Bab 8. Minggu 14 Model Binomial untuk Opsi

Bab 8. Minggu 14 Model Binomial untuk Opsi

Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini , mahasiswa bisa :  Menjelaskan model binomial dalam pergerakan harga saham  Menjelaskan model binomial untuk harga opsi call tipe Eropa dan Amerika  Menurunkan formula harga opsi call tipe Eropa dan Amerika

Opsi Call Tipe Amerika  Perbedaan Opsi call tipe Eropa dengan tipe Amerika adalah pada fleksibilitas waktu pelaksaaannya (exercise), yaitu:  Tipe Eropa: opsi hanya dapat dijalankan pada saat jatuh tempo.  Tipe Amerika: opsi dapat dijalankan pada sembarang waktu sampai jatuh tempo.  Dalam praktek, banyak opsi di pasaran bertipe Amerika  Secara teori, harga opsi call tipe Amerika sama dengan tipe Eropa

Model Binomial  Mengasumsikan harga saham mengikuti proses binomial multiplikatif  Harga saham naik menjadi S*u dengan probabilitas p atau turun sebesar S*d dengan probabilitas 1-p (d<1
Model Pohon Binomial Harga Saham  Ilustrasi model pohon binomial harga saham untuk 4 periode

 Dari ilustrasi sebelumnya, maka diperoleh formula harga saham di node tertentu, yaitu:

S *  S0u m d k  Harga saham naik sebanyak m kali dan turun sebanyak k kali dari S0

 Cox, Ross, dan Rubinstein menentukan nilai u dan d sedemikian rupa sehingga hasilnya cocok dengan model Black-Scholes, yaitu:

1 ue dan d   e  t u   volatilitas saham n = banyak perubahan harga saham dalam waktu T T t = n  t

Probabilitas harga saham naik/ turun

 Jika kita berada di t0, maka ‘expected value’ harga saham pada waktu Δt =t1 dapat ditentukan dengan:

E ( St1 )  pSu  (1  p) Sd  Jika pohon binomial dalam kondisi risk neutral untuk memenuhi asumsi random walk, maka harga saham bergerak dengan faktor erΔt setelah waktu Δt, dengan r adalah suku bunga bebas resiko. Sehingga berlaku:

S0ert  pSu  (1  p) Sd ...*)

Dari persamaan *) dapat diperoleh nilai p S0 e rt  pSu  (1  p ) S d  S0 e rt  pS0u  (1  p ) S0 d  S0 e rt  S0  pu  (1  p )d   e rt  p (u  d )  d e rt  d  p ud

Nilai p merupakan fungsi dari data r, σ, dan ∆t

Prinsip : Kentungan opsi yang dipegang oleh pembeli opsi = keuntungan penjual opsi yang menginvestasikan uang premi opsi-nya ke dalam suatu portofolio (B,S). Uang premi opsi dibelikan portofolio pada waktu t0 :  Saham: ∆S0  Rekening bank: e-rΔtB

Pada waktu nol, modal V0 kita investasikan Δ saham dan e-rΔtB rekening bank, sehingga pada periode berikutnya, portofolio kita akan mempunyai dua kemungkinan nilai, seperti ilustrasi berikut:

Pohon Binomial Nilai Portofolio

Pohon Binomial Nilai Opsi

Samakan nilai portofolio dengan nilai opsi, sehingga diperoleh:

Su  B  Vu ....1) Sd  B  Vd ....2)

 Dari persamaan 1) dan 2) yang diperoleh sebelumnya, dilakukan eliminasi sehingga diperoleh:

Su  B  Vu S d  B  Vd   ( Su  S d )  Vu  Vd Vu  Vd  Su  S d

 Mensubstitusikan nilai Δ pada persamaan 1) diperoleh:

SuVd  SdVu B Su  S d

 Selanjutnya, nilai opsi pada waktu t0 dapat ditentukan sebagai berikut:

V0  S0  e  rt B =

Vu  Vd S V  S dVu S0  e  rt u d Su  S d Su  S d

(uVd  dVu ) S0 Vu  Vd  r t = S0  e (u  d ) S0 (u  d ) S0 Vu  Vd  r t uVd  dVu = e ud ud  r t  r t 1  de V  ue  1Vd    u = ud

1  de  ue    V   r t

V0

ud e  rt  e rt  d 

 r t

 1

Vd

ud e  rt  u  e rt  = Vu  Vd ud ud r t   e rt  d   u  e    r t e  Vu  Vd  ud  u  d  u

Dipunyai

ert  d ert  d u  ert p dan q  1  p  1   ud ud ud

 Harga opsi merupakan diskonto atau nilai sekarang dari nilai ekspektasi atau nilai harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo. V0  e rt pVu  e rt qVd = e  rt  pVu  qVd 

Opsi Eropa : Metode Backward  Harga opsi dimulai dari nilai opsi pada waktu jatuh tempo Nilai opsi pada akhir periode, tn, untuk setiap kemungkinan harga saham adalah: max(ST-K,0)  Bergerak mundur, nilai opsi dicari pada waktu tn1,tn-2 dan seterusnya t2, t1 , t0, menggunakan formula di atas.  Nilai opsi pada waktu t0 adalah harga opsi yang dicari.

Algoritma Langkah-langkah untuk menghitung opsi eropa dengan metode backward adalah sebagai berikut :  Hitung harga saham pada Si,j = S0,0 uj di-j  Hitung keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo fN,j = maks ( SN,j-K,0)  Lakukan langkah backward , hitung nilai opsi pada node i,j dengan rumus fi,j = e-r∆t (pfi+1,j+1 + q fi+1,j) , untuk 0 ≤ i ≤ N-1.  Lakukan langkah backward, sampai diperoleh nilai atau harga opsi adalah f0,0.

Contoh  Dipunyai S0 = $100 K (Strike Price) = $100 σ = .30 r = .05 T = 1 year, n = 4; ∆t = ¼ = 0.25 ; u = e0.3√0.25 = 1.1618; d = 1/u = 0.8607 ; p = 0.5043. Berikut perubahan harga saham dan keuntungan opsi :

 Dengan menggunakan metode backward dicari nilai opsi pada node31 sebagai berikut

 Kita gunakan formula di atas untuk mendapatkan  V0 = e-r∆t (pVu+ q Vd)  = e-.05(.25)(.5043*82.21+(1 - .5043)*34.99)  = $58.07

 Dengan cara yang sama diperoleh nilai opsi pada tiaptiap node, dan harga opsi $13.53. Sedangkan harga opsi B-S $14.23.

 Perbedaan ini terjadi karena dalam model binomial, dalam waktu 1 tahun, kita memodelkan ada 4 perubahan harga saham. Kurang sesuai dengan kenyataan di lapangan.

Opsi Amerika : Metode Backward  Opsi amerika adalah opsi yang bisa dijalankan setiap waktu sampai waktu jatuh tempo.  Untuk itu perlu dilihat kondisi di tiap node tiap waktu : Apakah menjalankan opsi sekarang lebih menguntungkan dibandingkan dengan nilai harapan jika opsi itu dilanjutkan… (ST-K) > (e-rΔt(pVu +qVd) …?

Opsi Amerika : Metode Backward  Harga opsi dimulai dari nilai opsi pada waktu jatuh tempo, tn, untuk setiap kemungkinan harga saham adalah: max(ST-K,0)

 Bergerak mundur, nilai opsi dicari pada waktu tn1,tn-2 dan seterusnya t2, t1 , t0, menggunakan formula max[e rt  pV *u  qV *d  , max( ST  K ,0)]

 Nilai opsi pada waktu t0 adalah harga opsi yang dicari.

Contoh. Opsi call pada contoh di atas akan dihitung dengan menggunakan model amerika: 1. Pohon binomial perubahan harga saham

2. Pohon binomial nilai opsi pada waktu jatuh tempo

Menentukan pohon binomial perubahan harga saham dan nilai opsi pada waktu jatuh tempo 134.99 1.1618 116.18 1.1618 100 1.1618

100  0.8607

86.07  0.8607 74.08  0.8607

Contoh Perhitungan di node Perhitungan nilai a Formula “V0” diberikan seperti tipe Eropa bernilai $58.07. Nilai early exercise pada node tersebut = max (156.83 – 100, 0) = $56.83 Sehingga nilai opsi pada node itu adalah $58.07

Perhitungan nilai b Formula “V0” diberikan seperti tipe Eropa bernilai $17,43. Nilai early exercise pada node tersebut = max (116,18 – 100, 0) = $16.18 Sehingga nilai opsi pada node itu adalah $17.43

Hasil  Proses perhitungan berlanjut sampai t0 , sehingga akan diperoleh nilai opsi call Amerika, yaitu sebesar $13.53, sama seperti perhitungan harga opsi call tipe Eropa

Terima Kasih