan stabil jika
A
max 1 2
2
A
k 2N
j 2 t sin 2
1.
(4.42)
Dari Persamaan (4.42) diperoleh 2
1 1 2 2
1 2
0 Karena 0 sin 2
0
j2 t
k 2N
j 2 t sin 2
k 2N
k 2N
0
j 2 t sin 2
j 2 t sin 2
k 2N
1
1.
1 , sehingga metode beda hingga eksplisit akan stabil jika
1.
4.10.2 Kestabilan metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah Untuk menganalisis kestabilan metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah digunakan matriks pada (4.34) . Unsur-unsur tak nol pada matriks tersebut adalah
t r 2 y
a
1 2
t
2
t 2 dan y2
2
2 y2
,b 1
c
t r 2 y
1 2
2
t
2 y2
Nilai eigen untuk matriks dengan unsur-unsur tak nol a, b dan c di atas adalah k
b 2 ac cos
1
t 2 y2
1
t 2 y2
k N 1
2
t 2 y2
2
t 2 y2
t r 2 y 2
1 2
t r 2 y
t 2 y2
2
1 2
2 2
0.5
t r 2 y
0.5
cos
k N
1 2
2
2
cos
k N
.
42
t 2 y2
1
dengan k
t 2 1 y2
y2
r
2
2 0.5
1 2
2
2
cos
k . N
(4.43) y2
, N 1 . Selanjutnya dengan asumsi
1, 2, 3,
r2
2
1 2
2
1 dan
menerapkan ekspansi binomial pada bagian akar serta menghilangkan beberapa suku, maka (4.43) dapat disederhanakan menjadi 2
1 2
k
t
y
2
k . 2N
sin 2
Persamaan akan stabil jika 2
A
max 1 2
y
A
t 2
sin 2
k 2N
1.
(4.44)
Dari Persamaan (4.44) diperoleh 2
1 1 2
Karena
0 sin
k 2N
y
t 2
k 2N
sin 2
1.
1 , sehingga metode beda hingga eksplisit dengan 2
t
transformasi akan stabil jika
1 atau 2
y2
t
y2 2
2
.
4.10.3 Kestabilan metode beda hingga implisit Untuk menganalisis kestabilan metode beda hingga implisit digunakan matriks pada (4.26). Unsur-unsur tak nol pada matriks tersebut adalah 1 rj t 2
a
1 2
2
j2 t ,
2
b 1
j 2 t dan
1 rj t 2
c
1 2
2
j2 t .
Nilai eigen untuk matriks dengan unsur-unsur taknol a, b dan c di atas adalah k
b 2 ac cos
2
1 2 rj t 2
1
2
j
1
2
j2 t 2
t
k N 1
1 4
rj t
1 2 2
2
j
2
2
1 rj t 2
t
j2 t
2
0.5
cos
1 2
k N
0.5 2
j
2
t
cos
k N
43
2
1
dengan k
j
2
2
t
1, 2, 3,
j
2
0.5
r2 4 2 j
t 1
1 2sin 2
k 2N
.
(4.45)
, N 1 . Selanjutnya dengan menerapkan ekspansi binomial
pada bagian akar dan menghilangkan beberapa suku, maka (4.45) dapat disederhanakan menjadi
1 2
2
j2 t
2
2
j 2 t sin 2
k . 2N
max 1 2
2
j2 t
2
2
j 2 t sin 2
k 2N
k
Persamaan akan stabil jika A
A
1.
(4.46)
Dari Persamaan (4.46) diperoleh 2
1 1 2 2
2 2 1 Karena
sin 2
2
k 2N
j2 t
2
j2 t
2
j2 t 2
j2 t
2
2
2
j 2 t sin 2
k 2N
k 2N
0
j 2 t sin 2
j 2 t sin 2
k 2N
1
0
0 , maka skema metode beda hingga implisit akan stabil jika
1.
4.10.4 Kestabilan metode beda hingga implisit dengan transformasi peubah Untuk menganalisis kestabilan metode beda hingga imsplisit dengan transformasi peubah digunakan matriks pada (4.38). Unsur-unsur tak nol pada matriks tersebut adalah t r 2 y
a
1 2
t
2
2
2 y2
t
,b 1
2
y2
dan
c
t r 2 y
1 2
t
2
2
2 y2
Nilai eigen untuk matriks dengan unsur-unsur tak nol a, b dan c di atas adalah k
1
b 2 ac cos t 2 y2
2
t 2 y2
k N 1 t r 2 y
1 2
2
t 2 y2
0.5
t r 2 y
1 2
2
cos
k N
.
44
1
t 2 y2
t 2 1 y2
y2
1
t 2 y2
t 2 1 y2
y2
dengan k
1, 2, 3,
2
2
r
2
r
2
0.5
2
1 2
2
0.5
2
1 2
k N
cos
2
1 2sin 2
k . 2N
(4.47)
y2
, N 1 . Selanjutnya dengan asumsi
2
r2
1 2
2
1 dan
menerapkan ekspansi binomial pada bagian akar dan menghilangkan beberapa suku, maka (4.47) dapat disederhanakan menjadi 2 k
1 2
y
2
t
2
2
t
y
2
k . 2N
sin 2
Persamaan akan stabil jika 2
A
max 1 2
y
A
2
t
2
2
y
t 2
sin 2
k 2N
1.
(4.48)
Dari (4.48) diperoleh 2
1 1 2
y
2
2 2
y 2
1 2
Karena
y
t 2
y
t 2
2
t
2
2
y
2
2
t 2
0 dan 0 sin 2
y
2
t
y
2
t
t 2
2
k 2N
k 2N
sin 2
sin 2
k 2N
sin 2
k 2N
1
0
0
1 , skema metode beda hingga implisit dengan 2
transformasi peubah akan stabil jika
t
y
2
1.
Berdasarkan analisis kestabilan di atas maka dalam penelitian ini metode eksplisit beda hingga tidak diimplementasikan pada software yang dipergunakan untuk menentukan harga opsi put Amerika, karena relatif sulit untuk menentukan nilai
, j dan t yang memenuhi 0
2
j2 t
1 . Dengan demikian untuk me-
nentukan harga opsi put Amerika digunakan metode beda hingga implisit, CrankNicholson, serta eksplisit dan implisit dengan transformasi.
45
Prosedur untuk menentukan harga opsi put Amerika dari keempat metode tersebut adalah relatif sama. Msalkan pada metode implisit, dengan menerapkan syarat batas (4.14) dan (4.15) maka b20 1 dan b2 M
0 karena v0i
K dan vMi
0,
sehingga dengan menggunakan (4.24) terdapat M 1 persamaan untuk menyelesaikan M 1 peubah yang belum diketahui, yaitu v1N 1 , v2N 1 ,
, vMN 11 . Hull
(2003) menyatakan setelah sistem persamaan tersebut diselesaikan, setiap nilai dari v Nj 1 dibandingkan dengan K dieksekusi, maka ditetapkan K
j S . Jika v Nj
1
K
j S opsi akan opti-mal
j S sebagai nilai intrinsik opsi. Niwiga (2005)
menyebutkan bahwa harga opsi yang akan ditentukan dengan menggunakan metode implisit dan Crank-Nicholson diberikan oleh v NM
1 /2
. Untuk metode
eksplisit dan implisit dengan transformasi peubah, setelah syarat keoptimalan diterapakan harga opsi ditentukan dengan interpolasi. Hal ini dilakukan akibat dari transformasi peubah.
46
BAB V HASIL SIMULASI Pada bab ini akan disajikan beberapa hasil pendekatan numerik harga opsi put Amerika menggunakan metode beda hingga. Algoritma yang disusun di bawah
ini
untuk
menentukan
harga
opsi
put
Amerika.
Selanjutnya
diimplementasikan dengan software Matlab 6.5 yang dijalankan pada komputer dengan sistem operasi Windows XP prosesor Intel (R) Pentium(R) Dual CPU @1.6 GHz (2CPUs) dan memori 512 MB.
5.1 Implementasi pada Matlab Pada pembahasan sebelumnya bahwa penerapan metode beda hingga pada persamaan Black-Scholes menghasilkan suatu sistem persamaan linear yang dapat dinyatakan dalam persamaan matriks. Contohnya adalah persamaan vij
A 1vij 1
yang diperoleh dengan metode beda hingga implisit. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut Matlab mempunyai fasilitas untuk menentukan invers suatu matriks, sehingga metode beda hingga implisit, Crank-Nicholson maupun metode beda hingga eksplisit dan implisit dengan transformasi peubah dapat diimplementasikan pada Matlab. Untuk mengimplementasikan pada Matlab, maka disusunlah algoritma. Berikut ini adalah algoritma untuk metode beda hingga implisit, yaitu: 1 input : S , K , r , , T , M , N 2 tentukan panjang interval untuk S dan t 3 gunakan syarat batas dan syarat akhir opsi put Amerika 4 tentukan elemen-elemen matriks A dengan menggunakan (4.25) 5 tentukan matriks A yang diperoleh dari langkah keempat 6 selesaikan (4.26) 7 gunakan ketentuan syarat keoptimalan opsi put Amerika 8 output : harga opsi put Amerika.
47
Algoritma untuk metode beda hingga Crank-Nicholson sama dengan metode implisit. namun untuk metode eksplisit dan implisit dengan transformasi langkah kedelapan menggunakan interpolasi
akibat dari transformasi
y
ln S dan
W y, t .
V S,t
5.2 Hasil Simulasi dengan Matlab Simulasi hasil implementasi metode beda hingga untuk menentukan harga opsi put Amerika dilakukan dengan mengambil beberapa contoh kasus kontrak opsi. Selanjutnya diamati perbandingan harga opsi yang diperoleh dan waktu komputasi serta diamati pula hubungan harga opsi dengan parameter-parameter yang menen-tukan harga opsi.
5.2.1 Perbandingan metode Suatu kontrak opsi yang diterbitkan pada tanggal 6 Januari 2003 pada saham IBM untuk jangka waktu satu bulan dilakukan ketika harga saham $81.65 dengan harga eksekusi $85, tingkat suku bunga sebesar 8% dan volatilitas 40% (Bodie et al. 2006). Hasil yang diperoleh disajikan dalam Tabel 1 berikut Tabel 1 Perbandingan harga opsi dan waktu komputasi dari empat metode dengan M dan N yang bervariasi Implisit
Crank-Nicholson
Eksplisit dengan transformasi peubah Harga Waktu Opsi ($) (detik)
Implisit dengan transformasi peubah Harga Waktu Opsi ($) (detik)
M
N
Harga Opsi ($)
Waktu (detik)
Harga Opsi ($)
Waktu (detik)
10
10
4.8986
0.0160
4.9161
0.0270
4.8378
0.0130
4.7720
0.0130
30
30
5.3614
0.0167
5.3734
0.0273
5.4233
0.0160
5.3989
0.0160
70
70
5.3703
0.0170
5.3757
0.1100
5.3801
0.0165
5.3693
0.0180
100
100
5.3620
0.0230
5.3658
0.3280
5.3789
0.0210
5.3714
0.0210
300
300
5.3740
0.4530
5.3753
14.9765
5.3799
0.2900
5.3774
0.2970
500
500
5.3750
3.6870
5.3758
265.4220
5.3782
2.1870
5.3766
2.9060
800
800
5.3754
17.9790
5.3759
2297.3280
5.3775
9.2810
5.3765
13.1250
Berdasarkan Tabel 1, grafik perbandingan harga opsi dan waktu komputasi dari empat metode tersebut ditampilkan dalam Gambar 4, 5 dan 6.
48
5.5 5.4 5.3 Implisit
5.2
Crank-Nc
5.1
Imp. Tf 5
Eks. Tf
4.9 4.8 4.7 10\10
30\30
100\100
800\800
Nilai M dan N
Gambar 4 Perbandingan harga opsi
2500
20 18
2000
16
12 Implisit
10
Eks. Tf. Imp. Tf.
8
Waktu (detik)
Waktu (detik)
14 1500
1000
6 500
4 2
0
0 500\500
800\800 Nilai M dan N
Gambar 5 Perbandingan waktu komputasi
500\500
800\800
Nilai M dan N
Gambar 6 Waktu komputasi metode Crank-Nicholson
Dari Gambar 4 terlihat bahwa harga opsi yang diperoleh dengan menggunakan empat metode tersebut relatif hampir sama untuk M dan N yang lebih besar atau sama dengan 100. Gambar 5 dan 6 memperlihatkan metode eksplisit dengan transformasi
peubah waktu komputasinya paling cepat dibandingkan dengan
ketiga metode lainnya, sehingga berdasarkan waktu komputasi metode eksplisit dengan transformasi relatif lebih baik dari pada tiga metode lainnya.
5.2.1 Hubungan harga opsi dengan beberapa parameter yang menentukan harga opsi Dengan menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah, serta nilai S, r, dan T yang bervariasi akan diperlihatkan hubungan antara
49
harga opsi dengan harga saham, harga opsi dengan suku bunga dan harga opsi dengan waktu jatuh tempo. Tabel 2, 3 dan 4 berikut menyajikan harga opsi put amerika dengan S, r, dan T yang bervariasi .
Tabel 2 Harga opsi put dengan parameter K 22, r 0.1, 0.25, T dan M = N = 100 serta harga saham awal yang bervariasi. Harga Saham Awal ($) Harga Opsi put Amerika ($)
17.0
18.0
18.5
19.0
19.5
20.0
5.0000
4.0000
3.5013
3.0380
2.6215
20.5
21.0
0.5
21.5
22.0
2.2478 1.9137 1.6281 1.3762 1.1541
Berdasarkan Tabel 2, diperoleh grafik sebagai berikut
6.0
Harga Opsi ($)
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0 17.0
18.0
18.5
19.0
19.5
20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
Harga Saham ($)
Gambar 7 Hubungan harga opsi dengan harga saham awal Gambar 7 memperlihatkan bahwa jika harga saham meningkat maka harga opsi put Amerika akan menurun. Hal ini sesuai dengan Hull (2003) yang menyatakan bahwa jika parameter harga saham meningkat menuju tak hingga sedangkan parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan menurun menuju nol. Tabel 3 Harga opsi put dengan parameter S 20, K 22, dan M = N = 100 serta suku bunga yang bervariasi. Suku Bunga(%) Harga OpsiPut Amerika($)
1
2
3
2.6281 2.5714 2.5195
4
5
6
7
8
0.25, T
9
2.4716 2.4273 2.3858 2.3478 2.3122 2.2783
0.5
10
15
2.2478
2.1254
50
Berdasarkan Tabel 3, diperoleh grafik sebagai berikut 2.8 2.6
Harga Opsi ($)
2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
Suku Bunga (%)
Gambar 8 Hubungan harga opsi degan suku bunga Gambar 8 adalah sesuai dengan Hull (2003) yang menyatakan bahwa jika parameter suku bunga meningkat, sedangkan parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan menurun. Hal tersebut juga sesuai dengan kenyataan, yaitu jika suku bunga relatif rendah ada kemungkinan investor memilih menginvestasikan uangnya pada opsi, sehingga harga opsi menjadi meningkat seiring meningkatnya permintaan. Jika suku bunga relatif tinggi ada kemungkinan investor memilih menginvestasikan uangnya di bank, sehingga permintaan terhadap opsi ada kemungkinan relatif menurun akibatnya harga opsi menjadi menurun.
Tabel 4 Harga opsi put dengan parameter S 20, K 22, r 0.1, dan M = N = 100 serta waktu jatuh tempo yang bervariasi. Waktui Jatuh Tempo (bulan) Harga Opsi put Amerika ($)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.25
11
12
2.0049 2.0500 2.1053 2.1566 2.2020 2.2478 2.2906 2.3268 2.3546 2.3881 2.4117 2.4350
51
Berdasarkan Tabel 4, diperoleh grafik sebagai berikut 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Waktu Jatuh Tempo (bulan)
Gambar 9 Hubungan harga opsi degan waktu jatuh tempo
Gambar 9 adalah sesuai dengan Hull (2003) yang menyatakan bahwa jika parameter waktu jatuh tempo meningkat, sedangkan parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan meningkat. Hal ini terjadi karena terkait dengan kebebasan waktu eksekusi pada opsi Amerika
52
BAB VI SIMPULAN 1. Harga opsi put Amerika dengan pendekatan analitik dapat dinyatakan dalam suatu formula yang memuat parameter S
yang menyatakan harga kritis
saham. Formula tersebut adalah
p S,
P S,
1
A1 S / S
K S, dengan
T t, h A1
1
1 N
1 2
1 e
r
S
jika S
S
2r
,
2
d1 S
1
, jika S
S /
1
2
1
4 h
.
2 Penentuan harga opsi put Amerika dengan menggunakan metode beda hingga, menunjukkan bahwa metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah merupakan metode yang lebih baik dibandingkan dengan ketiga metode lainnya berdasarkan waktu komputasinya. 3 Berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi hubungan antara pengaruh harga saham pada waktu kontrak dibuat, waktu jatuh tempo dan tingkat suku bunga terhadap harga opsi sebagai berikut: a semakin tinggi harga saham pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah b semakin tinggi suku bunga pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah c semakin lama waktu jatuh tempo maka harga opsi semakin tinggi.
53
DAFTAR PUSTAKA Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005. Investasi. Jilid 1, 2. Budi Wibowo, penerjemah;
Jakarta: Salemba Empat. Terjemahan dari ” Invesment ”.
Bradie B. 2006. A Friendly Introduction to Numerical Analysis. Prentice Hall. Buchanan, JR. 2006. An undergraduate Introduction to Financial mathematics. Singapore: Word Scientific Publising Co. Pte. Ltd. Chamberlain TW, Chiu R. 1990. The Valuation of American Calls on Futures Contracts: A Comparation of Methods. Quartely Journal of Business and Economic: VOL. VIII. 3-25 Gihman II, Skorohod AV. 1972. Stochastic Differential Equations. New York: Springer-Verlag. Hull, J C. 2003. Option Future and Other Derivative. Toronto: Prentice Hall International Inc. Hull J, White A. 1990. Valuing Derivative Securities the Explicit Finite Difference Method. Journal of Financial and Quantitative Analysis: VOL 25. 87-100 Kerman J. 2002. Numerical Methods for Option Pricing: Binomial and Finitedifference Approximations [tesis]. New York: Courant Institute of Mathematical Sciences New York University. Mitchell AR, Griffiths DF. 1990. Finite Difference Method in Partial Differential Equation. Dunde: Department of mathemathics University of Dunde Scotland. Niwiga, D B. 2005. Numerical Method For Valuation Of Financial Derivatives [tesis]. University of Werstern Cape, South Africa. Pauly, O. 2004. Numerical Simulation of American Option. [tesis] Universität Ulm. Ross SM. 1996. Stochastic Process. New York: John Wiley & Son Inc.
54
LAMPIRAN
55
Lampiran 1. Persamaan (2.4) adalah dS t
S t dt
Persamaan (2.5) adalah dV
V S
S
S t dW t .
V t
1 2
2
2
S2
V dt S2
V dS . S Substitusi (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh V d dV dS . S V V 1 2 2 2V V S S dt S dW t 2 S t 2 S S Persamaan (2.7) adalah d
0
Jadi d
S
V dW t . S
dV
S
V dt S
V dt t
S
V dt S
S
2
1 2
2
V dt S
S2
V dt S2
V dt t
S
V S
S t dt
V dW t S
S
2
1 2
2
S2
V dt S2
S
V dt S
V dW t S
S t dW t
S
V dW t S
S
V dW t S
V 1 2 2 2V dt S dt 0 t 2 S2 V 1 2 2 2V S dt t 2 S2 V t
2
1 2
2
S2
V dt S2
Lampiran 2. Telah diturunkan bahwa ln ST rataan dari ln ST
r
ln S 0 ~ N
r
1 2
2
T,
T , sehingga
ln S 0 adalah
1 2
2
T
an variansinya 2
T. (L2.1) Persamaan (2.13) menyebutkan bahwa ln ST berdistribusi normal dengan rataan m ln S 0 2
T.
r
1 2
2
T dan standar deviasi s
T , sehingga variansinya
56
ln ST
Persamaan (2.14) adalah Q
m
. T Substitusi (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh 2 1 1 Q ln ST ln S 0 r T 2 T T Jika a dan b suatu konstanata serta X suatu peubah acak maka (Buchanan 2007): aX b aE X b Var aX
a 2 Var X
b
1
Q
T
ln ST
ln S0
ln ST
ln S0
1 T 1
ln ST
2
1
r
T
2
1
r
T 1
ln S0
T
2
2 2
r
2
1 T
r
2
T
(L2.2)
T
2 T T Substitusi (L2.1) ke dalam (L2.2) diperoleh E Q
T
2
1 T
r
T
2
=0
1
Var Q =Var
=
=
T
ln S0
2
1 T
r
2
T
2
1
Var ln ST
T
1 2 T
ln ST
ln S0
2
T
=1 Jadi rataan dari Q adalah 0 dan variansinya 1.
Lampiran 3. T t. Persamaan (2.20) adalah d 2 d1 Jika N x menyatakan suatu fungsi berdistribusi normal maka (Hull 2003):
N' x
1 e 2
x2 2
(L3.1) Berdasarkan Persamaan (L3.1) maka
