BAB III PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA
Pada bab ini akan disajikan rumusan mengenai penilaian opsi put Amerika. Pada bagian pertama diberikan beberapa asumsi untuk penilaian opsi Amerika. Bentuk nilai intrinsik opsi put Amerika dibahas di bagian kedua. Kemudian di bagian ketiga akan disajikan formulasi dekomposisi nilai opsi put Amerika, dengan nilai batas atas dan batas bawah opsi put Amerika diberikan pada bagian keempat.
3.1 Asumsi-asumsi Asumsi-asumsi yang digunakan dalam penilaian opsi put Amerika, antara lain: 1. Tingkat suku bunga bebas risiko dan bernilai konstan. 2. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko. 3. Model pasar sempurna, tidak ada biaya transaksi jual atau beli pada saham atau opsi. 4. Perubahan harga saham mengikuti model gerak Brown. 5. Sebaran harga saham adalah lognormal dan ragam adalah konstan. 6. Tidak ada pembayaran dividen atas saham.
3.2 Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika Opsi Amerika yang memiliki waktu jatuh tempo pada waktu , memiliki nilai opsi bukan hanya ditentukan pada saat waktu jatuh tempo
seperti pada opsi
Eropa. Karena dalam kontrak opsi Amerika terdapat keleluasaan dalam waktu mengeksekusi sehingga opsi dapat dieksekusi kapan saja sejak kontrak dibuat sampai dengan waktu jatuh tempo. Oleh karena hal ini, penentuan nilai opsi Amerika menjadi hal menarik yang hingga saat ini masih banyak diteliti oleh para peneliti terdahulu.
37
Seperti hal nya opsi Eropa, opsi Amerika pun memiliki keadaan-keadaan dimana investor mengalami kerugian dan mengalami keuntungan ataupun tidak mengalami kerugian dan keuntungan (dalam hal ini disebut impas). Dalam opsi put Amerika keadaan dimana opsi memberikan keuntungan jika segera dieksekusi disebut in the money. Keadaan opsi yang memberikan kerugian jika opsi segera dieksekusi disebut out the money. Sedangkan keadaan dimana opsi yang tidak memberikan keuntungan maupun kerugian disebut at the money. Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh tempo, nilai intrinsiknya disebut sebagai nilai payoff. Misalkan S adalah harga saham dan K merupakan harga eksekusi (strike price). Apabila
<
, tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar
− , maka kontrak opsi put berada pada posisi in the money. Apabila
=
,
tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar nol, maka kontrak opsi put berada pada posisi at the money. Dan ketika
>
, tindakan eksekusi tidak
memberikan keuntungan. Maka kontrak opsi put berada pada posisi out the money. Karena pada saat keuntungan, maka untuk
≥
≥
, tindakan eksekusi opsi put tidak memberikan , didefinisikan nilai intrinsiknya opsi put adalah
nol. Dengan demikian, untuk setiap ∈ [0, ), nilai intrinsik opsi put dirumuskan sebagai:
= maks{0,
− }.
Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai ∈ [0, ∞) dan
(3.1) ( , ), untuk
∈ [0, ], dengan T menyatakan waktu jatuh tempo. Hubungan
nilai opsi put ( , ) dengan nilai intrinsik terdiri dari tiga kemungkinan:
Nilai opsi put Amerika ( , ) memenuhi ketaksamaan: ( , ) < maks{0,
− }.
Jika investor membeli kontrak opsi tersebut dengan harga
(3.2) ( , ) dan
kontrak opsi segera dieksekusi, maka investor akan memperoleh keuntungan bebas risiko sebesar
=
− − ( , ). Hal ini berarti bahwa terdapat peluang
terjadinya tindakan arbitrase, maka kemungkinan pertama tidak berlaku.
Nilai opsi put Amerika memenuhi persamaan: ( , ) = maks{0,
− }.
(3.3)
38
Maka akan terdapat dua reaksi investor tidak tertarik untuk membeli opsi karena investasi yang impas atau investor tertarik untuk membeli opsi karena adanya harapan bahwa nilai pengembalian opsi (return) pada saat opsi dieksekusi akan meningkat. Untuk mengantisipasi kedua kemungkinan tersebut, maka investor pemegang kontrak opsi lebih memilih mengeksekusi opsinya. Dengan demikian, persamaan memberikan keadaan bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsi put Amerika.
Nilai opsi put Amerika memenuhi ketaksamaan: ( , ) > maks{0,
− }.
(3.4)
Hal ini berarti bahwa tindakan eksekusi opsi akan merugikan karena nilai keuntungan opsi lebih kecil dari nilai kontrak opsinya. Akibatnya investor pemegang kontrak opsi lebih memilih untuk menjual kontrak opsi dengan harga ( , ) kepada pihak lain. Dengan demikian, ketaksamaan (3.4) menghasilkan
aksi jual kontrak opsi.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa nilai opsi put Amerika harus memenuhi ketaksamaan: ( , ) ≥ maks{0,
− }.
(3.5)
3.3 Formulasi Dekomposisi Nilai Opsi put Amerika. Model nilai opsi put Amerika. Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai
( , ), untuk
∈ [0, ∞) dan
∈ [0, ], dengan T
menyatakan waktu jatuh tempo. Nilai opsi put Amerika ( , ) merupakan fungsi
kontinu yang memetakan ( , ) ∈ [0, ∞) × [0, ], kebilangan real tak negatif.
Karena nilai opsi put Amerika ( , ) kontinu dan berlaku persamaan (3.5), maka untuk setiap
∈ [0, ) terdapat suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai
batas antara selang harga saham yang merupakan saat investor mengeksekusi kontrak opsi dan selang harga saham lainnya yang merupakan saat investor menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang ini disebut dengan nilai kritis untuk eksekusi opsi. Misalkan nilai kritis dituliskan sebagai , untuk ∈ [0, ) yang didefinisikan oleh: Sedemikian sehingga:
= maks{ | ( , ) =
− }
(3.6)
39
( , )=
≤ , Nilai kritis
,
−
(3.7)
( , ) > maks{0,
> ,
− }
(3.8)
∈ [0, ) berlaku sebagai nilai batas yang membagi selang harga
saham ( , ) ∈ [0, ∞) × [0, ] menjadi dua selang daerah bagian, yaitu daerah stopping
≡ [0, ] × [0, ], yang merupakan selang harga saham dengan waktu
yang tepat untuk mengeksekusi opsi, karena untuk memenuhi persamaan (4.3) dan ketaksamaan jadi untuk memenuhi:
∈ [0, ] , dengan +
+
∈ [0, ] nilai opsi put ( , ) +
−
∈ [0, ), maka nilai opsi put
1 + 2 ( , ) = maks{0,
−
− }
<0.
( , ) harus
<0
(3.9)
Selang daerah berikutnya yaitu daerah kontinu ℓ ≡ ( , ∞) × [0, ], yang
merupakan selang harga saham S yang tepat untuk menjual kontrak opsi kepada pihak lain. Berdasarkan persamaan persamaan (4.4) nilai opsi put memenuhi: +
+
( , ) untuk
1 + 2 ( , ) > maks{0,
+
∈ ( , ∞) dan −
− }.
=0
−
=0 dan
∈ [0, ) harus
(3.10)
Model nilai opsi put Eropa. Dengan diketahui konsep put-call parity pada maka nilai opsi put dapat juga ditentukan. Berdasarkan persamaan 2.10 dan persamaan 2.21, nilai opsi put Eropa dapat ditentukan sebagaimana dirumuskan pada Teorema berikut: Teorema 3.1. Misalkan eksekusi
( , ) adalah nilai opsi put tipe Eropa dengan harga
, tingkat suku bunga
dan volatilitas harga saham , maka nilai opsi
put diberikan oleh: ( , )=
(
)
(−
)−
(−
)
(3.11)
dimana:
40
−
≡
−
≡
ln( / ) − ln( / ) −
−
√ −
( − )
2
+ 2 ( − ) √ −
( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif.
[Carr et al. 1992]
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4)
Formulasi dekomposisi nilai opsi put Amerika. Pada saat kritis sebagai
= 0, misalkan harga saham dinotasikan sebagai
dan nilai
. Misalkan investor memiliki satu opsi put Amerika ketika harga
saham berada di atas batas eksekusi (
). Pada daerah tersebut tindakan
>
eksekusi tidak memberi keuntungan eksekusi, karena berdasarkan persamaan (3.8) nilai opsi lebih bernilai dari pengembalian eksekusi. Dalam kontrak opsi put Amerika, nilai keuntungan opsi pada saat jatuh tempo =
sama dengan nilai payoff, yaitu: ( , ) = maks{0,
−
}.
(3.12)
Nilai ekspektasi dari present value opsi put Amerika pada saat jatuh tempo merupakan bentuk dari nilai opsi put Eropa. Dengan demikian, untuk daerah kontinu ℓ, nilai opsi put Amerika dapat dirumuskan dalam bentuk dekomposisi opsi put Eropa dengan premi resiko seperti dalam teorema berikut:
Teorema 3.2. (Dekomposisi utama opsi put Amerika). Untuk daerah kontinu ℓ, nilai opsi put Amerika saat
dinotasikan sebagai
( , 0) =
terdiri dari nilai opsi put Eropa
dan nilai premi (opsi) untuk eksekusi dini (early exercise premium),
dimana =
=
=
+
(−
)−
= 0 yang
( , 0) =
:
(3.13)
(
(−
) .
)
41
dengan
−
−
=
(3.14)
√
=
√
=
√2
(3.15)
/
√
( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif: ( )=
/
/
[Carr et al. 1992]
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5)
3.4 Batas Atas dan Batas Bawah Nilai Opsi Put Amerika Syarat Batas. Untuk harga saham
menuju tak hingga, nilai intrinsiknya
memenuhi: lim maks{0, →
− }=0
Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham
yang
semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat
menuju tak hingga. Maka, nilai opsi
put harus memenuhi:
Kemudian jika bernilai
lim ( , ) = 0 →
= 0, maka nilai intrinsiknya maks{0,
− } akan
. Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi.
Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi put harus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsi put adalah: (0, ) = Dalam kenyataannya seorang investor tidak mengetahui batas nilai saham yang tepat untuk mengeksekusi atau menjual opsi. Hal ini berarti Investor tidak mengetahui nilai batas
pada persamaan (3.6). Karena posisi nilai
ini tidak
42
diketahui secara pasti, maka nilai batas
disebut sebagai nilai batas bebas. Nilai
opsi put ( , ) harus merupakan fungsi kontinu, sehingga: lim
( , )=
→
−
(3.16)
Dari persamaan (4.16) dapat diketahui bahwa
≥ , maka dari
persamaan (4.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas atas bagi nilai opsi put sebagai berikut: =
+
≤
ln( / ) − ( − +
( / )
∫
√
√
/2)
/
(3.17)
Untuk memperoleh nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put
,
diperlukan waktu eksekusi (stoping time ) tak terbatas. Dengan stoping time = ∞, akan diperoleh peluang harga saham yang cukup kecil (Merton, 1992).
Definisikan
merupakan harga saham yang memberikan eksekusi menjadi
maksimal dengan keuntungan sebesar
Karena
≤
− , dengan memenuhi: ≤∞
(3.18)
−
(3.19)
≤ , maka nilai keuntungan memenuhi:
Keuntungan eksekusi ≤
diperoleh jika
−
−
≥
diperoleh jika
(karena stoping time
diperoleh nilai batas:
≤
dan keuntungan
−
= ∞). Maka dari (3.18), dapat
≤
(3.20)
Dari persamaan (3.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put
sebagai berikut:
= ≤
+ +
ln( / ) − ( − ln(
√
/ )−( − √
/2) /2)
.
43
Dengan demikian, nilai opsi put Amerika mempunyai nilai batas sebagai berikut: ln
+ ≥
+
ln(
−
√
− 2
/ )−( − √
≥ /2)
.
44
