PENILAIAN OPSI REAL MENGGUNAKAN POHON KEPUTUSAN BINOMIAL
RITAWATI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
ABSTRACT RITAWATI. Real Option Valuation Using Binomial Decision Trees. Supervised by DONNY CITRA LESMANA dan RETNO BUDIARTI. A firm that decides to invest has a choice to invest in real assets. A method which is usually used in valuation of the project is discounted cash flow (DCF) method. But, this method can’t be used in projects that account for value of managerial flexibility, such as decision to suspend operations temporarily. Therefore, this kind of project needs to be assessed using real option. Real option valuation can be done in some ways, including the use of path-dependent simulation, as well as closed-form models like Black-Scholes model, partial differential equation, and binomial or multinomial approaches. In this paper, real option valuation using binomial decisions id discussed. Determination of the project value can be done in three steps. First, calculate the expected present value of the project. Next, calculate volatility of the project using Monte Carlo simulation. Last, construct a binomial tree to model the dynamics of the project value using the parameters of the stochastic process, and then add some decision nodes to model the project’s real options.
ABSTRAK RITAWATI. Penilaian Opsi Real Menggunakan Pohon Keputusan Binomial. Di bawah bimbingan DONNY CITRA LESMANA dan RETNO BUDIARTI. Perusahaan yang memutuskan untuk berinvestasi memiliki pilihan untuk berinvestasi pada aset real. Metode yang biasanya digunakan dalam penilaian suatu proyek adalah metode discounted cash flow (DCF). Namun, metode ini tidak dapat digunakan pada proyek yang memperhitungkan fleksibilitas manajerial, misalkan keputusan untuk menunda operasi proyek untuk sementara waktu. Sehingga suatu proyek yang memperhitungkan fleksibilitas manajerial, perlu dinilai menggunakan opsi real. Penilaian opsi real dapat dikalkulasi dalam beberapa cara, yaitu dengan menggunakan simulasi path-dependent, model bentuk tertutup seperti model Black-Scholes, persamaan diferensial parsial, dan pendekatan binomial dan multinomial. Pada karya ilmiah ini, penilaian opsi real menggunakan pohon keputusan binomial. Penentuan nilai proyek dapat dilakukan dalam tiga tahap. Pertama, menghitung nilai sekarang (present value) yang diharapkan dari proyek. Selanjutnya, menghitung volatilitas proyek menggunakan simulasi Monte Carlo. Terakhir, membangun pohon binomial untuk memodelkan dinamika dari nilai proyek yang menggunakan parameter dari proses stokastik dan menambah simpul keputusan untuk memodelkan opsi real.
Judul Nama NRP
: Penilaian Opsi Real Menggunakan Pohon Keputusan Binomial : Ritawati : G54051614
Disetujui:
Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. Pembimbing I
Ir. Retno Budiarti, MS. Pembimbing II
Diketahui:
Dr. drh. Hasim, DEA Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Tanggal Lulus: …………………….
KATA PENGANTAR Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini yang berjudul Penilaian Opsi Menggunakan Pohon Keputusan Binomial. Karya ilmiah ini merupakan syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penyelesaian karya ilmiah ini, terutama kepada Bapak Donny Citra Lesmana selaku dosen pembimbing I dan Ibu Retno Budiarti selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan bimbingannya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada orang tua penulis atas segala doa, restu, usaha, pengorbanan, dukungan, dan curahan kasih sayang yang telah diberikan hingga saat ini, serta kepada teman-teman yang selalu memberikan semangat dan dukungannya kepada penulis. Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Penulis berharap semoga penulisan karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis serta bagi pembacanya atau pihak lain yang membutuhkan. Bogor, September 2009
Ritawati
RIWAYAT HIDUP Penulis lahir pada tanggal 26 Agustus 1987 di Jakarta sebagai anak kedua dari empat bersaudara, dari pasangan Nawardi dan Nurma. Penulis memulai pendidikan di Taman Kanak Jakarta pada tahun 1992, kemudian melanjutkan pendidikan ke SDN 08 CBS Jakarta dan tamat pada tahun 1999 serta pada tahun yang sama penulis diterima di SLTP Negeri 117 Jakarta. Selanjutnya penulis melanjutkan pendidikannya di SMU Negeri 54 Jakarta dan lulus pada tahun 2005. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikannya ke Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru) dan diterima sebagai mahasiswi dengan mayor matematika dan minor statistika sosial ekonomi angkatan 42. Selama menjalani perkuliahan, penulis pernah menjadi Asisten Dosen Kalkulus II pada tahun 2008/2009. Selain itu penulis juga aktif dalam beberapa kepanitiaan di antaranya adalah kepanitiaan dalam kegiatan Matematika Ria pada tahun 2007 dan LES yang diselenggarakan oleh BEM KM IPB pada tahun 2007.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI ………………………………………………………………………………..... vii DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………………………… viii DAFTAR LAMPIRAN ……………………………………………………………………..... 15 I
PENDAHULUAN ………..………………………………………………………………. 1.1 Latar Belakang ..…...….………………………………………………………………. 1.2 Tujuan Penelitian ……...….…………………………………………………………… 1.3 Metodologi …..…….....…...…………………………………………………………... 1.4 Sistematika Penulisan ……..…………………………………………..………………
1 1 1 1 1
II LANDASAN TEORI …………………………………..………………………………… 2.1 Ruang Contoh, Peubah Acak, dan Proses Stokastik ……..……………………………. 2.2 Definisi dan Notasi Opsi ………………………………………………………………. 2.3 Persamaan Present Value ……………………………………………………………… 2.4 Persamaan Net Present Value (NPV) ………………………………………………..… 2.5 Pendekatan Analisis Keputusan untuk Penilaian Proyek …………………………….... 2.6 Model Binomial ………………………………………………………………………… 2.7 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret ……………………………….………… 2.8 Opsi Amerika Menggunakan Metode Binomial ………………………………………..
2 2 2 3 3 3 4 6 7
III PEMBAHASAN ………..………………………………………………………………… 3.1 Penyelesaian Masalah Opsi Real Menggunakan Pohon Keputusan Binomial ……..…. 3.2 Ilustrasi ……………………………………………………………………………....…
8 8 10
IV SIMPULAN ………..……………………………………………………………………. V DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………….……………………
13 14
vii
DAFTAR GAMBAR Halaman Nilai Saham pada Pohon Keputusan Binomial ………………………………………………... 4 Nilai Aset ……………...………………………………………...……………………….……. 10 Nilai Aset dan Nilai Opsi ……………………………………………………………………… 11
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Lampiran 1 ………………………………………………………………………………... 16 Nilai A dan B …………………………………………………………………………. 16 2. Lampiran 2 ………………………………………………………………………………... 17 Nilai Proyek ……………………………………………………………………...…… 17
viii
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penilaian suatu proyek dapat dilakukan menggunakan beberapa metode, di antaranya adalah metode discounted cash flow (DCF). Metode ini biasanya digunakan dalam keputusan mengenai investasi pada aset real. Namun, DCF memiliki keterbatasan dalam menghitung nilai fleksibilitas manajerial yang ada pada beberapa jenis proyek. Opsi yang diperoleh dengan mempertimbangkan fleksibilitas manajerial disebut sebagai opsi real, yang lebih condong kepada aset real daripada kepada aset keuangan. Fleksibilitas manajerial adalah kemampuan membuat keputusan selama proyek berlangsung, misalkan menunda investasi untuk periode waktu, menunda operasi proyek sementara waktu, melanjutkan operasi setelah penghentian sementara waktu, dan sebagainya. Metode analisis pengambilan keputusan tradisional dapat menyediakan pendekatan yang intuitif untuk menilai proyek dengan fleksibilitas manajerial atau opsi real. Pendekatan waktu diskret secara khusus telah diterapkan dalam literatur keuangan menggunakan suatu kerangka pola binomial. Dengan kata lain, karya ilmiah ini menggunakan pohon keputusan binomial dengan kemungkinan risiko netral untuk memperkirakan ketidakpastian yang berhubungan dengan perubahan nilai suatu proyek setiap waktu. Penilaian opsi real dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu dengan menggunakan simulasi path-dependent, model bentuk tertutup seperti model BlackScholes, persamaan diferensial parsial, dan pendekatan binomial dan multinomial. Pada karya ilmiah ini penilaian opsi real akan menggunakan pohon keputusan binomial. Penggunaan pohon keputusan binomial pada nilai opsi penghitungannya lebih fleksibel dibandingkan menggunakan cara yang lain. Penyelesaian masalah penilaian opsi real menggunakan pohon keputusan binomial untuk menentukan cash flow dan peluang
untuk nilai proyek saat didiskon untuk tiap periode dan untuk tiap keadaan (state) yang tidak pasti. Fleksibilitas proyek atau opsi real dapat dimodelkan dengan mudah sebagai keputusan yang mempengaruhi cash flow ini. Triantis dan Borison (2001) menyediakan suatu penaksiran dari penggunaan metode penilaian proyek berdasarkan opsi dalam praktiknya. Triantis dan Borison (2001) juga mengantisipasi peningkatan pemusatan di antara berbagai pendekatan opsi real, terutama pada pendekatan analitik keputusan dan harga opsi. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menentukan penilaian proyek pada opsi real dengan menggunakan pohon keputusan binomial. 1.3 Metodologi Metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah studi literatur. Materi karya ilmiah ini menggunakan jurnal yang ditulis oleh Luiz E. Brandao, James S. Dyer, dan Warren J. Hahn dengan judul Using Binomial Decision Trees to Solve Real-Option Valuation Problems tahun 2005. Selain itu, bahan-bahan yang menunjang penulisan karya ilmiah ini diperoleh dari buku dan situs-situs internet yang terkait dengan tulisan ini. 1.5 Sistematika Penulisan Tulisan karya ilmiah ini terdiri atas empat bab. Bab 1 berisi pendahuluan yang mencakup latar belakang, metodologi, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Bab 2 berisi landasan teori yang mencakup definisi dan teori-teori yang akan digunakan dalam pembahasan. Bab 3 berisi pembahasan mengenai penyelesaian masalah penilaian opsi real dengan menggunakan pohon keputusan binomial. Bab 4 berisi penutup yang mencakup kesimpulan yang diperoleh dari karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan definisi-definisi yang akan digunakan di dalam pembahasan. 2.1 Ruang Contoh, Peubah Acak, dan Proses Stokastik Definisi 2.1 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω . (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 2.2 (Peubah Acak) Misalkan S adalah ruang contoh suatu percobaan. Suatu fungsi real X : S R disebut peubah acak dari percobaan tersebut, jika untuk setiap interval
adalah suatu kejadian dalam percobaan tersebut. (Ghahramani 2005) Definisi 2.3 (Proses stokastik) Proses stokastik
X = { X (t ), t ∈ T } adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S . (Ross 2007) Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T , X (t ) adalah suatu peubah acak, t menyatakan waktu dan X (t ) menyatakan state dari proses pada waktu t . Salah satu proses stokastik yang penting adalah Geometric Brownian Motion (GBM). Definisi 2.4 (GBM) GBM adalah suatu proses stokastik yang dinotasikan dengan
{B ( t ) | t ≥ 0} ,
yang
bersifat: 1.
B ( 0) = 0 .
2. Untuk
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn , peubah acak
B ( ti ) − B ( ti −1 ) adalah saling bebas.
berdistribusi normal 3. Untuk dengan rataan 0 dan ragam (Ross, 1993)
Definisi 5 (Proses stokastik waktu diskret) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan tercacah, dengan T menyatakan waktu. (Ross 2007) 2.2 Definisi dan Notasi Opsi Definisi 6.2 Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak dimana pemegang opsi memiliki hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu, pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan. Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put. (Hull 1997) Opsi call adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli aset yang mendasari, misalkan opsi berjangka dan opsi saham pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu. menyatakan harga saham Misalkan pada waktu T dan K menyatakan harga eksekusi. Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila ST > K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar . Sebaliknya apabila pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar . Untuk kondisi ini, opsi tidak memiliki nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call dapat dituliskan sebagai berikut:
Opsi put adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual aset yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu. Pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila ST < K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar . Sebaliknya apabila pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar . Untuk kondisi ini, opsi tidak
3
memiliki nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put dapat dituliskan sebagai berikut:
Menurut waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Amerika adalah opsi yang dapat dieksekusi sebelum kontrak jatuh tempo. Definisi 7 Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. (Wilmott et al. 1996) Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi, yaitu: 1. Harga saham saat ini (S0). 2. Harga eksekusi (K), yang merupakan harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak opsi (harga exercise atau harga strike). 3. Waktu jatuh tempo (T). 4. Volatilitas dari harga saham ( ), yang merupakan sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan saham di masa yang akan datang. 5. Tingkat suku bunga (r). 6. Dividen yang dibayarkan atas saham. 2.3 Persamaan Present Value Present value (PV) suatu cash flow merupakan jumlah cash flow yang besarnya akan bertambah menjadi sama dengan cash flow di masa mendatang jika cash flow tersebut diinvestasikan pada saat ini dengan persen per tahun selama ! tahun.
PV = FVn ×
1 (1 + r ) n
dengan FV menyatakan cash flow di masa mendatang, r menyatakan suku bunga, dan n menyatakan waktu (dalam tahun). (Lee & Lee 2006)
2.4 Persamaan Net Present Value (NPV) Net present value didefinisikan sebagai selisih dari Present value pada cash flow yang diharapkan dengan biaya proyeknya. Secara umum, %&' ()* '
"#$
+
%&, ()* ,
/0( 1#$ 0 +/0 1#$ 0 +/05 1#$ 0
+ -+
2 3
%&. ()* .
4 3+" 3
dengan CFt menyatakan cash flow tahunan yang dihasilkan oleh proyek pada periode- t
(t = 1, 2,..., N ) , PVIF ( r , t ) menyatakan present value pada r persen dalam periode- t , I menyatakan biaya proyek, dan r menyatakan suku bunga. (Lee & Lee 2006) 2.5 Pendekatan Analisis Keputusan untuk Penilaian Proyek Misalkan nilai proyek sebesar V tidak diketahui, replikasi portofolio dari saham pasar yang diperdagangkan sebesar A dengan harga sekarang sebesar S dan investasi sebesar B dolar dalam suatu aset bebas risiko dengan tingkat bunga sebesar r . Asumsikan untuk model satu periode dengan peluang sebesar q , harga saham akan naik sebesar
Su pada akhir periode dan dengan peluang 1 − q akan turun sebesar Sd , dengan u > 1 menyatakan peningkatan dalam nilai saham dan d = 1/ u menyatakan penurunan nilai saham. Nilai proyek dalam keadaan naik sebesar Vu dan dalam keadaan turun sebesar Vd . Nilai proyek tersebut diperoleh dari
Vu = ASu + B (1 + r )
(1)
Vd = ASd + B (1 + r ) .
(2)
Dengan menggantikan nilai proyek di atas, diperoleh nilai A dan B , yaitu
A=
Vu − Vd (u − d ) S
(3)
4
uVd − dVu . (u − d )(1 + r )
(4)
Bukti: lihat Lampiran 2. p menyatakan peluang risk-neutral dalam
Dengan menggantikan nilai A dan B ke V = AS + B , diperoleh nilai proyek sebagai
keadaan naik. Nilai p dan 1 − p selalu konstan di setiap periode. Jika nilai proyek mengikuti Geometric Brownian Motion (GBM) maka perkiraan nilai proyek memiliki distribusi lognormal dan
B=
Bukti: lihat Lampiran 1
berikut:
(1 + r − d ) (u − (1 + r )) Vu + Vd (u − d ) (u − d ) V= (1 + r )
menghasilkan
atau
pVu + (1 − p)Vd 1+ r 1 + r ∆t − d dengan p = . u−d
V=
(5)
2.6 Model Binomial Model penentu harga opsi binomial atau dikenal dengan model binomial dapat digunakan untuk mengestimasi nilai suatu opsi put atau opsi call. Model binomial memperhitungkan naik atau turunnya harga saham dalam periode tertentu.
u = eσ
∆t
.
Penentuan nilai proyek dapat menggunakan pohon keputusan binomial pada nilai saham seperti pada gambar 1. Pada waktu 0, nilai proyek diketahui, dan pada waktu ∆t , terdapat dua kemungkinan nilai proyek, yaitu nilai proyek dalam keadaan naik dan nilai proyek dalam keadaan turun. Untuk waktu 2∆t , terdapat tiga kemungkinan nilai proyek, dan seterusnya.
2.6.1 Model Binomial Satu periode Misalkan harga saham dalam sebuah opsi yang tersedia adalah S. Misalkan pula opsi call memiliki satu periode eksekusi sebelum jatuh tempo. Periode investasi dimulai pada saat . Ketika opsi call jatuh tempo, harga saham akan mengambil satu di antara dua nilai: meningkat dengan faktor u atau menurun dengan faktor d. Jika meningkat maka harga saham akan menjadi Su dan jika menurun menjadi Sd.
5
Misalkan suku bunga bebas risiko dinyatakan dengan r, merupakan suku bunga yang dihasilkan dari investasi selama periode opsi. Suku bunga ini berada di antara tingkat imbal hasil jika harga saham naik atau turun. Sehingga 6 7 2+ 78 (6) Misalnya sebuah portofolio terdiri dari h bagian saham dan satu opsi call. Nilai portofolio tersebut sama dengan nilai beli h bagian saham dikurangi nilai jual satu opsi call. Nilai portofolio saat ini dimisalkan sebagai dan h sebagai rasio V, dengan $ 9
hedge (penghindar). Pada akhir periode, nilai portofolio akan menjadi $: jika harga saham naik dan $; jika harga saham turun. Sehingga nilai V menjadi $: 9 : 9 ; : atau $; ;. Posisi bebas risiko diperoleh jika $: $; , sehingga dapat ditentukan nilai h dengan menyelesaikan persamaan berikut 9 ; 9 : : ; Nilai h menjadi 9
<= >@?
(7)
Nilai portofolio V setelah satu periode dimisalkan menjadi $: sehingga $ 2+ $: (8) A 9 2+ 9 8 :. Substitusikan persamaan di atas ke dalam persamaan sehingga diperoleh B<= ) (>B
dengan
periode kedua mungkin berada pada salah satu di antara dua keadaan, yaitu naik atau turun menjadi Su2 atau Sud. Jika pada periode pertama harga saham turun menjadi Sd, pada periode kedua akan berada pada posisi naik menjadi Sdu atau turun lagi menjadi Sd2, sehingga 8 :, 86 6 Dengan menggunakan model satu periode, harga cu dan cd menjadi: :;
;,
B<=, ) (>B <=?
:
B<=? ) (>B
;
;
B, <=, ) B (>B <=? ) (>B ,
(12)
2.6.3 Model Binomial n Periode Dengan cara yang sama dapat diturunkan nilai opsi call Eropa model binomial 3 periode dan n periode. Pada kedua model binomial, nilai opsi call tersebut adalah c3 dan cn dan dinyatakan sebagai berikut: BD <=D )CB, (>B <=, ?
C
()* D
+
()* >; . :>;
Misalkan harga saham dalam sebuah opsi yang tersedia adalah S. Misalkan pula opsi call memiliki dua periode eksekusi sebelum jatuh tempo. Periode investasi dimulai pada saat . Ketika opsi call jatuh tempo, harga saham akan mengambil satu di antara dua nilai: meningkat dengan faktor u atau menurun dengan faktor d. Jika meningkat maka harga saham menjadi Su dan jika menurun menjadi Sd. Misalkan pada akhir periode harga saham meningkat menjadi Su. Selama
(11)
Substitusikan ke persamaan : + 2 2+ Sehingga diperoleh
(9)
2.6.2 Model Binomial Dua Periode
(10)
()*
CB (>B , <=?, ) (>B D
! F G !
E
+
F
E
:H
+F
!
!
G 2 2+
E>(
2
E
E GBHI, (>B , <=HI,?, E> ()* H
(13) :HI' ;
+-
E E F GB (>B HI' <=?HI' )F G (>B H
Atau secara sederhana model binomial n periode dapat ditulis sebagai berikut: E
E M HIM < KH MNOF L GB (>B =M ?HIM H ()*
6
E M HIM 1@:M ;HIM >P3Q KH MNOF L GB (>B ()* H
dengan 1R3)
:M ; HIM
R
1 8 L 6 E>L
(14)
Setelah diselesaikan sistem persamaan linear pada persamaan (15) dan (16) di atas diperoleh:
3) dan
S
2.7 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret Penghitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga diskret, menggunakan langkah-langkah berikut: Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga saham sekarang saat T-1 maka harga saham pada saat T akan bergerak naik dengan faktor u atau akan bergerak turun dengan faktor d dengan 2 + 6 7 2 7 2 + 8 6 7 dan 8 .
(): ();
T
S
>(
>(
+T
:>; @UI'
ST-1
+
ST,d=(1+d)ST-1
(1+u) ST-1+(1+r)B ST-1+B
2+6 6 2+
;
:
(19)
:>; ()*
Dengan menggantikan :>* :>;
2
>(
CT,d = max{0, (1+d)ST-1-K} Pada waktu T-1 dapat dibentuk portofolio yang terdiri atas saham dan obligasi sebesar B yang akan memberikan payoff yang sama seperti payoff opsi call pada waktu T.
2+8 8
>(
*>; *
Jika cT menyatakan opsi call pada waktu T, maka:
C(T-1)
(18)
:>; ()*
dengan S menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio yang bebas risiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah S saham dan satu opsi call. Langkah selanjutnya, jika pada waktu T, opsi call dan portofolio memberikan payoff yang sama, maka pada T-1 harus memiliki nilai yang sama pula. Maka substitusikan persamaan (17) dan (18) dalam persamaan berikut diperoleh
ST,u=(1+u)ST-1
CT,u = max{0, (1+u)ST-1-K}
(17)
:>; @UI'
6 8 6
dan
diperoleh BB
(20)
Dengan cara yang sama dapat diturunkan nilai opsi call tipe Eropa dengan metode binomial 2 periode, 3 periode dan n period, yaitu
>
B, B B ,
(21)
1+u) ST-1+(1+r)B Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan portofolio pada waktu T diperoleh:
2+8 S
>(
+ 2+
T
:
(15)
2+6 S
>(
+ 2+
T
;
(16)
>C
BD B
CB (>B , B D
>E
E M HIM @ >P Q KH U MNOF L GB (>B ()* H
22)
(23)
7
2.8 Opsi Amerika Menggunakan Metode Binomial Metode binomial cocok untuk menentukan harga opsi tipe Amerika karena opsi ini mudah untuk diperiksa pada tiap node apakah eksekusi awal lebih optimal. Jika nilai opsi tidak dieksekusi, diberikan oleh nilai mempertahankannya untuk periode lain. Nilai
opsi dieksekusi adalah max(0,S-K) jika opsinya adalah opsi call. Sehingga untuk opsi call Amerika, nilai opsi pada suatu node adalah V >*SW 1 8 +S X+ X 3 6 +S 2 dengan X
Y ZS[ >; . :>;
III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas mengenai penyelesaian masalah opsi real menggunakan pohon keputusan binomial. Dalam menentukan penilaian proyek, dapat digunakan beberapa metode di antaranya discounted cash flow (DCF). DCF merupakan metode yang digunakan pada penilaian proyek dalam membuat keputusan mengenai investasi pada aset real. Namun, DCF memiliki keterbatasan dalam memperhitungkan nilai dari fleksibitas manajerial yang berkaitan dengan beberapa jenis proyek. Opsi yang diperoleh dengan mempertimbangkan fleksibilitas disebut sebagai opsi real yang lebih condong kepada aset real daripada kepada aset keuangan. Opsi real dapat dihitung dengan cara yang berbeda, yaitu menggunakan simulasi pathdependent, model bentuk tertutup (closedform model), persamaan diferensial parsial, dan pendekatan binomial dan multinomial. Pada tulisan ini, opsi real akan diselesaikan menggunakan pendekatan binomial, yaitu dengan pohon keputusan binomial. 3.1 Penyelesaian Masalah Opsi Real Menggunakan Pohon Keputusan Binomial Nau dan McCardle (1991) dan Smith dan Nau (1995) mengusulkan pendekatan dalam penilaian opsi real menggunakan teknik analisis keputusan yang berbeda. Penilaian ini menggunakan pemisahan cash flow proyek yang dibagi menjadi dua komponen, yaitu untuk komponen risiko pasar dan komponen risiko pribadi. Risiko pasar hanya bergantung pada keadaan pasar dan dapat dibatasi dengan menciptakan suatu replikasi portofolio dari sekuritas yang diperdagangkan dan dinilai menggunakan informasi pasar. Selama risiko pasar dapat dibatasi dengan komoditas dan sekuritas yang diperdagangkan, tidak perlu menduga tingkat diskon risk-adjusted untuk komponen risiko proyek. Risiko proyek merupakan ketidakpastian dari suatu kejadian yang muncul yang akan berpengaruh positif atau negatif pada siklus hidup proyek. Risiko pribadi merupakan risiko yang terjadi pada perseorangan, misalnya kondisi kesehatan yang buruk. Risiko pribadi tidak dapat dibatasi dengan perdagangan sekuritas dan dinilai menggunakan penilaian dan pilihan yang
subyektif. Pada proyek, beberapa ketidakpastian memiliki dugaan risiko pribadi dan risiko pasar. Untuk membangun suatu pohon yang besar dengan beberapa ketidakpastian dalam tiap periode waktu adalah dengan menggunakan pohon keputusan binomial seperti yang diusulkan oleh Copeland dan Antikarov (2001)/CA (2001). Misalkan Vi merupakan nilai
ketidakpastian
proyek
dan
Ci
merupakan cash flow pada periode i , Vi dan
Ci berturut-turut menyatakan nilai rata-rata dari
Vi dan Ci . Nilai-nilai yang berhubungan
dengan perkiraan diskret pada variabel ini dinotasikan dengan Vij dan Cij , dengan j menyatakan suatu keadaan (state). Asumsikan nilai proyek akan meningkat mengikuti proses Geometric Brownian Motion (GBM) dan bergerak acak untuk proyek yang melibatkan beberapa ketidakpastian. Suatu proyek akan berlangsung selama n periode yang memerlukan investasi awal sebesar I dan menghasilkan nilai harapan cash flow sebesar Ci , i = 1, 2,..., n dalam tiap periode. Diasumsikan juga cash flow dibayarkan pada akhir periode. Permasalahan penentuan nilai proyek dilakukan dalam tiga tahap. Pertama, menghitung nilai sekarang (present value) yang diharapkan dari proyek pada waktu 0. Selanjutnya digunakan simulasi Monte Carlo untuk menggabungkan beberapa sumber ketidakpastian ke dalam suatu ketidakpastian tunggal yang representatif, yaitu volatilitas, yang mendefinisikan proses stokastik untuk nilai proyek. Langkah terakhir adalah membangun pohon binomial untuk memodelkan dinamika dari nilai proyek yang menggunakan parameter dari proses stokastik dan menambah simpul keputusan untuk memodelkan opsi real proyek. Tahapan-tahapan tersebut akan dijelaskan secara detail pada bagian berikut. Tahap 1 Tentukan nilai sekarang dari nilai harapan cash flow pada waktu 0, yaitu sebesar V0 dengan menggunakan metode DCF tanpa mempertimbangkan fleksibilitas manajerial apapun. Ini memerlukan perkiraan tingkat
9
diskon risk-adjusted pada proyek tanpa opsi. Cash flow ini kemudian didiskon pada perkiraan tingkat diskon risk-adjusted µ agar mendapatkan present value yang diharapkan dari proyek pada tiap periode.
Vt =
n i =t
Ci . (1 + µ )i −t
(24)
Jika t meningkat dan cash flow semuanya bernilai positif, maka present value yang diharapkan pada proyek akan menurun pada tiap periode. Jadi, proyek yang keberlangsungannya terbatas, nilai akhir proyeknya akan menjadi 0. Tahap 2 Volatilitas proyek diperkirakan menggunakan simulasi Monte Carlo pada hasil proyek. Pada proses ini, ketidakpastian proyek dimasukkan simulasi variabel input pada lembar kerja pro forma cash flow proyek sehingga tiap iterasi dari simulasi lembar kerja memberikan bagian baru dari cash flow mendatang ci ,
i = 1,..., n , dari nilai proyek baru pada akhir
periode pertama yang dihitung dari persamaan (1). Kemudian sampel dari variabel acak z ditentukan menggunakan hubungan
z = ln
V1 V0
(25)
dengan z = E ( z ) merupakan nilai rata-rata dari distribusi hasil proyek di antara waktu 0 dan 1. Perkiraan simpangan baku dari z yang diperoleh dari hasil simulasi dinotasikan dengan s . Volatilitas proyek σ didefinisikan sebagai persentase standar deviasi tahunan dari hasil dan diperkirakan dari hubungan s / ∆t , dengan ∆t adalah panjang periode dalam tahun yang digunakan pada lembar kerja pro forma cash flow. Jika periode waktu di antara
σ = s.
V1 dan V0 adalah satu tahun maka
Tahap 3 Dengan volatilitas proyek yang telah ditentukan pada tahap sebelumnya dan nilai awal proyek dari nilai harapan cash flow sebesar V0 yang telah diberikan, suatu pola binomial dapat dibangun untuk model proses stokastik pada nilai proyek. Volatilitas proyek untuk tiap periode waktu dalam pola binomial adalah sebesar σ / ∆t , dengan ∆t adalah periode waktu, seperti yang diusulkan oleh CA (2001).
Pada tulisan ini digunakan pohon binomial dan menyatakan nilai proyek yang berkaitan dengan cash flow proyek. Ini menggunakan tingkat hasil cash flow,
δ i = Ci / Vi
dalam
menghitung cash flow yang dikeluarkan pada tiap akhir periode waktu sebagai fungsi dari nilai proyek. Asumsikan bahwa cash flow berbeda tiap waktu yang mencerminkan ketidakpastian nilai proyek. Cash flow (Ci , j ) ini akan menjadi suatu fungsi dari nilai proyek dan proses stokastik yang mengarah pada model binomial. Keuntungan utama dari pendekatan ini adalah menyediakan fleksibilitas yang lebih besar pada model dari opsi real proyek. Untuk memperoleh cash flow, dimulai dengan membangun pohon dari nilai payout cash flow sebelumnya. Nilai-nilai ini dihitung menggunakan persamaan berikut, dengan u menyatakan peningkatan dan d menyatakan penurunan.
Vi u = (Vi −1 − Vi −1δ i −1 )u
(26)
Vi d = (Vi −1 − Vi −1δ i −1 ) d .
(27)
Vi −1
menyatakan nilai proyek pada state
sebelumnya dan
Ci −1 = Vi −1δ i −1 menyatakan
cash flow yang dikeluarkan pada akhir periode yang mengurangi nilai proyek pada state berikutnya. Pada periode awal (i = 0) , proyek belum dimulai sehingga nilai cash flow tidak ada, jadi
δ0 = 0 .
Untuk i = 1 , V1 = uV0 dan u
V1d = dV0 . Pada semua periode berikutnya, tingkat payout cash flow diasumsikan konstan melintasi state pada tiap periode, jadi cash flow pada tiap periode merupakan proporsi tetap dari nilai proyek dalam periode dan state tersebut, yaitu
δi =
Ci Ci , j = Vi Vi , j
∀j.
(28)
Oleh karena itu, discounted cash flow pada tiap periode/state diberikan oleh
Ci , j =
Vi , jδ i (1 + r )i
.
(29) Dengan demikian, persamaan (6) memberikan nilai-nilai cabang pada tiap chance node dari pohon binomial. Karena peluang risiko netral digunakan, cash flow ini didiskon pada tingkat
10
bebas risiko agar mencapai nilai proyek pada waktu i = 0 .
Misalkan nilai aset sebesar $1dengan biaya pengembangannya sebesar $1. Waktu untuk hak investasi selama satu tahun dan dalam satu tahun digunakan 4 langkah pola. Misalkan pula kontrak yang digunakan adalah opsi call dengan tingkat suku bunga bebas risiko 22% dan volatilitas dari aset 22 %. Dari ilustrasi di atas, diperoleh nilai-nilai parameter sebagai berikut: 2 2 J \] 44] ^ 2
Penggunaan cash flow proyek dalam pendekatan ini memberikan tingkat kedetailan yang lebih besar pada model operasi proyek. Penggunaan cash flow ini daripada nilai proyek, memperhitungkan kemudahan menggunakan pohon keputusan. 3.2 Ilustrasi Salah satu industri yang pertama kali dalam menerapkan opsi real adalah industri perminyakan di mana dengan tingkat ketidakpastian bisnis yang tinggi serta investasi uang yang tidak sedikit, dan keputusan dalam investasi di perminyakan yang menjadi sangat penting. Dalam menilai cadangan minyak, ada beberapa parameter yang diperhitungkan dalam penghitungan opsi 9 harga, yaitu: 1. Nilai sekarang untuk mengembangkan cadangan yang dapat diambil dari discounted net cash flow proyek. 2. Biaya investasi untuk mengembangkan cadangan tersebut. 3. Tingkat suku bunga bebas risiko (risk-free interest rate). 4. Volatilitas untuk mengembangkan cadangan sampai kurun waktu saat ini. 5. Lamanya waktu dari hak investasi.
S 8
6
V
(
_
_
`aSW
VJ
( ( : ( ((eC ()*SW>; :>;
aJ b
2 22cd
fghf
()J J_ J b >J ijbi ( ((eC>J ijbi
h2kg 2 2 h2kg \f42 Karena dalam satu tahun dibagi menjadi empat langkah pola maka untuk langkah pola pertama, kedua, ketiga, dan keempat dinotasikan dengan S 4S dS dan \S Nilai aset pada waktu S 4S dS dan \S ditunjukkan pada Gambar 2.
K D
G
1.5528
1.3910
L 1.2461
B
1.2461
H
A
1.1163
E
1.1163
1.0000
C
1.0000
I
1.0000
0.8958
F
0.8958
N
0.8025
J
0.8025
0.7188
O
M
0.6439
t Gambar 2. Nilai Aset
2 t
3 t
4 t
11
Pada gambar di atas, nilai aset A merupakan nilai aset pada waktu 0 (S0), yaitu sebesar $1. Nilai aset B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, dan O dapat diperoleh dari B = S0u = 1.1163 C = S0d = 0.8958 D = S0u2 = 1.2461 E = S0ud = S0 = 1 F = S0d2 = 0.8025 G = S0u3 = 1.3910 H = S0u2d = S0u = 1.1163 I = S0ud2 = S0d = 0.8958 J = S0d3 = 0.7188 K = S0u4 = 1.5528
L = S0u3d = S0u2 = 1.2461 M = S 0u 2d 2 = S 0 = 1 N = S0ud3 = S0d2 = 0.8025 O = S0d4 = 0.6439 Dari nilai aset yang telah diperoleh pada Gambar 2, maka nilai opsi dapat dikalkulasi. Untuk langkah keempat pada pola, yaitu pada waktu 4 t, nilai opsi dapat diperoleh dari . Sedangkan pada waktu t, 2 t, dan 3 t, nilai opsi diperoleh dari , dengan ( ( 1 R+ 2 l3m n oSp , x dan dan y merupakan nilai aset saat naik dan turun. Nilai opsi ditunjukkan pada Gambar 3.
Nilai opsi yang pertama dikalkulasi adalah nilai opsi pada waktu akhir, yaitu 4 t. Dari nilai opsi pada waktu 4 t yang telah diperoleh, nilai opsi pada waktu 3 t, 2 t dapat pula diperoleh, sehingga pada akhirnya akan menghasilkan nilai opsi pada waktu 0.
Nilai opsi A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, dan O dapat dilihat pada Gambar 3. Misalkan akan dikalkulasi nilai opsi K. 2 hh4f 2 hh4f
12
Dengan cara yang sama, nilai opsi L, M, N, dan O dapat diperoleh. Nilai opsi G: q(
q
r 2 dg2
2
s
1 + 2 t3m n 1 h2kg hh4f + \f42 4\c2 3m n
S
dg2
\
4h
\
g q q( q \ g. Dengan cara yang sama pula, dapat diperoleh nilai opsi A, B, C, D, E, F, H, I, dan J. Berdasarkan Gambar 3, nilai aset pada waktu 0 sebesar $1 memiliki nilai opsi sebesar 0.1016.
IV SIMPULAN Penilaian suatu proyek dalam membuat keputusan mengenai investasi aset real biasanya menggunakan metode discounted dach flow (DCF). Namun, metode ini tidak dapat digunakan pada proyek yang mempertimbangkan fleksibilitas manajerial. Sehingga dalam penentuan proyek diperlukan opsi real. Penilaian proyek dan penentuan nilai opsi dengan menggunakan pohon keputusan binomial dapat menggunakan beberapa langkah pola. Semakin banyak langkah pola
yang digunakan maka semakin baik opsi yang digunakan. Opsi real sangat cocok diaplikasikan pada industri perminyakan. yang tingkat ketidakpastiannya tinggi, termasuk di Indonesia. Adanya aplikasi opsi real ini diharapkan dapat membantu para pelaku bisnis perminyakan di Indonesia dalam menilai suatu proyek perminyakan dan menggunakannya dalam melakukan keputusan investasi bisnis perminyakan di Indonesia.
DAFTAR PUSTAKA Brandão LE, Dyer JS, Hahn WJ. 2005. Using Binomial Decision Trees to Solve RealOption Valuation Problems. Decision Analysis 2(2):69-88. Copeland T, Antikarov V. 2001. Real Option. Texere LLC, New York. Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability With Stochastic Processes. Third Edition, Pearson Precentice Hall. New Jersey USA. Hull JC. 1997. Options Future and Other Derivatives. Ed.Ke-5. New Jersey: Pearson Education, Inc. Lee CF, Lee AC, editor. 2006. Encyclopedia of Finance. Springer Science+Business Media, Inc. Mun J. 2002. Real Options Analysis: Tools and Techniques for Valuing Strategic
Investments and Decisions. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. Nau R, McCardle K. 1991. Arbitrage, Rationality and Equilibrium. Theory Decision 33:199-240. Ross SM. 1993. Introduction Probability Modesl. Fifth Edition. Academic Press Inc., Sandiego. Ross SM. 2007. Introduction to Probability Model. Ed ke-9. Academic Press Inc., Orlando, Florida. Smith J, Nau R. 1995. Valuing Risky Projects: Option Pricing Theory and Decision Analysis. Management Sci. 14(5):795-816. Triantis L, Borison A. 2001. Real Options: State of the Practice. J. Appl. Corporate Finance 14:8-24. Wilmott P, Howison S, Dewynne J. 1996. The Mathematics of Financial Derivatives (A Student Introduction). Cambridge University Press, USA.
LAMPIRAN
16
LAMPIRAN 1: Nilai A dan B Nilai proyek
Vu = ASu + B (1 + r ) Vd = ASd + B (1 + r ) Dari nilai proyek di atas, diperoleh nilai A dan B , yaitu
A=
Vu − Vd (u − d ) S
dan
Bukti :
(Vu = ASu + (1 + r ) B ) − (Vd
Vu − Vd = ASu − ASd
⇔
Vu − Vd = A ( Su − Sd ) A=
uVd − dVu (u − d )(1 + r )
= AS d + (1 + r ) B )
⇔
⇔
B=
Vu − Vd
Su − Sd V − Vd A= u (u − d ) S
⇔
Substitusikan nilai A ke
Vu
Vu = ASu + (1 + r ) B ⇔
Vu =
Vu − Vd Su + (1 + r ) B (u − d ) S
⇔
Vu =
uVu − uVd + (1 + r ) B u−d
⇔
(1 + r ) B = Vu −
⇔
(1 + r ) B =
⇔ ⇔
uVu − uVd u −d
uVu − dVu − uVu + uVd u−d uV − dVu (1 + r ) B = d u−d uVd − dVu B= (u − d )(1 + r )
17 5
LAMPIRAN 2: Nilai Sekarang dari Proyek Nilai A
=
Vu − Vd uVd − dVu dan B = (u − d ) S (u − d )(1 + r )
diperoleh nilai proyek sebesar
V=
pVu + (1 − p )Vd 1+ r
Bukti: Dengan mensubstitusi nilai A dan B ke nilai maka
V = AS + B
V = AS + B Vu − Vd uVd − dVu S+ (u − d ) S (u − d )(1 + r )
⇔
V=
⇔
V=
Vu − Vd uVd − dVu + u−d (u − d )(1 + r )
⇔
V=
(1 + r )(Vu − Vd ) + uVd − dVu (u − d )(1 + r )
⇔
V=
Vu − Vd + rVu − rVd + uVd − dVu (u − d )(1 + r )
⇔
V=
(1 + r − d )Vu + (u − (1 + r ))Vd (u − d )(1 + r )
⇔ ⇔
(1 + r − d ) (u − (1 + r )) Vu + Vd (u − d ) (u − d ) V= (1 + r )
V=
pVu + (1 − p)Vd 1+ r
; dengan
p=
1+ r − d u−d
