PENENTUAN HARGA OPSI CALL WINDOW RESET MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL TREE DAN TRINOMIAL TREE
REVI MELIYANI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, September 2016
Revi Meliyani NIM G551130191
RINGKASAN REVI MELIYANI. Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree. Dibimbing oleh ENDAR H
NUGRAHANI dan DONNY C LESMANA. Opsi adalah suatu kontrak yang memberikan hak (bukan kewajiban) untuk membeli atau menjual suatu aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu. Salah satu jenis opsi yang mulai berkembang adalah opsi reset. Opsi reset merupakan opsi yang bersifat path-dependent yaitu opsi yang nilai payoff-nya bergantung pada perjalanan harga aset yang mendasari selama masa hidup opsi. Opsi window reset adalah opsi saham dengan batasan reset tertentu dan pada periode tertentu. Harga strike pada opsi window reset akan di-reset menjadi nilai yang baru jika pada periode tertentu harga aset yang mendasari melewati batas tertentu. Model Black-Scholes merupakan suatu model pendekatan analitik untuk menghitung harga opsi, namun model ini mempunyai keterbatasan, yaitu tidak dapat digunakan untuk menghitung harga opsi yang bersifat path-dependent. Oleh karena itu diperlukan metode lain untuk menentukan harga opsi tersebut. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan harga opsi call window reset dengan metode binomial tree dan trinomial tree. Karena binomial tree dan , maka tidak trinomial tree tersebut memiliki periode waktu dengan mungkin untuk melihat pergerakan harga opsi secara manual. Oleh karena itu diperlukan simulasi numerik dengan menggunakan fasilitas komputasi. Selanjutnya juga dapat dianalisis pengaruh window reset, level reset, dan beberapa faktor lain terhadap penentuan harga opsi call window reset. Misalkan diberikan suatu opsi call dengan harga strike , reset strike dan adalah level reset, . Jika harga saham lebih kecil atau sama ) maka harga strike akan didengan nilai reset strike selama window reset ( reset menjadi nilai yang baru. Sebaliknya, jika harga saham selama window reset ( ) lebih besar dari nilai reset strike maka harga strike tidak akan di-reset sampai masa jatuh tempo. Dalam penentuan harga opsi call window reset pada metode binomial tree dan trinomial tree diperoleh bahwa harga opsi call window reset Eropa cenderung lebih tinggi dibandingkan dengan harga opsi call Eropa standar. Hal ini disebabkan oleh pengaruh level reset dan window reset sehingga pada batasan reset tertentu harga strike akan di-reset menjadi nilai yang baru dan menyebabkan harga opsi call window reset menjadi meningkat. Sama halnya dengan opsi call Eropa standar, harga opsi call window reset juga dipengaruhi oleh volatilitas, suku bunga bebas risiko, harga strike dan waktu jatuh tempo. Adapun volatilitas, suku bunga bebas risiko, dan waktu jatuh tempo mempunyai hubungan yang positif terhadap harga opsi call window reset, sedangkan harga strike mempunyai hubungan yang negatif terhadap harga opsi call window reset. Pada kedua metode tree ini tidak terdapat perbedaan harga opsi call window reset yang signifikan. Dari sisi penentuan harga opsi call window reset diperoleh hasil yang cenderung sama antara kedua metode tree. Perbedaan harga hanya terletak pada seberapa cepat metode tersebut mendekati nilai analitiknya. Dari hasil simulasi, metode trinomial tree lebih cepat mendekati nilai analitik dibandingkan dengan binomial tree.
Kata kunci: binomial tree, harga strike, opsi call window reset, reset strike , trinomial tree.
SUMMARY REVI MELIYANI. Window Reset Call Option Pricing Using Binomial Tree and Trinomial Tree. Supervised by ENDAR H NUGRAHANI and DONNY C
LESMANA. Option is a contract that gives right (not obligation) to buy or sell an asset at a certain time on a certain price. One of the options that is developed recently is reset option. Reset option is a path dependent option whose payoff depends on the historical prices of underlying assets before its expiration date. Window reset option is a stock option which has certain limits at certain periods. The strike price of the window reset option will be reset to a new value if the price of the underlying asset is below the threshold at a certain period. Black-Scholes model is an analytical approach model which is used to calculate the price of options. However, this model cannot be used to calculate path dependent option price. Therefore we need another method to determine it. The purpose of this study is to apply binomial and trinomial tree methods in determining the price of window reset call option. Because binomial and trinomial tree are evaluated over periods of time, where , then the movement of option price can hardly be calculated manually. Thus, there is a need of applying numerical simulations by means of computation. This simulation can also analyze the influence of window reset, reset level, and some other factors in determining the price of call window reset options. Given a call option with a strike price , a reset strike with is the reset level, . If the stock price is less than or equal to the value of the ), the strike price will be reset to the new reset strike during a window reset ( ) is greater than value. Conversely, if the stock price over the window reset ( the value of the reset strike, the strike price will not be reset until the maturity time. In determining the price of a call window reset option with binomial and trinomial tree methods, it is found out that the price of European call window reset option tends to be higher than the price of regular European call options. This is caused by the influence of the reset level and window reset so at the reset certain limits, strike price will be reset into a new value and cause the price of window reset call option to rise. As well as the standard European call option, the price of window reset call option is also influenced by the volatility, risk-free interest rate, the strike price, and time to maturity. As for volatility, risk-free interest rate and time to maturity are positively related to the price of window reset call option, while the strike price is a negatively related to the price of window reset call option. There are no significant differences between both tree methods on calculating the price of call window reset option. Both of them give similar results in determining the prices of call window reset option. The price difference lies merely on how fast these methods are approaching its analytical value. From simulation results, trinomial tree method is more rapidly approaching its analytical value than the binomial method.
Keywords: binomial tree, window reset call option, reset strike, strike price, trinomial tree.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PENENTUAN HARGA OPSI CALL WINDOW RESET MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL TREE DAN TRINOMIAL TREE
REVI MELIYANI
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah opsi reset, dengan judul Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree. Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terima kasih yang tak berhingga penulis sampaikan kepada Ayahanda dan Ibunda tercinta serta seluruh keluarga atas semua doa dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Ungkapan terima kasih pula penulis sampaikan kepada Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS dan Bapak Dr Donny C Lesmana, M.Fin.Math selaku pembimbing, atas bantuan, bimbingan dan kesabarannya selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang telah memberikan kritik dan sarannya. Seluruh Dosen Departemen Matematika Terapan IPB yang telah memberikan ilmunya selama penulis menjalankan studi serta staf pegawai Tata Usaha Departemen Matematika atas semua bantuan dan kerjasamanya. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor beasiswa BPPDN tahun akademik 2013/2014 dan 2014/2015. Seluruh mahasiswa pascasarjana angkatan 2013 pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB untuk kebersamaan, dukungan dan bantuannya. Sahabat-sahabat dan semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Semoga semua bantuan, doa, dan motivasi yang telah diberikan pada penulis mendapat balasan dari Allah SWT. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi pembaca.
Bogor, September 2016
Revi Meliyani
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vii
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian
1 1 3
2 TINJAUAN PUSTAKA Opsi dan Jenisnya Payoff dari Opsi Metode Penentuan Nilai Derivatif Path-Dependent Opsi Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree Opsi Reset
3 3 4 4 5 5 15
3 METODE
16
16 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Binomial Tree 16 Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Trinomial Tree24 5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran
32 32 32
DAFTAR PUSTAKA
33
LAMPIRAN
35
RIWAYAT HIDUP
44
DAFTAR TABEL 1
Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga opsi call window reset menggunakan metode binomial tree 2 Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree
21 29
DAFTAR GAMBAR 1 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan binomial tree satu periode 2 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree dua periode 3 Ilustrasi pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode 4 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree periode 5 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan trinomial tree satu periode 6 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua periode 7 Ilustrasi pergerakan harga opsi call dengan trinomial tree dua periode 8 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree periode 9 Pergerakan harga saham dengan binomial tree dua periode 10 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode 11 Pergerakan harga saham dengan binomial tree empat periode 12 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree empat periode 13 Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call dengan menggunakan metode binomial tree 14 Hubungan antara level reset dengan harga opsi call windows reset menggunakan metode binomial tree 15 Harga opsi call window reset menggunakan beberapa volatilitas yang berbeda dengan menggunakan binomial tree 16 Hubungan antara suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan binomial tree 17 Hubungan antara harga strike terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan binomial tree 18 Hubungan antara waktu jatuh tempo ( ) dan harga opsi call window reset dengan menggunakan binomial tree 19 Pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua periode 20 Pergerakan harga opsi dengan trinomial tree dua periode 21 Pergerakan harga saham dengan trinomial tree empat periode 22 Pergerakan harga opsi dengan trinomial tree empat periode 23 Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call dengan menggunakan trinomial tree 24 Hubungan antara level reset terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree
6 6 7 8 12 13 14 14 17 18 18 19 20 21 22 22 23 23 25 25 26 27 28 29
25 Hubungan antara volatilitas terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree 26 Hubungan antara suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree 27 Hubungan antara harga strike terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree 28 Hubungan antara waktu jatuh tempo ( ) dan harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree
30 30 31 31
DAFTAR LAMPIRAN 1 Penentuan parameter-parameter pada binomial tree 2 Sintaks Matlab untuk menentukan nilai opsi call window reset dengan metode binomial tree 3 Penentuan parameter-parameter pada trinomial tree 4 Sintaks Matlab untuk menentukan nilai opsi call window reset dengan metode trinomial tree
37 38 40 42
1
PENDAHULUAN Latar Belakang
Pasar modal memberikan dampak yang sangat besar bagi perekonomian suatu negara. Pada dasarnya, pasar modal sama halnya dengan pasar biasa, ada penjual, pembeli dan tawar menawar. Pasar modal merupakan pasar untuk berbagai instrumen keuangan jangka panjang yang diperjualbelikan baik dalam bentuk hutang atau instrumen lainnya. Pasar modal memberikan dua fungsi sekaligus yaitu fungsi ekonomi dan fungsi keuangan. Fungsi ekonomi yaitu pasar modal sebagai wahana yang mempertemukan dua kepentingan sekaligus yaitu pihak yang memiliki dana (investor) dan pihak yang memerlukan dana. Sedangkan fungsi keuangan adalah memberikan kemungkinan dan kesempatan untuk memperoleh imbalan bagi pemilik dana sesuai dengan karakter investasi yang dipilih. Matematika mempunyai peranan yang sangat penting dalam dunia pasar modal. Matematika dapat digunakan sebagai media atau alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman terhadap suatu permasalahan keuangan. Permasalahan yang ada dapat disajikan dengan lebih sederhana menggunakan asumsi-asumsi secara explisit. Asumsi-asumsi ini dapat dianggap sebagai batasan dalam pendekatan model matematika, sehingga diharapkan dapat membantu untuk memprediksi fenomena ekonomi yang sedang berlangsung. Manfaat pasar modal dalam suatu negara adalah sebagai sumber pendapatan negara melalui pajak, sebagai sarana untuk menghimpun dana dari masyarakat oleh negara dan perusahaan melalui penerbitan obligasi dan penjualan saham, sebagai alternatif investasi bagi para investor dan masih banyak lagi manfaat lainnya. Saham adalah tanda penyertaan modal seseorang atau pihak (badan usaha) dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas, sehingga pihak tersebut memiliki klaim atas pendapatan perusahaan, klaim atas aset perusahaan, dan berhak hadir dalam Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS). Bagi ahli ekonomi, mungkin saja mengkaji penyebab harga saham naik atau turun, namun seorang ahli matematika keuangan mengkaji harga saham dan mencoba menggunakan kalkulus stokastik untuk mendapatkan dugaan nilai terbaik dari harga saham. Harga saham pada masa yang akan datang bisa berubah sesuai dengan kondisi pasar. Hal ini menyebabkan adanya kemungkinan akan terjadi kerugian yang diderita investor. Salah satu cara meminimalisasi risiko ialah dengan menggunakan produk derivatif yang salah satunya adalah opsi. Penggunaan produk derivatif sebagai sarana investasi di pasar modal telah meningkat seiring dengan berkembangnya pasar keuangan global. Produk derivatif merupakan produk turunan dari efek utama baik yang bersifat penyertaan maupun utang. Derivatif adalah kontrak atau perjanjian yang nilai atau peluang keuntungannya terkait dengan kinerja aset lain yang mendasari. Adapun aset yang mendasarinya adalah nilai tukar mata uang, suku bunga, indeks, atau saham. Produk derivatif yang biasa dikenal adalah forward, future, swap dan opsi. Derivatif digunakan oleh para pelaku pasar sebagai sarana untuk melakukan lindung nilai (hedging) atas portofolio yang dimiliki. Produk derivatif yang akan dibahas pada penelitian ini adalah opsi.
2 Opsi memberikan hak kepada pemegang kontrak untuk membeli atau menjual suatu aset sesuai harga dan waktu yang telah disepakati pada kontrak. Opsi saham biasanya banyak diperdagangkan di negara-negara yang umumnya memiliki kondisi pasar modal yang sudah maju. Suatu opsi tidak akan bernilai jika pada saat jatuh tempo kontrak tersebut tidak dilaksanakan. Secara umum ada dua jenis opsi berdasarkan tipe kontraknya, yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call adalah suatu opsi untuk membeli aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu (harga strike/eksekusi), sedangkan opsi put adalah suatu opsi untuk menjual aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu. Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa yang hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo dan opsi tipe Amerika yang dapat dieksekusi pada sembarang waktu selama masa berlakunya opsi (Hull 2009). Walaupun tidak diketahui secara pasti sejak kapan pertama kalinya kontrak opsi diperdagangkan, namun diperkirakan para ahli matematika dan ahli filsuf sejak zaman Romawi dan Yunani dulu telah menggunakan metode yang sama seperti kontrak opsi. Pada awalnya, perkembangan opsi relatif lambat, pada tahun 1968 saja jumlah kontrak yang diperdagangkan tidak lebih dari 300 ribu kontrak, karena saat itu para investor melakukan deal (perjanjian) lewat telepon, sedangkan di satu sisi mereka susah mengetahui apa yang sedang terjadi di pasar pada saat itu serta berbagai kendala-kendala lainnya. Namun seiring berjalannya waktu, perdagangan opsi mulai berkembang pesat. Salah satu jenis opsi yang mulai berkembang adalah opsi reset. Harga strike pada opsi reset dapat di-reset menjadi nilai yang baru jika harga aset yang mendasarinya menyentuh batas harga tertentu. Salah satu bursa yang telah menerapkan opsi reset adalah Chicago Board Options Exchange (CBOE). Ada banyak penelitian mengenai opsi reset, diantaranya adalah Gray dan Whaley (1999) menganalisis index S&P 500 dan memperoleh solusi bentuk tertutup untuk warrant reset dengan tanggal reset tunggal. Cheng dan Zhang (2000) yang mengevaluasi opsi reset dengan beberapa tanggal reset yang diskret. Liao dan Wang (2003) memformulasi harga dari opsi reset yang kontinu sebagai selisih antara harga opsi barrrier down-and-out dengan harga strike awal dan selisih opsi barrier down-and-in dengan harga strike yang di-reset. Hsiao (2013) menentukan harga opsi window reset dengan pendekatan masalah nilai batas persamaan diferensial Black-Scholes. Model Black-Scholes merupakan suatu model pendekatan analitik untuk menghitung harga opsi (Hull 2009). Namun model ini mempunyai keterbatasan yaitu hanya dapat digunakan dalam penentuan harga opsi tipe Eropa standar. Sedangkan opsi yang digunakan pada penelitian ini adalah opsi yang bersifat path-dependent. Oleh karena itu diperlukan metode lain untuk menentukan harga opsi tersebut, salah satunya menggunakan metode tree yang terdiri dari binomial tree dan trinomial tree. Metode ini dikonstruksi untuk menunjukkan semua kemungkinan pergerakan harga saham dasar selama masa hidup opsi Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberi informasi bagi pelaku pasar modal maupun masyarakat luas serta sebagai masukan dalam menetapkan kebijakan mengenai perdagangan opsi di pasar modal.
3 Tujuan Penelitian Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai pada penelitian ini adalah menentukan harga opsi call window reset dengan menggunakan metode binomial tree dan trinomial tree, serta menganalisis hubungan faktor-faktor lain yang memengaruhi harga opsi call window reset.
2 TINJAUAN PUSTAKA Opsi dan Jenisnya Opsi adalah suatu kontrak/perjanjian yang memberi hak (bukan kewajiban) untuk membeli atau menjual suatu aset pada pihak tertentu pada suatu saat tertentu dan pada harga tertentu (Hull 2009). Investasi opsi merupakan sarana yang paling tepat bagi investor untuk mengontrol suatu saham yang cukup besar dengan modal yang jauh lebih kecil bila dibandingkan dengan harga saham aslinya. Ada beberapa komponen opsi, yaitu : 1. 2.
3. 4.
5.
6.
Kontrak opsi yaitu suatu kontrak yang disepakati oleh kedua pihak yang bersifat mengikat dan tidak dapat dibatalkan secara sepihak. Hak opsi. Ada 2 jenis hak opsi yaitu hak membeli yang disebut opsi call dan hak menjual yang disebut opsi put. Opsi call adalah suatu opsi untuk membeli aset pada suatu saat tertentu dengan harga tertentu yaitu harga strike atau harga eksekusi. Sedangkan opsi put adalah suatu opsi untuk menjual aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu. Penerbit (writers) yaitu investor yang menerbitkan kontrak opsi. Aset dasar adalah aset yang mendasari apa yang diperjualbelikan. Aset ini dapat berupa saham, komoditi, indeks, suku bunga dan lain-lain. Dalam penelitian ini akan dibahas opsi dengan aset dasarnya adalah saham. Harga strike yaitu harga yang ditawarkan oleh penerbit apabila investor melaksanakan opsinya. Dengan kata lain, harga strike adalah harga dimana seseorang dapat membeli atau menjual aset yang dikontrakkan. Waktu jatuh tempo (expiration date) merupakan waktu yang disepakati oleh kedua pihak untuk mengeksekusi opsinya. Setiap opsi mempunyai masa hidup mulai dari satu hari sampai maksimal 3 tahun.
Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibagi menjadi dua jenis, yaitu 1. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual aset dasar hanya pada waktu jatuh tempo. 2. Opsi tipe Amerika adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual aset dasar pada sembarang waktu selama masa berlakunya opsi (Hull 2009).
4 Payoff dari Opsi Payoff suatu opsi mendeskripsikan nilai opsi sebagai fungsi dari aset dasar pada saat jatuh tempo atau pada waktu tertentu sebelum masa jatuh tempo. Payoff untuk opsi put dan opsi call bergantung pada harga aset dasar pada saat dan harga strike ( ). Adapun payoff opsi call yaitu ( ) sedangkan payoff opsi put yaitu ( ). Metode Penentuan Nilai Derivatif Ada banyak metode dalam menentukan nilai derivatif, antara lain: 1. Metode trees: Dengan menggunakan metode trees ini, diharapkan dapat dilihat beberapa kemungkinan nilai dari saham yang dapat terjadi serta nilai opsi yang bergantung pada nilai saham tersebut. Metode ini yang akan dibahas pada penelitian ini, khususnya metode binomial tree dan trinomial tree. 2. Metode Monte Carlo adalah metode untuk mendapatkan solusi numerik dari suatu persamaan yang sulit diselesaikan secara analitik dengan cara membangkitkan bilangan acak. 3. Metode Beda Hingga adalah metode numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dengan mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebut menjadi sistem persamaan linear dan taklinear. Ada dua pendekatan yang dikenal secara luas dalam menentukan harga pasar opsi, yaitu 1. Metode risiko netral (risk-neutral method) Prinsip yang sangat penting dalam penentuan harga derivatif adalah pendekatan risk neutral. Metode ini menggunakan anggapan bahwa investor menghadapi risiko yang sama terhadap suku bunga yang berlaku. Artinya, pada kondisi yang demikian investor bersedia menerima return atas investasi opsi sebesar suku bunga bebas risiko yang berlaku saat itu. Pada pengaplikasiannya metode ini memerlukan waktu yang sedikit lama, sebab harus melalui beberapa tahap. Adapun prosedur pendekatan risk neutral adalah: 1. Asumsikan bahwa nilai harapan return dari semua aset yang diperdagangkan adalah suku bunga bebas risiko. 2. Nilai payoff dari derivatif adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko. Prinsip inilah yang mendasari penggunaan metode tree (Hull 2009). 2. Metode Black-Scholes Metode Black-Scholes pertama kali diperkenalkan pada tahun 1973 dan merupakan hasil penelitian dari Fischer Black, Myron Scholes, dan Robert Merton. Model ini digunakan untuk menentukan nilai opsi Eropa. Selanjutnya model ini terus dikembangkan dan dipergunakan dalam perdagangan opsi. Misalkan ( ) menyatakan harga opsi dengan harga saham pada waktu , menyatakan suku bunga bebas risiko dan adalah volatilitas harga saham maka persamaan Black-Scholes standarnya adalah (Hull 2009). .
(1)
5 Path-Dependent Opsi Path-dependent opsi adalah suatu kontrak opsi yang nilai payoff-nya bergantung pada perjalanan harga underlying asset selama masa hidup opsi. Sebagai contoh opsi yang bersifat path-dependent adalah opsi Asia yang harga strike-nya adalah rata-rata dari harga underlying asset selama masa kontrak (Hull 2009). Contoh lainnya adalah opsi barrier, opsi reset, opsi chooser dan opsi lockback. Adapun dalam penelitian ini hanya akan dibahas mengenai opsi reset. Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree Dalam perdagangan opsi, model yang sangat populer digunakan adalah model Black-Scholes. Model ini merupakan suatu model pendekatan analitik dalam menentukan nilai opsi (Hull 2009). Akan tetapi, model ini mempunyai keterbatasan yaitu hanya dapat digunakan untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa dan opsi call Amerika yang memiliki sifat yang sama dengan opsi Eropa. Sedangkan di bursa saham terdapat berbagai jenis opsi-opsi lain yang tidak memiliki rumus eksak untuk menghitungnya. Misalnya opsi Asia yang nilainya bergantung pada rata-rata harga saham sampai masa jatuh tempo, opsi Amerika yang mempunyai sifat early excercise, dan masih banyak lagi opsi-opsi lainnya. Oleh karena itu, diperlukan metode numerik untuk menghitung nilai opsi tersebut. Lelong dan Zanette (2013) menyatakan bahwa metode numerik yang paling populer digunakan dalam penentuan harga derivatif adalah metode binomial tree dan trinomial tree. Metode Binomial Tree Metode binomial tree pertama kali diusulkan oleh Cox, Ross dan Rubinstein pada tahun 1979 (Hull 2009). Model ini merupakan model komputasi pertama yang digunakan dalam matematika keuangan. Nwozo dan Fadugba (2014) menyatakan bahwa metode binomial merupakan metode yang sederhana namun mempunyai teknik yang kuat untuk mencari solusi Black-Scholes dan merupakan model penentuan harga opsi kompleks lainnya yang membutuhkan solusi dari persamaan diferensial stokastik. Metode binomial dikonstruksi untuk menunjukkan beberapa kemungkinan nilai dari aset dasar (yang dalam hal ini adalah saham) yang dapat terjadi pada semua titik waktu selama waktu hidup opsi. Kemungkinan pergerakan harga saham dan juga opsi dapat dimodelkan menggunakan pohon binomial yang terdiri dari dua kejadian, yaitu harga saham naik dengan peluang , dan harga saham turun dengan peluang ( ) Perhitungan harga opsi dihitung dengan cara mencari present value dari ekspektasi payoff ketika opsi jatuh tempo (Cox et al. 1979). Penentuan Parameter Metode Binomial Tree Misalkan masa hidup opsi adalah , - . Selama selang waktu tersebut dibagi menjadi subinterval yang sama panjang dengan dengan . Misalkan dalam selang waktu harga saham dapat bergerak
6 naik dengan faktor dengan peluang
menjadi
dan bergerak turun dengan faktor
√ , , dan Proses penurunan rumus dapat dilihat pada Lampiran 1.
√
menjadi
(Cox et al. 1979).
Metode Binomial Tree Satu Periode Pada binomial tree satu periode harga opsi hanya dapat bergerak naik dan turun satu kali saja. Misalkan waktu hidup opsi call selama dan harga saham awal pada saat adalah maka pada waktu harga saham akan bergerak naik ). menjadi dengan peluang atau turun menjadi dengan peluang ( dan masing-masing adalah faktor pergerakan naik dan turun dalam satu periode dengan . Pergerakan harga saham dengan binomial tree satu periode dapat diilustrasikan pada Gambar 1. f u max 0,S0u K
S0u
p S0
f
1 p
t0
t
S0 d T
f d max 0,S0 d K
Gambar 1 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan binomial tree satu periode Dari Gambar 1 juga terlihat ilustrasi pergerakan harga opsi dimana dan adalah harga opsi call pada waktu yang telah bergerak naik atau turun, sehingga jika menyatakan harga opsi call , maka ( ( ) ) (2) Metode Binomial Tree Dua Periode Misalkan harga saham awal pada saat adalah dan harga saham pada - dibagi menjadi dua saat jatuh tempo adalah . Dalam selang waktu , subinterval. Masing- masing subinterval memperlihatkan pergerakan harga saham naik dengan faktor atau pergerakan turun dengan faktor . Adapun ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial dua periode diperlihatkan pada Gambar 2 berikut. S0u 2 S0u
p S0
S0 1 p S0 d
S0 d 2
t
0
t
t1
t
t2
Gambar 2 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree dua periode
7 Dari Gambar 2 terlihat bahwa pada waktu harga saham dapat bergerak naik menjadi atau turun menjadi , sedangkan pada waktu harga saham dapat bergerak naik atau turun satu kali lagi menjadi , , dan . Dari pergerakan harga saham inilah dapat diilustrasikan pula pergerakan harga opsi untuk binomial dua periode. Misalkan = nilai payoff opsi call pada waktu untuk dua pergerakan harga saham naik berturut-turut. = nilai payoff opsi call untuk satu pergerakan harga saham naik dan satu pergerakan turun. = nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham turun berturut-turut. sehingga ( ) ( ) ( ) Harga opsi call pada waktu adalah: ( ) ) ( (3) ( ) ) ( (4) Sehingga pergerakan harga opsi pada binomial dua periode ini dapat diilustrasikan pada Gambar 3.
f uu max0, S0uu K
fu ert ( pfuu 1 p fud )
f ud max0, S0ud K
f f d ert ( pfud 1 p f dd )
f dd max0, S 0 dd K Gambar 3 Ilustrasi pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode Dari Gambar 3 terlihat pergerakan harga opsi Substitusi (3) dan (4) ke (2) maka adalah diperoleh harga opsi call pada waktu (
( (
( (
) )
) ( ) ( ) )
(
(
)
) (5)
Pergerakan harga saham pada Gambar 2 dapat diperluas menjadi periode dalam selang waktu sehingga persamaan (2) dan (5) di atas dapat diperumum untuk nilai opsi call dengan , sehingga
8 ∑( )
(
)
∑( )
(
)
(
dengan
) dan
((
. /
(
) adalah koefisien
)
binomial dengan . Adapun ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree diberikan pada Gambar 4.
periode S0u n
S 0u n1
S0u
S 0 u n2
2
S0u
S 0 u n4
p S0
S0 1 p
S 0 d n4
S0 d
S0 d 2
S 0 d n 2 S 0 d n1
t0
t
t1
t
tn1
t2
S0 d n
t
t
Gambar 4 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree
n
periode
Seperti yang terlihat pada Gambar 4, ketika trees sudah dikonstruksi dengan lengkap maka dapat dilihat semua kemungkinan harga saham dari awal masa hidup opsi sampai opsi jatuh tempo. Dengan mengambil , dapat ditunjukkan bahwa metode binomial konvergen ke solusi Black-Scholes. Berikut akan diperlihatkan bahwa metode binomial tree konvergen ke solusi Black-Scholes menurut Hull (2009). Misalkan adalah present value dari harga opsi call Eropa pada waktu jatuh tempo *∑ ( )
(
∑( )( ) ( )
)
(
)+
∑( )
( )
9 (
dengan
)
banyak kenaikan saham dalam satu periode (
)
( )( ) ( )
(
)
∑( )
( )
Terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa
(
)
( )( ) ( )
. /
(
.
/
)
√
Misalkan ( ) adalah peluang minimal harga saham naik sebanyak kali dalam suatu periode. Menurut Teorema Limit Pusat, untuk , variabel acak z terdistribusi normal baku ( ) sehingga diperoleh (
)
) ( ) √ yang diinginkan membentuk harga saham sedemikian sehingga pada saat jatuh tempo opsi dapat dieksekusi. (
. /
√ √
. / . / dengan
√
dan
√
√
sehingga .
(
√
/
√ √
)
√ ( (
) .
/
√ √
√ √
)
10 . / (
) )
√ . /
√
(
dengan
(
√
(
) )
√
dapat dibuktikan bahwa: . /
(
√
(
) )
√
. /
(
.
/
√
)
(
)
Selanjutnya akan dibuktikan ( ) Misalkan ( ) adalah peluang minimal harga saham naik sebanyak kali dalam suatu periode. Menurut Teorema Limit Pusat diperoleh (
)
(
) ( ) √ yang diinginkan membentuk harga saham sedemikian sehingga pada saat jatuh tempo opsi dapat dieksekusi. . /
√ √
. / . / dengan
√
dan
√
√
sehingga .
(
√
/
√ √
)
√ (
.
√
/
(
) .
/
√
√
√
. / (
√
√ √
(
) ) )
11
. / (
dengan
(
) )
√
dapat dibuktikan bahwa: ( ) . / √ ) ( √
(
√
. /
.
/
√
)
(
)
Jadi terbukti bahwa metode binomial tree konvergen ke solusi Black-Scholes. Metode Trinomial Tree Seiring perkembangan waktu, metode binomial dianggap terlalu ekstrem karena hanya memandang dua kejadian perubahan harga saham yaitu harga saham naik dan harga saham turun. Pada kenyataannya terdapat banyak kemungkinan perubahan harga saham seperti yang diilustrasikan pada trinomial tree yang melibatkan tiga kemungkinan perubahan harga saham atau bahkan multinomial yang melibatkan kemungkinan perubahan harga saham. Trinomial tree pertama kali diperkenalkan oleh Boyle (1986). Ssebugenyi (2007) memaparkan bahwa model Boyle ini juga didasari pada kecocokan mean dan varians dari distribusi kontinu dan distribusi diskret. Tujuan dari penggunaan metode trinomial ini adalah untuk meningkatkan akurasi dan kecepatan dalam menghitung pergerakan harga saham bila dibandingkan menggunakan binomial tree (Haahtela 2010). Seiring dengan semakin berkembangnya ilmu pengetahuan maka Hull (2009) menentukan nilai parameter penentuan harga opsi yang berbeda dengan Boyle. Adapun parameter penetuan harga opsi yang akan digunakan dalam tesis ini adalah parameter dari Hull (2009). Penentuan Parameter Metode Trinomial Tree Pada dasarnya trinomial tree sama dengan metode binomial tree. Misalkan masa hidup opsi adalah , -. Selama selang waktu tersebut dibagi menjadi subinterval yang sama besar dengan sehingga . Pada trinomial tree, dalam selang waktu harga saham memiliki tiga parameter pergerakan harga saham yaitu dan yang masing-masing merupakan faktor pergerakan harga saham naik, tetap dan turun serta mempunyai tiga peluang terkait yang masing-masing adalah , dan . Harga saham naik dengan peluang , harga saham turun dengan peluang , dan harga saham tetap dengan peluang . . Perhitungan nilai , , , , dan menurut Hull (2009) adalah sebagai berikut. √
√
,
√
, .
/
.
/
,
.
Proses penurunan formula (7) dapat dilihat pada Lampiran 3.
, (7)
12 Metode Trinomial Tree Satu Periode Misalkan suatu opsi call mempunyai waktu hidup , -, harga saham awal pada saat adalah maka pada saat T harga saham akan naik dengan peluang dan harga saham turun menjadi , harga saham tetap dengan peluang dengan peluang menjadi . Adapun pergerakan harga saham dan harga opsi dengan trinomial satu periode ini ditunjukkan pada Gambar 5.
f u max0, S0u K
S 0u
pu pm
S0
S0
f
f m max0, S0 K
pd t0
t
S0d T
f d max0, S0 d K
Gambar 5 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan trinomial tree satu periode Dari pergerakan harga saham pada bagian kiri Gambar 5 dapat diilustrasikan pula pergerakan harga opsi seperti yang terlihat pada Gambar 5 bagian kanan, sehingga harga opsi call dapat dirumuskan sebagai ( ) (8) adalah harga opsi call pada masing-masing pergerakan naik, dengan , , turun dan tetap. Metode Trinomial Tree Dua periode Misalkan suatu opsi call mempunyai waktu hidup , -. Dalam interval waktu tersebut dibagi dalam dua subinterval dengan masing-masing subinterval mempunyai peluang bahwa harga saham akan bergerak naik, tetap dan turun dengan peluang , , dan dengan . Adapun ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree satu periode ditunjukkan pada Gambar 6.
13 S 0u 2
S 0u
S0
S0u
S0
S0
S0d
t0
t
t1
S0 d
t
S0 d 2 t2
Gambar 6 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua periode , harga Dari Gambar 6, pada saat harga saham bergerak naik menjadi saham tetap dan harga saham turun . Sedangkan pada saat harga saham , , , dapat bergerak naik, tetap dan turun satu kali lagi menjadi , dan . Selanjutnya dari pergerakan harga saham ini dapat pula diberikan pergerakan harga opsi. Misalkan = nilai payoff opsi call pada waktu untuk dua pergerakan harga saham naik berturut-turut. = nilai payoff opsi call untuk satu pergerakan harga saham tetap dan satu pergerakan naik. = nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham naik dan pergerakan harga saham turun = nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham tetap dan harga saham turun = nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham turun berturut-turut Harga opsi call pada waktu adalah ( ) (9) ( ) (10) ( ) (11) Adapun ilustrasi lengkap pergerakan harga opsi dengan trinomial tree dua periode diperlihatkan pada Gambar 7.
14
f uu max 0, S 0 u 2 K
f
f u e rt pu f uu pm f um pd f ud
f um max0, S 0 um K
f m e rt pu f um pm f ud pd f dm
f ud f mm max0, S 0 ud K
f d e rt pu f ud pm f dm pd f dd
f md max0, S 0 md K
f dd max 0, S 0 d 2 K
Gambar 7 Ilustrasi pergerakan harga opsi call dengan trinomial tree dua periode Sehingga berdasarkan Gambar 7, harga opsi call ( ) pada saat dapat diperoleh dengan mensubstitusikan (9), (10) dan (11) ke persamaan (8) ( ). Seperti halnya binomial tree, trinomial tree juga dapat diperluas menjadi periode dengan adalah waktu jatuh tempo maka besarnya . Trinomial tree periode dapat diilustrasikan pada Gambar 8. S0u n
S 0u 2
S 0u
S0
S0
S 0 u n1
S 0 u n1
S 0 u n2
S 0 u n2
S 0 u n3
S0u
S0
S0d
S 0 d n3
S0 d
S 0 d n 2
S 0 d n 2
S 0 d n1
S 0 d n1
S0 d 2
S0 d n
t
0
t1
t2
Gambar 8 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree
tn periode
15 Ketika tree sudah dikonstruksi dengan lengkap seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8 maka dapat dilihat semua kemungkinan harga saham dari awal masa hidup opsi sampai waktu jatuh tempo. Dari pergerakan harga saham tersebut dapat pula diilustrasikan pergerakan harga opsi dengan periode sehingga harga opsi call untuk periode dapat digeneralisasi menjadi ∑∑
(
(
)
)
Opsi Reset Pemegang opsi call mempunyai hak untuk membeli saham dengan harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Di samping itu, investor selalu ingin membeli opsi dengan harga terbaik. Akibatnya muncullah opsi yang bersifat pathdependent yang memungkinkan harga strike berubah. Hsiao at al (2011) mengemukakan bahwa opsi reset telah diperdagangkan selama beberapa tahun. Pada akhir tahun 1996, Chicago Board Options Exchange (CBOE) dan New York Stock Exchange memperkenalkan indeks S&P 500 dengan reset put warrant untuk periode reset 3 bulan. Chang at al (2006) mengemukakan bahwa opsi reset merupakan opsi yang bersifat path-dependent. Tujuan dari opsi reset adalah untuk menghindari investor dari risiko downside yang memengaruhi harga aset dasar selama pasar keuangan tak menentu, sehingga harga aset tidak akan turun secara signifikan. Opsi window reset adalah opsi reset dengan window reset terus menerus secara parsial, artinya jika diberikan window reset ( ) maka selama jangka waktu tersebut, harga strike pada opsi window reset akan disesuaikan ke nilai yang baru jika harga saham di bawah ambang batas tertentu (Hsiao 2013). Misalkan suatu opsi call tipe Eropa dengan harga strike , batas reset dengan adalah level reset, window reset ( ), maka payoff opsi call window reset pada waktu menurut Hsiao (2013) adalah sebagai berikut. (
)
{
dengan {
( (
) )
(12)
Ketika harga saham mengikuti gerak Brown geometri maka harga opsi harus memenuhi persamaan diferensial Black-Scholes (Hsiao 2013). Selama window reset ( ) jika harga aset dasar mencapai reset strike, maka harga strike akan di-reset menjadi harga strike yang baru yaitu sebesar dan tidak akan berubah sampai waktu jatuh tempo. Pada situasi ini, harga opsi pada saat jatuh tempo adalah sebesar pengurangan harga saham pada saat jatuh tempo dengan harga strike yang baru. Namun, jika harga aset dasar tidak menyentuh reset strike selama window reset ( ) maka harga strike tidak akan berubah dan harga opsi pada saat jatuh tempo adalah sebesar pengurangan harga saham dengan harga strike .
16
3 METODE Terdapat banyak metode numerik untuk menentukan harga opsi, diantaranya adalah dengan menggunakan metode binomial tree dan trinomial tree. Pada penelitian ini, akan dibahas penentuan harga opsi call window reset dengan menggunakan kedua metode tree tersebut. Pada saat binomial tree dan trinomial tree telah dikontruksi menjadi periode maka sulit sekali untuk menghitung harga opsi call window reset secara manual. Oleh karena itu diperlukan simulasi numerik untuk menghitungnya. Simulasi terhadap model mengggunakan fasilitas komputasi program MATLAB. Adapun langkah-langkah umum yang akan dilakukan adalah 1. Menentukan harga opsi call window reset dengan menggunakan metode binomial tree dan trinomial tree, 2. Menganalisis pengaruh window reset dan level reset terhadap harga opsi call window reset, 3. Menganalisis faktor-faktor lain yang memengaruhi harga opsi call window reset.
4 HASIL DAN PEMBAHASAN Misalkan suatu opsi call tipe Eropa dengan harga strike , reset strike dengan adalah level reset, , dengan window reset ( ) maka payoff opsi call window reset adalah sebagai berikut. (
)
{
dengan {
( (
) )
Dengan adanya opsi call window reset maka harga opsi mempunyai batasan tertentu. Jika harga saham lebih kecil atau sama dengan nilai reset strike pada ) maka harga strike akan di-reset waktu tertentu yaitu dalam selang waktu ( menjadi nilai yang baru yaitu sebesar dan nilai opsi call-nya adalah sebesar pengurangan dari nilai aset dasar dengan harga strike reset yang baru yaitu * +. Sebaliknya jika harga saham pada selang waktu ( ) lebih besar dari harga strike maka opsi tidak akan di reset dan payoff-nya menjadi * +. Dengan kata lain, ketika harga saham terus menerus turun maka opsi tersebut akan di-reset dengan harga strike yang baru sehingga payoff dari opsi tidak akan turun secara signifikan. Hal inilah yang menjadi tujuan dari opsi reset yaitu untuk mengindari investor dari risiko downside. Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Binomial Tree Misalkan suatu opsi call mempunyai waktu jatuh tempo selama tahun dengan harga saham saat ini , harga strike sebesar , suku bunga bebas risiko , volatilitas dan level reset sebesar .
17 Selanjutnya akan dianalisis dengan binomial tree satu periode, dua periode, empat periode dengan window reset ( ) dan ketika periode semakin meningkat maka harga opsi akan dihitung dengan simulasi menggunakan software Matlab. Binomial Tree Satu Periode Misalkan opsi mempunyai waktu jatuh tempo selama tahun. Pada binomial tree satu periode, opsi call window reset tidak relevan untuk digunakan karena pada binomial satu periode ini waktu hidup opsi hanya dibagi menjadi waktu awal opsi berlaku dan waktu jatuh tempo . Sehingga harga opsi ( ) yang berlaku ialah harga opsi call standar, bukan harga opsi call window reset. ( ) ( ) ( )) ( Binomial Tree Dua Periode Misalkan opsi memiliki waktu hidup selama tahun. Misalkan pula dalam selang waktu , - dibagi menjadi dua subinterval , - dan , dengan . Dari parameter yang telah diberikan tersebut, diperoleh , , , , , ) ( dengan window reset ( ) . Maka pergerakan harga sahamnya adalah sebagai berikut 152.8465
123.6311
100
100 80.8858
t0
t
t1
t
65.4251 t2
Gambar 9 Pergerakan harga saham dengan binomial tree dua periode Pada selang waktu sampai , jika harga sahamnya mencapai reset strike yaitu maka harga strike akan di-reset menjadi . Ini mengakibatkan pada saat harga saham turun pada waktu maka harga strike-nya pun akan mengikuti harga strike sebelumnya. Akibatnya pergerakan harga opsinya adalah seperti yang terlihat pada Gambar 10.
18 57.8465
32.3561
5
18.0148
2.6068 0
Gambar 10 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode Sehingga dari Gambar 10 diperoleh harga opsi call window reset adalah ( )( ) ( ) ( )) ( . Binomial Tree Empat periode Misalkan opsi memiliki waktu jatuh tempo selama tahun. Misalkan pula selama interval waktu [ - dibagi menjadi empat subinterval , -,, -, -dan , - dengan . Dari parameter yang , telah diberikan diperoleh , , , , dengan window reset ( ) ( ). Akibatnya pergerakan harga sahamnya adalah: 182.2119 156.8312 134.9859 116.1834
100
134.9859 116.1834
100 86.0708
100 86.0708 74.08182
74.0818 63.7628
54.8812
t0
t1
t2
t3
t4
Gambar 11 Pergerakan harga saham dengan binomial tree empat periode Dari Gambar 11, selama window reset ( ) jika harga saham naik maka harga strike tidak akan di-reset, sebaliknya jika harga saham turun dan menyentuh reset strike maka harga strike akan di-reset menjadi harga strike yang baru. Akibatnya pergerakan harga opsi untuk binomial tree empat periode dapat diilustrasikan pada Gambar 12.
19 87.2119 63.7123 45.7108 28.7656
39.9859 23.0646
5
13.1711
18.3732
7.4594
2.5958 1.3477
0 0 0
Gambar 12 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree empat periode Dari Gambar 12 pada saat opsi jatuh tempo, harga opsi adalah pengurangan dari harga saham dan harga strike jika harga saham terus bergerak naik dan sebaliknya harga opsi adalah pengurangan harga saham dengan harga strike yang baru yaitu sebesar jika harga saham terus menerus bergerak turun, sehingga diperoleh nilai opsi call window reset adalah . Algoritme Opsi Call Window Reset Tipe Eropa dengan Menggunakan Metode Binomial Tree (menggunakan sintaks Matlab) Misalkan ( ) adalah harga saham pada waktu . 1. Input harga saham awal ( ), harga strike ( ), nilai volatilitas saham ( ), waktu jatuh tempo ( ), banyak periode ( ) dan level reset ( ), window reset ( ). 2. Hitung nilai . 3. Hitung peluang harga saham naik ( ) dan peluang harga saham turun ( ). 4. Konstruksi harga saham pada masing-masing titik waktu dengan binomial tree. - harga saham dapat dibagi dalam subinterval (titik waktu) Dalam selang , yang sama panjang dengan Masing-masing subinterval memperlihatkan pergerakan harga saham naik dengan faktor pergerakan harga saham turun dengan faktor ) ( ) sehingga ( ( ) ( ) Lakukan sampai kali pergerakan harga saham. 5. Hitung payoff opsi call window reset pada saat jatuh tempo. 5.1 Hitung nilai strike reset yaitu ) periksa semua kemungkinan nilai 5.2 Selama window reset ( Jika maka Jika maka 5.3 Payoff pada saat jatuh tempo adalah sebesar max ( ).
20 6. Hitung harga opsi call window reset pada waktu nol mengggunakan metode backward induction. 7. Tampilkan harga opsi call window reset. Hasil Simulasi Binomial Tree Ketika binomial tree diperluas dengan n periode maka sulit sekali untuk mencari nilai opsi call window reset secara manual. Oleh karena itu, diperlukan simulasi numerik untuk menentukan harga opsi call window reset ini. Pada karya ilmiah ini, simulasi dilakukan menggunakan software Matlab. Kondisi simulasi diatur dengan menggunakan parameter-parameter berikut: , , , , tahun. Berdasarkan parameter tersebut, diperoleh nilai analitik untuk opsi call Eropa adalah 18.3871. Setelah dilakukan simulasi binomial tree untuk opsi call Eropa standar dan opsi call dan window reset window reset dengan banyak periode 2 sampai 1024 , (0,0.5) maka diperoleh Gambar 13.
Harga Opsi Call
50 Opsi Call Window Reset Opsi Call Eropa
40 30 20 10 0 0
500 1000 Banyak Periode (n)
1500
Gambar 13 Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call dengan menggunakan metode binomial tree Dari Gambar 13 terlihat bahwa harga opsi call Eropa dengan metode binomial tree akan semakin mendekati solusi analitik untuk yang semakin besar. Setelah dilakukan simulasi untuk penentuan harga opsi call window reset menggunakan metode binomial tree terlihat adanya perbedaaan nilai yang sangat signifikan, yaitu harga opsi call window reset Eropa cenderung lebih tinggi jika dibandingkan dengan nilai opsi call Eropa standar. Perbedaan harga ini dipengaruhi oleh level reset dan window reset. Untuk melihat pengaruh kedua faktor tersebut, dilakukan simulasi dengan menggunakan parameter yang sama. Hasil simulasi pengaruh level reset terhadap harga opsi call window reset dapat dilihat pada Gambar 14.
21
Harga Opsi Call Window Reset
100 80 60 40 20 0 0
0.2
0.4 0.6 Level Reset (𝛼)
0.8
1
Gambar 14 Hubungan antara level reset dengan harga opsi call windows reset menggunakan metode binomial tree Dari Gambar 14 terlihat bahwa semakin besar level reset maka semakin kecil harga opsi call window reset. Namun, dari grafik terlihat pula perbedaan yang sangat signifikan pada saat level reset-nya adalah nol. Level reset sebesar nol adalah harga opsi call Eropa standar. Dengan demikian, pengaruh level reset terhadap harga opsi call window reset sangat besar yaitu semakin kecil level reset maka semakin besar harga opsi call window reset. Selanjutnya, hasil simulasi numerik pengaruh window reset terhadap harga opsi call window reset dapat dilihat pada Tabel 1. Adapun window reset yang digunakan masing-masing adalah (0,0.25), (0,0.5) dan (0,0.75). Tabel 1 Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga opsi call window reset menggunakan metode binomial tree n Harga Opsi Call Window Reset Window (0,0.25) Window (0,0.5) Window(0,0.75) 2 18.0148 4 18.3732 18.3732 19.9161 8 18.4922 28.2908 28.2908 16 18.4978 35.7642 35.7642 32 39.0759 39.0759 39.0759 64 39.1262 39.1262 39.1262 128 39.123 39.123 39.123 256 39.1202 39.1202 39.1202 512 39.122 39.122 39.122 1024 39.1215 39.1215 39.1215 Dari Tabel 1, panjang interval window reset tidak mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap penentuan harga opsi call window reset. Pada beberapa pembagian waktu (periode) awal, harga opsi call window reset berbeda pada masing-masing window yang berbeda. Pada saat n = 2 sampai n = 16 harga opsi call window reset pada masing-masing window berbeda mempunyai nilai yang terus meningkat seiring meningkatnya periode. Namun pada saat n = 32 harga opsi call window reset mulai konstan pada masing-masing window berbeda. Semakin diperbesar periodenya maka harga opsi pada masing-masing window
22
Harga Opsi Call Window Reset
adalah sama. Terjadinya perbedaan harga opsi call reset pada awal-awal periode dipengaruhi oleh level reset. Beberapa faktor lain yang memengaruhi harga opsi adalah volatilitas, suku bunga bebas risiko, harga strike dan waktu jatuh tempo. Volatilitas harga saham adalah ukuran ketidakpastian mengenai pergerakan harga saham dimasa yang akan datang. Adapun pengaruh volatilitas terhap harga opsi call window reset dapat dilihat pada Gambar 15. 48 46 44 42 40 38 0
0.2
0.4
0.6
0.8
Volatilitas (𝜎)
Gambar 15 Harga opsi call window reset menggunakan beberapa volatilitas yang berbeda dengan menggunakan binomial tree Gambar 15 merupakan hasil simulasi untuk beberapa volatilitas yang berbeda. Semakin tinggi nilai volatilitas maka semakin tinggi pula kemungkinan harga aset menjadi naik, akibatnya harga opsipun meningkat seiring dengan meningkatnya volatilitas. Kenaikan volatilitas ini akan menaikkan risiko saham. Hal ini memengaruhi investor untuk menjual saham tersebut dalam jangka waktu yang cepat. Suku bunga menggambarkan keadaan perekonomian suatu negara. Suku bunga merupakan salah satu variabel yang senantiasa diamati karena berdampak luas bagi perekonomian. Suku bunga bebas risiko mempunyai pengaruh yang cukup besar dalam dunia pasar modal. Berikut adalah hasil simulasi pengaruh suku bunga terhadap harga opsi call window reset. 40 Harga Opsi Call Window Reset
39 38 37 36 35 34 0
0.02
0.04 0.06 0.08 Suku Bunga (r)
0.1
Gambar 16 Hubungan antara suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan binomial tree Dari Gambar 16, dapat dilihat bahwa suku bunga bebas risiko mempunyai hubungan yang linier terhadap harga opsi call window reset. Peningkatan suku bunga akan mengakibatkan penurunan nilai tunai dari harga strike, sehingga nilai opsi call window reset akan semakin meningkat.
23 Harga strike merupakan harga kesepakatan pada saat kontrak diberlakukan. Harga strike mempunyai pengaruh terhadap harga opsi. Untuk melihat pengaruh harga strike terhadap harga opsi call window reset dilakukan simulasi dan diperoleh Gambar 17. Harga Opsi Call Window Reset
120 100 80 60 40 20 0 0
100 200 300 Harga Strike (K)
400
Gambar 17 Hubungan antara harga strike terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan binomial tree
Harga Opsi Call Window Reset
Dari Gambar 17 terlihat bahwa semakin besar harga strike maka semakin kecil harga opsi call window reset. Hal ini disebabkan oleh semakin tinggi harga strike maka semakin tinggi pula reset strike sehingga payoff pada saat jatuh tempo menjadi semakin kecil dan harga opsipun menjadi semakin kecil. Waktu jatuh tempo merupakan jangka waktu suatu opsi dapat dieksekusi. lamanya waktu jatuh tempo akan menpengaruhi harga opsi. Hal ini terkait oleh semakin lama masa jatuh tempo maka semakin besar peluang berubahnya harga saham yang akhirnya juga akan memengaruhi harga opsi. Pada dasarnya, berbanding lurus dengan harga opsi. Hasil simulasi diberika pada Gambar 18. 60 50 40 30 20 10 0 0
1
2 3 4 Waktu Jatuh Tempo (T)
5
Gambar 18 Hubungan antara waktu jatuh tempo ( ) dan harga opsi call window reset dengan menggunakan binomial tree Pada Gambar 18 terlihat semakin lama waktu jatuh tempo maka semakin tinggi nilai opsi call window reset. Hal ini disebabkan oleh semakin lama waktu jatuh tempo maka nilai sekarang dari harga strike akan menurun sehingga harga opsipun semakin meningkat. Dari semua hasil simulasi metode binomial di atas, dapat disimpulkan bahwa harga opsi call window reset cenderung lebih tinggi dibandingkan dengan
24 harga opsi call Eropa standar. Hal ini dikarenakan adanya pengaruh level reset yang menyebabkan harga strike di-reset menjadi jika selama window reset ( ) harga saham melewati nilai sehingga berakibat pada meningkatnya harga opsi. Selain itu, harga opsi call window reset juga dipengaruhi oleh beberapa faktor lain, yakni tingkat suku bunga bebas risiko, volatilitas, harga strike dan waktu jatuh tempo. Volatilitas yang semakin meningkat, suku bunga bebas risiko yang semakin besar, dan waktu jatuh tempo yang panjang mengakibatkan harga opsi call window reset menjadi semakin meningkat, sedangkan harga strike yang terus menerus meningkat mengakibatkan harga opsi call window reset menjadi semakin kecil. Adapun untuk panjang interval window reset tidak berpengaruh besar terhadap harga opsi call window reset. Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Trinomial Tree Trinomial tree menyajikan gambaran diskret lain dari pergerakan harga saham. Trinomial tree dikonstruksi dengan cara yang serupa dengan binomial tree. Perbedaannya hanya terletak pada pergerakan harga sahamnya yaitu peluang harga saham naik dengan peluang , peluang harga saham turun dengan peluang dan peluang harga saham tetap . Misalkan dalam selang waktu harga , harga saham tetap saham dapat bergerak naik dengan faktor menjadi dan harga saham turun dengan faktor d menjadi . Dalam Hull (2006) √ √ ditentukan dengan dan . Adapun peluang pergerakan harga saham naik dan turun masing-masing adalah sebagai berikut. √
.
/
,
√
.
/
.
Misal suatu opsi call mempunyai waktu jatuh tempo 1 tahun dengan parameter , , , , , , window reset ( ). Trinomial Tree Satu Periode Seperti halnya binomial tree satu periode, trinomial tree satu periode juga tidak relevan digunakan untuk menghitung nilai opsi window reset karena pada trinomial satu periode ini, harga saham hanya dapat bergerak naik, tetap dan turun hanya satu kali yaitu pada saat jatuh tempo. Trinomial Tree Dua Periode Misalkan suatu opsi mempunyai masa hidup tahun, dalam selang - tersebut dibagi dalam dua subinterval , waktu , - dan , - yang masing-masing subinterval memiliki peluang untuk bergerak naik, tetap ataupun bergerak turun. Misalkan pula window reset opsi adalah ( ). Dari parameter yang telah diberikan di atas maka diperoleh , , , , , . Adapun ilustrasi lengkap untuk pergerakan harga saham pada trinomial tree dua periode dapat dilihat pada Gambar 19.
25 208.5163
144.4009
144.4009
100
100
100
69.2516
t0
t
t
1
69.2516
t
47.9579 t2
Gambar 19 Pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua periode Pada Gambar 19 terlihat bahwa window reset terletak pada selang ( ) ( ). Jika selama window reset tersebut harga saham lebih kecil dari reset strike maka harga strike akan di-reset menjadi harga strike yang baru sehingga pada saat jatuh tempo harga opsi adalah sebesar pengurangan harga saham dan harga strike baru. Jika harga saham lebih besar dari harga reset strike maka harga strike tidak akan di-reset sampai masa jatuh tempo dan harga opsi pada saat jatuh tempo adalah sebesar pengurangan harga saham dengan harga strike awal. Adapun pergerakan harga opsi diberikan pada Gambar 20. 113.5163
53.1037
17.6866
12.2436
0.9151
49.4009
5
0
0
Gambar 20 Pergerakan harga opsi dengan trinomial tree dua periode Gambar 20 menunjukkan pergerakan harga opsi call window reset dengan trinomial tree dua periode dimana masing-masing waktu mempunya harga opsi yang berbeda. Dalam menghitung harga opsi dengan menggunakan metode backward induction diperoleh harga opsi pada saat adalah sebesar 17.6866.
26 Trinomial Tree Empat Periode Misalkan suatu opsi mempunyai masa hidup tahun. Misalkan pula selama interval waktu , - dibagi menjadi empat subinterval , -, -, -, - dengan . Dari parameter yang diberikan diperoleh 1.2967, 0.7712 , dan . 0.1835 , 0,6667 dan 0,1498 dengan window reset ( ). Akibatnya pergerakan harga sahamnya diberikan pada Gambar 21 berikut. 282.7041
129.6681
100
218.0214
218.0214
168.1381
168.1381
168.1381
129.6681
129.6681
129.6681
100
100
100
100
77.1200
77.1200
77.1200
77.1200
59.4749
59.4749
59.4749
45.8671
45.8671
35.3727
t0
t1
t2
t3
t4
Gambar 21 Pergerakan harga saham dengan trinomial tree empat periode Dari Gambar 21 terlihat pergerakan harga saham dari masa berlakunya opsi ) jika harga saham lebih kecil sampai jatuh tempo. Selama window reset ( daripada reset strike maka harga strike akan di-reset menjadi nilai yang baru. Gambar 21 menunjukkan bahwa selama window reset ada harga saham yang lebih kecil dari reset strike. Pada saat harga sahan lebih kecil daripada reset strike maka harga strike akan di-reset menjadi sebesar . Hal inilah yang dapat mempengaruhi harga opsi call window reset. Adapun pergerakan harga opsi call window reset diberikan pada Gambar 22.
27 187.7041
29.4799
124.8941
123.0214
77.4648
75.0127
73.1381
47.1966
44.4680
40.7297
34.6681
28.7766
28.6294
29.6866
33.5
14.8847
14.0929
12.9655
10.6200
3.5804
1.9102
0
0
0 0
Gambar 22 Pergerakan harga opsi dengan trinomial tree empat periode Dari Gambar 22, setelah pergerakan harga opsi call window reset dikontruksi mulai dari sampai maka diperoleh harga opsi call window reset adalah sebesar 29.4799. Algoritme Opsi Call Window Reset Tipe Eropa dengan Menggunakan Metode Trinomial Tree untuk n Periode (Menggunakan Sintaks Matlab) Misalkan ( ) adalah harga saham pada waktu . 1. Input harga saham awal ( ), harga strike ( ), nilai volatilitas saham ( ), waktu jatuh tempo ( ), banyak periode ( ) dan level reset ( ), window reset ( ) 2. Hitung nilai , 3. Hitung peluang harga saham naik ( ) dan peluang harga saham turun ( ). 4. Konstruksi harga saham pada masing-masing titik waktu dengan trinomial tree - , harga saham dapat dibagi dalam subinterval (titik Dalam selang , waktu) yang sama panjang dengan Masing-masing subinterval memperlihatkan pergerakan harga saham naik dengan faktor pergerakan harga saham tetap dengan faktor pergerakan harga saham turun dengan faktor ) ( ) sehingga ( ( ) ( ) ( ) ( ) Lakukan sampai kali pergerakan harga saham 5. Hitung payoff dari opsi call window reset pada saat jatuh tempo 5.1 Hitung nilai strike reset yaitu ) periksa semua kemungkinan nilai 5.2 Selama window reset (
28
6. 7.
Jika maka Jika maka 5.3 Payoff pada saat jatuh tempo adalah sebesar max ( ) Hitung harga opsi call window reset pada waktu nol mengggunakan metode backward induction Tampilkan harga opsi call window reset
Hasil Simulasi Trinomial Tree Sama halnya dengan binomial tree, ketika trinomial tree ini diperluas dengan periode maka sulit sekali untuk menentukan harga opsinya. Oleh karena itu, diperlukan simulasi numerik untuk menghitung harga opsi dengan periode tersebut. Simulasi dilakukan menggunakan software Matlab. Kondisi simulasi diatur dengan menggunakan parameter-parameter berikut: , , , , tahun, . Simulasi yang pertama dilakukan untuk melihat perbedaan harga antara opsi call Eropa standar dan opsi call window reset dengan menggunakan simulasi untuk trinomial tree. Hasil simulasi antara opsi call standar dan opsi call window reset diberikan pada Gambar 23. 50
Harga Opsi
40
Opsi Call Window Reset
30
Opsi Call Eropa
20 10 0 0
200
400 600 800 Banyak Periode (n)
1000 1200
Gambar 23 Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call dengan menggunakan trinomial tree Dari Gambar 23, terlihat bahwa semakin banyak periode maka harga opsi semakin konstan dan terlihat pula bahwa harga opsi call window reset cenderung lebih tinggi dibandingkan dengan harga opsi call Eropa standar. Hal ini disebabkan oleh adanya pengaruh level reset yang mengakibatkan harga strike direset menjadi nilai baru yaitu sebesar dan menyebabkan harga opsi menjadi semakin besar. Adapun pengaruh dari level reset terhadap harga opsi call window reset dapat dilihat pada Gambar 24.
29
Harga Opsi Call Window Reset
100 80 60 40 20 0 0
0.2 0.4 0.6 Level Reset (𝛼)
0.8
1
Gambar 24 Hubungan antara level reset terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree Gambar 24 menunjukkan bahwa level reset yang sangat kecil, dalam hal ini level reset sebesar nol maka harga opsi call window reset sama dengan harga opsi call Eropa standar, namun setelah level reset diperbesar 0.1 maka harga opsi call window reset meningkat secara signifikan dan setelah level reset diperbesar 0.1 kembali maka harga opsi call window reset lama kelamaan menjadi semakin kecil seiring dengan semakin besarnya level reset. Perbedaan antara opsi call Eropa standar dan opsi call window reset terletak pada level reset dan window reset-nya. Adapun pengaruh window reset terhadap harga opsi call window reset diperlihatkan pada Tabel 2. Tabel 2 Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree n Harga Opsi Call Window Reset Window (0,0.25) Window (0,0.5) Window(0,0.75) 2 17.6866 4 18.242 29.4799 29.4799 8 18.4185 37.1189 37.1189 16 39.098 39.098 39.098 32 39.1278 39.1278 39.1278 64 39.1218 39.1218 39.1218 128 39.1193 39.1193 39.1193 256 39.1224 39.1224 39.1224 512 39.1215 39.1215 39.1215 1024 39.1212 39.1212 39.1212 Pada Tabel 2 terlihat bahwa panjang interval window reset tidak begitu berpengaruh pada harga opsi call window reset. Hasil simulasi menunjukkan bahwa pada awal-awal periode waktu, yakni. pada saat n = 2 sampai n = 8 harga opsi call window reset mempunyai nilai yang berbeda pada masing-masing window berbeda. Adanya perbedaan harga opsi call window reset pada awal-awal periode tersebut disebabkan oleh level reset dan window reset, sehingga mengakibatkan harga strike selama window reset harus di-reset menjadi nilai yang baru. Sedangkan pada saat n = 16 dan seterusnya terlihat harga opsi call window reset mulai konstan untuk window yang berbeda dan periode yang sama. Selain dipengaruhi oleh level reset dan window reset, harga opsi call window reset juga dipengaruhi oleh beberapa faktor lain yaitu, volatilitas, suku
30 bunga bebas risiko, harga strike dan waktu jatuh tempo. Volatilitas merupakan faktor terpenting dalam penentuan harga opsi. Oleh karena itu dilakukan simulasi pengaruh volatilitas terhadap harga opsi call window reset. Hasil simulasi diberikan pada Gambar 25. Harga opsi Call Window Reset
48 46 44 42 40 38 0
0.2
0.4
0.6
0.8
Volatilitas (𝜎)
Gambar 25 Hubungan antara volatilitas terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree
Harga opsi Call Window Reset
Gambar 25 menunjukkan bahwa harga opsi call window reset akan cenderung naik dengan semakin meningkatnya volatilitas. Hal ini mengakibatkan pemilik dari suatu opsi call memperoleh manfaat dari kenaikan harga tetapi dibatasi oleh risiko penurunan harga. Selain volatilitas, harga opsi call window reset juga dipengaruhi oleh suku bunga bebas risiko. Suku bunga merupakan aspek yang sangat penting dalam dunia keuangan. Hasil simulasi pengaruh suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi call window reset diberikan pada Gambar 26. 40 38 36 34 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Suku Bunga (r)
Gambar 26 Hubungan antara suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree Dari Gambar 26 menunjukkan adanya pengaruh positif suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi call window reset yaitu adanya kecenderungan bahwa meningkatnya suku bunga bebas risiko akan meningkatkan harga opsi call window reset. Faktor lain yang juga mempengaruhi harga opsi adalah harga strike. Harga strike pada opsi call window reset ini tidaklah tetap, karena sewaktu-waktu bisa di-reset menjadi harga strike yang baru jika harga saham selama window reset lebih kecil daripada harga strike. Hasil simulasi pengaruh harga strike terhadap harga opsi call window reset diberikan pada Gambar 27.
Harga Opsi Call Window Reset
31 120 100 80 60 40 20 0 0
100
200
300
400
Harga Strike (K)
Gambar 27 Hubungan antara harga strike terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree
Harga Opsi Call Window Reset
Harga strike adalah harga yang telah disepakati dalam kontrak opsi. Gambar 27 menujukkan bahwa semakin tinggi harga strike maka opsi call tersebut semakin tidak bernilai. Hal ini terjadi karena semakin besar harga strike maka semakin kecil payoff pada saat jatuh tempo sehingga harga opsipun menjadi semakin kecil. Setiap opsi mempunyai masa berlaku yang berbeda-beda. Semakin lama jangka waktu berlakunya opsi maka besar peluang harga opsi call tersebut menjadi semakin meningkat. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 28. 60 50 40 30 20 10 0 0
2
4
6
Waktu Jatuh Tempo (T)
Gambar 28 Hubungan antara waktu jatuh tempo ( ) dan harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree Pada Gambar 28 terlihat adanya peningkatan harga opsi seiring dengan semakin lamanya opsi berlaku. Hal ini dikarenakan semakin lama waktu jatuh tempo maka semakin besar peluang harga saham dapat naik. Akibatnya harga opsipun juga semakin meningkat. Dari hasil simulasi untuk metode trinomial tree, dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat perbedaan harga opsi call window reset yang signifikan jika dibandingkan dengan metode binomial tree. Harga opsi call window reset cenderung lebih tinggi jika dibandingkan dengan harga opsi call Eropa standar. Perbedaan harga yang signifikan ini disebabkan adanya pengaruh level reset dan window reset. Setelah dilakukan simulasi, terlihat bahwa level reset mempunyai pengaruh yang cukup besar terhadap penentuan harga opsi call window reset, sedangkan untuk panjang interval window reset tidak berpengaruh secara
32 signifikan. Selain kedua faktor tersebut, harga opsi call window reset juga dipengaruhi oleh volatilitas, suku bunga bebas risiko, harga strike dan waktu jatuh tempo. Adapun volatilitas, suku bunga bebas risiko dan waktu jatuh tempo mempunyai hubungan yang positif terhadap harga opsi call window reset, sedangkan harga strike memmpunyai hubungan yang negatif terhadap harga opsi call window reset.
5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dalam penentuan harga opsi call window reset menggunakan metode binomial tree dan trinomial tree untuk banyak periode yang relatif kecil dapat dilakukan dengan cara manual. Namun dengan semakin meningkatnya periode digunakan simulasi numerik untuk periode tree. Simulasi numerik menggambarkan harga opsi call Eropa dengan metode binomial tree akan mendekati solusi analitik yaitu sebesar 18.3871 untuk yang semakin besar. Sedangkan untuk harga opsi call window reset terlihat adanya perbedaaan nilai yang sangat signifikan, yaitu harga opsi call window reset cenderung lebih tinggi dibandingkan dengan harga opsi call Eropa standar. Perbedaan yang sangat signifikan ini disebabkan oleh pengaruh level reset dan window reset. Selain itu, harga opsi call window reset juga dipengaruhi beberapa faktor lain yaitu volatilitas, suku bunga bebas risiko, harga strike dan waktu jatuh tempo. Hasil simulasi menunjukkan bahwa volatilitas, suku bunga bebas risiko, dan waktu jatuh tempo mempunyai pengaruh positif terhadap harga opsi call window reset. Sedangkan harga strike mempunyai pengaruh negatif terhadap harga opsi call window reset. Pada trinomial tree tidak terdapat perbedaan harga opsi call window reset yang signifikan jika dibandingkan dengan metode binomial tree. Dari sisi penentuan harga opsi call window reset dengan trinomial tree diperoleh hasil yang cenderung sama dengan binomial tree yaitu adanya pengaruh level reset, window reset, volatilitas, suku bunga bebas risiko, harga strike, dan waktu jatuh tempo. Dari hasil simulasi metode trinomial tree lebih cepat mendekati nilai analitiknya dibandingkan dengan binomial tree. Saran Pada penelitian selanjutnya diharapkan dapat menggunakan metode numerik lain untuk penentuan harga opsi call window reset ataupun menggunakan aset dasar yang berbeda.
33
DAFTAR PUSTAKA Black F, Scholes M. 1973. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy. 81: 637-654. Boyle P. 1986. Option valuation using a three jump process. International Options Journal. 3:7–12. Chang CH, Tien HC, Yu MT. 2006. Optimal reset ratio for reset options with liquidity cost. Journal of the Chinese Statistical Association. 44:130–144 Cheng W, Zhang S. 2000 The analytics of reset options. Journal of Derivatives. 8(1): 59-71. Cox JC, Ross SA, Rubinstein M. 1979. Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics.7: 229-263. Gray SF, Whaley RE. 1999. Reset put option: valuation, risk characteristics, and an application. Australian Journal of Management. 24: 1-20. Haahtela T. 2010. Recombining trinomial tree for real option valuation with changing volatility. 14th Annual International Conference on Real Options; 16-19 Juni; Roma, Italy. Hsiao YL. 2013. A simple method to price window reset options. Journal of Mathematical Finance. 3: 96-102. Hsiao YL, Wang AML, Chen CY. 2011. Pricing an arithmetic average reset option using the green function method. Asia Pacific Management Review. 18(2): 125-142. Hull J. 2009. Option, Futures and Other Derivatives. Sixth Edition. New Jersey: Prentice – Hall. Hull J, White A. 1987. The pricing of option on asset with stochastic volatilities. The Journal of Finance. 42(2): 281-300. Lelong J, Zanette A. 2010. Tree Methods. Encyclopedia of Quantitative Finance, Jhon Whiley & Son, Ltd. Liao SL,Wang CW. 2003. The valuation of reset options with multiple strike resets and reset dates. The Journal of Futures and Markets. 23: 87-107. Nwozo CR, Fadugba SE. 2014. On the accuracy of binomial model for the valuation of standard options with dividend yield in the context of BlackScholes model. IAIENG International Journal of Applied Mathematis. 44(1). Ssebugenyi CS. 2007. Option pricing: lattice models revisited. Journal of Mathematics, Statistics and Allied Field. 1(2).
34
35
LAMPIRAN
36
37 Lampiran 1 Penentuan parameter-parameter pada binomial tree Misalkan harga saham awal ( ) selama periode waktu dapat berubah menjadi dua kemungkinan yaitu kemungkinan naik dengan peluang menjadi dengan dan dan kemungkinan turun dengan peluang menjadi adalah faktor pengali untuk pergerakan haga saham naik dan turun dan . Asumsikan tidak ada pembayaran dividen selama periode tersebut. 1. Nilai harapan harga saham model binomial dan model kontinu ( ) ( ) Model binomial ( ) ( Model kontinu ( ) diperoleh ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) (1) dengan 2. Nilai varian harga saham model binomial dan model kontinu Model Binomial ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ) ( ( ( ) ) ( Model kontinu ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) diperoleh ( ) ( ( ) (
) (
)
(2) Dengan menyamakan persamaan (1) dan (2) (
(
)(
)
(
)
) (
(
(
)
(
)
(
) ( (
( Misal
(
(
)
) )
) )
)
), persamaan (3) menjadi
(3)
38 √
dengan Karena
√ √
maka pilih
dengan ( menggunakan ekspansi
(
)
sehingga
) )
(
( menjadi
,
diperoleh
((
Nilai
√
(
)
))
)
.
/
√(
)
√ √ √ √
√ Sehingga diperoleh
√
,
√
,
Lampiran 2 Sintaks Matlab untuk menentukan nilai opsi call window reset dengan metode binomial tree function V = OpsiResedit(n,ta,tb); disp('Penilaian Opsi Call Reset Tipe Eropa dengan Metode Binomial'); %Input Data So=100; %Harga Saham Awal K = 95; %Harga Strike T = 1; %Waktu Jatuh Tempo Vol = 0.3; %Volatilitas r = 0.08; %Suku Bunga Bebas Risiko a = 0.70; %Level Reset delta_t = T/n; u = exp(Vol*sqrt(delta_t)); d = 1/u; p = (exp(r*delta_t)-d)/(u-d); disc = exp(-r*delta_t); S = zeros(n+1,n+1); V = S;
39 cek1=0; cek2=0; %Konstruksi binomial tree saham pada setiap periode S(1,1)=So; for i=2:n+1 S(i,i) = S(i-1,i-1)*d; end; for i=1:n+1 for j=i+1:n+1 S(i,j) = S(i,j-1)*u; end; end; %Menghitung payoff opsi reset pada saat jatuh tempo for i=1:n+1; for j=ta:tb if S(i,j)>a*K cek1=cek1+1; elseif S(i,j)==0 cek1=cek1+1; cek2=cek2+1; else cek1=cek1+0; end end if and(cek1 == tb-ta+1, cek2 ~= tb-ta+1) Er = K; elseif and(cek1 < tb-ta+1, cek2 ~= tb-ta+1) Er = a*K; else Er = Er; end if S(i,n+1)>=Er V(i,n+1) = max(S(i,n+1)-Er,0); end cek1=0; cek2=0; end %Penggunaan metode backward untuk menghitung harga opsi for j=n:-1:1; for i=1:j; V(i,j) = disc*(p*V(i,j+1)+(1-p)*V(i+1,j+1)); end; end; %Output disp(('Harga Opsi Call Reset Tipe Eropa = ' num2str(V(1,1))));
40 Lampiran 3 Penentuan parameter-parameter pada trinomial tree Misalkan harga saham awal ( ) selama periode waktu dapat bergerak naik dengan faktor u menjadi , harga saham tetap dengan faktor dan dengan , dan adalah faktor harga saham turun dengan faktor menjadi pengali untuk pergerakan harga saham naik dan turun dan . Masing-masing pergerakan harga saham tersebut memiliki peluang , , dan . . Dalam Hull (2006) ditentukan Asumsikan tidak ada pembayaran dividen selama periode tersebut. 1 Nilai harapan harga saham model binomial dan model kontinu ) Model trinomial ( ( ) Model kontinu ( ) diperoleh ( ) (
) (
) (4)
dengan 2 Nilai varian harga saham model trinomial dan model kontinu Model trinomial ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Model kontinu ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) diperoleh ( ) ( ) (
(
(
) (
) )
)
(5) Dengan menyamakan persamaan (4) dan (5) (
)
41 (
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
) (
.
(
( )
)
√.
/
)
(
(
)
. (
.
)
.
√ (
/
Dengan ekspansi diperoleh
/
.
/
/ (
/
)
)
.
)
/
dan mengabaikan suku
.
/ (
(
√ (
)
untuk
)
.
/ √
√ √ √
√ √
√
Selanjutnya dengan menggunakan ekspansi pula diperoleh (
0 0
)
1
[
( √
√
1
(
√
0
)
√
.
)
/√ (
(
)√
)
√ (
√
√
√ sehingga
)
(
√
] )
1
)
42 Lampiran 4 Sintaks Matlab untuk menentukan nilai opsi call window reset dengan metode trinomial tree function V = ResTrinoN(n,ta,tb); %Penilaian Opsi Call Tipe Eropa Metode Trinomial tree %Input Data So=100;%Harga Saham Awal K = 95; %Harga Strike T = 1; %Waktu Jatuh Tempo Vol = 0.3; %Volatilitas r = 0.08; %Suku Bunga Bebas Risiko a=0.7; n=512; delta_t = T/n; u = exp(Vol*sqrt(3*delta_t)); d = 1/u; pd = -(sqrt(delta_t/(12*Vol*Vol)))*(r-((Vol*Vol)/2))+(1/6); pm = 2/3 ; pu = (sqrt(delta_t/(12*Vol*Vol)))*(r-((Vol*Vol)/2))+(1/6); disc = exp(-r*delta_t); S = zeros((2*n)+1,n+1); cek1=0; cek2=0; V = S; %Membuat trinomial tree saham pada setiap periode for i=1:n+1; S(i,i)=So; end; for i = 1:1:(2*n+1) for j = 1:1:n+1 if and(j>1, i<2*j) S(i,j) = So*(u^(j-i)); end end end % Payoff opsi for i=1:(2*n+1) for j=ta:tb if S(i,j)>a*K cek1=cek1+1; elseif S(i,j)==0 cek1=cek1+1; cek2=cek2+1; else cek1=cek1+0; end end if and(cek1 ==tb-ta+1, cek2 ~= tb-ta+1)
43 Er = K; elseif and(cek1 < tb-ta+1, cek2 ~= tb-ta+1) Er = a*K; else Er = Er; end V(i,n+1) = max(S(i,n+1)-Er,0); cek1=0; cek2=0; end %Menghitung harga opsi dengan metode backward for j=n:-1:1 for i=1:(2*n-1) V(i,j)=disc*((pu*V(i,j+1))+(pm*V(i+1,j+1))+(pd*V(i+2,j+1))); end; end; for j=n:-1:1 for i= 2*n V(i,j)=disc*((pu*V(i,j+1))+(pm*V(i+1,j+1))); end; end; for j=n:-1:1 for i= 2*n+1 V(i,j)=disc*pu*V(i,j+1); end; end; for i = 1:1:(2*n+1) for j = 1:1:n+1 if S(i,j) == 0 V(i,j) = 0; end end end %Output disp(['Harga Opsi Call Tipe Eropa = ' num2str(V(1,1))]);
44
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Curup, Provinsi Bengkulu pada tanggal 30 April 1989. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara dari pasangan Ernawati dan Betri. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar di SDN 102 CurupBengkulu pada tahun 2001. Kemudian menamatkan Sekolah Menengah Pertama di SMPN 1 Curup-Bengkulu pada tahun 2004. Setelah itu penulis melanjutkan pendidikan ke SMAN 1 Curup dan lulus pada tahun 2007. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan ke Jurusan Matematika FMIPA di Universitas Andalas (UNAND) Padang dan lulus pada tahun 2011. Dua tahun kemudian penulis melanjutkan pendidikan di Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (IPB) dengan sponsor Beasiswa BPPDN dari Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) tahun 2013.
