PENENTUAN NILAI OPSI TIPE EROPA DAN AMERIKA MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL NOVRI HENDRI

PENENTUAN NILAI OPSI TIPE EROPA DAN AMERIKA MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL

NOVRI HENDRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul “Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa dan Amerika Menggunakan Metode Binomial” adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Maret 2014 Novri Hendri NIM G54080019

ABSTRAK NOVRI HENDRI. Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa dan Amerika Menggunakan Model Binomial. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RETNO BUDIARTI. Dalam berinvestasi, investor pasti berharap memperoleh return yang maksimum namun investor harus menanggung risiko tertentu yang membuat investor berhati-hati dalam menanamkan uangnya. Oleh sebab itu, berkembanglah produk-produk yang digunakan untuk memperkecil risiko yang disebut produk derivatif. Terdapat berbagai macam bentuk derivatif diantaranya adalah opsi. Opsi adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak. Satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode tertentu. Berdasarkan waktu eksekusi opsi ada dua jenis yaitu opsi tipe Eropa dan Amerika. Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi tipe Amerika dapat dieksekusi di sebarang waktu sampai dengan jatuh tempo. Dalam karya ilmiah ini dikaji cara menentukan harga opsi pada waktu keadaan diskret menggunakan struktur model binomial. Model binomial adalah model sederhana yang digunakan dalam pergerakan harga saham dengan mengasumsikan dua kemungkinan pergerakan harga saham di masa mendatang yaitu harga akan naik atau turun. Struktur dalam model one-step binomial dapat diperluas menjadi multi-step binomial untuk mengaproksimasikan harga opsi. Aplikasi model binomial one-step digunakan pada opsi tipe Eropa dan model binomial multi-step digunakan pada opsi tipe Amerika. Rumus yang diperoleh diaplikasikan untuk menghitung nilai opsi call saham PT Telekomunikasi Indonesia bulan Januari 2012 berdasarkan data pergerakan saham periode JanuariDesember 2011. Kata kunci : Model Binomial, Opsi, Tipe Eropa, Tipe Amerika.

ABSTRACT NOVRI HENDRI. Determination of the Values of European and American Options Using the Binomial Model. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RETNO BUDIARTI. Investors have purposes to obtain maximum returns, but they must be careful to invest their money because they may take risk. Therefore, they need products to reduce the risk. The products are called derivative products. There are many kinds of derivative products, such as options. An option is a type of contract between two parties. One party gives the other party a right to sell or to buy some assets in a certain price and in a certain period. Based on their execution time, there are two types of options i.e. European styles and American styles. European style options can only be exercised at expiration time, meanwhile American style options can be exercised at random time to the expiration time. In this paper, the option price at a discrete time will be determined by using binomial model. A binomial model is a model that describes asset price movements by assuming two possibilities of asset price movements in the future. Those are up and down. One-step binomial structures can be expanded into multistep binomial structures in order to approximate the option price. The application of one-step binomial model is used on the European option and multi-step binomial model is used on the American option. The acquired formula is applied to calculate the value of call option of PT Telekomunikasi Indonesia stocks in January 2012 based on the data of January to December 2011’s fluctuation of stock. Keywords: Binomial Model, Options, European Style, American Style.

PENENTUAN NILAI OPSI TIPE EROPA DAN AMERIKA MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL

NOVRI HENDRI

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

Judul Skripsi : Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa dan Amerika Menggunakan Metode Binomial Nama : Novri Hendri NIM : G54080019

Disetujui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS Pembimbing I

Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah Matematika keuangan, dengan judul “Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa dan Amerika Menggunakan Metode Binomial”. Penyusunan karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr Berlian Setiawaty, MS selaku dosen pembimbing I, Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing II, terima kasih atas semua ilmu, motivasi, bantuan dan sarannya, Dr Donny Citra Lesmana, MfinMath selaku dosen penguji, terima kasih atas semua ilmu dan sarannya. Penghargaan penulis sampaikan kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika, terima kasih atas semua yang sudah diberikan. Ungkapan terima kasih Bapak dan Ibu yang selalu memberikan doa, motivasi, dan kasih sayang setiap harinya, keluargaku tercinta: nenek, om, tante, onsu, sepupuku dan adik-adikku terima kasih atas dukungannya. Teman-teman OMDA IPMM khususnya FKMPS tidak bisa disebutkan satu-satu, terima kasih sudah mau menjadi keluarga keduaku yang selalu memberikan semangat. Teman-teman kosan Grave House: Bang Cawen, Bang Aje, Bang Rantau, Bang Iqbal, Bang Feky, Bang Wandi, Bang Dheo, Ool, Empe, Anggi. Teman-teman satu bimbingan: Putri, Ijun, Haryanto, Ka Faisal, Ka Tyas, Juni, Adit, Rudi, dan Hendra terima kasih atas bantuannya. Sahabat-sahabat: Fuka, Nova, Aci, Herlan, Arbi, Dono, Ka Eny, Beni, Ridwan, Prama, Irwan, Khafidz, dan Haryanto. Teman-teman Math 45: Chastro, Ana, Fitri, Fina, Gita, Rischa, Fenny, Rian, Dimas, serta teman-teman Math 45 lainnya, terima kasih atas kenangan, bantuan dan dukungannya. Kakak-kakak Math 43 dan 44 serta adik-adik Math 46, 47 dan 48 terima kasih atas dukungannya, Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya. Bogor, Maret 2014 Novri Hendri

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN

ix ix ix

I PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang 1.2 Tujuan 1.3 Sistematika Penulisan II LANDASAN TEORI

1 2 2 2

2.1 Pengantar Teori Peluang 2.2 Matematika Keuangan III MODEL BINOMIAL UNTUK DERIVATIF 3.1 Model Binomial satu langkah 3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 3.3 Model Binomial Multi-step IVAPLIKASI MODEL BINOMIAL PADA OPSI

2 4 8 8 12 14 19

4.1 Opsi Eropa 19 4.2 Opsi Amerika 22 4.3 Aplikasi Model Binomial untuk Opsi Call pada Pergerakan Saham PT Telekomunikasi Indonesia (Persero) Tbk 25 SIMPULAN DAN SARAN

30

DAFTAR PUSTAKA

30

LAMPIRAN

32

DAFTAR TABEL 1 Data PT Telekomunikasi Indonesia 2 Nilai opsi call untuk tipe Amerika

25 28

DAFTAR GAMBAR 1 Binomial tree satu langkah

9

2 Binomial tree satu langkah dalam model CRR

13

3 Binomial tree dua langkah

14

4 Binomial tree dua langkah dalam model CRR

14

5 Binomial tree tiga langkah

15

6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR

16

7 Binomial tree n-langkah

17

8 Distribusi nilai dari 𝑆 0

18

9 Grafik nilai opsi call tipe Eropa untuk pembeli opsi call

20

10 Grafik nilai opsi put tipe Eropa untuk pembeli opsi put

21

11 Model binomial satu langkah opsi call tipe Eropa

27

12 Model binomial dua langkah opsi call tipe Amerika

29

DAFTAR LAMPIRAN 1 Data harian PT Telekomunikasi Indonesia

32

2 BI rate Agustus 2010 - Desember 2011

38

3 Model binomial satu langkah

39

4 Model binomial 2-langkah

40


40


41


43


45


47


50


54


58

1

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perkembangan investasi setiap tahun semakin meningkat apalagi pada sektor keuangan. Investasi bertujuan untuk memperoleh keuntungan yang besar dengan biaya yang minimum. Para investor saat ini tidak hanya berinvestasi pada aset riil saja seperti, logam mulia, ataupun minyak tetapi investor juga tertarik pada aset keuangan seperti saham, portofolio, obligasi, mata uang, dan lain-lain. Saat berinvestasi, investor pasti berharap untuk mendapatkan keuntungan yang besar dengan biaya awal minimum. Namun, untuk memperoleh keuntungan itu investor harus berani menanggung risiko. Dalam hal ini investor harus hati-hati dalam menanamkan uangnya untuk berinvestasi. Maka berkembanglah produk-produk untuk meminimumkan risiko yang sering disebut produk derivatif. Produk derivatif ini berupaya untuk melindungi nilai dan untuk meningkatkan keuntungan pada aset investasi. Berbagai macam bentuk produk derivatif beberapa di antaranya adalah forward contract (kontrak forward), future contract (kontrak berjangka), dan opsi. Karya ilmiah ini akan membahas tentang opsi. Opsi adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak. Satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode tertentu (Niwigia 2005). Terdapat dua jenis opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset dengan harga tertentu, pada atau sebelum waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan harga tertentu, pada atau sebelum jatuh tempo. Berdasarkan waktu eksekusi, opsi ada dua jenis yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi tipe Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sampai dengan jatuh tempo (Hull 2003). Ada beberapa metode yang digunakan dalam menghitung aproksimasi harga opsi dalam pergerakan saham, salah satunya adalah model binomial. Pada tugas akhir ini dibahas tentang model binomial. Model binomial adalah model sederhana yang digunakan dalam pergerakan harga saham dengan mengasumsikan dua kemungkinan pergerakan harga saham di masa mendatang yaitu, harga saham akan naik atau harga saham akan turun (Hoek dan Elliott 2006). Model binomial terdiri atas dua macam yaitu binomial one-step dan binomial multi-step. Binomial one-step dapat digunakan untuk memperkirakan nilai di mana hanya ada dua hasil atau keadaan yang mungkin terjadi di masa mendatang. Struktur dalam model binomial one-step dapat diperluas dengan menggunakan model binomial multi-step. Model binomial ini akan di aplikasikan pada studi kasus.

2

1.2 Tujuan Tujuan karya ilmiah ini adalah 1. 2. 3. 4.

Mengkaji model binomial one-step dan model binomial multi-step Menentukan rumus model binomial untuk nilai opsi call dan put. Menentukan nilai opsi Eropa dan opsi Amerika menggunakan model binomial. Mengaplikasikan rumus yang diperoleh pada suatu studi kasus. 1.3 Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri atas lima bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan. Bab kedua merupakan landasan teori yang berisi definisi dan teorema dasar. Bab ketiga menjelaskan model binomial baik model binomial satu langkah dan model binomial dengan periode lebih dari satu. Bab keempat merupakan pembahasan yang berisi penentuan rumus untuk nilai dari opsi tipe Eropa dan tipe Amerika dengan model binomial one-step dan multi-step serta berisi aplikasi rumus yang telah ditentukan pada studi kasus. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dan saran dari keseluruhan penulisan.

II LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Teori Peluang Definisi 1 (Percobaan acak) Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 2 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 3 (Medan- ) Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: 1. 

2. Jika

, maka

Ai i 1

3. Jika

, maka

(Hogg et al. 2005)

3

Definisi 4 (Peubah acak) Misalkan adalah medan- dari ruang contoh suatu fungsi dengan sifat bahwa { (Grimmett dan Stirzaker 1992)

Suatu peubah acak adalah } untuk setiap

Definisi 5 (Peubah acak diskret) Peubah acak dikatakan diskret jika himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah atau berhingga. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 6 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret yang diberikan oleh

adalah fungsi

(Hogg et al. 2005) Definisi 7 (Percobaan binom) Percobaan binom adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut: 1. Percobaan terdiri dari n ulangan. 2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan dengan berhasil atau gagal. 3. Peluang berhasil yang dilambangkan p, untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah - ubah. 4. Ulangan-ulangan ini bersifat bebas satu sama lain. (Walpole 1992) Definisi 8 (Peubah acak binom) Peubah acak binom adalah peubah yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam ulangan yang bebas dalam suatu percobaan binom. (Walpole 1992) Definisi 9 (Sebaran binom) Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan dan peluang kegagalan , maka peluang bagi peubah acak binom untuk mendapatkan keberhasilan kali dalam kali ulangan yang bebas adalah ( ) untuk

dan

. (Walpole 1992)

Definisi 10 (Nilai harapan) Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang nilai harapan dari dinotasikan dengan adalah

, maka

4

∑ asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005) Definisi 11 (Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan . Ragam dari , dinotasikan dengan atau , adalah

(Hogg et al. 2005) Persamaan

dapat di uraikan menjadi )

( (

)

(

)

(

)

Definisi 12 (Kovarian) Kovarian dari dua peubah acak sebagai berikut

di mana

dan

Persamaan

dan

adalah nilai harapan dari

, ditulis

didefinisikan

dan .(Ross 2009)

dapat diuraikan menjadi

2.2 Matematika Keuangan Definisi 13 (Aset) Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai penukaran. (Harvey dan Gretchen 2002) Definisi 14 (Aset berisiko dan aset bebas risiko) Aset berisiko adalah aset yang memiliki tingkat imbal hasil di masa yang akan datang tidak pasti. Aset bebas risiko adalah aset yang memiliki tingkat imbal hasil yang pasti di masa depan. (Harvey dan Gretchen 2002)

5

Definisi 15 (Investasi) Investasi adalah komitmen atau sumber daya saat ini dengan harapan yang lebih besar di masa depan. (Bodie et al. 2002) Definisi 16 (Saham) Saham adalah surat bukti atau tanda kepemilikan bagian modal dari suatu perseroan terbatas. Saham dapat diperoleh atau dijual bebas di satu atau lebih pasar saham. Perusahaan yang memiliki saham yang tidak diperjualbelikan bebas disebut perusahaan tertutup atau perusahaan terbatas. (Bodie et al. 2006) Definisi 17 (Obligasi) Obligasi adalah surat utang yang diterbitkan oleh pihak peminjam obligasi untuk melakukan pembayaran bunga kepada pemegang obligasi selama masa obligasi, kemudian melunasi nilai nominal pada waktu jatuh tempo. (Bodie et al. 2006) Definisi 18 (Volatilitas) Volatilitas adalah suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga berfluktuasi dalam suatu periode. (Lo 2003) Volatilitas saham menyatakan tingkat keacakan harga saham. Semakin tinggi volatilitas suatu saham, maka kepastian imbal hasil suatu saham memberikan keuntungan akan semakin rendah. Sebaliknya semakin rendah volatilitas suatu saham, maka kepastian imbal hasil suatu saham memberikan keuntungan semakin tinggi. Definisi 19 (Short sell) Short sell adalah pinjam dan jual apa yang bukan milik sendiri. Short sell aset berarti pinjam aset dari orang lain kemudian jual aset tersebut dan di waktu mendatang beli aset tersebut dan dikembalikan kepada pemilik aset. (Hoek dan Elliot 2006) Definisi 20 (Underlying asset) Underlying asset adalah aset yang dijadikan sebagai objek atau dasar transaksi. Aset yang dijadikan sebagai underlying dapat berupa barang berwujud maupun tidak berwujud, seperti tanah, bangunan, berbagai jenis proyek pembangunan, serta aset non fisik lainnya seperti jasa. Yang termasuk underlying assets antara lain komoditas (minyak, gas, emas), saham, mata uang, obligasi. (Hoek dan Elliot 2006) Definisi 21 (Produk derivatif) Produk derivatif adalah investasi keuangan (atau kontrak) di mana harganya tergantung pada underlying assets. (Hoek dan Elliot 2006)

6

Definisi 22 (Opsi) Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. (Hull 2003) Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put. Definisi 23 (Opsi call dan opsi put) Opsi call merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset dengan harga yang telah disepakati pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Opsi put merupakan hak tetapi bukan suatu kewajiban untuk menjual aset dengan harga yang telah disepakati pada atau sebelum waktu yang ditentukan. (Hoek dan Elliot 2006) Opsi call dan opsi put dapat dibedakan menjadi European (tipe Eropa) dan American (tipe Amerika). Tipe Eropa dapat diaplikasikan hanya pada pada waktu yang telah disepakati T (exercise date). Tipe Amerika dapat diaplikasikan kapan saja, dimulai dari waktu sekarang hingga waktu mendatang . Definisi 24 (Peluang arbitrase) Peluang arbitrase adalah peluang di mana sebuah aset atau portofolio aset yang nilainya hari ini adalah nol dan nilai di semua kemungkinan keadaan waktu di masa depan tidak pernah negatif. Lebih mudah dikatakan bahwa peluang arbitrase adalah peluang untuk memulai hari ini dengan nol yang pada akhirnya mendapatkan keuntungan di waktu yang akan datang. (Hoek dan Elliot 2006) Misalkan adalah peubah acak yang menunjukkan nilai aset (atau portofolio) pada waktu , maka merupakan nilai aset hari ini. adalah nilai pada waktu (masa yang akan datang) ketika keadaan di dunia adalah , maka peluang arbitrase adalah beberapa aset keuangan sedemikian rupa sehingga

Aksioma1 (No arbitrage axiom) Jika nilai awal portofolio adalah nol, , maka dengan peluang 1. Ini berarti bahwa tidak ada investor yang pasti mendapatkan uang tanpa risiko dan tanpa modal awal. (Capinski dan Zastawniak 2003). Menurut Capinski dan Zastawniak (2003), Jika portofolio melanggar aksioma ini, dapat dikatakan bahwa peluang arbitrase bisa terjadi. Pengecualian arbitrase dalam model matematika cukup mendekati kenyataan dan menjadi asumsi yang

7

sangat penting dan menguntungkan, sehingga argumentasi berdasarkan no arbitrage axiom merupakan dasar dari matematika keuangan. Teorema 1 ( Law of one price) Misalkan terdapat dua aset dan . Seandainya ada dunia:

dengan harga pada waktu , harga dan sama di semua keadaan

maka

(Hoek dan Elliot 2006) Bukti Misalkan dimulai dengan $0.

. Bentuklah portofolio berikut pada waktu

Meminjam dan menjual , berarti

Membeli B, berarti

,

.

Sehingga , yang bisa dipegang atau diinvestasikan. Catatan strategi ini memerlukan tidak adanya investasi awal. Pada waktu , maka Membeli dan mengembalikan

, berarti

. Menjual , berarti

.

Karena , maka hasil yang diperoleh adalah $0. Tetapi, masih mempunyai hasil yang positif sebesar , sehingga telah menunjukkan adanya peluang arbitrase. Kontradiksi dengan aksioma dasar, sehingga haruslah . Untuk pembuktian argumen yang sama dapat digunakan. Pada pembuktian ini diasumsikan tidak ada biaya transaksi dalam melaksanakan perdagangan, dan aset yang terlibat dapat dibeli dan dijual setiap saat.

8

III MODEL BINOMIAL UNTUK DERIVATIF Dalam tugas akhir ini akan dibahas model binomial untuk menentukan harga derivatif yang dijelaskan oleh Hoek & Elliott (2006). Model ini dapat dikerjakan dengan mudah karena berisi sedikit parameter dan struktur setiap node dalam tree sederhana. 3.1 Model Binomial Satu Langkah Model binomial merupakan metode untuk mengaproksimasi harga opsi pergerakan saham pada masa mendatang dengan dua kemungkinan yaitu harga saham naik atau harga saham turun. Pada model ini para investor bisa membeli atau menjual asetnya yang dikontruksi ke dalam portofolio biasanya disebut dengan tradeable asset. Tradeable asset dapat diartikan bahwa aset dapat dibeli atau dijual berapapun banyaknya dan kapanpun permintaannya. Diasumsikan untuk setiap aset bawa harga membeli dan menjual adalah sama pada waktu yang sama. Dalam model yang digunakan terdapat dua tradeable asset, yaitu: 1. Aset berisiko 2. Aset bebas risiko. Aset berisiko Pada waktu , aset berisiko mempunyai nilai yang diketahui . Pada , aset berisiko memiliki dua kemungkinan nilai yang berbeda (karena nilainya tidak pasti atau berisiko), yang dilambangkan dan . Diasumsikan bahwa . Contoh aset berisiko adalah saham, logam mulia, dan valuta asing. Aset bebas risiko Pada waktu , aset bebas risiko mempunyai nilai . Pada waktu , aset bebas risiko mempunyai nilai yang sama di kedua keadaan pada (karena bebas risiko), sehingga ditulis . Biasanya dan , di mana r adalah bunga bank. Biasanya diasumsikan bahwa .

(3.1)

Contoh aset bebas risiko adalah obligasi dan deposito. Model binomial sederhana satu langkah dapat digunakan untuk menentukan harga derivatif hari ini. Dalam model ini terdapat dua waktu, untuk memudahkan akan disebut dan . Pada menunjukkan waktu sekarang, dan pada menunjukkan waktu mendatang. Dilihat dari , terdapat dua keadaan di saat yaitu upstate dan downstate .

9

Gambar 3.1 Binomial tree satu langkah. Relative pricing Misalnya adalah portofolio yang akan dibayar pada waktu . Pada model, dapat mempuyai dua nilai yaitu dan . Akan ditentukan , harga pada waktu . Nilai tidak pasti karena adalah fungsi dari yang tidak pasti, sehingga adalah aset yang nilainya tergantung nilai . Jadi merupakan derivatif dari underlying asset . Diasumsikan bahwa dengan memiliki model S, dapat ditentukan menggunakan relative pricing. Terdapat dua tahap dalam relative pricing 1. Tentukan

sehingga .

(3.2)

Interpretasinya sebagai berikut. Didefinisikan bahwa mewakili jumlah aset bebas risiko pada dan mewakili jumlah aset berisiko pada . Pada , tingkat kepemilikan tidak berubah, tetapi underlying asset mengubah nilai menjadi . Kedua sisi adalah suatu besaran acak dan persamaan (3.2) berarti (3.3) (3.4) Pemecahan (3.3) dan (3.4) memberikan:

dan

10

2. Menggunakan One Price Theorem, yang merupakan akibat dari No Arbitrage Axiom harus diperoleh (3.7). dengan mensubtitusikan nilai dan persamaan (3.5) dan (3.6), maka nilai pada persamaan (3.7) akan menjadi sebagai berikut

[

]

[

]

Risk neutral probability Misalkan

nilai hasil dari portofolio yang didefinisikan

sehingga

Untuk semua nilai

, didefinisikan

sebagai berikut:

di mana adalah peluang (dilihat pada ) akan terjadi upstate pada . Misalkan X adalah tredeable asset di mana nilai pada adalah dan nilai pada adalah atau tergantung apakah terjadi upstate atau downstate. Berdasarkan rumus umum harga dalam model binomial satu langkah

11

Didefinisikan return

untuk aset X

di mana dapat ditulis

Lema 1. Untuk semua

, berlaku [

] .

(3.14)

(Bukti: Haryanto 2013) Akibat 1. [

]

[

]

[

]

(Bukti: Haryanto 2013) Definisi 22 Diberikan dan adalah dua tradeable asset. Nilai kedua aset tersebut pada waktu adalah dan . Pada waktu keadaan (atau nilai kedua aset tersebut adalah ( ). Kemudian dapat didefinisikan sebagai

Diperoleh

.

(3.19)

12

Lema 2. [

][

]

(Bukti: Haryanto 2013) Akibat 2. Ragam dari X adalah

[ Asumsikan bahwa

] . Dengan asumsi ini diperoleh lema berikut.

Lema 3. Diberikan

, maka |

|

√ Persamaan (3.22) menjelaskan tentang imbal hasil yang diharapakan berasal dari aset berdasarkan volatilitas (ragam). Dikatakan bahwa aset tersebut berisiko jika nilai volatilitasnya besar. Berdasarkan persamaan (3.22) jika nilai volatilitasnya adalah nol, maka imbal hasil yang diharapkan hanya (bunga bebas risiko), tetapi ketika volatilitasnya tidak sama dengan nol akan diperoleh imbal hasil yang sangat besar. Hasil ini sesuai dengan kenyataan bahwa jika ingin mendapatkan imbal hasil yang tinggi maka harus menanggung risiko yang lebih besar. Akan tetapi terdapat satu situasi di mana hasil tersebut tidak berjalan, yaitu ketika . Pada keadaan inilah imbal hasil yang diharapkan akan selalu bernilai apapun risiko yang diperoleh. Jika investor (secara subjektif) berpikir peluang besar terjadi pada sama dengan , maka investor tersebut tidak peka terhadap risiko sehingga investor tersebut berada pada keadaan risk-neutral. 3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Model CRR adalah model untuk menentukan rumus umum harga derivatif di mana harga aset di masa mendatang akan naik atau turun dengan konstan yaitu sebesar atau pada setiap step waktu. Untuk menentukan rumus umum harga derivatif dengan binomial satu langkah menggunakan model CRR, notasinotasi yang dipakai adalah:

dengan peluang dengan peluang

13

√

di mana:

t=0

t=1

Gambar 3.2 Binommial tree satu langkah dalam model CRR. diperoleh

Sehingga rumus umum harga untuk derivatif dalam model binomial satu langkah menggunakan CRR adalah ]

[

Return untuk aset S dalam model binomial satu langkah, dapat ditulis { (Bukti: Haryanto 2013)

(3.26)

14

3.3 Model Binomial Multistep 3.3.1 Binomial tree dua langkah Dalam model binomial dua langkah terdapat tiga keadaan pada saat

t=0

t=1

.

t=2

Gambar 3.3 Binomial tree dua langkah   

Pada Pada

yaitu node harga aset bernilai . , harga aset akan bernilai dan dengan masing-masing peluang dan . Pada , harga aset akan menjadi tiga keadaan yaitu , dan dengan peluang masing-masing adalah , , dan .

Model binomial dua langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi-notasi yang digunakan adalah:

. Gambar model binomial dua langkah menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.4.

Gambar 3.4 Binomial tree dua langkah dalam model CRR

15

untuk aset , dapat ditulis

Return

{ (Bukti: Haryanto 2013) 3.3.2 Binomial tree tiga langkah Dalam menentukan binomial tree tiga langkah sama halnya dengan dua langkah dengan waktu eksekusinya dua periode, sedangkan pada binomial tree tiga langkah memiliki tiga periode sebelum jatuh tempo. Dalam model binomial tree tiga langkah terdapat empat keadaan pada saat .

t=0

t=1

t=2

t=3

Gambar 3.5 Binomial tree tiga langkah    

Pada Pada

yaitu node harga aset bernilai . , harga aset akan bernilai dan dengan masing-masing peluang dan . Pada , harga aset akan menjadi tiga keadaan yaitu , dan dengan peluang masing-masing adalah , , dan . Pada , harga aset akan menjadi empat keadaan yaitu , , , dan dengan peluang masing-masing adalah , , , dan .

Model binomial tiga langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi-notasi yang digunakan adalah

16

. Gambar model binomial tiga langkah menggunakan model CRR ditunjukan dalam Gambar 3.6.

Gambar 3.6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR Return

untuk aset , dapat ditulis {

(Bukti: Haryanto 2013) 3.3.3 Model binomial n-langkah Model CRR pada model binomial multi-step pada dasarnya adalah simplest constant model dengan Untuk semua

dengan

diasumsikan

dan

17

. Penulisan t dalam node melambangkan waktu Setiap node dalam tree ditulis dan penulisan dalam node melambangkan keadaan . Pada waktu terdapat keadaan. Jika berada pada node pada , maka pada node yang mungkin salah satu dari atau .

Gambar 3.7 Binomial tree n-langkah Untuk setiap ( ) keadaan, peluang masing–masing keadaan sama dengan . Model binomial tree n-langkah dapat dijelaskan menggunakan model CRR. Dalam binomial tree n-langkah untuk harga aset setiap keadaan (atau jalur yang melewati tree) di mana perubahan harga secara tepat j naik ke atas dan n-j turun pada waktu n. ke bawah menghasilkan nilai aset Maka dapat dinotasikan: dengan peluang dengan peluang dengan peluang    dengan peluang

18

Untuk setiap ( ) keadaan, peluang masing–masing keadaan sama dengan , sehingga dapat ditulis

dengan peluang ( ) untuk setiap . Nilai aset pada waktu adalah variabel acak diskret dengan nilai berbeda. Distribusi nilai dapat dilihat dalam Gambar 3.8 untuk , , , , dan .

Gambar 3.8 Distribusi nilai dari Nilai dari yang merupakan pergerakan nilai ke atas adalah variabel acak yang menyebar binomial. Hal yang sama juga berlaku untuk nilai dari yang merupakan pergerakan nilai ke bawah. Kemudian dapat dikatakan bahwa proses perubahan harga aset mengikuti binomial tree. Dalam n-step, binomial dilakukan dalam semua keadaan. Setiap jalur dalam n-step bergerak naik dan turun dan setiap step memiliki elemen. Return

untuk aset

dapat ditulis {

(Bukti: Haryanto 2013) Imbal hasil untuk n-langkah sama dengan satu langkah karena pada dasarnya imbal hasil ini dihitung pada harga aset sebelumnya jadi imbal hasil di setiap keadaan sama.

19

IV APLIKASI MODEL BINOMIAL PADA OPSI Pada bab ini akan dibahas cara menentukan harga opsi call atau opsi put dari opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika dengan menggunakan model binomial 4.1 Opsi Eropa Opsi Eropa memberikan hak kepada pembeli opsi untuk melakukan eksekusi pada saat jatuh tempo berakhir. Pada tipe Eropa opsi terbagi dua yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call tipe Eropa memberikan hak tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset dari pemiliknya pada tingkat harga dan waktu tertentu. Sedangkan opsi put memberikan hak untuk menjual aset tertentu pada tingkat harga dan waktu tertentu. 4.1.1. Opsi call Opsi call merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset S dengan harga yang telah disepakati (strike price) pada waktu yang telah disepakati . Pada opsi call ada empat hal utama yang perlu diperhatikan: 1. Perusahaan yang sahamnya akan dibeli, 2. Jumlah saham yang dapat dibeli, 3. Harga pembelian saham yang akan dibeli atau disebut strike price, dan 4. Tanggal berakhirnya hak membeli yaitu tanggal terakhir opsi yang dapat digunakan. Pada opsi call ada pihak-pihak yang terlibat pada opsi ini yang disebut:  Pembeli opsi call (call writer) adalah pihak yang memiliki hak atau kewajiban untuk membeli sejumlah tertentu saham, dengan harga dan waktu tertentu.  Penjual opsi call (call holder) adalah pihak yang menerima pembayaran opsi dan berjanji menyerahkan sejumlah tertentu saham, dengan harga dan waktu tertentu. Pembeli opsi call akan menggunakan opsi untuk membeli saham pada harga yang telah disepakati . Pada dasarnya terdapat dua kondisi yang terjadi pada opsi call yaitu dan . Jika pada saat jatuh tempo, maka pembeli opsi akan membeli saham dengan harga yang telah disepakati dan menjual saham di saat harga pasar sebesar , jadi pembeli opsi call akan diuntungkan di mana besar keuntungan yang diperoleh adalah Sedangkan jika pada saat jatuh tempo, maka pembeli opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena pembeli opsi call memperoleh kerugian sebesar . Untuk kondisi ini opsi call tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo, maka keuntungan yang diperoleh pembeli opsi call adalah nol. Jadi keuntungan yang akan diperoleh pembeli opsi call dapat bernilai nol atau selisih harga saham saat opsi dieksekusi dengan harga pelaksanaan. Dengan kata lain pembeli opsi tidak akan menggunakan opsi ketika harga pasar lebih rendah atau sama dengan strike price. Secara matematis harga opsi call saat dilambangkan dengan dapat dimodelkan sebagai berikut

20

{ sehingga

{ } Jadi nilai opsi call seorang call writer untuk membeli aset dengan harga yang telah disepakati pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai imbal hasil atau penerimaan keuntungan dapat ditunjukkan Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Grafik nilai opsi call tipe Eropa untuk pembeli opsi call Pada grafik di atas, semakin tinggi harga pasar saham, maka imbal hasil call holder akan semakin besar. 4.1.2. Opsi put Opsi put merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk menjual aset dengan harga yang telah disepakati (strike price) pada waktu yang telah disepakati . Pada opsi call ada empat hal utama yang perlu diperhatikan: 1. Perusahaan yang sahamnya dapat dijual, 2. Jumlah saham yang dapat dijual, 3. Harga penjualan saham yang akan dijual atau disebut strike price, dan 4. Tanggal berakhirnya hak menjual yaitu tanggal terakhir opsi dapat digunakan. Pada opsi put ada pihak-pihak yang terlibat pada opsi ini yang disebut:  Pembeli opsi put (put writer) adalah pihak yang memiliki hak atau kewajiban untuk menjual sejumlah tertentu saham, dengan harga dan waktu tertentu.  Penjual opsi put (put holder) adalah pihak yang menerima pembayaran opsi dan berjanji membeli sejumlah tertentu saham, dengan harga dan waktu tertentu. Pembeli opsi put akan menggunakan opsi untuk menjual saham pada harga yang telah di sepakati (strike price). Pada dasarnya terdapat dua kondisi yang terjadi pada opsi put yaitu dan . Jika pada saat jatuh tempo, maka pada kasus ini pembeli opsi put menjual saham dengan harga yang telah disepakati dan membeli saham di saat harga pasar sebesar , jadi besar keuntungan yang diperoleh pembeli opsi put adalah . Sedangkan jika pada saat jatuh tempo, maka pembeli opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena akan memperoleh kerugian sebesar

21

Untuk kondisi ini opsi put tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo, maka keuntungan yang diperoleh pembeli opsi put adalah nol. Secara matematis harga opsi put saat T dilambangkan dengan dapat dimodelkan sebagai berikut { sehingga

{

}

Jadi nilai opsi put seorang put writer untuk membeli aset dengan harga yang telah disepakti pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai imbal hasil atau penerimaan keuntungan dapat ditunjukkan Gambar 4.2.

Gambar 4.2 Grafik nilai opsi put tipe Eropa untuk pembeli opsi put Pada grafik diatas, semakin rendah harga pasar saham, maka imbal hasil put holder akan semakin besar. 4.1.3 Menghitung nilai opsi call Opsi call dan opsi put adalah contoh derivatif karena nilainya tergantung pada underlying asset dalam hal ini adalah harga saham. Sebuah opsi call dan opsi put merupakan yang dapat dieksekusi terhadap sebuah saham apakah akan dibeli atau dijual. Nilai opsi call tergantung pada nilai . Jadi nilai opsi call yaitu dapat dipandang sebagai seperti pada bab tiga. Untuk mendapatkan nilai opsi pada saat maka nilai saham tersebut akan di present value ke maka didapatkan nilai opsi dari saham tersebut. Suatu opsi tipe Eropa imbalanya dapat diekspresikan sebagai suatu fungsi dari harga aset pada waktu jatuh tempo dengan strike price . Sehingga nilai opsi pada saat akan naik sebesar atau turun sebesar maka dapat ditulis sebagai berikut

maka

{ } Karena opsi call dapat dipandang sebagai di mana pada opsi call ketika harga naik sebesar dan harga akan turun sebesar , maka nilai opsi call { }

22

Untuk mendapatkan imbal hasil dari opsi call maka dapat ditentukan dengan menggunakan

4.1.4 Menghitung nilai opsi put Nilai opsi put tergantung pada nilai . Jadi nilai opsi put yaitu dapat dipandang sebagai seperti pada bab tiga. Untuk mendapatkan nilai opsi pada saat maka nilai saham tersebut akan di present value ke maka didapatkan nilai opsi dari saham tersebut. Suatu opsi tipe Eropa jika imbalanya dapat diekspresikan sebagai suatu dari harga aset pada waktu jatuh tempo dengan strike price . fungsi Sehingga nilai opsi pada saat akan naik sebesar atau turun sebesar maka dapat ditulis sebagai berikut (

)

( maka

) {

}.

Karena opsi put harga naik sebesar

dapat dipandang sebagai di mana pada opsi put ketika dan harga akan turun sebesar , maka nilai opsi put { } Untuk mendapatkan imbal hasil dari opsi put maka dapat ditentukan dengan menggunakan

4.1.5 Call-put parity Teorema 2. Call-put parity Persamaan call-put parity pada tipe Eropa pada opsi call dan opsi put dapat dinotasikan pada rumus sebagai berikut Bukti: (Hull 2003) Menggunakan persamaan (4.1) dan (4.2) serta

di mana

maka didapat

di mana,

, adalah present value.

4.2 Opsi Amerika Opsi Amerika memberikan hak kepada pembeli opsi untuk melakukan eksekusi pada saat atau sebelum jatuh tempo berakhir. Pada tipe Amerika opsi terbagi dua yaitu opsi call dan opsi put.

23

4.2.1 Opsi call Opsi call merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset S dengan harga yang telah disepakati K (strike price) dan dapat dieksekusi kapan saja pada waktu selama jangka waktu kontraknya berlaku yaitu T. Pembeli opsi call akan menggunakan opsi untuk membeli saham pada harga yang telah disepakati dan dapat dieksekusi kapan saja. Pada dasarnya opsi call tipe Amerika sama dengan opsi call tipe Eropa, tapi pada opsi ini seorang pembeli opsi call dapat mengeksekusi opsi sebelum jatuh tempo selama batas waktu yang telah disepakati yaitu . Jika waktu eksekusi dilaksanakan dengan maka pembeli opsi call akan mengeksekusi opsi dengan cara membeli saham dengan harga K yang telah disepakati dan menjual saham di saat harga pasar sebesar , jadi pembeli opsi call akan diuntungkan di mana besar keuntungan yang diperoleh adalah . Sedangkan jika pada saat eksekusinya dilaksanakan maka pembeli opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena pembeli opsi call memperoleh kerugian sebesar . Untuk kondisi ini opsi call tidak mempunyai nilai, maka keuntungan yang diperoleh pembeli opsi call adalah nol. Secara matematis harga opsi call yang telah disepakati dengan harga K dan dapat dieksekusi setiap saat pada waktu t hingga waktu jatuh tempo T, maka waktu eksekusinya adalah . Sehingga nilai opsi call tipe Amerika adalah: { } 4.2.2 Opsi put Opsi put merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk menjual aset S dengan harga yang telah disepakati K (strike price) dan dapat dieksekusi kapan saja pada waktu selama jangka waktu kontraknya berlaku yaitu . Pembeli opsi put akan menggunakan opsi untuk menjual saham pada harga yang telah disepakati dan dapat dieksekusi kapan saja. Pada dasarnya opsi put tipe Amerika sama dengan opsi put tipe Eropa, tapi pada opsi ini seorang pembeli opsi put dapat mengeksekusi opsi sebelum jatuh tempo selama batas waktu yang telah disepakati yaitu . Jika maka pembeli opsi put akan menjual saham dengan harga yang telah disepakati dan membeli saham di saat harga pasar sebesar , jadi besar keuntungan yang diperoleh pembeli opsi put adalah . Sedangkan jika pada saat jatuh tempo, maka pembeli opsi put tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena akan memperoleh kerugian sebesar . Untuk kondisi ini opsi put tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo, maka keuntungan yang diperoleh pembeli opsi put adalah nol. Secara matematis harga opsi put yang telah disepakati dengan harga K dan dapat dieksekusi setiap saat pada waktu hingga waktu jatuh tempo , maka waktu eksekusinya adalah . Sehingga nilai opsi put tipe Amerika adalah: { } 4.2.3 Menghitung nilai opsi call Pada opsi call dan opsi put tipe Amerika sama halnya dengan opsi tipe Eropa yang merupakan contoh derivatif di mana nilainya tergantung underlying asset. Menghitung nilai opsi call dan opsi put tipe Amerika dapat menggunakan model binomial n-step dengan catatan bahwa waktu yang digunakan adalah diskret di mana dengan .

24

Nilai opsi call tipe amerika tergantung pada nilai di mana . Sehingga imbal hasil opsi call tipe Amerika dengan harga K pada saat dieksekusi { }. dengan waktu t dapat ditulis Opsi call tipe Amerika adalah model derivatif di mana nilai saham akan naik atau turun dengan konstan yaitu sebesar atau pada setiap step waktu. Penulisan dalam node melambangkan waktu dan penulisan dalam node melambangkan keadaan . Pada model CRR pembeli opsi call tipe Amerika berdasarkan pergerakan saham menentukan nilai saham pada saat node , ketika saat dieksekusi nilai sahamnya naik sebesar dengan peluang atau nilai sahamnya turun sebesar dengan peluang , maka dapat dirumuskan [ (

)

(

)]

[ ( )] di mana merupakan nilai present value dari harga opsi pada saat indeks ketika dieksekusi. Jadi perhitungan opsi call tipe Amerika yang diperoleh jika dieksekusi pada saat sekarang maka diperoleh {

[ (

)

(

)]}

Menggunakan One Price Theorem maka nilai opsi call {

} {

} {

}

4.2.4 Menghitung nilai opsi put Nilai opsi put tipe Amerika tergantung pada nilai di mana . Sehingga imbal hasil opsi put tipe Amerika dengan harga K pada saat dieksekusi { }. dengan waktu t dapat ditulis Opsi put tipe Amerika adalah model derivatif di mana nilai saham akan naik atau turun dengan konstan yaitu sebesar u atau d pada setiap step waktu. Penulisan dalam node melambangkan waktu dan penulisan dalam node melambangkan keadaan . Pada model CRR pembeli opsi put tipe Amerika berdasarkan pergerakan saham menentukan nilai saham pada saat node , ketika saat dieksekusi nilai sahamnya naik sebesar u dengan peluang atau nilai sahamnya turun sebesar dengan peluang , maka dapat dirumuskan [ ( [ (

) )]

(

)]

25

di mana merupakan nilai present value dari harga opsi pada saat indeks ketika dieksekusi. Jadi perhitungan opsi put tipe Amerika yang diperoleh jika dieksekusi pada saat sekarang maka diperoleh { [ ( ) ( )]} Menggunakan One Price Theorem maka nilai opsi put {

[ ( {

)

(

)]}

} {

}

4.3 Aplikasi Model Binomial untuk Opsi Call pada Pergerakan Saham PT Telekomunikasi Indonesia (Persero) Tbk. Pada karya ilmiah ini akan dibahas aplikasi model binomial opsi call tipe Eropa dan tipe Amerika diambil data pergerakan saham PT Telekomunikasi Indonesia (Persero) mulai dari bulan Januari-Desember 2011. 4.3.1 Data Dalam karya ilmiah ini data yang digunakan adalah data pergerakan saham yang dilakukan oleh PT Telekomunikasi Indonesia (Persero) periode JanuariDesember 2011 akan digunakan sebagai data utama dalam analisis model binomial. Jangka waktu yang digunakan untuk dieksekusi berbeda-beda. Pada data ini pembeli opsi call akan menggunakan haknya untuk mengeksekusi nilai opsi call pada tipe Eropa dan nilai opsi call pada tipe Amerika. Data yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 4.1. Tabel 4.1. Data PT Telekomunikasi Indonesia . Date Open High Low Close Volume Adj Day Close 1610 1420 1510 134639200 176.51 21 Jan-11 1600 1570 1470 1490 68851300 174.17 18 Feb-11 1510 1510 1320 1470 119727200 171.83 22 Mar-11 1500 1570 1390 1540 94572100 180.02 20 Apr-11 1460 1560 1480 1540 63413600 180.02 21 May-11 1550 1560 1480 1540 63413600 180.02 20 Jun-11 1550 1480 1380 1470 70229600 206.72 20 Jul-11 1440 1580 1400 1450 144376900 203.91 19 Aug-11 1500 1580 1380 1520 117617600 213.75 20 Sep-11 1510 1550 1400 1480 107970000 208.13 21 Oct-11 1480 1530 1430 1470 54944800 206.72 22 Nov-11 1480 1480 1380 1410 57904600 198.29 22 Dec-11 1470

26

4.3.1 Menghitung nilai opsi call tipe Eropa untuk saham PT Telekomunikasi Indonesia Berdasarkan data pergerakan saham PT Telekomunikasi Indonesia (Persero) periode Januari-Desember 2011 (lampiran 1) dan data BI rate Agustus 2010Desember 2011 (lampiran 2) akan dihitung nilai opsi call tipe Eropa untuk membeli aset pada bulan Januari 2012. Dalam hal ini adalah Desember 2011 dengan aset dan strike price adalah 1430 yang akan dieksekusi pada bulan Januari 2012 dengan

dan suku bunganya adalah 6%

pertahun. Dengan menggunakan model binomial CRR satu langkah untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa yaitu dan volatilitasnya 30%. Maka dari harga saham dan strike price didapatkanlah nilai opsi call tipe Eropa dengan menggunakan rumus

Nilai opsi call tipe Eropa dapat dilihat dari Gambar 4.1.

0.083333 √

1.090463178

0.91704151

0.480766009 0.519233991 1537.553082 1293.028529

27

Gambar 4.1 Model binomial satu langkah opsi call tipe Eropa Pada Gambar 4.1 maka pembeli opsi call tipe Eropa dapat mengeksekusinya jika telah mendapatkan nilai opsinya dengan menggunakan model binomial CRR satu langkah. Ketika pembeli opsi menggunakan opsinya dengan menggunakan opsinya di mana 1410 dan strike price 1430 maka saat dieksekusi pergerakan saham akan naik sebesar 1.090463178 dengan peluang 0.480766009 dan akan turun sebesar 0.91704151 dengan peluang 0.519233991, maka dengan menggunakan rumus binomial satu langkah untuk nilai opsi tipe Eropa yang akan dieksekusi pada akhir Januari 2012 adalah sebesar 51.68632535. 4.3.2 Menghitung nilai opsi call tipe Amerika PT Telekomunikasi Indonesia Opsi call tipe Amerika adalah model binomial multi-step karena pembeli opsi bisa mengeksekusi kapan saja berdasarkan pergerakan saham. Waktu yang digunakan adalah diskret, maka pembeli opsi call akan mengeksekusi sahamnya ketika telah mendapatkan nilai opsi call tipe Amerika, untuk pergerakan saham satu langkah akan bergerak konstan naik sebesar dengan peluang dan turun sebesar dengan peluang sedangkan untuk model binomial dua langkah sahamnya akan bergerak dengan tiga keadaan yaitu naik sebesar dengan peluang , yang kedua dengan peluang dan akan turun sebesar dengan peluang dan untuk model binomial tiga langkah terdapat empat keadaan yaitu keadaan pertama naik sebesar dengan peluang , keadaan kedua bergerak sebesar dengan peluang , keadaan ketiga bergerak sebesar dengan peluang , dan keadaan keempat akan turun sebesar dengan peluang . Berdasarkan data pergerakan saham PT Telekomunikasi Indonesia (Persero) periode Januari-Desember 2011 (lampiran 1) dan data BI rate Agustus 2010Desember 2011 (lampiran 2) akan dihitung nilai opsi call tipe Amerika untuk membeli aset pada bulan Januari 2012 dengan menggunakan model binomial nlangkah. Dalam hal ini adalah Desember 2011 dengan aset dan strike price adalah 1430 yang akan dieksekusi pada bulan Januari 2012 dengan dan suku bunganya adalah 6% pertahun. Maka secara umum pada pergerakan nilai saham untuk model binomial n-langkah opsi call tipe Amerika dengan rumus

28

{

} {

} }

{

Berdasarkan rumus binomial n-langkah maka nilai opsi call pada tipe Amerika dapat dilihat pada Tabel 4.2 opsi call 2 3 4 5 6 7 8 9 10

30%

0.0417 0.0278 0.0208 0.0167 0.0139 0.0119 0.0104 0.0093 0.0083

1.0632 1.0513 1.0443 1.0395 1.036 1.0333 1.0311 1.0293 1.0278

0.9406 0.9512 0.9576 0.962 0.9653 0.9678 0.9698 0.9715 0.973

0.4881 0.5119 0.4917 0.5083 0.4940 0.5060 0.4957 0.5043 0.4971 0.5029 0.4982 0.5018 0.49915 0.50085 0.50001 0.49999 0.5008 0.4992

38.9854998 31.1567878 27.7962727 24.6601080 22.9986654 21.2285158 20.2104533 19.0487160 18.3523401

Pada Tabel 4.2 opsi call di atas maka seorang pembeli opsi tipe Amerika dapat mengeksekusinya jika telah mendapatkan nilai dari opsi call. Ketika pembeli menggunakan opsi tipe Amerika maka pembeli opsi bisa mengeksekusi sahamnya kapan saja dalam jangka waktu yang telah ditentukan jadi dengan meggunakan model binomial untuk opsi tipe Amerika adalah model binomial nlangkah, pada saat dieksekusi maka pergerakan saham akan bergerak naik atau turun dan pembeli opsi call akan menentukan apakah menggunakan opsinya atau tidak. Sebagai contoh pada tabel di atas seorang pembeli opsi akan mengeksekusi saham yang akan dibelinya dengan menggunakan opsi tipe Amerika yang mana bisa dieksekusi kapan saja dengan menggunakan model binomial n-langkah maka harga saham yang telah disepakati yaitu sebesar 1430 dengan suku bunga 6% pertahun. Pada saat dieksekusi pada maka saham mengalami tiga keadaan yaitu naik sebesar 1593.709299 dan turun sebesar 1247.467152. Maka nilai opsi tipe Amerika untuk model binomial dua langkah adalah 38.98549984. Untuk model binomial dua langkah dapat dilihat pada Gambar 4.2. 1410

0.041666667

29

√

1.06315111

0.94060006

0.4888096 0.511904 1499.040365 1326.246087 1593.709299 1410 1247.467152 1593.70929 1499.040365 1410

1410 1326.246087

1247.467152 Gambar 4.2 Model binomial dua langkah opsi call tipe Amerika Dari Tabel 4.2 terlihat bahwa nilai opsi call tipe Amerika untuk strike price yang sama yaitu dan harga saham awal pada akhir Desember 2011 yaitu dengan volatilitas dan suku bunga 6% pertahun yang akan dieksekusi pada bulan Januari 2012, menunjukkan semakin besar langkahnya yaitu maka semakin kecil nilai opsi call tipe Amerika.

30

V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Dari pembahasan dapat ditarik kesimpulan. 1. Nilai opsi call dan opsi put dapat dimodelkan menggunakan model binomial. 2. Model binomial one-step digunakan pada opsi tipe Eropa dan model binomial multi-step digunakan pada model opsi tipe Amerika. 3. Berdasarkan data pergerakkan saham PT Telekomunikasi Indonesia pada bulan Januari 2011 sampai dengan Desember 2011, diperoleh nilai opsi untuk bulan Januari 2012. Nilai opsi call untuk strike price yang sama yaitu dan volatilitas 30% menunjukkan semakin besar maka semakin kecil nilai opsi callnya. 5.2 Saran Hasil dalam karya ilmiah ini masih belum sempurna, karena model binomial dalam karya ilmiah ini hanya mengkaji beberapa produk derivatif yaitu opsi. 2. Penulis menyarankan untuk menggunakan model binomial dalam mengkaji produk derivatif lainnya. 1.

DAFTAR PUSTAKA BI Rate. http://www.bi.go.id/web/id/moneter/ BI+Rate/Data+BI+Rate/, [30 september 2013] Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2002. Investments. 3rd Ed. New Jersey:Prentice Hall. Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2006. Investments. 6th Ed. New York:McGraw-Hill. Capinski M, Zastawniak T. 2003. Mathematics for Finance: an Introduction to Financial Engineering. United States of America: Springer Finance. Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd Ed. Oxford: Clarendon Press. Harvey CR, Gretchen M. 2002. The new York times Dictionary of Money and Investing: The Essential A-z Guide for the language of the New Market. Henry Holt & Company. New York. Haryanto. 2013. Aplikasi Model Binomial dalam Forward Contract dan Forward Exchange Rate Contract [Skripsi]. Bogor: Program Sarjana Institut Pertanian Bogor.

31

Hoek VJ, Elliot RJ. 2006. Binomial Models in Finance. United States of America: Springer Finance Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 6th Ed.Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. Hull JC. 2003. Option Future and Other Derivative. University of Toronto: Prentice Hall International Inc. Lo MS. 2003. Generalized Autoregressive Conditional Heterscedasticity Time Series Model [tesis]. Burnaby: Departemen of Statistics and Actuaria Science, Simon Fraser University. Niwigia DB. 2005. Numerical Method For Valuation Of Financial Derivative [tesis]. University of Werstern Cape, South Afica. Ross SM. 2009. Probability and Statistics to Enginers and Scientists. 4th Ed. South California: Elsevier Inc. TLKM. Historical Prices, http://finance.yahoo.com/, [26 September 2013] Walpole RE. 1992. Pengantar Statistika. 3rd Ed. Jakarta: Gramedia.

32

Lampiran 1. Data harian PT Telekomunikasi Indonesia Date Open High Low Close 1410 1430 1400 1410 12/30/2011 1430 1440 1390 1430 12/29/2011 1410 1440 1390 1410 12/28/2011 1440 1440 1420 1440 12/27/2011 1430 1430 1430 1430 12/26/2011 1430 1440 1420 1430 12/23/2011 1430 1430 1410 1430 12/22/2011 1420 1430 1400 1420 12/21/2011 1400 1430 1380 1400 12/20/2011 1410 1440 1410 1410 12/19/2011 1430 1440 1430 1430 12/16/2011 1430 1430 1400 1430 12/15/2011 1420 1430 1410 1420 12/14/2011 1430 1450 1420 1430 12/13/2011 1450 1460 1440 1450 12/12/2011 1440 1460 1420 1440 12/9/2011 1450 1470 1450 1450 12/8/2011 1460 1480 1450 1460 12/7/2011 1470 1470 1450 1470 12/6/2011 1450 1480 1450 1450 12/5/2011 1470 1480 1460 1470 12/2/2011 1470 1470 1470 1470 12/1/2011 1470 1480 1440 1470 11/30/2011 1430 1470 1430 1430 11/29/2011 1460 1480 1440 1460 11/28/2011 1460 1500 1460 1460 11/25/2011 1500 1510 1490 1500 11/24/2011 1510 1510 1480 1510 11/23/2011 1490 1490 1470 1490 11/22/2011 1490 1500 1470 1490 11/21/2011 1500 1520 1490 1500 11/18/2011 1510 1520 1500 1510 11/17/2011 1510 1510 1490 1510 11/16/2011 1490 1500 1480 1490 11/15/2011 1500 1500 1480 1500 11/14/2011 1480 1500 1480 1480 11/11/2011 1480 1490 1470 1480 11/10/2011 1500 1510 1490 1500 11/9/2011 1500 1500 1480 1500 11/8/2011

Volume Adj Close 54420000 198.29 46610000 201.1 67402500 198.29 18727500 202.5 0 201.1 17587500 201.1 24495000 201.1 121340000 199.69 126252500 196.88 60082500 198.29 32912500 201.1 106532500 201.1 36120000 199.69 78060000 201.1 27750000 203.91 142575000 202.5 51580000 203.91 70710000 205.32 49255000 206.72 49020000 203.91 38050000 206.72 0 206.72 95785000 206.72 77692500 201.1 50772500 205.32 46137500 205.32 21920000 210.94 50435000 212.35 43945000 209.54 69502500 209.54 46627500 210.94 32660000 212.35 43035000 212.35 54720000 209.54 30280000 210.94 49905000 208.13 45880000 208.13 76982500 210.94 27047500 210.94

33

Date Open High Low Close 1500 1510 1480 1500 11/7/2011 1520 1530 1500 1520 11/4/2011 1500 1520 1500 1500 11/3/2011 1510 1530 1470 1510 11/2/2011 1480 1500 1480 1480 11/1/2011 1480 1500 1460 1480 10/31/2011 1490 1510 1470 1490 10/28/2011 1500 1500 1480 1500 10/27/2011 1480 1480 1460 1480 10/26/2011 1470 1470 1450 1470 10/25/2011 1450 1470 1420 1450 10/24/2011 1450 1470 1450 1450 10/21/2011 1450 1450 1430 1450 10/20/2011 1440 1450 1430 1440 10/19/2011 1430 1430 1400 1430 10/18/2011 1420 1440 1410 1420 10/17/2011 1420 1460 1410 1420 10/14/2011 1450 1470 1440 1450 10/13/2011 1470 1480 1440 1470 10/12/2011 1460 1470 1450 1460 10/11/2011 1440 1460 1420 1440 10/10/2011 1450 1520 1440 1450 10/7/2011 1520 1550 1490 1520 10/6/2011 1540 1540 1510 1540 10/5/2011 1490 1530 1480 1490 10/4/2011 1480 1500 1470 1480 10/3/2011 1520 1540 1490 1520 9/30/2011 1490 1500 1470 1490 9/29/2011 1470 1480 1450 1470 9/28/2011 1450 1500 1450 1450 9/27/2011 1440 1490 1420 1440 9/26/2011 1440 1460 1400 1440 9/23/2011 1380 1500 1380 1380 9/22/2011 1510 1530 1490 1510 9/21/2011 1490 1490 1470 1490 9/20/2011 1490 1490 1460 1490 9/19/2011 1470 1530 1470 1470 9/16/2011 1500 1520 1460 1500 9/15/2011 1470 1500 1460 1470 9/14/2011 1470 1500 1460 1470 9/13/2011

Volume Adj Close 39105000 210.94 37442500 213.75 41752500 210.94 85812500 212.35 45562500 208.13 55060000 208.13 105927500 209.54 115000000 210.94 73162500 208.13 94677500 206.72 126362500 203.91 56487500 203.91 72300000 203.91 56372500 202.5 87912500 201.1 124752500 199.69 172262500 199.69 128810000 203.91 119385000 206.72 83342500 205.32 83495000 202.5 142665000 203.91 82517500 213.75 150012500 216.57 189500000 209.54 92305000 208.13 115465000 213.75 66902500 209.54 81737500 206.72 104615000 203.91 266987500 202.5 124692500 202.5 192072500 194.07 70102500 212.35 53552500 209.54 43740000 209.54 44705000 206.72 84030000 210.94 81275000 206.72 37370000 206.72

34


Volume Adj Close 68055000 208.13 95535000 213.75 89195000 215.16 145980000 222.19 144587500 215.16 326287500 212.35 61390000 203.91 78785000 202.5 77350000 203.91 35397500 205.32 43952500 205.32 189235000 208.13 144920000 209.54 58585000 202.5 87812500 203.91 107122500 205.32 207872500 206.72 185112500 199.69 254767500 202.5 161515000 210.94 178427500 212.35 367465000 219.38 140755000 212.35 214512500 213.75 86795000 210.94 98597500 206.72 98107500 205.32 34665000 206.72 57402500 205.32 70447500 205.32 68407500 208.13 117302500 205.32 31760000 199.69 36195000 198.29 51292500 199.69 62892500 201.1 74537500 198.29 82730000 198.29 91820000 196.88 55782500 198.29

35


Volume Adj Close 44697500 202.5 43170000 201.1 38207500 201.1 72345000 202.5 75635000 202.5 129097500 206.72 60070000 203.91 43732500 199.69 75432500 203.91 29465000 201.1 47617500 201.1 62607500 199.69 61725000 195.47 120882500 192.66 89272500 199.69 70747500 203.91 134890000 205.32 100185000 174.17 99352500 174.17 107070000 174.17 98942500 175.34 148577500 175.34 91342500 177.68 78920000 178.85 42402500 181.19 60117500 180.02 49680000 177.68 68710000 180.02 68022500 180.02 28617500 180.02 76772500 178.85 47165000 176.51 68770000 178.85 79327500 177.68 75915000 181.19 32897500 180.02 36745000 180.02 75617500 180.02 46222500 177.68 32100000 176.51

36


Volume Adj Close 41785000 176.51 88710000 176.51 143775000 175.34 66977500 178.85 43042500 180.02 40600000 181.19 67155000 180.02 31717500 178.85 59295000 180.02 45570000 174.17 37020000 176.51 67332500 181.19 261367500 182.36 231732500 178.85 82662500 171.83 151732500 169.5 148222500 168.33 54695000 163.65 39932500 165.99 77822500 165.99 136977500 163.65 85887500 165.99 82392500 169.5 47285000 169.5 42830000 170.67 72657500 170.67 166390000 171.83 171987500 168.33 72307500 163.65 33502500 165.99 163332500 167.16 257115000 167.16 124460000 154.3 117315000 157.81 250607500 156.64 218442500 158.98 122272500 164.82 85177500 167.16 82050000 171.83 95785000 170.67

37


Volume Adj Close 57452500 173 101040000 174.17 29065000 170.67 77145000 171.83 103097500 170.67 56752500 171.83 46565000 171.83 35747500 175.34 49137500 174.17 52902500 174.17 77310000 171.83 80302500 174.17 37900000 174.17 60460000 177.68 58102500 174.17 58967500 174.17 119327500 174.17 54655000 174.17 62812500 177.68 84107500 178.85 97870000 182.36 57955000 180.02 65187500 180.02 40702500 181.19 60857500 178.85 71630000 176.51 131725000 176.51 66007500 181.19 102720000 178.85 97275000 181.19 77597500 178.85 79722500 180.02 189377500 176.51 54402500 176.51 93122500 182.36 123230000 182.36 72877500 177.68 126762500 175.34 175577500 171.83 197247500 175.34

38

Date Open High Low Close 1440 1490 1420 1440 1/11/2011 1440 1460 1430 1440 1/10/2011 1470 1520 1450 1470 1/7/2011 1540 1590 1530 1540 1/6/2011 1600 1600 1580 1600 1/5/2011 1580 1600 1580 1580 1/4/2011 1600 1610 1580 1600 1/3/2011

Volume Adj Close 307800000 168.33 147192500 168.33 284375000 171.83 198480000 180.02 84900000 187.03 50385000 184.69 34922500 187.03

Lampiran 2. BI rate Agustus 2010 - Desember 2011 BI Rate (Berdasarkan hasil dari Rapat Dewan Gubernur) Tanggal 8 Des 2011

BI Rate 6.00%

Siaran Pers Pranala siaran pers

10 Nov 2011

6.00%

Pranala siaran pers

11 Okt 2011

6.50%

Pranala siaran pers

8 Sept 2011

6.75%

Pranala siaran pers

9 Agust 2011

6.75%

Pranala siaran pers

12 Juli 2011

6.75%

Pranala siaran pers

9 Juni 2011

6.75%

Pranala siaran pers

12 Mei 2011

6.75%

Pranala siaran pers

12 April 2011

6.75%

Pranala siaran pers

4 Maret 2011

6.75%

Pranala siaran pers

4 Feb 2011

6.75%

Pranala siaran pers

5 Jan 2011

6.50%

Pranala siaran pers

3 Des 2010

6.50%

Pranala siaran pers

4 Nov 2010

6.50%

Pranala siaran pers

5 Okt 2010

6.50%

Pranala siaran pers

3 Sept 2010

6.50%

Pranala siaran pers

4 Agust 2010

6.50%

Pranala siaran pers

39

Lampiran 3 model binomial satu langkah

√

√

{

}

{

{ {

}

} }

Pada model binomial satu langkah nilai opsi call untuk pergerakan saham PT dan akan dieksekusi Telekomunikasi Indonesia dengan pada pada januari 2012 dengan strike price 1430 adalah 51.68632535.

40

Lampiran 4 model binomial 2-langkah

1410

1430

0.3

0.005 0.041666667

0.488096122 0.511903878 1.130290283

1.06315111

0.940600062

1 0.884728477 1593.709299

1410 1247.467152 163.7092987

0

0

Dengan menggunakan rumus opsi call maka didapat nilai opsi {

}

{

}

163.709299 {

}

{ } 79.88922855 Maka nilai opsi call adalah

38.98549984 Lampiran 5 model binomial 3-langkah

1410

1430

0.3

0.005 0.027777778 1.051271096

0.951229425

0.491668386 0.50831614 1.161834243 1.051271096 0.951229425

41

0.860708 1638.186282 1482.292246 1341.233489 1213.598247

208.1862822 52.29224589

0

0


}

{

}

208.186282 {

}

{

}

52.292246 {

}

{ } 128.9225079 {

} { }

63.37831821 Maka nilai opsi call adalah


1410

1430

0.3

0.005

0.02083333

1.04425245 0.957622843

42

0.493986932 0.506013068 1.189109944 1.090463178

0.840965131 1676.645021 1537.553082

246.6450205 107.5530817

0

0

0

}

{

}

246.645021 {

}

{

}

107.553082 {

}

{ } 176.2443221 {

}

{ } 53.12428281 {

}

{ } 113.9321048

0.9170415

1410 1293.028529 1185.760835


1

43

{

} { }



1410

1430

0.3

0.005 0.016666667 1.213670413

1.1232087

1.213670413 1.1232087 1.213670413 1.1232087 1.03948961 0.9620106

0.890306494 0.823946921 1711.275282 1583.724268 1465.680351 1356.434914

1255.3321

1161.7651

281.27528

153.7242676

35.680350


}

{

}

281.275282 { { 153.724268

} }

0

0

0

44

{

}

{

}

35.680351 {

}

{ } 216.9329026 {

}

{ } 94.1865708 {

}

{ } 155.0186965 {

}

{ } 46.68415304 {

}

{ } 100.3769455 {

} { }

49.75245034

45

Maka nilai opsi call adalah


1410

1430

0.3

0.005 0.013888889 1.03598777

0. 96526236

0.497054407 0.502945593 1.2363111 1.15190991 1.03598777

1

0.931731423 0.931731423 0.808857893 1743.198665 1624.192973

1460.74275

1410 1313.74130 1313.741307

194.1929733 30.74275615

0

1140.48963 313.1986649

0


}

{

}

313.1986649 {

}

{

}

194.192973 { { 83.311631

} }

0

0

46

{

}

{ } 253.3276839 {

}

{ } 138.4160782 {

}

{

}

41.40753767 {

}

{ } 195.51982 {

}

{ } 89.61983644 {

}

{ } 142.2480113 {

}

{ } 44.54284127

47

{

}

{ } 93.10116098 {

} {

}



1410

1430

0.3

0.005

0.01190476 2

1.03327429 1

0. 967797233

0.49818218 0.50181781 1.25750397 1.17781781 1.10318124 1.0332743

0.967797233 0.9064694 0.84902774 0.78076008 1773.08061 1660.7231

1555.48556

1456.9168

1364.5941

1278.1218 1197.129

343.080606 230.7231 125.4856 26.91675 0 Dengan menggunakan rumus opsi call maka didapat nilai opsi { { 343.080606

} }

0

1100.8717

0

0

48

{

}

{

}

230.7231202 {

}

{

}

125.485561 {

}

{

}

26.91675044 {

}

{ } 286.6805529 {

}

{ } 177.9024484 {

}

{ } 76.01745085 {

}

{ } 232.0799473

49

{

}

{ } 126.7671955 {

}

{ } 37.86828548 {

}

{ } 179.2214638 {

}

{ } 82.15124842 {

}

{ } 130.502132 {

}

{ } 40. {

}

{ } 85.5450630

50

{

} { }



1410

1430

0.3

0.005

0.01041667 1.031092193

0.96984538

0.4991501 0.500859837 1.27755612 1.20166937 1.13029028

1.063151

1 0.940600062 0.782744477 0.884728477 0.83217566 1801.354134

1694.3538 1593.709299

1173.368

1499.043065

1410

1326.2461 1247.467152

1103.67 371.3541 264.3538 163.7093 69.04307

0

0

0

0

0


} {

371.35134

}

51

{

}

{

}

264.35381 {

}

{

}

163.709299 {

}

{

}

69.043065 {

}

{ } 317.7464894 {

}

{ } 213.9348802 {

}

{ } 116.2896741 {

}

{ } 34.46106232

52

{

}

{ } 265.7386209 {

}

{ } 165.0206996 {

}

{ } 75.3010517 {

}

{ } 215.2828535 {

}

{ } 120.0788018 {

}

{ } 37.58500063 {

}

{ } 167.5911908

53

{

}

{ } 78.75769283 {

}

{ } 123.0925366 {

}

{ } 39.30986777 {

}

{ } 81.12577513 {

} { }


20.21045332

54

Lampiran 11 model binomial 9-langkah

1410

1430

0.500001

0.3

0.005 0.009259259

1.029288

0.971545

0. 499999 1.29668061 1.22393686 1.155274025

1.0904632

1.0292882 0.9715452 0.91704151 0.86559550 0.81703561

1828.31966

1725.75097

1293.029

1628.93638

1537.55308

1220.49 1152.02 1087.392 398.3197

107.5531 21.29639

0

0

0

1451.2964 1369.879

295.751

0


} {

}

398.316583 {

}

{

}

295.7509664 { { 198.936376

} }

0.77119993

198.9364

0

55

{

}

{

}

107.553082 {

}

{

}

21.296388 {

}

{ } 347.0193195 }

{ { } 247.3322894

}

{ { } 153.2376995 {

}

{ } 64.42181395 {

}

{ } 297.1621178

56

{

}

{ } 200.2757894 {

}

{ } 108.8247818 {

}

{ } 32.20946174 {

}

{ } 248.7075082 {

}

{ } 154.543159 {

}

{ } 70.51391184 {

}

{ } 201.616085

57

{

}

{ } 112.5234043 {

}

{ } 35.25537401 {

}

{ } 157.0625366 {

}

{ } 73.88602357 {

}

{ } 115.4689935 {

}

{ } 36.94135422 {

}

{ } 76.20170199

58

{

} { }



1410

1430

0.3

0.005 0.008333333 1.027764575

0.9729855

0.500761 0.49923 1.315032367 1.2449421 1.178587594 1.1157697

1.056300021

1 0.946700729 0.89624227 0.848473211 0.803250207

0.760438 1854.1956 1755.3684 1661.8085 1573.235 1489.383

1334.84 1263.702

143.235

1196.35

59.383

0

1132.58

0

1072.22

424.196

0

Dengan menggunakan rumus opsi call maka didapat nilai opsi { { 424.195637

} }

0

1410

325.37

0

231.81

0

59

{

}

{

}

325.3683613 {

}

{

}

231.8085074 {

}

{

}

143.2353255 {

}

{

}

59.38302964 {

}

{ } 374.8416358 {

}

{ } 278.6480681 }

{ { } 187.5815474

60

{

}

{ } 101.3688059 {

}

{

}

29.735495 {

}

{ } 326.8044846 {

}

{ } 233.1744376 {

}

{ } 144.5348038 {

}

{ } 65.60396448 {

}

{ } 280.0490898

61

{

}

{ } 188.9142467 {

}

{ } 105.1251084 {

}

{

}

32.85056976 {

}

{ } 234.5412932 {

}

{ } 147.0773532 {

}

{ } 69.03999819 {

}

{ } 190.8679725

62

{

}

{ } 108.113595 {

}

{ } 34.57113141 {

}

{ } 149.5475686 {

}

{ } 71.3953897 {

}

{ } 110.5263854 {

}

{

}

35.75057161 {

}

{ } 73.19236927

63

{

} {


18.3523401

}

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Batang Kapas pada tanggal 4 November 1990 dari ayah Syafril dan ibu Sari Bulan. Penulis adalah putra pertama dari dua bersaudara. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Batang Kapas dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam berbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan. Penulis tergabung sebagai anggota Badan Pengawas GUMATIKA (BPG) periode 2009-2011, sebagai anggota Dana Keusahaan OMDA IPMM periode 2009-2010, sebagai Ketua OMDA tingkat dua FKMPS periode 2012. Penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan antara lain Pesta Sains tahun 2010 dan 2011, Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru tahun 2009, Masa Perkenaan Fakultas tahun 2010, serta Masa Perkenalan Departemen tahun 2012.

PENENTUAN NILAI OPSI TIPE EROPA DAN AMERIKA MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL NOVRI HENDRI

Recommend Documents